Vertiefung zu Logistik/SCM

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1 Vertiefung zu Logistik/SCM 1 / 38 Vertiefung zu Logistik/SCM Stochastische Lagerhaltung Univ.-Prof. Dr. Knut Haase Institut für Verkehrswirtschaft 25. Juni Vertiefung zu Logistik/SCM 2 / 38 Inhalte I 1. Lagerhaltung bei stochastischer Nachfrage Annahmen Kontinuierlich verteilte Nachfrage Diskret verteilte Periodenachfrage Stochastische Wiederbeschaffungszeit 2. Produktbezogene Leistungskriterien -Servicegrad -Servicegrad -Servicegrad Beispiel 3. Einstufige Lagerhaltungspolitiken (s; q)-politik (r ; S)-Politik GAMS: Bestimmung einer optimalen (r,s)-politik (s; S)-Politik

2 Vertiefung zu Logistik/SCM 4 / 38 Annahmen I Die stochastische Nachfrage D ist periodenweise unabhängig. I Die Wiederbeschaffungszeit beträgt l Perioden Vertiefung zu Logistik/SCM 5 / 38 Kontinuierlich verteilte Nachfrage I Normalverteilte Nachfrage I Ist die Periodennachfrage D mit Erwartungswert D und Standardabweichung D normalverteilt, so ist die kumulierte Nachfrage D während der Wiederbeschaffungszeit mit ebenfalls normalverteilt. I Durch die Transformation D = D l D = Dp l X = D D D erhalten wir eine standardnormalverteilte Zufallsgröße X. I Zentraler Grenzwertsatz

3 Vertiefung zu Logistik/SCM 6 / 38 Kontinuierlich verteilte Nachfrage II I Aus Tabellen erhält man die Wahrscheinlichkeit P, dass X kleiner gleich einem bestimmten Wert x ist, kurz P[X x]; Beispiele: x 1,645 1,96 2,58 P[X x] 0,95 0,975 0,995 I Somit gilt beispielsweise P " D D D 1; 96 # = 0; 975 bzw. P[ D 1; 96 D + D ] = 0; 975 I Daraus folgt, dass bei einem Lagerbestand von 1; 96 D + D ME mit einer Wahrscheinlichkeit von 97,5% keine Fehlmengensituation während der Wiederbeschaffungszeit eintritt Vertiefung zu Logistik/SCM 7 / 38 Diskret verteilte Periodenachfrage I Spezifikation der Wahrscheinlichkeitsfunktion Die Wahrscheinlichkeitsfunktion wird in der Regel durch eine empirische Untersuchung spezifiziert, wobei relative Häufigkeiten als Schätzwerte für die Eintrittswahrscheinlichkeiten verwendet werden.

4 Vertiefung zu Logistik/SCM 8 / 38 Diskret verteilte Periodenachfrage II Wahrscheinlichkeitsverteilung der kumulierten Nachfrage D l kumulierte Nachfrage in der Wiederbeschaffungszeit von l Perioden D l = lx t=1 D Pf D l g Wahrscheinlichkeit von D l Beispiel (l = 1) PfD = 0g = 0; 1; PfD = 1g = 0; 4; PfD = 2g = 0; 5! l = 1: Pf D 1 = 0g = 0; 1 Pf D 1 = 1g = 0; Vertiefung zu Logistik/SCM 9 / 38 Diskret verteilte Periodenachfrage III Pf D 1 = 2g = 0; 5 l = 2 Pf D 2 = 0g = Pf D 1 = 0g PfD = 0g = 0; 1 0; 1 = 0; 01 Pf D 2 = 1g = Pf D 1 = 0g PfD = 1g + Pf D 1 = 1g PfD = 0g = 0; 1 0; 4 + 0; 4 0; 1 = 0; 08 Pf D 2 = 2g = Pf D 1 = 0g PfD = 2g + Pf D 1 = 1g PfD = 1g +Pf D 1 = 2g PfD = 0g = 0; 1 0; 5 + 0; 4 0; 4 + 0; 5 0; 1 = 0; 26

5 Vertiefung zu Logistik/SCM 10 / 38 Diskret verteilte Periodenachfrage IV Pf D 2 = 3g = Pf D 1 = 1g PfD = 2g + Pf D 1 = 2g PfD = 1g = 0; 4 0; 5 + 0; 5 0; 4 = 0; 4 Pf D 2 = 4g = Pf D 1 = 2g PfD = 2g + = 0; 5 0; 5 = 0; 25 Sicherheitsbestand: 3 ME, Wiederbeschaffungszeit: 2 Perioden!Wahrscheinlichkeit einer Fehlmengensituation: 25% Sei d eine Realisation von D l, so gilt allgemein ( Pf D l = dg PfD = dg für l = 1 = P d i=0 Pf D l 1 = ig PfD = d ig für l > Vertiefung zu Logistik/SCM 11 / 38 Stochastische Wiederbeschaffungszeit I Annahme Die Wiederbeschaffungszeit sei eine diskrete Zufallsvariable L mit Ausprägungen l 2 fl min ; : : : ; l max g Kontinuierlich verteilte Periodennachfrage Nachfrage während der Wiederbeschaffungszeit (Dichtefunktion): f D ( d) = Xl max l=l min f D ( d j L = l) PfL = lg Diskret verteilte Periodennachfrage (Wahrscheinlichkeitsfunktion) Pf D = dg = Xl max l=l min Pf D = d j L = lg PfL = lg

6 Vertiefung zu Logistik/SCM 12 / 38 Stochastische Wiederbeschaffungszeit II Beispiel (Erweiterung) l min = 1, l max = 2, PfL = 1g = 0; 4, PfL = 2g = 0; 6 Pf D = 0g = Pf D 1 = 0g 0; 4 + Pf D 2 = 0g 0; 6 = 0; 1 0; 4 + 0; 01 0; 6 = 0; 046 Pf D = 1g = Pf D 1 = 1g 0; 4 + Pf D 2 = 1g 0; 6 = 0; 4 0; 4 + 0; 08 0; 6 = 0; 208 Pf D = 2g = Pf D 1 = 2g 0; 4 + Pf D 2 = 2g 0; 6 = 0; 5 0; 4 + 0; 26 0; 6 = 0; 356 Pf D = 3g = Pf D 1 = 3g 0; 4 + Pf D 2 = 3g 0; 6 = 0; 0 0; 4 + 0; 40 0; 6 = 0; 24 Pf D = 4g = Pf D 1 = 4g 0; 4 + Pf D 2 = 4g 0; 6 = 0; 0 0; 4 + 0; 25 0; 6 = 0; 15 Sicherheitsbestand: 3 ME! P[Fehlmengensituation] = 15% Vertiefung zu Logistik/SCM 14 / 38 -Servicegrad Periodenbedarfsbezogene Definition Wahrscheinlichkeit, dass ein eintreffender Bedarf vollständig erfüllt werden kann: Per = P Periodennachfragemenge physischer Bestand zu Beginn einer Periode Bestellzyklusbezogene Definition Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb eines Bestellzyklus keine Fehlmenge auftritt Zyk = P 8 < : Nachfragemenge in Wiederbeschaffungszeit physischer Bestand zu Beginn der Wiederbeschaffungszeit 9 = ;

7 Vertiefung zu Logistik/SCM 15 / 38 -Servicegrad Mengenorientierte Kennzahl, die den Anteil der Gesamtnachfrage angibt, der ohne lagerbedingte Lieferzeit ausgeliefert werden kann: = 1 E ffehlmenge pro Periodeg E fperiodennachfragemengeg Vertiefung zu Logistik/SCM 16 / 38 -Servicegrad Zeit- und mengenorientierte Kennzahl = 1 E ffehlbestand pro Periodeg E fperiodennachfragemengeg Die Höhe der Fehlmenge als auch die jeweiligen Wartezeiten als Rückstandsaufträge sollen erfasst werden.

8 Vertiefung zu Logistik/SCM 17 / 38 Beispiel I I Anfangslagerbestand I 0 =400 I Bestellmenge: 400 I Eine Bestellung erfolgt, wenn der disponible Lagerbestand DI t (physischer Lagerbestand zusätzlich Bestellmengen abzüglich Fehlmengen) am Ende der Periode t kleiner als 200 ist. I Bestellungen werden am Ende einer Periode ausgelöst, nach einer Wiederbeschaffungszeit von 4 Perioden angeliefert und stehen zu Beginn der darauf folgenden Periode zur Bedarfsdeckung zur Verfügung Vertiefung zu Logistik/SCM 18 / 38 Beispiel II t d t I t q t DI t

9 Vertiefung zu Logistik/SCM 19 / 38 Beispiel III Vertiefung zu Logistik/SCM 20 / 38 Beispiel IV

10 Vertiefung zu Logistik/SCM 21 / 38 Beispiel V Per = = 96; 00% 50 Zyk = = 83; 33% 6 = = 98; 17% 2245 = = 97; 06% Vertiefung zu Logistik/SCM 23 / 38 (s; q)-politik Notation s q Bestellpunkt (Meldebestand) Bestellmenge (s; q)-politik I Wenn der disponible Lagerbestand den Bestellpunkt s erreicht hat, wird eine Bestellung der Höhe q ausgelöst. I Erfordert kontinuierliche Bestandsüberwachung.

11 Bestandsentwicklung (s; q)-politik (Tempelmeier (2012)) Vertiefung zu Logistik/SCM 25 / 38 (r ; S)-Politik Notation S r Bestellniveau Zykluslänge (r ; S)-Politik I In konstanten Abständen von r Perioden wird jeweils eine Bestellung ausgelöst, die den disponiblen Lagerbestand auf das Bestellniveau S anhebt. I Lagerhaltungspolitik mit periodischer Bestandsüberwachung.

12 Bestandsentwicklung (r ; S)-Politik (Tempelmeier (2012)) * (r,s)-politik file out; put out; sets t Perioden i Bestellpolitiken; parameter d(t) Nachfrage; scalar h Lagerhaltungskoeffizient /1/ f Lagerfehlbestandskoeffizient /2/ LZ Lieferzeit /5/ ga Gamma Servicegrad /0.95/; parameter g Lagerueberwachungs und Bestellkosten X(t) Bestellung in Periode; positive variables LB( t) Lagerbestand FB( t) Fehlbestand DLB(t) disponibler Lagerbestand q(t) Bestellmenge

13 S Bestellniveau; variable GK Gesamtkosten; equations Gesamtkosten Minimierung der Gesamtkosten Lagerbestand(t) Lagerbilanzgleichungen DisponiblerLB(t) Disponibler Lagerbestand Bestellung(t) Festlegung der Bestellmenge KeineBestellung(t) Festlegung der Bestellmenge Gamma Gamma-Servicegrad einhalten; Gesamtkosten.. GK =e= g + sum(t, h*lb(t) + f*fb(t)); Lagerbestand(t).. LB(t)-FB(t)=e= LB(t-1)-FB(t-1)+q(t-(LZ+1))-d(t); DisponiblerLB(t).. DLB(t) =e= DLB(t-1) + q(t) - d(t); Bestellung(t)$X(t).. q(t) =e= S-DLB(t); KeineBestellung(t)$(not X(t)).. q(t) =e= 0; Gamma.. sum(t, FB(t)) =l= (1-ga)*sum(t,d(t)); Model Bestellpolitik /all/; set t /1*100/ i /1*10/; d(t) = round(uniform(0,100)); d( 1 ) = d( 1 ) - LZ*50; scalar counter; scalar min_i, min_kost; min_kost = 0; Alias(t,n); loop(i, if (ord(i) = 1, X(n) = yes; else X( 1 ) = yes; counter = 1; loop(n$(ord(n)>1), if (counter = ord(i), X(n) = yes; else X(n) = no); counter = counter + 1; if (counter > ord(i), counter = 1); ); ); g = 500*sum(n$X(n), 1 ); solve Bestellpolitik using lp minimizing GK; if ( ord(i)= 1 or min_kost > GK.l,

14 ); min_i = ord(i); min_kost = GK.l; ); put ord(i)" " S.l:6:0 " " GK.l:6:0 /; if (ord(i)=12, loop(n, put LB.l(n):4:0, FB.l(n):4:0 DLB.l(n):4:0/); ); loop(i$(ord(i) = min_i), if (ord(i) = 1, X(n) = yes; else X( 1 ) = yes; counter = 1; loop(n$(ord(n)>1), if (counter = ord(i), X(n) = yes; else X(n) = no); counter = counter + 1; if (counter > ord(i), counter = 1); ); ); g = 500*sum(n$X(n), 1 ); solve Bestellpolitik using lp minimizing GK; put ord(i)" " S.l:6:0 " " GK.l:6:0 /; loop(n, put LB.l(n):6:0, FB.l(n):6:0 DLB.l(n):6:0 q.l(n):6:0/); ); out.put

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17 Vertiefung zu Logistik/SCM 36 / 38 (s; S)-Politik Notation s S q Bestellpunkt (Meldebestand) Bestellniveau Bestellmenge (s; S)-Politik I In konstanten Abständen wird der disponible Lagerbestand überprüft. Ist der Bestellpunkt s erreicht oder unterschritten, dann wird eine Bestellung ausgelöst, die den disponiblen Lagerbestand auf das Bestellniveau S anhebt. I Im Unterschied zur (s; q)-politik sind die Bestellmengen nun variabel. Bestandsentwicklung (s; S)-Politik (Tempelmeier (2012))

18 Vertiefung zu Logistik/SCM 38 / 38 Literaturhinweise I Templemeier, Horst: Bestandsmanagement in Supply Chains. Books on Demand, 4. Auflage, 2012.