Versuch 201. Wärmeleitfähigkeit von Gasen. 1. Aufgaben. 2. Grundlagen. λ = Λ v n (1)

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1 1 Versuch 01 Wärmeleitfähigkeit von Gasen 1. Aufgaben 1.1 Messen Sie die relative Wärmeleitfähigkeit λx / λ 0 (bezogen auf Luft bei äußerem Luftdruck) für Luft und CO in Abhängigkeit vom Druck p. Stellen Sie λx / λ0 als Funktion von p grafisch dar. 1. Interpretieren Sie die Messkurven.. Grundlagen Stichworte: Wärmeleitung, Wärmeströmung, Wärmestrahlung, kinetische Gastheorie, mittlere freie Weglänge, oltzmannkonstante, molekulare Freiheitsgrade, Wheatstone-rücke.1 Druckabhängigkeit der Wärmeleitung in Gasen Der Wärmeinhalt eines Körpers ist durch die Gesamtmenge der kinetischen Energie seiner atomaren austeine gegeben. Der Transport von Wärmeenergie von einem Ort höherer zu einem Ort niedrigerer Temperatur kann durch Wärmeströmung (Konvektion), Wärmeleitung und Wärmestrahlung erfolgen. In einem verdünnten Gas (keine Konvektion) und bei Temperaturen in der Nähe der Zimmertemperatur (kaum Strahlung) überwiegt die Wärmeleitung deutlich die beiden anderen Arten des Wärmeübergangs. Die Wärmeleitung in Gasen ist ein statistischer Transportmechanismus, bei dem die kinetische Energie der Moleküle durch Stöße mit anderen Molekülen weitergegeben wird. Die dabei auftretende typische Materialeigenschaft ist die Wärmeleitfähigkeit λ. Sie ist definiert als das Verhältnis von Wärmestromdichte (Dimension W/m )und Temperaturgradient (Dimension K/m) und hat gemäß Gl.4 die Dimension W. m K In Gasen ist die Wärmeleitfähigkeit vom Druck und von der Temperatur abhängig. Weiterführende Informationen zu statistischen Transportprozessen siehe Anhang 1. Nach der kinetischen Gastheorie gilt für die Wärmeleitfähigkeit λ bei nicht zu kleinen Drücken: 1 Cv λ = Λ v n (1) 3 N A

2 Versuch 01- Wärmeleitfähigkeit von Gasen wobei Λ die mittlere freie Weglänge der Moleküle, n die Molekülzahldichte, v die mittlere Geschwindigkeit der Moleküle, C v die molare Wärme und N A die Avogadozahl ist. Der Faktor 1/3 tritt infolge der räumlichen Mittelung auf. Die mittlere freie Weglänge Λ wird bestimmt durch Λ= 1 π D n () mit dem gaskinetischen Moleküldurchmesser D. Die mittlere Molekülgeschwindigkeit v ist v = 8kT 1 π µ (3) mit der Molekülmasse µ. Es fällt auf, daß wegen Gl.1 die Wärmeleitfähigkeit nicht vom Gasdruck abhängen dürfte, da die Teilchenzahldichte n proportional zum Druck p, die freie Weglänge Λ jedoch umgekehrt proportional zu p ist und damit das Produkt Λ n nicht mehr von p abhängt. Dennoch weiß man aus der Praxis, daß z.. in Thermosgefäßen oder modernen Doppelglasfenstern luftleer gepumpte Zwischenräume zur Wärmeisolation genutzt werden. Worin liegt die Lösung dieses Widerspruchs? Entscheidend ist das Verhältnis zwischen freier Weglänge und den Abmessungen des Versuchsgefäßes. Solange die freie Weglänge kleiner ist, gilt Gl.1 und die Wärmeleitfähigkeit ist tatsächlich über weite ereiche druckunabhängig. Wenn aber Λ (zu niedrigen Drücken hin) die Dimension des Gefäßes überschreitet, wird die Wegstrecke, welche die Teilchen maximal zurücklegen können, durch die Gefäßabmessungen bestimmt. Λ muß in Gl.1 dann faktisch als Konstante angesehen werden und λ wird direkt von der Molekülzahldichte n und damit vom Druck p abhängig. (Die Temperaturabhängigkeit der Wärmeleitfähigkeit, welche über v in Gl.1 eingeht, soll hier nicht Gegenstand der etrachtung sein).. Messmethode Die Versuchsapparatur besteht aus einem dünnen Heizdraht, der sich auf der Achse eines zylindrischen Glasrohres befindet (vgl. ild 1 und ). Die Wärme wird durch die Luft (bzw. das Gas) vom Draht nach außen transportiert und über die Rohrwand an die Umgebung abgegeben. Man speist den Draht mit einer konstanten elektrischen Leistung, die gerade die Wärmeverluste kompensiert. Somit bleibt nach Einstellung eines stationären Zustandes eine konstante Temperaturdifferenz zwischen Draht und Rohr bestehen. Der einfachste Fall für die Wärmeleitung ist der Wärmestrom Φ durch eine ebene Platte (d...dicke, A...Fläche), deren beide Seiten auf konstanter Temperatur (T 1, T ) gehalten werden: T - T d 1 Φ = - λ A (4) Zur Verallgemeinerung schreibt man diese Gleichung für differentiell dünne Schichten : d T Φ = - λ A (5) d x

3 Versuch 01- Wärmeleitfähigkeit von Gasen 3 Für eine zylinderförmige Schicht der Dicke dr gilt entsprechendes in Zylinderkoordinaten: (r... Radius, l... Länge des Zylinders). d T Φ = - λ π r l (6) d r Unter der Voraussetzung, daß Φ konstant ist, kann man Gl.6 umformen in Φ r dr = - π l λ dt (7) und integrieren. Man erhält dann für den Wärmestrom von der Achse des Zylinders nach außen zum Glasrohr Φ π l = λ T - T rg ln rd ( D G ) (8) (T D... Temperatur des Drahtes, T G... Temperatur am Glasrohr, r D... Radius des Drahtes, r G... Radius des Glasrohres). Nach dem Energieerhaltungssatz ist der Wärmestrom Φ gleich der zugeführten elektrischen Leistung: U Φ = (9) R (R D... Widerstand des Drahtes, U... angelegte Spannung). Durch Einsetzen von Gl.9 in Gl.8 erhält man für die Wärmeleitfähigkeit D λ ln r G = rd U π l ( T - T D G) R D (10) Gl.10 liefert den Absolutwert der Wärmeleitfähigkeit, erfordert aber die Messung vieler Größen. Wesentlich einfacher ist die estimmung eines auf die (bekannte) Wärmeleitfähigkeit von Luft bezogenen Relativwertes (Methode von SCHLEIERMACHER). Es genügt dann, nur die Spannung U zu messen, während alle anderen Größen aus Gl.10 konstant gehalten werden. l, r G und r D sind Apparatekonstanten, T G entspricht etwa der Zimmertemperatur. Die Temperatur T D des Drahtes und damit gleichzeitig der Widerstand R D sind im stationären Fall konstant. Anstelle von Gl.10 kann man dann schreiben: λ = const U. Für Luft bei äußerem Luftdruck (unsere ezugsgröße) heißt das: λ = c U 0 0 und für alle anderen Drücke und Gasarten λ x = c U x. Damit erhält man zur estimmung der relativen Wärmeleitfähigkeit die einfache eziehung:

4 4 Versuch 01- Wärmeleitfähigkeit von Gasen λ U = x x λ0 U0 (11) 3. Versuchsdurchführung 3.1 Messung Der Drahtwiderstand wird als unbekannter Widerstand R x in eine Wheatstone-rücke geschaltet (siehe ild 1). Das Verhältnis der Abgleichwiderstände R:R 1 wird konstant und etwa 1:1 gehalten. Durch das Konstanthalten wird erreicht, daß die Spannung am Heizdraht proportional zur Gesamtspannung U an der rücke ist. Damit kann man anstelle von Gl. 11 schreiben: λ x U x = (1) λ 0 U 0 In einem Vorversuch muß zunächst die Größe des Drahtwiderstandes R x im ungeheizten Zustand ermittelt werden. Man legt bei hohem Druck (gute Wärmeableitung) eine kleine Spannung U (etwa 0.5 V) an, so daß sich der Draht noch nicht nennenswert erwärmt und stellt den Normalwiderstend R N so ein, daß die rücke abgeglichen ist. Wegen R 1 = R gilt nun R x = R N. Die eigentliche Messung ( geheizter Draht ) soll bei einer Temperatur von ca C erfolgen, was einem um etwa 10% höheren Widerstand entspricht. D. h. also: R N wird um 10% erhöht, womit man die Zieltemperatur T D und den zugehörigen Drahtwiderstand R D vorgibt. Dieser Wert wird danach nicht mehr verändert. Nun versucht man, durch Erhöhen der rückenspannung U (Heizen des Drahtes) die rücke wieder zum Abgleich zu bringen. R N (Dekade) Meßbrückeninstrument R x U V R1 R ild 1: Versuchsaufbau (Wheatstone-rücke)

5 Versuch 01- Wärmeleitfähigkeit von Gasen 5 Zu jedem eingestellten Druck erhält man so genau einen Spannungswert, U 0 ( für Luft bei Atmosphärendruck ), aus dem mit Gl.1 die relative Wärmeleitfähigkeit berechnet werden kann. U x ild : Versuchsaufbau (Vakuumerzeugung) Im Praktikumsversuch sollen auf diese Weise zwei Messkurven ( für Luft und CO ) gewonnen werden, die die Abhängigkeit der Wärmeleitfähigkeit vom Druck zeigen. Dabei ist der gesamte, mit der vorhandenen Anlage erzeugbare Druckbereich zu nutzen. Richtwerte:, 5, 10, 0, 50, 100, 00, 500, 1000, 000, 5000, , 0.000, , (in Pa) , Zeichnen Sie beide Kurven ( λ x / λ 0 über p ) in ein Diagramm ( p-achse log. geteilt). Fertigen Sie darüberhinaus zwei weitere Diagramme an, die einmal das Gebiet sehr niedriger Drücke ( bis etwa 50 Pa ) und zum anderen den oberen Druckbereich ( größer Pa ) zeigen, diesmal aber mit linear geteilter Druckskala. 3. Hinweise zur Auswertung Interpretieren Sie den Verlauf der Messkurven! Untersuchen Sie insbesondere folgende Punkte: 1. An welcher Stelle setzt die Druckabhängigkeit der Wärmeleitfähigkeit ein ( Knick im Diagramm)? Nach der Theorie müßte dort die freie Weglänge (vgl. Tabelle im Anhang) etwa in der Größenordnung der Röhrenradiuses (einige Zentimeter) liegen. Das ist nicht der Fall. Versuchen Sie, Gründe für diese Diskrepanz zu finden. etrachten Sie dazu hauptsächlich die Geometrie der Anordnung und den daraus resultierenden Temperaturverlauf in der Röhre.. Der Anstieg der Messkurve zu höheren Drücken hin wird durch Wärmeströmung (Konvektion) verursacht. Welcher Unterschied besteht zwischen Wärmeströmung und Wärmeleitung? Warum entsteht Konvektion erst bei höheren Drücken? Wie ist die Abhängigkeit vom Druck? Linear? Spielt Wärmestrahlung im Versuch eine Rolle?

6 6 Versuch 01- Wärmeleitfähigkeit von Gasen 3. Vergleichen Sie die Kurven von Luft und CO! Welche Gemeinsamkeiten und welche Unterschiede gibt es? 4. Wie ist das Verhalten bei sehr kleinen Drücken (Zusammenfallen der Messkurven für Luft und CO ) zu erklären? Nutzen Sie dazu ggf. ihre Vorkenntnisse über Desorptionseffekte und das gasartabhängige Messen verschiedener Messinstrumente aus dem Versuch 06. Zusatzaufgabe: Durch Kombination der Gleichungen (1) bis (3) erhält man eine Formel für λ, die verschiedene Schlußfolgerungen erlaubt. Schätzen Sie den gaskinetischen Moleküldurchmesser von CO mit Hilfe der gegebenen Wärmeleitfähigkeit bei 0 C ab! Wie ist λ von f, M und D abhängig? Welchen Einfluss hat die Temperatur? Wärmeleitfähigkeit ( 760 Torr, 0 C): Luft : W / K m CO 10-3 : 14.3 W / K m Moleküldurchmesser: Stickstoff 0,31 nm Sauerstoff 0,36 nm Anhang: Wärmeleitung als Diffusionsprozess Wichtige statistische Prozesse der Physik wie die Teilchendiffusion, die Wärmeleitung, die innere Reibung (Viskosität) oder auch der Ladungstransport in Ohmschen Widerständen sind Transportprozesse, bei denen räumliche und zeitliche Änderungen einer physikalischen Größe charakteristisch miteinander verbunden sind. ei all diesen Prozessen verursacht die räumliche Änderung einer Größe φ (der Gradient) den Transport einer anderen Größe mit der Stromdichte j. Wir nennen diesen Transport einen Diffusionsstrom. Die räumliche Änderung einer Größe φ ist also die treibende Kraft für die Ströme. Alle drei Prozesse sind von folgender Gestalt: dϕ j = c1. Im Falle der Viskosität löst eine Geschwindigkeitsänderung quer zur ewegungsrichtung einen Impulsstrom aus, d.h. benachbarte Schichten werden laminar mitgenommen. Es wird Impuls quer zur ewegungsrichtung der Strömung transportiert dv F σ = η, wobei σ = die Schubspannung, η die Viskosität und v die A Geschwindigkeit sind. ei der Wärmeleitung führt ein Temperaturgefälle zum Strömen von Wärme von der heißen zur kalten Stelle:

7 Versuch 01- Wärmeleitfähigkeit von Gasen 7 dt j = λ, wobei j die Wärmestromdichte, λ die Wärmeleitfähigkeit und T die Temperatur sind. Genauso ist es bei der Teilchendiffusion. Hier erzeugt ein Konzentrationsgradient einen Massenstrom. eim elektrischen Stromfluss in Ohmschen Widerständen ist es der Gradient des elektrischen Potentials U, der den Ladungstransport antreibt: du j = σ (oder I = U/R), wobei j die elektrische Stromdichte, σ die elektrische Leitfähigkeit und du die elektrische Feldstärke sind. etrachtung von Transportkenngrößen in Gasen: 1) mittlere freie Weglänge Λ: etrachtet man ein Gas mit der Anzahldichte n (Zahl der Gasmoleküle pro Volumen), so kann man die mittlere freie Weglänge Λ definieren als Länge eines Zylinders, in dem keine eeinträchtigungen (Stöße) mit Nachbarmolekülen stattfinden. Der für ein Molekül zur Verfügung stehende Raum ohne Störung durch Nachbarmoleküle wird also im statistischen Mittel durch einen Zylinder der Länge Λ und der Grundfläche π D ausgedrückt werden können: π D Λ = n 1, woraus die mittlere freie Weglänge folgt: Λ= 1 π. D n Der Faktor berücksichtigt die Relativgeschwindigkeit der sich bewegenden Gasmoleküle. Die mittlere freie Weglänge eines Gasmoleküls beträgt unter Standardbedingungen in Luft etwa 68 nm. p Aus dem Zustandsgleichung für ideale Gase (p V = R T) erhält man n = und damit nach Gl. kt eine eziehung zur estimmung von Λ aus dem Druck und dem gaskinetischen Moleküldurchmesser: k T Λ = (13) π p D Tabelle der mittleren freien Weglänge von Luft bei unterschiedlichen Drücken p / Pa Λ 60 nm 6 μm 60 μm 0.6 mm 6 mm

8 8 Versuch 01- Wärmeleitfähigkeit von Gasen ) mittlere Molekülgeschwindigkeitv : Die mittlere Geschwindigkeit () v eines Ensembles von Molekülen mit der Masse µ 0 v= v f v d und mit der Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung 8 1 v = kt π μ 3 μv kt μ f() v = 4π v e π kt beträgt: 3) Wärmeleitfähigkeit λ : 1 Cv λ = Λ v n mit n Molekülzahldichte, C v molare Wärme, N A Avogadozahl 3 N 4) dynamische Viskosität η : 1 η = Λ v ρ mit ρ - Dichte 3 A