Einführung in numerische Methoden für Ingenieure (nach A. Quarteroni, F. Saleri: Wissenschaftliches Rechnen mit MATLAB)

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1 Einführung in numerische Methoden für Ingenieure (nach A. Quarteroni, F. Saleri: Wissenschaftliches Rechnen mit MATLAB) Prof. R. Leithner, Dipl. Phys. E. Zander Wintersemester 2010/2011

2 Kapitel 3 Approximation von Funktionen und Daten Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/2

3 Approximation Approximation: Suche zu einer gegebenen Funktion f eine ähnliche Funktion f Anwendung 1: numerische Integration statt b a f(x)dx berechne b f(x)dx, a wobei f einfach zu berechnen (z.b. Polynom) und f ähnlich zu f Anwendung 2: Funktionswerte nur in wenigen Punkten bekannt (beispielsweise experimentelle Daten) konstruiere stetige Funktion f, die das empirische Naturgesetz beschreibt Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/3

4 Beispiel 1: Klimatologie Lufttemperatur in Bodennähe abhängig von Kohlendioxidkonzentration K Schwankung gegen mittlere Erdtemperatur Tabelle Approximationsaufgabe: konstruiere eine Funktion, die die Schwankung für jede geographische Breite liefert geogr. CO 2 -Konz. K = Breite Quelle: A. Quarteroni, F. Saleri Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/4

5 Beispiel 2: Finanzwirtschaft Preisverlauf eines Wertpapiers hier: Schlusskurs an der Frankfurter Börse über 2 Jahre Schlusskurse durch Linien verbunden: implizite Annahme: Preis ändert sich nur linear während eines Tages Vorhersage über kurzfristigen Verlauf möglich? Quelle: A. Quarteroni, F. Saleri Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/5

6 Interpolation Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/6

7 Interpolation Funktion oft nur über ein paar Werte in bestimmten Punkten bekannt Annahme: n + 1 Wertepaare {x i, f(x i )} für i = 0,..., n sind bekannt Beispiel (Klimatologie): x i geographische Breite f(x i ) entsprechende Temperatur (für festes K) Forderung: approximierende Funktion soll f(x i ) = f(x i ), i = 0, 1,..., n erfüllen (Interpolationsbedingungen) Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/7

8 Interpolation Funktion, die Interpolationsbedingungen f(x i ) = f(x i ) erfüllt, heißt Interpolator Beispiele für Interpolatoren: Polynomialer Interpolator f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n Trigonometrischer Interpolator (mit n = 2M gerade) f(x) = a M e imx + + a a M e imx Rationaler Interpolator (mit n = k + m + 1) f(x) = a 0 + a 1 x + + a k x k b 0 + b 1 x + + b m x m Hier: nur lineare Interpolatoren: polynomial und trigonometrisch Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/8

9 Polynomiale Interpolation Satz (Eindeutigkeit des Interpolations-Polynoms) Für jede Menge an Paaren {x i, y i }, i = 0,..., n, mit voneinander verschiedenen Knoten x i existiert ein eindeutiges Polynom vom Grad kleiner gleich n, das wir mit Π n bezeichnen und das die Werte y i in den Knoten x i interpoliert, so dass Π n (x i ) = y i, i = 0,..., n gilt. Werden die Werte {y i, i = 0,..., n} von einer stetigen Funktion f (y i = f(x i )) angenommen, wird Π n Interpolationspolynom von f (kurz: Interpolator von f ) genannt und mit Π n f bezeichnet. (Beweis: siehe Quarteroni S. 68.) Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/9

10 Lagrange-Interpolation Gesucht: (möglichst einfacher) Ausdruck für Interpolationspolynom Idee: suche spezielle Polynome ϕ k P n die bei allen i = 0,..., k 1, k + 1,..., n Null sind, und Eins bei i = k: { 1, falls i = k ϕ k (x i ) = δ ik = 0, sonst (δ ik ist das Kronecker-Symbol) Dann ist Π n (x) = n y k ϕ k (x) k=0 ein Interpolationspolynom, denn es gilt: a) Π n P n, b) Π n (x i ) = n k=0 y kδ ik = y i Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/10

11 Lagrange Basispolynome φ k heißen Lagrange-Basispolynome Definition: ϕ k (x) = n i=0 i k x x i x k x i Beispiel: Knoten bei 0, 0.5, 1, 1.5 und 2 Dann ist ϕ 2 P 4 und x(x 0.5)(x 1.5)(x 2) ϕ 2 (x) = 1(1 0.5)(1 1.5)(1 2) Quelle: A. Quarteroni, F. Saleri Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/11

12 Polynominterpolation In Matlab: speichern der n + 1 Paare {x i, y i } in Vektoren x und y Erzeugen des Interpolationspolynoms der Ordnung n mit c=polyfit(x,y,n) c enthält die Koeffizienten des Polynoms Auswertung an der Stelle z mit p=polyval(c,z) Für Funktionen die beispielsweise als Zeichenkette gegeben sind, Erzeugung der Daten mit y=eval(f) Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/12

13 Polynominterpolation Beispiel: Klimatologie Auswahl einer Untermenge der Temperaturdaten >> x =[ ]; >> y =[ ]; >> format short e; c= polyfit (x,y,4) c= 8.281e e e e e +00 Erzeugen des Graphen des Interpolationspolynoms >> z= linspace (x(1),x( end ),100); >> p= polyval (c,z); plot (z,p,x,y, o ); Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/13

14 Polynominterpolation Interpolationspolynom Klimadaten Quelle: A. Quarteroni, F. Saleri Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/14

15 Interpolationsfehler Wie groß ist der Fehler bei der Polynominterpolation? Es gilt: Satz Sei I ein beschränktes Intervall und betrachten wir n + 1 verschiedene Interpolationsknoten {x i, i = 0,..., n} in I. Sei f bis zur Ordnung n + 1 in I stetig differenzierbar. Dann x I ξ I, so dass E n f(x) = f(x) Π n f(x) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! n (x x i ) i=0 Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/15

16 Interpolationsfehler Bei gleichmäßigen Knoten mit x i+1 x i = h gilt n (x x i ) hn+1 4(n + 1) und damit: i=0 hn+1 max E nf(x) x I 4(n + 1) max f (n+1) (x) x I Problem: Fehler geht nicht gegen 0 für n es gibt Funktionen mit lim max E nf(x) = n x I Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/16

17 Interpolationsfehler Bei gleichmäßigen Knoten mit x i+1 x i = h gilt n (x x i ) hn+1 4(n + 1) und damit: i=0 hn+1 max E nf(x) x I 4(n + 1) max f (n+1) (x) x I Problem: Fehler geht nicht gegen 0 für n es gibt Funktionen mit lim max E nf(x) = n x I Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/17

18 Interpolationsfehler Beispiel 1: (Klimatologie) Verwendung aller vorhandenen Datenpunkte Pro: Kurve geht durch alle Datenpunkte Contra: Starke Überschwinger im linken Teil des Graphen Höherer Polynomgrad führt nicht notwendig zu besserer Rekonstruktion Quelle: A. Quarteroni, F. Saleri Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/18

19 Runge-Phänomen Beispiel 2: (Runge-Phänomen) Betrachte die Runge-Funktion auf ( 5, 5) f(x) = 1/(1 + x 2 ) Höchster Term der Ableitung x verhält sich wie (n + 1)! n 1 max x I E n f(x) divergiert Starke Oszillation an Intervallgrenzen (Runge-Phänomen) (1+x 2 ) n+1 Quelle: A. Quarteroni, F. Saleri Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/19

20 Approximation der Ableitung Für die Approximation der Ableitung von f durch die Ableitung des Interpolationspolynoms Πf gilt max f (x) (Πf) (x) Ch n max f (n+1) (x) x I x I C unabhängig von h und f Vergleich mit dem Interpolationsfehler von f: h n statt h n+1 Verlust einer Konvergenzordnung In Matlab: d=polyder(c), wobei c die Koeffizienten des Interpolationspolynoms enthält Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/20

21 Chebyshev-Interpolation Vermeidung des Runge-Phänomens: bessere Knotenwahl Chebyshev-Knoten auf dem Intervall [a, b] x i = a + b + b a ˆx i, 2 2 mit ( ) πi ˆx i = cos, i = 0,..., n n Entsprechen den Abszissenwerten von äquidistanten Knoten auf dem Einheitskreis (siehe Abbildung) Quelle: A. Quarteroni, F. Saleri Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/21

22 Chebyshev-Interpolation Mit Chebyshev-Knoten: Konvergenz von Π n f gegen f für n und f stetig differenzierbar Interpolation der Runge-Funktion mit Chebyshev-Knoten (siehe Abbildung) Interpolationsfehler: n E n Andere Knotenwahl (2. Art) ( ) π 2i + 1 ˆx i = cos, i = 0,..., n 2 n + 1 Quelle: A. Quarteroni, F. Saleri Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/22

23 Trigonometrische Interpolation Gegeben: periodische Funktion f : [0, 2π] R d.h. f(0) = f(2π) Approximation mit trigonometrischem Polynom f Trigonometrischer Interpolator: Linearkombination von Sinus- und Cosinusfunktionen f(x) = a 0 M 2 + (a k cos(kx) + b k sin(kx)) für gerades n = 2M k=1 Fallbetrachtung n ungerade siehe Quarteroni Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/23

24 Trigonometrische Interpolation Darstellung mit (komplexer) Exponentialfunktion M f(x) = c k e ikx k= M Beziehung zwischen den Koeffizienten a k = c k + c k b k = i(c k c k ) (Folgt aus e ikx = cos(kx) + i sin(kx), Einsetzen und Koeffizientenvergleich) f heißt auch diskrete Fourier-Transformierte Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/24

25 Trigonometrische Interpolation Bestimmung der Koeffizienten aus den Interpolationsbedingungen Interpolationsbedingungen in den Knoten x j = jh mit h = 2π/(n + 1) M c k e ikx j = f(x j ) k= M Multipliziere beide Seiten mit e imx j = e imjh und benutze M e i(k m)jh = (n + 1)δ km Dann folgt: k= M c m = 1 n + 1 n f(x j )e imjh j=0 Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/25

26 Trigonometrische Interpolation Effiziente Berechnung der Koeffizienten mit der schnellen (fast) Fourier-Transformation (FFT) Statt O(n 2 ) Operationen werden nur O(n log(n)) Operationen gebraucht In Matlab: Funktion fft Rücktransformation (d.h. Berechnung von f(x j ) aus den c m ) mit der inversen Fourier-Transformation In Matlab: Funktion ifft Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/26

27 Trigonometrische Interpolation Beispiel: Funktion f(x) = x(x 2π)e x, Knoten x j = jπ/5 für j = 0,..., 9 >> x=pi /5*[0:9]; y=x.*(x -2* pi ).* exp (-x); >> Y= fft (y); c=y/ length (Y) c = Columns 1 through i i... Skalierung mit length notwendig fft für Zweierpotenzen am effizientesten (funktioniert aber für alle ganzzahligen n) Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/27

28 Trigonometrische Interpolation Trigonometrische Interpolation mit interpft Eingabe: Vektor x (Werte der Funktion an regelmäßigen Knoten) und Anzahl der zurück zu liefernden Werte N interpft benutzt intern fft und ifft, hohe Frequenzen werden mit Nullen Quelle: A. Quarteroni, F. Saleri aufgefüllt Funktion f(x) = x(x 2π)e x interpoliert auf 100 Knoten >> x=pi /5*[0:9]; y=x.*(x -2* pi ).* exp (-x); >> z= interpft (y,100); Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/28

29 Aliasing Problem bei trigonometrischer Interpolation: Aliasing Beispiel: Interpoliere f(x) = sin(x) + sin(5x) auf [0, 2π] mit 8 Knotenpunkten Trigonometrischer Interpolator ist f(x) = sin(x) sin(3x) Grund: sin(5x) und sin(3x) verhält sich gleich an den Knoten Quelle: A. Quarteroni, F. Saleri Aliasing Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/29

30 Aliasing Abhilfe: analoges Signal vorher mit Tiefpass filtern oder: mehr Knoten verwenden Abtast-Theorem: Abtastfrequenz (d.h. 1/Knotenabstand) muss mindestens gleich der doppelten höchsten Signalfrequenz sein Beispiel: Audio-CDs: menschliche Hörschwelle 20 khz, Tiefpass mit 20 khz verwenden, ca. 2 khz Übergangsband Abtastfrequenz 44.1 khz Quelle: A. Quarteroni, F. Saleri Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/30

31 Zusammenfassung Interpolation Approximation von Daten oder der Funktion f in [a, b] heißt: finde eine Funktion f, die diese genügend genau darstellt; Interpolation: finde eine Funktion f, so dass f(x i ) = y i, mit Knoten {x i } und Daten {y i } oder Funktionswerten {y i = f(x i )} Falls alle x i paarweise verschieden, existiert ein eindeutiges Interpolations-Polynom vom Grad kleiner gleich n Bei äquidistanten Knoten strebt der Interpolationsfehler nicht immer gegen 0 (für n ) Für Chebyshev-Knoten und stetig differenzierbare Funktionen dagegen schon Trigonometrische Interpolation geeignet für periodischer Funktionen ( f Linearkombination von Sinus- und Cosinusfunktionen) Sehr effiziente Berechnung mit FFT/IFFT Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/31

32 Stückweise Interpolation Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/32

33 Stückweise Interpolation Problem: f nur an bestimmten (unregelmäßigen) Knoten bekannt nicht an äquidistanten oder Chebyshev-Knoten Mögliche Lösung: lineare Interpolation Gegeben: Knoten x 0 < x 1 <... < x n 1 < x n Intervall I i = [x i, x i+1 ] Approximation verbindet auf I i die Punkte (x i, f(x i )) und (x i+1, f(x i+1 )) stückweise lineares Interpolationspolynom Π H 1 f Π H 1 f(x) = f(x i ) + f(x i+1) f(x i ) x i+1 x i (x x i ), für x I i H maximale Intervalllänge Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/33

34 Fehler bei stückweiser Interpolation Aus dem Satz über Polynominterpolation folgt: Falls f C 2 (I) mit I = [x 0, x n ] ist, dann gilt max f(x) x I ΠH 1 f(x) H2 8 max f (x) x I Folgerung: Π H 1 f(x) strebt gegen f(x) wenn H 0 und f ausreichend glatt Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/34

35 Stückweise Interpolation Beispiel: f(x) = x sin(x) durchgezogen: Funktion f gestrichelt: Interpolierte Π H 1 f Matlab: yi=interp1(x,y,xi) berechnet die interpolierten Werte yi an den Punkten xi bei gegebenen Werten y an den Knoten x Matlab: wenn Knoten x aufsteigend geordnet: benutze interp1q Quelle: A. Quarteroni, F. Saleri Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/35

36 Spline-Funktionen Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/36

37 Splines Nachteil der stückweise linearen Interpolation: Interpolierte an den Knoten x i nur stetig Wünschenswert: stetige Differenzierbarkeit, z.b. für: Computergrafik Entwurf von Kurven oder Oberflächen im Automobilbau Streckenführung von Eisenbahnen/Achterbahnen Besser noch: zweifache stetige Differenzierbarkeit ( keine ruckartigen Beschleunigungswechsel) Lösung: kubische C 2 Splines Das Wort Spline kommt aus dem Schiffsbau: lange, biegsame Latte zur Konstruktion von Schiffsrümpfen Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/37

38 Kubische Splines Kubisches Spline s 3, Funktion mit folgenden Eigenschaften auf jedem Intervall I i Polynom 3. Grades interpoliert alle Wertepaare (x i, f(x i )) für i = 0,..., n erste und zweite Ableitung stetig in inneren Knoten x i für i = 1,..., n 1 Kubisches Polynom braucht (pro Intervall) vier Koeffizienten insgesamt 4n Bedingungen notwendig 2n Bedingungen, da jedes Polynom linken und rechten Knoten interpolieren muss 2(n 1) für Stetigkeit der ersten und zweiten Ableitung in den inneren Knoten Noch zwei Bedingungen notwendig Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/38

39 Kubische Splines Wahl der zwei Zusatzbedingungen frei Beispiel: zweite Ableitungen an den Randknoten verschwinden: s 3(x 0 ) = 0, s 3(x n ) = 0 sogenannte natürliche Randbedingungen Weitere Möglichkeiten für Randbedingungen: Eingespannter Rand: Ableitungen am Rand vorgegeben s 3(x 0 ) = f (x 0 ), s 3(x n ) = f (x n ) Periodische Randbedingungen: s 3(x 0 ) = s (x n ), s 3(x 0 ) = s 3(x n ) Not-a-knot Randbedingungen: dritte Ableitung s 3 stetig bei x 1 und x n 1 Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/39

40 Kubische Splines Geeignete Darstellung von s 3 wählen (Hermite Interpolation) dann: Bestimmung der Koeffizienten über ein lineares System der Dimension (n + 1) (n + 1) Matrix tridiagonal (bei natürlichen Randbedingungen) In Matlab: Funktion spline Knoten in x, Werte in y, Interpolationpunkte in xi Interpolierte Werte yi=spline(x,y,xi) mit Not-a-knot-Randbedingungen Interpolierte Werte yi=spline(x,[m0 y mn],xi) mit eingespanntem Rand und Steigung m0 am linken bzw. mn am rechten Rand Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/40

41 Kubische Splines Beispiel: Interpolation Klimadaten >> x = [ -55:10:65]; >> y = [ >> z = [ -55:1:65]; >> s = spline (x,y,z); Abbildung: durchgezogen: kubisches Spline (mit spline) gestrichelt: Polynom-Interpolation (mit polyfit) Quelle: A. Quarteroni, F. Saleri Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/41

42 Kubische Splines Fehler bei kubischen Splines max x I f (r) (x) s (r) 3 (x) C rh 4 r max x I f (4) (x) für r = 0, 1, 2, 3, C r unabhängig von H wichtig: Fehler bis zur 3. Ableitung geht gegen Null wenn H 0 Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/42

43 Monotonie Kubische C 2 Splines erhalten Monotonie im allgemeinen nicht Beispiel: Einheitskreis im ersten Quadranten Punkte x j = cos(πj/6) und y j = sin(πj/6) Kubisches C 2 Spline (gestrichelt) oszilliert Monotones kubisches C 1 Spline (durchgezogen) erhält Monotonie Quelle: A. Quarteroni, F. Saleri In Matlab: pchip (für piecewise cubic Hermite interpolation) Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/43

44 [ Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/44

45 Kleinste Quadrate]Verfahren der kleinsten Quadrate Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/45

46 Verfahren der kleinsten Quadrate Exptrapolation von Daten: Polynomiale Interpolation garantiert keine höhere Genauigkeit mit steigender Datenmenge starke Oszillationen Stückweise Interpolation und Splines benutzen zur Extrapolation nur die letzten zwei Werte Lösung: Verfahren der kleinsten Quadrate Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/45

47 Verfahren der kleinsten Quadrate Menge von Daten (x i, y i ) mit i = 0,..., n gegeben Finde ein Polynom f vom Grad m n, das n (y i f(x i )) 2 i=0 unter allen Polynomen vom Grad m (d.h. in P m ) minimiert Anmerkung: für m = 1 heißt dieses Verfahren einfache lineare Regression und f Regressionsgerade Da m < n gilt (im allgemeinen) nicht mehr f( x i ) = y i, d.h. Interpolationsbedingung nicht erfüllt Wie kann f bestimmt werden? Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/46

48 Kleinste Quadrate Setze f(x) = a 0 + a 1 x + + a m x m und Φ(a 0, a 1,..., a m ) = n (y i f(x i )) 2 Beispiellösung für m = 1: Φ wird zu n Φ(a 0, a 1 ) = (yi 2 + a a 2 1x 2 i + 2a 0 a 1 x i 2a 0 y i 2a 1 x i y i ) i=0 i=0 Gesucht: (a 0, a 1 ), so dass Φ(a 0, a 1 ) Minimum: Φ/ a 0 = 0, Φ/ a 1 = 0 Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/47

49 Kleinste Quadrate Bedingungen Φ/ a 0 = Φ/ a 1 = 0 führen auf n n (a 0 + a 1 x i y i ) = 0, (a 0 x i + a 1 x 2 i x i y i ) = 0 i=0 i=0 Umstellung der Summationen führt auf: n a 0 (n + 1) + a 1 x i = a 0 i=0 n x i + a 1 i=0 n x 2 i = i=0 n y i, i=0 n x i y i Kann nach a 0 und a 1 aufgelöst werden (siehe Quarteroni) f(x) = a0 + a 1 x heißt Regressionsgerade oder Gerade der kleinsten Quadrate i=0 Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/48

50 Kleinste Quadrate Verallgemeinerung für beliebiges m 1 Löse das Gleichungssystem a 0 (n + 1) +a n 1 i=0 x i a n m i=0 xm i = n i=0 y i a n 0 i=0 x i +a n 1 i=0 x2 i a n m i=0 xm+1 i = n i=0 x iy... a n 0 i=0 xm i +a n 1 i=0 xm+1 i a n m i=0 x2m+1 i Lösen von Gleichungssystemen Kapitel 5 In Matlab: a=polyfit(x,y,m). = n i=0 xm i Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/49

51 Kleinste Quadrate Kleinste-Quadrate-Approximation des Aktienkurs-Beispiels: Polynom vom Grad 1 (Strich-Punkt-Linie), vom Grad 2 (unterbrochene Linie) und vom Grad 4 (durchgezogene Linie) Quelle: A. Quarteroni, F. Saleri Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/50

52 Verallgemeinerte kleinste Quadrate Statt algebraischer Polynome, verwende andere Funktionen Minimiere über Funktionenraum V m aus Linearkombinationen von linear unabhängigen Funktionen ψ j für j = 0,..., m Beispiele: trigonometrische Funktionen ψ j (x) = cos(γjx), Exponentialfunktionen ψ j (x) = exp(δjx), Splinefunktionen, etc. Funktion wird dargestellt als f(x) = m a i ψ i (x) i=0 Koeffizienten a werden berechnet als Lösung von B T Ba = B T y mit b ij = ψ j (x i ), Daten im Vektor y Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/51

53 Verallgemeinerte kleinste Quadrate Beispiel: Approximation der Klimadaten mit Kosinusfunktionen Verwende die Funktionen ψ j (x) = cos(jt(x)) mit t(x) = 60π(x + 55) Quelle: A. Quarteroni, F. Saleri Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 3/52