Sonnenstandsberechnung

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1 Sonnenstandsberechnung Vergleich verschiedener Berechnungen des Sonnenstandes Bachelorarbeit Institut für Weltraumwissenschaften, Institut für Meteorologie, Fachbereich Geowissenschaften der Freien Universität Berlin, Carl-Heinrich-Becker-Weg 6-10 D Berlin, Germany von Markus Thürkow eingereicht am

2 Gutachter: Prof. Dr. Jürgen Fischer, Dr. René Preusker Fachbereich Physik, Freie Universität Berlin

3 Abstract This bachelor thesis deals with the calculation of the suns position and tries to find differences in variety calculation methods. Differences in azimuth and elevation are found out up to respectively The differences strongly sway in their time-spatial distribution. The seasonal cycle represents the biggest influence. There appear four extreme values, where the differences of the angles show their maximum abnormality. The biggest spatially distributed differences have been noticed in locations close to the poles, or rather where the calculated angle of the elevation is small. This abnormality depends on an account of time shift. The time shift can be up to 80 seconds, what is equivalent to a solar hour angle up to 5.3. Afterwards this affects the approximate values of the declination and the equation of time. Based on the strong correlation of the equation of time with the differences from the azimuth and the elevation in the seasonal cycle, this can be determined as the crucial factor of influence. Furthermore the influence of the refraction R is not to be neglected, because this can be up to 0.58 of the elevation. The programs NOAA-1 and WEW-2 delivered the best correlation. Keywords: sun position, azimuth, elevation, declination, solar hour angle, equation ot time, refraction Zusammenfassung Diese Bachelorarbeit befasst sich mit der Berechnung des Sonnenstandes, in welcher versucht wird, Unterschiede verschiedener Berechnungsmethoden ausfindig zu machen. Es konnten Unterschiede in Azimut und Elevation von bis zu 0,790 bzw. 0,438 ausfindig gemacht werden. Die Unterschiede schwanken stark in ihrer zeiträumlichen Verteilung. Der Jahresgang stellt den größten Einfluss dar. Hier treten vier Extremwerte auf, bei denen die Winkeldifferenzen der unterschiedlichen Methoden maximale Abweichungen zeigen. Die größten räumlich verteilten Unterschiede sind in Pol naher Lage vorzufinden bzw. dort wo die berechneten Elevationswinkel klein sind. Diese Abweichungen kommen aufgrund einer zeitlichen Verschiebung zustande. Die zeitliche Verschiebung kann bis zu 80 Sekunden betragen, was einer Verschiebung des Sonnenstundenwinkels von bis zu 5,3 entspricht. Sie beeinflusst anschließend die approximierten Werte von Deklination und Zeitgleichung. Aufgrund der starken Korrelation der Zeitgleichung mit den Winkeldifferenzen im Jahresgang, kann sie als entscheidender Einflussfaktor bestimmt werden. Zudem ist der Einfluss der Refraktion R nicht zu vernachlässigen, da dieser bis zu 0,58 betragen kann. Die beste Übereinstimmung zueinander lieferten die Programme NOAA-1 und WEW-2. Schlagwörter: Sonnenposition, Azimut, Elevation, Deklination, Sonnenstundenwinkel, Zeitgleichung, Refraktion

4 Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung Motivation Theoretische Grundlagen 3.1. Die Zeitgleichung Das Julianische Datum Das Äquatorsystem Das Horizontsystem Die Koordinatentransformation mittels nautischen Dreiecks Verwendete Berechnungsmethoden 4.1. NOAA NOAA Palmage WEW WEW Grundlagen verwendeter Statistik 5.1. Der arithmetische Mittelwert Die Standardabweichung Die lineare Regression Der t-test Der f-test Das Konfidenzintervall Datengrundlage Vergleich und Strukturanalyse 7.1. Regressionsanalyse Signifikanzanalyse Zeiträumliche Strukturanalyse Zonale Analyse des Tagesganges Meridionale Analyse des Tagesganges Zonale Analyse des Jahresganges Meridionale Analyse des Jahresganges Globale Strukturanalyse Time-shift Vergleich von Deklination und Zeitgleichung Vergleich quantitativer Werte Einfluss und Berechnung der Refraktion 8.1. Die atmosphärische Refraktion Das planparallele Schichtmodell Das Kugelschalenmodell Zusammenfassung und Ausblick 24

5 Abbildungsverzeichnis 1.1. Extraterrestrische Gesamtstrahlungsbilanz Anteil diffuser Himmelsstrahlung an der Globalstrahlung Das Forschungsflugzeug HALO Parameter der Messungen mit HALO Das Horizontsystem Das Äquatorsystem Scheinbare Sonnenbewegung am Horizont Zeitliche Abhängigkeit von Rotation und Revolution Die Schiefe der Ekliptik Die Exzentrizität Die Zeitgleichung Jahresgang der Deklination Astronomische und geodätische Zählweise des Azimut Das nautische Dreieck Seitenlängen des nautischen Dreiecks Regressionsgeraden der Elevation in Berlin * Weitere Regressionsgeraden der Elevation I Signifikanz der gemittelten Elevation * Weitere Signifikanzen gemittelter Elevation II Signifikanz des gemittelten Azimuts Signifikanz der Standardabw. des Azimuts IV Differenzen zonal gemittelter Elevation (Palmage vs. WEW-1) * Weitere Differenzen zonal gemittelter Elevation IV Jahresgang zonal gemittelter Elevation V Diff. meridional gemittelter Elevation (NOAA-2 vs. WEW-1) * Weitere Differenzen meridional gemittelter Elevation VI Differenzen zonal gemittelter Elevation (WEW-1 vs. WEW-2) * Weitere Differenzen zonal gemittelter Elevation im Jahresgang VII Diff. meridional gemittelter Elevation (NOAA-2 vs. Palmage) * Weitere Diff. meridional gemittelter Elevation im Jahresgang VIII Global verteilte Diff. der Elevation (NOAA-1 vs. Palmage) * Weitere global verteilte Differenzen der Elevation IX Global verteilte Diff. des Azimuts (NOAA-1 vs. Palmage) * Weitere global verteilte Differenzen des Azimuts IX Time-Shift der Sonnenkulmination am X Time-Shift der Sonnenkulmination am Differenzen der Deklination im Jahresgang Differenzen der Zeitgleichung im Jahresgang Planparalleles Atmosphärenmodell Kugelschalenmodell der Atmosphäre 23 Tabellenverzeichnis Uhrzeit der Sonnenkulmination am Uhrzeit der Sonnenkulmination am Mittelwert und Standardabweichung des Jahresganges der Deklination und Zeitgleichung X * Maximale Abweichungen der Elevation im Tagesgang XI * Maximale Abweichungen des Azimuts im Tagesgang XI

6 Vergleich verschiedener Berechnungen des Sonnenstandes 1. EINLEITUNG Die Dynamik der Erdatmosphäre, thermische Turbulenzen und das dadurch hervorgerufene Wetter sind mit die kompliziertesten physikalischen Vorgänge, welche die Natur zu bieten hat. Die wichtigste Energiequelle zum Antrieb dieser Phänomene ist dabei jedoch nicht auf der Erde zu finden, sondern deutlich weiter entfernt. Um genau zu sein handelt es sich bei dieser Energiequelle um die Sonne. Die auf die Erde eintreffende Sonnenstrahlung ist als grundlegende Energiequelle, zum Antrieb aller dynamischen Prozesse der Atmosphäre, zu betrachten. So liefert die Sonne ca. 99,98 % des Energiebeitrages zum Klima der Erde [13]. Erst die von ihr ausgesandte elektromagnetische Strahlung, vor allem im kurzwelligen Spektralbereich, ermöglicht es biologisches Leben auf der Erde zu erschaffen. Dieser kurzwellige Spektralbereich stellt die Grundlage der Photosynthese und somit der Primärproduktion dar. Aufgrund der kugelförmigen Gestalt, der täglichen Rotationsbewegung der Erde und der Erdrevolution (Bewegung der Erde um die Sonne), ergibt sich eine ungleichmäßig zeitliche und räumliche Verteilung der Sonneneinstrahlung auf der Erdoberfläche. Sie beeinflusst maßgeblich den Wärme- und Wasserhaushalt der Ökosysteme und steuert die Aktivität von Pflanzen und Tieren. Bei der kurzwelligen Sonneneinstrahlung unterscheidet man zwischen direkter und diffuser Sonneneinstrahlung [14]. Die direkte Sonneneinstrahlung ist funktional abhängig von der Zeit und vom betrachteten Ort. Aufgrund der kugelförmigen Gestalt der Erde entstehen starke Unterschiede in der räumlichen Verteilung der Sonneneinstrahlung. So kann am Äquator ein deutlicher Strahlungsüberschuss und nahe der Pole ein klares Strahlungsdefizit nachgewiesen werden [12]. Die direkte Sonneneinstrahlung ist demzufolge breitengradabhängig. Diese breitengradabhängige Einstrahlung erzeugt die uns bekannten Wärmeunterschiede zwischen den Polen und dem Äquator. Dank dieser Unterschiede in Temperatur und Dichte können überhaupt Druckunterschiede in der Atmosphäre entstehen. Auch die eingangs erwähnten thermischen Turbulenzen oder allgemeiner die Dynamik der Atmosphäre, in Form von Luftmassenbewegungen, basiert auf dieser von der solaren Einstrahlung hervorgerufenen Energiedifferenz. Da die solare Einstrahlung die Verdunstung beeinflusst, wirken sich Unterschiede in der direkten Sonneneinstrahlung auch stark auf den Wasserhaushalt der Atmosphäre aus. Die Abbildung 1.1. zeigt die zeitlich gemittelte breitengradabhängige Strahlungsverteilung, mit einem Strahlungsüberschuss entlang des Äquators und einem Strahlungsdefizit an den Polen. Der zweite große Teil, der auf der Erdoberfläche eintreffenden kurzwelligen Strahlung, ist die sogenannte diffuse Sonneneinstrahlung. Diese trifft, entgegen der direkten solaren Einstrahlung, deutlich gleichmäßiger auf die Abb Die Extraterrestrische Gesamtstrahlungsbilanz in ihrer globalen Verteilung (aus: [9]). 01

7 Erdoberfläche. Sie entsteht beim Durchqueren von solarer Strahlung durch die Atmosphäre. Die dort auftretenden Streuprozesse an Aerosolen und anderen Teilchen bilden die diffuse Himmelsstrahlung. Die diffuse Himmelsstrahlung kann mit Hilfe von externen Strahlungstransportmodellen berechnet werden. Aufgrund des zu hohen Rechenaufwandes wird diese Größe in Klima- oder Wettermodellen nur parametrisiert wiedergegeben. Die zeitliche wie auch räumliche Variabilität der diffusen Strahlung spielt eine wichtige Rolle in der atmosphärischen Energiebilanz sowie der Fernerkundung anderer strahlungsbedingter Prozesse. Wie in Abbildung 1.2. dargestellt, beträgt der jährlich gemittelte Anteil der diffusen Strahlung an der Globalstrahlung etwa 50 % und kann deswegen nicht vernachlässigt, sondern muss genauer untersucht werden. Somit sind zum Messzeitpunkt keine Informationen über die gegenwärtige Sonnenposition relativ zum Flugzeug vorhanden. Ohne jedoch die Sonnenposition zu kennen, ist es unmöglich die Streuung an einzelnen Aerosolen zu ermitteln, da hierzu die Quelle der Einstrahlung bekannt sein muss. Die Alternative besteht darin, die Sonnenposition mit Hilfe von Informationen über geografische Lage und Uhrzeit zu berechnen. Da die zu berechnenden Werte der Streuung stark von der Sonnenposition abhängig sind, muss zur Minimierung anschließender Fehler der Berechnung von Streuwinkeln, eine entsprechend genaue Kalkulation durchgeführt werden. Deshalb befasst sich diese Arbeit mit dem Thema der Berechnung des Sonnenstandes, um diesen zu beliebigen Zeitpunkten und beliebigen Orten auf der Erde möglichst genau zu bestimmen. Abb Der Jahresgang des gemittelten Anteils der diffusen Himmelsstrahlung an der Globalstrahlung in Deutschland. Die Werte beziehen sich auf eine horizontale Ebene und sind in Kilowattstunden pro Quadratmeter gegeben (aus: [19]). Abb Das neue Forschungsflugzeug HALO (High Altitude and Long Range Research Aircraft). Es basiert auf einem Ultra Long Range Business Jet G 550 der Firma Gulfstream. Die Kombination aus Reichweite, Flughöhe, Nutzlast und umfangreicher Instrumentierung macht das Flugzeug zu einer weltweit einzigartigen Forschungsplattform (aus: [26]). 2. MOTIVATION Um die Abhängigkeit der diffusen Strahlung genauer verstehen zu können, sind Messungen solarer Einstrahlung relativ zur Sonne nötig. So hat das Institut für Weltraumwissenschaften der Freien Universität Berlin der DFG (Deutsche Forschungsgemeinschaft) den Vorschlag unterbreitet, ein flugzeuggestütztes optisches Messinstrument zu bauen, welches anschließend auf dem Forschungsflugzeug HALO (High Altitude and Long Range Research Aircraft) zum Einsatz kommen wird (Abb. 2.1.). Da dieses optische Messinstrument unterschiedliche Messgeometrien innerhalb der Atmosphäre durchführen wird (Abb. 2.2.), ist dieses nicht immer zur Sonne hin ausgerichtet [15]. Abb Die von HALO und dem dazu entwickelten Sonnenphotometer unterstützten Messgeometrien. Dazu zählen der Bedeckungsgrad, die Aureolen der Sonne, die Flussdichte sowie Messungen unterschiedlicher Wolkenschichten (aus: [27]). 02

8 Im ersten Teil dieser Arbeit werden die theoretischen Grundlagen zur Berechnung des Sonnenstandes erläutert. Anschließend werden unterschiedliche Berechnungsvarianten und dazu entwickelte Programme vorgestellt, miteinander verglichen sowie die größten Einflussfaktoren bestimmt und analysiert. Des Weiteren wird der Einfluss der Krümmung der Erdoberfläche und die damit verbundene Refraktionserscheinung erläutert. 3. THEORETISCHE GRUNDLAGEN Möchte man den Sonnenstand bzw. die Sonnenposition in Abhängigkeit von Ort und Zeit ermitteln, ist zu beachten, dass zur Beschreibung der Position der Sonne zwei Kugelkoordinatensysteme gebräuchlich sind, das Horizontsystem und das Äquatorsystem [18]. Das Äquatorsystem nutzt zur Positionsbeschreibung der Sonne die Kugelkoordinaten der Deklination δ und des Sonnenstundenwinkels η. Im Horizontsystem wird die Position der Sonne dagegen in Bezug auf den astronomischen Horizont des Beobachters mit den Kugelkoordinaten Azimut λ S und Elevation h S beschrieben. In den Abbildungen und sind die zwei Bezugssysteme, des Horizont- und Äquatorsystems, dargestellt. Des Weiteren spielt die Bestimmung der Uhrzeit eine wesentliche Rolle. So wird diese zur Berechnung von Deklination und Zeitgleichung (ZGL) benötigt, weshalb sich der folgende Absatz mit der zeitlichen Definition befasst. Abb Das Äquatorsystem mit den Winkeln des Sonnenstundenwinkels t und der Deklination δ. Der Sonnenstundenwinkel wird über Süden im Nullpunkt entlang des Himmelsäquators gemessen. Die Deklination wird nach Norden positiv, nach Süden negativ gezählt. Links sind die Winkel aus der Sicht eines erdgebundenen Beobachters und rechts aus der Sicht eines außerhalb der Himmelskugel gedachten Beobachters dargestellt (aus: [29]) DIE ZEITGLEICHUNG Sieht man sich die Zeitrechnung in der Vergangenheit an, so erkennt man, dass unsere Bestimmung der Zeit traditionell auf einem scheinbaren Lauf der Sonne am Horizont basiert (Abb. 3.2.). Ab dem Jahr 1884 wurden erstmals Zonenzeiten eingeführt [19]. Diese Zonen basieren darauf, dass wenn sich die Sonne genau im Süden befindet, es 12:00 Uhr mittags ist. Dies ist die so genannte Ortszeit (OZ), dabei kann in mittlere und wahre Ortszeit unterschieden werden. Laut der Theorie sollte die Zeit, welche zwischen zwei Mittagen verstreicht, also genau 24 Stunden betragen. Doch es gibt Abweichungen. So dreht sich die Erde in 23 Stunden Abb Das Horizontsystem mit den Winkeln des Azimuts AZ und der Elevation h. Das Azimut zählt hierbei vom Süden entlang des Äquators, der Elevationswinkel senkrecht dazu zum Zenit positiv und zum Nadir negativ. Links sind die Winkel aus der Sicht eines erdgebundenen Beobachters und rechts aus der Sicht eines außerhalb der Himmelskugel gedachten Beobachters dargestellt (aus: [28]). Abb Die scheinbare tägliche Sonnenbahn am Horizont aus der Sicht eines erdgebundenen Beobachters auf der Nordhemisphäre. Diese scheinbare Sonnenbewegung erstreckt sich im Tagesverlauf von Ost nach West (aus: [30]). 03

9 und 56 Minuten einmal um ihre eigene Achse. Da die Erde im Laufe des Tages ein wenig auf ihrer Umlaufbahn um die Sonne vorangekommen ist, erklären sich somit die restlichen 4 Minuten bis zum Erreichen der vollen Länge des Tages. Da die Sonne dadurch in einer leicht anderen Richtung zur Erde steht, müsste die Erde sich so gesehen noch etwa 4 Minuten lang weiter drehen, um die Sonne für den gleichen Ort wieder im Süden stehen zu lassen [18]. Dieses Phänomen ist in Abbildung 3.3. dargestellt. Abb Die Schiefe der Ekliptik (Neigung der Erdachse). Dabei handelt es sich um den Winkel zwischen Himmelsäquator und der Ekliptikebene. So schwankt die Schiefe der Ekliptik in langperiodischen Zeitskalen leicht und beträgt zurzeit in etwa 23,4438 (aus: [31]). Abb Die zeitliche Abhängigkeit der Tageslänge von der Revolution und Rotation der Erde. Da die Erde nach einer Umdrehung um ihre Rotationsachse auch ein kleines Stück auf der Umlaufbahn um die Sonne vorangekommen ist, stellt sich die erwartete Blickrichtung zur Sonne erst ein wenig später ein (aus: [30]). Abb Die Exzentrizität der Erdbahn mit der ellipsenförmigen Erdumlaufbahn und der Sonne im Brennpunkt der Ellipse (aus: [32]). So sorgt die Schiefe der Ekliptik (Neigung der Erdbahn, Abb ) und die leichte Exzentrizität der Erdbahn (elliptische Erdumlaufbahn um die Sonne, Abb ) für ein Schwanken der wahren Tageslänge um den Mittelwert von 24 Stunden. Um diesen Effekt zu kompensieren, wurde die mittlere Ortszeit (MOZ) definiert. Diese mittlere Ortszeit basiert auf einer mittleren Sonnenposition und damit verbundenen gleichmäßigen (konstante Geschwindigkeit) und gleichförmigen (perfekte Kreisbahn) Bewegung der Erde um die Sonne. Die Problematik besteht darin, dass die mittlere Ortszeit nicht zur Berechnung der exakten Sonnenposition genutzt werden kann, da aufgrund der Mittelung zeitliche Unterschiede von bis zu 16 Minuten entstehen können. Anders gesagt, kann die wahre Sonne bis zu 16 Minuten eher oder später im Süden und somit im Zenit stehen als die gedachte mittlere Sonne. Man benötigt für genaue Berechnungen deshalb die wahre Ortszeit (WOZ). Diese entspricht genau der Zeit, welche uns eine altertümliche Sonnenuhr anzeigen würde [19] und zeigt, wie wir bereits wissen, aufgrund der Ekliptik und Exzentrizität der Erde keinen gleichmäßigen Verlauf. Sie kann aber mit Hilfe einer weiteren Größe folgendermaßen approximiert werden [9]: WOZ = MOZ + ZGL( d) (3.1) Sie wird demzufolge aus der mittleren Ortszeit und der sogenannten Zeitgleichung bestimmt. Der oben angesprochene Unterschied von bis zu 16 Minuten zwischen mittlerer Ortszeit und wahrer Ortszeit wird als Zeitgleichung [9] bezeichnet. Man kann die Zeitgleichung auch als Unterschied zwischen einer, die mittlere Ortszeit, anzeigenden mechanischen Uhr und einer Sonnenuhr verstehen [19]: ZGL( d) = WOZ MOZ (3.2) 04

10 Jedoch ist die Handhabung der Zeitgleichung nicht ganz so einfach. Denn selbst wenn die Erde der einzige Planet in unserem Sonnensystem wäre, könnte die Zeitgleichung nur mit entsprechenden Näherungsverfahren bestimmt werden. Wenn man die Störungen der Erdbahn aufgrund anderer Planeten mit betrachtet, ist verständlich warum die Formel zur Berechnung der Zeitgleichung nur approximiert angegeben wird. Es gibt Möglichkeiten diese relativ genau zu berechnen, jedoch würde dies für die benötigten Zwecke zu viel Rechenaufwand verursachen. Die Zeitgleichung selbst ist dabei von der Jahreszeit und somit dem gegebenen Tag im Jahr abhängig. Tatsächlich handelt es sich bei der Zeitgleichung um eine Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen mit vier Extremwerten [33]. Zum einen geht die Kompensation der Schiefe der Ekliptik ein, zum anderen natürlich die Exzentrizität (elliptische Erdumlaufbahn). Somit existieren zur Berechnung der Zeitgleichung unterschiedlichste Näherungskurven, welche unterschiedliche Ergebnisse der Bestimmung der Sonnenposition verursachen können. Die Schiefe der Ekliptik und die Exzentrizität der Erdbahn, die die Zeitgleichung mit ihren 4 lokalen Extremwerten bilden, sind in Abbildung dargestellt. Da die Zeitgleichung von dem Tag im entsprechenden Jahr abhängig ist, wird das Julianische Datum zur Berechnung herangezogen, welches im folgendem Abschnitt kurz erklärt werden soll. Julianische Datum unabhängig von unregelmäßigen Einflüssen wie unterschiedlich langer Monate oder Schaltjahre. Man kann somit auf einfachste Weise den genauen Tag im Jahr, ohne auf die Monatslänge des zu betrachtenden Jahres zu achten, bestimmen und zur Berechnung der Zeitgleichung heranziehen. Da die Menschheit unterschiedlichste Formen von Zeitskalen verwendet (UTC, UT+1, TDT ), muss bei der Verwendung des Julianischen Datums lediglich auf entsprechende Konsistenz geachtet werden. Auf diese Weise kann jedem beliebigen Zeitpunkt eine eindeutige Gleitkommazahl zugeordnet werden. Diese besteht aus dem ganzzahligem Anteil der verstrichenen Tage und dem restlichen Tagesbruchteil im Nachkommastellenbereich. In der Regel entspricht ein Tag in etwa Sekunden. Berechnet wird das Julianische Datum folgendermaßen [3]: JD = INT (365, 25*( Jahr )) + INT (30, 6001 (3.3) *( Monat + 1)) + Tag + Stunde + B 1524,5 Wobei INT für den ganzzahligen Anteil steht und des Weiteren folgende Vereinbarungen getroffen werden müssen. In den Monaten März bis Dezember bleibt das Jahr gleich dem Jahr und der Monat gleich dem Monat. Im Januar und Februar muss das Jahr um 1 reduziert und zum Monat 12 hinzu addiert werden. Zudem wird die Stunde in eine Gleitkommazahl überführt: Stunde Minute Sekunde Stunde _ flt = (3.4) Als weitere Vereinbarung muss B folgendermaßen definiert werden. Ist das Datum größer oder gleich dem , wird der Gregorianische Kalender zur weiteren Berechnung verwendet [3]: Abb Die Zeitgleichung mit ihren vier lokalen Extremwerten und in ihr enthaltenen zwei harmonischen Schwingungen. Dabei handelt es sich um die Kompensation aufgrund der Schiefe der Ekliptik und der Exzentrizität der Erdbahn (aus: [33]). A = INT Jahr ( ) 100 A B = 2 A + INT ( ) 4 (3.5) (3.6) 3.2. DAS JULIANISCHE DATUM Entspricht das Datum hingegen einem Wert kleiner oder gleich dem , wird der Julianische Kalender zur Berechnung verwendet: B = 0 (3.7) Bei diesem Datum handelt es sich um eine auf Tagen basierende Zeitangabe. So gibt das Julianische Datum (JD) die Zeit in Tagen an, die seit dem 1. Januar 4713 v. Chr. 12 Uhr vergangen sind [3]. Da dieser Art der Zeitrechnung eine kontinuierliche Zeitzählung (fortlaufende Tageszählung) zugrunde liegt, ist das Das Datum zwischen dem und dem existiert nicht. So folgt auf dem des Julianischen Kalenders direkt der im Gregorianischen Kalender [3]. Jedoch kann die Konvention des Nullpunktes der 05

11 Berechnung des Julianischen Datums auch anders festgelegt sein. Ein in dieser Arbeit untersuchtes Programm verwendet z. B. den Bezug zum Jahr Die hier vorgestellte Konvention entspricht dabei dem astronomischen Julianischen Datum DAS ÄQUATORSYSTEM Da der Azimut und der Elevationswinkel im Horizontsystem aus der Deklination und dem Sonnenstundenwinkel gebildet werden, muss als erstes die theoretische Grundlage der Winkel im Äquatorsystem gelegt werden. Man kann den Deklinationswinkel oder kurz die Deklination als eine Art Positionsangabe der Sonne im Jahresverlauf verstehen. Er beschreibt vereinfacht gesprochen den Breitengrad über dem das Gestirn, in unserem Fall die Sonne, im Zenit steht [9]. Dank der Wendekreise ist dieser Winkel schon jedem von uns bekannt. Es handelt sich hierbei um den Winkel zwischen der Äquatorebene der Erde und dem Sonnenvektor (der direkten Verbindung von Erdmittelpunkt und Sonne). Aufgrund der Schiefe der Ekliptik sowie der Exzentrizität der Erdbahn ändert sich dieser Winkel im Jahresverlauf. Dieser Jahresgang führt zu den schon erwähnten Breitengradwanderungen der Sonne zwischen dem nördlichen und südlichen Wendekreis. Der Winkel kann somit eine Spanne von -23,5 (südlich der Äquatorebene) bis 23,5 (nördlich der Äquatorebene) aufweisen. Wie auch die Zeitgleichung ist die Deklination eine Funktion in Abhängigkeit des Tages und wird deshalb wieder mit Hilfe des Julianischen Datums bestimmt. Die Abhängigkeit der Uhrzeit spielt hier jedoch nur eine untergeordnete Rolle. Da die Deklination von der Exzentrizität der Erdbahn beeinflusst wird, kann diese ähnlich der Zeitgleichung nur näherungsweise bestimmt also approximiert werden. Abbildung stellt den Jahresgang der Deklination grafisch dar. Der zweite wichtige Winkel im Äquatorsystem ist der Sonnenstundenwinkel. Hierbei handelt es sich um eine Funktion der wahren Sonnenzeit und somit der wahren Ortszeit [9]. So stellt der Sonnenstundenwinkel den Winkel zwischen dem Südmeridian und dem Sternmeridian dar. Er wird von 12 Uhr mittags gemessen und beträgt dort 0, sodass die Nachmittagswerte mit negativen Werten belegt sind. Da die Sonne am Horizont alle 4 Minuten einen Weg von einem Grad zurücklegt, ist auch die Formel zur Berechnung des Sonnenstundenwinkels aus der wahren Ortszeit verständlich. Die dort enthaltenen 15 beschreiben eben dieses fortschreiten mit 15 pro Stunde. Die 12 kennzeichnet das Nullsetzen des Winkels auf 12 Uhr mittags [9]: WOZ η = 15 *( 12) h 3.4. DAS HORIZONTSYSTEM (3.8) Anders als im Äquatorsystem wird im Horizontsystem die Position der Sonne, in Bezug auf den astronomischen Horizont des Beobachters, mit den Kugelkoordinaten des Azimuts und des Elevationswinkels beschrieben. Es handelt sich beim Azimut um den Winkel zwischen dem Ortsmeridian und dem Sternmeridian [9]. Hier ist darauf zu achten, dass zwei unterschiedliche Zählweisen existieren. So wird in der astronomischen Zählweise Süden als Nullpunkt gesetzt und das Azimut über Westen gezählt. Anders ist es dagegen in der geodätischen Zählweise. Hier liegt der Nullpunkt im Norden und das Azimut wird über Osten gemessen. Der Winkel selbst besitzt eine Spannweite von 0 bis 2. Beide Zählweisen wurden in Abbildung grafisch dargestellt. Abb Der Jahresgang der Deklination. Betrachtet man die Werte als Breitengrade ist die Wanderung der Sonne zwischen den Wendekreisen im Jahresgang klar ersichtlich (aus: [34]). Abb Die astronomische (links) und geodätische (rechts) Zählweise des Azimuts aus Sicht des Zenits im Horizontsystem (aus: [28]). 06

12 Der zweite entscheidende Winkel zur Positionsangabe der Sonne im Horizontsystem ist der Elevations- oder auch Höhenwinkel. Er bezeichnet den Winkel zwischen der Horizontebene des Beobachters und dem Stern, in unserem Fall der Sonne [9]. Der Winkel wird lotrecht zum Horizont und positiv in Richtung des Zenits gemessen. Er kann eine Spannweite von 0 bis /2 umfassen. Um die zwei Winkel berechnen zu können, benötigt man die Deklination und den Sonnenstundenwinkel. Dabei handelt es sich um eine Umrechnung zweier Koordinatensysteme, in diesem Fall die Umwandlung des Äquatorsystems in das Horizontsystem. Um diese Transformation durchzuführen, behilft man sich des sphärischen oder auch nautischen Dreiecks DIE KOORDINATEN- TRANSFORMATION MITTELS NAUTISCHEN DREIECKS Abb Das nautische Dreieck. Eingetragen sind die Winkel des Sonnenstundenwinkel t, der Deklination δ, des Azimuts AZ und der Elevation h (aus: [35]). Das nautische Dreieck beschreibt ein Dreieck auf einer Kugeloberfläche [17]. Um mit diesem rechnen zu können (Trigonometrie des ebenen Dreiecks gilt nicht mehr), bedient man sich der sphärischen Trigonometrie. Die Seitenlängen werden dabei im Winkelmaß angegeben. Für unsere Umwandlung benötigen wir als Eckpunkte des Dreiecks den Zenit, den Pol und die Sonne. Man erkennt in der Abbildung , dass es sich bei dem Winkel am Pol um den Sonnenstundenwinkel handelt. Der Winkel zwischen Südmeridian und Sternmeridian am Zenit ist das Azimut im Horizontsystem. In Abbildung sind die Seitenlängen des sphärischen Dreiecks noch einmal genauer dargestellt. Es handelt sich bei der Seitenlänge zwischen Zenit und Sonne um die so genannte Zenitdistanz z. Diese kann folgendermaßen bestimmt werden: z = 90 h (3.9) Die Seitenlänge vom Pol zur Sonne entspricht genau dem Komplementärwinkel der Deklination (90 -δ). Die letzte benötigte Seitenlänge ist die Verbindung vom Pol zum Zenit. Da sich der Himmelspol in der Höhe φ über dem Horizont befindet, besitzt dieser den Wert 90 -φ. Um die Winkel im Horizontsystem aus dem Äquatorsystem herleiten zu können, benötigt man folgende Sätze der sphärischen Trigonometrie [17]. Abb Das nautische Dreieck. Eingetragen sind die Seitenlängen der Zenitdistanz z mit 90 -h, der Komplementärdistanz der Deklination δ mit 90 -δ und die Komplementärdistanz der Höhe φ mit 90 -φ (aus: [35]). Der Seiten-Kosinus-Satz: cos( a) = cos( α)*sin( b)*sin( c) + cos( b)*cos( c) (3.11) Die Winkel und Seiten des sphärischen Dreiecks werden folgendermaßen definiert [18]: Die Fünf-Elemente-Formel: sin( α)*cos( β ) = cos( b)*sin( c) sin( b)*cos( c) *cos( α) (3.10) α = t β = 180 AZ a = z b = 90 δ c = 90 ϕ (3.12) 07

13 Diese Annahmen werden in die Winkelsätze übertragen, wodurch sich folgende Gleichungen ergeben. Die Fünf-Elemente-Formel: sin( z)* cos(180 AZ) = cos(90 δ )*sin(90 ϕ) (3.13) sin(90 δ )*cos(90 ϕ)*cos( t) Der Seiten-Kosinus-Satz: cos( z) = cos( t)*sin(90 δ )*sin(90 ϕ) + cos(90 δ )*cos(90 ϕ) (3.14) Da dies in der Praxis des Programmierens zu Problemen und längeren Quelltexten führen kann, kann man dort den ATAN2 verwenden und Programmieraufwand sparen. Dieser gibt den Arkustangens ausgehend von einer x- und einer y-koordinate, im Bereich von < ATAN2(x,y) [11]. λs = ATAN 2(sin( η)*cos( δ ),cos( η)*cos( δ ) *sin( ϕ) sin( δ )*cos( ϕ)) (3.19) Damit wären die theoretischen Grundlagen gelegt und es werden die unterschiedlichen Berechnungsvarianten vorgestellt. Unter Berücksichtigung der Winkelverhältnisse am Einheitskreis mit sin(x) = cos(90 -x) = sin(180 -x) und cos(x) = sin(90 -x) = -cos(180 -x) folgt. 4. VERWENDETE BERECHNUNGS- METHODEN Die Fünf-Elemente-Formel: sin( z)*cos( AZ) = cos( δ )*sin( ϕ)*cos( t) sin( δ ) *cos( ϕ) Der Seiten-Kosinus-Satz: cos( z) = cos( t)*cos( δ )*cos( ϕ) + sin( δ )*sin( ϕ) (3.15) (3.16) Somit folgt für das Azimut und die Elevation mit der oben beschriebenen Typendeklaration folgende Berechnung. Elevation: sin( hs ) = cos( z) = cos( η)*cos( δ )*cos( ϕ) + sin( δ ) (3.17) *sin( ϕ) Dieses Kapitel befasst sich mit den in dieser Bachelorarbeit untersuchten Programmen und dessen Berechnungsmethoden. Die Unterschiede liegen dabei in der Berechnung von Deklination und Zeitgleichung. Sie können, wie wir bereits wissen, nur approximiert oder mit hohem Rechenaufwand korrekt wiedergegeben werden. Die ersten drei Berechnungsmethoden waren als Formelsammlung gegeben. Die entsprechenden Programme wurden mit Fortran 95 erzeugt und die Quelltexte auf der Anhangs DVD hinterlegt. Alle Programme wurden so modifiziert, dass es möglich war, zwei globale Tages- und einen globalen Jahresgang des Sonnenstandes mit den Parametern des Azimuts und der Elevation erzeugen zu können. Azimut: cos( δ )*sin( ϕ)*cos( η) sin( δ )*cos( ϕ) sin( λs ) = sin( ) (3.18) Da es sich bei der Formel zur Berechnung des Azimuts um eine Folge von Sinus- und Kosinusgliedern handelt, liegt das zu erwartende Resultat immer zwischen 0 und 180. Bei Werten des Azimuts größer als 180, wird der berechnete Winkel wieder Richtung 0 verkleinert. Möchte man jetzt das korrekte Resultat des Azimuts erhalten, muss man den Sonnenstundenwinkel in drei Bereiche einteilen. Liegt dieser zwischen 0 und 180 oder ist dieser größer als 360 muss man das erhaltene Ergebnis von 360 subtrahieren. In allen anderen Fällen ist der direkt berechnete Wert des Winkels korrekt. h S 4.1. NOAA-1 Das erste Programm stammt von der NOAA (National Oceanic and Atmospheric Administration) aus dem Surface Radiation Research Branch: NOAA GVI GUIDE APPENDIX L: Software to Calculate Relative Azimuth from Third Generation Weekly Composite GVI Date [7]. Die in diesem Programm verwendeten Formeln zur Approximation der Deklination und Zeitgleichung beinhalten das so genannte Fractional Year g. Es handelt sich bei dieser Größe um die Zeit in Tagen, die in diesem solaren Jahr schon verstrichen sind. Die Berechnung des Fractional Year erfolgt aus dem Tag im Jahr, der Uhrzeit in UTC und der Jahreslänge in Tagen. Bei dem Ergebnis handelt es sich somit um eine Gleitkommazahl. 08

14 (4.1) Mit Hilfe diesen Jahres werden die zwei weiteren Größen approximiert. (4.2) (4.3) Die numerischen Werte, die in diesen Formeln auftreten, haben keine speziellen Namen und stammen aus komplizierten orbitalen Gleichungen der Planeten und deren Beeinflussung zueinander. Zur Vereinfachung der Namensgebung in folgenden Kapiteln soll diese Berechnungsvariante mit der Abkürzung NOAA-1 gekennzeichnet werden NOAA hour g = ( day + ) 365, δ = 0, , 91327* cos( g) + 4, *sin( g) 0, * cos(2 g) + 0, *sin(2 g) 0,154527* cos(3 g) + 0, *sin(3 g) ZGL = 0, ,107029* cos( g) 1, *sin( g) 0,837378* cos(2 g) 2, *sin(2 g) Das zweite verwendete Programm stammt ebenfalls von der NOAA (National Oceanic and Atmospheric Administration), weshalb die Namensgebung NOAA-2 Verwendung finden soll. Diese Berechnung beruht auf den Gleichungen des Buches Astronomical Algorithms von Jean Meeus [8]. Die Genauigkeit des Programms liegt bei Minutenbruchteilen in Bereichen von 72 südlicher bis 72 nördlicher Breite und wenigen Minuten in den Gebieten nahe den Polen. Die Approximationen, welche diesem Programm zu Grunde liegen, sind für die Jahre von 1800 bis 2100 optimiert. Außerhalb dieser Zeitspanne steigt das Potential von Fehlern in den Ergebnissen rapide an. Zum Zweck der Berechnung wurde der Gregorianische Kalender rückwirkend extrapoliert. Möchte man ein Jahr vor dem 15. Oktober 1582 berechnen, muss dies vorher korrigiert werden. Auch hier wird wieder vom Fractional Year zur Berechnung der Deklination und Zeitgleichung ausgegangen. Jedoch erfolgt die Berechnung etwas anders und die Approximationen der Deklination und Zeitgleichung sind entsprechend angepasst. Zudem werden die Winkel in Radiant ausgegeben. 2π hour 12 g = ( day 1 + ) (4.4) δ = 0, , * cos( g) + 0, *sin( g) 0, * cos(2 g) + 0, *sin(2 g) 0, * cos(3 g) + 0, *sin(3 g) ZGL = 229,18*(0, , * cos( g) 0, *sin( g) 0, * cos(2 g) 0, *sin(2 g)) 4.3. PALMAGE (4.5) (4.6) Die dritte Berechnungsvariante stammt von Hagen S. Fischer und Hans Gilgen aus ihrer Arbeit über DACHRad-Berechnung der direkten Sonneneinstrahlung in Deutschland, Österreich und der Schweiz [9]. Die hier verwendeten Näherungsformeln für Deklination und Zeitgleichung stammen von Palmage aus dem Jahr 1976 und wurden in Funk von 1985 zitiert. Die hier verwendete Namensgebung soll deshalb die Nomenklatur von Palmage erhalten. Auch wurde hier wieder mit dem Fractional Year gearbeitet, jedoch geht keine Uhrzeit mit ein. Die Schiefe der Ekliptik wurde mit 23,4438 festgelegt. (4.7) ZGL = 0,12357*sin( g) + 0, * cos( g) (4.9) 0,153809*sin(2 g) 0, * cos(2 g) 4.4. WEW g = ( day 1) 365 sin( δ ) = sin(23, 4438)*sin(279, g 1, *sin( g) 0, * cos( g) + 0, (4.8) *sin(2 g) 0, 00162* cos(2 g) Das vierte in dieser Bachelorarbeit untersuchte Programm stammt von Paul Ricchiazzi (Earth Space Research Group, UCSB) aus dem Jahr Dieses wurde 2006 von Thomas Ruhtz (Institut für Weltraumwissenschaften, der Freien Universität Berlin) erweitert [10]. Anders als die anderen untersuchten Programme basiert dieses nur indirekt auf berechnete Werte für Deklination und Zeitgleichung, da es keine impliziten Formeln zur Berechnung beider Größen beinhaltet. Dagegen basiert das Programm auf 74 zuvor berechnete Stützstellen der Deklination und Zeitgleichung. Die fehlenden Zwischenwerte werden aus diesen 74 Stützstellen interpoliert. Da das 09

15 Programm zuletzt am Institut für Weltraumwissenschaft, der Freien Universität Berlin erweitert wurde, soll es mit dem Namen WEW-1 versehen werden. können, werden verschiedenste statistische Methoden verwendet. Diese statistischen Methoden werden in diesem Kapitel genauer vorgestellt WEW DER ARITHMETISCHE MITTELWERT Ein weiteres Programm wurde 1999 von Jarmo Lammi geschrieben und im Jahr 2008 von Thomas Ruhtz (Institut für Weltraumwissenschaften, der Freien Universität Berlin) erweitert [11]. Dieses Programm geht bei der Berechnung von Deklination und Zeitgleichung von der Anzahl der Tage, die seit dem vergangen sind, aus. Die Berechnung dieser Tageszahl erfolgt folgendermaßen: jd 2000 year month + 9 month = 7*( + ) + 275* hour + day + year * (4.10) Eine der wichtigsten Grundgrößen, die der statistischen Datenanalyse zu Grunde liegt, ist der arithmetische Mittelwert. Bei diesem handelt es sich um einen Lageparameter einer Verteilung, Stichprobe oder Grundgesamtheit. Dieser ist dazu gedacht, die Informationen, welche in einer längeren Zeitreihe enthalten sind, in einer Variablen zu konzentrieren. Anders gesagt bezeichnet es eine Maßzahl zur Beschreibung von Eigenschaften einer Häufigkeits- oder Wahrscheinlichkeitsverteilung. Berechnet wird das arithmetische Mittel aus dem Stichprobenumfang n und der einzelnen Messwerte x i [16]: Die Schiefe der Ekliptik wird wie folgt berechnet: obliquity = 7 23, , 567*10 * (4.11) Nach Einführung folgender Approximationen kann die Deklination und Zeitgleichung berechnet werden: jd 2000 x + x x x = = 1 n 1 2 n xi n i= 1 n 5.2. DIE STANDARDABWEICHUNG (5.1) m = 356, , * jd w = , , 70935*10 * jd λ = m + w + 1, 915*sin( m) + 0, 02*sin(2 m) cos( obliquity)*sin( λ) α = atan 2( ) cos( λ) (4.12) (4.13) (4.14) (4.15) Eine zweite wichtige, vom Mittelwert abhängige, Variable zur statistischen Untersuchung stellt die Standardabweichung dar. Es ist ein Maß für die Streuung der einzelnen Werte einer Zufallsvariable um ihren Mittelwert. Berechnet wird die Standardabweichung aus dem Mittelwert sowie dem Stichprobenumfang n und der Messwerte x i [16]: sin( δ ) = sin( obliquity)*sin( λ) ZGL = 1440 ( m + w α)*4 (4.16) (4.17) Bezeichnet wird dieses Programm in den folgenden Kapiteln mit der Nomenklatur WEW-2. n 1 std = ( xi x) 1 n i= 1 (5.2) Mit Hilfe dieser zwei Größen kann eine Regressionsgerade der Stichproben oder eine Regressionsgerade zweier zu vergleichender Stichproben definiert werden GRUNDLAGEN VERWENDETER STATISTIK 5.3. DIE LINEARE REGRESSION Um die Programme bzw. unterschiedlichen Berechnungsvarianten untereinander vergleichen zu Bei einer Regressions- oder Ausgleichsgeraden handelt es sich um eine lineare Gleichung. Sie be- 10

16 schreibt die Gerade durch eine Punktwolke (Stichproben), bei welcher die Summe der quadrierten Abweichungen der Punkte von der Geraden in Y-Richtung (der Residuen) minimal wird (Methode der kleinsten Quadrate). Vergleicht man zwei Stichproben miteinander, so sind diese als signifikant gleich zu betrachten, wenn sie der Ursprungsgeraden entsprechen. Umso größer der Unterschied zur Ursprungsgeraden ausfällt, desto signifikant unterschiedlicher sind die beiden Stichproben zueinander. Der Grad des Zusammenhanges der Zufallsgrößen X und Y, für die n Paare von Einzelwerten x i und y i vorliegen, wird durch den sogenannten Korrelationskoeffizienten r xy beschrieben. Dieser Korrelationskoeffizient wird folgendermaßen berechnet [16]: 5.5. DER F-TEST Der f-test dient analog zur Überprüfung der Hypothese der Gleichheit zweier Standardabweichungen unter der Voraussetzung, dass die Stichproben normalverteilt sind. Im Gegensatz zum t-test muss beim f-test immer mit zwei Werten für die Anzahl der Freiheitsgrade gerechnet werden. Als Prüfgröße verwendet man den Quotienten der empirischen Varianzen, wobei man die größere Varianz als Zähler wählt. Die Prüfgröße genügt hier einer f-verteilung mit den Freiheitsgraden Φ 1 =n x -1 und Φ 2 =n y -1. Allgemein ist der f-test gegenüber dem t-test empfindlicher bei Abweichungen von der Normalverteilung [16]: r xy = n i= 1 ( x x)*( y y) i n n 2 2 ( xi x) * ( yi y) i= 1 i= 1 i (5.3) ˆ std f = std 2 x 2 y (5.6) Die Regressionsgerade kann anschließend mit folgender linearer Gleichung definiert werden: 5.6. DAS KONFIDENZINTERVALL (5.4) Um die Mittelwerte und deren entsprechende Standardabweichungen miteinander vergleichen zu können, benötigt man spezielle Testverfahren. Diese Testverfahren werden t-test und f-test genannt DER T-TEST std y y( x) = rxy ( x x) + y std x Beide Tests beruhen auf einem Konfidenzintervall, auch Vertrauensbereich oder Mutungsintervall genannt. Dieser muss vor dem Test frei gewählt werden und sagt etwas über die Präzision der Lageschätzung des untersuchten Parameters aus. Das Konfidenzintervall schließt einen Bereich um den geschätzten Wert des Parameters ein. So ist es möglich, mit einer zuvor festgelegten Wahrscheinlichkeit, die wahre Lage des Parameters zu treffen. Die Wahl des korrekten Wertes des Konfidenzintervalls hängt von den zu untersuchenden Größen und deren Unterschiede zueinander ab [16]. Mit Hilfe des t-tests können zwei Mittelwerte aus unterschiedlichen Stichproben geprüft und somit verglichen werden. Es ist ein statistischer Hypothesentest mit t-verteilter Testprüfgröße. Dabei kann gefiltert werden, ob die Mittelwerte verträglich oder signifikant unterschiedlich sind. Als Annahme wird die Unabhängigkeit beider Stichproben zueinander vorausgesetzt. Der t-test ist bei Stichprobenumfängen größer 30 als verteilungsfrei zu charakterisieren, das heißt die Normalverteilung wird nicht vorausgesetzt. Zur Berechnung wird die Anzahl der jeweiligen Stichproben n i der Verteilungen sowie die dazugehörigen Standardabweichungen std i benötigt. Die Freiheitsgrade des Tests sind mit Φ=n x +n y -2 gegeben [16]: tˆ = x y 2 2 ( nx + ny )[( nx 1)* stdx + ( ny 1)* std y ] n * n ( n + n 2) x y x y (5.5) 6. DATENGRUNDLAGE Die mit den zur Verfügung stehendenden Berechnungsmethoden und Programmen erzeugten Daten liegen in folgender Form vor und sind auf der beigelegten Anhangs-DVD enthalten. Es handelt sich um global berechnete Werte von Azimut und Elevation. Die verwendete Maschenweite beträgt 1, die geografische Breite erstreckt sich von 89 Süd bis 89 Nord und die geografische Länge von 0 bis 359, sodass das Gitter eine räumliche Auflösung von 179 x360 besitzt. Um die zeitlichen Strukturen zu untersuchen, wurden drei Rechenläufe gestartet. Zwei davon sind Tagesgänge vom und vom Bei dem dritten handelt es sich um einen Jahresgang mit festgelegter Uhrzeit von 12 Uhr UTC. 11

17 7. VERGLEICH UND STRUKTUR- ANALYSE Damit die unterschiedlichen Berechnungsmethoden und Programme besser untereinander verglichen sowie zeiträumliche Strukturen ausfindig gemacht werden können, wurden die im Kapitel Grundlagen verwendeter Statistik vorgestellten statistischen Analysen in folgender Art und Weise angewandt. Für die zeitlichen Untersuchungen der Tagesgänge wurden neun Städte ausgewählt und ihre Daten zum Vergleich herangezogen. Diese wurden so gewählt, dass ihre räumliche Lage eine entsprechend globale Verteilung aufweisen kann. Es handelt sich bei diesen Orten um Jakutsk, Berlin, Ottawa, Singapur, Nairobi, Quito, Santiago de Chile, Kapstadt und Canberra. Der Großteil der grafischen Abbildungen befindet sich im Anhang dieser Arbeit REGRESSIONSANALYSE Um erste Unterschiede zwischen den einzelnen Methoden sichtbar zu machen, wurden Regressionsgeraden des Elevationswinkels beider Tagesgänge der oben genannten Orte erstellt. Betrachtet man sich die Regressionsgeraden des Elevationswinkels vom auf der Nordhemisphäre wie z. B. in Berlin (Abb ), sind erste Aussagen bezüglich gut übereinstimmender Berechnungsvarianten möglich. So zeigen die Vergleiche von NOAA-2 vs. Palmage, NOAA-1 vs. WEW-2 und Palmage vs. WEW-1 die besten Übereinstimmungen. Ein ähnliches Bild ergibt sich in Ottawa sowie Jakutsk, den anderen sich auf der Nordhemisphäre befindlich untersuchten Städte. Betrachtet man die Regressionsgeraden der Städte nahe dem Äquator wie z. B. Singapur, ergibt sich ein identisches Bild mit der Einschränkung, dass die Unterschiede deutlich geringer ausfallen (Abb ; s. Anh.). Dagegen nehmen die Unterschiede auf der südlichen Hemisphäre wieder zu (Abb ; s. Anh.). Es ist also möglich, erste Vermutungen bezüglich global verteilter Unterschiede in den Berechnungsmethoden treffen zu können. So entstehen am Äquator geringere Unterschiede als in Pol naher Lage. Dieser Effekt kann im zweiten Tagesgang, dem , bestätigt werden. Einziger Unterschied sind die aufgrund des Jahresganges hervorgerufenen größeren Abweichungen zueinander (Abb ; s. Anh.). Abb Regressionsgeraden der untersuchten Berechnungsmethoden des Elevationswinkels in Berlin am

18 7.2. SIGNIFIKANZANALYSE In diesem Kapitel wurden die Mittelwerte und Standardabweichungen der Berechnungsmethoden auf Signifikanz hin untersucht. Da es sich um sehr geringe Unterschiede von wenigen Zehntelgrad handelt, muss ein sehr hohes Konfidenzniveau angesetzt werden. So wurde mit Werten im Bereich von 93 bis 99 % gearbeitet. Ist beim Elevationswinkel und einem Konfidenzniveau von 93 % noch eine sehr gute Übereinstimmung aller Programme zu verzeichnen, reduziert sich diese mit Erhöhen des Konfidenzniveaus auf 99 % rapide (Abb und Abb ; s. Anh.). Zudem ist eine klare Abhängigkeit, die sich aufgrund der Jahreszeit ergibt, zu erkennen. Sieht man sich die Signifikanz der Berechnungsmethoden vom (Nordwinter) an, ist ein deutlicher Unterschied der Signifikanzen zwischen Nord- und Südhemisphäre zu erkennen. Wie schon bei der linearen Regression ersichtlich existiert eine von der geografischen Breite abhängige globalräumliche Struktur. So zeigt erst das Erhöhen des Konfidenzniveaus von 97 auf 99 % erste Unterschiede in äquatorialen Bereichen. Betrachtet man den Vergleich der Mittelwerte vom miteinander (Abb ; s. Anh.), also einem Sommertag der Nordhemisphäre, fällt die hohe Signifikanz aller Berechnungsmethoden zueinander auf. Dies liegt an dem noch später genauer untersuchten Jahresgang. Die entsprechenden Signifikanzen der Standardabweichungen beider Zeiträume zeigen exakt dieselben Strukturen. Etwas anders sehen die Strukturen hingegen beim Test der Signifikanz der berechneten Azimute aus. So existieren dort insgesamt geringere Unterschiede mit daraus resultierender hoher Signifikanz zueinander. Selbst bei einem Signifikanzniveau von 99 % können fast alle Methoden als signifikant gleich angesehen werden. Einzig die Berechnungsmethode NOAA-2 bildet hier eine Ausnahme. So fallen die Vergleiche von NOAA-2 mit den übrigen Berechnungsmethoden allgemein eher schlecht aus (Abb ). Der Grund hierfür wird in der später noch behandelten globalen Verteilung ersichtlich. Die Abhängigkeit von der geografischen Breite scheint beim Azimut hingegen zu entfallen. So sind eher größere Unterschiede nahe dem Äquator zu finden. Betrachtet man erneut die Standardabweichungen (Abb ; s. Anh.), so ist die relativ schlechte Übereinstimmung von NOAA-2 mit den restlichen Programmen noch einmal besonders gut zu erkennen. Hier scheint die Abhängigkeit von der geografischen Breite eher bei größeren Unterschieden nahe dem Äquator zu liegen. Der Vergleich mit dem zeigt, wie schon beim Vergleich der berechneten Elevationswinkel zu sehen war, ein ganz ähnliches Bild mit der Eigenschaft der deutlich geringeren Abweichungen zueinander. Abb Berechnete Signifikanzen der Mittelwerte des Elevationswinkels bei einem Konfidenzniveau von 97 % am

19 Abb Berechnete Signifikanzen der Mittelwerte des Azimuts bei einem Konfidenzniveau von 99 % am ZEITRÄUMLICHE STRUKTUR- ANALYSE Um verstehen zu können wie die oben erwähnten Unterschiede zustande kommen, muss man sich sowohl der zeiträumlichen Verteilung der jeweiligen Differenzen als auch der Unterschiede in den Berechnungsmethoden bewusst sein. Die nachfolgenden Abbildungen wurden erstellt, um eine zeiträumliche Strukturanalyse durchführen zu können. Bei diesen handelt es sich einerseits um globale Karten der Unterschiede des berechneten Azimuts und Elevationswinkels und andererseits um zonal und meridional gemittelte Flächendiagramme im Jahres- und Tagesgang ZONALE ANALYSE DES TAGESGANGES In den folgenden Abbildungen (Abb ; s. Anh. und Abb ) sind zonal gemittelte Tagesgänge des Elevationswinkels dargestellt. Sehr gut zu erkennen ist die Verteilung entlang der geografischen Breite bezüglich der Sonnenposition im Jahresgang. Die Abbildung (s. Anh.) zeigt diesen Jahresgang, in dem der Jahresgang der Deklination noch einmal nachvollzogen werden kann. Betrachtet man alle Abbildungen, erkennt man große Unterschiede in den zonal gemittelten Strukturen des Elevationswinkels in Abhängigkeit vom Tagesgang der einzelnen Berechnungsmethoden zueinander. Es sind größere und kleinere Abweichungen von 0,12 bis 0,4 festzustellen. Viel interessanter sind hingegen die erkennbaren inversen Vorzeichen der Abweichungen sowie die schiefliegenden gegenüber den horizontal parallelen Flächen. Die größten Abweichungen des Elevationswinkels im zonalen Mittel sind in allen Vergleichen aufgrund des Sonnenstandes jeweils bei den niedrigen Winkeln nahe dem entsprechenden Winterpol vorzufinden. Die geringsten Unterschiede zeigen sich somit im Bereich des Zenits. Betrachtet man den Tagesgang des Elevationswinkels, kann man zwei unterschiedliche Verläufe erkennen. Die meisten Berechnungsmethoden zeigen im Tagesgang keine oder nur eine sehr geringfügige Abweichung voneinander, was an den horizontalliegenden Flächen gut zu erkennen ist. Einen anderen Effekt zeigt hingegen die Berechnungsmethode nach Palmage. Anders als in den übrigen Verläufen sind hier Abweichungen im Tagesgang von bis zu 0,25 zu verzeichnen und ist an den schiefliegenden Flächen zu erkennen. Dieses Phänomen wird durch die unterschiedliche Berechnungsmethode hervorgerufen. So ist die Methode nach Palmage die 14

20 Abb Vergleich der Winkeldifferenzen des zonal gemittelten Elevationswinkels im Tagesgang der Berechnungsmethoden von Palmage und WEW-1 am Einzige, welche in die Berechnung von Deklination und Zeitgleichung nur ganzzahlige Elemente des Tages im Jahr mit einbezieht. Angebrochene Tage werden hier, entgegen dem Fractional Year der anderen Methoden, nicht mit berücksichtigt. Somit kommen im Tagesgang die erwähnten Abweichungen zustande. Die oben angesprochenen inversen Vorzeichen der entsprechenden Differenzen wie man sie z. B. bei den Vergleichen von NOAA-1 vs. NOAA-2 und WEW-1 vs. WEW-2 vorfinden kann, basieren lediglich auf einer entsprechenden zeitlichen Verschiebung, welche auch in den meridionalen Strukturen noch einmal ersichtlich wird. Am Ende dieses Kapitels wird zudem noch auf quantitative Werte dieser zeitlichen Verschiebung eingegangen MERIDIONALE ANALYSE DES TAGESGANGES man eine sich zyklisch wiederholende Wellenstruktur erkennen. Selektiert man einen bestimmten Zeitpunkt, kann eine klare Abfolge von entsprechenden Extremwerten ausfindig gemacht werden. So sind die Beträge der Abweichungen links- und rechtsseitig der gerade vorherrschenden Sonnenposition zwar gleich groß, jedoch verhalten sich die Vorzeichen invers dazu. So ist ähnlich der zonalen Struktur ein Betragsgradient der Differenzen des Elevationswinkels bezüglich kleiner Winkel erkennbar. Die Unterschiede links- und rechtsseitig der Sonnenposition, also in geografischer Längenänderung, sind deutlich stärker als im Zenit selbst. Die inversen Strukturen, die sich zum Teil wieder umkehren (NOAA-1 vs. WEW-2 und NOAA-2 vs. Palmage), können auch hier mit der zeitlichen Verschiebung erklärt werden. Der Einfluss bzw. Unterschied von Palmage bezüglich der anderen Programme mit Fractional Year g ist auch in den meridional gemittelten Abbildungen klar zu erkennen (vgl. NOAA-2 vs. Palage und NOAA-2 vs. WEW-1). Die auftretenden Unterschiede liegen im Bereich von 0,08 bis 0,15. Untersucht man die meridional gemittelten Differenzen der Elevationswinkel der unterschiedlichen Berechnungsmethoden im Tagesverlauf (Abb und Abb ; s Anh.), kann 15