Numerisches Programmieren, Übungen

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Maike Fuchs
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1 Technische Universität München WiSe 06 / 07 Institut für Informatik Prof. Dr. Daniel Cremers Dr. Frank Schmidt Nikola Tchipev Michael Rippl Numerisches Programmieren, Übungen Musterlösung 5. Übungsblatt: Interpolation ) Interpolation mit Unterschiedliche Basis Funktionen Für Stützpunkte x 0,..., x n und Basisfunktionen g 0,..., g n, sieht das lineare Gleichungssystem für die Interpolation so aus: a) Polynom-Basisfunktionen: g 0 (x 0 ) g n (x 0 ) c 0 f(x 0 )... =. () g 0 (x n ) g n (x n ) f(x n ) 3 Lösungsvektor c = 5. G(x) = x 5x + 3 G ( ) = b) trigonometrische Basisfunktionen: 0 Lösungsvektor c =. G(x) = + cos ( ) πx + cos(πx), G ( ) = + c n 0 0 c 0 3 c = 0 () 4 c c 0 3 c = 0 (3) c

2 c) Tchebycheff-Polynom-Basisfunktionen: 0 c 0 3 c = 0 (4) 7 c 4 Lösungsvektor c = 5. G(x) = (x ) 5x + 4 = x 5x + 3 G ( ) = d) Lagrange-Basispolynome (x )(x ) (x )(x ) l 0 = = (0 )(0 ) (x 0)(x ) x(x ) l = = ( )( 0) (x 0)(x ) x(x ) l = = ( 0)( ) 0 0 c c = 0 (5) 0 0 c 3 Lösungsvektor c = 0. G(x) = 3 (x )(x ) + x(x ) = x 5x + 3 G ( ) = Vergleich von a), c) und d): Interpolationspolynom ist eindeutig

3 ) Hermite-Interpolation Mit den Interpolationsbedingungen () p(x 0 ) = y 0, p(x ) = y, p (x 0 ) = y 0, p (x ) = y sowie dem allgemeinen Ansatz für kubische Polynome bzw. dessen Ableitung p(t) = a 0 + a t + a t + a 3 t 3, t [0; ] = [x 0 ; x ] p (t) = a t + a t + 3a 3 t, t [0; ] = [x 0 ; x ] ergibt sich das folgende lineare Gleichungssystem: p(t = 0) = a 0 = y 0 p(t = ) = a 0 + a + a + a 3 = y p (t = 0) = a = y 0 + a + 3a 3 p (t = ) = a = y Nach etwas Umsortieren erhalten wir in Matrix-Vektor-Notation a 3 y 3 0 a a = y y a 0 y 0 und Umformen auf Zeilenstufenform liefert y 0 3 y + 3y y y 0 Mit Rückwärtssubstitution ergibt sich somit als Lösung a 0 = y 0 a = y 0 a = y + 3y y 0 3y 0 a 3 = y ( y + 3y y 0 3y 0 ) y 0 y 0 = y 0 + y 0 y + y Damit erhalten wir das kubische Polynom p(t) = y 0 + y 0t + ( y + 3y y 0 3y 0 )t + (y 0 + y 0 y + y )t 3 bzw. sortiert nach y 0, y, y 0 und y : p(t) = y 0 ( 3t + t 3 ) + y (3t t 3 ) + y 0 (t t + t 3 ) + y ( t + t 3 ).

4 Mittels Koeffizientenvergleich bzgl. den Variablen y 0, y, y 0 und y erhalten wir schließlich die kubischen Basispolynome H i, i = 0,,, 3, des Hermite-Ansatzes Sie ergeben sich zu p(t) = y 0 H 0 (t) + y H (t) + y 0 H (t) + y H 3 (t). H 0 (t) = 3t + t 3 H (t) = 3t t 3 H (t) = t t + t 3 H 3 (t) = t + t 3. 3) Polynominterpolation mit Aitken-Neville Die zu interpolierenden Punkte (hier für alle vier Punkte) sind: x 0 = 0, f(x 0 ) = 3 x =, f(x ) = 0 x =, f(x ) = x 3 =.5, f(x 3 ) = 0. Damit ergibt sich für die Auswertung des Algorithmus (p[i, 0] = f(x i ) ist ja klar): k = : k = : k = 3: p[0, ] = p[0, 0] + x x[0] x[] x[0] p[, ] = p[, 0] + x x[] x[] x[] p[, ] = p[, 0] + x x[] x[3] x[] p[0, ] = p[0, ] + x x[0] x[] x[0] p[, ] = p[, ] + x x[] x[3] x[] p[0, 3] = p[0, ] + x x[0] x[3] x[0] (p[, 0] p[0, 0]) = 3 + (0 3) = (p[, 0] p[, 0]) = 0 + ( 0) = (p[3, 0] p[, 0]) = + (0 ) = (p[, ] p[0, ]) =.5 + ( 0.5.5) = (p[, ] p[, ]) = ( ( 0.5)) = (p[, ] p[0, ]) = + ( ) = 0

5 Für das Dreicksschema erhält man somit: x i i \k f(x 0 ) = 3.5 f(x ) = f(x ) =.5 3 f(x 3 ) = 0 Der Wert von p(x = 0.5) steht in dem obersten rechten Eintrag (p[0, 3]) des Schemas und passt mit dem echten Polynom p(x) = x 3 5x + 3 an der Stelle x = 0.5 zusammen. Wenn man den Aitken-Neville-Algorithmus schnell im Kopf rechnen möchte/muss (z.b. bei der Klausur), dann kann man mit ein wenig Übung direkt das Dreiecksschema nützen; dafür stehen dort auch die x i mit dabei. Die Auswertung eines Polynoms mit dem Aitken-Neville-Algorithmus ist dann gut, wenn man nicht sehr viele Werte des Polynoms benötigt. Sonst ist der Aufwand von O(n ) durch die beiden verschachtelten Schleifen über i und k höher, als wenn man einmal die Polynomkoeffizienten direkt berechnet (z.b. mit Lagrange oder Newton) und dann die Auswertung über das Horner-Schema (O(n)) macht.

6 4) Fehlerabschätzung 4 3 f(x) p(x) abs Fehler f(x) x Abbildung : Die tatsächliche f(x) und ihre dritte und vierte Ableitungen. a) f(0.5) p(0.5) = = b) Mit den drei Punkten: f(x) p(x) = f(0.5) p(0.5) = D 3 f(ξ) 3 = 6 D3 f(ξ) 6 max D 3 f(x) = x [0,] 6 oder mit den vier Punkten: f(x) p(x) = f(0.5) p(0.5) = D 4 f(ξ) 4 = 64 D4 f(ξ) (0.5 0)(0.5 )(0.5 ) (0.5 0)(0.5 )(0.5.5)(0.5 ) 64 max x [0,] D4 f(x) = Die tatsächliche Funktion war f(x) = + cos ( ( πx ) + cos(πx) + ) sin(πx).

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