Universität Duisburg-Essen. Campus Duisburg. der. Maß- und Integrationstheorie I. Wolfgang Hümbs und Klaus Kuzyk. von

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1 Universität Duisburg-Essen Campus Duisburg Fakultät für Mathematik Grundzüge der Maß- und Integrationstheorie I von Wolfgang Hümbs und Klaus Kuzyk SS 2010

2 Die vorliegende Version ist eine um Übungsaufgaben (und Errata) ergänzte Fassung vom Sommersemester Duisburg / Haan, im Wintersemester 2009/2010 Wolfgang Hümbs Klaus Kuzyk

3 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Vorwort 1 1 Mengensysteme und σ-algebren 4 2 Maße, Borel-Lebesgue-Maß 13 3 Messbare Abbildungen 24 4 Allgemeine Integrationstheorie, Lebesgue-Integral 31 5 Produktmaße, Unendliche Produkte von Meßräumen 55 6 Verschiedene Integralbegriffe im Vergleich 69 7 Polnische Räume 80 A Literaturverzeichnis 86 i

4 Vorwort Die Maßtheorie hat ihre Wurzeln in der Volumen- und Flächeninhaltberechnung. Auf diesem Gebiet erzielte bereits die hellenistische Mathematikbeeindruckende Resultate. In den ersten zwei Jahrhunderten nach Begründung der Infinitesimalrechnung wurde die Integralrechnung lediglich als Anhängsel der Differentialrechnung angesehen, indem sie einfach als Umkehrung der Differentiationbetrachtetwurde. Manerkanntejedochdie Möglichkeit, mittels Integralen Volumina und Flächeninhalte zu berechnen. Erst Cauchy gelang es, im Rahmen der von ihm eingeleiteten Arithmetisierung der Analysis, für stetige Integranden einen konkreten Integralbegriff zu schaffen. Das Cauchy-Integral wurde von Riemann leicht modifiziert und ist bis heute als Riemann-Integral bekannt. Es ist jedoch nur endlich-additiv, was dazu führt, dass noch nicht einmal allen Kompakta im n-dimensionalen Euklidischen Raum ein Volumen zugeordnet werden kann. Dieser (und auch andere) Mängel veranlassten Lebesgue, einen Integralbegriff zu kreieren, der auch σ-additiv ist, d.h., abzählbar additiv. Der neue Integralbegriff beseitigte nicht nur die angesprochenen Unzulänglichkeiten, sondern erwies sich auch hinsichtlich der Vertauschung der Integration und der Limitenbildung von Funktionenfolgen als wesentlichschmiegsamerals das Riemann-Integral. Außerdem erwies er sich nach Schaffung der Begriffe,,Maß und,,σ-algebra als Prototyp einer allgemeinen Integrationstheorie. Voluminaberechnung bedeutet abstrakt die Zuordnung von Maßzahlen für Mengen. In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden ebenfalls Mengen (dort Ereignisse genannt) Maßzahlen, eben die Wahrscheinlichkeiten, zugeordnet. Es lag also nahe, dass sich Kolmogoroff bei seiner Axiomatisierung der Wahrscheinlichkeitstheorie an der Maß- und Integrationstheorie orientierte. Bis zur Einführung des Unabhängigkeitsbegriffes ist die Wahrscheinlichkeitstheorie auch als ein echtes Teilgebiet der von Borel und Lebesgue initiierten allgemeinen Maß- und Integrationstheorie aufzufassen. Erst mit dem Unabhängigkeitsbegriff wurde die Wahrscheinlichkeitstheorie zu einer eigenständigen mathe- 1

5 Vorwort matischen Disziplin, deren mächtigstes Hilfsmittel aber die Maß- und Integrationstheorie geblieben ist. Umgekehrt haben probabilistische Fragestellungen auch die Maß- und Integrationstheorie nachhaltig befruchtet. In den Vorlesungen Stochastik I/II wird im Bachelor/Master-Studiengang die Maß- und Integrationstheorie gemäß der Vorgabe im Modulhandbuch auf ein Minimum reduziert, um Platz für mehr Anwendungen freizusetzen. Diesem Zwang zur Minimierung versucht das Skriptum Rechnung zu tragen. Viele wichtige Sachverhalte werden erst gar nicht angesprochen; exemplarisch seien nur erwähnt die Räume der p-fach integrierbaren Funktionen und ihre Dualitätstheorie, das Haarsche Maß auf lokal-kompakten topologischen Gruppen, sowie die Konvergenzbegriffe für Maße. Beweise werden vollständig unterdrückt. Die Inhalte der Abschnitte 1 bis 5 sowie des Abschnitts 7 lassen sich in einer Stochastik-Vorlesung sofort probabilistisch interpretieren. Es ist dem jeweiligen Dozenten überlassen, dann den einen oder anderen Beweis zu demonstrieren, obwohl in den meisten Fällen die Beweise für Wahrscheinlichkeitsmaße nicht wesentlich einfacher als für allgemeine Maße sind. Es genügt, den Abschnitt 6 flüchtig zur Kenntnis zu nehmen. Es werden das Riemann-Integral, sowie zwei wesentliche Erweiterungen des Riemann-Integrals (Henstock-Kurzweil- Integral und Riemann-Stieltjes-Integral) mit dem Lebesgue- bzw. Lebesgue- Stieltjes-Integral verglichen. Allerdings sollte das Lebesgue-Stieltjes-Integral, das durch wahrscheinlichkeitstheoretische Begriffsbildungen motivierend vorbereitet wird, zur Kenntnis genommen werden. Den Abschnitt 4 abschließend werden einige Rechenregeln für das Lebesgue-Integral zusammengetragen, da die Vorkenntnisse über das Lebesgue-Integral aus den Analysis-Vorlesungen sehr unterschiedlich sein können. Der Aufbau des Skriptes ist so gestaltet, dass es auch (mit Ausnahme des Abschnitts 6) als eine(mögliche)orientierungshilfe für eine einführende Vorlesung zur Maß- und Integrationstheorie für das Diplom-Hauptstudium oder das Master-Studium verwendet werden kann. Das erklärt auch dievielenhilfssätze 2

6 Vorwort (im Skriptum meistens als Notiz oder Bemerkung bezeichnet),diezueinersystematisch aufgebauten Vorlesung dazu gehören (wobei im Abschnitt 5 die monotonen (Mengen-)Systeme ausgelassen wurden, da dies den Rahmen dieses Abschnittes gesprengt hätte). Prägend für das Skript waren [Bau92], [Els07] und insbesondere [M + 93]. Die für Abschnitt 7 erforderlichen rudimentären Kenntnisse aus der mengentheoretischen Topologie werden vorausgesetzt bzw. könnensich schnell anhanddesbüchleins[jän90]vonklausjänichangeeignet werden. Unser herzlicherdank gilt Herrn Dipl.-Math. Ulrich Telle für die hervorragende Arbeit bei der Erstellung der Druckvorlage. Duisburg / Haan im Frühjahr 2009 Wolfgang Hümbs Klaus Kuzyk 3

7 1 Mengensysteme undσ-algebren Definition 1.1: Eine nicht-leere Menge K von Mengen heißt Mengensystem. Seien I eine Menge und A i durch i I indizierte Mengen, so wird für das Mengensystem {A i i I} auch (A i ) i I oder (A i i I) geschrieben. Ist Ω eine Menge und K =(A i ) i I ein Mengensystem mit A i Ω für alle i I, so heißt K ein Mengensystem über Ω. Beispiele für Mengensysteme sind die Potenzmenge P (Ω) einer Menge Ω, { }, {{x} x R}. R, C und sind keine Mengensysteme. Notiz 1.2 (de Morgan-Regeln): Sei (A i ) i I ein Mengensystem über Ω.Danngelten (i) ( A i ) C = i I A C i i I (ii) ( A i ) C = A C i. i I i I Dabei bezeichnet A C i := Ω A i das Komplement von A i in Ω. Definition 1.3: Sei K ein Mengensystem paarweise disjunkter Mengen A i (i I), soschreibt man für A i auch A i, A i oder A i,wennklarist,welcheindexmenge i I i I I zugrunde liegt. Definition 1.4: Ein Mengensystem K paarweise disjunkter Mengen A i (i I) über Ω mit Ai = Ω heißt Partition (oder Zerlegung von Ω). Definition 1.5: Sei K =(A n ) n N ein Mengensystem über Ω.DannwerdenderLimes Superior und der Limes Inferior von K definiert durch 4

8 (1) lim sup A n := (2) lim inf A n := 1Mengensystemeundσ-Algebren n=1 m n n=1 m n A m, A m. Notiz 1.6: Für ein Mengensystem (A n ) n N gilt lim inf A n lim sup A n. Definition 1.7: Ein Mengensystem K =(A n ) n N heißt (i) isoton (ii) antiton (iii) monoton : A n A n+1 ( n N), : A n A n+1 ( n N), : K ist antiton oder isoton. Definition 1.8: Ein Mengensystem (A n ) n N heißt konvergent,wenngilt: lim inf A n =limsupa n. In diesem Fall schreibt man kurz lim A n für lim inf A n und lim sup A n. Definition 1.9: Seien K =(A n ) n N ein Mengensystem und A eine Menge. (i) K konvergiert isoton gegen A (in Zeichen: K A): K ist isoton und A n = A. n N (ii) K konvergiert antiton gegen A (in Zeichen: K A) K ist antiton und A n = A. n N (iii) K konvergiert monoton gegen A : K konvergiert isoton oder antiton gegen A. 5

9 1Mengensystemeundσ-Algebren Notiz 1.10: K =(A n ) n N sei ein Mengensystem. Dann gelten: (i) Ist K isoton, so gilt lim A n = n N (ii) Ist K antiton, so gilt lim A n = n N Für die Maßtheorievon besondereminteresse sind Mengensysteme, die gewisse Abschlusseigenschaften gegenüber Mengenoperationen aufweisen. Definition 1.11: Ein Mengensystem K über einer Menge Ω mit K heißt Mengenhalbring (kurz: Halbring) über Ω, wenngelten A n. (i) A, B K A B K (ii) A, B K A B = n T i mit paarweise disjunkten Mengen T i K. i=1 A n. Beachte, dass mit A, B K nicht notwendig A B in K liegt. Beispiel 1.12: Seien n N und a =(a 1,...,a n ),b =(b 1,...,b n ) R n mit a j b j für j {1,...,n}. Unterdemrechts-halboffenenIntervall[a, b) wird die Menge n [a j,b j ) verstanden. j=1 Das Mengensystem I n der rechts-halboffenen Intervalle bildet einen Halbring über R n. Definition 1.13: Ein Mengensystem K über einer Menge Ω heißt Mengenring (kurz: Ring) über Ω,fallsgelten (i) A, B K A B K 6

10 1Mengensystemeundσ-Algebren (ii) A, B K A B K. Offensichtlichsind { }, {, Ω}, P(Ω) Ringe über Ω. Notiz 1.14: Sei K ein Ring über Ω. Danngelten: (i) K (ii) A, B K A B K,A B K (iii) A 1,...A n K n n A i K, A i K i=1 (iv) K ist ein Halbring über Ω. i=1 (Dabei bezeichnet A B := (A B) (B A) die symmetrische Differenz von A und B.) Der Halbring I n aus Beispiel 1.12 bildet keinen Ring. Aus einem Halbring läßt sich jedoch stets ein kleinster, ihn enthaltender Ring erzeugen. Satz 1.15: Sei K ein Halbring über Ω. DannexistierteinkleinsterRingρ(K) über Ω, der K enthält, d.h. wenn K ein beliebiger Ring über Ω ist, der K enthält, so folgt K ρ(k) K. Der folgende Satz ist im Hinblick auf den 1. Maßfortsetzungssatz (s. Abschnitt 2)vonBedeutung. Satz 1.16: Der von einem Halbring K über Ω erzeugte Ring ρ(k) über Ω besteht aus allen 7

11 1Mengensystemeundσ-Algebren endlichen Summen paarweise disjunkter Mengen aus K, d.h. ρ(k) ={T k N T i K(i {1,...,k}) :T = k T i }. Definition 1.17: ρ(i n )=:F n heißt Ring der n-dimensionalen Figuren:[zuI n siehe Beispiel 1.12]. Die folgende Definition einer σ-algebra ist grundlegend. Wie in der Einleitung bereits verdeutlicht wurde, sind σ-algebren die natürlichen Ereignissysteme eines Wahrscheinlichkeitsraumes. Definition 1.18: (i) Ein Mengensystem A über einer Menge Ω heißt σ-algebra (über Ω), wenn gelten: (1) A A A c A (2) Für jedes Mengensystem (A n ) n N aus A liegt n N i=1 A n in A. (ii) Ist A eine σ-algebra (über Ω), so heißt (Ω, A) ein Messraum. DieElemente von A werden (A-)messbare Mengen (oder auch Ereignisse) genannt. Definition 1.19: Seien A eine σ-algebra über Ω und T Ω.Dannist T A := {T A A A} eine σ-algebra über T. T A heißt die Spur von A in T. (mit A = Ω) sowie P (Ω) σ-alge- Offensichtlich sind {, Ω}, {,A,A c, Ω} bren über Ω. 8

12 1Mengensystemeundσ-Algebren Notiz 1.20: Sei A eine σ-algebra über Ω. (i) Gelten A 1,...,A n A, soist n A i A. i=1 (ii) Ist (A i ) i N ein Mengensystem in A, soist A i A (iii) Gelten A 1,...,A n A, soist (iv) Aus A, B A folgt A B A. (v) A, Ω A. n A i Ω. i=1 (vi) Jede σ-algebra über Ω ist ein Ring über Ω. i N (vii) Sei (A n ) n N ein Mengensystem aus A.Danngelten: (1) A n A A A (2) A n A A A (3) lim inf A n A (4) lim sup A n A. σ-algebren werden in den seltensten Fällen explizit angegeben, sondern durch Erzeugendensysteme. Dies wird in folgendem Satz präzisiert. Satz 1.21: Sei K ein Mengensystem über Ω. Dannexistierteinekleinsteσ-Algebra σ(k) über Ω,dieK enthält. σ(k) ist gegeben durch σ(k) = A σ-algebra über Ω mit K A Bemerkung 1.22: Sind K 1, K 2 Mengensysteme über Ω,sogelten A 9

13 1Mengensystemeundσ-Algebren (i) K 1 K 2 σ(k 1 ) σ(k 2 ), (ii) K 1 σ(k 2 ), K 2 σ(k 1 ) σ(k 1 )=σ(k 2 ). Notiz 1.23: Es gilt σ(i n )=σ(f n ). Definition und Beispiel 1.24: Die σ-algebra B n := σ(i n )=σ(f n ) heißt die Borelsche σ-algebra (über R n ).DieElementevonB n heißen Borelsche Mengen, daspaar(r n, B n ) Borelscher Meßraum. AnstellevonB 1 schreibt man kurz B. Die Borelsche σ-algebra B n ist eines der wichtigsten Ereignissysteme in der Wahrscheinlichkeitstheorie überhaupt. Die naheliegendefrage,warummanin der Wahrscheinlichkeitstheorie nicht einfach die Potenzmenge P(R n ) als Ereignissystem wählt, kann erst im Abschnitt 2 beantwortet werden. Wahrscheinlichkeitstheorie betreibt man nicht nur in Ereignissystemen über R n,sondernübernochvielallgemeinerenräumen(r R (Stochastische Prozesse), topologischen Gruppen, Hilberträumen (Quantenmechanik) usw.). Alle diese Räume lassen sich (kanonisch) topologisieren und die Ereignissysteme werden durch die entsprechenden Topologien, d.h. das System der offenen Mengen erzeugt. Wie der nächste Satz zeigt, gilt dies auch für die Borelsche σ-algebra B n.mithinhabenz.t.völligverschiedene,derwahrscheinlichkeitstheorie als Ereignissystem dienende σ-algebren, eine verbindendeeigenschaft, was eine systematische Untersuchung nahelegt. Man stößt dabei (u.a.) auf die sog. polnischen Räume, die im letzten Abschnitt kurz angerissen werden. Satz 1.25: R n sei mit der Euklidischen Topologie versehen und O n bezeichne das System der offenen Mengen. Dann gilt: B n = σ(o n ). Bezeichnen K n bzw. A n das System der kompakten (bzw. abgeschlossenen) 10

14 1Mengensystemeundσ-Algebren Mengen, so gelten zudem B n = σ(k n ) bzw. B n = σ(a n ). Maße, die in Abschnitt 2 behandelt werden, können auch den Wert annehmen. Deswegen erweist es sich als notwendig auch über den erweitert-reellen Zahlen R {, } =: R eine σ-algebra einzuführen, die sich aber kanonisch aus der Borelschen σ-algebra B herleiten lässt. Notiz und Definition 1.26: ist eine σ-algebra über R. B := B {A {+ } A B} {A { } A B} {A {+, } A B} B heißt die Borelsche σ-algebra über R.IhreElementeheißenBorelsche Mengen in R. DasPaar(R, B) heißt Borelscher Messraum über R. In der Wahrscheinlichkeitstheorie sieht man sich häufig vordersituation,mehrere Zufallsexperimente nacheinander zu betrachten. Das adäquate maßtheoretische Instrumentarium zur Behandlung solcher Fragestellung sind Produktmessräume. Die zugehörigen Produktmaße können an dieser Stellenochnicht behandelt werden, ebenso wenig der Fall abzählbar unendlicher oder sogar ü b e r a b z ä h l b a r v i e l e r Z u f a l l s e x p e r i m e n t e. Definition 1.27: Seien (Ω 1, A 1 ),...,(Ω n, A n ) Messräume. Dann heißt n n A i := { T i T i A i } i=1 i=1 11

15 1Mengensystemeundσ-Algebren das System der messbaren Rechtecke und n A i := σ i=1 ( n i=1 A i ) heißt die Produkt-σ-Algebra der σ-algebren A 1,...,A n.daspaar (Ω, A) := ( n Ω i, i=1 ) n A i nennt man den Produktmessraum der Messräume (Ω 1, A 1 ),...,(Ω n, A n ). i=1 12

16 2 Maße, Borel-Lebesgue-Maß Definition 2.1: Sei K ein Mengensystem über Ω mit K. µ : K R heißt ein Inhalt auf K, wenngelten (1) µ( ) =0, (2) µ(a) 0 ( A K), (3) Sind T 1,...,T n K paarweise disjunkt mit (endliche Additivität). ( n ) µ T i = i=1 µ heißt endlich: µ(a) < ( A K). n T i K, soist i=1 n µ(t i ) Definition 2.2: Sei K ein Mengensystem über Ω mit K. µ : K R heißt ein Maß auf K, wenn gelten (1) µ( ) =0, (2) µ(a) 0 ( A K) (3) Für jedes Mengensystem (A n ) n N paarweise disjunkter Mengen aus K mit A n K ist ( n=1 ) µ A n = µ(a n ). (σ-additivität) n=1 Ist K speziell eine σ-algebra A und µ ein Maß auf A, soheißt(ω, A,µ) ein Maßraum. i=1 n=1 13

17 2Maße,Borel-Lebesgue-Maß Gilt in einem Maßraum (Ω, A, µ) speziell µ(ω) =1,so nennt man(ω, A, µ) einen Wahrscheinlichkeitsraum und µ ein Wahrscheinlichkeitsmaß. Üblicherweise wird dann µ mit P bezeichnet. Ein Maß µ heißt endlich: µ(a) < ( A K). Auf die Bedeutung der σ-additivität wurde bereits in der Einleitung hingewiesen. Notiz 2.3: (1) Jedes Maß ist ein Inhalt; die Umkehrung ist i.a. falsch. (2) Wahrscheinlichkeitsmaße sind endlich. Bemerkung 2.4: Seien µ ein Inhalt auf einem Ring K über Ω und S, T K sowie S T.Dann gelten (i) µ(s) < = µ(t S) =µ(t ) µ(s) (Subtraktivität) (ii) µ(s) = = µ(s) =µ(t ) Bemerkung 2.5: Ein auf einem Ring K über Ω definierter Inhalt µ ist isoton, d.h.für S, T K mit S T gilt µ(s) µ(t ) Satz 2.6: (i) Ist µ ein Inhalt auf einem Ring K und S n K für alle n {1,...,m} mit einem m N, sogilt (Subadditivität) m µ( S n ) n=1 m µ(s n ). n=1 14

18 2Maße,Borel-Lebesgue-Maß (ii) Ist µ ein Maß auf einem Ring K und S n K für alle n N mit K, sogilt (σ-subadditivität) µ( S n ) µ(s n ). n=1 n=1 n=1 S n (iii) Ist µ ein Inhalt auf einem Ring K und (S n ) n N ein Mengensystem paarweise disjunkter Mengen S i aus K. Danngilt (σ-superadditivität) µ( S n ) µ(s n ) n=1 n=1 Die folgende Definition führt Begriffsbildungen ein, die in engemzusammenhang mit der σ-additivität stehen. Definition 2.7: Sei µ ein Inhalt auf einem Ring K. (i) µ heißt stetig von unten:.für jedes Mengensystem (S n ) n N von Mengen S n aus K mit S n S K gilt: lim µ(s n)=µ(s). n (ii) µ heißt stetig von oben:.für jedes Mengensystem (S n ) n N von Mengen S n aus K mit S n S K gilt: lim µ(s n)=µ(s). n (iii) µ heißt -stetig (sprich: nullstetig), wenn für jedes Mengensystem (S n ) n N 15

19 2Maße,Borel-Lebesgue-Maß auf K mit S n und µ(s n ) < ( n N) gilt: Notiz 2.8: 2.7 (iii) ist ein Spezialfall von 2.7 (ii). lim µ(s n)=0. n Satz 2.9: Sei µ ein Inhalt auf einem Ring K. Danngelten: (i) µ ist σ-additiv µ ist stetig von unten. (ii) µ ist stetig von unten µ ist stetig von oben. (iii) µ ist stetig von oben µ ist -stetig. (iv) µ ist stetig von unten µ ist σ-additiv. Satz 2.10 (1. Borel-Cantellisches Lemma): Seien (Ω, A,µ) ein Maßraum und (A n ) n N ein Mengensystem von Mengen A n aus A mit µ(a n ) <.Danngilt:µ(lim sup(a n )) = 0. n=1 Im Falle, dass µ ein Wahrscheinlichkeitsmaß P ist, lässt sich das 1. Borel- Cantellische Lemma unter Zusatzbedingungen wahrscheinlichkeitstheoretischer Natur noch wesentlich verschärfen. Notiz 2.11: Seien (Ω, A,µ) ein Maßraum und (S n ) n N eine Partition von Ω mit S n A ( n N). Danngiltfür jede Menge T A: µ(t )= µ(t S n ). n=1 16

20 2Maße,Borel-Lebesgue-Maß Beispiel 2.12: (1) Sei Ω abzählbar unendlich. Das Mengensystem ist ein Ring über Ω K := {A Ω A < oder A c < } µ : K R : A { 0, falls A endlich ist, falls A unendlich ist. ist ein Inhalt, aber kein Maß auf K, daoffensichtlichdieσ-additivität verletzt ist. Zudem ist µ -stetig, aber nicht stetig von unten. (2) Auf dem Halbring I n der rechts-halboffenen Intervalle [a, b) R n (a =(a 1,...,a n ),b=(b 1,...,b n ) mit a j b j für j {1,...,n}) wird durch ein endlicher Inhalt definiert. µ([a, b)) := n (b j a j ) j=1 (3) Seien (Ω, A) ein Messraum, η Ω sowie c>0. Dann wird durch µ c η : A R mit µc η (S) := { 1, auf A definiert. falls η S 0, falls η S ein Maß Im Falle c = 1 ist µ η := µ 1 η ein Wahrscheinlichkeitsmaß, welches als Punkt-W -Maß in η bezeichnet wird. Auf den Inhalt in Beispiel 2.12 (2)wirdbeiderKonstruktiondesBorel-Lebesgue- 17

21 2Maße,Borel-Lebesgue-Maß Maßes λ n zurückgegriffen werden. Das folgende Beispiel ist für die Vereinheitlichung der Darstellung von,,diskreter und,,kontinuierlicher Wahrscheinlichkeitstheorie von grundlegender Bedeutung, so dass es separat aufgeführt wird. Beispiel 2.13: Seien (Ω, A) ein Maßraum und S Ω.Dannwirddurch µ : A R : T { T S, für T S <, sonst ein Maß auf A definiert, welches als das S-Zählmaß auf A bezeichnet wird. In der Wahrscheinlichkeitstheorie wird gelehrt, dass sich diskrete W -Maße und sogenannte Wahrscheinlichkeitsfunktionen bijektiv entsprechen. Wahrscheinlichkeitsfunktionen lassen sich aber als Dichten [vgl. Abschnitt 4] bzgl.gewisser Zählmaße auffassen, was impliziert, dass sich auch diskrete W -Maße als Integrale darstellen lassen. Damit wird deutlich, dass die Trennung in,,diskrete und,,kontinuierliche Wahrscheinlichkeitstheorie (wie sie heute noch in einigen Kochrezept-Lehrbüchern - primär für WiWis - zur WahrscheinlichkeitsrechnungundStatistik praktiziertwird) völlig überflüssig ist. Definition 2.14: Ein Maß µ auf einem Mengensystem K über Ω heißt σ-endlich: es gibt eine Folge (S n ) n N von Mengen S n aus K mit für alle n N. S n Ω und µ(s n ) < Notiz 2.15: (i) Jedes endliche Maß auf einer σ-algebra ist σ-endlich. 18

22 2Maße,Borel-Lebesgue-Maß (ii) Nicht jedes endliche Maß ist σ-endlich. (iii) Jedes Wahrscheinlichkeitsmaß ist σ-endlich. (iv) Die σ-endlichkeit eines Maßes impliziert i.a. nicht die Endlichkeit dieses Maßes. Definition 2.16: Seien K, K Mengensysteme über Ω mit K K.Giltfür zwei Abbildungen µ : K R und µ : K R µ(s) = µ (S) ( S K), so heißt µ eine Fortsetzung von µ auf K und µ eine Restriktion von µ auf K. Theorem 2.17 (1. Fortsetzungssatz): Ist µ ein Maß (Inhalt) auf einem Halbring K, soexistierteineeindeutige Fortsetzung µ von µ zu einem Maß (Inhalt) auf den von K erzeugten Ring p(k). µ ist gegeben durch n µ (A) = µ(t i ), i=1 wobei A = n T i für ein n N und paarweise disjunkten Mengen T i K das i=1 gemäß Satz 1.16 allgemeine Element aus ρ(k) ist. Theorem 2.18 (2. Fortsetzungssatz): (i) Ist µ ein Maß auf einem Ring K, solässt sich dieses zu einem Maß µ auf die von K erzeugte σ-algebra σ(k) fortsetzen. Eine solche Fortsetzung µ wird gegeben durch { } µ : σ(k) R, S inf µ(s n ) S S n n=1 n=1 19

23 2Maße,Borel-Lebesgue-Maß wobei die Mengen S n paarweise disjunkte Mengen aus K sind. (ii) Ist µ σ-endlich, so ist die Fortsetzung µ aus (i)eindeutig. Wendet man den 1. Fortsetzungssatz auf den Inhalt µ auf dem Halbring I n aus Beispiel 2.12 (2)an,soerhältmaneineeindeutigeFortsetzungvonµ zu einem Inhalt µ auf F n = ρ(i n ).FürdiesenInhaltgiltnun Lemma 2.19: µ ist bereits ein Maß auf F n,daszudemσ-endlich ist. Der Beweis des Lemmas ist nicht einfach. Aus dem Lemma folgt trivialerweise, dass der Inhalt µ auf I n bereits ein Maß auf I n ist. Nur wäre der Beweis der Maßeigenschaft (insbesondere die σ-additivität) noch schwieriger als derjenige für den Inhalt µ auf F n. µ (aus Lemma 2.19) lässt sich nun nach dem 2. Fortsetzungssatz eindeutig zu einem Maß λ n auf B n = σ(f n ) fortsetzen. Definition 2.20: Das so eben konstruierte Maß λ n auf B n heißt das Borel-Lebesgue-Maß (kurz BL-Maß) auf B n.für n =1schreibt man λ für λ 1. Notiz 2.21: Das BL-Maß λ n ist σ-endlich, aber nicht endlich. Eine Abbildung f : R n R n mit f(x) f(y) = x y (x, y R n,. = Euklidnorm) nennt man bekanntlich eine Bewegung (Darunter fallen die Drehungen, Spiegelungen und Translationen.) Eine Mindestanforderung an ein Maß, das zur Volumenberechnung für Teilmengen des R n dienen soll, ist die Bewegungsinvarianz. 20

24 2Maße,Borel-Lebesgue-Maß Satz 2.22: Das BL-Maß λ n ist bewegungsinvariant, d.h.: Ist f : R n R n eine Bewegung, so gilt für alle S B n λ n (f(s)) = λ n (S). Theorem 2.23 (Hausdorff-Vitali): Auf der σ-algebra P (R n ) existiert kein bewegungsinvariantes Maß µ mit µ([0, 1) n )=1. Offensichtlich gilt λ n ([0, 1) n )=1.AufgrundderTatsache,dassvielewichtige Wahrscheinlichkeitsmaße mittels des BL-Maßes λ n definiert werden, macht Theorem 2.23 klar, dass man als Ereignissystem dieser Wahrscheinlichkeitsmaße nicht P (R n ) wählen kann. Definition 2.24: Sei (Ω, A,µ) ein Maßraum. Eine µ-nullmenge S ist eine Menge S aus A mit µ(s) =0.BezeichneG das System aller µ-nullmengen aus A. DasMengensystem A := {A S A A,S G} ist wiederum eine σ-algebra. Durch µ (A S) :=µ(a) ( (A, S) A G) wird ein Maß auf A definiert. Den Maßraum (Ω, A,µ ) nennt man die Vervollständigung des Maßraumes (Ω, A, µ). Dabeiheißt(Ω, A, µ) vollständig: (i) G A (ii) A A,S A, µ(a) =0= S G. Notiz 2.25: Vervollständigungen eines Maßraumes sind vollständig. 21

25 2Maße,Borel-Lebesgue-Maß Satz 2.26: Der Maßraum (R n, B n, λ n ) ist nicht vollständig. Definition 2.27: Sei (R n, B n, λ n ) die Vervollständigung von (R n, B n, λ n ).DasMaß L λ n := λ n heißt das Lebesgue-Maß (kurz: L-Maß) auf R n und L B n := B n heißt die Lebesguesche σ-algebra über R n. Satz 2.28: Das L-Maß L λ n ist ebenfalls bewegungsinvariant. Satz 2.29: L B n P(R n ). Beispiel 2.30: Jede abzählbare Teilmenge des R n ist eine λ n -Nullmenge und damit auch eine L λ n -Nullmenge. Satz 2.31: L B n wird nicht vom System der offenen Teilmengen des R n erzeugt. Satz 2.31 ist wegen der in Abschnitt 1 geschilderten Gründe der Anlass, für die Konstruktion des Lebesgue-Integrals im Abschnitt 4 die σ-algebra B n zu wählen. Satz 2.32: Es gibt überabzählbar viele Teilmengen S des R n mit S B n. 22

26 2Maße,Borel-Lebesgue-Maß Theorem 2.33 (Solovay): Der Nachweis, dass eine Teilmenge S des R n nicht in B n liegt, kann prinzipiell nur mit Hilfe des Auswahlaxioms (oder eines hierzu äquivalenten Satzes wie dem Zornschen Lemma oder dem Wohlordnungssatz) erbracht werden. 23

27 3 Messbare Abbildungen Definition 3.1: (i) Seien Ω 1, Ω 2 Mengen und f : Ω 1 Ω 2 eine Abbildung. Dann heißt f 1 : P (Ω 2 ) P (Ω 1 ) mit f 1 (S 2 ):={w 1 Ω 1 f(w 1 ) S 2 } ( S 2 P (Ω 2 )) die Urbildabbildung von f (nicht zu verwechseln mit dem Begriff der Umkehrabbildung!). f 1 (S 2 ) heißt das Urbild von S 2 (ii) Ist weiter K 2 ein Mengensystem über Ω 2,soheißt das Urbild von K 2. f 1 (K 2 ):={f 1 (S 2 ) S 2 K 2 } Notiz 3.2: Seien Ω 1, Ω 2 Mengen, M,N P (Ω 2 ) und S =(S i ) i I ein Mengensystem mit S über Ω 2.Danngelten: (i) f 1 ( ) =,f 1 (Ω 2 )=Ω 1, (ii) f 1 (M c )=(f 1 (M)) c, (iii) M N = f 1 (M) f 1 (N), (iv) f 1 (S i )=f 1 ( S i ) (v) i I i I f 1 (S i )=f 1 ( S i ) i I i I (vi) Im Falle, dass die S i paarweise disjunkt sind: f 1 (S i )=f 1 ( S i ). i I i I 24

28 3MessbareAbbildungen Notiz 3.3: Seien f : Ω 1 Ω 2, g : Ω 2 Ω 3 Abbildungen. Dann gilt: (g f) 1 (S 3 )=f 1 (g 1 (S 3 )) ( S 3 P(Ω 3 )). Notiz 3.4: Seien f : Ω 1 Ω 2 eine Abbildung und A 2 eine σ-algebra über Ω 2.Dannist f 1 (A 2 ) eine σ-algebra über Ω 1. Definition 3.5: Seien (Ω 1, A 1 ), (Ω 2, A 2 ) Messräume und f : Ω 1 Ω 2 eine Abbildung. f heißt A 1 -A 2 -messbar,fallseinederfolgendenäquivalenten Bedingungen erfüllt ist: (i) f 1 (S 2 ) A 1 ( S 2 A 2 ) (ii) f 1 (A 2 ) A 1. Für die Schreibweise,,f : Ω 1 Ω 2 ist A 1 -A 2 -messbar wirdimfolgenden auch,,f : (Ω 1, A 1 ) (Ω 2, A 2 ) ist messbar geschrieben.dabeibedeutet f : (Ω 1, A 1 ) (Ω 2, A 2 ),dass(ω 1, A 1 ), (Ω 2, A 2 ) Messräume sind und f : Ω 1 Ω 2 eine Abbildung ist. In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden messbare Abbildungen auch als Zufallsvariablen (kurz ZVen) bezeichnet, in der mathematischen Statistik nach Zusatzbedingungen an die Messräume als Statistiken. Bemerkung 3.6: Die große Analogie zwischen der Messbarkeit und der Definition der Stetigkeit von Abbildungen zwischen topologischen Räumen ist nicht zufällig, wie im Abschnitt 7 über polnische Räume im Theorem von Lusin deutlich wird. Lemma 3.7: Seien (Ω 1, A 1 ), (Ω 2, A 2 ) Messräume und K 2 ein Erzeugendensystem von A 2, d.h. A 2 = σ(k 2 ).EineAbbildungf :(Ω 1, A 1 ) (Ω 2, A 2 ) ist genau dann messbar, wenn eine der nachstehenden äquivalenten Bedingungen gilt: 25

29 3MessbareAbbildungen (i) f 1 (S 2 ) A 1 ( S 2 K 2 ) (ii) f 1 (K 2 ) A 1. Bemerkung 3.8: Jede stetige (insbesondere also auch jede differenzierbare) Abbildung f :(R m, B m ) (R n, B n ) ist messbar. Da B n von den offenen Teilmengen des R n erzeugt wird, ist nach Lemma 3.7 nur zu zeigen, dass für jede offene Menge A R n f 1 (A) offen in R n ist. Das ist aber gerade die Definition der Stetigkeit von f. Bemerkung 3.9: Für i {1,...,n} seien g i :(Ω, A) (Ω i, A i ) Abbildungen und die Produktabbildung der g i. f := (g 1,...,g n ):(Ω, A) ( Ω i, i=1 Die g i sind genau dann messbar, wenn f messbar ist. Notiz 3.10: n n A i ) i=1 f :(Ω 1, A 1 ) (Ω 2, A 2 ) g :(Ω 2, A 2 ) (Ω 3, A 3 ) und seien messbar. Dann ist auch messbar. g f :(Ω 1, A 1 ) (Ω 3, A 3 ) 26

30 3MessbareAbbildungen Satz 3.11: f :(Ω 1, A 1 ) (Ω 2, A 2 ) sei messbar und µ sei ein Maß auf A 1 : (i) µ f mit µ f (S 2 ):=µ(f 1 (S 2 )) ( S 2 A 2 ) definiert ein Maß auf A 2. µ f heißt das Bildmaß von µ bei f. EsspieltinderWahrscheinlichkeitstheorie eine bedeutende Rolle. Für µ f wird häufig auch f(µ) geschrieben. (ii) Ist µ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf A,soistµ f ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf A 2. Definition 3.12: Seien f :(Ω 1, A 1 ) (Ω 2, A 2 ) messbar und S 2 A 2. Dann sei {f S 2 } := {w 1 Ω 1 f(w 1 ) S 2 }.Istzudemµ ein Maß auf A 1, so sei µ{f S 2 } := µ({f S 2 }). Definition 3.13 (Rechenregeln für und ): Für c R wird gesetzt (1) c +(± ) :=(± )+a := (± )+(± ) := ±, für c>0 (2) c (± ) :=(± ) c := 0 für c =0, für c<0 (3) <c< (4) (± ) (± ) :=+, (± ) ( ) :=, c ± := 0, 1 0 := + (5) (± ) (± ) bleiben undefiniert. Definition 3.14: R-wertige Funktionen werden numerische Funktionen genannt. 27

31 3MessbareAbbildungen Lemma 3.15: f :(Ω, A) (R, B) bzw. f :(Ω, A) (R, B) sind genau dann messbar, wenn eine der nachstehenden äquivalenten Bedingungen gilt: (i) {f <a} A ( a R) (ii) {f a} A ( a R) (iii) {f >a} A ( a R) (iv) {f a} A ( a R). Beispiel 3.16: Jede monotone Funktion f : R R ist B B-messbar. Bemerkung 3.17: Mit f,g : R R B B-messbar sind auch cf(c R),f + g und fg messbar. Gleiches gilt für numerische B-B-messbare Funktionen. (Bei f + g mit der Einschränkung, dass f + g definiert ist.) Definition 3.18: Sei (f n ) eine Folge numerischer Funktionen Ω R. DienumerischenFunktionen sup f n, inf f n, lim sup f n, lim inf f n werden definiert durch n N n N (i) (sup f n )(w) :=supf n (w) ( w Ω) n N n N (ii) (inf n N f n)(w) := inf n N f n(w) ( w Ω) (iii) (lim sup f n )(w) := inf sup f m (w) ( w Ω) n N m n (iv) (lim inf f n )(w) :=sup inf f m(w) ( w Ω) m n n N (v) Gilt lim inf f n definiert durch = limsupf n,sowirddienumerischefunktionlim f n lim f n := lim inf f n =limsupf n. 28

32 3MessbareAbbildungen Satz 3.19: Sei (f n ) eine Folge numerischer, messbarer Funktionen f n :(Ω, A) (R, B). Dann gelten (i) sup f n, inf f n, lim sup f n, lim inf f n sind messbar. n N n N (ii) Existiert lim f n,soistlim f n messbar. (iii) Ist f n konvergent in R,soist f n messbar. n N n N Definition 3.20: Für eine numerische Funktion f : Ω R werden der Positivteil f + und der Negativteil f definiert durch f + (w) := sup(f(w), 0) ( w Ω) f (w) := inf(f(w), 0) ( w Ω) Notiz 3.21: Für eine numerische Funktion f : Ω R gelten (i) f = f + f (ii) f = f + + f (iii) f ist genau dann A-B-messbar, wenn f + und f A-B-messbar sind. Definition 3.22: Seien Ω eine Menge und A Ω. DieIndikatorfunktion 1 A von A (auch charakteristische Funktion von A genannt) ist definiert durch 1 A (w) := { 1, falls w A ( w Ω) 0, sonst Notiz 3.23: Seien A, B Ω und (A i ) i I ein Mengensystem über Ω.Danngelten 29

33 3MessbareAbbildungen (i) 1 A c =1 1 A (ii) A B = 1 A 1 B (iii) 1 A i =sup1 Ai (iv) 1 A i =inf1 Ai. Notiz 3.24: Sei (A n ) n N ein Mengensystem über Ω.Danngelten (i) lim sup 1 An =1 lim sup An (ii) lim inf 1 An =1 lim inf An (iii) (lim inf 1 An = limsup1 An ) (1 lim inf An = 1 lim sup 1 An ), und in diesem Fall gilt weiter lim 1 An =1 lim An. Notiz 3.25: Seien (Ω, A) ein Messraum und A Ω.Danngilt: 1 A messbar A A. 30

34 4 Allgemeine Integrationstheorie, Lebesgue-Integral Die Allgemeine Integrationstheorie (nach einem Maß µ) wirddreistufigentwickelt; zunächst für Elementarfunktionen, dann über nicht-negative Funktionen und schließlich allgemein. Definition 4.1: Sei e :(Ω, A) R, B) messbar. e heißt Elementarfunktion (über Ω): (1) e ist nicht-negativ. (2) e(ω) <. Die Menge aller dieser Elementarfunktionen wird mit E (gelegentlich auch E(A) oder E(Ω, A)) bezeichnet. Notiz 4.2: Sei e eine Elementarfunktion über Ω mit e(ω) ={x 1,...,x s } und x 1 < < x s.weiterseifür j {1,...,s}: A j := e 1 ({x j }) A. {A 1,...,A s } bildet eine Partition von Ω und e besitzt eine Darstellung e = s x j 1 Aj. j=1 Diese Darstellung heißt Normaldarstellung von e.sieisteindeutigbestimmt. Notiz 4.3: Mit e 1,e 2 E sind auch sowie ce 1 E (falls c R + 0 ). e 1 + e 2 E; e 1 e 2 E (falls e 1 e 2 ) 31

35 4AllgemeineIntegrationstheorie,Lebesgue-Integral Definition 4.4: Seien (Ω, A,µ) ein Maßraum und e E mit Normaldarstellung e = s x j 1 Aj. j=1 Die erweitert-reelle Zahl s edµ:= x j µ(a j ) j=1 heißt das (µ-)integral von e. Notiz 4.5: Seien (Ω, A,µ) ein Maßraum, e 1,e 2 E und c R + 0.Danngelten (i) 1 S dµ = µ(s) ( S A) (ii) ce 1 dµ = c e 1 dµ sowie (e 1 + e 2 ) dµ = e 1 dµ + e 2 dµ (positive Linearität) (iii) e 1 e 2 = e 1 dµ e 2 dµ (Monotonie) Beispiel 4.6: Die Dirichletfunktion 1 Q :(R, B) (R, B) ist elementar mit 1 Q dλ =0. Lemma 4.7: Ein nicht-negatives, messbares f :(Ω, A) (R, B) ist Grenzwert einer monoton steigenden Folge (e n ) n N von Elementarfunktonen. Man schreibt hierfür: e n f. Definition 4.8: Die Menge der nicht-negativen, messbaren Funktionen f :(Ω, A) (R, B) wird mit M + (oder auch M + (A) bzw. M + (Ω, A)) bezeichnet. 32

36 4AllgemeineIntegrationstheorie,Lebesgue-Integral Die Menge der nicht-negativen, messbaren Funktionen f :(Ω, A) (R, B) wird mit M + (oder auch M + (A) bzw. M + (Ω, A)) bezeichnet. Definition 4.9: Seien (Ω, A,µ) ein Maßraum und f M +.Ist(e n ) n N eine Folge von Elementarfunktionen mit e n f,soheißtdieerweitert-reellezahl fdµ:= lim n e n dµ das (µ)-integral (über Ω). fdµist unabhängig von der Wahl der Folge der Elementarfunktionen. Notiz 4.10: Ist in Definition 4.9 f E, sostimmtderindefinition4.9 definierte Integralbegriff mit dem in Definition 4.4 erklärten überein. Bemerkung 4.11: Seien (Ω, A,µ) ein Maßraum, f M + mit f(ω) ={x i i S},wobeiS N und x i x j für i j ((i, j) S 2 ).Danngilt: fdµ= i S x i µ({w Ω f(w) =x i }). Notiz 4.12: Seien (Ω, A,µ) ein Maßraum, e 1,e 2 M + sowie c R + 0.Danngelten (i) 1 S dµ = µ(s) ( S A) (ii) ce 1 dµ = c e 1 dµ sowie (e 1 + e 2 ) dµ = e 1 dµ + e 2 dµ (positive Linearität) (iii) e 1 e 2 = e 1 dµ e 2 dµ (Monotonie) 33

37 4AllgemeineIntegrationstheorie,Lebesgue-Integral Theorem 4.13 (Levi; Satz von der monotonen Konvergenz): Seien (Ω, A,µ) ein Maßraum und (f n ) n N eine monoton wachsende Folge aus M + mit f =limf n.danngiltlim f n dµ = fdµ. Satz 4.14: Seien (Ω, A,µ) ein Maßraum und (f n ) n N eine Folge aus M +.Danngilt Beweis: Mit s N ist h s := Also gilt s n=1 f n dµ = n=1 f n dµ = lim n=1 n=1 f n M + mit h s [Levi] = s s n=1 f n dµ. n=1 f s dµ = lim s lim h s dµ = s f n,d.h. lim h s = f n. s n=1 n=1 h s dµ f n dµ. Anwendung 4.15 (Cauchyscher Doppelreihensatz): Gegeben sei der Maßraum (N, P(N),µ) mit µ dem N-Zählmaß auf P(N). Offensichtlich besteht M + aus allen Funktionen f : N [0, + ]. Für ein f M + gilt dann mit g n := f(n) 1 {n} offensichtlich g n M + und g n g n = f.mitsatz4.14 also n=1 fdµ= n=1 g n dµ = f(n) 1 {n} dµ [µ das N-Zählmaß] = f(n). Für jede Funktionenfolge (f n ) n N mit f n : N [0, ] und a nk := f n (k) gilt 34

38 4AllgemeineIntegrationstheorie,Lebesgue-Integral also nach Satz 4.14 der Cauchysche Doppelreihensatz: ( ) ( ) a nk = a nk. k=1 n=1 Damit ist ein nicht-trivialer Satz der Analysis mit Integration in einigen Zeilen bewiesen worden. n=1 k=1 Definition 4.16: Seien (Ω, A,µ) ein Maßraum und f : Ω R A-B-messbar. (i) heißt (µ-)quasiintegrierbar : f + dµ < oder f dµ <. (ii) Das (µ-)integral von f ist alsdann definiert als fdµ:= f + dµ f dµ. (iii) Gelten f + dµ < und f dµ <, soheißtf (µ-)integrierbar. (Anstatt µ-integrierbar wird gelegentlich Lebesgue-integrierbar bzgl. µ geschrieben. Diese Schreibweise wird nur in Abschnitt 6 benutzt, um die Redeweise, dass das Lebesgue-Stieltjes-Integral eine Konkretisierung des Lebesgue-Integrals sei, verständlich zu machen.) (iv) Mit M (oder auch M(A) bzw. M(Ω, A,µ))wirddieMengedermessbaren Funktionen f :(Ω, A) (R, B) bezeichnet. (v) Mit L 1 (oder auch L 1 (A) bzw. L 1 (Ω, A,µ))wirddieMengeder(µ-)integrierbaren Funktionen f : Ω R bezeichnet. (vi) Mit L 1 q (oder auch L 1 q(µ) bzw. L 1 q(ω, A,µ))wirddieMengeder(µ-)quasiintegrierbaren Funktionen f : Ω R bezeichnet. (vii) Sind die Funktionen f : Ω R aus (iv), (v) und (vi) reellwertig, al- 35

39 4AllgemeineIntegrationstheorie,Lebesgue-Integral so A-B-messbar, so wird M(Ω, A), M(A), M, L 1 (Ω, A,µ), L 1 (µ), L 1, L 1 q(ω, A,µ), L 1 q(µ), L 1 q anstatt M(Ω, A), M(A), M, L 1 (Ω, A,µ), L 1 (µ), L 1, L 1 q (Ω, A,µ), L1 q (µ), L1 q geschrieben. Notiz 4.17: Ist in Definition 4.16 f nicht-negativ, so stimmen die Integralbegriffe in Definition 4.16 (iii)unddefinition4.9 überein. Notiz 4.18: Es gelten folgende Inklusionsbeziehungen: (1) E M + L 1 q M (2) L 1 L 1 q (3) E M + L 1 q M (4) L 1 L 1 q (5) M + M + (6) M M (7) L 1 q L 1 q (8) L 1 L 1 Definition 4.19: Bei verschiedenen Anlässen ist es kommod, mehrere Integralschreibweisen zur Verfügung zu haben. In diesem Sinne haben folgende Schreibweisen äquivalente Bedeutung: (i) fdµ (ii) fdµ Ω (iii) f(w) dµ Ω 36

40 4AllgemeineIntegrationstheorie,Lebesgue-Integral (iv) f(w) dµ(w) Ω (v) fdµ(w). Ω Bemerkung 4.20: Ist (Ω, A,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, so wird fdpin der Wahrscheinlichkeitstheorie als Erwartungswert von f bezeichnet. Definition 4.21: Das λ n -Integral heißt Lebesgue-Integral. Anstatt fdλ n wird häufig auch f(x) dλ n (x) oder f(x) dx geschrieben. Bemerkung 4.22: Seien (Ω, A,µ) ein Maßraum und f M. Danngilt f L 1 f L 1. Notiz 4.23: Seien (Ω, A,µ) ein Maßraum und f M. Danngilt f L 1 g L 1 : f g. Lemma 4.24: Seien (Ω, A,µ) ein Maßraum und f M. Danngilt f L 1 f 1,f 2 L 1 M + : f = f 1 f 2. In diesem Fall gilt fdµ= f 1 dµ f 2 dµ. Notiz 4.25: Sei (Ω, A,µ) ein Maßraum. Dann gelten 37

41 4AllgemeineIntegrationstheorie,Lebesgue-Integral (i) Mit f L 1 und c R ist auch cf L 1 und es gilt (Homogenität) cf dµ = c fdµ (ii) Sind f 1,f 2 L 1 und ist f 1 + f 2 auf ganz Ω definiert, dann gilt (f 1 + f 2 ) dµ = f 1 dµ + f 2 dµ (Additivität) Notiz 4.26: Sei (Ω, A,µ) ein Maßraum. Dann gelten (i) Ist f L 1 q und c R,dannistauchcf L1 q und es gilt (Homogenität) cf dµ = c fdµ (ii) Sind f 1,f 2 L 1 q und f 1 + f 2 sowie f 1 dµ + f 2 dµ wohldefiniert. so gilt (f 1 + f 2 ) dµ = f 1 dµ + f 2 dµ (Additivität) Notiz 4.27: Sei (Ω, A,µ) ein Maßraum. Dann ist L 1 ein R-Vektorraum. Bemerkung 4.28: Seien (Ω, A,µ) ein Maßraum und f,g L 1 q.danngelten (i) f g fdµ gdµ (Monotonie) 38

42 4AllgemeineIntegrationstheorie,Lebesgue-Integral (ii) fdµ f dµ. Notiz 4.29: Seien (Ω, A,µ) ein Maßraum und f L 1 q.danngilt: f 1 S L 1 q ( S A). Notiz 4.29 rechtfertigt folgende Definition. Definition 4.30: Seien (Ω, A,µ), f M sowie S A. Istf 1 S L 1 q,sowird das µ-integral von f über S genannt. fdµ:= f 1 S dµ S Notiz 4.31: Seien (Ω, A,µ) ein Maßraum, f L 1 q sowie (S n) n N ein Mengensystem paarweise disjunkter Mengen aus A. Danngilt: S n n=1 fdµ= fdµ. n=1 S n Definition 4.32: Sei (Ω, A,µ) ein Maßraum. Eine Menge N A mit µ(n) = 0 heißt eine (µ-)nullmenge. Beispiel 4.33: (i) Die Sphären S n := {x R n+1 x =1} sind λ n+1 -Nullmengen ( n N). (ii) Der Torus S 1 S 1 ist eine λ 4 -Nullmenge. 39

43 4AllgemeineIntegrationstheorie,Lebesgue-Integral (iii) Alle Hyperebenen des R n sind λ n -Nullmengen. Definition 4.34: Seien (Ω.A,µ) ein Maßraum und E eine für alle ω Ω erklärte Eigenschaft (z.b. punktweise Konvergenz einer Funktionenfolge). E besteht (µ-) fast überall (kurz: E (µ-) f.ü.) : N A : µ(n) =0und E(ω) gilt für alle ω Ω N. Satz 4.35: Seien (Ω, A,µ) ein Maßraum und f M +.Danngilt: fdµ=0 f =0 µ-f.ü. Notiz 4.36: Seien (Ω, A,µ) ein Maßraum, N eine µ-nullmenge und f M.Danngelten: (i) 1 N f L 1, (ii) fdµ=0. N Satz 4.37: Seien (Ω, A,µ) ein Maßraum sowie f 1,f 2 M mit f 1 = f 2 µ-f.ü. Dann gelten: (1) f 1 L 1 q f 2 L 1 q und in diesem Fall gilt f1 dµ = f 2 dµ. (2) f 1 L 1 f 2 L 1 und in diesem Fall gilt f1 dµ = f 2 dµ. Lemma 4.38: Seien (Ω, A,µ) ein Maßraum und f 1,f 2 L 1 q mit f 1 f 2 µ-f.ü. Dann gilt f 1 dµ f 2 dµ. 40

44 4AllgemeineIntegrationstheorie,Lebesgue-Integral Satz 4.39: Seien (Ω, A,µ) ein Maßraum, µ σ-endlich und f 1,f 2 L 1 q.danngelten (i) f 1 dµ f 2 dµ ( S A) f 1 f 2 µ-f.ü., S S (ii) f 1 dµ = f 2 dµ ( S A) S S f 1 = f 2 µ-f.ü.. Definition 4.40: Seien (Ω, A,µ) ein Maßraum, M Ω und f : M R eine Funktion. (1) f heißt (µ)-fast überall definiert (kurz: (µ)-f.ü. definiert), wenn Ω M Teilmenge einer µ-nullmenge N ist. (2) Existiert ein g M mit g = fµ-f.ü., so heißt f (µ)-fast überall messbar (kurz: (µ)-f.ü. messbar). Definition 4.41: Seien (Ω, A,µ) ein Maßraum und fµ-f.ü. messbar: (1) f heißt (µ)-quasiintegrierbar : g L 1 q mit g = fµ-f.ü. (2) f heißt (µ)-integrierbar : g L 1 mit g = fµ-f.ü. In beiden Fällen heißt dann die erweitert-reelle Zahl fdµ:= gdµdas (µ-)integral von f. Bemerkung 4.42: Es ist klar, dass alle bisherigen Aussagen zur Integrationstheorie ihre Gültigkeit behalten, wenn die in den jeweiligen Aussagen auftretenden Funktionen nur µ- f.ü. definiert bzw. nur µ-f.ü. messbar sind. Die Bedeutung der Bildmaße in der Wahrscheinlichkeitstheorie wurde bereits in Abschnitt 3 erwähnt. Bezüglich Bildmaßen zeigt die Integration ein sehr angenehmes Verhalten. Satz 4.43: Seien (Ω.A), ( Ω, Ã) Messräume sowie S :(Ω, A) ( Ω, Ã) und f :( Ω, Ã) 41

45 4AllgemeineIntegrationstheorie,Lebesgue-Integral (R, B) seien messbar. Weiter seien µ ein Maß auf A und µ S das Bildmaß von µ auf Ã. Danngelten: (i) f S L 1 q (µ) f L1 q (µ S), (ii) f S L 1 (µ) f L 1 (µ S ). (iii) In beiden Fällen gilt f Sdµ= fdµ S. Ω Ω Satz 4.44: Es seiendie VoraussetzungenvonSatz4.43gegeben. Dann gelten für allem Ã: (i) Ist f Sdµdefiniert, so auch fdµ S (und umgekehrt). M S 1 (M) (ii) Existiert eines der Integrale aus (i), so gilt auch S 1 (M) f Sdµ= fdµ S. Mit dem Satz von Levi wurde bereits ein wichtiger Konvergenzsatz vorgestellt. Es folgen weitere Konvergenzsätze, darunter der Hauptsatz derkonvergenztheorie von Lebesgue über die majorisierte Konvergenz. Satz 4.45 (Lemma von Fatou): Seien (Ω, A,µ) ein Maßraum und (f n ) n N eine Funktionenfolge aus M.Existiert eine Funktion f L 1 (µ) mit f f n ( n N), sosindallef n sowie lim inf f n aus L 1 q und es gilt M lim inf f n dµ lim inf f n dµ. 42

46 4AllgemeineIntegrationstheorie,Lebesgue-Integral Korollar 4.46 (Dual zum Lemma von Fatou): Seien (Ω, A,µ) ein Maßraum und (f n ) n N eine Funktionenfolge aus M.Existiert eine Funktion f L 1 (µ) mit f f n ( n N), sosindallef n sowie lim sup f n aus L 1 q und es gilt lim sup f n dµ lim sup f n dµ. Nebenseiner eigenständigenbedeutungist das LemmavonFatou das wichtigste beweistechnische Hilfsmittel im nachstehenden Hauptsatz der Konvergenztheorie. Theorem 4.47 (Lebesgue; Satz von der majorisierten Konvergenz): Seien (Ω, A,µ) ein Maßraum und (f n ) n N eine µ-f.ü. auf Ω konvergente Folge aus M.ExistierteineFunktiong L 1 (µ) mit f n gµ-f.ü. ( n N),sogilt f n L 1 (µ) ( n N) und es existiert ein f L 1 (µ), sodass(f n ) n N µ-f.ü. gegen f konvergiert, und es gilt lim f n dµ = fdµ. Notiz 4.48: Da Funktionenreihen spezielle Funktionenfolgen sind, gilt dersatzvonlebesgue natürlich wörtlich auch für Funktionenreihen. Beispiel 4.49: Sei P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (R, B) und h : R R definiert durch t arctan(xt) dp (x). R Es wird gezeigt, dass h stetig auf R ist. Seien hierzu t 0 R und (t k ) k N eine Folge aus R mit t k t 0.Wegender k Stetigkeit von arctan folgt arctan(t k x) arctan(t 0 x). k 43

47 4AllgemeineIntegrationstheorie,Lebesgue-Integral Für die Funktionenfolge (H k ) k N0 mit H k (x) :=arctan(t k x) ( k N 0, x R) gilt H k (x) π 2 1 R. Wegen P (R) =1ist die Majorante π 2 1 R P -integrierbar und mittels des Satzes von Lebesgue folgt lim h(t k)= lim k k d.h. die Stetigkeit von h in t 0. H k dp = H 0 dp = h(t 0 ), Die folgenden vier Sätze benutzen den Satz von der majorisierten Konvergenz als wesentliches Beweishilfsmittel. Satz 4.50: Seien (Ω, A,µ) ein Maßraum mit endlichem Maß und (f n ) n N eine Funktionenfolge mit f n L 1 (µ),diegleichmäßig gegen eine reelle Funktion f konvergiert. Dann gelten (1) f L 1 (µ), (2) lim f n dµ = fdµ. Beweis: Es gilt ε > 0 n(ε) N n n(ε) : f n f < ε. (*) Insbesondere gilt auch lim f n = f.wegenf n L 1 (µ) sind alle f n,f =limf n sowie alle f n f messbar. 44

48 4AllgemeineIntegrationstheorie,Lebesgue-Integral Wegen (*) gilt n n(ε) : f < f n + ε. Da µ endlich ist, folgt ε + f n L 1 (µ), woraussich(1)ergibt.folglichsind auch alle f n f L 1 (µ). Wegen (*) und des Theorems von Lebesgue erhält man lim (f n f) dµ = lim(f n f) dµ =0 (**) und weiter lim f n dµ fdµ = lim( = lim f n dµ fdµ) (f n f) dµ [ ] = 0 und somit die Behauptung (2). In der Riemannschen Integrationstheorie ist die Vertauschung von Integration und Limiten gleichmäßig konvergenter Funktionenfolgen der einzige Konvergenzsatz von Relevanz. Hier ist der entsprechende Satz nur eine triviale Folgerung des Lebesgueschen Konvergenzsatzes. Der folgende Satz gilt in der Riemannschen Theorie nur für C 1 -Funktionen. (Beachte, dass mit f differenzierbar, f i.a. nicht Riemann-integrierbar ist.) Satz 4.51: f :[a, b] R sei differenzierbar und f beschränkt (aber nicht notwendig stetig!). Dann ist f λ [a,b] B -integrierbar und es gilt (mit λ := λ [a,b] B ) b a f d λ = f(b) f(a). 45

49 4AllgemeineIntegrationstheorie,Lebesgue-Integral Im Folgenden wird für Einschränkungen von λ n auf Spur-σ-Algebren kurzer Hand auch wieder λ n geschrieben. Missverständnisse können nicht entstehen. Satz 4.52 (Stetigkeit von Parameterintegralen): Seien (Ω, A,µ) ein Maßraum, (M,d) ein metrischer Raum und f : M Ω R genüge den folgenden Bedingungen: (1) f(t, ) L 1 ( t M). (2) In einem t 0 M sei f(, ω) :M R stetig für µ-fast alle ω Ω. (3) Zu dem t 0 aus (2) gibt es eine Umgebung V von t 0 und ein F M + L 1, so dass für alle t V gilt f(t, ) F µ-f.ü. Dann ist die Funktion G : M R mit G(t) := f(t, ω) dµ(ω) ( t M) stetig in t 0. Satz 4.53 (Differentiation unter dem Integralzeichen bei Parameterintegralen): Seien (Ω, A,µ) ein Maßraum, J R ein Intervall und f : J Ω R genüge den folgenden Bedingungen: (1) f(t, ) L 1 ( t J). (2) f t (t 0, ω) existiert für alle ω Ω. (3) Es gibt eine Umgebung V von t 0 und ein F M + L 1,sodassfür alle t V J mit t t 0 gilt f(t, ω) f(t 0, ω) t t 0 F (ω) µ-f.ü. 46

50 4AllgemeineIntegrationstheorie,Lebesgue-Integral Dann ist die Funktion G : J R mit G(t) := f(t, ω) dµ(ω) ( t J) in t 0 differenzierbar, f t (t 0, ) ist µ-integrierbar, und es gilt G (t 0 )= f t (t 0, ω) dµ(ω). Mittels sog. Dichten lassen sich aus gegebenen Maßen durch Integration neue Maße bilden. Für die Wahrscheinlichkeitstheorie von besonderem Interesse ist der Fall, dass diese neuen Maße Wahrscheinlichkeitsmaße sind. Satz und Definition 4.54: Seien (Ω, A,µ) ein Maßraum und f M +.Dannwirddurch ein Maß auf A definiert. Dafür schreibt man kurz ν = fµ. ν(a) := fdµ ( A A) A f heißt eine µ-dichte (von ν). λ n -Dichten werden auch Lebesgue-Dichten genannt. Satz 4.55: Seien (Ω, A,µ) ein Maßraum, f M + und ν = fµ.danngiltfür jedes g M + : gdν = fg dµ. Notiz 4.56: Seien (Ω, A,µ) ein Maßraum, f,g M + und ν = fµ und η = gν. Danngilt g(fµ)=(gf)µ. 47

51 4AllgemeineIntegrationstheorie,Lebesgue-Integral Lemma 4.57: Seien (Ω, A,µ) ein Maßraum, f,g M +.Danngelten (i) f = gµ-f.ü. fµ = gµ. (ii) Ist f oder gµ-integrierbar, so gilt in (i) auch die Umkehrung. Notiz 4.58: Seien (Ω, A,µ) ein Maßraum, K ein Halbring über Ω mit σ(k) =A sowie ν ein σ-endliches Maß auf K, sofolgtausν(s) = fdµ( S K) bereits S ν = fµ. Beispiel 4.59: Durch f(x) := 1 ) exp ( x2 2π 2 ( x R) wird eine λ-dichte definiert. Das hierdurch induzierte Wahrscheinlichkeitsmaß N(0, 1) auf B mit N(0, 1)(S) = f(x) dλ(x) ( S I 1 ) S heißt die Normalverteilung mit dem Erwartungswert 0 und der Varianz 1.Man spricht auch von der standardisierten Normalverteilung. Es wird nun ein bereits in Abschnitt 2 angesprochener Sachverhalt präzisiert. Ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A,P) heißt diskret, wenn Ω abzählbar und A = P(Ω) gilt. Ist w die Wahrscheinlichkeitsfunktion von P,sogilt P (A) = ω A w(ω) ( A P(Ω)). Es gilt dann 48

52 4AllgemeineIntegrationstheorie,Lebesgue-Integral Satz 4.60: Sei (Ω, P(Ω),P) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum. Dann ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion w von P eine Dichte von P bzgl. des Ω-Zählmaßes auf P (Ω). Definition 4.61: Seien (Ω, A,µ) ein Maßraum und ν ein weiteres Maß auf A. ν heißt µ-stetig, wenn jede µ-nullmenge auch eine ν-nullmenge ist. Man schreibt hierfür kurz ν µ. Ein Maß ν auf B n heißt absolut stetig,wennν λ n gilt. Im Falle eines endlichen Maßes hat der Begriff µ-stetigkeit eine formale Ähnlichkeit mit dem ε-δ-kriterium der Stetigkeit. Satz 4.62: Seien (Ω, A,µ) ein Maßraum und ν ein endliches Maß auf A.Danngilt: ν µ ε > 0 δ(ε) > 0 S A : µ(s) δ(ε) ν(s) ε. Theorem 4.63 (Radon-Nikodym): Seien (Ω, A) ein Messraum, µ, ν Maße auf A und µ σ-endlich. Dann sind äquivalent (i) ν besitzt eine µ-dichte (ii) ν µ. Dieses Theorem besitzt bedeutende Anwendungen in der Wahrscheinlichkeitstheorie und in der Mathematischen Statistik; exemplarisch sei erwähnt, dass sich mittels ihm die Existenz bedingter Erwartungen nachweisen lässt. Aufgrund der Bedeutung der Bildmaße in der Wahrscheinlichkeitstheorie liegt es auf der Hand nach der Dichte eines Bildmaßes zu fragen, insofern das ausgäng- 49

53 4AllgemeineIntegrationstheorie,Lebesgue-Integral liche Wahrscheinlichkeitsmaß eine Dichte besitzt. Unter gewissen Voraussetzungen gestattet der folgende Satz eine Beantwortung dieserfrage: Satz 4.64 (Transformationssatz für Dichten): Seien P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf B mit P = fλ n und g =(g 1,...,g n ): R n R n stetig differenzierbar mit (1) detj g (x) :=det (2) g ist injektiv. ( (g1,...,g n) (x 1,...,x n) ) 0 ( x R n ) Dann gilt: g 1 : g(r n ) R ist messbar und eine Dichte G des Bildmaßes P g wird gegeben durch f(g 1 (t)) J G(t) = g(g 1 (t)), falls t g(rn ). 0, sonst Beispiel 4.65: Seien (a, σ) R R +.AnwendungvonSatz4.64 auf g(x) :=σx+a ( x R) liefert als Dichte des Bildmaßes N(a, σ 2 ):=N(0, 1) g die λ-dichte G(t) = 1 ) ( σ 2π exp (t a)2 2σ 2 ( t R) Das Wahrscheinlichkeitsmaß N(a, σ 2 ) heißt Normalverteilung mit Erwartungswert a und Varianz σ 2. Die Normalverteilungen N(a, σ 2 ) gehören zu den wichtigsten Wahrscheinlichkeitsmaßen in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Der Rest dieses Abschnitts behandelt nur noch Aussagen, die spezifisch auf das Lebesgue-Integral ausgerichtet sind. Neben dem Hauptsatz der Differentialund Integralrechnung handelt es sich um Rechenregeln für das Lebesgue-Integral. 50

54 4AllgemeineIntegrationstheorie,Lebesgue-Integral Definition 4.66: f :[a, b] R heißt absolut stetig : ε > 0 δ(ε) > 0 n N i N n [a i,b i ] [a, b] : n ([a i,b i ] [a j,b j ]= für i j und a i b i < δ(ε)) n f(a i ) f(b i ) < ε i=1 Notiz 4.67: Für f :[a, b] R gelten (i) f absolut stetig f stetig, (ii) f absolut stetig f ist λ-f.ü. differenzierbar, (iii) f Lipschitz-stetig f absolut stetig, (iv) f stetig differenzierbar f absolut stetig. Lemma 4.68 (Vitali): Jede absolut stetige Funktion f :[a, b] R mit f =0λ-f.ü. ist konstant. Theorem 4.69 (Lebesgue-Vitali; Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung für das Lebesgue-Integral): (1) Ist f :[a, b] R Lebesgue-integrierbar, so ist i=1 x F (x) := f(s) ds a ( x [a, b]) absolut stetig mit F = f λ-f.ü. (2) Ist F :[a, b] R absolut stetig und setzt man F (x) :=0in den Punkten x aus [a, b], indenenf nicht differenzierbar ist, so ist F Lebesgue- 51

55 4AllgemeineIntegrationstheorie,Lebesgue-Integral integrierbar mit x F (x) F (a) = F (s) ds a ( x [a, b]) Lemma 4.70 (Partielle Integration): Sind f,g :[a, b] R absolut stetig, so gilt b a b f (x)g(x) dx = fg b a f(x)g (x) dx (Dabei sind f und g fallsnötig wie in Theorem 4.69 (2) aufzufassen.) Lemma 4.71 (Substitutionsregel): Ist ϕ :[α, β] R monoton wachsend und absolut stetig sowie f L 1 ([ϕ(α), ϕ(β)]), sogilt (i) (f ϕ) ϕ L 1 ([α, β]) und (ii) ϕ(β) ϕ(α) f(x) dx = β f(ϕ(s)) ϕ (s) ds. α (Dabei ist ϕ fallsnötig wie in Theorem 4.69 (2) aufzufassen.) Theorem 4.72 (Transformationssatz für das Lebesgue-Integral): Seien M R n, M offen, T : M R n injektiv und stetig differenzierbar sowie detj T (v) 0für alle v M. WeiterseienU R n messbar mit U M und f : T (U) R Lebesgue-integrierbar. Dann ist auch die Funktion T f : U R; u (T f)(u) :=f(t (u)) detj T (u) a 52