Grundbegriffe der Analysis

Transkript

1 Kapitel 2 Grundbegriffe der Analysis 2.1 Folgen und Familien Definition (Folge). Sei X eine nichtleere Menge. Unter einer Folge in X versteht man eine Abbildung x : N X. Üblicherweise nennt man für eine gegebene Zahl n N den Funktionswert x(n) das n-te Glied der Folge und bezeichnet ihn mit x n oder x (n). Die Zahl n wird hierbei als der Index des Folgenglieds bezeichnet. Die Folge x : N X selbst wird üblichweise mit (x n ) n N, (x n ) n=1, (x n) oder x bezeichnet. Es ist darüber hinaus üblich eine Folge durch Angabe der ersten Folgenglieder in der Form (x 1,x 2,...) darzustellen. Die Menge aller Folgen in X wird mit X N bezeichnet. Eine Folge ist tatsächlich nichts anderes als eine Funktion, deren Definitionsmenge die Menge der natürlichen Zahlen N ist. Mit einer Folge (x n ) n N verbindet man oft die Vorstellung einer Anordnung von abzählbar unendlich vielen Elementen einer gegebenen Menge X. Das erste Folgenglied ist dabei das erste Element in der Anordnung, das zweite Folgenglied ist das zweite Element usw. Oft ist es sinnvoll, auch solche Funktionen als Folgen zu betrachten, deren Definitionsbereich die Menge N 0 = N {0} oder eine Menge von der Form N {0, 1, 2,..., m} mit m N ist. Eine Folge mit einer solchen Indexmenge stellt man üblicherweise durch (v n ) n= m dar. Wir geben nun einige Beispiele für Folgen an. (a) DieFolge der ungeraden Zahlen (u n ) n N isteinefolgeinn,welchedurchu n := 2n 1 fürallen Ndefiniertist.DieerstenvierFolgengliederlautenu 1 = 1,u 2 = 3,u 3 = 5 und u 4 = 7. Man stellt die Folge (u n ) n N darher gelegentlich auch als (1,3,5,7,...) dar. (b) Ist X eine nichtleere Menge, so wird eine Folge (c n ) n N, welche durch c n := x für alle n N und ein fest gewähltes Element x X definiert ist, als eine konstante Folge bezeichnet. (c) Für jede natürliche Zahl k N definiert man die Folge e (k) {0,1} N durch { e (k) 1 falls n = k, n := 0 falls n k für alle n N. Es gilt also e (1) = (1,0,0,0,...), e (2) = (0,1,0,0,...), e (3) = (0,0,1,0,...) usw. 30

2 2.1. FOLGEN UND FAMILIEN 31 Grundsätzlich gibt es zwei Möglichkeiten, eine Folge zu definieren. Die erste Möglichkeit ist die so genannte explizite Definition oder explizite Darstellung, bei der jedes Folgenglied unabhängig von allen übrigen Folgengliedern definiert wird. Eine explizite Definition einer Folge (x n ) n N ist dabei von der Form x n := F(n) für alle n N, wobei F(n) ein Ausdruck ist, der lediglich vom Index n abhängig sein darf. Die Folgen in den zuvor genannten Beispielen etwa wurden alle explizit definiert. Die zweite Möglichkeit eine Folge zu definieren ist die so genannte rekursive Definition oder rekursive Darstellung. Bei der rekursiven Darstellung gibt man die ersten Glieder der Folge explizit an. Alle übrigen Folgenglieder werde in Abhängigkeit von anderen, bereits bekannten Folgengliedern definiert. Ist X eine nichtleere Menge, so ist eine rekursive Definition einer Folge (x n ) n N in X von der Form x 1 := y 1, x 2 := y 2,. x k := y k, x n := F(n,x n 1,x n 2,...,x n k ) für alle n N mit n k +1, wobei k N eine natürliche Zahl und y 1,y 2,...,y k X vorgegebene Elemente sind. In der rekursiven Definition bezeichnet F(n,x n 1,x n 2,...,x n k+1 ) einen Ausdruck, der lediglich vom Index n des Folgenglieds sowie von den Folgendgliedern x n 1,x n 2,...,x n k+1 abhängig sein darf. Im Fall k = 1 wird eine Folge (x n ) n N in X oftmals auch in der Form x 1 := y 1, x n+1 := F(n,x n ) für alle n N mit y 1 X rekursiv definiert. Hierbei bezeichnet F(n,x n ) einen Ausdruck, der nur von n und x n abhängen darf. Oft ist es von Vorteil, wenn man die explizite Darstellung einer Folge kennt. Ist jedoch nur eine rekursive Definition der Folge bekannt, so kann man versuchen, eine explizite Darstellung zu erraten. Dafür ist es oft hilfreich, einige Folgenglieder mit Hilfe der rekursiven Definition auszurechnen. Die geratene explizite Darstellung kann dannn mittels vollständiger Induktion und unter Verwendung der rekursiven Definition bewiesen werden. Man betrachte dazu auch die nachfolgenden (a) Gegeben sei die Folge (r n ) n N in N, welche gemäß r 1 := 2, r n := r n 1 +2n für alle n N mit n 2 rekursiv definiert ist. Die ersten Glieder dieser Folge lauten r 1 = 2, r 2 = 6, r 3 = 12 und r 4 = 20. Mit etwas Nachdenken erkennt man, dass r 1 = 1 2, r 2 = 2 3, r 3 = 3 4 und r 4 = 4 5 gilt. Die Vermutung ist also, dass r n = n(n+1) für alle n N

3 32 KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE DER ANALYSIS gilt. Dies wäre eine explizite Darstellung der Folge (r n ) n N. Wir beweisen diese Vermutung nun mittels vollständiger Induktion nach n. Für den Induktionsanfang erhält man r 1 = 1 (1+1) = 2, was offenbar richtig ist. Für den Induktionsschritt von n 1 nachnnehmenwiran,dassr n 1 = (n 1)nfürirgendeinenatürlicheZahln Ngilt. Man erhält dann r n = r n 1 +2n = (n 1)n+2n = n 2 n+2n = n 2 +n = n(n+1). Damit ist die Vermutung bewiesen. (b) Gegeben sei die Folge (a n ) n N in Q, welche gemäß a 1 := 1, a n := a n 1 a n 1 +2 für alle n N mit n 2 rekursiv definiert ist. Die ersten Glieder dieser Folge lauten a 1 = 1, a 2 = 1/3, a 3 = 1/7 und a 4 = 1/15. Betrachtet man die Nenner der Brüche, so fällt auf, dass 3 = 4 1 = sowie 7 = 8 1 = und 15 = 16 1 = gilt. Eine naheliegende Vermutung ist also, dass a n = 1 2 n 1 für alle n N gilt. Tatsächlich kann man dies mittels vollständiger Induktion nach n beweisen. Für den Induktionsanfang erhält man a 1 = 1/(2 1 1) = 1/1 = 1. Für den Induktionsschritt nimmt man an, dass a n 1 = 1/(2 n 1 1) für irgendeine natürliche Zahl n N gilt. Man erhält dann a n = a 1 n 1 a n 1 +2 = 2 n n = 1 1+2(2 n 1 1) = n 2 = 1 2 n 1 Damit ist die Vermutung bewiesen. Zum Abschluss dieses Kapitels führen wir noch den nützlichen Begriff der Familie ein. Definition (Familie). Ist X eine nichtleere Menge, so versteht man unter einer Familie in X eine Funktion x : I X, wobei I eine nichtleere Menge ist. Die Menge I wird als die Indexmenge der Familie bezeichnet. Es ist üblich, für jeden Index i I den zugehörigen Funktionswertx(i) X mitx i oderx (i) zubezeichnenundihndasi-temitglied derfamilie zu nennen. Die Familie x : I X selbst wird üblicherweise mit (x i ) i I bezeichnet. In der Regel stellt man sich eine Familie als Zusammenfassung einer beliebigen Anzahl von gleichartigen Objekten (wie z.b. Zahlen, Mengen oder Funktionen) zu einem Ganzen vor. Jedes Objekt wird dabei mit einem Index versehen, so dass es eindeutig identifiziert werden kann. Im Unterschied zu Mengen können Familien ein und dasselbe Objekt mehrfach enthalten. Wir wollen dies anhand einiger Beispiele verdeutlichen. (a) Sei I := {1,2,3} und F := {, }. Dann ist (f i ) i I mit f 1 :=, f 2 :=, f 3 := eine Familie in F, welche aus genau drei Mitgliedern besteht. Das Element tritt genau zweimal als Mitglied in dieser Familie auf, das Element genau einmal. (b) Für jede ganze Zahl k Z sei σ k := sgn(k) das Vorzeichen von k. Dann ist (σ k ) k Z eine Familie in { 1, 0, 1}, welche aus abzählbar unendlich vielen Mitgliedern besteht. Die Zahlen 1 und 1 treten jeweils abzählbar unendlich oft in dieser Familie auf, die Zahl 0 jedoch nur genau einmal.

4 2.1. FOLGEN UND FAMILIEN 33 (c) Für jede natürliche Zahl k N definieren wir die Menge N k := {1,2,...,k}. Dann ist (N k ) k N eine Familie bestehend aus Teilmengen von N. Die Mitglieder dieser Familie sind paarweise verschieden, d.h. es gilt N i N j für alle i,j N mit i j. (d) Für jede reelle Zahl α R sei die Funktion f α : R R, x αx definiert. Dann ist (f α ) α R eine Familie bestehend aus linearen Funktionen von R nach R. Diese Familie besteht aus überabzahlbar unendlich vielen Mitgliedern, welche paarweise verschieden sind. Oft ist es sinnvoll, bestimmte Mitglieder einer gegebenen Familie zu einer neuen Familie zusammenzufassen. Dies führt dann auf den Begriff der Teilfamilie. Definition (Teilfamilie). Sei X eine nichtleere Menge und (x i ) i I eine Familie in X. Sei ferner J I eine Teilmenge der Indexmenge von (x i ) i I und (y j ) j J eine Familie in X, so dass für jeden Index j J ein Index i I mit y j = x i existiert. Dann heißt (y j ) j J eine Teilfamilie von (x i ) i I. Man bezeichnet eine solche Teilfamilie in der Regel mit (x i ) i J. Übungsaufgaben 1. Geben Sie die ersten 10 Folgenglieder der so genannten Fibonacci Folge (f n ) n N an, die folgendermaßen definiert ist f 1 := 1, f 2 := 1, f n := f n 1 +f n 2 für alle n N mit n Geben Sie für die reellen Zahlenfolgen (a n ) n N, (b n ) n N, (c n ) n N und (d n ) n N jeweils eine explizite Darstellung an. Die Folgen sind gemäß a 1 := 1, a n := a n 1 +2n 1, b 1 := 2, b n := b n 1 2, c 1 := 1/2, 1 c n := c n 1 + 2, n d 1 := 1, d n := n 2 d n 1 (n 2) 2 für alle n N mit n 2 rekursiv definiert. Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass die jeweilige explizite Darstellung korrekt ist. 3. Sei (p α ) α R eine Familie von Polynomen, welche gemäß p α (x) = x 2 +(1 α 2 )x 1 für alle x R und alle α R definiert sind. Untersuchen Sie, ob die Polynome f 1 : R R, x x 2, f 2 : R R, x x 2 +x 1, f 3 : R R, x x 2 +2x 1, f 4 : R R, x (x 1)(x+1), Mitglieder dieser Familie sind. Untersuchen Sie auch, wie oft das jeweilige Polynom als Mitglied in der Familie (p α ) α R auftritt.

5 34 KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE DER ANALYSIS 2.2 Algebren Definition (Algebra). Ein Vektorraum V über K wird eine Algebra über K genannt, wenn auf V eine bilineare Funktion V V V, (v,w) vw definiert ist, welche die Multiplikation auf V genannt wird. Ist V eine Algebra über K, so folgt aus der Bilinearität der Multiplikation auf V, dass für alle Vektoren v,v 1,v 2,w,w 1,w 2 V und für alle Skalare α,β K die Gleichungen (v 1 +v 2 )w = v 1 w +v 2 w, (αv)w = α(vw), v(w 1 +w 2 ) = vw 1 +vw 2, v(βw) = β(vw) gelten. Die Multiplikation auf einer Algebra erfüllt also insbesondere die Distributivgesetze. Es wird jedoch nicht gefordert, dass die Multiplation assoziativ oder gar kommutativ ist. Nachfolgend geben wir einige Beispiele für Algebren an. (a) Die Menge der reellen Zahlen ist eine Algebra über R. (b) Die Menge der komplexen Zahlen ist sowohl eine Algebra über C als auch eine Algebra über R. (c) Für jede natürliche Zahl n N ist die Menge R n n eine Algebra über R. Die Multiplikation auf dieser Algebra ist die gewöhnliche Matrixmultiplikation. Diese ist bekanntlich assoziativ, aber nicht kommutativ. (d) Ist V eine Algebra über K, so ist auch die Menge V N aller Folgen in V eine Algebra über K. Addition, skalare Multiplikation und Multiplikation auf V N werden dabei folgengliedweise definiert, d.h. für je zwei Folgen (v n ) n N und (w n ) n N in V und jedes Element α K definiert man (v n ) n N +(w n ) n N := (v n +w n ) n N, α(v n ) n N := (αv n ) n N, (v n ) n N (w n ) n N := (v n w n ) n N. (e) Ist V eine Algebra über K und X eine nichtleere Menge, so ist die Menge aller Funktionen von X nach V eine Algebra über K. Addition, skalare Multiplikation und Multiplikation werden dabei punktweise definiert, d.h. für je zwei Folgen f : X V und g : X V und für jedes Element α K definiert man die Funktionen f +g : X V, αf : X V und fg : X V durch für alle x X. (f +g)(x) := f(x)+g(x), (αf)(x) := αf(x), (fg)(x) := f(x)g(x)

6 2.2. ALGEBREN 35 (f) Die Menge aller Polynome R R, x α 0 +α 1 x+α 2 x 2 + +α n x n mit reellen Koeffizienten α 1,α 2,...,α n R ist eine Algebra über R. Die Multiplikation auf dieser Algebra ist die punktweise Multiplikation, welche sowohl assoziativ als auch kommutativ ist. Wie man anhand der obigen Beispiele sieht, gibt es zahlreiche Mengen, auf denen man eine Addition, eine skalare Multiplikation und eine Multiplikation definieren kann, so dass die Menge zu einer Algebra über K wird. Ist die Multiplikation eine assoziative Verknüpfung, für die ein neutrales Element existiert, so kann man die Elemente der Algebra insbesondere inpolynomeeinsetzen.manbetrachteetwadiealgebrar 2.DieFunktionp : R 2 2 R 2 2, welche durch p(x) = X 2 +2X 3 := X 2 +2X 1 3X 0 für alle X R 2 2 definiert ist, ist ein Polynom vom Grad 2. Setzt man beispielsweise die Matrix A R 2 2, welche durch ( ) 0 1 A := 0 0 gegeben ist, in das Polynom ein, so erhält man die Matrix p(a) = A 2 +2A 31 2 = ( ) Definition (submultiplikative Norm). Sei V eine Algebra über K. Eine auf V, heißt submultiplikativ, wenn vw v w für alle v,w V gilt. Wird ein Vektorraum über K mit einer Norm versehen, so erhält man einen normierten Raum über K. Analog dazu kann man auch eine Algebra über K mit einer Norm versehen. Ist diese submultiplikativ, so erhält man eine normierte Algebra. Definition (normierte Algebra). Sei V eine Algebra über K und eine submultiplikative Norm auf V. Dann heißt das Paar (V, ) eine normierte Algebra über K. Die Submultiplikativität der Norm auf einer normierten Algebra ist quasi das multiplikative Pendant zur Dreiecksungleichung. Nachfolgend geben wir noch einige Beispiele für normierte Algebren an. (a) Die Menge der reellen Zahlen R, versehen mit der Betragsfunktion : R R, ist eine normierte Algebra über R. (b) Die Menge der komplexen Zahlen C, versehen mit der komplexen Betragsfunktion : C R, ist sowohl eine normierte Algebra über R als auch eine normierte Algebra über C.

7 36 KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE DER ANALYSIS Übungsaufgabe 1. Zeigen Sie, dass der Vektorraum R 2 zusammen mit der Funktion R 2 R 2 R 2, welche durch ( ) x1 y x y := 2 +x 2 y 1 x 2 y 2 für alle x = (x 1,x 2 ) T R 2 und alle y = (y 1,y 2 ) T R 2 definiert ist, eine Algebra über R ist. 2. Die Funktion max : R 2 2 R, welche durch A max := max { A 11, A 12, A 21, A 22 } für alle A R 2 2 ist, ist eine Norm auf R 2 2. Zeigen Sie anhand eines Gegenbeispiels, dass diese Norm nicht submultiplikativ ist. 3. Wir betrachten die Menge {( ) a b M := b a } R 2 2 a,b R und die Funktion M : M R, welche durch A 2 M := a2 +b 2 für alle A M mit ( ) a b A = b a definiert ist. Zeigen Sie, dass M eine Algebra auf R ist. Zeigen Sie, dass M eine Norm auf M ist. Zeigen Sie, dass (M, M ) eine normierte Algebra ist.

8 2.3. INFIMUM, SUPREMUM, MINIMUM UND MAXIMUM Infimum, Supremum, Minimum und Maximum Definition (nach unten beschränke Menge). Sei M eine Teilmenge von R. Ein reelle Zahl u R heißt eine untere Schranke von M, wenn u x für alle x M gilt. Existiert eine solche untere Schranke, so nennt man die Menge M nach unten beschränkt. Definition (nach oben beschränkte Menge). Sei M eine Teilmenge von R. Ein reelle Zahl o R heißt eine obere Schranke von M, wenn x o für alle x M gilt. Existiert eine solche obere Schranke, so nennt man die Menge M nach oben beschränkt. Eine Menge M R ist offenbar nicht nach unten beschränkt, wenn für jede reelle Zahl y R ein Element x M existiert, so dass x < y gilt. Ebenso die Menge M nicht nach oben beschränkt, wenn für jede reelle Zahl y R ein Element x M existiert, so dass y < x gilt. Nachfolgend geben wir einige Beispiele für Teilmengen von R an, welche nach unten oder nach oben beschränkt sind. (a) Offenbar gilt für jede reelle Zahl a 1 und jede natürliche Zahl n N die Ungleichung a 1. Daher ist jede reelle Zahl a 1 eine untere Schranke von N, und N ist somit nach unten beschränkt. Die Menge N ist jedoch nicht nach oben beschränkt, da man zu jeder reellen Zahl x R eine natürliche Zahl n N finden kann, so dass n > x gilt. Daher existiert keine obere Schranke von N. (b) Sei (a, b) ein nichtleeres, offenes Intervall mit Intervallgrenzen a, b R. Dann ist jede reelle Zahl u a eine untere Schranke von (a,b). Ebenso ist jede reelle Zahl o b eine obere Schranke für (a,b). Das Intervall (a,b) ist also eine nach unten und nach oben beschränkte Menge. Dasselbe gilt für nichtleere, abgeschlossene Intervalle [a, b], sowie für Intervalle der Form [a,b) und (a,b] mit a,b R. (c) Intervalle der Form (,b) und (,b] mit b R sind durch jede reelle Zahl o b nach oben, nicht aber nach unten beschränkt. (d) Intervalle der Form (a, ) und [a, ) mit a R sind durch jede reelle Zahl u a nach unten, nicht aber nach oben beschränkt. Ist u R untere Schranke einer Menge M R, so ist jede reelle Zahl v u ebenfalls eine untere Schranke von M. Ebenso ist jede reelle Zahl p o obere Schranke einer Menge M R, wenn die Zahl o R eine obere Schranke von M ist. Daher macht es keinen Sinn, von der oberen Schranke oder der unteren Schranke einer Menge zu sprechen. Sinnvoll ist jedoch die Suche nach einer möglichst großen unteren Schranke bzw. einer möglichst kleinen oberen Schranke. Definition (Infimum). Sei M R eine nach unten beschränkte Menge, und sei u R eine untere Schranke von M mit der Eigenschaft, dass für jede positive Zahl ε > 0 die Zahl u + ε keine untere Schranke von M ist. Dann heißt u das Infimum von M, und man bezeichnet u mit infm. Definition (Supremum). Sei M R eine nach oben beschränkte Menge, und sei o R eine obere Schranke von M mit der Eigenschaft, dass für jede positive Zahl ε > 0 die Zahl o ε keine obere Schranke von M ist. Dann heißt o das Supremum von M, und man bezeichnet o mit supm.

9 38 KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE DER ANALYSIS Gemäß Definition ist das Infimum die größte untere Schranke einer Menge, und das Supremum die kleinste obere Schranke. Die Existenz eines Infimums und eines Supremums wird für nichtleere, nach unten bzw. nach oben beschränkte Teilmengen der reellen Zahlen axiomatisch festgelegt. Axiom (Vollständigkeitsaxiom). Jede nichtleere, nach unten beschränkte Teilmenge von R besitzt ein Infimum. Jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge von R besitzt ein Supremum. Es sollte hier noch erwähnt werden, dass man für eine Teilmenge M der reellen Zahlen oft infm = schreibt, falls M nicht nach unten beschränkt ist. Analog dazu schreibt man supm =, falls M nicht nach oben beschränkt ist. Nachfolgend geben wir einige Beispiele für Infima und Suprema von Mengen an. (a) Betrachtet man die Menge der natürlichen Zahlen N als Teilmenge von R, so ist N nach unten beschränkt. Genauer: Jede reelle Zahl u 1 ist eine untere Schranke von N. Für jede positive Zahl ε > 0 hingegen existiert eine natürliche Zahl n N, so dass 1+ε > n gilt, nämlich n = 1. Also ist 1 die größte untere Schranke und damit das Infimum von N, d.h. infn = 1. (b) Für jedes nichtleere, offene Intervall (a, b), für jedes nichtleere, abgeschlossene Intervall [a,b] und für alle nichtleeren Intervalle der Form [a,b) oder (a,b] mit Intervallgrenzen a,b R gilt inf(a,b) = inf[a,b] = inf[a,b) = inf(a,b] = a, sup(a,b) = sup[a,b] = sup[a,b) = sup(a,b] = b. Man beachte, dass die Zahl a kein Element der Intervalle (a,b) und (a,b] ist, und dass die Zahl b kein Element der Intervalle (a,b) und [a,b) ist. Anhand der zuletzt aufgeführten Beispiele erkennt man, dass das Infimum einer Menge M R nicht notwendigerweise ein Element von M sein muss. Dasselbe gilt für das Supremum von M. Es gibt jedoch auch Mengen M R für die infm M bzw. supm M gilt. In diesem Fall bezeichnet man das Infimum bzw. das Supremum als das Minimum bzw. das Maximum der Menge. Definition (Minimum). Sei M R eine nach unten beschränkte Menge. Eine reelle Zahl x R wird das Minimum von M genannt, wenn x M und x = infm gilt. Das Minimum von M wird mit minm bezeichnet. Definition (Maximum). Sei M R eine nach oben beschränkte Menge. Eine reelle Zahl x R wird das Maximum von M genannt, wenn x M und x = supm gilt. Das Maximum von M wird mit maxm bezeichnet.

10 2.3. INFIMUM, SUPREMUM, MINIMUM UND MAXIMUM 39 (a) (b) Abbildung 2.1: (a) Infimum und Supremum eines nichtleeren, offenen Intervalls (a, b). (b) Minimum und Maximum eines nichtleeren, abgeschlossenen Intervalls [a, b] Das Minimum einer nach unten beschränkten Menge M R ist also ein Element von M, welches gleichzeitig eine untere Schranke von M ist. Es folgt daher, dass min M das kleinste Element von M ist. Ebenso ist maxm das größte Element von M. Es muss betont werden, dass eine nach unten bzw. nach oben beschränkte Menge M R nicht notwendigerweise ein kleinstes bzw. größtes Element besitzt. Es existiert lediglich eine größte untere bzw. eine kleinste obere Schranke. Daher besitzt jede nichtleere, nach unten beschränkte Teilmenge von R zwar ein Infimum, nicht aber unbedingt ein Minimum. Ebenso besitzt jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge von R ein Supremum, nicht aber unbedingt ein Maximum. Man betrachte dazu die Abbildung 2.1 wie auch die nachfolgenden (a) Wir haben bereits gezeigt, dass infn = 1 gilt. Da auch 1 N gilt, ist die Zahl 1 nicht nur die größte untere Schranke von N sondern auch das kleinste Element von N, d.h. es gilt minn = 1. (b) Seien x 1,x 2,...,x n R reelle Zahlen mit x 1 x 2 x n. Dann gilt min{x 1,x 2,...,x n } = x 1, max{x 1,x 2,...,x n } = x n. (c) Sei [a, b] ein nichtleeres, abgeschlossenes Intervall mit a, b R. Dann gilt min[a,b] = a, max[a,b] = b. (d) Für nichtleere Intervalle der Form [a,b) und (a,b] mit Intervallgrenzen a,b R gilt min[a,b) = a, max(a,b] = b. Außerdem gilt sup[a,b) = b und inf(a,b] = a. Da jedoch b [a,b) und a (a,b] gilt, besitzt das Intervall [a, b) kein Maximum und das Intervall (a, b] kein Minimum. (e) Jedes nichtleere, offene Intervall (a, b) mit Intervallgrenzen a, b R besitzt weder ein Mininum noch ein Maximum. Man überlegt sich leicht, dass jede nach unten beschränkte Teilmenge von Z ein Minimum besitzt. Ebenso offensichtlich ist, dass jede nach oben beschränkte Teilmenge von Z ein Maximum besitzt. Daher kann man die folgenden beiden Funktionen definieren.

11 40 KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE DER ANALYSIS Definition (Abrundungsfunktion, Gauß Klammer). Die Abrundungsfunktion oder Gaußklammer R Z, x x ist durch für alle x R definiert. x := max{k Z k x} Definition (Aufrundungsfunktion). Die Aufrundungsfunktion R Z, x x ist durch x := min{k Z x k} für alle x R definiert. Die Abrundungsfunktion wird gelegentlich auch mit [ ] bezeichnet. Für jede reelle Zahl x R nennt man den zugehörigen Funktionswert der Abrundungsfunktion x den Ganzteil von x. Die Zahl x x nennt man den Nachkommaanteil von x. Offenbar ist eine Zahl k R genau dann Element von Z, wenn ihr Nachkommaanteil verschwindet, d.h. wenn k = k bzw. k k = 0 gilt. Für jede reelle Zahl x R gilt ferner die Abschätzung x x x. Daraus folgt insbesondere, dass man für jede noch so große, positive nichtnegative Zahl R 0 eine natürliche Zahl N N wählen kann, so dass N > R gilt: Man wählt einfach die Zahl N := R + 1. Außerdem existiert für jede noch so kleine, positive reelle Zahl ε > 0 eine natürliche Zahl n N, so dass 1 n < ε gilt, nämlich n := 1/ε + 1. Obwohl diese Überlegungen trivial erscheinen, werden sie doch häufig in Beweisen benötigt. Beschränktheit nach unten und Beschränktheit nach oben kann man auch für reellwertige Funktionen definieren. Definition (nach unten beschränkte Funktion). Sei X eine nichtleere Menge. Eine Funktion f : X R heißt nach unten beschränkt, wenn ihre Wertemenge nach unten beschränkt ist. Definition (nach oben beschränkte Funktion). Sei X eine nichtleere Menge. Eine Funktion f : X R heißt nach oben beschränkt, wenn ihre Wertemenge nach oben beschränkt ist. Die Wertemenge f(x) einer Funktion f : X R ist bekanntlich durch f(x) := { y R x X : f(x) = y } gegeben. Entsprechend definiert man das Infimum einer nach unten beschränkten Funktion f : X R als inf f(x) := inff(x) x X Wenn außerdem ein Element x X existiert, so dass f(x ) = inff(x) gilt, definiert man das Minimum der Funktion f als min f(x) := f(x ). x X

12 2.3. INFIMUM, SUPREMUM, MINIMUM UND MAXIMUM 41 Das Element x wird dann ein Minimierer der Funktion f genannt. Für eine nach oben beschränkte Funktion f : X R definiert man das Supremum durch supf(x) := supf(x). x X Falls außerdem ein Element x X existiert, für dass f(x ) = supf(x) gilt, so definiert man das Maximum der Funktion f als max f(x) := x X f(x ). Das Element x wird dann ein Maximierer von f genannt. (a) Die Funktion f : R R, welche durch f(x) := x 2 für alle x R definiert ist, ist beispielsweise durch 0 nach unten beschränkt, und es gilt inf f(x) = min f(x) = 0 x R x X Wegen f(0) = 0 ist die Zahl 0 ein Minimierer von f. Tatsächlich ist 0 der einzige Minimierer von f, wie man leicht zeigen kann. Die Funktion f ist nicht nach oben beschränkt. (b) Die Funktion g : R\{0} R, welche durch g(x) := 1/x 2 für alle x R\{0} definiert ist, ist nach unten beschränkt, und es gilt inf g(x) = 0. x R\{0} Allerdings besitzt die Funktion g kein Minimum, da g(x) > 0 für alle x R \ {0} gilt. Die Funktion g ist außerdem nicht nach oben beschränkt. Reelle Zahlenfolgen sind bekanntlich nichts anderes als Funktionen von N nach R. Daher definiert man nach unten bzw. nach oben beschränkte Folgen in R wie folgt. Definition (nach unten beschränkte Folge). Eine Folge in R heißt nach unten beschränkt, wenn die Menge ihrer Folgenglieder nach unten beschränkt ist. Definition (nach oben beschränkte Folge). Eine Folge in R heißt nach oben beschränkt, wenn die Menge ihrer Folgenglieder nach oben beschränkt ist. Die Menge der Folgenglieder einer reellen Zahlenfolge (a n ) n N ist durch {a n n N} = {a 1,a 2,a 3,...} gegeben. In Analogie zu den nach unten beschränkten Teilmengen von R definiert man das Infimum einer nach unten beschränkten reellen Zahlenfolge (a n ) n N als das Infimum der Menge aller Folgenglieder, d.h. man definiert inf a n := inf{a n n N}. n N

13 42 KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE DER ANALYSIS Falls außerdem eine natürliche Zahl n N existiert, so dass a n = inf{a n n N} gilt, definiert man das Minimum der Folge (a n ) n N als min n N a n := a n. Das Supremum einer nach oben beschränkten reellen Zahlenfolge (a n ) n N definiert man gemäß supa n := sup{a n n N}. n N Wenn außerdem eine natürliche Zahl n N existiert, für die a n = sup{a n n N} gilt, dann definiert man das Maximum der Folge als max n N a n := a n. Gelegentlich werden das Infimum, das Minimum, das Supremum und das Maximum einer reellenzahlenfolge(a n ) n N auchmitinf(a n ) n N,min(a n ) n N,sup(a n ) n N undmax(a n ) n N bezeichnet. (a) Die so genannte Folge der Quadratzahlen (q n ) n N, welche durch q n := n 2 für alle n N definiert ist, ist beispielsweise durch 1 nach unten beschränkt, und es gilt inf q n = min q n = 1. n N n N Die Folge (q n ) n N ist jedoch nicht nach oben beschränkt. (b) Die so genannte Folge der Stammbrüche (s n ) n N, welche durch s n := 1/n für alle n N definiert ist, ist nach oben beschränkt, und es gilt sups n = max s n = 1. n N n N Die Folge (s n ) n N ist außerdem nach unten beschränkt mit inf s n = 0. n N Da jedoch 1/n 0 für alle n N gilt, besitzt die Folge der Stammbrüche kein Minimum. Übungsaufgaben 1. Gegeben seien die reellen Zahlen x 1 := 3/2, x 2 := π, x 3 := 2 und x 4 := log 10 (124). Berechnen Sie die ganzen Zahlen x i und x i für i = 1,2,3,4. 2. Skizzieren Sie die Funktionsgraphen der Funktionen [ 3,3] R, x x und [ 3,3] R, x x. 3. Bestimmen Sie, falls dieses existiert, das Infimum, das Supremum, das Minimum und das Maximum der folgenden Teilmengen von R. M 1 = {x 2 x (0,1]} M 2 = { 12,1,0, 4}, M 3 = [ 2, 1) (1, ), M 4 = {2 k k Z}

14 2.3. INFIMUM, SUPREMUM, MINIMUM UND MAXIMUM Bestimmen Sie, falls dieses existiert, das Infimum, das Supremum, das Minimum und das Maximum der reellen Zahlenfolgen (a n ) n N, (b n ) n N, (c n ) n N und (d n ) n N, welche durch für alle n N definiert sind. a n := 4n n 2, b n := ( 1)n n, ( πn ) c n := sin, 2 d 1 := 4, d n+1 := d n /2 5. Bestimmen Sie, falls dieses existiert, das Infimum, das Supremum, das Minimum und das Maximum der nachfolgend angegebenen Funktionen. f 1 : [1,2) R, x 3x, f 2 : R R, x x 3, f 3 : [0, ) R, x x, f 4 : (0,1] R, x 1/x.

15 44 KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE DER ANALYSIS 2.4 Monotonie Definition (monoton wachsende Funktion). Sei D R eine nichtleere Menge. Eine Funktion f : D R heißt monoton wachsend, wenn f(x) f(y) für alle x,y D mit x y gilt. Definition (streng monoton wachsende Funktion). Sei D R eine nichtleere Menge. Eine Funktion f : D R heißt streng monoton wachsend, wenn f(x) < f(y) für alle x,y D mit x < y gilt. Definition (monoton fallende Funktion). Sei D R eine nichtleere Menge. Eine Funktion f : D R heißt monoton wachsend, wenn f(x) f(y) für alle x,y D mit x y gilt. Definition (streng monoton fallende Funktion). Sei D R eine nichtleere Menge. Eine Funktion f : D R heißt streng monoton fallend, wenn f(x) > f(y) für alle x,y D mit x < y gilt. Die Monotonie einer Funktion f : D R, wobei D R eine nichtleere Menge ist, lässt sich bekannterweise am Funktionsgraphen graph(f) := {(x,y) T R 2 x D,y = f(x)} ablesen. Falls eine solcher Graph von links nach rechts stets ansteigt, so ist die Funktion monoton wachsend. Verläuft der Graph dabei an keiner Stelle waagrecht, so ist die Funktion streng monoton wachsend. Falls der Graph von links nach rechts stets abfällt, ist die Funktion monoton fallend. Verläuft der Graph dabei an keiner Stelle waagrecht, so ist die Funktion streng monoton fallend (siehe auch Abbildun 2.2). (a) Eine affine Funktion g : R R, welche für gegebene reelle Zahlen m,c R durch g(x) = mx+c für alle x R definiert ist, ist genau dann streng monoton wachsend bzw. streng monoton fallend, wenn m > 0 bzw. m < 0 gilt. (b) Jede konstante Funktion ist sowohl monoton wachsend als auch monoton fallend. Ist D R eine nichtleere Menge, so wird eine Funktion f : D R konstant genannt, wenn eine Zahl y 0 R existiert, so dass f(x) = y 0 für alle x D gilt. Wir erinnern uns, dass Folgen nichts anderes sind als Funktionen, deren Definitionsmenge die Menge der natürlichen Zahlen N ist. Daher kann man den Monotoniebegriff auch auf Folgen übertragen. Dementsprechend heißt eine Folge (a n ) n N in R monoton wachsend, wenn a n a n+1 für alle n N gilt. Die Folge heißt streng monoton wachsend, wenn a n < a n+1 für alle n N gilt. Die Folge wird monoton fallend genannt, wenn a n a n+1

16 2.4. MONOTONIE 45 (a) (b) (c) (d) Abbildung 2.2: Funktionsgraphen einer (a) monoton wachsenden, (b) streng monoton wachsenden, (c) monoton fallenden, (d) streng monoton fallenden Funktion von R nach R. für alle n N gilt. Falls a n > a n+1 für alle n N gilt, wird die Folge streng monoton fallend genannt. Die Monotonie einer Folge in R wird letztlich von der Ordnungsrelation auf R bestimmt. Man kann den Monotoniebegriff jedoch auch auf Folgen in einer beliebigen Menge X übertragen, sofern auf X eine Ordnungsrelation definiert ist. Wir geben hier zwei Beispiele dafür an. (a) Die Teilmengenrelation ist bekanntlich eine Ordnungsrelation auf P(N), der PotenzmengevonN.DefiniertmandieFolge(N n ) n N inp(n)gemäßn n := {1,2,...,n} für alle n N, so ist (N n ) n N eine monoton wachsende Folge bezüglich der Teilmengenrelation. Es gilt nämlich M n M n+1 für alle n N. (b) Die Teilbarkeitsrelation ist eine Ordnungsrelation auf N. Definiert man die Folge (f n ) n N gemäß f n := n! = n(n 1) 1 für alle n N, so gilt f n f n+1 (f n ist ein Teiler von f n+1 ) für alle n N. Also ist (f n ) n N eine monoton wachsende Folge bezüglich der Teilbarkeitsrelation. Zum Abschluss dieses Abschnitts führen wir noch den Begriff der Teilfolge ein. Definition (Teilfolge). Sei X eine nichtleere Menge und (x n ) n N eine Folge in X. Eine Folge (y n ) n N in X heißt eine Teilfolge von (x n ) n N, wenn eine streng monoton wachsende Funktion ϕ : N N existiert, so dass y n = x ϕ(n) für alle n N gilt. Die Folge (y n ) n N wird dann auch mit (x ϕ(n) ) n N bezeichnet.

17 46 KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE DER ANALYSIS (a) Sei (s n ) n N die Folge R, welche durch s n := ( 1) n für alle n N gegeben ist. Dann ist beispielsweise die Folge (e n ) n N, welche durch e n := 1 für alle n N gegeben ist, eine Teilfolge von (s n ) n N. Es gilt nämlich e n = s 2n für alle n N. (b) Die Folge (s n ) n N aus Teil (a) ist eine Teilfolge der Folge (z n ) n N in C, welche durch z n := i n für alle n N definiert ist. Hierbei bezeichnet i die imaginäre Einheit. Es gilt nämlich s n = z 2n für alle n N. Auch die Folge (e n ) n N aus Teil (a) ist eine Teilfolge von (z n ) n N. Es gilt nämlich e n = s 2n = z 4n für alle n N. Übungsaufgaben 1. Untersuchen Sie die reellen Zahlenfolgen (a n ) n N, (b n ) n N, (c n ) n N und (d n ) n N hinsichtlich ihrer Monotonie. Die Folgen sind dabei durch für alle n N definiert. a n := 1 2 n b n := 2 n, ( πn ) c n := cos, 2 d 1 := 1, d n+1 := 1+2d n 2. Geben Sie jeweils die ersten 5 Folgenglieder der Teilfolgen (a 2n ) n N, (a n 2) n N, (a 6n+1 ) n N und (a n! ) n N der Folge (a n ) n N an, welche durch 1 falls n 0 mod 3, a n := 2 falls n 1 mod 3, 3 falls n 2 mod 3 für alle n N definiert ist. 3. Entscheiden Sie, ob die Folgen (a n ) n N, (b n ) n N, (c n ) n N und (d n ) n N Teilfolgen der Folge (x n ) n N in R sind. Die Folge (x n ) n N ist dabei durch x n := n/2 für alle n N definiert. Die übrigen Folgen sind gemäß a n := n, b n := n/3, c n := n 2, d n := 4n n 2 für alle n N definiert. Für jede reelle Zahl α R bezeichnet hierbei α die kleinste ganze Zahl, welche größer oder gleich α ist. Die ersten Glieder der Folge (x n ) n N lauten dementsprechend x 1 = x 2 = 1, x 3 = x 4 = 2, x 5 = x 6 = 3 u.s.w.

18 2.5. GRENZWERTE VON FOLGEN Grenzwerte von Folgen Definition (konvergente Folge, Grenzwert). Sei (V, ) ein normierter Raum über K. Eine Folge (v n ) n N in V heißt konvergent, wenn ein Vektor v V existiert, so dass für jede positive Zahl ε > 0 eine natürliche Zahl N N existiert, so dass v n v < ε für alle n N gilt. Der Vektor v heißt in diesem Fall der Grenzwert der Folge, und man sagt, dass die Folge (v n ) n N gegen v konvergiert. Außerdem schreibt man oder auch v n v (n ). lim v n = v n Definition (divergente Folge). Sei (V, ) ein normierter Raum über K. Eine Folge in V heißt divergent, wenn sie nicht konvergent ist. Anschaulich gesprochen konvergiert eine Folge genau dann gegen einen bestimmten Grenzwert, wenn die Folgenglieder für wachsende Indizes diesem Grenzwert immer näher kommen. Man sagt auch, dass die Folgenglieder einer konvergenten Folge, dem Grenzwert beliebig nahe kommen. Dabei ist zu beachten, dass der Grenzwert selbst ein Folgenglied sein kann. Im allgemeinen ist dies jedoch nicht der Fall. Der nachfolgende Satz zeigt, weshalb es sinnvoll ist, von dem Grenzwert einer konvergenten Folge zu sprechen. Satz 2.1. Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig bestimmt. Eine spezielle Klasse konvergenter Folgen bilden die so genannten Nullfolgen. Definition (Nullfolge). Sei (V, ) ein normierter Raum über K. Eine Folge in V heißt Nullfolge, wenn sie gegen den Nullvektor 0 V konvergiert. Ist (V, ) ein normierter Raum, so konvergiert eine Folge (v n ) n N offenbar genau dann gegen einen Vektor v V, wenn ( v n v ) n N eine Nullfolge ist, d.h. wenn lim v n v = 0 n gilt. In den nachfolgenden Beispielen geben wir die Grenzwerte einiger grundlegender Zahlenfolgen an. Vereinzelt geben wir eine kurze Begründung für das Resultat an. (a) Für jede reelle Zahl α R, und für jede reelle Zahl β R, welche n+β 0 für alle n N erfüllt, gilt α lim n n+β = 0. Ist nämlich ε > 0 eine beliebig gewählte, positive Zahl, so existiert eine natürliche Zahl N N, so dass n+β > α/ε für alle n N mit n N gilt. Daraus folgt, dass α/(n+β) 0 < ε für alle n N mit n N gilt. Also ist die Folge (a n ) n N, definiert durch a n := α/(n+β) für alle n N, eine Nullfolge in R.

19 48 KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE DER ANALYSIS (b) Für jede reelle Zahl β R und für jede reelle Zahl α R, welche n+β 0 für alle n N erfüllt, gilt n+α lim n n+β = 1. Es gilt nämlich n+α n+β 1 = α β n+β, und in Beispiel (a) wurde gezeigt, dass die Folge (b n ) n N, definiert durch b n := (α β)/(n+β) für alle n N, eine Nullfolge in R ist. (c) Für jede komplexe Zahl q C mit q < 1 gilt lim n qn = 0. (d) Für jede Nullfolge (a n ) n N in C und für jede natürliche Zahl p N gilt p an = 0. lim n Wählt man nämlich eine beliebige, positive Zahl ε > 0, dann gilt auch ε p > 0. Da (a n ) n N eine Nullfolge ist, existiert eine natürliche Zahl N N, so dass a n < ε p für alle n N mit n N gilt. Zieht man auf beiden Seiten der Ungleichung die p-te Wurzel, so erhält man p a n 0 = a n < ε p für alle n N mit n N. (e) Es gilt lim n n n = 1. (f) Für jede komplexe Zahl q C mit q < 1 und jede natürliche Zahl p N gilt lim n np q n = 0. (g) Sei (V, ) ein normierter Raum über K, und sei (v n ) n N eine konstante Folge in V, d.h. es existiere ein Vektor v 0 V, so dass v n := v 0 für alle n N gilt. Dann konvergiert (v n ) n N gegen v 0. Die Eigenschaft einer Folge, konvergent oder nicht konvergent zu sein, wird oft als das Konvergenzverhalten der Folge bezeichnet. Der folgende Satz liefert ein wichtiges Resultat hinsichtlich des Konvergenzverhaltens der Teilfolgen einer konvergenten Folge. Satz 2.2. Sei (V, ) ein normierter Raum über K. Eine Folge (v n ) n N in V konvergiert genau dann gegen einen Grenzwert v V, wenn alle Teilfolgen von (v n ) n N gegen v konvergieren. Satz 2.2 liefert offenbar auch ein notwendiges Kriterium für die Konvergenz einer Folge. Falls man nämlich aus einer beliebigen Folge zwei Teilfolgen extrahieren kann, die gegen unterschiedliche Grenzwerte konvergieren, so folgt aus Satz 2.2, dass die ursprüngliche Folge nicht konvergent sein kann. Als nächstes untersuchen wir, was man über die Normen der Folgenglieder einer konvergenten Folge aussagen kann.

20 2.5. GRENZWERTE VON FOLGEN 49 Satz 2.3. Sei (V, ) ein normierter Raum, und sei (v n ) n N eine konvergente Folge in V. Dann gilt lim v n = lim v n. n n Als nächstes wollen wir einige Resultate zusammengestellen, die es erlauben, Grenzwerte von bestimmten Folgen aus bereits bekannten Grenzwerten zu berechnen. Die nachfolgenden zwei Sätze liefern solche Rechenregeln für Grenzwerte. Satz 2.4. Sei (V, ) ein normierter Raum über K. Seien außerdem (v n ) n N und (w n ) n N zwei konvergente Folgen in V, und sei (α n ) n N eine konvergente Folge in K. Dann gilt ( ) (1) lim vn +w n = lim v n + lim w n. n n n ( ) ( )( ) (2) lim αn v n = lim α n lim v n. n n n Ist (V, ) eine normierte Algebra über K, so gilt außerdem ( ) ( )( ) (3) lim vn w n = lim v n lim w n. n n n Man beachte, dass die Aussage in Teil(2) von Satz 2.4 insbesondere auch für jede konstante Folge in K gilt. Eine konstante Folgen (α n ) n N ist bekanntlich durch α n := α für alle n N gegeben, wobei α K eine fest gewählte Zahl ist. Diese Zahl ist dann auch der Grenzwert von (α n ) n N. Aus Teil (2) von Satz 2.4 folgt daher, dass ( ) lim αvn = α lim v n n n für jede konvergente Folge (v n ) n N und für jede Zahl α K gilt. Da außerdem v w = v + ( 1)w für beliebige Vektoren v,w V gilt, implizieren die Teile (1) und (2) von Satz 2.4 auch, dass ( ) lim vn w n = lim v n lim w n n n n für alle konvergenten Folge (v n ) n N und (w n ) n N gilt. Die bisher eingeführten Rechenregeln für die Addition, die skalare Multiplikation und die Multiplikation von Grenzwerten gelten alle konvergenten Folgen in einer normierten Algebra V über K. Im Fall V = R oder V = C kann man darüber hinaus eine Rechenregel für die Division von Grenzwerten beweisen. Satz 2.5. Sei (α n ) n N eine konvergente Folge in K \ {0}, deren Grenzwert ebenfalls ein Element von K\{0} ist. Dann gilt lim n 1 α n = 1 lim α. n n Laut Satz 2.5 konvergiert die Folge der Kehrbrüche einer konvergenten Folge in K gegen den Kehrbruch des Grenzwertes. Da bekanntlich α/β = α (1/β) für alle α,β K gilt, folgt aus Teil (3) von Satz 2.4 und Satz 2.5 die Rechenregel α lim α n n n lim = n β n lim β n n

21 50 KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE DER ANALYSIS für alle konvergenten Folgen (α n ) n N in K und alle konvergenten Folgen (β n ) n N in K\{0}, sofern der Grenzwert der Folge (β n ) n N von Null verschieden ist. Zum Abschluss dieses Kapitels wenden wir uns noch zwei Spezialfällen von Divergenz zu, die man für reelle Zahlenfolgen definiert. Definition (gegen bestimmt divergente Folge). Eine Folge (a n ) n N in R heißt gegen bestimmt divergent, wenn für jede reelle Zahl R R eine natürliche Zahl N N existiert, so dass a n > R für alle n N mit n N gilt. In diesem Fall schreibt man oder a n (n ). lim a n = n Definition (gegen bestimmt divergente Folge). Eine Folge (a n ) n N in R heißt gegen bestimmt divergent, wenn für jede reelle Zahl R R eine natürliche Zahl N N existiert, so dass a n < R für alle n N mit n N gilt. In diesem Fall schreibt man oder a n (n ). lim a n = n Man nennt eine reelle Zahlenfolge ganz allgemein bestimmt divergent, wenn sie entweder gegen oder gegen bestimmt divergent ist. Man sollte sich klar machen, dass jede nach bestimmt divergente Folge nach unten, nicht aber nach oben beschränkt ist. Die Umkehrung dieser Aussage gilt jedoch nicht. Es gibt nämlich reelle Zahlenfolgen die nach unten, nicht aber nach oben beschränkt sind, und die nicht gegen bestimmt divergieren. Man betrachte hierzu auch die nachfolgenden (a) Die reelle Zahlenfolge (a n ) n N, welche durch a n := n für alle n N definiert ist, ist gegen bestimmt divergent. (b) Die reelle Zahlenfolge (b n ) n N, welche durch b n := ( 2) n für alle n N definiert ist, ist divergent, aber nicht bestimmt divergent. (c) Die nach unten, nicht aber nach oben beschränkte reelle Zahlenfolge (c n ) n N, welche durch { 1 falls n gerade ist, c n := n 2 falls n ungerade ist für alle n N definiert ist, ist divergent, aber nicht bestimmt divergent. Das nachfolgende Lemma ist oft hilfreich, wenn man reelle Zahlenfolgen auf Konvergenz hin untersucht. Lemma 2.6. Sei (a n ) n N eine bestimmt divergente Zahlenfolge in R\{0}. Dann gilt lim n 1 a n = 0.

22 2.5. GRENZWERTE VON FOLGEN 51 Beweis. Da die Folge (a n ) n N bestimmt divergiert, ist die Folge ( a n ) n N gegen bestimmt divergent. Wählt man eine beliebige positive Zahl ε > 0, dann existiert demnach eine natürliche Zahl N N derart, dass a n > 1/ε für alle n N mit n N gilt. Entsprechend gilt dann 1/ a n < ε für alle n N mit n N. Damit ist gezeigt, dass die Folge (1/a n ) n N eine Nullfolge ist. Die Frage ob eine Folge konvergiert oder divergiert ist nicht immer leicht zu beantworten. Wir werden im Kapitel 4 auf diese Frage näher eingehen. Übungsaufgaben 1. Die konvergenten, reellen Zahlenfolgen (a n ) n N, (b n ) n N, (c n ) n N, (d n ) n N und (e n ) n N sind durch a n := b n := n n 2, 2n+1 3n 2 +2n+1, c n := n n 2, d n := n+ n 3n, e n := (2n 1)(3n 2)(n+1) (5n 1)(2n+1)(3n 1) für alle n N definiert. Berechnen Sie die Grenzwerte dieser Folgen. Um den Grenzwert der Folge (c n ) n N zu berechnen, sollten Sie zunächst mittels vollständiger Induktion nach n zeigen, dass n = n(n+1)/2 für alle n N gilt. 2. Untersuchen Sie die reellen Zahlenfolgen (a n ) n N, (b n ) n N, (c n ) n N und (d n ) n N auf Konvergenz hin, und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert. Die Folgen seien dabei durch für alle n N definiert. a n := n 1 n, b n := n n 2, 2 n 4 c n :=, 4 n d n := n(n 2 +1) n 3 3. Sei (V, ) eine normierte Algebra über K, sei (v n ) n N eine konvergente Folge in V mit Grenzwert v, und sei p : V V, x α 0 + α 1 x + α 2 x α n x n ein Polynom mit Koeffizienten in α 0,α 1,...,α n K. Begründen Sie, weshalb die Folge (p(v n )) n N gegen p(v) konvergiert. 4. Zeigen Sie, dass die reellen Zahlenfolgen (a n ) n N, (b n ) n N und (c n ) n N, definiert durch für alle n N, divergent sind. a n := ( 1) n, { 1 falls n ungerade ist, b n := n/2 falls n gerade ist, c n := n2 2 n 1

23 Lernzielkontrolle Nach dem Durcharbeiten diese Kapitels sollten Sie wissen, was eine Folge und was eine Teilfolge ist.... zu einer gegebenen rekursiven Definition die explizite Darstellung einer reellen Zahlenfolge bestimmen können.... wissen, was eine Familie und was eine Teilfamilie ist.... wissen, was eine Algebra und was eine normierte Algebra ist.... wissen, was das nach unten beschränkte und nach oben beschränkte Teilmengen von R sind.... wissen, was das Infimum und das Minimum einer nach unten beschränkten Menge, Folge oder Funktion ist. Insbesondere sollten Sie den Unterschied zwischen Infima und Minima kennen.... wissen, was das Supremum und das Maximum einer nach oben beschränkten Menge, Folge oder Funktion ist. Insbesondere sollten Sie den Unterschied zwischen Suprema und Maxima kennen.... das Vollständigkeitsaxiom kennen.... wissen, was monoton wachsende, streng monoton wachsende, monoton fallende und streng monoton fallende Funktionen und Folgen sind.... wissen, was konvergente und divergente Folgen sind.... wissen, was eine Nullfolge ist.... wissen, was bestimmt divergente Folgen sind.... die Rechenregeln für Grenzwerte von Folgen kennen, und mit Hilfe dieser Regeln Grenzwerte von konvergenten Folgen berechnen können, wo dies möglich ist. 52