erreicht bei t 0 eine 260 m lange gerade Teststrecke. Während der nächsten 10 s wird es gleichmäßig mit a

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1 Tutorium Physik I I. Übungsblatt 4 KW 9 zur Vorlesung Prof. Dr. Schrewe WS I-. Ein Fahrzeug mit der Anfangschwindigkeit v erreicht bei t eine 6 m lange gerade Teststrecke. Während der nächsten s wird es gleichmäßig mit a beschleunigt, fährt anschließend 8 m mit gleichförmiger Geschwindigkeit und wird danach mit konstanter Verzögerung bis zum Stillstand bei s 6m abgebremst. Entlang der Teststrecke werden folgende Weg-Zeit-Werte ermittelt: s / m t / s a. Skizzieren Sie die s-t-, v-t- und a-t-diagramme. b. Wie groß ist die Durchschnittschwindigkeit auf der Teststrecke? c. Wie groß ist die Anfangschwindigkeit v und die Beschleunigung a? d. Wie groß ist die Höchstchwindigkeit v E des Fahrzeugs? e. Mit welcher Verzögerung a B wird das Fahrzeug abgebremst? tr I-. Zwei PKW (Nr. und Nr. ) fahren mit einer Geschwindigkeit von v 44kmh im Abstand x 45m hintereinander her. Zum Zeitpunkt t muss PKW() plötzlich mit einer Beschleunigung von a 6, 4 ms bremsen. Nach einer Reaktionszeit von, 5 s bremst auch der PKW() so, dass er in x m hinter PKW() zum Stillstand kommt. (PKW() steht also vorn, PKW() m dahinter. Zur Vereinfachung betrachten Sie beide PKW als Massenpunkte, also als ausdehnungslos.) a. Zeichnen Sie die x-t-, v-t- und a-t-diagramme für beide PKW, wobei auch der prinzipielle Verlauf der Diagramme vor dem Zeitnullpunkt erkennbar sein sollte. b. Welche Bremsverzögerung muss PKW() haben, um wie gefordert, in x m hinter PKW() zum Stillstand zu kommen? c. Prüfen Sie Ihr unter b. erhaltenes Ergebnis, indem Sie für beide PKW den nach dem Zeitnullpunkt zurückgelegten Wert bis zum Stillstand berechnen. d. Berechnen Sie die Anhaltezeiten für beide Fahrzeuge. Zusatzaufgaben I-3. Zwei Fahrzeuge fahren mit gleicher Geschwindigkeit v 8 kmh an der Raststätte Harz der A7 im zeitlichen Abstand von 3 s vorbei (Fahrzeug fährt voraus, Fahrzeug folgt hinterher). Fahrzeug beginnt auf der Höhe der Raststätte, mit der Bremsbeschleunigung, 4 ms abzubremsen, während Fahrzeug seine Geschwindigkeit beibehält. a. Zeichnen Sie das Weg-Zeit Diagramm b. In welcher Distanz zur Raststätte Harz hat Fahrzeug das Fahrzeug eingeholt? I-4. Zur Pfahlgründung bei Brücken oder Hafenanlagen verwendet man oft den "Freifallbären". Es handelt sich dabei um eine Ramme, bei der eine Masse entweder hydraulisch oder mit Dampf- oder Dieselwinden auf eine bestimmte Höhe gehoben und dann frei fallen gelassen wird. Man kann annehmen, dass der Hebevorgang einer gleichförmigen Bewegung entspricht. Die Schlagzahl eines Freifallbären wird mit und die Hubchwindigkeit mit 5min ms angegeben. Wie groß ist der Fallweg? Abb. Historische Ramme

2 Lösungen: I-b. Durchschnittschwindigkeit: I-c. Lösung für a : Lösung für v : I-d. Lösung: I-e. Lösung: I-a. Lösung: I-c. Lösung für PKW() Lösung für PKW() I-d. Bremszeit für PKW() Anhaltezeit für PKW() s 6 m v 4,44 ms t 8 s 8 6 a ms, ms m v 8ms 5s vt ( s),ms s8ms ms ve m s ab 5ms s 4m B 6 6 a ms ms 8ms 5 7 PKW () v 4 m s x 5m a 6,4ms () x m6m45m 5m PKW v 4 ms 6, 5 s t, a 6, 4 ms v 4 ms, R a 8ms t t, 5 s 5 s, 5 s 6, 5 s s v t v t v t t m I-3b. Lösung ü I-4a. Lösung: s,8m,44m,36m

3 Tutorium Physik I II. Übungsblatt 43 KW 9 zur Vorlesung Prof. Dr. Schrewe WS II-. Eine Masse () wird bei t s aus einer Höhe von m aus der Ruhe fallengelassen. Eine zweite Masse () wird genau in diesem Augenblick mit der Anfangschwindigkeit v der fallenden Masse entgegen chossen. Die Körper treffen in halber Höhe aufeinander. Nach welcher Zeit treffen sich die beiden Körper? Wie groß ist die Abschusschwindigkeit v der Masse ()? II-. Ein Tennisball soll m senkrecht nach oben geworfen werden. a. Welche Anfangschwindigkeit muss der Ball haben? b. Wie weit fliegt ein Ball, der mit gleicher Anfangschwindigkeit unter einem Winkel von 6 geworfen wird? c. Wie weit könnte der Ball mit gleicher Anfangschwindigkeit maximal geworfen werden? Unter welchem Winkel muss der Ball geworfen werden? Zusatzaufgaben II-3. Ein Flugzeug fliegt vom Flughafen Hannover nach Berlin-Schönefeld. Die Entfernung beträgt 8 km, die Flugchwindigkeit km h -. Ohne Windeinfluss wäre die Kursrichtung 9 (Kursrichtung von West nach Ost). Während des Flu herrscht jedoch Wind mit 6 km h - aus 8 (aus Süden). a. Welchen Kurs muss das Flugzeug unter Berücksichtigung des Windes fliegen, um in der kürzesten Zeit Berlin-Schönefeld zu erreichen? b. Welche Geschwindigkeit hat das Flugzeug über Grund? c. Welche Zeit benötigt es mit Wind, und wie lange hätte der Flug ohne Windeinfluss gedauert? Hinweis: Verwenden Sie die Vektordarstellung der Geschwindigkeiten in einem x-y. Koordinatensystem. II-4. Ein Flugzeug fliegt den Kurs entlang der Punkte A B C D A. Die Seitenlänge des Quadrats beträgt km, die Flugchwindigkeit km h -. a. Berechnen Sie die Flugzeit unter der Annahme, dass während des Flu kein Seitenwind herrscht. b. Berechnen Sie die Flugzeit unter der Annahme eines konstanten Seitenwindes v W = 4 km h -, der senkrecht bezüglich der Strecken B C und A D wirkt. c. Vergleichen Sie die unter a. und b. berechneten Flugzeiten. Überlegen Sie folgende Anwendung: Bei welchen Windbedingungen sollte man z. B. in der Leichtathletik Rekordbedingungen über Laufstrecken von 4 m haben? A B v W D C II-5. Die Festung Königstein in Sachsen besitzt einen berühmten Tiefbrunnen. Dessen Tiefe soll durch Abwurf eines schweren Gegenstands bestimmt werden, wobei die Luftreibungseffekte während des freien Falls vernachlässigt werden können. Für die Zeitdifferenz zwischen Loslassen des Gegenstands am oberen Brunnenrand (mit vt ( ) ) und der Rückkehr des Auftreffschalls werden 6, s gemessen. Die Schallchwindigkeit beträgt c 343ms. Wie tief ist der Brunnen?

4 Lösungen: II-. Lösung für t : Lösung für v : y m t s g m s y m v g t g y t s vy g y th ms II-a. Lösung: II-b. Lösung: II-c. Lösung: x( t ) vx t 8, 66 m x( t ) v t m x II-3a. Vorhaltewinkel: Steuerkurs: II-3b. Grundchwindigkeit: II-3c. Flugzeit ohne Wind: Flugzeit mit Wind: v t t G ow mw 6, 6 9 6,6 6, 6 v F v W 6 km h s 8 km,333 h vf km h. s 8 km,39 h v km h G km h 8 min 83,5 min II-4a. Gesamtweg: Gesamtzeit: II-4b. Gesamtzeit: s 4 s 4 km s t h 7 s v t 744s II-4c. Die Zeiten mit Seitenwind sind auf einem Rundkurs immer länger als ohne Seitenwind. In Aufgabe II 4b. ist t 3,% größer als t von Aufgabe.a. Rekordversuche im Laufen über die 4 m Strecke (Rundkurs) in einem Stadion sollten deshalb möglichst bei Windstille unternommen werden. II-5. Die Lösung zur negativen Wurzel s 54m ist die uchte Brunnentiefe.

5 Tutorium Physik I III. Übungsblatt 44 KW 9 zur Vorlesung Prof. Dr. Schrewe WS III-. Ein PKW wird auf einer m langen geraden Strecke getestet: Er wird von km/h auf km/h in 3,3 s beschleunigt, fährt anschließend mit konstanter Geschwindigkeit und wird auf den letzten m bis zum Stillstand abgebremst. a. Skizzieren Sie die a-t, v-t und s-t-diagramme. b. Bestimmen Sie die Beschleunigung a und die Beschleunigungsstrecke s a. c. Wie lang ist der Streckenabschnitt, der mit konstanter Geschwindigkeit gefahren wird? d. Wie groß sind die Bremsverzögerung a b und die Bremszeit t b? Betrachten Sie jetzt eine Testfahrt auf einer kreisförmigen Strecke mit R = m: e. Wie groß ist die Gesamtbeschleunigung, wenn die Bahnbeschleunigung gleich der in Aufgabe b ermittelten Beschleunigung a der geraden Teststrecke ist und der Punkt der betrachtet werden soll, an dem die Bahnchwindigkeit des Fahrzeugs v 7 kmh beträgt. t f. Wie groß ist die Gesamtbeschleunigung a, kurz vor dem Erreichen der konstanten Bahnchwindigkeit von vt kmh? In welche Richtung zeigt der Beschleunigungsvektor? (Man verwende den Wert kmh für Bahnchwindigkeit) g. Wie groß ist die Gesamtbeschleunigung a, kurz nach dem Erreichen der konstanten Bahnchwindigkeit von vt kmh? In welche Richtung zeigt der Beschleunigungsvektor? (Man verwende auch hier den Wert vt kmh für die Bahnge- schwindigkeit) III-. Motorräder fahren üblicherweise Kurven mit einer Schräglage (charakterisiert durch den Winkel im Bild rechts), so dass die Resultierende aus dem negativen Vektor der Erdbeschleunigung g und Vektor der Radialbeschleunigung a r (entspricht der Zentripetalbeschleunigung) parallel zur Hochachse (H) H verläuft. Bauartbedingt kann im vorliegenden Beispiel die Schräglage max 45 nicht überschritten werden. a. Betrachten Sie eine gleichmäßig beschleunigte Motorradfahrt auf einer Kreisstrecke mit Radius R 6,5 m. Das Motorrad startet aus dem Stand heraus und passiert in den Abständen von m und m Lichtschranken. Die Messung der Zeitdifferenz zwischen dem Passieren der Lichtschranken ergibt, s. Wie groß ist die Bahnbeschleunigung? b. Nach welcher Fahrtstrecke auf dem Kreis wird die maximale Schräglage max 45 erreicht? c. Welche Gesamtbeschleunigung a hat das Motorrad in diesem Punkt? d. Der Weg bis zum Erreichen der maximale Schräglage max 45 sei S max. Wie groß ist die Gesamtbeschleunigung nach der Wegstrecke S max und welche Schräglage hat das Motorrad an diesem Punkt? vt H

6 Lösungen: III-b. Beschleunigung: v v 33,33 m m a,5 t ta 3,3 s s Beschleunigungsstrecke: sa a ta, m III-c. Strecke mit v : sv s sa 9m, m 678,9 m III-d. Bremszeit: v 33,33ms tb 6, s ab 5,55 ms III-e. Gesamtbeschleunigung: m m a,5 3,33 4,6 s s III-f. Gesamtbeschleunigung: m m a,5 9, 5 9,59 s s (Das ist fast g! Damit könnte schon knapp der Punkt erreicht sein, an dem die Reifen ihre Haftung verlieren und rutschen) III-g. Gesamtbeschleunigung: m m a 9,5 9,5 s s Der Beschleunigungsvektor zeigt auf das Zentrum der Kreisbahn. III-a. Lösung: a 3 t 6 ms 3, 43ms Nur für a t 3, 43ms s t m und st s m mit t, 4s. III-b. Fahrtstrecke: max max 3,43 s at t ms 7,8 s 9 m III-c. Gesamtbescheunigung: a a a 3,43 ms,6 ms t R Bei dieser Gesamtbeschleunigung könnte der Fahrer schon erhebliche Probleme bekommen, da möglicherweise die maximale Haftreibungskraft derreifen überschritten wird. III d. Gesamtbeschleunigung: a at ar 3, 43 5 ms 6, 6 ms arctan 7

7 Tutorium Physik I IV. Übungsblatt 45 KW 9 zur Vorlesung Prof. Dr. Schrewe WS IV-. Eine Masse ( m kg) wird von einem zweiten Körper (Masse m 5kg)auf einer schiefen Ebene mit einem Neigungswinkel von 5 und der Länge l 5m hochgezogen. Die Gleitreibungszahl beträgt G,. Die Masse der Rolle und des Seils soll vernachlässigt werden ( mr ). a. Mit welcher Beschleunigung bewegen sich die Körper? b. Wie lange benötigt m, um die Strecke l zu durchlaufen? c. Wie groß ist die Seilkraft? IV-. Ein Körper m mit einer Masse von kg wird durch die Gewichtskraft der Masse m kgan dem nach links und die Kraft F an dem nach rechts führenden Seilende angehoben. Das Seil und die Rollen seien masselos gedacht. Der Körper m ist mit einem Knoten am Seil befestigt. a. Mit welcher Kraft F muss an dem rechten Seilende gezogen werden, wenn sich der Körper m mit einer g Beschleunigung a nach oben bewegen soll? Zusatzaufgaben IV-3. Eine Masse m kg, die auf einem Tisch ruht, ist über ein Seil mit einem Eimer (Masse des leeren Eimers me kg ) verbunden. Das (masselose) Seil wird über eine zylinderförmige Umlenkrolle umgelenkt, deren Masse vernachlässigt werden kann. a. Die Haftreibungszahl der Masse m auf dem Tisch beträgt H,max,5. Welche Masse Wasser muss in den Eimer gefüllt werden, damit die Masse gleitet? b. Die Gleitreibungszahl der Masse m auf dem Tisch beträgt H,max, 4. Wie groß ist die Beschleunigung, wenn der Eimer mit der in a. bestimmten Masse Wasser gefüllt ist?

8 m IV-a. a, ms s l 5m IV-b. Für die Strecke l gilt: tl, 59 s a 3,98 ms IV-c. F 5,N 99, 4N 5,6 N S Seilkraft an m : F 5,8 N 9,3 N 79,5 N 5,6 N IV-a. S 3 m F g m m 3 5 kg 5 N s IV-3a. Lösung m,max m m,5 kgkg 4 kg W H E IV-3b. Ergebnis: a g, 667 g, 667 ms 5

9 Tutorium Physik I V. Übungsblatt 46 KW 9 zur Vorlesung Prof. Dr. Schrewe SS V-. Die Massen m kg und m kg sind in der gezeigten Anordnung mit einem Seil verbunden, das durch eine Umlenkrolle umgelenkt wird. Die Massen des Seils und der Rolle können vernachlässigt werden. Der Steigungswinkel der schiefen Ebene betrage. a. Die Haftreibung zwischen m und m und zwischen m und der schiefen Ebene (SE) soll gleich sein. Welchen Wert darf die Haftreibungszahl nicht überschreiten, damit die Massen gleiten können? H, max b. Beim Gleiten soll die Gleitreibungszahl G,5 betragen. Wie groß ist die Beschleunigung a? Wie groß sind die Seilkräfte c. im Haftreibungsfall, mit dem Maximalwert für H, max wie in Teil a. berechnet, d. im Gleitfall wie in Teil b. beschrieben? V-. Eine rollende homogene Kugel und ein gleitender Quader mit gleicher Masse benötigen auf einer schiefen Ebene die gleiche Zeit für die gleiche Strecke. a. Die Gleitreibungszahl des Quaders beträgt G, die Rollreibungszahl der Kugel sei 7 vernachlässigbar. Wie groß ist der Steigungswinkel der schiefen Ebene? Zusatzaufgaben V-3. Abbildung zeigt einen doppelten Flaschenzug mit m kg, m kg und m3 3 kg. Zur Vereinfachung Teilsystem vernachlässige man die Massen der Seile und Rollen. Ziel Aufg. V-a. ist es, die Seilkräfte und die Beschleunigung der Masse m 3 R zu bestimmen. Vorschlag für einen Lösungsansatz: a. Man betrachte das Teilsystem mit den Massen m und m an der kleinen Rolle (R im roten Kreis) zunächst als ruhend (gemeint ist, dass die Rolle R sich zwar drehen, nicht aber vertikal bewegen kann) und leite zunächst für das ruhende Teilsystem eine Beziehung für die Kraft F Z 4m, m, g her, mit der das Teilsystem das nach oben führende Seil belastet. Wird anschließend das Teilsystem bestehend aus R und den Massen m und m mit a beschleunigt, kann g durch g a ersetzt werden, um F Z 4 in einem bewegten System zu erhalten. b. Man berechne unter Verwendung der Beziehung für F Z 4 die Beschleunigung der Masse m 3. c. Bestimme die Seilkräfte F Z, F Z, F Z 3 und F Z 4. Abb.

10 Lösungen: V-a. Lösung für H,max : m m sin tan,73 H,max m m cos 5 V-b. Lösung: a,357 m s V-c. Seilkraft an Masse m : F 34, N,5N 54,73 N S V-d. Seilkraft an Masse m : F 34, N 4,95N 3,57 N 5,867 N S V-a. Lösung: arctan( ) 6, 6 V-3a. Lösung für Z 4 F : F ga Z 4 4 mm m m V-3b. Einsetzen a3 g g,588ms V-3c. Seilkraft F Z 4 : FZ4 FZ3 N 8,4 N FZ N 4,N F N 4,N Z Kontrolle: Die Summe der Seilkräfte Z 3 7 F und F Z ist gleich der Kraft F Z 4.

11 Tutorium Physik I VI. Übungsblatt 47 KW 9 zur Vorlesung Prof. Dr. Schrewe WS VI-. Die Masse m kg rutscht mit der Anfangschwindigkeit v 4ms aus einer Höhe von h,5m eine schiefen Ebene mit Steigungswinkel 3 hinab. Anschließend rutscht sie auf einer Strecke s m horizontal weiter und trifft am Ende auf eine Feder mit der Federkonstanten D 5 Nm. Die Gleitreibungszahl beträgt auf dem amten Weg,. a. Berechnen Sie die Gesamtenergie E, die kinetischen Energien E kin und die Reibungsarbeiten W R in den Punkten und der Bahn, sowie die an der Feder geleistete elastische Verformungsarbeit E3 W im Punkt 3. b. Wie groß ist der Federweg x? c. Wie groß müsste die Anfangschwindigkeit v gewählt werden, damit die Masse nach dem Rückprall wieder genau die Anfangshöhe h ohne Geschwindigkeit erreicht? (Vernachlässigen Sie zur Vereinfachung die Reibung entlang des Federwe x) VI-. Auf unterschiedlich geneigten Dachflächen (siehe Skizze) liegen zwei Massen mit m m kg, die durch ein Seil verbunden sind. Das Seil wird auf der Dachspitze mit einer Rolle umgelenkt. Die Massen von Seil und Rolle sollen vernachlässigt werden. Die Winkel betragen: 3 und 6. a. Betrachten Sie die Kräfte, die auf die beiden Massen m und m wirken. Wie groß muss die Haftreibungszahl H,max mindestens sein, damit die Massen nicht gleiten können? b. Man stelle sich vor, links und rechts der Umlenkrolle wären Kraftmessgeräte im Seil. Welche Seilkräfte zeigen diese an, solange sich die Massen nicht bewegen? c. Man nehme jetzt an, dass die in Aufgabe 7.a. berechnete Haftreibungszahl H,max unterschritten werde (z. B. durch Regen, der auf das Dach fällt). Die beiden Massen beginnen zu gleiten. In welche Richtung? Die Gleitreibungszahl während des Rutschvorgan soll dann (einheitlich für m und m ) G =, betragen. Wie groß ist die Beschleunigung? d. Bestimmen Sie die Kräfte (einschließlich der Trägheitskräfte), die auf die bewegten Massen m und m wirken. Geben Sie Betrag und Richtung der Kräfte an. Berechnen Sie erneut die Seilkräfte. G

12 Zusatzaufgaben VI-3. Eine Kette der Masse m kg mit homogener Massenverteilung und Gesamtlänge l m liegt auf einem Tisch (siehe Abb.). a. Die Kette gleitet vom Tisch, wenn das überhängende Stück mindestens x,3m lang ist. Wie groß ist die Haftreibungszahl H,max? b. Man betrachte die Gleitbewegung: Wie lauten die Gleichungen der Beschleunigungsfunktion a(x) für x x l und für x l? Die Gleitreibungszahl soll % kleiner als die Haftreibungszahl sein. Zeichnen Sie die Funktion a(x). Hinweis: Man kann eine dimensionslose Darstellung wählen, mit x l auf der Abszisse und a g auf der Ordinate. c. Welche Geschwindigkeit hat die Kette, wenn sie in voller Länge von der Tischplatte geglitten ist?

13 Lösungen: VI-a. Gesamtenergie: E mgh mv 5 J8 J 3J Reibungsarbeit auf der Strecke : G mgcos3h WR G FN s,73 J sin 3 Kinetische Energie Punkt : Ekin E WR 3, 73 J, 68 J Reibungsarbeit auf der Strecke : W F s mgs J R G N G 4 Reibungsarbeit auf der Strecke : W W W J R R R 5,73 Ekin E WR 35, 73 J 7, 68 J Kinetische Energie Punkt : Verformungsarbeit (Feder) im Punkt 3: WE3 Ekin 7,68 J VI-b.. Federweg: W 3 x E 3,539 m 5,4 cm D VI-c. 4 WR WR m Anfangschwindigkeit: v 4,79 m s,866,5 VI-a. H,max, 679,866,5 VI-b. links der Umlenkrolle: F F F,max 5N,78,66N 7,3N S t H rechts der Umlenkrolle: F F F,max 8,66 N,75 N 7,3 N S t H VI-c. a g, 464, 464 ms VI-d. F 5 N, 8, 66 N, 464 N 7,96 N S VI-3a. Lösung für H,max : x,3 H,max,486 l x,7 3b. Gleitreibungszahl: G H,max,H,max,3857,39 Lösung: Beschleunigung für x x ax ( ) Sprung (Unstetigkeitsstelle) bei x x Beschleunigung für x x l x x ax ( ) G Gg,39,39 g l l Beschleunigung für x l a( x) g konst.

14 Beschleunigung einer gleitenden Kette, a / g,,8,6 Haftreibung Linearer Anstieg von a entspricht einer gleichmäßig beschleunigten Beschleunigung Freier Fall,4, Wechsel von Haft- zur Gleitreibung Abgleiten,,,4,6,8,,4 x / l 3c. Lösung für v: 3,3 E pot J 4,55 J W,3857 R,7,3 J,945 J Ekin xl 3,65 m v,685 m kg s

15 Tutorium Physik I VII. Übungsblatt 48 KW 9 zur Vorlesung Prof. Dr. Schrewe WS VII-. Ein Wagen der Masse m 6kg soll innerhalb einer Zeit von t,5 Minuten eine Rampe der Länge s 9m mit einer Steigung von 6% aus dem Stillstand hochgezogen werden. Die Bewegung sei gleichmäßig beschleunigt. Die Rollreibungszahl beträgt R,. Welche Leistung muss der Motor bei einem Wirkungsgrad von,75 aufbringen? a. Man kann die mittlere und die maximale Leistung aus Kraft und Geschwindigkeit bestimmen. b. Alternativ kann die mittlere Leistung aus den benötigten Energien und den geleisteten Arbeiten bestimmen. (Allgemeiner Hinweis: Steigung ist der Quotient aus der Höhenänderung und dem entsprechenden horizontalen Weg) VII-. Drei Massen, m = kg m = 3 kg und m 3 = kg, sind mit (masselosen) Seilen verbunden. m liegt auf einer horizontalen Unterlage, m und m 3 hängen senkrecht an den Seilen herab. Die Seile werden mit masselosen Rollen mit Radius R =, m umgelenkt. a. Welche Haftreibungszahl H,max muss für m unterschritten werden, damit sich die Massen bewegen? b. Die Gleitreibungszahl G für m betrage,. Wie groß ist die Beschleunigung der Massen? c. Wie groß ist die Winkelbeschleunigung der Rollen? Welche Drehzahl haben die Umlenkrollen, wenn sich die Massen aus der Ruhe heraus um die Strecke s = m bewegt haben? d. Verwenden Sie zur Lösung zunächst die kinematischen Gleichungen. e. Bestimmen Sie die Drehzahl alternativ mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes. Zusatzaufgaben VII-3. Betrachten Sie eine schiefe Ebene auf einem Tisch mit der Höhe H, m. Ein Block der Masse m kg gleitet diese schiefe Ebene mit Neigungswinkel 4 hinab. In der Ausgangshöhe h 8cm besitzt er die Geschwindigkeit v 3ms. Am Ende der Ebene stößt er auf einen Block der Masse M 5kg. Der toßene Block verlässt die Ebene und fällt die Tischhöhe H hinab. Der Aufschlagpunkt liegt x 55,9 cm von der Tischkante entfernt. a. Wie viel Prozent der ursprünglichen kinetischen Energie der Masse m gehen beim Stoß der Massen m und M durch Verformung und/oder Wärme verloren? (Hinweis: Die Blöcke können als Massenpunkte behandelt werden, die reibungsfrei gleiten.)

16 Lösungen: VII-a. Mittlere Gesamtleistung: Maximale Gesamtleistung: VII-b Mittlere Gesamtleistung: VII-a. VII-b. Lösung: VII-c. Winkelbeschleunigung: VII-d. Drehzahl der Rolle: VII-e. Drehzahl der Rolle: P PNutz W,75 max max P PNutz W,75 P PNutz W,75 Fg Fg3 N N H,max Fn 3 N 3 m m G m, 4,666 a g g ms mm m3 6 a,666 m 6, 66 s r, m s v n, 84 s r v n r 3,837 s VII-3a. 6,5%

17 Tutorium Physik I VIII. Übungsblatt 49 KW 9 zur Vorlesung Prof. Dr. Schrewe WS VIII-. Eine Rangierlok der Masse 5 t, die einen (nicht angekuppelten) Waggon der Masse t vor sich her schiebt, wird gleichmäßig beschleunigt. Sie soll in 5 s aus dem Stand heraus eine Endchwindigkeit von 8 km/h erreichen. Dabei ist ständig eine Reibungskraft von 5 kn vorhanden. a. Wie groß ist die maximale und wie groß die mittlere Leistung, die die Lok aufbringen muss? Nach Erreichen der Endchwindigkeit bremst die Lok, der chobene Waggon löst sich und rollt mit konstanter Geschwindigkeit weiter. Nach einer reibungsfreien Fahrt stößt er auf drei stehende, aneinander gekuppelte gleiche Waggons mit jeweils t Masse und kuppelt automatisch an diese an. b. Mit welcher gemeinsamen Geschwindigkeit rollen die vier Waggons weiter? c. Wie groß ist der relative Energieumsatz in der Kupplung? (Hinweis: Gesucht ist der Energieverlust Q beim Stoß geteilt durch die kinetische Energie E des stoßenden Waggons.) d. Welche Kraft muss die Kupplung aufbringen, wenn die Ankupplungszeit circa,75 s beträgt? VIII-. Ein Dachziegel gleitet ein geneigtes Dach über eine Strecke von s 6 m hinab. Das Dach hat einen Neigungswinkel von 3 gegen die Waagerechte. Die Gleitreibungszahl beträgt G,4. Der Ziegel fällt anschließend über die Dachkante auf den H 8m tiefer gelegenen Boden. In welcher Entfernung von der Hauswand trifft der Dachziegel auf dem Boden auf, wenn der Dachüberstand xü,5m beträgt? Zusatzaufgabe kin VIII-3. Ein Körper der Masse m kg gleitet aus der Höhe h m eine schiefe Ebene mit dem Neigungswinkel 3 hinab. Anschließend rutscht er auf einem horizontalen Streckenabschnitt der Länge s m und stößt am Ende auf einen Pendelkörper mit der Masse

18 m,5kg. Die Gleitreibungszahl auf der amten Strecke beträgt G,. Berechnen Sie, wie hoch das Pendel mit der Masse m ausschwingt (Masse der Pendelstange kann vernachlässigt werden), für folgende Bedingungen: a. Einen (vollkommen) elastischen Stoß zwischen den Massen m und m. b. Einen unelastischen Stoß zwischen den Massen m und m, wobei als Zusatzbedingung angenommen werden soll, dass beim Stoß 5% der kinetischen Energie in Verformungs- bzw. Wärmeenergie umgewandelt wird. c. Einen vollkommen unelastischen Stoß. d. Wie groß ist der Energieverlust beim vollkommen unelastischen Stoß (Vc.) relativ zur kinetischen Energie des Körpers m direkt vor dem Stoß?

19 Lösungen: VIII-a. Maximale Leistung: m Pmax F vmax 4 kn5 kw s Mittlere Leistung: m Pmittel F vmittel 4 kn,5 kw s VIII-b. 5 u v ms, 5 ms 4 4 VIII-c. Relativer Energieumsatz: Q m 75% 4 Ekin 4 m 3,5 VIII-d. F34 5kN,75 VIII-. Abstand von der Hauswand: x 4, 48m VIII-3. E kin, K v 3,83ms m VIII-3a. mit v : m 4 u v v v 5,84 ms m m, 5 3 mit v : m m,5 u v v m m, 5 3,7ms u helastisch, 9m g VIII-3b. u v 3,83ms u v,97 ms Berechnung der Höhe, die das Pendel schwingt: u hunelastisch, 77 m g VIII-3c. Lösung für u : m kg u v v v m m, 5 kg 3,54 ms u hvollk. unelastisch,33m g VIII-3d. Relativer Energieverlust: Qvu 33,3% E 3 kin, i i

20 Tutorium Physik I IX. Übungsblatt 5 KW 9 zur Vorlesung Prof. Dr. Schrewe WS IX-. Auf einem Tisch liegen zwei Blöcke m 3kg und m3, 5 kg übereinander. Die Gleitreibungszahlen zwischen Block Nr. und dem Tisch und zwischen den beiden Blöcken Nr. und Nr. 3 betragen G,3, die Haftreibungszahlen H,max, 4. Der Block Nr. ist mit einem Seil, das über eine Umlenkrolle geführt ist, mit dem Block Nr. verbunden. (Seil und Umlenkrolle sollen als masselos betrachtet werden.) a. Überlegen Sie zunächst, was passieren würde, wenn weder Haftreibung noch Gleitreibung vorhanden wäre. Würde sich der Block Nr. 3 bewegen? Bestimmen Sie die Beschleunigung des Blocks Nr., wenn der Block Nr. eine Masse von m kg besitzt? Berücksichtigen Sie im Folgenden die genannten Reibungszahlen: b. Wie groß muss die Masse des Blocks Nr. mindestens sein ( m a ), damit der Block m bewegt werden kann? c. Wie groß darf die Masse des Blocks Nr. höchstens sein ( m b ), damit der Block Nr. 3 auf dem Block Nr. haften bleibt? d. Wie groß ist die Beschleunigung des Blocks Nr., wenn für die Masse des Blocks Nr. gilt m kg? (Hinweis: Überlegen Sie zunächst, was bei dem gegebenen Wert von m mit Block Nr. 3 passiert). e. Die Masse des Blocks Nr. soll m 8kg betragen. Bestimmen Sie die Beschleunigung für Block Nr. (a ) und für Block Nr. 3 (a 3 ). f. Skizieren Sie die Ergebnisse für die Beschleunigungen a a a und a 3 als Funktion der Masse m des Blocks Nr.. Diskutieren Sie den Verlauf und die Sprungstellen. IX-. Eine Pendelmasse m a va m mit der Geschwindigkeit ms stößt elastisch auf zwei in Ruhe nebeneinander hängende Pendel mit der Masse mb m und mc m. Beim Stoßvorgang befinden sich alle Schwerpunkte auf gleicher Höhe (trichelten Linie). a. Wie groß sind nach dem Stoß die Geschwindigkeiten u a der Masse m a und u c der Masse m c? b. Wie viel Prozent der ursprünglichen Energie von m a wird auf m c übertragen? c. Wie verteilt sich die Energie nach den Stoßvorgängen auf die Massen m a und m b?

21 Zusatzaufgabe IX-3. Ein JoJo besteht aus drei homogenen Holzscheiben gleicher Dicke d cm. Die äußeren beiden Scheiben haben einen Radius von Ra,5cm, die zentrale Scheibe besitzt einen Radius von Ri cm, das Holz 3 hat eine Dichte von, gcm. Um die zentrale Scheibe ist ein Faden der Länge l m gewickelt (Masse vernachlässigbar). a. Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment des JoJo bezüglich der axialen Symmetrieachse durch den Massenmittelpunkt. b. Das JoJo wird losgelassen und der aufgewickelte Faden am äußersten Punkt festgehalten. Wie lange dauert es, bis der Faden abgewickelt ist und das JoJo am tiefsten Punkt angelangt ist?

22 Lösungen: IX-a. a g, 4 g 4 ms 3 IX-b. Lösung: m,8 kg IX-c. Bedingung für Haftreibung: a3 H,max g (*) Allgemeine Lösung für a m m m3 G a g m m m (5) a 3 Gesuchter Wert der Masse m b : m b 5, 5 kg IX-d. Lösung: 4,5,3 a g, ms 6,5 ms IX-e. Allgemeine Lösung für a m m m3 G a g m m Lösung: 6, a g,564 ms 5, 64 ms Lösung: a3 G g,3 ms 3ms IX-f. (7) Beschleunigung als Funktion der Masse m a / m s F H,max, für m und Tisch wird überschritten, m 3 haftet auf m und beide Massen gleiten gemeinsam a mit Reibung a ohne Reibung a 3 mit Reibung Trägheitskraft F Tr,3 für m 3 ist größer als F H,max,3, m 3 wird nur durch die Gleitreibungskraft beschleunigt m / kg

23 IX-a. Lösung: Ergebnis: IX-b. Ergebnis: IX-c. Ergebnis: Ergebnis: m m u va va,3333ms m m 3 8 uc ms,88888ms 9 nachher Ekin, c,395 Pc vorher 79,% E,5 kin, a E,555 Pa,% E,5 nachher kin, a vorher kin, a E, 494 Pb 9,9% E,5 nachher kin, b vorher kin, a Prüfung: P P P 79, % 9,9%,%, % a b c IX-3a. Lösung: J d R R,367 kgm a i IX-3b. a 5,8ms Zeit zum Durchfallen einer Strecke von l m. l m t,6s a 5,8ms

24 Tutorium Physik I X. Übungsblatt 5 KW 9 zur Vorlesung Prof. Dr. Schrewe WS X. Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment für folgende Körper mit homogener Dichte. Die Körper sollen jeweils die Gesamtmasse m besitzen. Die trichelte Linie zeigt die Drehachse. Das Ergebnis soll in der Form J xm R angegeben werden, wobei der Faktor x aus den Angaben zur Geometrie zu bestimmen ist.. a. Hantel senkrecht zur Symmetrieachse: Radius der Kugeln R, Länge der Verbindungsstange L R, Radius der Verbindungsstange r, R. b. Hantel parallel zur Symmetrieachse: Radius der Kugeln R, Länge der Verbindungsstange L R, Radius der Verbindungsstange r, R. X. Ein Drehmomentenrad erfährt um seine horizontale Achse eine Winkelbeschleunigung, die durch die Gewichtskraft eines Körpers der Masse m kg erzeugt wird, der an einem um die Achse ( R 8cm ) gewickelten Faden hängt. Lässt man den Körper (m) los, so bewegt er sich in t 5s um die Strecke s m nach unten. Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment des Systems Rad/Achse, a. indem Sie die am System wirkenden Kräfte und Momente betrachten, b. indem Sie den Energieerhaltungssatz anwenden. Zusatzaufgaben X 3. Eine Masse ( m kg) ist mit einem (masselosen) Seil über eine Umlenkrolle (homogener Zylinder) der Masse mr,5kg mit einer zweiten Masse m verbunden (Abb. ). a. Wie groß ist muss m sein, um s,5 m in t s zu durchfallen? b. Welche Höchstchwindigkeit erreichen die Massen? c. Wie groß ist die mittlere Leistung, wie groß die Maximalleistung? X 4. Man vergleiche eine rollende Kugel (Masse m kg) und eine gleitende Masse ( m kg) auf einer schiefen Ebene. Der Steigungswinkel der schiefen Ebene beträgt 3, beide Körper starten in der Höhe h m ohne Anfangschwindigkeit (siehe Abb., Darstellung nicht maßstabgerecht!). a. Wie groß muss die Gleitreibungszahl für die Masse m sein, damit sie in gleicher Zeit wie die Kugel m unten ankommt? Abb.. Abb..

25 Lösungen: J X a. Lösung: Faktor x: x,354,97 4,8 m R J X b. Lösung: Faktor x: x,943,583,389 m R X a. X b.,6 J, 8 kgm 3,936kgm,6 J, 64kgm 6,5 3,936kgm 5,5,55 X 3a. m kg 3, 5 kg 5,5,5 X 3b. ve ms 5ms 4,5,54,5kg 5 m s X 3c. P 56,5W s P kg ms ms W max 4,5 5 5,5 X 4a. G tan,65 7

26 Tutorium Physik I XI. Übungsblatt 5 KW 9 zur Vorlesung Prof. Dr. Schrewe WS XI-. Ein Student möchte sein neues A Weihnachtschenk, ein Spielzeugauto und eine Loopingbahn testen. Das Auto hat eine Masse von ma g mit Schwungradantrieb (Vollscheibe mit der Masse ms 5 g, Durchmesser DS 4cm) und die Loopingbahn x besteht aus einer horizontaler Anlaufstrecke der Länge lb 5cm und einer Loopingschleife mit Radius RB cm. Das Schwungrad dient nicht nur als P Energiespeicher, sondern auch als Antriebsrad (d. h. die Umfangschwindigkeit des Rades entspricht der Fahrchwindigkeit des Autos). a. Das Auto soll durch die Loopingschleife fahren können. Bestimmen Sie die kleinste Geschwindigkeiten v min, die es im höchsten Punkt der Schleife haben kann, ohne herabzufallen. (Betrachten Sie dazu das Auto näherungsweise als Massenpunkt, der sich reibungsfrei bewegt.) b. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit v P,die das Auto im Punk (P) (Einfahrt in die Loopingschleife) haben muss, um die im Aufgabenteil a. genannten Bedingungen zu erfüllen. c. Skizzieren Sie die Funktion der Normalkraft, die auf das Auto entlang der Fahrtstrecke x wirkt ( x lb RB).Betrachten Sie hierzu die Geschwindigkeit v bei (P), insbesondere v links für xlb und v rechts für x lb, mit jeweils. d. Mit welcher Anfangsdrehzahl muss sich das Schwungrad am Anfangspunkt (A) der Loopingbahn drehen? XI-. Zwei Schwungräder in Form von homogenen Vollzylindern mit den Massen m,8kg und m, 5 kg und dem Radius R R cm haben eine Drehzahl von n 9 min und n 6 min. Die beiden Schwungräder werden gekuppelt. Die Kupplungszeit dauert T,5 s. a. Welche gemeinsame Drehfrequenz haben die Schwungräder nach dem Kuppeln? b. Wie groß ist der Drehimpuls der beiden verkuppelten Schwungräder? c. Berechnen Sie die Veränderung des Drehimpulses vor und nach dem Kupplungsvorgang für beide Schwungräder getrennt. Kommentieren Sie das Ergebnis. d. Welches Drehmoment hat beim Kupplungsvorgang gewirkt? e. Betrachten Sie die Energien: Welche Energien hatten die Schwungräder vor, welche Energie haben sie nach der Kupplung? Gilt der Energieerhaltungssatz? Kommentieren Sie auch dies Ergebnis.

27 Lösungen: m m XI-a. Minimalchwindigkeit: vmin RB g,,44 s s m m XI-b. vp 3,6 s s XI-c. 8 Loopingschleife 6 F n/f g 4 l B höchster Punkt in der Loopingschleife,5,5,5 x / m XI-d. Lösung: XI-a. XI-b. XI-c. XI-d. Drehmoment: XI-e. Relativer Energieverlust: va ns s 5, s D,4 n gem S 74 min L,848 kg m s L,848 kg m s 96 kg m L mr,8 6 s s 4 kg m L m R,8 6 s s dl L,8kg m M,64 Nm dt t,5 s Q,38, 4 4% E 3,569