1 Gegeben sind die Ebene E: x= 1 0

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Kristin Gehrig
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1 Klausur Kurs 3 Ma 3 Mathematik Lk Lösung Gegeben sind die Ebene E: x= 0 und die Geradenschar g a : x= t a Bei allen Aufgabenteilen müssen die Rechnungen oder die Überlegungen klar erkennbar dokumentiert sein. a) Stellen Sie die Ebene E in Koordinatenform dar. r= x x z y = 0 y=x 3 3 z x y 3 z=4 x= r y=r3 s z= s s= z y= x 3 z b) Überprüfen Sie, ob der Punkt (/-/0) auf der Ebene liegt. Koordinaten in x-y-3z=4 einsetzen: - (-)-3 0=+-30=4. Also liegt der Punkt in E. c) Berechnen Sie - wenn möglich - den Wert von a so, dass α) die Gerade die Ebene E nicht schneidet, Die Gerade schneidet die Ebene nicht, wenn der Richtungsvektor der Gerade eine Linearkombination der Ebenen-Richtungsvektoren ist und wenn der Ortsvektor in der Geradengleichung nicht in die Ebene zeigt: 0 0 a =r s 3 = r a=r3 s = s r= s= a= 3 = 3 = Einsetzen von (-/-/) in der Ebenengleichung (siehe a): Also liegt für a=- die Gerade nicht in der Ebene. β) die Gerade die Ebene E senkrecht durchsticht. Wenn ein Aufgabenteil nicht zu lösen ist, geben Sie eindeutig an, warum eine Lösung nicht existiert. Der Richtungsvektor der Geraden muss senkrecht zu den Richtungsvektoren der Ebene stehen: Klausur Kurs 3Ma3 Mathematik Lk - Lösung Seite /6

2 a a 0 = a0 a= 0 3 3a a= 3 Diese beiden Bedingungen können nicht zugleich gelten, also gibt es keine Gerade, die senkrecht auf der Ebene steht. d) α) Zeigen Sie, dass die Gerade h: x= 3 u in E liegt. zu zeigen ist:. der Orsvektor der Geraden h bzw. der Punkt (3/-/) liegt in der Ebene und. der Richtungsvektor der Geraden h ist linear abhängig von den Richtungsvektoren der Ebene. zu.: mit x-y-3z=4 und (3/-/) gilt: 3+4-3=4, d.h. der Punkt liegt in der Ebene. zu.: =r s 3 = r =r3 s = s r= =? 3 =! s= Die Bedingungen sind erfüllt, also liegt die Gerade h in der Ebene E. β) Geben Sie die Gleichung einer beliebigen Ebene an, die die Ebene E in der Gerade h schneidet. Als Lösung wählt man geeignet die Gleichung der Geraden h erweitert mit einem Richtungsvektor, 0 der linear unabhängig von den Richtungsvektoren der Ebene E ist, z.b. 0 wegen u v = 0 Gleichung der gesuchten Ebene: x= 3 e) Berechne Sie in Abhängigkeit von a die Koordinaten des Punktes der Geradenschar g a, der dem 0-Punkt am nächsten ist, der also minimale Entfernung zum 0-Punkt hat. Der Ortsvektor r zu jedem Punkt der Geradenschar ist durch die Geradengleichung gegeben: r= t t a. Die Länge des Vektors beträgt t t a t = t tt 4 4 t at a tt =6 4 t a t t a Die kürzeste Länge erhält man, indem man das Minimum der Wurzel oder auch das Minimum des Arguments der Wurzel bestimmt: f t =6 4 att a t f ' t = 4 a4 t a t Klausur Kurs 3Ma3 Mathematik Lk - Lösung Seite /6

3 f ' t = 4 a4t a t t= 4 a 4 a = a a f ' ' t =4 a 0 für alle a, d.h. für t= a liegt ein Minimum = des Abstandes vor. a a a t a a und t a Durch Einsetzen erhält man den Ortsvektor r= t Koordinaten des jeweiligen Punktes a a a 4 a a a a a a damit auch die f) α) Berechnen Sie die Schnittgerade der Ebene E mit der y-z-ebene. Alle Punkte der y-z-ebene haben einen Ortsvektor der Art 0 y Ebenengleichung eingesetzt: z. Dieser Vektor wird in der 0 z y = 0 0 y z = 0 s= 0 3 s s 0 3 0= r y=r3 s z= s r= y= 3 s z= s Dieses ist die gesuchte Geradengleichung. β) Die Geraden der Geradenschar schneiden die x-y-ebene so, dass die Schnittpunkte eine Gerade ergeben. Berechnen Sie die Gleichung dieser Geraden. 0 = t a Ansatz: x= x y Geradengleichung: a x= 0 = x= t y= a t 0=t 0 a 0 0 t= x== y= a Klausur Kurs 3Ma3 Mathematik Lk - Lösung Seite 3/6

4 g) Berechnen Sie die Gleichung der Gerade, die in der Ebene E liegt, so, dass jeder Punkt der Gerade den y-wert 4 besitzt. Ansatz: r= x x= x z 4 = 0 8=x 4 3 z x=3 z Geradengleichung: x= 3 z 4 x= r 4=r3 s z= s 3 = 4 z 0 z 0 s= z 4= x 3 3 z Klausur Kurs 3Ma3 Mathematik Lk - Lösung Seite 4/6

5 In nebenstehender Figur gilt: D a=ab b=ad P C E teilt AB wie : F teilt BC wie : S teilt AF wie : Berechnen Sie, wie P die Strecke CD teilt. b S F Betrachtet wird der geschlossene Streckenzug CFSPC. A a E B CF = 3 CB= 3 b= 3 b FS = 3 FA= 3 3 b a = 9 b 3 a SP=r ES=r EAAS =r a 3 a 3 b =r 6 a 4 9 b = 6 r a 4 9 r b PC=s DC=s a Es gilt: CF FSSPPC, also: 3 b 9 b 3 a 6 r a 4 9 r bs a a 3 6 rs b r r 4 9 r= 5 9 r= s s= 3 4 = 8 P teilt die Strecke CD also im Verhältnis :7. 3 In untenstehendem Quader (nächste Seite) ist das Rechteck BCHE eingezeichnet. M befindet sich in der Mitte der oberen Quaderfläche EFGH. Berechnen Sie, in welchem Verhältnis S die Strecke AM teilt. Hilfe: Denken Sie daran, dass die Seitenkanten des Rechtecks BCHE das Rechteck vollständig definieren. Benutzen Sie möglichst AB=a AD=b AE=c Klausur Kurs 3Ma3 Mathematik Lk - Lösung Seite 5/6

6 geschlossener Streckenzug ASEA AS=r AM =r a bc E H M F G SE=s CBt BE=s bt ac EA= c S ASSEEA D C A B r a bc s bt ac c a r t b r s c rt t= r ; s= r ; r r 3 r= r= 3 s=t= 3 S teilt also die Strecke AM wie :. 8 x Punkte durch den Vektor x dargestellt werden. 4 Begründen Sie, warum durch die Gleichung 4 eine Ebene definiert ist, deren Alle Vektoren, die die Gleichung erfüllen, stehen senkrecht zum gegebenen Vektor (Skalarprodukt gleich 0). Alle Vektoren, die senkrecht zu einem Vektor stehen, bilden aber eine Ebene. Da der 0-Punkt auch mit zu den Vektoren x gehört, geht diese Ebene durch den 0-Punkt. z 4 Man kann auch einfach rechnen: 8 x y =4 x y 8 z, und das ist eine Ebenengleichung in Koordinatenform, wobei das anzeigt, dass die Ebene durch den 0-Punkt geht. Viel Erfolg bei der Bearbeitung! Klausur Kurs 3Ma3 Mathematik Lk - Lösung Seite 6/6

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