Statistik für Naturwissenschaftler

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1 Hans Walser Statistik für Naturwissenschaftler Stochastische Unabhängigkeit Lernumgebung

2 Hans Walser: Stochastische Unabhängigkeit ii Inhalt Randomized response - Technik... Drei Karten... HIV Test... Schwestern... Zeitungsnotiz... 6 Männeranteil in China... 7 Test... 8 Test... 9 HIV Test... 0 HIV Test... 6 HIV Test... 7 Doppelter HIV Test... 8 Tuberkulose... 9 Rot-grün-farbenblind... 9 Würfelgesteuerter Münzenwurf Schwänzen Hotline... 8 Butterbrote... 9 Bedingte Wahrscheinlichkeit... 0 Teilbarkeit... 7 Teilbarkeit... 7 Teilbarkeit... 8 Stochastische Unabhängigkeit... 8 Stochastische Unabhängigkeit... 8 Stochastische Unabhängigkeit Essen Sie heute vegetarisch... 9 last modified:. Juli 0

3 Hans Walser: Stochastische Unabhängigkeit Randomized response - Technik Mittels moderner Interviewmethoden, den so genannten randomized response- Techniken, kann man heute den Befragten auch peinliche Wahrheiten entlocken. Die Befragten wählen zufällig eine aus drei Fragen aus und beantworten diese mit ja oder nein. Der Interviewer weiß nicht, welche Frage jeweils ausgelost wurde, er erhält lediglich die Antwort ja oder nein. Die drei Fragen lauten: Essen Sie gerne Spinat? Waren Sie schon einmal in London? Haben Sie unversteuertes Vermögen auf einer Bank im Fürstentum Liechtenstein? Es interessiert nur die Antwort auf die dritte Frage. In zwei unabhängigen Separatumfragen wird der Anteil der Spinatliebhaber (6%) und der Londontouristen (8%) ermittelt. Für die eingangs geschilderte Umfrage ergeben sich % ja. Gesucht ist ein Schätzwert für den Anteil der Steuerdefraudanten. Lösung x = 0. x = 0.08 = 8% Drei Karten Max hat drei Karten. Eine ist auf beiden Seiten rot, eine auf beiden Seiten schwarz und die dritte auf einer Seite rot und auf der anderen Seite schwarz. Nun mischt er die Karten und legt eine auf den Tisch. Die Oberseite ist rot. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist auch die Unterseite rot? Die schwarz-schwarze Karte fällt weg. Wir haben also entweder die rot-rote Karte oder die rot-schwarze Karte. Da die rot-rote Karte auf zwei Arten mit Oberseite rot da liegen kann, hat sie die doppelte Wahrscheinlichkeit, verglichen mit der rot-schwarzen Karte. Die Unterseite ist also mit der Wahrscheinlichkeit rot. HIV Test Im Lande X sind 0.% der Bevölkerung HIV positiv. Ein HIV Test reagiert bei HIV positiven Personen mit 99% Wahrscheinlichkeit positiv. Bei HIV negativen Personen gibt er mit % Wahrscheinlichkeit irrtümlicherweise auch ein positives Resultat. Eine Person wird getestet und es ergibt sich ein positives Resultat. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist sie wirklich HIV positiv? Ergebnis ~%

4 Hans Walser: Stochastische Unabhängigkeit Schwestern Entweder Alice oder Betty sind mit gleicher Wahrscheinlichkeit unter der Dusche. Nun hören wir die Duschende singen. Wir wissen, dass Alice immer singt unter der Dusche, Betty aber nur zu ihrer Zeit. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es Alice, die unter der Dusche steht? Ergebnis 80% Zeitungsnotiz Dienstag, 8. August 006 Aids bei Katzen: Tierexperten warnen vor unsicheren Test NOIRAIGUE - Die Bluttests der Tierärzte auf Katzenaids sind nicht absolut sicher. Die Folge: Katzenbesitzer lassen ihren Liebling einschläfern, obwohl er gar kein Aids hat. Jetzt wird eine neue Kampagne lanciert. Von unseren 0 Katzen, die vom Tierarzt positiv auf das Virus getestet wurden, stellte sich bei einem zweiten Test durch die Universität Zürich heraus, dass 0 Tiere gar kein Aids hatten, sagte Tomi Tomek vom Katzenheim SOS Chats in Noiraigue NE zu einem Bericht von Le Matin. Sie lanciert nun eine Kampagne und fordert die Katzenbesitzer auf, ihre Tiere nicht nach einem ersten positiven Aidstest einschläfern zu lassen. Während der unsichere Test beim Veterinär nur 0 Franken kostet, müssen Katzenbesitzer für den zuverlässigen Test der Uni Zürich 00 Franken hinblättern. Tomek: Wenn man seine Katze wirklich gern hat, spielt das Geld aber keine Rolle. Eine aidskranke Katze kann bis zu 0 Jahre mit dem Virus leben. Die Leute lassen das Tier aber meist einschläfern, weil sie Angst haben, sie könnten angesteckt werden, so Tomek weiter. Doch Katzenaids sei nicht auf den Menschen übertragbar. Laut Hans Lutz von der Veterinärmedizinischen Fakultät der Uni Zürich leiden in der Schweiz rund ein Prozent der Katzen an Aids - bei den bereits kranken Katzen sind es zwei bis drei Prozent. Cornelia Stauffer 6 Männeranteil in China Bluewin Vermischtes Zahl der Alkoholabhängigen in China steigt um zehn Prozent Die Zahl der Alkoholiker in China ist in den vergangenen 0 Jahren stark gestiegen. Grund dafür seien der Wirtschaftsboom und die zunehmend westliche Lebensweise in China, sagte der Psychologe Wei Hao bei einem Kongress in Sydney. [sda] - In einer Studie für die Weltgesundheitsorganisation WHO hat er errechnet, dass die Rate der alkoholkranken Chinesen seit 98 um zehn Prozent gestiegen ist. Außerdem steige die Produktion alkoholischer Getränke jährlich um zehn Prozent. Wei sagte, vor 0 Jahren seien die Menschen im Allgemeinen sehr arm gewesen. "Sie hatten gerade genug Geld, um Lebensmittel und Kleidung zu kaufen. Jetzt werden sie immer reicher und kaufen alkoholische Getränke."

5 Hans Walser: Stochastische Unabhängigkeit Weis Berechnungen zufolge sind 6,7 Prozent aller Männer über Jahre und 0, Prozent aller Frauen dieser Altersgruppe in China alkoholabhängig. Damit sind durchschnittlich,7 Prozent der Chinesen Alkoholiker. Die Rate ist aber immer noch deutlich niedriger als in Japan und Südkorea. Wei warnte allerdings, "das Japan von heute ist das China von morgen." Frage: Wie groß ist in China der Männeranteil in der Altersgruppe über Jahre? x = Anteil Männer 0.067x ( x)= 0.07 x = 7.8% 7 Test Ein Test für eine seltene Krankheit, von welcher nur % der Bevölkerung befallen sind, hat folgende Merkmale: Bei kranken Probanden gibt er mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% ein positives Testresultat. Bei gesunden Probanden gibt er mit einer Wahrscheinlichkeit von % fälschlicherweise ein positives Testresultat. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand mit einem positiven Testresultat tatsächlich krank ist? b) Personen mit einem positiven Testresultat werden nun ein zweites Mal getestet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand mit einem positiven Testresultat auch beim zweiten Test tatsächlich krank ist?

6 Hans Walser: Stochastische Unabhängigkeit krank 0.0 Testresultat positiv 0.9 Testresultat negativ 0. Zweites Testresultat positiv 0.9 Zweites Testresultat negativ 0. gesund 0.97 Testresultat positiv 0.0 Testresultat negativ 0.9 Zweites Testresultat positiv 0.0 Zweites Testresultat negativ 0.9 Baumdiagramm a) Wir erhalten die bedingte Wahrscheinlichkeit: P( krank positives Testresultat )= b) Wir erhalten die bedingte Wahrscheinlichkeit: P( krank zwei positive Testresultate )= Test Ein Test für eine seltene Krankheit, von welcher nur % der Bevölkerung befallen sind, hat folgende Merkmale: Bei kranken Probanden gibt er mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% ein positives Testresultat. Bei gesunden Probanden gibt er mit einer Wahrscheinlichkeit von % fälschlicherweise ein positives Testresultat. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand mit einem positiven Testresultat tatsächlich krank ist? b) Personen mit einem positiven Testresultat werden nun ein zweites Mal getestet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand mit einem positiven Testresultat auch beim zweiten Test tatsächlich krank ist?

7 Hans Walser: Stochastische Unabhängigkeit krank 0.0 Testresultat positiv 0.9 Testresultat negativ 0. Zweites Testresultat positiv 0.9 Zweites Testresultat negativ 0. gesund 0.96 Testresultat positiv 0.0 Testresultat negativ 0.9 Zweites Testresultat positiv 0.0 Zweites Testresultat negativ 0.9 Baumdiagramm a) Wir erhalten die bedingte Wahrscheinlichkeit: P( krank positives Testresultat )= b) Wir erhalten die bedingte Wahrscheinlichkeit: P( krank zwei positive Testresultate )= HIV Test Im Lande Y ist p der Anteil der HIV positiven Bevölkerung. Ein HIV Test reagiert bei HIV positiven Personen mit 99% Wahrscheinlichkeit positiv. Bei HIV negativen Personen gibt er mit % Wahrscheinlichkeit irrtümlicherweise auch ein positives Resultat an. a) Wie groß ist der Anteil der Fehlalarme bei der Anwendung dieses Testes? b) Wie groß ist die Dunkelziffer bei der Anwendung dieses Testes? c) Kommentar?

8 Hans Walser: Stochastische Unabhängigkeit 6 Ergebnis a) Wie groß ist der Anteil der Fehlalarme bei der Anwendung dieses Testes? 0.0( p) Anteil Fehlalarme = 0.99 p+0.0( p) Anteil Fehlalarme p Anteil Fehlalarme b) Wie groß ist die Dunkelziffer bei der Anwendung dieses Testes? Dunkelziffer (Anteil) = 0.0p 0.0p+0.97 p ( ) Dunkelziffer Anteil p Anteil nicht erkannter Krankheitsfälle c) Kommentar: Wenn p sehr klein ist (seltene Krankheit), sind die meisten positiven Testresultate Fehlalarme. Wenn p sehr groß ist (häufige Krankheit), ist der Anteil der nicht erkannten Krankheitsfälle unter den scheinbar Gesunden sehr groß. 0 HIV Test Ein HIV Test reagiert bei HIV positiven Personen mit 99% Wahrscheinlichkeit positiv. Bei HIV negativen Personen gibt er mit % Wahrscheinlichkeit irrtümlicherweise auch ein positives Resultat an. Bei einer flächendeckenden Anwendung dieses Testes im Lande X ergaben sich 9.7% positive Testresultate. Wie groß ist der Anteil der tatsächlich HIV positiven Personen im Lande X?

9 Hans Walser: Stochastische Unabhängigkeit x Positives Testresultat x x x ( x ) Positives Testresultat Es ist: ( x) Baum 0.99x + 0.0( x)= x = 0.06 = 6% HIV Test Die folgenden Zahlen sind fiktiv. Im Lande Z ist ein unbekannter Anteil der Bevölkerung HIV positiv. Ein HIV Test reagiert bei HIV positiven Personen mit 70% Wahrscheinlichkeit positiv. Bei HIV negativen Personen gibt er mit 0% Wahrscheinlichkeit irrtümlicherweise auch ein positives Resultat. a) Es wurden sämtliche Personen der Bevölkerung getestet, und es ergaben sich % positive Testresultate. Welcher Anteil der Bevölkerung ist tatsächlich HIV positiv? b) Es wurden sämtliche Personen der Bevölkerung getestet, und es ergaben sich 0% positive Testresultate. Welcher Anteil der Bevölkerung ist tatsächlich HIV positiv? c) Es wurden sämtliche Personen der Bevölkerung getestet. Der Anteil der positiven Testresultate ist a. Welcher Anteil der Bevölkerung ist tatsächlich HIV positiv? Ergebnis a) 0% b) 60% c) Es sei x der Anteil der tatsächlich HIV positiven Menschen an der Bevölkerung. Dann ist: xa ( ) = a 0..

10 Hans Walser: Stochastische Unabhängigkeit 8 x x a = a a Testresultat und Wirklichkeit Doppelter HIV Test Im Lande X sind 0.% der Bevölkerung HIV positiv. Ein HIV-Test reagiert bei HIVpositiven Personen mit 99% Wahrscheinlichkeit positiv. Bei HIV-negativen Personen gibt er mit % Wahrscheinlichkeit irrtümlicherweise auch ein positives Resultat. Das Testverfahren geht nun so vor sich, dass zunächst jede Person mit diesem Test getestet wird. Da es bekanntlich in denjenigen Fällen mit einem positiven Testresultat viele Fehlalarme hat, wird bei positivem Testresultat der Test wiederholt. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, bei der auch der zweite Test ein positives Resultat ergibt, tatsächlich HIV-positiv ist? b) Wie viele Tests müssen bei einer flächendeckenden Untersuchung mit diesem Testverfahren im Mittel pro Person durchgeführt werden? Verwenden Sie die volle Genauigkeit Ihres Rechners. a) Für die erstmalige Durchführung des Tests gilt folgender Baum: Test HIV Test HIV 0.99 Test Test Baum Für die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit einem positiven Testresultat beim ersten Test nun tatsächlich HIV-positiv ist, erhalten wir: P = = = 0.79 % 0.08

11 Hans Walser: Stochastische Unabhängigkeit 9 Für den Nachtest gilt somit der Baum: HIV Test Test HIV Test Test Baum Für die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit einem positiven Testresultat auch beim zweiten Test tatsächlich HIV-positiv ist, erhalten wir: P = = = % b) Im ersten Test erhalten = 0.08=.8% ein positives Testresultat und müssen ein zweites Mal getestet werden. Somit müssen im Mittel.08 Tests pro Person durchgeführt werden. Tuberkulose In der Bundesrepublik Deutschland waren 97 0.% der Bevölkerung aktiv an Tuberkulose (Tbc) erkrankt. Man weiß aufgrund langjähriger Erfahrungen, dass ein spezieller Tbc-Röntgentest 90% der Kranken und 99% der Gesunden richtig diagnostiziert. a) Herr Meier hat am Röntgentest teilgenommen. Das Untersuchungs-Ergebnis weist ihn als Tbc-krank aus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist er wirklich an Tbc erkrankt? b) Frau Meier erhielt die Mitteilung, dass sie aufgrund des Befundes dieser Untersuchung gesund sei. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist sie in diesem Fall wirklich gesund? Ergebnis a).% b) 99.9% Rot-grün-farbenblind In der Bevölkerung von Stochastikan sind % Männer. Unter den % rot-grünfarbenblinden Mitgliedern dieser Bevölkerung sind allerdings 8% Männer. a) Wie viel Prozent der Männer sind rot-grün-farbenblind? b) Wie viel Prozent der Frauen sind rot-grün-farbenblind?

12 Hans Walser: Stochastische Unabhängigkeit 0 a) Es sei x der Anteil der rot-grün-farbenblinden Männer an der Gesamtbevölkerung. Dann ist: 0.x = x = = b) Es sei y der Anteil der rot-grün-farbenblinden Frauen an der Gesamtbevölkerung. Dann ist: 0.y = y = = Würfelgesteuerter Münzenwurf Es wird ein Würfel geworfen, und dann eine Münze so oft, wie die Augenzahl anzeigt. Sie sind beim Spiel nicht dabei, werden aber informiert, dass dabei jedes Mal Kopf geworfen worden sei. Mit welcher Wahrscheinlichkeit war die Augenzahl,,,, oder 6? ( ) n. Die Wahr- Bei n Würfen ist die Wahrscheinlichkeit, jedes Mal Kopf zu werfen, scheinlichkeiten für die Augenzahlen,,,,, 6 verhalten sich also wie zu zu 8 zu 6 zu.zu. Die Wahrscheinlichkeiten dafür, welche Augenzahl der Würfel 6 anzeigte, müssen diesen Verhältnissen entsprechen, zusammen aber ergeben. Daher erhalten wir die Wahrscheinlichkeiten 6, 6 6, 8 6, 6, 6, dafür, dass der Würfel 6 die Augenzahlen,,,,, 6 anzeigte. 6 Schwänzen Gewisse Untersuchungen an einer Schule sollen ergeben haben, dass 7% aller Entschuldigungen akzeptiert wurden, dass aber 0% aller Entschuldigungen erfunden (faul, unwahr) seien. Zudem sei bekannt, dass eine korrekte (echte, wahrhaftige) Entschuldigung mit einer Wahrscheinlichkeit von 6 akzeptiert werde. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, a) dass eine faule Entschuldigung akzeptiert wird. b) dass eine beliebig herausgegriffene Entschuldigung faul ist und akzeptiert wurde. Ergebnis a) 0.6 b) 0.

13 Hans Walser: Stochastische Unabhängigkeit 7 Hotline Ein Call-Center beschäftigt drei MitarbeiterInnen, die telefonische Anfragen von Kunden beantworten sollen. Frau Alleskönnerin kann 9% aller Fragen zufrieden stellend beantworten. Herr Besserwisser gibt in 90% der Fälle eine nützliche Auskunft. Herr Chancenlos weiß nur für 70% aller Fragen einen hilfreichen Tipp. Alle drei MitarbeiterInnen beantworten gleich viele Anrufe, und es ist gleich wahrscheinlich, eine der drei Personen an den Apparat zu bekommen. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde mit der Auskunft, die er erhält, nicht zufrieden ist? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Kunde zufrieden ist, wenn wir wissen, dass er nicht von Frau Alleskönnerin bedient wurde? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein unzufriedener Kunde von Herrn Chancenlos bedient wurde? Lösung ( ) = 0. a) b) c) ( ) = ( ) = 8 Butterbrote Wenn ein Butterbrot vom Tisch fällt, fällt es meistens auf die Butterseite. Wir wissen nicht, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Butterbrot auf die Butterseite fällt. Wir machen daher einen Versuch und lassen der Reihe nach sechs Butterbrote vom Tisch fallen. Wir sprechen von einem Erfolg, wenn das Butterbrot auf die Butterseite fällt, andernfalls von einem Misserfolg. Da wir lernfähig sind, definieren wir die Erfolgswahrscheinlichkeit im Einzelfall andauernd neu und berücksichtigen die bisherigen Ergebnisse. Für jedes folgende Butterbrot setzen wir die Wahrscheinlichkeit, dass es auf die Butterseite fällt, proportional zum Verhältnis der Anzahl der bisherigen Erfolge zur Gesamtzahl der bisher gefallenen Butterbrote. Und nun beginnt die Realität: Das erste Butterbrot fällt auf die Butterseite. Das zweite nicht, das dritte aber wohl. Frage: Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben wir bei insgesamt 6 Butterbroten a) genau Erfolge? b) genau Erfolge? c) genau Erfolge? d) genau Erfolge? e) genau 6 Erfolge? f) Was ist an dieser Aufgabe zu kritisieren?

14 Hans Walser: Stochastische Unabhängigkeit In den folgenden Grafiken bedeutet ein Strich nach oben Erfolg (blaue Farbe). # Erfolge Baumdiagramm

15 Hans Walser: Stochastische Unabhängigkeit Es ist: Aufgabe # Erfolge Wahrscheinlichkeit a) 0 b) c) 0 d) e) 6 0 f) Kritik: Angenommen, die ersten drei Butterbrote fallen alle auf die Butterseite, dann fallen ab da überhaupt alle Butterbrote auf die Butterseite. Oder noch einfacher: Wenn wir nur eine Information haben, nämlich über den ersten Fall, ist es gar nicht lustig. 9 Bedingte Wahrscheinlichkeit Shanille O Keal shoots free throws on a basketball court. She hits the first, misses the second, and thereafter the probability that she hits the next shot is equal to the proportion of the shots she has hit so far. What is the probability that she hits exactly 0 out of her first 00 shots? References [Richey/Zorn 00] Richey, Matthew and Paul Zorn: Basketball, Beta, and Bayes. Mathematics Magazine, vol. 78, no., December 00, p [Putnam 00] Putnam: 6rd Annual William Lowell Putnam Mathematical Competition, Mathematics Magazine, vol. 76, 00, p Verallgemeinerung: Es sei n die Anzahl der Versuche, k die Anzahl der Erfolge und P n k ( ) die Wahrscheinlichkeit von genau k Erfolgen auf n Versuchen. Also: Shanille O Keal shoots free throws on a basketball court. She hits the first, misses the second, and thereafter the probability that she this the next shot is equal to the proportion of the shots she has hit so far. What is the probability that she hits exactly k out of her first n shots? Wegen des so far ist die Erfolgswahrscheinlichkeit im Einzelversuch nicht konstant. Wir haben also kein Bernoulli-Experiment mit einer Binomialverteilung. In den folgenden Grafiken bedeutet ein Strich nach oben Erfolg (blaue Farbe).

16 Hans Walser: Stochastische Unabhängigkeit n = # Erfolge k n = ( ) P k n = 6 6 # Erfolge k n = ( ) P ( k) P k 6 + 6

17 Hans Walser: Stochastische Unabhängigkeit n = # Erfolge n = ( ) k P k

18 Hans Walser: Stochastische Unabhängigkeit 6 n = 6 # Erfolge n = 6 k P 6 k ( )

19 Hans Walser: Stochastische Unabhängigkeit 7 Vermutung: Für n und 0 < k < n gilt: P n ( k)= n Beweis induktiv: (I) Induktionsverankerung: Für n =,,, 6 siehe Beispiele oben (II) Induktionsschritt: Für n Versuche sei P n ( k)= n. Frage: Wie groß ist P n+ ( k)? Dazu folgende Fallunterscheidung: (i) Die ersten n Versuche mit ( k ) Erfolgen, zusätzlicher Erfolg im ( n + )-ten Versuch: P n+ (() i )= k n n (ii) Die ersten n Versuche mit k Erfolgen, Misserfolg im ( n + )-ten Versuch: P n+ (( ii) )= n k n n Zusammen: P n+ ( k)= k n n + n k n n = n n n = n Die Antwort auf die ursprüngliche Frage ist somit ; die Zahl 0 der Erfolge ist nicht 99 relevant. 0 Teilbarkeit a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine natürliche Zahl durch und durch teilbar? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine natürliche Zahl durch oder durch teilbar? c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine natürliche Zahl, welche durch teilbar ist, auch durch teilbar? d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine natürliche Zahl, welche durch teilbar ist, auch durch teilbar? Ergebnis a) 6 b) c) d) Teilbarkeit a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine natürliche Zahl durch und durch teilbar? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine natürliche Zahl durch oder durch teilbar? c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine natürliche Zahl, welche durch teilbar ist, auch durch teilbar? d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine natürliche Zahl, welche durch teilbar ist, auch durch teilbar? Ergebnis a) b) c) d)

20 Hans Walser: Stochastische Unabhängigkeit 8 Teilbarkeit a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine natürliche Zahl durch 6 und durch 8 teilbar? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine natürliche Zahl durch 6 oder durch 8 teilbar? c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine natürliche Zahl, welche durch 6 teilbar ist, auch durch 8 teilbar? d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine natürliche Zahl, welche durch 8 teilbar ist, auch durch 6 teilbar? Ergebnis a) b) c) d) Stochastische Unabhängigkeit Jemand wählt auf gut Glück eine natürliche Zahl. Untersuchen Sie, ob die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind: a) A: Die Zahl ist durch teilbar. B: Die Zahl ist durch teilbar. b) A: Die Zahl ist durch teilbar. B: Die Zahl ist durch teilbar. a) P( A)=, P( B)=, P( A B)= 60 = P( A) ( B ). A und B sind stochastisch unabhängig. b) P( A)=, P( B)=, P( A B)= P( A) ( B ). A und B sind stochastisch abhängig. Das ist auch klar: was durch teilbar ist, ist auch durch teilbar. Stochastische Unabhängigkeit Jemand wählt auf gut Glück eine natürliche Zahl. Untersuchen Sie, ob die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind: c) A: Die Zahl ist durch 6 teilbar. B: Die Zahl ist durch teilbar. d) A: Die Zahl ist durch teilbar. B: Die Zahl ist durch 0 teilbar. a) P( A)= 6, P( B)=, P( A B)= 8 P( A) ( B ). A und B sind stochastisch abhängig. b) P( A)=, P( B)= 0, P( A B)= 0 P( A) ( B ). A und B sind stochastisch abhängig. Das ist auch klar: was durch 0 teilbar ist, ist auch durch teilbar.

21 Hans Walser: Stochastische Unabhängigkeit 9 Stochastische Unabhängigkeit Die Ereignisse A und B seien stochastisch unabhängig. Ferner sei P( A B)= 0. und P( A B)= 0.. Gesucht sind P( A) und P( B). Ergebnis P( A)= 0. P( B)= 0. 6 Essen Sie heute vegetarisch Zwei Jäger schießen unabhängig voneinander auf denselben Hasen. Jeder hat die Trefferwahrscheinlichkeit p. Der Hase ist mit der Wahrscheinlichkeit 0% tot. Wie groß ist p? Wir arbeiten mit einem Baum. Erster Jäger Zweiter Jäger trifft p p Hase tot trifft p trifft nicht p p( p) tot Es ist: trifft nicht p Wegen 0 p ist p = trifft p trifft nicht p Baum p + p( p)+ ( p)p = p p + = 0 ( p)p ( p) p, = ± die richtige Lösung. tot überlebt