STRUKTURELLE STABILITÄT VON ANOSOV-DIFFEOMORPHISMEN

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1 STRUKTURELLE STABILITÄT VON ANOSOV-DIFFEOMORPHISMEN Marcel Nutz Seminarvortrag WS 2005/06 Grundlagen. Sei M eine endlichdimensionale Riemannsche C -Mannigfaltigkeit und f : M M ein C 1 -Dieomorphismus. Sei Λ M kompakt und f-invariant. Die Menge Λ heisst hyperbolische Menge von f, falls eine stetige Aufspaltung T Λ = E + E des Tangentialbündels T Λ = T M Λ über Λ existiert, so dass df j E + cλ j, j 1, df j E cλ j, j 1, mit Konstanten c > 0 und λ (0, 1). Die Bündel E + und E heissen stabiles rsp. instabiles Bündel. Für die durch E + E gegebene Aufspaltung des Tangentialraums T x M in x Λ schreiben wir T x M = E + x E x. Es ist leicht zu sehen, dass die Hyperbolizität einer Menge nur von der Äquivalenzklasse der Metrik abhängt. Durch Wahl einer adaptierten Metrik kann man c = 1 erreichen. Für den Beweis des nächsten Lemmas sei auf [3, p. 21] verwiesen. Wir benützen die Notation a b := max{a, b}. Lemma 1 (adaptierte Metrik). Sei f : M M ein Dieomorphismus mit hyperbolischer Menge Λ und der Aufspaltung T Λ = E + E. Es gibt eine äquivalente C -Metrik und eine Konstante µ (0, 1) sodass df E + µ, df 1 E µ, und v = v + v für alle v = (v +, v ) E + x E x. Wir werden stets in dieser adaptierten Metrik arbeiten, sodass df eine Kontraktion auf E + und df 1 eine Kontraktion auf E ist. Sei M kompakt. Ein Dieomorphismus f : M M, für welchen ganz M eine hyperbolische Menge ist, heisst Anosov-Dieomorphismus von M. Wir denieren die natürliche Metrik d auf M, d(x, y) := inf γ 1 0 γ(t) dt, wobei γ über alle stetigen, stückweise C 1 -Kurven [0, 1] M mit γ(0) = x und γ(1) = y variiert. Es gilt d(x, y) =, falls x und y nicht in der gleichen Zusammenhangskomponente liegen. Sei X eine Menge. Wir denieren für zwei Abbildungen i, j : X M die Pseudometrik d C 0(i, j) := sup x X d(i(x), j(x)). Wo keine Verwechslung 1

2 droht, werden wir häug bloss d statt d C 0 schreiben. Wir denieren weiter für dierenzierbare Abbildungen f, g : N M die Pseudometrik d C 1(f, g) := d C 0(f, g) + df dg C 0. Unser Ziel ist folgendes Resultat von D. Anosov: Sei M kompakt, f : M M ein Anosov-Dieomorphismus und g : M M ein weiterer Dieomorphismus. Falls d C 1(f, g) hinreichend klein ist, existiert ein Homöomorphismus h : M M, welcher f und g konjugiert, also gh = hf. Man bezeichnet diese Eigenschaft als (C 1 -)strukturelle Stabilität von Anosov- Dieomorphismen. Zwei Aussagen über Anosov-Dieomorphismen. Die Menge der Anosov-Dieomorphismen ist oen in der Menge der C 1 -Dieomorphismen bezüglich der C 1 -Metrik. Der Beweis des folgenden Theorems ist mehrheitlich [4] entnommen. Theorem 1. Sei M kompakt und f ein Anosov-Dieomorphismus von M. Sei g ein weiterer Dieomorphismus von M. Falls d C 1(f, g) hinreichend klein ist, so ist auch g ein Anosov-Dieomorphismus von M. Beweis. Sei T M = E + E die hyperbolische Aufspaltung für f und sei λ (0, 1) so, dass df E + λ und df 1 E λ. Wir können die lineare Abbildung df(x) : T x M T f(x) M bezüglich E + E aufspalten und erhalten eine wegen der df-invarianz von E ± eine Diagonalmatrix ( ) F11 (x) df(x) =. F 22 (x) Analog können wir auch ( ) G11 (x) G dg(x) = 12 (x) G 21 (x) G 22 (x) bezüglich E + E aufspalten. Sei ε > 0. Für d C 1(f, g) hinreichend klein folgt G 11 (x) λ + ε =: µ, G 12 (x) ε, G 21 (x) ε, [G 22 (x)] 1 λ + ε = µ, für jedes x M. Wir haben dabei die Kompaktheit von M benützt, welche (df 1 dg 1 ) 0 für d C 1(f, g) 0 impliziert, denn nach einer bekannten Ungleichung der Analysis gilt für die Banachraum-Operatoren df(x) und dg(x) df 1 (x) dg 1 (x) df(x) 2 df(x) dg(x) 1 df(x) df(x) dg(x) df 2 d C 1(f, g) 1 df d C 1(f, g) 2

3 für jedes x M (diese Ungleichung folgt aus der Neumann'schen Reihe). Wir konstruieren nun die hyperbolische Aufspaltung T M = Ẽ+ Ẽ für g. Dazu betrachten wir den Raum L(E +, E ) der Bündelabbildungen A : E + E, d.h. A ist stetig und die Abbildungen A x := A E + x sind lineare Abbildung E x + Ex für jedes x M. Wir werden Ẽ+ nden als Graphen graph(a) = {(v +, Av + ) E + E : v + E + }. Wir formulieren dazu die Bedingung der dg-invarianz von Ẽ+ als Bedingung an A und konstruieren dann A als Fixpunkt einer geeigneten Abbildung. Sei x M und v + E x +. Wir schreiben zur Abkürzung G ij für G ij (x). Damit ( ) v + dg(x) Av + = ( ) ( ) ( G11 G 12 v + G11 v G 21 G 22 Av + = + + G 12 Av + ) G 21 v + + G 22 Av + in graph(a) liegt, muss G 21 v + +G 22 Av + = A(G 11 v + +G 12 Av + ) gelten, oder A = G 1 22 ( G 21 + AG 11 + AG 12 A) =: L(A). Wir versehen den Raum L(E +, E ) mit der Norm A := sup x Λ A x, wobei A x die lineare Abbildung auf der Faser E x + bezeichnet und A x die übliche Operatornorm. Die Norm A ist endlich, da M kompakt ist. Mit dieser Norm ist L(E +, E ) ein Banachraum. Wir betrachten darin die abgeschlossene Einheitskugel B := {A L(E +, E ) : A 1}. Für ε > 0 klein genug ist L eine kontraktive Selbstabbildung von B: Seien A, A B, dann gilt und L(A) G 1 22 ( G 21 + G 11 + G 12 ) G 1 22 (ε + G 11 + ε) µ(µ + 2ε) = λ 2 + O(ε) L(A) L(A ) G 1 22 [ A A G 11 + AG 12 A A G 12 A ] µ [ A A µ + AG 12 (A A ) + (A A )G 12 A ] µ(µ + 2ε) A A. Nach dem Kontraktionsprinzip gibt es genau einen Fixpunkt A = L(A) in B. Wir denieren Ẽ+ := graph(a). Seien x M und w + Ẽ+ x, also w + = (v +, Av + ) für ein v + E x +. Da wir in der adaptierten Norm arbeiten, gilt ( ) v + dg(x) Av + = G 11 v + + G 12 Av + G 21 v + + G 22 Av +. Wegen A 1 gilt für den stabilen Teil G 11 v + + G 12 Av + ( G 11 + G 12 ) v + (µ + ε) v +. 3

4 Aus A = L(A) = G 1 22 ( G 21 + AG 11 + AG 12 A) folgt G 22 Av + = ( G 21 + AG 11 +AG 12 A)v + und damit G 21 v + +G 22 Av + = (AG 11 +AG 12 A)v +, woraus wir auch für den instabilen Teil die Abschätzung G 21 v + + G 22 Av + ( G 11 + G 12 ) v + (µ + ε) v + erhalten. Wegen w + = v + Av + = v + ist daher dg(x)(w + ) = dg(x)(v +, Av + ) (µ + ε) v + = (λ + 2ε) w +, d.h. dg(x) ist tatsächlich kontrahierend auf Ẽ+ x, falls ε klein genug ist. Wir setzen ϑ := µ + ε < 1. Völlig analog konstruiert man das Bündel Ẽ und zeigt, dass dg 1 (x) kontrahierend ist auf Ẽ x mit der Kontraktionskonstanten ϑ. Es verbleibt zu zeigen, dass T M = Ẽ+ Ẽ gilt. Nach Konstruktion gilt dim E ± = dim Ẽ±. Daher genügt es zu zeigen, dass die Summe direkt ist, also Ẽ+ Ẽ = {0}. Tatsächlich folgt dies bereits aus den hyperbolischen Ungleichungen: Oensichtlich gilt Ẽ± x {w T x M : sup j 0 dg ±j (x)w < }. Wir müssen daher nur noch zeigen, dass {w : sup j Z dg j (x)w < } = {0}. Sei w = (w +, w ) Ẽ+ x Ẽ x. Es gilt Daraus folgt w = dg j (g j (x))dg j (x)w ϑ j dg j (x)w. dg j (x)w = dg j (x)w + dg j (x)w + dg j (x)w dg j (x)w + ϑ j w ϑ j w +. Wegen ϑ < 1 folgt w = 0, falls sup j 0 dg j (x)w <. Mit einem analogen Argument erhält man w + = 0, falls sup j 0 dg j (x)w <. Daraus folgt die Behauptung. Für eine Abbildung ϕ von metrischen Räumen bedeutet die Notation Lip(ϕ) < ε, dass ϕ Lipschitz-stetig ist mit einer Lipschitz-Konstanten < ε. Das folgende Lemma ist [3] entnommen. Lemma 2. Sei E ein Banachraum und T ein hyperbolischer linearer Isomorphismus von E bezüglich der Aufspaltung E = E + E. Sei λ (0, 1) so, dass T E + λ und T 1 E λ. Sei B := B r (0) E die abgeschlossene Kugel vom Radius r > 0 um 0 und sei f : B E eine (Lipschitz-stetige) Funktion, welche Nahe an T ist im Sinne von Lip(f T ) < ε für ein ε > 0 und ausserdem f(0) δ erfüllt (alles bzgl. adaptierter Norm). Für ε und δ hinreichend klein besitzt f genau einen Fixpunkt p B. Genauer ist dies der Fall sobald λ + ε < 1 und δ < r(1 λ ε). Überdies gilt p f(0) /(1 λ ε). 4

5 Beweis. Sei λ + ε < 1 und δ < r(1 λ ε). Wir benützen für einen Punkt x E die Notation x = (x +, x ) E + E. Wir spalten f auf im Bild, f ± (x) := (f(x)) ±. Deniere die Abbildung f : B E durch f(x) := T 1 [x + T x f (x)] + f + (x). Die Fixpunktmengen von f und f sind dann identisch. Die Funktion f ist eine Kontraktion: Mit Lip(T f) < ε und T E + λ sowie [T x f(x)] ± = T x ± f ± (x) erhält man für alle x, y B die Abschätzung f(x) f(y) = T 1 [x y + (T x f (x)) (T y f (y))] f + (x) f + (y) λ(1 + ε) x y (λ + ε) (x y) = (λ + ε) (x y). Weiter ist f eine Selbstabbildung von B, denn mit f(0) = T 1 [ f (0)] f + (0) f(0) folgt für alle x B f(x) f(x) f(0) + f(0) (λ + ε) x + f(0) (λ + ε)r + δ < r. Nach dem Kontraktionsprinzip gibt es daher genau einen Fixpunkt p = f(p) = f(p) in B. Für jedes y B gilt überdies f n (y) p, insbesondere gilt p = lim n f n (0). Für jedes n 1 erhalten wir induktiv f n (0) (λ + ε) f n 1 (0) + f(0) 0 + n j=0 (λ + ε)j f(0) und damit p = lim n f n (0) 1 1 λ ε f(0) wie behauptet. Der Beweis der folgenden Proposition ist eine Adaption des Beweises von Theorem 7.8 in [3], wo eine viel allgemeinere Aussage gemacht wird. Proposition 1. Sei M kompakt und f ein Anosov-Dieomorphismus von M. Sei g ein weiterer Dieomorphismus von M. Für d C 1(f, g) klein genug existiert eine Abbildung h C 0 (M, M) mit gh = hf. Weiter kann h in der Nähe von Id M gewählt werden und ist lokal eindeutig in der Nähe von Id M. Es folgen zunächst einige Tatsachen über die Riemannsche Exponentialfunktion (siehe etwa [1], [2]). Sei x M und v T x M. Dann gibt es genau eine maximale Geodäte γ v durch M, welche die Anfangsbedingung γ v (0) = v erfüllt. Falls γ v auf [0,1] existiert, denieren wir die Riemannsche Exponentialfunktion auf T x M durch exp x (v) := γ v (1). Man zeigt 5

6 γ v (t) = exp x (tv) für t so, dass beide Seiten deniert sind, dies folgt aus der Gleichung γ λv (t) = γ v (λt). Man zeigt ausserdem, dass exp x so glatt ist wie die Riemannsche Metrik. Tatsächlich ist exp x ein lokaler Dieomorphismus zwischen einer Umgebung von 0 T x M und einer Umgebung von x M, denn es gilt exp x (0) = x und d exp x (0)v = d dt γ v(t) t=0 = γ v (0) = v, d.h. d exp x (0) = Id ist ein Isomorphismus, und die Behauptung folgt aus dem Inverse-Funktionen-Theorem. Es gibt also ein ε > 0 so, dass der Ball B ε (0) T x M dieomorph abgebildet wird nach M. Aus der Denition der natürlichen Metrik d und dem Umstand, dass Geodäten lokal Abstände minimieren, folgt d(x, exp x (v)) = 1 0 γ v(t) dt = v. Damit haben wir exp x (B ε (0)) = B ε (x) M für ε klein genug und die Inverse exp 1 x ist ein Dieomorphismus auf B ε (x). Falls x über eine kompakte Menge U M variiert, können wir ein uniformes ε > 0 nden, sodass exp x : T x M B ε (0) B ε (x) ein Dieomorphismus ist für jedes x U. Beweis der Proposition. Sei ε > 0 so klein, dass die Riemannsche Exponentialabbildung exp x für jedes x M ein Dieomorphismus auf dem Ball B 2ε (x) ist. Sei Φ : B ε (Id) C 0 (M, M) X 0 (M) deniert durch Φ(k)(x) = exp 1 x (k(x)) T x M, x M. Dies ist ein Homöomorphismus auf sein Bild X ε := Φ( B ε (Id)) X 0 (M). Wir versehen X 0 mit der Norm X := sup x M X(x), welche endlich ist, weil M kompakt ist. Damit ist X 0 ein Banachraum. Die Aufspaltung T M = E + E induziert durch Zerlegen von X X 0 im Bild eine Aufspaltung X 0 = (X 0 ) + (X 0 ). Wir denieren auf X 0 den üblichen Pushforward f : X 0 X 0 durch (f X)(x) := df(f 1 (x))x(f 1 (x)), x M, f ist damit eine lineare und beschränkte Abbildung. Da sich die Abschätzungen von df sofort auf f übertragen, ist f ein hyperbolischer Operator auf dem Banachraum X 0, d.h. für ein λ (0, 1) gilt f (X 0 ) ± (X 0 ) ± 1, f (X 0 ) + λ, f (X 0 ) λ. Wir führen nun die Abbildung G : C 0 (M, M) C 0 (M, M) ein, deren Fixpunkt die gesuchte Pseudokonjugation sein wird, G(k) := gkf 1, k C 0 (M, M). 6

7 Dieser Abbildung entspricht eine Abbildung G auf X 0. Wir denieren G := ΦGΦ 1 lokal auf X 0. Der explizite Ausdruck für G(X) = ΦGΦ 1 (X) ist G(X)(x) = exp 1 x g exp f 1 (x)(x(f 1 (x))). Lemma 3. Für alle η > 0 gibt es ein r > 0 so, dass für d C 1(f, g) klein genug die Abbildung exp 1 x g exp f 1 (x) auf B r (0) T f 1 (x)m deniert ist und uniform über alle x M. Lip[df(f 1 (x)) exp 1 x g exp f 1 (x)) Br(0)] η, Beweis. Sei v T f 1 (x)m mit v < r < ε. Dann ist d(exp f 1 (x) v, f 1 (x)) < r und d(g(exp f 1 (x) v), x) d(f, g) + d(f(exp f 1 (x) v), x). Da f insbesondere gleichmässig stetig ist, können wir r so klein wählen, dass d(f(exp f 1 (x) v), x) < ε/2. Somit ist exp 1 x g exp f 1 (x) deniert auf B r (0) T f 1 (x), falls d C 0(f, g) < ε/2. Die Abschätzung der Lipschitz-Konstanten folgt aus dem Mittelwertsatz: Die Ableitung des Ausdrucks in v B r (0) T y M berechnet sich zu d[df(f 1 (x)) exp 1 x g exp f 1 (x)](v) = df(f 1 (x)) d exp 1 x (g(exp f 1 (x)(v)) dg(exp f 1 (x)(v)) d exp f 1 (x)(v). Der Term rechts hängt stetig ab von v sowie von g bezüglich der C 1 -Metrik. In v = 0 gilt speziell d exp f 1 (x)(0) = Id und somit d[df(f 1 (x)) exp 1 x g exp f 1 (x)](0) = df(f 1 (x)) d exp 1 x (g(f 1 (x))) dg(f 1 (x)). Für f = g verschwindet dieser Ausdruck wegen d exp 1 x (x) = Id. Für g ausreichend C 1 -nahe an f gilt daher die Aussage des Lemmas. Für ein kleines 0 < r < ε ist G nach dem Lemma deniert auf X r, somit betrachten wir G : X r X 0. Ausserdem ist G nach dem Lemma Lipschitznahe am hyperbolischen Operator f, Lip[(f G) Br(0)] sup Lip[df(f 1 (x)) exp 1 x g exp f 1 (x)) Br(0)] x M η, falls d C 1(f, g) und r klein genug sind. Weiter gilt G(0) = ΦG(Id) = Φ(gf 1 ) = d C 0(Id, gf 1 ) = d C 0(f, g). Damit sind die Voraussetzungen von Lemma 2 erfüllt, abgesehen davon, dass die Norm auf X 0 nicht f -adaptiert ist. Man sieht jedoch leicht, dass die Abschätzungen beim Übergang zu einer äquivalenten Metrik bis 7

8 auf eine positive Konstante unverändert bleiben. Aus Lemma 2 folgt daher, dass G = ΦGΦ 1 einen eindeutigen Fixpunkt X X r hat, womit G einen eindeutigen Fixpunkt h := Φ 1 (X) in B r (Id) C 0 (M, M) hat, also h = ghf 1 oder gh = hf. Sei h C 0 (M, M) mit gh = h f und h r, dann ist X := Φ(h ) X r ein Fixpunkt von G und es folgt X = X aus der Eindeutigkeitsaussage von Lemma 2, also auch h = h. Somit ist h eindeutig in der Nähe von Id. Der Trick im nächsten Beweis ist genau wie in der Vorlesung Dynamische Systeme I von E. Zehnder, siehe den Beweis des Theorems von Hartman- Grobman. Theorem 2. Anosov-Dieomorphismen sind C 1 -strukturell stabil. Beweis. Sei f Anosov auf M und g ein Dieomorphismus von M. Aus der Proposition folgt für d C 1(f, g) klein genug, dass ein h C 0 (M, M) existiert mit gh = hf. Wir möchten zeigen, dass h ein Homöomorphismus ist. Für d C 1(f, g) klein ist nach Theorem 1 auch g Anosov, somit können wir die Proposition auch anwenden auf g und f mit vertauschten Rollen und es folgt die Existenz von i C 0 (M, M) mit fi = ig. Wir können h und i beliebig nahe an Id M wählen, somit können wir auch ih nahe Id annehmen. Aus gh = hf und fi = ig folgt f(ih) = igh = (ih)f. Natürlich gilt auch f Id M = Id M f. Wir können die Proposition mit g = f anwenden. Mit der Eindeutigkeitsaussage in der Nähe von Id M folgt ih = Id M. Völlig analog zeigt man hi = Id M. Also gilt h = i 1. Literatur [1] J. Jost. Riemannian geometry and geometric analysis. Universitext. Springer, Berlin, 3rd edition, [2] J. M. Lee. Riemannian manifolds: an introduction to curvature, volume 176 of Graduate texts in mathematics. Springer, New York, [3] M. Shub. Global stability of dynamical systems. Springer, New York, [4] W. Szlenk. An introduction to the theory of smooth dynamical systems. Wiley, Chichester,