d co ner Laufräder wird angenommen, daß die Axialkräfte bis zum kleinsten Durchmesser der Tragscheiben-Aussparungen ausgeglichen sind.

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1 9.3 Radialkräfte 543 d co Abb Offenes Laufrad ner Laufräder wird angenommen, daß die Axialkräfte bis zum kleinsten Durchmesser der Tragscheiben-Aussparungen ausgeglichen sind Instationäre Axialkräfte Beim Anfahren treten größere Schübe auf als im stationären Betrieb, weil es einige Sekunden dauert, bis sich die Rotation im Radseitenraum voll ausbildet, während der Druckaufbau im Laufrad praktisch trägheitslos mit dem Quadrat der Drehzahl steigt. Bei vertikalen Pumpen kann dabei kurzzeitig ein Schub nach oben entstehen, was bei der Wahl des Axiallagers zu berücksichtigen ist. Werden solche Pumpen mit offenem Schieber angefahren, tritt ein hoher Impulsschub auf, der ebenfalls nach oben gerichtet ist. Instationäre Axialkräfte treten mit einem Spektrum nieder- und hochfrequenter Anteile auf ähnlich wie bei Druckpulsationen. In der Praxis bereiten derartige Axialkraftschwankungen höchst selten Schwierigkeiten. Messungen an mehrstufigen Pumpen in [B.20] ergaben k ax = 0,005 bei q* = 0 und 0,0025 bei q* = 1, wobei k ax ein instationärer Axialkraftbeiwert pro Stufe nach Gl. (T9.2.15) ist. Er gilt als RMS-Wert (Effektivwert) im Bereich f = (0,2 bis 1,25) n/60; im Bereich f < 0,2 n/60 sind die anregenden Kräfte etwa halb so groß wie die obigen Zahlen. 9.3 Radialkräfte Definition und Abgrenzung Die auf ein Laufrad wirkende Radialkraft (der Radialschub ) muß für die Berechnung der Radiallager sowie der Wellenspannungen und -durchbiegungen bekannt sein. Grundsätzlich werden Radialkräfte erzeugt durch eine über den Laufradumfang ungleichförmige Verteilung des statischen Druckes. Eine solche Störung kann sowohl durch Strömungsunsymmetrien im Leitapparat als auch durch nicht rotationssymmetrische Zuströmung zum Laufrad hervorgerufen werden.

2 544 9 Hydraulische Kräfte Da die Druckverteilung am Laufradaustritt instationär ist, ergibt ihre Integration einen zeitlichen Mittelwert, die statische Radialkraft, sowie ein Spektrum zeitlich veränderlicher Radialkraftkomponenten, die man als dynamische Radialkraftanteile bezeichnet. Bei letzteren handelt es sich also um hydraulische Kräfte, die erzwungene Schwingungen erregen; sie werden im Kapitel 10.7 Hydraulische Schwingungsanregung behandelt. Die zeitlich veränderliche Druckverteilung an einem Laufrad mit Deckscheibe wird durch verschiedene physikalische Effekte beeinflußt: Erregerkräfte, die unabhängig von der Rotorschwingung sind und stationäre wie instationäre Komponenten haben: 1. die ungleichförmige Strömung in der Leitvorrichtung, die über die Laufradaustrittsbreite und die Projektion der Radseitenwände wirkt, sofern diese nicht senkrecht auf der Pumpenachse stehen. 2. Ungleichförmigkeiten in der Radseitenraumströmung, die sowohl durch die Druckverteilung im Leitapparat als auch durch ungleichförmige Spaltströmung verursacht werden, z.b. wenn das Laufrad mit einer gewissen Exzentrizität im Dichtspalt läuft (was meistens der Fall ist). Werden die Gehäuse- und Radseitenwände nicht bearbeitet, treten ebenfalls Störungen in der Umfangssymmetrie auf. 3. Wenn das Laufrad infolge Wellendurchbiegung exzentrisch in den Dichtspalten läuft, entsteht eine ungleichförmige Druckverteilung, die stationäre Spaltkräfte erzeugt (Kap ). Instationäre Reaktionskräfte, die durch Rotorschwingungen verursacht werden: Hydraulische Laufradwechselwirkung (Kap ) Kräfte in Spaltdichtungen (Kap. 10.6) Kräfte in offenen (axialen and halbaxialen) Laufrädern (Kap ). Alle diese Effekte lassen sich meßtechnisch nicht streng voneinander trennen und entziehen sich auch einer genauen Vorausberechnung, bei der die Strömung in Laufrad und Leitvorrichtung dreidimensional modelliert werden müßte. Zur Abschätzung von Radialkräften werden daher üblicherweise Radialkraftbeiwerte verwendet, die aus Versuchen ermittelt wurden und somit statistische Werte darstellen; sie umfassen meist eine Kombination der Effekte (1) bis (3) und gelten für Laufräder mit axial durchströmten Spaltdichtungen üblicher Spaltweite. Zwei Definitionen solcher Radialkraftbeiwerte (k R und k Ru ) werden verwendet, deren Zahlenwerte sich um den Faktor der Druckzahl unterscheiden (es gilt k Ru = ψ k R ): kr FR ρ g H d2 b2ges = (9.6) kru 2 FR 2 ρ u2 d2 b2ges = (9.7)

3 9.3 Radialkräfte 545 F R ist die Radialkraft, und b 2ges ist die Laufradaustrittsbreite inklusive der Wandstärken von Trag- und Deckscheibe am Laufradaustritt. Der Koeffizient k R läßt sich auch als k R = Δp La /(ρ g H) deuten, wobei Δp La die mittlere Druckdifferenz darstellt, die auf die projizierte Fläche d 2 b 2ges wirkt. Sofern nicht durch einen zusätzlichen Index ( dyn für instationäre Schubanteile, oder ges für die Summe aus stationären und instationären Anteilen) gekennzeichnet, stellen im folgenden alle k R nur den statischen (d.h. stationären) Radialkraftbeiwert dar. Wie zahlreiche Untersuchungen zeigen, ist der Radialkraftbeiwert im praktisch wichtigen Bereich unabhängig von der Drehzahl bzw. der Reynolds-Zahl; für geometrisch ähnliche Pumpen ist er unabhängig von der Größe, z.b. [10.22]. Für eine gegebene Pumpe hängt er primär von q* ab Messung von Radialkräften Zur Messung von Radialkräften stehen verschiedene Methoden zur Verfügung, deren Hauptmerkmale im folgenden besprochen werden. Um die Bedeutung experimenteller Radialkraftbeiwerte richtig beurteilen zu können, muß man sich nämlich darüber Rechenschaft abgeben, wie und unter welchen Bedingungen sie gemessen wurden. Soweit bekannt, erfolgt die Messung grundsätzlich an einstufigen Pumpen. Einzelheiten über Instrumentierung und Auswertung findet man in der zitierten Literatur sowie in [9.7] und [9.8]. Integration der Druckverteilung: Zur Bestimmung der Radialkraft wird die Druckverteilung über dem Laufradumfang mittels Wandbohrungen oder Strömungssonden gemessen und integriert, z.b. [9.9 u. 9.10]. Beschränkt man sich auf Bohrungen in der Gehäusewand zur Messung des statischen Druckes, ist dieses Verfahren einfach, weil keine spezielle Instrumentierung benötigt wird. Die Genauigkeit ist gering bis mäßig je nach Anzahl der Wandbohrungen. Wenn man mit Sonden ein dichtes Netz von Meßpunkten über die Umfangsfläche legt, läßt sich die effektive Radialkraft ohne Verfälschung durch Spaltkräfte bestimmen. Lagerkraftmessungen: In den meisten Untersuchungen wurden die Lagerkräfte der Pumpe mittels Kraftmeßdosen oder Dehnmeßstreifen ermittelt. Verwendet man Dehnmeßstreifen, sind diese an Konstruktionselementen (oft Stegen, die das Lager halten) anzubringen, die so elastisch sein müssen, daß die durch die Radialkraft erzeugten Deformationen genügend genau meßbar werden. Durch derartig flexible Elemente werden die Eigenfrequenzen entsprechend herabgesetzt; der Frequenzbereich ist deshalb so zu wählen, daß die Messungen nicht durch Resonanzen verfälscht werden. Dies läßt sich überprüfen, indem man eine bekannte mechanische Unwucht an Stelle des Laufrades einbaut: in dem Drehzahlbereich, in dem die gemessenen Kräfte proportional zum Quadrat der Drehzahl sind, liegt keine Verfälschung durch Resonanzeffekte vor. Die mechanische Unwucht dient ebenfalls zur Kalibrierung der Meßanordnung. Die Lagerkraftmessung liefert die Resultierende aller am Laufrad angreifenden Kräfte; eine Trennung der Spaltkräfte ist nicht möglich (es sei denn, man verwende eine radial durchströmte Dichtung, deren Radialkräfte klein sind). Die so ermit-

4 546 9 Hydraulische Kräfte telten Radialkräfte hängen daher von den Eigenschaften der Spaltdichtung ab besonders von der Spaltweite und der Art der Spaltoberflächen (glatt oder gerillt). Messung der Wellendurchbiegung: Wird die Wellendurchbiegung mittels Abstandsgebern gemessen, lassen sich bei entsprechender Kalibrierung der Meßvorrichtung ebenfalls die Radialkräfte unter Berücksichtigung der Durchbiegung unter Eigengewicht bestimmen. Die Kalibrierung erfolgt wiederum mit einer mechanischen Unwucht und/oder mit statischen Kräften (z.b. Gewichten). Wie bei der Messung der Lagerkräfte ist die dynamische Kalibrierung wichtig, um Verfälschungen durch Resonanzeffekte zu vermeiden. Dem Lagerspiel ist besondere Beachtung zu schenken, da es die Meßergebnisse verfälscht. Dieses Meßverfahren ist relativ einfach, aber nicht sehr genau (Lagerspiel, Rundlauffehler und Dynamik der Meßeinrichtung). Wie im vorigen Abschnitt kann man nur die Resultierende aus Radialkraft und Spaltkräften messen. Messung der Wellenspannungen: Durch auf der Welle angebrachte Dehnmeßstreifen lassen sich die auf das Laufrad wirkenden resultierenden Kräfte und Momente vollständig messen [9.11] und [10.22]. Diese sehr aufwendige Methode wird man nur dann einsetzen, wenn instationäre Kräfte im Vordergrund des Interesses stehen. Auch hier erfolgt die dynamische Kalibrierung mittels Unwucht. Kraftmessung mit Magnetlagern: Aktive Magnetlager lassen sich verwenden, um Kräfte zu messen. Dabei wird der Rotor durch zwei Magnetfelder zentriert, die von um den Rotor angeordneten Elektromagneten erzeugt werden. Der Strom in den Magneten wird über Abstandsgeber und eine Elektronik so geregelt, daß der Rotor in seiner zentrischen Lage gehalten wird. Die Lagerkräfte lassen sich aus der gemessenen Stromstärke und dem Luftspalt zwischen Rotor und Magnet (d.h. aus dem Abstandsgebersignal) ermitteln, [9.12]. Ein Vorteil dieses Meßverfahrens besteht darin, daß man die Versuchspumpe so steif bauen kann, daß Resonanzprobleme vermieden werden. Mit der Weiterentwicklung der Magnetlagertechnik kann diese Methode in Zukunft an Bedeutung gewinnen Pumpen mit Einfachspirale Welche physikalischen Mechanismen die Radialkraft erzeugen, sei am Beispiel der Einfachspirale betrachtet, die gemäß dem Erhaltungssatz für den Drehimpuls dimensioniert ist (Kap. 3.7 u. 4.2). Betrachten wir hierzu Abb. 9.20, in der Strömung und Druckverteilung in einer abgewickelten Spirale für verschiedene Förderströme skizziert sind: beim Auslegungsförderstrom entspricht der Laufradabströmwinkel etwa dem Zungenwinkel, die Verzögerung der Strömung erfolgt weitgehend nach dem Drallsatz, und die Druckverteilung ist nahezu gleichförmig; sie wird nur im Bereich der Zunge etwas gestört. Bei Teillast (q* << 1) ist der Spiralgehäusequerschnitt an jeder Stelle des Umfangs zu groß; das Fluid wird also von c 2 auf c sp (mittlere Geschwindigkeit im Spiralendquerschnitt) verzögert. Der Sporn wird falsch angeströmt, so daß sich bei seiner Umströmung ein Unterdruck gegenüber dem mittleren Druck am Laufradaustritt einstellt. Der statische Druck nimmt folglich von einem Minimum

5 9.3 Radialkräfte 547 a) c g ΔH 2 u c ε [ ] α z q* = 1.0 c 8 < c 2 α 2 α z b) q* = 0 α 2 0 2g ΔH 2 u c ε [ ] + - H p c) c 2 q* = 1.7 c 8 > c 2 α 2 > α z 0.5 2g ΔH 2 u Abb Verteilung des statischen Druckes und Strömungsverhältnisse in Spiralgehäusen stromabwärts der Zunge in Umfangsrichtung entsprechend der Verzögerung von c 2 auf c sp zu. Bei tiefer Teillast insbesondere bei Q = 0 zirkuliert ein zunehmendes Fluidvolumen im Gehäuse; denn die Flüssigkeit in der Spirale kann wegen der Rotation des Laufrades auch bei Q = 0 nicht in Ruhe sein. Diese Zirkulation wird durch die Spiralgehäusezunge behindert, bei deren Umströmung Ablösungen auftreten (s. Abb. 9.20b). Der Unterdruck verstärkt sich entsprechend. H p ε [ ]

6 548 9 Hydraulische Kräfte Da die Strömungs- und Druckverteilung im Auslegungspunkt wenig über dem Laufradumfang variiert, ergibt ihre Integration nur eine kleine resultierende Radialkraft; bei unendlich dünner Zunge geht sie theoretisch gegen null. Dagegen führt die Ungleichförmigkeit der Strömung bei Teillast zu einer starken Änderung des Druckes über dem Laufradumfang, aus der eine Radialkraft resultiert, die (meist) bei Q = 0 ihr Maximum erreicht. Wegen der Ablösung hinter der Zunge findet dort ein geringerer Druckrückgewinn statt als im weiteren Verlauf der Spirale, daher weist die Radialkraft bei Teillast in Richtung dieses Druckminimums, s. Abb. 9.21a. Bei Überlast (q* > 1,0) sind die Spiralgehäusequerschnitte zu klein; die Strömung wird nach dem Laufradaustritt beschleunigt; der statische Druck nimmt von einem Maximum (Staupunkt) am Sporn in Umfangsrichtung entsprechend ab. Der Anströmwinkel der Gehäusezunge wird zu groß, und es treten Ablösungen im Druckstutzen auf. Stromabwärts der mit zu großem Winkel angeströmten Zunge liegt eine Stauströmung vor, so daß dort das Druckmaximum liegt; die Radialkraft weist demzufolge im wesentlichen von der Zunge weg, s. Abb. 9.20c und 9.21b. Abb Radialkraft in Einfachspiralen Wie in Kap besprochen, ist die Druckverteilung in einer Kreiselpumpe ausschließlich eine Folge der Geschwindigkeitsverteilung. Die Strömung erfolgt im Absolutsystem auf gekrümmten Bahnen, und die örtliche Druckverteilung stellt sich nach Gl. (1.26) so ein, daß sie der durch die Bahnkrümmung erzeugten Zentrifugalkraft das Gleichgewicht hält. Wenn in einem Spiralgehäuse über dem Laufradumfang unterschiedliche Drücke gemessen werden, muß folglich auch die Strömung um die Laufschaufeln über den Umfang variieren. Somit ändern sich auch die Schaufelkräfte über dem Laufradumfang: ihre Resultierende ergibt den Radialkraftanteil auf die Schaufeln. Wenn also eine Radialkraft auf das Laufrad beobachtet wird, folgt daraus, daß die Schaufeln in jeder Umfangsstellung in einem anderen Betriebspunkt arbeiten. Ein experimenteller Nachweis für diese Folgerung wird in [9.21] erbracht: in einer Spiralgehäusepumpe wurden die örtlichen Werte von Förderstrom und Förderhöhe an 12 Positionen über dem Laufradum-

7 9.3 Radialkräfte 549 fang aus der Integration der mit Hitzdrahtsonden gemessenen Geschwindigkeitsprofile bestimmt. Dabei variierten die örtlichen Förderdaten gemäß Tabelle 9.1; diese zeigt für drei eingestellte Betriebspunkte die am Druckstutzen gemessenen Betriebsdaten sowie die Bereiche, in denen örtlicher Förderstrom und Druckzahl über den Umfang variierten: Tabelle 9.1 Variation der Förderdaten über dem Laufradumfang [9.21] Betriebspunkt der Pumpe (Mittelwerte) Örtliche Variationen über dem Laufradumfang q* ψ q* ψ 0,25 1,14-0,55 bis ,17 bis 1,04 0,5 1,06 0,15 bis 1,1 1,17 bis 1,07 1,0 1,05 0,9 bis 1,13 1,03 bis 1,08 1,25 0,92 0,99 bis 1,57 0,98 bis 0,78 Bei einem nominalen Förderstrom q* = 0,25 strömen gemäß diesen Messungen an der Zunge 55 % des Bestpunktförderstromes von der Spirale in das Laufrad zurück, während beim Umfangswinkel von 30 etwa 95 % von Q opt (fast das Vierfache des eingestellten mittleren Förderstromes) in der normalen Förderrichtung fließen. Diese extrem raschen Änderungen der Strömungsverteilung um die Schaufeln erfolgen soweit erkennbar, und abgesehen von Druckschwankungen weitgehend trägheitsfrei. Der statische Druck per se erzeugt nur dann eine Kraft, wenn er auf eine Wand wirkt; er ruft demnach eine resultierende Radialkraft an Trag- und Deckscheibe hervor, die sich zur Resultierenden der radialen Schaufelkraftkomponenten addiert. Aus dem besprochenen Strömungsverhalten sowie aus Abb und 9.21 ergeben sich folgende Zusammenhänge, die durch zahlreiche Untersuchungen bestätigt wurden: Die Radialkraft nimmt nahe beim Auslegungspunkt des Spiralgehäuses einen Minimalwert an, der im wesentlichen durch Unsymmetrien der Zungenanströmung (besonders bei relativ dicken Zungen), geometrische Toleranzen, und dadurch bedingt ist, daß die Reibungsverluste, die den Druckaufbau in der Spirale beeinflussen, über dem Umfang nicht konstant sind. Wie in Kap erläutert, werden zudem nicht alle Spiralgehäuse streng nach Drallsatz ausgelegt. Die effektive Lage des Bestpunktes hängt davon ab, wie sich die einzelnen Verluste über dem Förderstrom verhalten; daher fällt das Radialkraftminimum nicht immer exakt mit Best- oder Auslegungspunkt zusammen. Der Förderstrom, bei dem das Radialkraftminimum auftritt, wird weitgehend durch den Auslegungspunkt des Spiralgehäuses bestimmt, weil sich dort die gleichförmigste Strömung in der Spirale einstellt. Weicht der Auslegungsförderstrom des Laufrades von dem der Spirale ab, so hat das nur einen untergeordneten Einfluß. Betreibt man also zwei verschiedene Laufräder in einem ge-

8 550 9 Hydraulische Kräfte gebenen Spiralgehäuse, so findet man das Radialkraftminimum nach [9.14] beim etwa gleichen Förderstrom bzw. auf der Leitapparatcharakteristik. Verwendet man dagegen ein gegebenes Laufrad in zwei verschiedenen Spiralgehäusen, verschiebt sich das Radialkraftminimum mit wachsendem Spiralgehäusequerschnitt zu größeren Förderströmen. Nach Angaben in [9.17] liegt das Radialkraftminimum bei einem relativen Förderstrom q*(f R,min ), der aufgrund verschiedener Messungen aus der Literatur durch Gl. (9.8) mit einer Toleranz von ± 10% gegeben ist: n q q*(f R,min ) = 0,75 + 0,25 für n q < 70 (9.8) 40 Da die Radialschübe bei Teillast maßgebend für die Dimensionierung von Welle und Lagern sind, hat die genaue Lage des Radialkraftminimums ob Bestpunkt oder nach Gl. (9.8) keine große Bedeutung. Die Radialkraft steigt bei Teillast und Überlast an; sie erreicht bei Teillast ein relatives Maximum, das meist bei Q = 0 liegt (siehe hierzu Abb. 9.22, in welcher der Radialkraftverlauf für Einfachspiralen und andere Gehäusebauarten dargestellt ist). Je größer die Spiralquerschnitte für einen gegebenen Zungendurchmesser d z sind, desto höher werden die Ungleichförmigkeiten bei Teillastströmung. Der Radialkraftbeiwert von Einfachspiralen steigt deshalb mit wachsender spezifischer Drehzahl bis zu einem Maximalwert an, der im Bereich n q = 50 bis 60 liegt, siehe Abb in Tafel 9.4. Das Maximum wird vermutlich dadurch bedingt, daß sich die Ungleichförmigkeit der Druckverteilung über dem Laufradumfang bei hohem n q durch Rückströmungen vom Spiralgehäuse in den Saugraum teilweise abbaut, wenn bestimmte Grenzwerte der örtlichen Schaufelbelastung überschritten werden. Die Radialkraft auf das Laufrad wirkt bei Teillast in Richtung auf einen Punkt, der stromabwärts der Zunge liegt, Abb Oberhalb des Auslegepunktes der Spirale wirkt die Radialkraft in eine Richtung, die etwa um 180 gegenüber der Richtung bei Teillast versetzt ist. Im Bestpunktbereich wechselt also die Radialkraftrichtung um 180 ; die Richtung ist daher nahe dem Bestpunkt unsicher. Für eine gegebene Pumpe variiert die Radialkraftrichtung mit q*. Betrachten wir verschiedene Pumpen, so hängt die Radialkraftrichtung von der Gehäuseform und somit von der spezifischen Drehzahl ab. In Abb ist diese Abhängigkeit nach Messungen in [9.2] für Q = 0 angegeben. Alle Angaben über Größe und Richtung der Radialkraft sind mit Unsicherheiten behaftet, weil der Flächenverlauf im Spiralgehäuse und die Radseitenräume die Druckverteilung und damit die Radialkraft beeinflussen. Wie oben ausgeführt, läßt sich die eigentliche Radialkraft nicht ohne Sondermaßnahmen von den Spaltkräften trennen; bei axialen Spaltdichtungen beeinflußt das Spaltspiel folglich die gemessenen Radialkräfte. Daher sind in Tafel 9.4 Radialkraftbeiwerte für normale und doppelte Spaltspiele angegeben; Normalspiele entsprechen etwa den Werten nach Gl. (3.12).

9 9.3 Radialkräfte 551 Wenn der Abstand der Spiralgehäusezunge vom Laufrad stark vergrößert wird, behindert die Zunge bei Q = 0 die Zirkulation des Fluids weniger und die Radialkraft sinkt gegenüber dem Wert bei kleinem Zungenabstand um einige Prozent. In einem unendlich großen Gehäuse entstehen keine Radialkräfte Pumpen mit Doppelspirale Doppelspiralen werden eingesetzt, um die Radialkraft zu verringern. Führt man 180 gegenüber der Spiralgehäusezunge eine zweite Zunge ein, wird gemäß Abb offensichtlich die Umfangssymmetrie verbessert. Die Druckverteilung in beiden Teilspiralen (über einen Umschlingungswinkel von 180 ) verhält sich analog zu Abb. 9.20, wie Messungen aus [5.37] zeigen. Gemäß Abb genügt schon eine kurze Rippe, um die Radialkraft bei Q = 0 weitgehend auszugleichen (Versuch 4). Durch Verlängern der Rippe bis zur vollen Doppelspirale, Versuch 2, ergibt sich ein über dem Förderstrom nahezu konstanter Radialkraftverlauf. Im Bereich von q* = 0 bis etwa 1,1 findet man daher häufig, daß die Abhängigkeit der Radialkraft vom Förderstrom schwach und unsystematisch ist, z.b. [9.2]. Auch die Radialkraftrichtung ist bei Doppelspiralen unsicher. 0,22 0,20 0,18 0,16 Einfachspirale 0,14 kru 0,12 0,10 Ringraumgehäuse (ohne Leitapparat) 0,08 0,06 Ringraumgehäuse (mit Leitapparat) 0,04 0,02 Doppelspirale 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 ϕ Abb Radialkraft in verschiedenen Gehäusebauarten, n q = 19, [9.15]

10 552 9 Hydraulische Kräfte 1,0 F R /F R,0,sv Einfachspirale 0,5 Versuch 4 Versuch 3 Versuch 1 Versuch ,25 0,5 0,75 1,0 1,25 q* Abb Radialkraftausgleich durch Doppelspiralen (Radialkraft F R bezogen auf Kraft in Einfachspirale F R,0,SV bei Q = 0), [B.9] Bei Förderströmen, die den Auslegungspunkt des Spiralgehäuses wesentlich übersteigen, kann die Radialkraft von Doppelspiralen hingegen stark zunehmen, wie aus Abb hervorgeht. Der Anstieg kommt dadurch zustande, daß innerer und äußerer Kanal unterschiedliche Strömungswiderstände aufweisen. Folglich wird der Durchfluß durch beide Kanäle verschieden groß, so daß das Laufrad in beiden Halbspiralen in unterschiedlichen Betriebspunkten auf der Kennlinie läuft. Auf diese Weise erzeugt das Laufrad in beiden Halbspiralen unterschiedliche Spaltdrücke, die eine entsprechende Radialkraft hervorrufen. Da die Strömungswiderstände quadratisch mit dem Förderstrom wachsen, kann die Radialkraft bei q* > 1 steil ansteigen, während die Wirkung bei Teillast gering ist. Wenn die beiden Spiralgehäusezungen nicht um 180 versetzt sind, was aus konstruktiven Gründen manchmal der Fall ist (mittengeteilte Pumpen oder Entwässerung der unteren Spirale), wird die Umfangssymmetrie gestört und die Radialkraft steigt gegenüber der 180 -Spirale wieder an, dergestalt, daß eine um 90 versetzte Spiralgehäusezunge überhaupt keine ausgleichende Wirkung mehr hat, wie das durch den Faktor F Dsp in Abb. 9.29, Tafel 9.4, belegt wird, [9.13] Pumpen mit Ringraum Wie oben besprochen, kommt die Radialkraft von Einfachspiralen bei Q = 0 dadurch zustande, daß die Zunge die Rotation des Fluids im Gehäuse beim Betrieb gegen geschlossenen Schieber behindert und somit stromabwärts der Zunge durch Ablösungen ein Druckminimum entsteht. Im unbeschaufelten, konzentrischen Ringraum hingegen kann das Fluid bei Q = 0 nahezu frei zirkulieren. Daher nimmt die Radialkraft bei Pumpen mit Ringraum bei Q = 0 ihren kleinsten Wert an; sie steigt dann mit zunehmendem Förderstrom etwa linear an, Abb Bei Überlast, wenn der Ringraum wesentlich zu klein für den geförderten Volumen-

11 9.3 Radialkräfte 553 strom ist, ergibt sich ein ausgeprägtes Druckminimum im Bereich stromaufwärts des Druckstutzens; dann steigt auch die Radialkraft: der Druckstutzen wirkt wie eine kräftige Senke Leitradpumpen Die Radialkraft in Leitradpumpen entsteht durch geometrische Toleranzen des Leitrades sowie durch Unsymmetrien in der Abströmung wie sie z.b. durch den Druckstutzen hervorgerufen werden können. Dies besonders dann, wenn das Leitrad kurze Kanäle mit nur geringer Überdeckung aufweist. Durch einen Stützschaufelring, der im wesentlichen aus wirkungsfreien Schaufeln besteht, läßt sich die Radialkraft also kaum verringern. Die vorliegenden Messungen lassen keine eindeutige Abhängigkeit der Radialkraftbeiwerte von der spezifischen Drehzahl oder sonstigen geometrischen Parametern erkennen. Einzig eine Exzentrizität des Laufrades gegenüber dem Leitrad führt zu definierten Radialschüben, die etwa proportional zur Exzentrizität sind und dezentrierend wirken, [9.16]. Da meist nur geringe Exzentrizitäten auftreten, haben diese Radialkraftanteile wenig praktische Bedeutung; sie sind in den statistischen Meßdaten in Tafel 9.4 implizit enthalten Radialkraft infolge ungleichförmiger Zuströmung Einlaufgehäuse von Pumpen mit durchgehender Welle (mehrstufige, oder doppelflutige einstufige Pumpen) erzeugen vor dem Laufrad eine über den Umfang ungleichförmige Geschwindigkeitsverteilung, Kap Insbesondere stellt sich über eine Hälfte des Laufrades vorwiegend ein Mitdrall ein, während die andere Hälfte im wesentlichen mit Gegendrall beaufschlagt wird, Abb Diese Variation in der Umfangskomponente c 1u führt nach der Euler-Gleichung zu unterschiedlicher Arbeitsübertragung in den verschiedenen Segmenten des Laufrades. Hierdurch entsteht eine stationäre Radialkraft, die als Funktion des Förderstromes nach Größe und Richtung wechselt. Abbildung 9.24 zeigt Messungen aus [B.20] an einem Laufrad mit n q = 33: bei Versuch 1 war ein Einlaufgehäuse montiert, wie es bei mehrstufigen Pumpen verwendet wird, während bei Versuch 2 ein Einsatz mit Rippen vorhanden war, der die Zuströmung zum Laufrad vergleichmäßigte. Nach diesen Versuchen wachsen die durch ungleichförmige Zuströmung erzeugten Radialkräfte besonders bei q*>> 1 stark an, weil die durch das Einlaufgehäuse hervorgerufenen Störungen mit zunehmenden Trägheitskräften (wachsender Geschwindigkeit) steigen. Die Kraftrichtung hängt stark vom Förderstrom ab. Derartige Variationen beeinflussen die Lagerbelastung und damit das Schwingungsverhalten von Hochdruckpumpen (s. Kap. 10). Diese Ergebnisse bestätigen, daß verschiedene Sektoren eines Laufrades (sogar im stationären Betrieb) bei unterschiedlichen Strömungszuständen das bedeutet auch bei verschiedenen Punkten auf der Kennlinie arbeiten. Solche Radialkräfte können durch Unsymmetrien in der Geometrie stromaufwärts oder stromabwärts des Laufrads erzeugt werden.

12 554 9 Hydraulische Kräfte k R,Y 0.04 F x 125 Test F F y k R,X Test 2 Abb Einfluß der Zuströmung auf die statischen Radialkraftbeiwerte nach Richtung und Betrag. Die Zahlenwerte bedeuten q* in Prozent. Versuch 1: mit Einlaufgehäuse mehrstufiger Pumpen; Versuch 2: mit Rippen, die eine weitgehend rotationssymmetrische Zuströmung liefern, [B.20]. Eine vom Koordinatenursprung zu einem beliebigen Punkt auf der Kurve gezogene Linie ergibt den Kraftvektor nach Betrag und Richtung. Beispiel: Vektor F liefert den Radialkraftbeiwert bei etwa q* = 1.1 mit den dimensionslosen Komponenten in y-richtung F y = und in x-richtung F x = H H Q Q Q c ax Abb Wirkung einer asymmetrischen Zuströmung auf die Radialkraft eines Laufrads mit hoher spezifischer Drehzahl Die durch ungleichförmige Zuströmung zu einem halbaxialen (bei hohem n q ) oder axialen Laufrad erzeugten Radialkräfte können etwas spekulativ mittels Gl (9.8) abgeschätzt werden.

13 9.3 Radialkräfte 555 F R = k R,D g H d 2 2 mit kr,d 2 ΔH L f sin β cos β sch H d 2 = (9.8) H ist die Förderhöhe im betrachteten Betriebspunkt und H ist die Förderhöhendifferenz, die aus der Q-H-Kurve für eine Förderstromdifferenz Q abzulesen ist. Dabei entspricht Q der Differenz, die sich aus angenommenen oder gemessenen Unterschieden in der Zuströmgeschwindigkeit ergibt. Beispiel: wenn die axiale Zuströmgeschwindigkeit ein asymmetrisches Profil aufweist, das um ± 5% vom Mittelwert abweicht (Abb. 9.25), wird H für Q = ± 0.05 Q abgelesen. L sch ist die Schaufellänge und β = 0.5( β1b + β2b) ist der Mittelwert aus den Schaufelwinkeln. Der Faktor f in Gl. (9.8) bedarf der experimentellen Bestätigung. Mit f = 1.0 erhält man für Axialpumpen einen Radialkraftbeiwert k R,D in ähnlicher Größe wie nach Tafel 9.4. Über CFD Berechnungen der Strömung in einem Einlaufbauwerk wurde in [9.28] berichtet. Infolge einer sehr ungleichförmigen Zuströmung entstanden im Laufrad erhebliche hydraulische Erregerkräfte, die zu Schäden am unteren Lager der vertikalen Kühlwasserpumpe führten. Einige Ergebnisse finden sich in Abb (letzte Seite von Kap. 9) Axialpumpen Radialkräfte an Axialpumpen werden im wesentlichen durch ungleichförmige Zuströmung (Eintrittskrümmer oder andere Störungen) verursacht. Störungen der Umfangssymmetrie in der Abströmung hinter dem Laufrad tragen ebenfalls zur Radialkraft bei. Die Radialkraftbeiwerte werden gemäß Tafel 9.4 mit dem Laufradaußendurchmesser gebildet. Nach Messungen in [9.15] betragen die stationären Radialkraftbeiwerte k R,D = 0,02 für q* < 1,2; bei noch größerem Durchfluß steigen sie infolge zunehmender Ungleichförmigkeiten der Zu- und Abströmung stark an. Die instationären Radialkraftbeiwerte liegen bei k R,D = 0, Radialkräfte in Pumpen mit Einkanallaufrad Einkanallaufräder werden in Abwasserpumpen und sonstigen Anwendungsfällen eingesetzt, bei denen Fremdkörper in der Größe des Druckstutzens ungehindert durch die Pumpe gehen sollen, Kap Da nur eine Schaufel vorhanden ist, kann die Druckverteilung über der Schaufel nicht rotationssymmetrisch sein. Folglich entsteht eine Radialkraft ( hydraulische Unwucht ), die mit der Drehfrequenz f n des Rotors umläuft. Da die Druckverteilung über die Schaufel vom Förderstrom abhängt, gilt dies auch für die hydraulische Unwucht. Diese kann teilweise aber nicht bei allen Förderströmen vollständig durch mechanisches Auswuchten ausgeglichen werden. Auch die Massenverteilung der Schaufel ist nicht rotationssymmetrisch, so daß sich auch hieraus eine Mechanische Unwucht ergibt. Eine

14 556 9 Hydraulische Kräfte Verdickung der Schaufel nahe der Eintrittskante ist günstig für die Kompensation der Unwucht. Meßdaten der Radialkraftbeiwerte entsprechend der Definition gemäß Gl. (9.6) sind in Abb dargestellt. Über Versuche an einer Spiralgehäusepumpe mit n q = 52 wird in [9.27] berichtet. Die statischen Radialkraftbeiwerte weisen den gleichen Trend auf wie in Abb für Einfachspiralen. Die Radialkraftbeiwerte sind kleiner als in Abb. 9.27, weil Trag- und Deckscheibe des Laufrades senkrecht zur Achse verlaufen und so keine Kräfte aufnehmen. Die Beiwerte für die hydraulische Unwucht weisen bei etwa q* = 0,6 ein Minimum auf, wenn das Laufrad in einem Spiralgehäuse arbeitet, [9.27]. Dagegen steigt die Radialkraft etwa linear mit dem Förderstrom, wenn das Laufrad in einem Ringraum montiert ist [7.56]. Die Abhängigkeit der Radialkraft vom Förderstrom folgt also für statische wie dynamische Kräfte einem ähnlichen Trend wie in Abb Die Versuche in [7.56] erfolgten mit einer Ringraumpumpe mit n q = 43. Der Umschlingungswinkel der Schaufel wurde in den Versuchen zwischen 289 und 420 in 5 Schritten variiert; dabei änderte sich auch das Gesetz für die Schaufelentwicklung B = f(r), während die Ein- und Austrittswinkel konstant blieben ( 1B = 9 und 2B = 35 ). Bei allen Schaufeln waren die Radialkräfte recht ähnlich. Daraus ist zu schließen, daß die hydraulische Unwucht wenig von der Schaufelgestaltung abhängt und daß man folglich die Daten in Abb für eine erste Abschätzung der Kräfte verwenden kann, wenn keine genaueren Messungen vorliegen. Im Bereich d z /d 2 = bis 1.24 hatte der Abstand zwischen Spiralzunge und Laufrad hatte nur einen geringen Einfluß auf die hydraulische Unwucht; während die statische Radialkraft bei Teillast mit zunehmendem Zungenabstand sank, [9.27]. Es ist beachtlich, daß der Gehäusetyp einen starken Einfluß auf die hydraulische Unwucht ausübt, wie aus Abb hervorgeht. Sogar bei hohen Förderströmen findet also eine Wechselwirkung zwischen der Strömung im Gehäuse und im Laufrad statt. kr kr,dyn Spirale [9.27] kr,stat Spirale [9.27] kr,dyn Ringraum [7.56] q* Abb Koeffizienten für die statische Radialkraft und die hydraulische Unwucht von Einkanallaufrädern; zur Beachtung: k R ist gemäß Gl. (9.6) definiert Das System und die Zuströmung beeinflussen die hydraulische Unwucht gemäß Versuchen in [7.57]. Dort kam es zu Resonanzen mit Strömungsschwankun-

15 9.3 Radialkräfte 557 gen im Ansaugbecken, dergestalt, daß sich der Beiwert k R der hydraulischen Unwucht verdoppelte, wenn die Drehzahl von 1450 auf /min reduziert wurde. Die Ähnlichkeitsgesetze waren in diesem Fall also scheinbar verletzt Radialkraftausgleich Wenn eine Pumpe für die effektiv auftretende stationäre Radialkraft nicht ausreichend bemessen und konstruiert wurde, können verschiedene betriebliche Probleme auftreten: Zu große Wellendurchbiegung und Dichtspaltverschleiß Überbelastung der Lager und damit Lagerschäden Die Radialkraft erzeugt in der Welle Wechselspannungen, die zu Wellenbrüchen führen können. Schäden an der Wellendichtung (insbesondere bei Gleitringdichtungen) infolge zu großer Wellendurchbiegung. Für Pumpen, die nach [N.6] gebaut werden, ist die Durchbiegung an der Gleitringdichtung auf 50 μm zu begrenzen. Die stationäre Radialkraft läßt sich durch konstruktive Maßnahmen reduzieren: 1. Doppelspiralen oder eine der Spiralgehäusezunge gegenüberliegende Rippe gemäß Abb Messungen an Doppelspiralen in [9.2] ergaben sehr flache Kurven F R = f(q*). Die Radialkraftbeiwerte betrugen im ganzen Förderstrombereich 10 bis 20% der an Einfachspiralen bei Q = 0 gemessenen Werte. 2. Auch Mehrfachspiralen kommen in Sonderfällen in Betracht; z.b. für mehrstufige halbaxiale Pumpen. 3. Ausgehend von Versuch 4 in Abb kann die Radialkraft auch mittels zwei oder mehr Rippen reduziert werden. Zum Beispiel könnte man zwei Rippen mit einem Umschlingungswinkel von je 90 im Abstand von 120 und 240 von der Zunge einbauen. 4. Einbau eines Leitrades, das aber eine genügende Überdeckung der Schaufeln bzw. eine genügende Kanallänge aufweisen muß, um den gewünschten Druckausgleich zu bewirken. 5. Kombination von Leitrad und Ringraum, Abb Im Teillastgebiet entstehen in Pumpen mit Ringräumen gemäß Abb wesentlich kleinere Radialkräfte als bei Einfachspiralen (zu beachten ist allerdings die Radialkraftvergrößerung bei Überlast). Da ein Ringraum bei niedrigen spezifischen Drehzahlen nur eine geringe Wirkungsgradeinbuße bedeutet, kann diese Ausführung durchaus sinnvoll sein; z.b. wenn die Pumpe vorwiegend bei Teillast betrieben wird, wie das bei Prozeßpumpen häufig der Fall ist. 7. Wie in Kap erläutert, erlaubt auch die Kombination eines Ringraumes mit einer Spirale eine Radialkraftverringerung. Messungen an Kombigehäusen dieser Art finden sich in [9.2]. Die dort untersuchten Gehäuse waren über 270 als Ringraum ausgebildet, an den sich eine Spirale über die restlichen 90 anschloß. Versuchsparameter: n q = 23, 41 und 68, Zungenabstände von d z * = 1.33

16 558 9 Hydraulische Kräfte bis 1.84 und b 3 /b 2 = 1.39 bis Bei Q = 0 betrugen die Radialkräfte 20 bis 50% der Kräfte bei Einfachspiralen. Diese Radialkraftreduktion läßt sich vermutlich nur mit weiten Radseitenräumen erreichen. Mögliche Nachteile dieser Gehäuse sind eine eventuelle Wirkungsradeinbuße und im Bestpunkt sowie bei Überlast höhere Radialkräfte als bei Einfachspiralen. 8. Wird die Radseitenraumströmung von der Strömung im Spiralgehäuse entkoppelt, indem man zwischen Laufraddeckscheiben und Gehäuse enge Spalte ausführt, wirkt die ungleichförmige Druckverteilung nicht mehr auf die projizierte Deckscheibenfläche und die Radialkraft wird entsprechend reduziert. Wenn die Entkoppelung wirksam ist (enge Spalte), gleichen sich etwaige Druckunterschiede über dem Umfang der Radseitenräume weitgehend aus, sofern sie nicht durch exzentrischen Lauf in der Spaltdichtung hervorgerufen werden. Die gezielte Entkoppelung durch konstruktive Maßnahmen wird man nur in Sonderfällen in Betracht ziehen. 9. Weite Radseitenräume fördern den Druckausgleich, wodurch sich die Radialkraft besonders bei Teillast verringert; bei Q = 0 ist die Wirkung am größten. Dieser Gesichtspunkt ist wichtig für die Auslegung von Gehäuse mit Ringraum und Spirale. Die Effekte 8 und 9 sind teilweise gegenläufig, welche Wirkung im Einzelfall ü- berwiegt, läßt sich schwer im voraus beurteilen Radialkraftberechnung Zur Dimensionierung der Lager einstufiger Pumpen und für die Berechnung der Welle und deren Durchbiegung müssen die auf das Laufrad wirkenden Radialkräfte über den gesamten Förderstrombereich bekannt sein. Üblicherweise berechnet man diese Kräfte aus experimentell ermittelten Radialkraftbeiwerten gemäß Gl. 9.6 oder 9.7. Tafel 9.4 liefert die für diesen Zweck benötigten Angaben für Einfach- und Doppelspiralen, Ringgehäuse und Leiträder, [9.13]. Erläuterungen zu Tafel 9.4: 1. In Tafel 9.4 bezieht sich q* immer auf den Auslegungsförderstrom des Gehäuses, der meist mit dem Bestpunkt der Pumpe zusammenfällt. Dieser Sachverhalt ist zu beachten, wenn man verschiedene Laufräder im gleichen Gehäuse verwendet. 2. Für Einfachspiralen gibt Abb (in Tafel 9.4) Radialkraftbeiwerte k R0 für den Betrieb gegen geschlossenen Schieber als Funktion der spezifischen Drehzahl, die in diesem Fall aber mit dem Auslegungsförderstrom der Spirale zu bilden ist. Bei doppelflutigen Laufrädern ist dies besonders zu beachten. Unter dieser Voraussetzung gilt Abb für einflutige und doppelflutige Laufräder. Die Abszisse in Abb ist deshalb mit n q,tot = n q f 0.5 q angeschrieben. 3. Im Bestpunkt wird die Radialkraft nicht null, sondern bleibt endlich. Die Abhängigkeit von n q ist gering, Abb

17 9.3 Radialkräfte Die Daten in Abb stammen aus [9.13 u. 9.2] und wurden mit den verfügbaren Literaturangaben verglichen. Bei Spielvergrößerung ergeben sich nach Kurve 2 höhere Koeffizienten. Kurve 2 ist auch für radial oder diagonal durchströmte Spaltdichtungen zu verwenden, Abb Führt man CFD Berechnungen ohne Berücksichtigung der Spaltkräfte aus, ist ebenfalls Kurve 2 zum Vergleich heranzuziehen. 5. Für Doppelspiralen ist k R0 aus Abb mit dem Korrekturfaktor F Dsp aus Abb (in Tafel 9.4) zu multiplizieren, der vom Umschlingungswinkel der inneren Spirale abhängt. Der so erhaltene Wert gilt etwa für q* = 0 bis 1,1. Bei q*>> 1 kann die Radialkraft stark ansteigen. 6. Sind die Teilspiralen einer Doppelspirale streng symmetrisch ( Zwillingsspiralen nach Abb. 7.39), betragen die Radialkräfte nur 30 bis 50 % der Kräfte, welche von Doppelspiralen erzeugt werden, die in einen gemeinsamen Druckstutzen fördern. Zwillingsspiralen findet man z.b. bei mehrstufigen Pumpen nach Abb Für Ringräume gibt es in der Literatur nur wenige Angaben; man muß daher mit einer großen Unsicherheit rechnen. Der Verlauf k R (q*) hängt von der Dimensionierung des Ringraumes ab. Solange das Verhältnis c R /c 2 klein ist, steigt der Schub etwa linear mit dem Förderstrom. Wenn das Fluid im Bereich des Druckstutzens stark beschleunigt wird, steigen die Kräfte vermutlich eher quadratisch mit dem Durchfluß. 8. Für die Radialkraftbeiwerte von Leitradpumpen lassen sich weder Abhängigkeiten von n q noch von geometrischen Parametern angeben. 9. Die instationären Radialschübe sind recht ähnlich für alle Gehäusetypen. Die angegebenen Daten sind als Breitband-Effektivwerte für das ganze interessierende Spektrum aufzufassen. Abb gibt Breitbandwerte für verschiedene Bereiche des Spektrums, s. a. Kap Offene und halboffene Laufräder können etwas höhere Radialkraftbeiwerte haben als geschlossene, weil der Druckausgleich über den Radseitenraum fehlt. Andererseits gibt es keine Radialkräfte auf die Deckscheibe. 11. Kavitation hat nur dann einen wesentlichen Einfluß auf die stationäre Radialkraft, wenn die Pumpe im Bereich der Vollkavitation arbeitet. Ausgeprägte Kavitation ruft aber häufig instationäre Radialkraftanteile hervor, die zu unruhigem Lauf führen, [9.13]. 12. Für die Berechnung von Lagern und Wellen wird man vorsichtigerweise die Summe aus statischen und dynamischen Radialschüben, k R,ges = k R +k R,dyn einsetzen. Um die Lagerbelastung genauer zu erfassen, wären die durch instationäre Radialkräfte verursachten Schwingungen zu analysieren. Die Größe der instationären Kräfte kann man hierfür aus Abb abschätzen, wenn keine Messungen vorliegen. 13. Im allgemeinen ist zu empfehlen, für die mechanische Dimensionierung immer mindestens k R,ges = 0,15 einzusetzen. 14. Eine große Unsicherheit in der Vorausberechnung ergibt sich durch die auf die Radscheiben wirkenden Kräfte sowie durch die Spaltkräfte, deren Besonderheiten in den publizierten Radialkraftbeiwerten nicht erfaßt wurden.

18 560 9 Hydraulische Kräfte Tafel 9.4 (1) Radialkraftberechnung q* bezieht sich auf Auslegungspunkt des Leitapparates Radialkraft FR = k R ρ g H d 2 b 2ges 1. Stationäre Radialkräfte q* = 0 k R0 aus Abb q* = 0.5 aus Abb b 2tot Einfachspirale 0 < q* < 1 k R = (k R0 - k R,opt ) (1 - q* 2 ) + k R,opt q* = 1 aus Abb oder k R,opt = 0.03 bis 0.08 q* > 1 k R = 0.09 q* 2 (oder k R,opt einsetzen anstatt Faktor 0.09) k R,Dsp = F Dsp k R0 mit F DSp = ( ε sp o ) aus Abb Doppelspirale Unter q* 1.1 hängen F DSp und k R wenig ab vom Förderstrom; über q*>> 1 kann die Radialkraft scharf ansteigen. Wenn der Umschlingungswinkel ε sp kleiner als 180 ist, kann der Radialkraftbeiwert für q* = 0.5 und q* = 1.0 nach folgender Interpolationsformel abgeschätzt werden: k k εsp 90 f = Rx + 1 Rx gültig für 90 < sp <180 k R0,SV k R0,SV 90 k Rx steht für die k R -Werte von Einfachspiralen für q* = 0.5 oder q* = 1.0. kr = kr0,sv Fdsp f k R50 und k R,opt werden Abb entnommen Zwillingsspirale k R,Zsp = (0.3 bis 0.5) k R,Dsp Ringraum k R0 = 0.03 bis 0.1 k R,opt = 0.1 bis 0.2 k R = k R0 (1 + q* + a q* 2 ) a hängt ab von der Geometrie; Schätzung: a = 0,18 Leitrad q* = 0: k R0 = 0.02 bis 0.09 q* = 1: k R,opt = 0.01 bis Instationäre Radialkräfte q* < 0.5 q* = 1 Alle Spiralgehäusetypen und Ringräume außer Einkanalpumpen k R,dyn = 0.07 bis 0.12 k R,dyn = 0.01 bis 0.05 Leiträder k R,dyn = 0.04 bis 0.16 k R,dyn = 0.01 bis Axialpumpen 2 FR = k R,D ρ g H d 2 stationär: k R,D = 0.02 für q* < 1.2 instationär: k R,D = 0.01

19 9.3 Radialkräfte 561 Tafel 9.4 (2) Radialkraftberechnung k R n q,tot = nq fq Kurve 1: Spaltspiel nach Gl. (3.12) Kurve 2: Doppeltes Spiel f q = 1 einflutig f q = 2 doppelflutig Abb Statische Radialkraftbeiwerte von Einfachspiralen bei Betrieb gegen geschlossenen Schieber (Q = 0) Näherungsformel für Kurve 1: k R0 = 3.730E-08x E-06x E-04x E-03x E-02 Näherungsformel für Kurve 2 (Mittel): k R0 = E-05x E-03x E-01 kr k R100 = 4.562E-05x E-03x E-02 k R50 = E-06x E-04x E-03x E q* = 0 q* = 0.5 q* = n q,tot = n q f q Abb Statische Radialkraftbeiwerte für Einfachspiralen nach [9.2] F Dsp ε sp Abb Faktoren für die Radialkraftbeiwerte von Doppelspiralen ε sp = Umschlingungswinkel der inneren Spirale (Tafel 0.2) Bei Doppel- und Zwillingsspiralen hängen F DSp und k R unter q* 1,1 wenig vom Durchsatz ab; für q*>> 1 kann die Radialkraft stark ansteigen

20 562 9 Hydraulische Kräfte Side walls vortices Pump inlet vortices Side walls vortices Flow from Bassin Sugozu T101 (Fx,Fy) Shaft (One rev.) Fx [N] Fy [N] Abb Instationäre Radialkräfte auf das halbaxiale Laufrad einer vertikalen Kühlwasserpumpe, hervorgerufen durch eine stark gestörte Zuströmung; CFD-Berechnung [9.28]

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