Längenmaße: 1 cm = 10 mm 1 dm = 10 cm = 100 mm 1 m = 10 dm = 100 cm = mm 1 km = m = dm = cm =

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1 Flächen und Räume 4 Flächen und Räume Bei der Berechnung von Flächen und Räumen gibt es verschiedene Maßeinheiten. Längenmaße, Flächenmaße und Raummaße können nur verarbeitet werden, wenn diese eingeordnet und umgerechnet werden können. Längenmaße Ò in zweckmäßige Einheiten wie Meter (m) oder Kilometer (km) umrechnen. Flächenmaße Ò in Quadratmeter (m 2 ) umrechnen. Raummaße Ò im Lebensmittelbereich (Flüssigkeiten und Gase) in Liter (l) umrechnen. Längenmaße: 1 cm = 10 mm 1 dm = 10 cm = 100 mm 1 m = 10 dm = 100 cm = mm 1 km = m = dm = cm = mm Flächenmaße: 1 cm 2 = 100 mm 2 1 dm 2 = 100 cm 2 = mm 2 1 m 2 = 100 dm 2 = cm 2 = mm 2 1 km 2 = m 2 = dm 2 = cm 2 Bei der Landberechnung kommen die Maßeinheiten Hektar (ha) und Ar (a) zur Anwendung: 1 a = 100 m 2 1 ha = 100 a 1 km 2 = 100 ha 29

2 Rechnerische Grundlagen Raummaße: 1 cm 3 = mm 3 oder 1 Milliliter (ml) 1 dm 3 = cm 3 = mm 3 oder 1 Liter (l) 1 m 3 = dm 3 = cm 3 = mm 3 oder Liter (l) Bei der Volumenberechnung von Flüssigkeiten kommen auch Hektoliter (hl) und Zentiliter (cl) zur Anwendung: 1 cl = 10 ml 1 hl = 100 l Merke: Umrechnung von Raummaßen Rechnet man von der kleineren zur nächstgrößeren Einheit um (z. B cm 3 = 4 dm 3 ), so dividiert man durch Rechnet man von der größeren zur nächstkleineren Einheit um (z. B. 4 m 3 = dm 3 ), so multipliziert man mit Beachte! Flächen und Räume werden mit Hilfe von Formeln berechnet. Bei der Flächenberechnung werden die Fläche oder der Umfang berechnet. Bei der Raumberechnung werden das Volumen (Inhalt) oder die Oberfläche berechnet. Flächenformen und Berechnungsformeln Diese Buchstaben werden als mathematische Zeichen verwendet: A = Fläche U = Umfang R = Großradius d = Durchmesser r = Radius Seiten (Strecken) einer Fläche werden mit Buchstaben gekennzeichnet. Seiten mit gleicher Länge erhalten den selben Buchstaben (etwa beim Viereck). Das Benennen der Seiten durch Buchstaben ist die Grundlage für die Formel zur Berechnung der Fläche. 30

3 Flächen und Räume Quadrat a a A = a a = a 2 U = a+a+a+a oder a 4 (ein Quadrat hat 4 gleiche Seiten) Rechteck b A = a b = ab U = (a + b) 2 (ein Rechteck hat 2 a- und 2 b-seiten) a Beachte! Klammern zuerst ausrechnen! Punktrechnung geht vor Strichrechnung! Dreieck h h = Höhe des Dreiecks U = a + b + c Dreieck: Die kürzeste Seite wird mit dem Buchstaben 'a' bezeichnet. Die zweitkürzeste Seite wird mit dem Buchstaben 'b', die längste Seite mit dem Buchstaben 'c' bezeichnet. 31

4 Rechnerische Grundlagen Kreis A = r r A = r 2 mit = 3,14 Beachte! Kurz erklärt: A Ò ist zu errechnen: die Fläche des Kreises. r Ò bezeichnet den Radius. Der Radius ist der halbe Durchmesser. Ò bezeichnet die Kreiszahl 3,14, auch Archimedes-Konstante genannt. r r Ò kann man auch verkürzt schreiben: r 2. Archimedes-Konstante Ein Kreis mit einem Durchmesser von 1 hat einen Umfang von. Würde man einen Kreis öffnen und zu einer Geraden ziehen, so würde die Kreislänge 3,14 betragen. Das ist der Umfang des Kreises. Ein Rad mit 1 m Durchmesser kommt mit einer Umdrehung 3,14 m voran. U = 2 r Ebene Grundfiguren sind Quadrat, Rechteck und Kreis. Die Grundformen der Flächenberechnung entsprechen den Anforderungen des Fachbereichs Fleischwirtschaft. Es gibt weitere ebene Figuren wie Trapez, Ellipse, Parallelogramm und krummlinige Figuren. Die Flächeninhalte ebener Figuren werden durch die Anzahl der in ihr enthaltenen Einheitsquadrate bestimmt. Beachte! Ebene Figuren haben zweidimensionale Ansichten: Länge und Breite (z. B. m 2 ). Körper bzw. Räume besitzen eine Dimension mehr. Länge, Breite, Höhe (z. B. m 3 ). Berechnet wird: das Volumen = der Inhalt (z. B. m 3 ) oder die Oberflächen, wobei diese zweidimensional bleiben (z. B. m 2 ). 32

5 Flächen und Räume Würfel a V = a a a = a 3 O = a a 6 = 6a 2 O = 6 a 2 = 6a 2 Die Oberfläche (O) eines Würfels erhält man, indem zunächst die Grundfläche (Quadrat) berechnet wird. Sie wird mit der Anzahl der Flächen, nämlich 6, multipliziert. Warum? Jeder weiß vom Würfelspiel, dass der Würfel sechs verschiedene Zahlen aufweist. Also hat ein Würfel sechs Seiten, somit sechs Grundflächen. Diese ergeben die Oberfläche. Quader Die Berechnung erfolgt nach dem gleichen Modus wie beim Würfel. Das Volumen wird errechnet aus der Formel Grundfläche mal Höhe = a b ( h) (z. B. Länge mal Breite mal Höhe). Drei Dimensionen werden multipliziert (z. B. m 3 oder dm 3 ). Die Oberfläche erhält man, indem die Grundflächen berechnet werden. Der Quader besitzt 3 verschiedene Grundflächen, jede 2-mal. Warum? Wie beim Würfel haben wir sechs Seiten. Die 3 Grundflächen werden errechnet, dann jede mit 2 multipliziert. Zum Schluss werden die jeweils 2-mal vorhandenen 3 Grundflächen addiert. Das ergibt die Oberfläche. Zylinder V = r 2 h O = 2 r (r + h) Das Volumen ergibt sich aus der Formel Grundfläche mal Höhe. Diese Berechnung wird angewendet zur Ermittlung des Fassungsvermögens von Behältern. Die Oberfläche von Zylindern ergibt sich, wenn man die beiden Kreisebenen mit dem Radius und der Höhe multi - pliziert. Diese Berechnung wird angewendet bei dem bekanntesten Zylinder, dem geraden Zylinder, oder beim Rotationszylinder. Von Rotations zylinder spricht man, wenn beide Kreisebenen im gleichen parallelen Abstand zueinander stehen. 33

6 Rechnerische Grundlagen 4.1 Übungsaufgaben: Flächen und Räume 1 Ein Landfleischer will sein Schlachthaus neu streichen lassen. Der Raum ist 9 m lang, 4,80 m breit und 4,20 m hoch. Er soll bis zu 4 m Höhe mit heller Ölfarbe gestrichen werden. Das kostet 12,50 /m 2. Die Decke und der obere Streifen der Wände sollen für 4, /m 2 gekalkt werden. 1.1 Wie viel m 2 werden mit Ölfarbe gestrichen, wenn 10 % der Fläche auf Tür und Fenster fallen? 1.2 Wie teuer wird das Streichen mit Ölfarbe? 1.3 Wie teuer wird das Kalken? 1.4 Wie teuer wird die Erneuerung des Schlachthauses? 2 Ein Fleischer lässt die Wurstküche erneuern. Sie ist 7,5 m lang, 4,80 m breit und 5,40 m hoch. 1/12 der Wandfläche sind Fenster und Türen. Die Wände werden in ganzer Höhe mit hellen, glasierten Platten belegt. Das kostet 45,50 /m 2. 1 m 2 Fußboden ist 1,50 billiger. Das Kalken der Decke kostet 4,20 /m Wie teuer wird die Erneuerung der Wurstküche? 2.2 Um wie viel Prozent steigen die Kosten, wenn der Meister am Fußboden eine umlaufende Hohlkehle für 9,90 pro laufendes Meter anbringen lässt? 3 Ein Fleischer will eine Nische in seiner Wurstküche nutzen, indem er dort eine Klimaanlage einbauen lässt. Die Nische ist 2,20 m lang, 1,80 m hoch und 1,20 m tief. Ein Drittel der Grundfläche gehen für Apparatur und Isolierung verloren. 3.1 Wie viel m 3 Luftraum können in der Anlage klimatisiert werden? 4 Die Decken in den Arbeitsräumen und im Gewürzlager sollen mit Platten aus Kunststoff isoliert werden. Sie haben folgende Maße: 7,50 m 8,50 m und 9,50 m 7,50 m und 3,50 m 2,50 m. 4.1 Wie groß sind die Deckenflächen? 4.2 Wie viele Deckenplatten werden benötigt, wenn eine einzelne Platte 0,50 m 0,50 m groß ist? 4.3 Was kostet die Deckenverkleidung, wenn pro m 2 34,70 veranschlagt werden? 5 Für Arbeitskräfte in gewerblichen Räumen ist pro Person ein Raumbedarf von 16,5 m 3 vorgesehen. In einer Fleischerei ist die Werkstatt für das Zerlegen von Fleisch 3,00 m hoch, 5,00 m lang und 4,40 m breit. 5.1 Wie viele Personen dürfen dort ständig arbeiten? 34

7 Flächen und Räume 6 Bakteriologen haben die Zahl der Keime auf verschiedenen Tischen in den Abteilungen einer Fleischerei ermittelt. Sie stellten je cm 2 Oberfläche folgende Keimzahlen fest (in Tausend): Betriebsraum Holztisch Metalltisch ungereinigt gereinigt ungereinigt gereinigt Schlachthaus Rohwurstabteilung Schinkenherstellung Wie viele Keime befanden sich auf dem Holztisch im Schlachthaus vor und nach dem Reinigen, wenn er 1,5 m breit und 2,5 m lang war? 6.2 Wie hoch war der Keimgehalt auf den Tischen gleicher Größe in den einzelnen Betriebsräumen? 35

8 Rechnerische Grundlagen 5 Dreisatz Die häufigste und wichtigste Rechenmethode in der Fleischwirtschaft ist der Dreisatz. Er besteht aus drei bekannten Werten, die sich gegenseitig bedingen, und einem vierten, unbekannten Wert (dem Ergebnis). Von einer vorgegebenen Menge oder Mehrheit wird auf die kleinste Einheit geschlossen, um damit die neue Menge bzw. Mehrheit zu errechnen. Bei der Dreisatzrechnung verbinden sich Multiplikation und Division zu einer Rechenopera - tion. Dabei wird das Rechnen mit Brüchen angewendet. Einfacher Dreisatz mit geraden Verhältnissen Aufgabe: In einem Sonderangebot kosten 6 kg Kasseler Kamm als Mindestabnahme 33,90. Wie viel Euro kosten 8,750 kg? Ansatz: 6,000 kg kosten 33,90 Bedingung 8,750 kg kosten? Frage (mathematisch steht für das? ein x) Lösung: 6,000 kg kosten 33,90 Bedingungssatz: Er sagt, was wir wissen. 1,000 kg kosten 33,90 : 6 Mittelsatz: Er schließt von der Mehrheit auf die Einheit. Schlusssatz: Er schließt von der Einheit auf die Mehrheit. Ergebnis: 49,44 Antwortsatz: Er schließt die Aufgabe ab. Regel: Zuerst den bekannten Satz aufstellen. Fragesatz in die zweite Reihe setzen. Gleiche Benennungen untereinanderschreiben. Erfragte Benennung an das Satzende stellen. Einfacher Dreisatz mit geraden Verhältnissen: Je mehr, desto mehr. Je weniger, desto weniger. Größeres Gewicht Ò höherer Preis. Kleineres Gewicht Ò niedrigerer Preis. 36

9 Dreisatz Vom Dreisatz zur Verhältnisgleichung Aufgabe: Lösung: 3 kg Kassler kosten 20,88. Wie teuer sind 4,75 kg? Viele Rechner lösen die Aufgaben mit einer Verhältnisgleichung: Verhältnis aufstellen! Es verhalten sich: 3 kg zu 20,88 wie 4,75 kg zu x. Außenglied mit Außenglied, Innenglied mit Innenglied malnehmen: 3 x = 20,88 4,75 20,88 4,75 Teilen durch den Faktor von x: x = 3 Ergebnis: x = 33,06 Vom Dreisatz zur Verhältnisgleichung: Aus gleich benannten Zahlen eine Gleichung mit je einer Seite des Verhältnisses bilden. Gleichung auflösen nach den Regeln: Außenglied mit Außenglied, Innenglied mit Innenglied malnehmen. Beide Seiten durch den Faktor von x teilen. Auch für Verhältnisgleichungen mit geradem Verhältnis gilt: Je mehr, desto mehr. Größeres Gewicht Ò höherer Preis. Je weniger, desto weniger. Kleineres Gewicht Ò niedrigerer Preis. Einfacher Dreisatz mit ungeradem Verhältnis Beim einfachen Dreisatz mit ungeradem (umgekehrtem) Verhältnis ist das Verhältnis der beiden bekannten Werte umgekehrt. Aufgabe: Ansatz: 4 Vakuumfüllautomaten füllen kg Brät in 5 Stunden ab. Wie viel Zeit benötigen 5 Vakuumfüllautomaten? 4 Vakuumfüllautomaten füllen kg Brät in 5 Stunden ab. 5 Vakuumfüllautomaten füllen kg Brät in? Stunden ab. 37

10 Rechnerische Grundlagen Lösung: Ergebnis: 4 Vakuumfüllautomaten füllen kg Brät in 5 Stunden ab. 1 Vakuumfüllautomat benötigt für kg 4-mal länger. (4 5 Std. = 20 Std.) 5 Vakuumfüllautomaten benötigen den 5. Teil der Zeit von einem Vakuumfüllautomat. 1 Vakuumfüllautomat benötigt 20 Std. 5 Vakuumfüllautomaten ein Fünftel der Zeit = 20 Std. / 5 = 4 Std. 5 Vakuumfüllautomaten füllen kg Brät in 4 Stunden ab. Regel für den Dreisatz mit ungeradem (umgekehrtem) Verhältnis: Je mehr, desto weniger. Höhere Leistung Ò geringere Zeit. Höheres Gewicht Ò niedrigerer Preis. Je weniger, desto mehr. Geringere Leistung Ò längere Zeit. Doppelter Dreisatz mit geraden Verhältnissen Der doppelte Dreisatz verarbeitet zwei einfache Dreisätze in einem. Man kann die Aufgaben auch nacheinander rechnen. Hier wird ein Lösungsweg gezeigt, der das Ergebnis auf einem Bruchstrich errechnet. Aufgabe: Eine Fleischerei benötigt für den 15 Personen starken Mittagstisch einer Kantine in 5 Tagen 6 kg Fleisch. Durch den Ausfall eines Kochs wird der Mittagstisch für die nächsten 15 Tage für weitere 15 Personen übernommen. Der Mittagstisch beträgt nunmehr 30 Personen für die nächsten 15 Tage. Wie viel Fleisch wird unter den veränderten Bedingungen benötigt? Ansatz: 15 Personen benötigen in 5 Tagen 6 kg Fleisch 30 Personen benötigen in 15 Tagen? kg Fleisch Lösung: Erster Schritt: Wie viel verbraucht eine Person an 5 Tagen? Den 15. Teil von 6 oder = 6 kg 15 Zweiter Schritt: Wie viel verbrauchen 30 Personen? 30-mal so viel wie eine Person oder (Der Bruchstrich wird erweitert.) 38