Zur Ermittlung von Messunsicherheiten

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1 Zur Erittlung von Messunsicherheiten Eine physialische Messung liefert ier einen Wert, der vo Erwartungswert µ ( wahrer Wert der physialischen Größe ehr oder weniger abweicht. Deshalb uss in Wissenschaft und Techni die Angabe eines Messwertes ier it der Angabe der Messabweichung oder der Messunsicherheit erfolgen. Das Messergebnis, d. h. der Messwert einer Einzelessung oder der Mittelwert einer Messreihe, enthält den berichtigten (orrigierten Wert verbunden it eine Intervall, in de verutlich der Erwartungswert der Messgröße liegt. Die Differenz zwischen der oberen Grenze dieses Intervalls und de berichtigten Wert bzw. die Differenz zwischen de berichtigten Wert und der unteren Grenze dieses Intervalls nennt an Messunsicherheit (abgeürzt it u. In der Regel haben die beiden Differenzen den gleichen Wert. Zur Messunsicherheit önnen sowohl systeatische als auch zufällige Abweichungen beitragen. Nach der Deutschen Nor DIN 39 von 995 wurde der traditionelle Begriff 'Messfehler' durch den Begriff 'Messabweichung' bzw. seine Kurzfor 'Abweichung' ersetzt. Bei Kalibrierungsessungen hoher Genauigeit sind systeatischen Abweichungen in der Regel vernachlässigbar. Das de ISO/BIPM-Leitfaden zu Grunde liegende Konzept zur Erittlung der Messunsicherheit, z. B. Leitfaden zur Angabe der Unsicherheit bei Messen (ISO, Guide to the Expression of Uncertainty in Measureent, urz GUM, ISO International Organization of Standardization, Evaluation of easureent data - Guide to the expression of uncertainty in easureent, International Bureau of Weights and Measures (BIPM, verwendet nicht ehr die Kategorie systeatische Abweichung. In diese Leitfaden werden die Messunsicherheiten in zwei verschiedene Typen aufgeteilt, Typ A und Typ B. Unsicherheiten vo Typ A beziehen sich auf ehrfach wiederholte Messungen von (unorrelierten Zufallsessgrößen und önnen it atheatisch statistischen Methoden berechnet werden (z. B. die Standardabweichung als Standardunsicherheit. Die Messunsicherheiten vo Typ B staen aus anderen Quellen. Sie önnen nicht durch ehrfach wiederholte Messungen erittelt werden. Für ihre wissenschaftliche Beurteilung sind alle verfügbaren Inforationen über ögliche Abweichungen bei der Erfassung der Messwerte zu berücsichtigen. Dazu zählen u. a. die Erfahrung oder allgeeines Wissen über das Verhalten oder die Eigenschaften der relevanten Materialien, Phänoene und Instruente, Spezifiationen und Herstellerangaben, Daten aus Kalibrierungs- oder anderen Zertifiaten und Inforationen über Unsicherheiten, die Handbüchern entnoen werden önnen. Weitere Hinweise zur Bestiung der Messunsicherheit önnen z. B. auch de Fachbeitrag der Physialisch-Technischen Bundesanstalt (PTB Braunschweig von W. Kessel entnoen werden,

2 Die Erittlung von Messunsicherheiten für die bei eine Pratiusversuch erhaltenen Ergebnisse ist ein wichtiger Bestandteil der Versuchsauswertung. Ausführliche Darstellungen dazu findet an z. B. i Pratiusbuch Physialisches Pratiu, B.G.Teubner Verlagsgesellschaft, Stuttgart-Leipzig, ab 0. Auflage (Herausgeber D. Gesche oder in der i Anhang aufgeführten Literatur. Bei Einzelessungen berücsichtigen wir i Physipratiu neben den zufälligen Messabweichungen auch die systeatischen Abweichungen. Systeatische Abweichungen önnen jedoch prinzipiell verieden werden, was aber in der Regel sehr arbeits- und ostenaufwendig ist. Die zufälligen Messabweichungen i Physipratiu, z. B. die Zählrate bei radioativen Zerfallsprozessen, lassen sich it den Grundlagen der Statisti und Wahrscheinlicheitsrechnung atheatisch beschreiben und sind prinzipiell nicht zu vereiden. Für die systeatischen Messabweichungen ist dagegen charateristisch, dass sie auch bei Wiederholung der Messung unter gleichen Bedingungen onstant bleiben. Ihre Ursachen liegen z. B. in der fehlerhaften Kalibrierung, der ungenauen Nullpunteinstellung oder der systeatischen Beeinflussung der verwendeten Messgeräte durch die Nichteinhaltung von Nennbedingungen. Systeatische Abweichungen önnen auch durch die Verwendung von Berechnungsgleichungen auftreten, wenn deren Voraussetzungen für ihre Gültigeit eingeschränt sind (z. B. auftretende Wäreverluste bei alorietrischen Experienten, bei Schwingungsexperienten die Vernachlässigung von Reibungseinflüssen, u. a.. Beannte systeatische Abweichungen werden grundsätzlich orrigiert. Sie sind bezüglich ihres Betrags und ihres Vorzeichens erfassbare (berechenbare, durch zusätzliche Messungen bestibare Abweichungen, die durch Anbringen einer Korretion an den Messwert zu berücsichtigen sind (z. B. Widerstandsbestiungen it stro- oder spannungsrichtiger Messung, Drucorretion bei Hg-Baroetern, Teperaturorretion von Dichtewerten. Messunsicherheit bei einer direten Messgröße ( Größtfehlerabschätzung Jede 'Fehlerbetrachtung' i Physipratiu soll zuindest die Abschätzung der axialen Messunsicherheit, auch Größtfehlerabschätzung genannt, einschließen. Unter der axialen Messunsicherheit (Größtfehler oder Maxialfehler versteht an die größtögliche, d. h. die unter ungünstigsten Uständen auftretende Abweichung einer Messgröße oder eines Ergebnisses vo Erwartungswert. Mit der Abschätzung der axialen Messunsicherheit ann an die Größenordnung der it eine bestiten Messverfahren bzw. einer speziellen Messethode erreichbaren Genauigeit grob abschätzen. Wird in eine Pratiusversuch der Wert einer Messgröße X nur einal geessen, so erfolgt die vereinfachte Abschätzung der Unsicherheit aus der unbeannten systeatischen δ s (X und der zufälligen δ z (X Messabweichung als Maxialwert der Unsicherheit u ax (X durch die lineare Addition beider Anteile: u ( X δ ( X + δ ( X. (a ax s z Die zufälligen Abweichungen werden bei Einzelessungen basierend auf der Erfahrung des Pratianten und unter Berücsichtigung der Anzeige- und Ablesegenauigeiten und ggf. zufälliger Einflüsse auf die Messbedingungen abgeschätzt. Unter der Voraussetzung, dass die unbeannte systeatische Abweichung

3 it der Messunsicherheit vo Typ B (siehe oben verträglich ist, wird an die Unsicherheit ittels geoetrischer Addition abschätzen: ux ( δs( X + δz( X. (b Der Vergleich der Gln.(a und (b führt zu der Ungleichung δ ( X + δ ( X < δ ( X + δ ( X. s z s z Messunsicherheit einer indireten Messgröße - obinierte Messunsicherheit Bei physialischen Messungen wird oft aus einer Reihe von diret geessenen Größen X, X, X 3,... eine indirete Größe Y Y(X, X, X 3,... bestit. Die Messunsicherheit dieser indireten Messgröße ann i Physipratiu unter der Voraussetzung ausreichend leiner Messunsicherheiten u(x der Messgrößen (u(x / X < 0, it,,3,..., als axiale Messunsicherheit it der vereinfachten linearen Gleichung Y Y uy ( ax u( X u( X X X ( erittelt werden. Dabei sind die Y/ X die partiellen Ableitungen von Y Y(X, X, X 3,... nach den Größen X, X, X 3,.... In Analogie zu den oben genannten Epfehlungen des ISO/BIPM-Leitfadens, dass die zu berücsichtigenden Messunsicherheiten vo Typ A oder vo Typ B sind, wird die (obinierte Messunsicherheit it Y u X X. (3 uy ( c ( erittelt. Der in Gl.(3 beschriebene Zusaenhang wurde früher auch als Fehlerfortpflanzungsgesetz nach Gauß bezeichnet, und die Werte von u(x entsprechen experientellen Standardunsicherheiten (siehe Abschn. 3. Die folgenden Sonderfälle ergeben für die Abschätzung der Messunsicherheit indireter Messgrößen (obinierte Messunsicherheit besonders anschauliche und einfach zu handhabende Zusaenhänge: Lineare Funtion s X Y a + a X, (4 0 uy ( a u( X a u( X, (4a ax uy ( a u( X a u( X. (4b Potenzprodut Y A+ c X, (5 a 3

4 relative Unsicherheit uy ( ux ( u( X a a, (5a Y X X ax uy ( ux ( ux ( a a Y X X. (5b Beispiele. Dichtebestiung eines zylindrischen Stabs (Masse, Radius R, Länge l ρ Messunsicherheiten: u (, ur (, ul ( V π R l ρ ρ ρ u( ρ ax u( + u( R + u( l R l u ( ur ( ul ( πr l πr l πr l uax Größtfehler (relativ ( ρ u ( u ( l u ( R + + ρ l R (nach ISO/BIPM-Leitfaden ρ ρ ρ u( ρ c u( u( R + + u( l R l u ( + 3 ur ( + ul ( πr l πr l πr l u( ρ c u ( ur ( ul ( + + ρ R l. Bestiung der ittleren spezifischen Wäreapazität c f eines festen Stoffes über den Austausch von Wäreenergie in eine wassergefüllten Kalorieter (s. Physialisches Pratiu, Hrsg. D. Gesche. Messgrößen Teperatur des erhitzten festen Stoffes ϑ f Wasserteperatur vor Wäreaustausch ϑ fl Wasserteperatur nach Wäreaustausch (Mischungsteperatur ϑ Masse des Wassers i Kalorieter fl Masse des festen Stoffes f Wäreapazität des Kalorieters C K Spezifische Wäreapazität von Wasser c fl, u(c fl vernachlässigbar ( cfl fl + CK ( ϑ ϑfl Berechnungsgleichung c f ( ϑ ϑ f f Größtfehler ( ϑ ϑfl ( cflfl + CK uc ( f ax cfl u ( fl + uc ( K + u ( f + f ( ϑf ϑ f ( cfl fl + CK ( ϑ ϑfl ( ϑf ϑfl u( ϑfl + u( ϑf + u( ϑ f ( ϑf ϑ ( ϑf ϑ ( ϑf ϑ 4

5 3 Messunsicherheit bei Messreihen ( Statistische Fehlertheorie Zur Anwendung der statistischen Fehlertheorie üssen die folgenden Voraussetzungen erfüllt sein:. Die Messgröße X ann beliebig oft unter gleichen Wiederholbedingungen erittelt werden.. Die systeatischen Messabweichungen sind orrigierbar bzw. vernachlässigbar. 3. Die Messwerte streuen zufällig u einen Erwartungswert. Für eine vorliegende Messreihe it den Werten x, x,..., x n ist das arithetische Mittel (Mittelwert it x n xi n (6 i einen guter Schätzwert für den Erwartungswert µ für nicht zu leine n. Zur Erittlung der Messunsicherheit der zufälligen Messgröße X bestit an die experientelle (epirische Varianz s x x n X ( i n i Ihre positive Quadratwurzel ergibt die experientelle Standardabweichung einer Einzelessung vo Stichprobenufang n: sx ( xi x n n i Die Standardabweichung ist ein Maß für die Standardunsicherheit (u(xs X und das gebräuchlichste Maß für die Streuung zufallsverteilter Messgrößen auf der Grundlage der Noralverteilung (Java Applet Für n fallen 68 % aller Messwerte in den Bereich x ± s ( 95,4 % in den Bereich x ± s. Die experientelle Standardabweichung des Mittelwerts ist gleich der experientellen Standardabweichung der Einzelessung geteilt durch die positive Wurzel aus der Gesatzahl der Messungen: (7 (8 s n s X X ( xi x n nn ( i (9 Für die statistisch begründete Berechnung der Streuung der Messwerte u ihren Mittelwert ist das Konfidenzintervall (Vertrauensbereich unter Berücsichtigung der Anzahl der Messungen und der festgelegten Irrtuswahrscheinlicheit (Vertrauensniveau ittels der so genannten t-verteilung zu berücsichtigen. I Falle einer indireten Messgröße YY(X,..., X ann die betreffende Standardabweichung s Y nach der Fehlerfortpflanzung nach Gauß bzw. nach der Epfehlung des ISO/BIPM-Leitfadens zur Berechnung der obinierten Messunsicherheit it der Gleichung ( Y Y X... Y uy s s + + sx X X (0 erittelt werden. Voraussetzung für die Anwendung dieser Beziehung ist, dass die Messgrößen X,...,X nicht orreliert sind. 5

6 Beispiel: Erittlung der Gitteronstante g eines Reflexionsgitters Messgrößen: Einfallswinel α, Beugungswinel β der -ten Ordnung für eine gegebene Kalibrierungswellenlänge λ λ g ( β βax,. sinα sin β Mit den partiellen Ableitungen g cosα λ α (sinα sin β g ( cos β λ β (sinα sin β und folgt nach Gl.(0 cosα cos β ug ( λ u( α + u( β (sinα sin β (sinα sin β Die Standardunsicherheiten u( α und u( β ergeben sich aus den experientellen Standardabweichungen s α und s β. Die Werte sind in Bogenaß zu berechnen. / 4 Lineare Regression Häufig werden Versuche durchgeführt, bei denen an Messreihen von zwei voneinander abhängigen Messgrößen X und Y aufnit, zwischen denen eine lineare Abhängigeit der For YA+B X besteht (Regressionsparaeter A, B. Dabei ist die abhängige Messgröße Y in jede Falle eine Zufallsgröße, während die Einflussgröße X eine Zufallsgröße sein ann, aber nicht sein uss. Letzteres bedeutet, dass für einen festen Wert der Größe X die Größe Y verschiedene (zufallsverteilte Werte annehen ann. Mit Hilfe der linearen Regression ann statistisch gesehen die bestögliche Gerade (Ausgleichsgerade nach de Prinzip der leinsten Quadratfehlersue (least square fit bestit werden. Mit geeigneter Software, z. B. ORIGIN, erhält an neben den Mittelwerten für die Geradenparaeter auch deren Standardabweichungen. Mehr Hinweise und Rechenbeispiele zur Abschätzung von Messunsicherheiten findet an in der i Anhang angegebenen Literatur. 5 Ergänzungen Beerungen zu Thea "Kalibrieren" I Zuge der weltweiten Einführung von Qualitätsanageentnoren sind die Anforderungen an Messund Prüfittel deutlich gestiegen. So setzt zu Beispiel die Zertifizierung nach DIN EN ISO 9000ff ein atives Qualitätsanageent voraus, in de regeläßig Kalibrierungen durchgeführt werden üssen. Unter Berücsichtigung des jeweiligen Ufelds erreicht an dadurch eine hohe Sicherheit der Messresultate und die Rücführbareit der Messwerte auf den nationalen Standard wird gewährleistet. 6

7 "Eichen" ist nicht gleich "Kalibrieren"! "Kalibrieren" sind die Tätigeiten, die unter vorgegebenen Bedingungen die gegenseitige Zuordnung zwischen den ausgegebenen Werten eines Messgerätes einer Messeinrichtung oder einen Referenzaterial einerseits und dazugehörigen Werten einer durch ein Bezugsaterial dargestellten Größe andererseits bestien.. Das Ergebnis einer Kalibrierung erlaubt die Schätzung der Messabweichungen des Messgerätes, der Messeinrichtung oder der Messverörperung oder die Zuordnung von Werten zu Teilstrichen auf beliebigen Salen.. Das Ergebnis einer Kalibrierung ann in eine Douent festgehalten werden, das oft Kalibrierschein", "Kalibrierbericht" oder "Kalibrierzertifiat" genannt wird. 3. Vielfach wird das Ergebnis einer Kalibrierung als Korretion oder "Kalibrierfator" oder in For einer "Kalibrierurve" angegeben. Der Begriff "Eichen" ist i offiziellen Sprachgebrauch auf das gesetzliche Messwesen beschränt und bezeichnet atliche Prüfungen nach de Eichgesetz. Eine Eichung ann nur vo zuständigen Eichat an eichfähigen Geräten durchgeführt werden ( DKD-Kalibrierung (Deutscher Kalibrierdienst Die Kalibrierung erfolgt unter den bei der Deutschen Areditierungsstelle genannten Bedingungen. Der Kunde erhält ein Kalibrier-Zertifiat it den Messwerten, der jeweiligen Messunsicherheit, Angabe des Kalibrier-Verfahrens, den Ugebungsbedingungen und ggf. besonderen Messbedingungen. 7

8 Noralverteilung Die Wahrscheinlicheit, einen Messwert i Intervall von von x s bis x + s zu finden beträgt also 68.3 % für n. In der pratischen Messtechni bevorzugt an die drei folgenden Intervalle (Bereiche: einfache Standardabweichung von x s bis x + s 68.3 % zweifache Standardabweichung von x s bis x + s 95.5 % dreifache Standardabweichung von x 3s bis x + 3s 99.7 % Für eine leine Zahl von Messwerten n ist üblicherweise ein Korreturfator t notwendig, der sich aus der 'Student-Verteilung' bzw. 't-verteilung' ergibt. Noralverteilung (Gaußurve 8

9 Literatur zu Thea Messunsicherheit DIN 39-3 Grundlagen der Messtechni - Teil 3: Auswertung von Messungen einer einzelnen Messgröße, Messunsicherheit, Beuth Verlag GbH, Berlin Wien Zürich 996 DIN 39-4 Grundlagen der Messtechni - Teil 4: Auswertung von Messungen; Messunsicherheit Beuth Verlag GbH, Berlin Wien Zürich 996, National Institute of Standards and Technology (NIST Uncertainty of Measureent Results Giudelines for the Expression of Uncertainty in Measureent, P.R. Bevington and D.K. Robinson Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences McGraw-Hill Boo Co., New Yor 994 Bundesanstalt für Materialforschung und prüfung Leitfaden zur Erittlung von Messunsicherheiten bei quantitativen Prüfergebnissen BAM, Berlin Byron P. Roe Probability and Statistics in Experiental Physics Springer, Berlin 00 Manfred Drosg Der Ugang it Unsicherheiten Ein Leitfaden zur Fehleranalyse Facultas, Wien 006 W. H. Heini Gränicher Messung beendet - was nun? vdf Hochschulverlag AG an der ETH Zürich und B.G. Teubner, Stuttgart 996 Les Kirup Experiental Methods An introduction to the analysis and presentation of data John Wiley&Sons, 994 Les Kirup, Bob Frenel An Introduction to Uncertainty in Measureent Cabridge University Press, New Yor 006 P.R. Bevington and D.K. Robinson Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences McGraw-Hill Boo Co., New Yor 994 Louis Lyons A practical Guide to Data Analysis for Physical Science Students Cabridge University Press, Cabridge 99 G. L. Squires Practical Physics 4th Edition, Cabridge University Press, Cabridge 00 9