Spiel- und Entscheidungstheorie

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1 Spiel- und Entscheidungstheorie Herbsttrimester 2011 Stand: 6. Dezember 2011 Gabriel Frahm Helmut-Schmidt-Universität Lehrstuhl für Angewandte Stochastik Fächergruppe Mathematik/Statistik Hamburg

2 Zu meiner Person Personalien: Akademia: PD Dr. Gabriel Frahm Lehrstuhl für Angewandte Stochastik URL: Sprechstunde: nach Vereinbarung Ort: Gebäude H1, Ebene 1, Raum 1372 Universität zu Köln: Lehrstuhl für Finanzierungslehre sowie Lehrstuhl für Statistik & Ökonometrie. Universität Münster: Lehrstuhl für Ökonometrie und empirische WiFo. 1

3 Zu meiner Person Praxis: Forschung: Lehre: Center of Advanced European Studies and Research, NEC Laboratories Europe, Westdeutsche Landesbank und freier Unternehmensberater. Copulas, Extremwerttheorie, Random Matrix Theory, Portfoliooptimierung, robuste Kovarianzmatrizen, etc. Missing-Data Analysis, multiples Testen. Econometrics, Time Series Analysis, Panel Data Analysis, Statistik, Mathematik, Spiel- und Entscheidungstheorie. 2

4 Zur Veranstaltung Name: Zielgruppe: Spiel- und Entscheidungstheorie. Master BWL im 10. Trimester. Vorlesung: Montags, 15:45 17:15 Uhr in 101. Übung: Dienstags, 11:30 13:00 Uhr in 101. Beginnt am Prüfung: Klausur am von 13:00 bis 15:00 Uhr in Infos: 3

5 Inhaltsverzeichnis I Entscheidungstheorie 15 1 Motivation Worum es geht Komponenten einer Entscheidung Der Rationalitätsbegriff Prozedurale Rationalität Konsistenz Informationsverarbeitung

6 1.4 Entscheidungssituationen Entscheidungen unter Sicherheit Entscheidungen unter Unsicherheit Das Dominanzprinzip Die Struktur eines Entscheidungsproblems Ziele und Präferenzen Zusammenhang Zielkonflikte Risikopräferenzen Zeitpräferenzen

7 2.1.5 Nutzenfunktionen Handlungsalternativen Die Alternativenmenge Strategien Umweltzustände Die Ereignismenge Szenarien Handlungskonsequenzen Wertebereich Wirkungsmodell

8 2.5 Exkurs: Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten Multiplikationsregel Additionsregel Problemstrukturierung Ereignisbaum Ursachenbaum Einflussdiagramm Problemdarstellung Entscheidungsmatrix Entscheidungsbaum

9 3 Entscheidungen unter Ungewissheit Maximin-Regel Regel des kleinsten Bedauerns Laplace-Regel Entscheidungen unter Risiko Das Sankt-Petersburg-Paradoxon Der Erwartungsnutzen Das Vollständigkeits- und Transitivitätsaxiom Das Konvexitätsaxiom Das Unabhängigkeitsaxiom

10 4.2.4 Herleitung der Nutzenfunktion Die Einstellung zum Risiko Sicherheitsäquivalent Die drei Risikotypen Das Arrow-Pratt-Maß Ausgewählte Nutzenfunktionen Die exponentielle Nutzenfunktion Die quadratische Nutzenfunktion Die logarithmische Nutzenfunktion Konstante Risikoaversion

11 4.5.1 CRRA-Nutzenfunktionen CARA-Nutzenfunktionen Ermittlung der optimalen Strategie Anhand einer Entscheidungsmatrix Anhand eines Entscheidungsbaums II Spieltheorie Motivation Spiel als soziale Interaktion Kooperative und nicht-kooperative Spieltheorie

12 5.3 Allgemeine Vorurteile und Fragen Lösungsansätze der Spieltheorie Das Dominanzprinzip Schwache Dominanz Starke Dominanz Nash-Gleichgewicht Pareto-Effizienz Gefangenendilemmas Das klassische Gefangenendilemma Der Schwarzmarkthandel

13 8 Koordinationsspiele Das Win-Win-Spiel Kampf der Geschlechter Die Marktführerschaft Antikoordinationsspiele Das Taube-Falke-Spiel Schnick-Schnack-Schnuck Diskoordinationsspiele Matching Pennies

14 10.2 Das De-Montmort-Spiel Analyse von Nash-Gleichgewichten Nomenklatur Gemischte Strategien Gemischte Nash-Gleichgewichte Ermittlung für(2 2)-Spiele Ermittlung für beliebige Bimatrixspiele Perfektheit Lösungsmenge

15 Literatur Entscheidungstheorie Eisenführ, F., Weber, M. und Langer, T. (2010): Rationales Entscheiden, 5. Auflage, Springer. French, S. (1988): Decision Theory, Ellis Horwood. Spieltheorie Rieck, C. (2010): Spieltheorie, 10. Auflage, Christian Rieck Verlag. Osborne, M.J. (2009): An Introduction to Game Theory, Oxford. 14

16 Teil I Entscheidungstheorie Leonard J. Savage ( ) John von Neumann ( ) Oskar Morgenstern ( ) 15

17 1 Motivation 1.1 Worum es geht Der gesunde Menschenverstand versagt oft in komplexen Entscheidungssituationen. Gründe: Unsicherheit bezüglich künftiger Entwicklungen. Vielfalt von Zielen, die sich u.u. nicht voll vereinbaren lassen. Zu wenige oder zu viele Handlungsalternativen und eine große Zahl von Einflussfaktoren. 16

18 Rationales Vorgehen verbessert tendenziell die Erfolgsaussicht einer Entscheidung. Rationalität ist allerdings kein klarer Begriff. Dieser muss zunächst eingegrenzt werden. Komplexe Probleme lassen sich oft in Komponenten zerlegen. Meistens gibt es jedoch keine objektiv beste Entscheidung; man sollte hingegen eine subjektiv beste Entscheidung anstreben. Subjektive Entscheidungen beruhen auf subjektiven Zielen, Präferenzen und Erwartungen. Menschen tun sich schwer damit, ihre subjektiven Präferenzen und Erwartungen zu artikulieren. 17

19 Man unterscheidet zwischen der präskriptiven (d.h. vorschreibenden ) und deskriptiven (d.h. beschreibenden ) Entscheidungstheorie. Die präskriptive Entscheidungstheorie spielt in vielen Disziplinen eine wichtige Rolle, z.b. in der Ökonomie Politik Medizin Jurisprudenz Ingenieurwissenschaft 18

20 1.2 Komponenten einer Entscheidung Ziele und Präferenzen: Welche Ziele verfolgt der Entscheidungsträger und wie wägt er zwischen den einzelnen Zielen ab? Handlungsalternativen: Welche Möglichkeiten stehen dem Entscheidungsträger zur Verfügung? Umweltzustände: Welche Zustände können in der Zukunft eintreten und wie wahrscheinlich sind diese? Handlungskonsequenzen: Welche Konsequenzen hat sein Handeln in Verbindung mit den möglichen Zuständen? 19

21 1. Typischerweise herrscht Unsicherheit bezüglich der a. Handlungskonsequenzen, sowie bezüglich der b. künftigen Umweltzustände, die man nicht vorhersehen kann. 2. Die Handlungskonsequenzen sind desto unsicherer, je komplexer die Entscheidungssituation ist. 3. Oft verfolgt man mehrere Ziele gleichzeitig, welche im Konflikt zueinander stehen. 4. Die Anzahl der Entscheidungsalternativen kann entweder zu klein ( Dilemma ) oder zu groß ( Qual der Wahl ) sein. 20

22 1.3 Der Rationalitätsbegriff Der Rationalitätsbegriff muss zunächst definiert werden. Man spricht von einer rationalen Entscheidung, wenn sie bestimmten Kriterien genügt. Im Folgenden werden zwei Kriterien vorgestellt, anhand derer man feststellen kann, ob eine Entscheidung rational ist oder nicht: 1. Prozedurale Rationalität und 2. Konsistenz. Eine rationale Entscheidung muss beiden Kriterien genügen. 21

23 1.3.1 Prozedurale Rationalität 1. Problemrelevanz: Löst der Entscheider das richtige Problem? Handelt es sich dabei lediglich um ein lokales oder um ein globales Problem? 2. Information: Hat der Entscheider in die Informationsbeschaffung und -verarbeitung so viel Aufwand investiert, wie der Bedeutung der Entscheidung angemessen ist? 3. Objektivität: Hat der Entscheider möglichst relevante und objektive Daten in Betracht gezogen? 4. Nutzenorientierung: Ist sich der Entscheider über seine eigenen Präferenzen und Ziele im Klaren? 22

24 1.3.2 Konsistenz Die Prämissen, welcher der Entscheidung zugrunde liegen, dürfen sich nicht gegenseitig widersprechen. Man spricht hierbei von Konsistenz (d.h. Widerspruchsfreiheit ). Dies betrifft insbesondere den Umgang mit 1. Wahrscheinlichkeiten und 2. Präferenzen. Wir werden im Folgenden hauptsächlich von einem subjektiven Wahrscheinlichkeitsbegriff Gebrauch machen. 23

25 Rationale Wahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeiten sollten den Kolmogoroffschen Axiomen genügen. D.h. es muss gelten 1. P(Ω) = 1, 2. P(A) 0 für allea Ω und 3. P ( i=1 A i) = i=1 P(A i) für alle paarweise disjunkten EreignisseA 1,A 2,... Ω. Daraus folgen diverse Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten, z.b.p(a) P(B), vorausgesetzta B. 24

26 Beispiel Linda ist 31 Jahre alt, Single, geradeheraus und sehr intelligent. An der Uni hatte sie Philosophie als Hauptfach. Sie zeigt ein großes soziales Engagement (z.b. setzt sie sich gegen Diskriminierung ein und nimmt an Anti-Atom-Demonstrationen teil). Welche Feststellung ist wahrscheinlicher: 1. Linda ist Bankkassiererin oder 2. Linda ist Bankkassiererin und aktiv in der Frauenbewegung tätig. 25

27 Viele Menschen würden intuitiv die zweite Feststellung für wahrscheinlicher halten. Dieser Vermutung liegt allerdings ein inkonsistenter Wahrscheinlichkeitsbegriff zugrunde. Feststellung 2 beinhaltet 1 und damit gilt P(2) P(1). Es könnte aber auch sein, dass die erste Feststellung in vielen Fällen falsch interpretiert wird, nämlich im Sinne von 1. Linda ist Bankkassiererin und nicht aktiv in der Frauenbewegung tätig. 26

28 Rationale Präferenzen Zukunftsorientierung: Die Entscheidung sollte nur von künftigen Ereignissen abhängig gemacht werden. Transitivität: Zieht der Entscheider a gegenüber b vor und b gegenüberc, so muss er auchagegenübercvorziehen: a b b c a c. Invarianz: Die Entscheidung darf nicht von der jeweiligen Darstellungsform des Problems determiniert werden, sofern die gegebenen Darstellungsformen äquivalent sind. Unabhängigkeit: Die Präferenz von a gegenüber b hängt nicht von einer dritten Alternativen c ab. 27

29 Beispiel: Zukunftsorientierung Ein Anleger will Aktien, die derzeit bei 300 notieren, nicht verkaufen. Grund: Er möchte keinen Verlust machen, denn er hat die Aktien vor einem Jahr für 400 gekauft.. Diese Entscheidung ist vergangenheitsbezogen und daher nicht rational. Bei dem Kursrückgang von 400 auf 300 handelt es sich um sogenannte Sunk Costs. Angenommen der Anleger hätte sich geirrt und er stellt fest, dass er die Aktien tatsächlich für 150 gekauft hat. Daraufhin entscheidet er sich nun doch, die Aktien zu verkaufen. Auch diese Entscheidung ist vergangenheitsbezogen und daher nicht rational. 28

30 Beispiel: Transitivität Mag man Seezunge lieber als Hamburger und Hamburger lieber als Grießbrei, so sollte man die Seezunge dem Grießbrei vorziehen. Gegenbeispiel: Ein Professor schaut sich nach einer anderen Stelle um. Das Gehalt wird bei seiner Entscheidung die Hauptrolle spielen. Falls die gehaltlichen Unterschiede nicht allzu groß sind, wird er sich für die Uni mit dem besseren Prestige entscheiden. Sind die Präferenzen des Professors rational? 29

31 Uni Gehalt Prestige niedrig hoch mittel Wegen des größeren Gehalts zieht er 1 gegenüber 2 vor. Er zieht 2 gegenüber 3 vor, weil der Gehaltsunterschied zwischen diesen beiden Unis nicht allzu groß ist. Allerdings zieht er 3 gegenüber 1 vor. Begründung: Der Gehaltsunterschied ist hierbei ebenfalls klein, allerdings hat 3 das bessere Prestige. 30

32 Beispiel: Invarianz Entscheidungsprobleme lassen sich oft auf unterschiedliche Weisen darstellen. Z.B. kann die Wirkung einer Impfung gegen eine Epidemie als Prozentsatz der Geretteten oder als Prozentsatz der trotz Impfung Gestorbenen ausgedrückt werden. Die Darstellung des Entscheidungsproblems ist äquivalent. Die Entscheidung zugunsten oder gegen eine Impfung darf demnach nicht von der gewählten Darstellung abhängen. 31

33 Angenommen, der Ausbruch einer ungewöhnlichen Asiatischen Krankheit steht bevor. Sie wird vermutlich 600 Todesopfer fordern. Zwei Gegenmaßnahmen stehen zur Verfügung: 1. Maßnahme A: 200 Menschen werden gerettet. 2. Maßnahme B: Mit Wahrscheinlichkeit 1/3 werden alle gerettet und mit Wahrscheinlichkeit 2/3 wird keiner gerettet. Die meisten Menschen werden Maßnahme A bevorzugen. Wenn Aussage 1 durch 1. Maßnahme A: 400 Menschen werden sterben. ersetzt wird, fällt die Entscheidung allerdings öfter zugunsten von Maßnahme B aus. 32

34 Beispiel: Unabhängigkeit Auf der Speisekarte stehen lediglich Lachs und Wiener Schnitzel. Jemand bestellt den Lachs. Daraufhin teilt ihm der Kellner mit, dass es heute ausnahmsweise auch Kassler mit Sauerkraut gibt. Der Gast überdenkt seine Wahl, weil er befürchtet, dass der Kellner ihm fälschlicherweise den Kassler servieren wird und revidiert seine Entscheidung zugunsten des Wiener Schnitzels. Ein solches Verhaltensmuster ist nicht rational, vorausgesetzt der Kellner begeht den Fehler unabhängig von der Bestellung des Gastes. 33

35 Hindsight-Bias Die Rationalität einer Entscheidung kann üblicherweise nicht an ihrem Erfolg oder Misserfolg gemessen werden! Hindsight-Bias: Die Neigung des Menschen, hinterher zu glauben, er oder andere hätten es vorher besser wissen müssen. Hierbei werden Erfolg und Rationalität miteinander verwechselt. Erfolg und Rationalität sind jedoch hoffentlich positiv korreliert. Deshalb sollten häufig wiederkehrende Entscheidungen nachträglich überprüft werden. Zu diesem Zweck müssen die Entscheidungsgrundlagen protokolliert und offen gelegt werden. 34

36 1.3.3 Informationsverarbeitung Subjektivität spielt eine große Rolle im Entscheidungsprozess. Sie beeinflusst sowohl die Formulierung von Zielen und Präferenzen, als auch die Bildung von Erwartungen hinsichtlich künftiger Zustände. In vielen Situationen sind keine objektiven Informationen verfügbar. In diesen Fällen sollte man auf subjektive Informationen zurückzugreifen. 35

37 Rationale Informationsverarbeitung 36

38 1.4 Entscheidungssituationen Entscheidungen unter Sicherheit Entscheidungen unter Sicherheit. 37

39 1.4.2 Entscheidungen unter Unsicherheit Künftige Ereignisse können oft nicht vorhergesehen werden. Man muss dann eine Entscheidung unter Unsicherheit treffen. Hierbei wird unterschieden, ob 1. die künftigen Umweltzustände bekannt und die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten (entweder objektiv oder subjektiv) gegeben sind (Risiko), 2. die Umweltzustände bekannt, jedoch die Wahrscheinlichkeiten nicht gegeben sind (Ungewissheit), oder 3. sogar die Umweltzustände mitsamt ihren Wahrscheinlichkeiten unbekannt sind (vollkommene Unsicherheit). 38

40 Entscheidung unter Unsicherheit. 39

41 Entscheidung unter Risiko. 40

42 Entscheidung unter Ungewissheit. 41

43 Entscheidung unter vollkommener Unsicherheit. 42

44 Beispiele Risiko: Der Ausgang eines Roulette-Spiels kann durch0,1,...,36 gekennzeichnet werden. Es handelt sich um ein Laplace-Experiment, d.h. die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis beträgt 1/37. Ungewissheit: Die künftige Rendite einer neu emittierten Aktie kann lediglich einen Wert im Intervall[ 1, ] annehmen. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Rendite ist allerdings unbekannt. Vollkommene Unsicherheit: Man nimmt an einem Spiel teil, ohne die Spielregeln und damit die mit dem eigenen Handeln verbundenen Konsequenzen zu kennen. 43

45 1.5 Das Dominanzprinzip Beinhaltet die Alternative a 1. in allen möglichen Umweltzuständen bezüglich aller Ziele mindestens den gleichen Nutzen wie die Alternative b und 2. in einem möglichen Umweltzustand bezüglich eines Zieles einen größeren Nutzen alsb, so dominiertaüberbund wird darum vorgezogen. Beachte: Das Dominanzprinzip bezieht sich lediglich auf Zustände mit Wahrscheinlichkeit größer Null (mögliche Zustände). Hingegen spielen unmögliche Zustände (d.h. solche mit Wahrscheinlichkeit Null) keine Rolle und können ignoriert werden. 44

46 Beispiel: Entscheidung unter Sicherheit Sie suchen einen neuen Mitarbeiter, welcher die folgenden Kriterien erfüllen soll: 1. Kompetenz, 2. Ambition, 3. Teamfähigkeit. Sie bewerten die Bewerber hinsichtlich der drei Kriterien jeweils auf einer Punkteskala von 0 bis 10. Sie messen jedem Kriterium ein bestimmtes Gewicht bei und entscheiden sich für den Bewerber mit dem höchsten gewichteten arithmetischen Mittelwert. 45

47 Seix i die Punktzahl eines bestimmten Bewerbers bezüglich Kriteriumi = 1,2,3. Der Bewerber erhält damit die Gesamtpunktzahl (den sogenannten Score ) x = 3 i=1 w i x i mit 0 < w i < 1 und 3 i=1 w i = 1. Angenommen Bewerber a weist hinsichtlich aller Kriterien mindestens so viele Punkte auf, wie Bewerberbund hat sogar bei einem Kriterium mehr Punkte vorzuweisen. Bewerber a dominiert Bewerber b und seine Gesamtpunktzahl ist zwangsläufig größer, als die seines Mitbewerbers. 46

48 Beispiel: Entscheidung unter Unsicherheit Sie möchten Geld anlegen und suchen nach der Investition mit dem höchsten erwarteten Gewinn. Es gäbenmögliche Umweltzuständes 1,s 2,...,s n. Der Gewinn einer Investition im Zustandj sei mitx j (j = 1,2,...,n) symbolisiert. Der erwartete Gewinn dieser Investition beträgt dann E(X) = n j=1 P(s j ) x j. 47

49 Investition a beinhalte in den künftigen Umweltzuständen mindestens genauso viel Gewinn wie Investition b. Außerdem gäbe es einen Zustand, in demamehr erwirtschaftet, alsb. Damit dominiert Investition a die Investition b. Man spricht hierbei von einer Arbitragemöglichkeit. D.h. durch einen Kauf vonaund einen (Leer-)Verkauf vonbkann man einen risikolosen Gewinn erzielen. Insbesondere ist der erwartete Gewinn von a zwangsläufig größer, als der vonb. Ergo: Die Entscheidungsregeln in Beispiel I und Beipiel II sind de facto mit dem Dominanzprinzip vereinbar. 48

50 2 Die Struktur eines Entscheidungsproblems Komplexe Probleme lassen sich oft in Komponenten zerlegen: Ziele und Präferenzen, Handlungsalternativen, Umweltzustände, Handlungskonsequenzen. Man modelliert zunächst die einzelnen Komponenten und fügt die entsprechenden Modelle anschließend zusammen. Auf diese Weise erhält man ein Gesamtmodell für das Problem. 49

51 2.1 Ziele und Präferenzen Zusammenhang Präferenz: Persönliche Einstellung des Entscheidungsträgers gegenüber den möglichen Konsequenzen seiner Entscheidung. Entscheidungsträger sind sich über ihre eigenen Ziele und Präferenzen oft nicht im Klaren. Beispiel: Ist ein Kapitalanleger profitorientiert oder verfolgt er eher eine konservative Anlagestrategie? Zunächst muss der Entscheider festlegen, welche Aspekte für ihn überhaupt von Belang sind. 50

52 Beispiel: Ist er nur am monetären Aspekt interessiert oder verfolgt er darüber hinaus auch moralische Ziele? Nachdem er die Menge der für ihn relevanten Ziele bestimmt hat, muss er festlegen, wie diese gemessen werden sollen. Beispiel: Soll ein Vermögen in oder in $ bewertet werden? Solche Messgrößen werden als Zielgrößen, Zielvariablen oder Attribute bezeichnet. Oft steigt oder fällt die Wertschätzung monoton mit der Ausprägung einer Zielgrößen. Beispiele: Je mehr Geld, desto besser; je weniger Schmerzen, desto besser; etc. 51

53 Manchmal liegt jedoch kein monotoner Zusammenhang zwischen Wertschätzung und Ausprägung der Zielgrößen vor. Beispiel: Strandurlaub. Kälte ist schlecht, zu viel Hitze aber auch Zielkonflikte Verfolgt man mehrere Ziele gleichzeitig, so stehen diese oft in einem Konflikt zueinander. Beispiel: Man möchte bei einer Kapitalanlage auf der einen Seite viel Profit erzielen, auf der anderen Seite jedoch wenig Risiko in Kauf nehmen. 52

54 Annahme: Der Wert jeder Handlungskonsequenz lässt sich durch Aggregation der einzelnen Zielgrößen quantifizieren. Beispiel: Bewertung von Bewerbern anhand eines gewichteten arithmetischen Mittels Risikopräferenzen Bei Entscheidungen unter Unsicherheit spielt die Einstellung des Entscheiders zum Risiko eine bedeutende Rolle. Jede Alternative repräsentiert ein Bündel möglicher Konsequenzen (mit den dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten). In der Entscheidungstheorie spricht man dabei von Lotterien. 53

55 Beispiel: 1. Lotterie: Risikolose Anleihe mit einem Zinssatz von 5%, 2. Lotterie: Aktie mit einer erwarteten Rendite von 10% und einer Volatilität von 20% Zeitpräferenzen Die Folgen einer Entscheidung können sich über einen bestimmten Zeitraum erstrecken. Menschen sind i.d.r. nicht indifferent hinsichtlich der zeitlichen Verteilung von Konsequenzen. 54

56 Beispiel: Jemand überlegt, ob er einen Teil seines Einkommens in die Altersvorsorge investiert oder lieber gleich ausgibt Nutzenfunktionen In der Entscheidungstheorie werden Präferenzen durch Funktionen modelliert. Man spricht hierbei von Nutzenfunktionen. Nutzenfunktionen können experimentell (d.h. anhand einer Befragung des Entscheidungsträgers) ermittelt werden. 55

57 Zu diesem Zweck konfrontiert man den Entscheidungsträger mit einfachen fiktiven Entscheidungsproblemen. Aus den getroffenen Entscheidungen lässt sich seine individuelle Risiko-/Zeitpräferenz ableiten. Daraus konstruiert man auf Basis von Axiomen rationalen Handelns eine geeignete Nutzenfunktion, die auch einem komplexen Entscheidungsproblem standhalten soll. Vorteile gegenüber Ad-hoc-Regeln: 1. Nutzenfunktionen bilden die tatsächlichen Präferenzen des Entscheiders ab und 2. die Bewertung der Alternativen lässt sich axiomatisch, d.h. auf der Grundlage allgemein anerkannter Postulate, begründen. 56

58 2.2 Handlungsalternativen Die Alternativenmenge Handlungsalternativen sind oft auf natürliche Weise gegeben. Beispiel: Ein Manager möchte pünktlich um 9:00 Uhr zu einem Meeting gelangen. Seine Alternativen sind: 1. Fahre mit dem Auto um 8:00 Uhr, 2. fahre mit dem Zug um 7:49 Uhr oder 3. fahre mit einem früheren Zug um 7:28 Uhr. Manchmal muss man erst nach geeigneten Alternativen suchen. 57

59 Beispiel: Autokauf. In diesem Fall muss man eine Menge an geeigneten Angeboten zusammenstellen. Möglicherweise muss man Alternativen sogar zunächst generieren. Beispiel: Ein Gesellschaftsvertrag soll aufgesetzt werden, ohne Verwendung eines Mustervertrags. In der Praxis stellt die Suche oder Generierung von Handlungsalternativen wiederum ein Entscheidungsproblem dar: Man muss sich entscheiden, wann man damit aufhört. Auch diese Entscheidung sollte von den Zielen und Präferenzen des Entscheidungsträgers geleitet sein. 58

60 Eine Entscheidung bedeutet die Auswahl einer Alternative aus der gegebenen Menge der Alternativen (Alternativenmenge). Wir bezeichnen die Alternativenmenge mit A und eine einzelne Alternative mita A. Mehrere Alternativen werden mita,b,c A symbolisiert. Alternativen müssen sich gegenseitig ausschließen. D.h. sobald eine Alternative gewählt wird, sind alle anderen ausgeschlossen. Mittags essen gehen und Abends fernsehen sind also keine Alternativen. 59

61 Man kann allerdings Mittags essen gehen und Abends fernsehen zu Alternativen kombinieren: a. Mittags essen gehen und Abends fernsehen. b. Mittags essen gehen und Abends lesen. c. Mittags zuhause essen und Abends fernsehen. d. Mittags zuhause essen und Abends lesen. Oft ist die Alternativenmenge sogar zu groß, um die einzelnen Alternativen abzuwägen. Beispiel: Man erhält Hunderte von Bewerbungen auf eine Stellenausschreibung. In diesen Fällen muss man eine Vorauswahl treffen. 60

62 2.2.2 Strategien Oft zieht eine Handlung die Nächste nach sich. Beispiele: Schach gegen den Computer, Studium, Kapitalanlage über mehrere Perioden. Mehrstufige Handlungsalternativen werden als Strategien bezeichnet. Eine Strategie ist eine Folge von bedingten Entscheidungen. D.h. die Entscheidung hängt von einer vorherigen Entscheidung oder einem realisierten Umweltzustand ab. Beispiel: Man kauft eine bestimmte Aktie. Steigt der Aktienkurs, liquidiert man den Kursgewinn, sinkt er, kauft man die Aktie nach. 61

63 2.3 Umweltzustände Die Ereignismenge Unter Unsicherheit hängen die Handlungskonsequenzen von Umweltzuständen ab, die für den Entscheider i.d.r. nicht vorhersehbar sind. Unterschiedliche Zustände mit gleicher Konsequenz sollten im Vorfeld zu einem Ereignis zusammengefasst werden. Daher werden die Begriffe Ereignis und Zustand im Folgenden synonym verwendet. 62

64 s 1 s 2 s 3 s 4 a b s 1 ={s 1,s 3,s 4 } = s 1 s 2 a 3-1 b 3 2 s 1 s 2 s 3 s 4 a b s 1 ={s 1,s 4 } = s 1 s 2 s 3 a b Zusammenfassung von Zuständen in Ereignissen. 63

65 2.3.2 Szenarien Genauso wie Entscheidungen können auch Ereignisse mehrstufig erfolgen. D.h. basierend auf einem bereits realisierten Ereignis oder einer getroffenen Entscheidung wird ein weiterer Zustand realisiert. Beispiele: Schach gegen den Computer, Studium, Kapitalanlage über mehrere Perioden. Solche mehrstufigen Ereignisse werden als Szenarien bezeichnet. Szenarien können als Strategien der Umwelt aufgefasst werden. 64

66 Beispiel Sie spielen Schach gegen einen Computer und überlegen, ob Sie zuerst Bauer e2 e4 oder Springer b1 c3 spielen sollen. Der Computer kann sich in Abhängigkeit von Ihrem Zug für einen bestimmten Gegenzug entscheiden. Diese Entscheidung erfolgt (zumindest am Anfang des Spiels) auf Basis eines Zufallsgenerators. Eine Kombination möglicher Gegenzüge des Computers bildet aus Ihrer Sicht ein Szenario. Ein Szenario beinhaltet also für jeden eigenen Zug einen bestimmten Gegenzug des Computers! 65

67 2.4 Handlungskonsequenzen Wertebereich Mit jedem Eintritt eines Umweltzustandes wird genau eine Handlungskonsequenz in Verbindung gebracht. Jede Konsequenz wird durch eine bestimmte Zielgröße ausgedrückt (z.b. Gewinn in ). Zielgrößen können entweder einen diskreten oder kontinuierlichen Wertebereich haben. Beispiele: Die Anzahl der Tore einer Fußballmannschaft ist eine diskrete Größe, während die Rendite einer Aktie eine kontinuierliche Größe darstellt. 66

68 Eine kontinuierliche Größe kann diskretisiert werden, indem man den Wertebereich partitioniert. Im Folgenden gehen wir stets davon aus, dass die betrachteten Zielgrößen diskret sind oder diskretisiert werden Wirkungsmodell In komplexen Situationen ist die Konsequenz jedoch nicht immer klar. In diesen Fällen benötigt man ein Wirkungsmodell. Ein solches Modell kann z.b. eine einfache Gleichung, ein Gleichungssystem oder ein komplizierter Algorithmus sein. 67

69 Beispiel Der Gewinn (G) eines Unternehmens (nach Steuern) aus einem Exportgeschäft hängt vom 1. Einkaufspreis k, dem 2. Verkaufspreis p, der 3. Absatzmenge q, dem 4. Steuersatz s und dem 5. Wechselkurs w ab. Die Absatzmenge ist eine Funktion des Preises, z.b. q(p) = a+bp, a > 0,b < 0. 68

70 Beispiel Das Wirkungsmodell lautet somit G(p) = (1 s) q(p) (pw k) = (1 s) (a+bp) (pw k) = (1 s) (apw ak bkp+bwp 2 ). Hierbei ist p eine Handlungs- oder Kontrollvariable. Die Größen s, w, k spiegeln hingegen Zustandsvariablen wider. 69

71 2.5 Exkurs: Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten Multiplikationsregel SeienA Ω undb Ω zwei Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeit für das gemeinsame Eintreten von A und B wird mitp(a B) symbolisiert. Die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B beträgt dann P(A B) = P(A B) P(B) Daraus folgt die Multiplikationsregel P(A B) = P(A B) P(B).. 70

72 Beispiel Die Variable X bezeichne die wirtschaftliche Entwicklung eines Landes: X = 1, Depression, 2, Stagnation, 3, Aufschwung. Darüber hinaus stehey für den Ausgang der nächsten Parlamentswahl: Y = 1, konservativ, 2, sozialistisch. 71

73 Beispiel Es seien die folgenden (subjektiven) Wahrscheinlichkeiten gegeben: P(X = 1) = 0.2, P(X = 2) = 0.65, P(X = 3) = Der Wahlausgang hängt von der wirtschaftlichen Entwicklung ab. Es ist zu vermuten, dass die Sozialisten eine größere Chance haben, wenn sich die Wirtschaft schlecht entwickelt. Um diesen Effekt zu quantifizieren, bildet man subjektive bedingte Wahrscheinlichkeiten. 72

74 Beispiel Die bedingten Wahrscheinlichkeiten seien P(Y = 1 X = 1) = 0.4, P(Y = 2 X = 1) = 0.6, P(Y = 1 X = 2) = 0.5, P(Y = 2 X = 2) = 0.5, P(Y = 1 X = 3) = 0.6, P(Y = 2 X = 3) = 0.4. Daraus lassen sich mittels der Multiplikationsregel alle weiteren notwendigen Wahrscheinlichkeiten herleiten. Z.B. beträgt die Wahrscheinlichkeit für Aufschwung und sozialistischer Wahlsieg P(X = 3,Y = 2) = P(Y = 2 X = 3) P(X = 3) =

75 Beispiel Man erhält damit die folgende Wahrscheinlichkeitstabelle: 1 2 Σ X Σ Die Randwahrscheinlichkeiten der beiden Variablen X und Y lassen sich am rechten sowie unteren Rand ablesen. Y 74

76 Stochastische Unabhängigkeit Man sagt zwei EreignisseA Ω undb Ω sind stochastisch unabhängig, wenn P(A B) = P(A) P(B). Unter der technischen AnnahmeP(A),P(B) > 0 gilt dann P(A B) = P(A) und P(B A) = P(B). D.h. im Falle der Unabhängigkeit hängt die Wahrscheinlichkeit von A nicht vonb ab und vice versa. Die Kenntnis von B liefert also keine zusätzliche Information bezüglich der Wahrscheinlichkeit von A und umgekehrt. 75

77 2.5.2 Additionsregel SeienA Ω undb Ω wieder zwei Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeit für das Szenario A oder B lässt sich mit Hilfe der Additionsregel berechnen: P(A B) = P(A)+P(B) P(A B). Folglich kannp(a B) durch Addition und Subtraktion der (Rand-)Wahrscheinlichkeiten in einer Wahrscheinlichkeitstabelle berechnet werden. 76

78 2.6 Problemstrukturierung Ereignisbaum Ein Ereignisbaum ist eine grafische Verknüpfung mehrerer unsicherer Ereignisse. Auf diese Weise können endlich viele Ereignisse miteinander verknüpft werden. Als Folge dessen lassen sich die Wahrscheinlichkeiten für unterschiedliche Szenarien anschaulich berechnen. Die Berechnung erfolgt dabei anhand der Multiplikationsregel. 77

79 Ereignisbaum am Beispiel der Parlamentswahl. 78

80 2.6.2 Ursachenbaum Beim Ursachenbaum dreht man den Ereignisbaum gewissermaßen um. Ausgehend von einem gegebenen Ereignis analysiert man sukzessive die dafür in Frage kommenden Ursachen. Auf diese Weise erhält man eine Wahrscheinlichkeit für das betreffende Ereignis. Ursachenbäume werden u.a. zur Risikoeinschätzung von Reaktorunfällen, Flugzeugabstürzen, etc. verwendet. In diesen Zusammenhängen werden sie auch als Fehlerbäume bezeichnet. 79

81 Beispiel Eine Aktiengesellschaft (AG) A besitzt 20% der Anteile an einer AG B, welche eine wesentliche Konkurrenz für A darstellt. Die Manager von A denken daher über ein öffentliches Übernahmeangebot nach. D.h. man möchte den Aktionären von B einen attraktiven Preis für Ihre Anteile anbieten. Die Übernahme könnte allerdings scheitern. Die Gründe hierfür können vielfältig und entweder mittels einem logischen UND oder einem logischen ODER verknüpft sein. 80

82 Beispiel I: Eventuell führt der Kauf nicht zu der erhofften Stimmenmehrheit. I.I: Die Satzung von AG B sieht eine Stimmrechtsbeschränkung vor und bei der nächsten Hauptversammlung kommt es nicht zu der erhofften Abschaffung dieser Klausel. I.II: Es kommt keine Kapitalmehrheit für AG A zustande. II: Die Übernahme könnte untersagt werden. II.I: Das Kartellamt verbietet den Zusammenschluss. II.II: Der Bundeswirtschaftsminister erteilt keine Sondererlaubnis für die Übernahme. 81

83 Ursachenbaum für das mögliche Scheitern der Übernahme. 82

84 Beispiel Wie hoch ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass die Übernahme scheitert? Scheitern bedeutet hierbei I ODER II. Die Wahrscheinlichkeit lässt sich mit Hilfe der Additionsregel berechnen: P(I II) = P(I)+P(II) P(I II). Annahme: Das Kartellamt und der Minister werden sich nicht von der Stimmenmehrheit abhängig machen, d.h. es gilt P(I II) = P(I) P(II). 83

85 Beispiel Ereignis I kommt entweder durch I.I ODER I.II zustande, d.h. P(I) = P(I.I I.II) = P(I.I)+P(I.II) P(I.I I.II) = P(I.I I.II)+P(I.II). Die Hauptversammlung wird im Falle einer Kapitalmehrheit die Stimmrechtsbeschränkung mit einer Wahrscheinlichkeit von 75% abschaffen, d.h. es giltp(i.i I.II) = Daraus folgt nun P(I.I I.II) = P(I.II) P(I.I I.II) = {1 P(I.II)}

86 Beispiel Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis I beträgt also P(I) = P(I.II). Das Übernahmeverbot wiederum entsteht nur, wenn sich II.I UND II.II ereignen, d.h. P(II) = P(II.I II.II) = P(II.I) P(II.II II.I). Die Erfahrung zeigt, dass der Bundeswirtschaftsminister praktisch keine Sondererlaubnis erteilt, falls das Kartellamt die Übernahme verweigert, d.h. es gilt P(II.II II.I) = 1. 85

87 Beispiel Die Wahrscheinlichkeit, dass die Übernahme scheitert, beträgt also P(I II) = P(I)+P(II) P(I) P(II) = P(I)(1 P(II))+P(II) = ( P(I.II))(1 P(II.I))+P(II.I). Man beachte, dassp(i.ii) eine Größe ist, welche die AG A selbst steuern kann, nämlich durch ihr Übernahmeangebot. Hingegen ist P(II.I) vom Kartellamt gegeben und kann nicht von AG A beeinflusst werden. 86

88 2.6.3 Einflussdiagramm Einflussdiagramme (Howard und Matheson, 1984) dienen der Problemstrukturierung und werden daher in der frühen Phase eines Entscheidungsproblems eingesetzt. Die Alternativenmenge wird hierbei durch ein Viereck symbolisiert. Die Ereignismenge wird durch ein Oval dargestellt. Eine Zielgröße wird durch eine Raute oder ein Sechseck symbolisiert. 87

89 Komponenten eines Einflussdiagramms. 88

90 Beispiel Ein Zulieferer der Automobilindustrie hat ein neues Produkt entwickelt. Er möchte wissen, wie groß seine Produktionskapazität sein soll. Der Preis und die Produktionskosten stehen bereits fest. In Abhängigkeit vom Absatz auf einem lokalen Testmarkt schätzt er die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Absatzmenge im gesamten Bundesgebiet. Er trifft seine Kapazitätsentscheidung anhand dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung. Einzige Zielgröße ist der Gewinn. 89

91 Einflussdiagramm am Beispiel des Zulieferers. 90

92 Beurteilung möglicher Standorte für eine Atommülldeponie (Teil I). 91

93 Beurteilung möglicher Standorte für eine Atommülldeponie (Teil II). 92

94 2.7 Problemdarstellung Entscheidungsmatrix Im Folgenden bezeichnena 1,...,a m A gegebene Alternativen unds 1,...,s n S mögliche Zustände. Es wird angenommen, dass mit jeder Alternativea i und Zustand s j genau eine Konsequenzx ij verbunden ist. Die Entscheidungsmatrix beinhaltet die Konsequenzenx ij als auch die Zustandswahrscheinlichkeitenp j (j = 1,...,n). Entscheidungsmatrizen werden zur Darstellung einfacher Entscheidungen (d.h. Alternativen) verwendet. 93

95 s 1 (p 1 ) s 2 (p 2 ) s n (p n ) a 1 x 11 x 12 x 1n a 2 x 21 x 22 x 2n... a m x m1 x m2 x mn Das Schema einer Entscheidungsmatrix.. 94

96 Beispiel Ein Verleger steht vor der Frage, wie hoch die Auflage eines Buches sein soll. Als Alternativen betrachtet er Auflagen in Höhe von a {5000,7000,9000}. Der Verleger geht vons {4000,5000,...,9000} verkauften Büchern aus. Er verfolgt lediglich das Ziel der Gewinnmaximierung. Der Verkaufspreis beträgt 15, die fixen Kosten betragen und die Produktionskosten je Buch betragen

97 Beispiel Das dazugehörige Wirkungsmodell lautet also G(A) = 15min{a,s} 10a Entscheidungsmatrix mit den subjektiven Wahrscheinlichkeiten. 96

98 2.7.2 Entscheidungsbaum Ein Entscheidungsbaum besteht aus folgenden Symbolen: 1. Alternativenmengen werden durch Vierecke (sog. Entscheidungsknoten), 2. Ereignismengen durch Kreise (sog. Ereignisknoten) und 3. Konsequenzen durch Dreiecke dargestellt. Von jedem Knoten gehen Linien aus, die zu weiteren Entscheidungs- oder Ereignisknoten führen können. Entscheidungsbäume werden zur Darstellung sequentieller Entscheidungen (d.h. Strategien) verwendet. 97

99 Beispiel Ein Unternehmen steht vor der Frage, ob eine Produktentwicklung fortgesetzt oder abgebrochen werden soll. Die Wahrscheinlichkeit einer erfolgreichen Entwicklung (d.h. das Produkt geht in Serie) beträgt 30%. In diesem Fall müsste man entscheiden, ob man eine kleine oder große Produktionskapazität wählt. Die Wahrscheinlichkeit einer großen Nachfrage beträgt 60%. 98

100 Entscheidungsbaum für die Produktentwicklung. 99

101 Eine Strategie besteht aus einer vorgegebenen Abfolge von Entscheidungen als Reaktion auf jeden möglichen Umweltzustand bzw. jede vorher getroffene Entscheidung. Es handelt sich damit also um eine bestimmte Kombination von verfügbaren Alternativen. Ein Szenario besteht dementsprechend aus einer vorgegebenen Kombination von Zuständen. Szenarien können damit wie bereits erwähnt als Strategien der Umwelt interpretiert werden. Aus dem Zusammentreffen von Strategie und Szenario ergibt sich eine eindeutige Konsequenz. 100

102 Strategie in einem Entscheidungsbaum. 101

103 Szenario in einem Entscheidungsbaum. 102

104 Strategie und Szenario in einem Entscheidungsbaum. 103

105 Jede Entscheidungsmatrix kann unmittelbar in Form eines Entscheidungsbaums dargestellt werden. Umgekehrt kann auch jeder Entscheidungsbaum in einer Entscheidungsmatrix abgebildet werden. Zu diesem Zweck berechnet man zu jeder Strategie/Szenario-Kombination die entsprechende Konsequenz. Anhand der im Entscheidungsbaum dargestellten bedingten Wahrscheinlichkeiten lassen sich die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Zustände in der Entscheidungsmatrix ermitteln. Allerdings ist die Transformation der Wahrscheinlichkeiten vom Entscheidungsbaum in die Entscheidungsmatrix im Allgemeinen nicht eindeutig! 104

106 Einfacher Entscheidungsbaum mit möglichen Konsequenzen. 105

107 s 1 (0.2) s 2 (0.1) s 3 (0.6) s 4 (0.1) a b Eine dazugehörige Entscheidungsmatrix. s 1 (0.1) s 2 (0.2) s 3 (0.7) s 4 (0.0) a b Eine andere dazugehörige Entscheidungsmatrix. 106

108 s 1 (0.3) s 2 (0.0) s 3 (0.5) s 4 (0.2) a b Ebenso ist auch diese Entscheidungsmatrix gültig. In der letzten Entscheidungsmatrix stellt Zustand 2 ein unmögliches Ereignis dar und kann damit gestrichen werden. Damit ist Alternative b dominant gegenüber Alternative a. Alternative b ist also unabhängig von der Risikopräferenz des Entscheiders gegenüber a vorzuziehen. 107

109 Fazit Entscheidungsprobleme werden entweder in Form von Matrizen oder Bäumen dargestellt: Einfache Entscheidungen werden anhand einer Entscheidungsmatrix dargestellt, während sequentielle Entscheidungen mit Hilfe von Entscheidungsbäumen veranschaulicht werden. Prinzipiell kann jeder Entscheidungsbaum in eine Entscheidungsmatrix übersetzt werden und umgekehrt. Die Transformation vom Entscheidungsbaum in die Entscheidungsmatrix ist jedoch i.d.r. nicht eindeutig und man verliert die sequentielle Struktur des Entscheidungsproblems! 108

110 3 Entscheidungen unter Ungewissheit 3.1 Maximin-Regel Man wählt jene Alternative, die im schlechtesten Fall den größten Nutzen aufweist. Man bildet also das Maximum aller Minima, kurz: Maximin. Falls die Entscheidung nicht eindeutig ist, orientiert man sich am zweitschlechtesten Fall, etc. (Leximin-Regel). Dies ist eine sehr pessimistische Entscheidungsregel, da man immer vom schlimmsten Fall ausgeht. 109

111 Beispiel Zinsen steigen Zinsen stagnieren Zinsen fallen Aktien Anleihen Geldmarkt Investment-Alternativen und deren Konsequenzen. 110

112 Beispiel: Anwendung der Maximin-Regel Zinsen Zinsen Zinsen Minimum Aktien Anleihen Geldmarkt Beste Alternative nach der Maximin-Regel. 111

113 3.2 Regel des kleinsten Bedauerns Zunächst berechnet man die Opportunitätskosten aller verfügbaren Entscheidungen bezogen auf den ersten möglichen Zustand. Das Gleiche macht man bezogen auf den zweiten möglichen Zustand, etc., bis alle Opportunitätskosten feststehen. Anschließend wählt man jene Alternative, die im schlimmsten Fall die geringsten Opportunitätskosten aufweist. Die Regel des kleinsten Bedauerns wird daher auch als Minimax-Regret bezeichnet. Sie ist nicht so pessimistisch wie die Maximin-Regel. 112

114 Beispiel: Anwendung der Minimax-Regret-Regel Zinsen Zinsen Zinsen Aktien Anleihen Geldmarkt Die besten Konsequenzen eines jeden Zustandes. 113

115 Beispiel: Anwendung der Minimax-Regret-Regel Zinsen Zinsen Zinsen Maximum Aktien 3 ( 4) = Anleihen Geldmarkt Opportunitätskosten und Minimax-Regret. 114

116 3.3 Laplace-Regel Die Laplace-Regel wird auch als Regel des unzureichenden Grundes bezeichnet. Solange man gar keinen Anhaltspunkt ( Grund ) hat, geht man von einer Gleichverteilung aller möglichen Zustände aus. Angenommen es existieren n mögliche Zustände. Einer Alternativen wird dann der arithmetische Mittelwert n x = 1 n j=1 x j zugeordnet, wobeix j die Handlungskonsequenz im Zustandj ist. Man nimmt dann die Alternative mit dem größten Mittelwert. 115

117 Beispiel: Anwendung der Laplace-Regel Zinsen Zinsen Zinsen x Aktien /3 = 4 Anleihen /3 = 2. 6 Geldmarkt /3 = 2 Beste Alternative nach der Laplace-Regel. 116

118 4 Entscheidungen unter Risiko Im Folgenden wird eine Entscheidung a A als Zufallsvariable X im Sinne der Wahrscheinlichkeitsrechnung aufgefasst. Wir gehen hierbei von einem durch den Entscheider festgelegten Wahrscheinlichkeitsraum(Ω, A, P) aus. Eine Entscheidung ist somit eine AbbildungX: Ω R. Die Realisation X(ω) spiegelt gerade die Konsequenz der Entscheidung X wider, falls das Ergebnis ω Ω eintritt. Eine Realisation, sprich: Konsequenz der Entscheidung X, wird mitx R symbolisiert. 117

119 Der Einfachheit halber sei Ω eine endliche Ergebnismenge bestehend ausn N Elementen. Ein Ergebnis ω Ω entspricht hierbei einem bestimmten Zustand oder Szenario. Jede Entscheidung beinhaltet damit ein Tupel(x 1,...,x n ) möglicher Konsequenzen. Die dazugehörigen Wahrscheinlichkeitenp 1,...,p n folgen aus dem (subjektiven) Wahrscheinlichkeitsmaß P. Entscheidungen mit einer endlichen Anzahl von Ergebnissen können bequem in einer Entscheidungsmatrix oder einem Entscheidungsbaum abgebildet werden. 118

120 4.1 Das Sankt-Petersburg-Paradoxon Eine naheliegende Möglichkeit besteht darin, der Alternative a ihren Erwartungswert E(X) = n j=1 p j x j beizumessen. D.h. eine Alternativea 1 würde genau dann gegenüber einer Alternativena 2 vorgezogen werden, wenne(x 1 ) > E(X 2 ). Daniel Bernoulli hat bereits im 18. Jahrhundert gezeigt, dass der Erwartungswert nicht immer ein zufriedenstellendes Kriterium ist. 119

121 Beim St. Petersburger Spiel wird eine Münze mit den möglichen Ausprägungen Kopf (K) oder Zahl (Z) geworfen. Erscheint beim ersten Wurf Z, so gewinnt man 2 und das Spiel ist bereits vorbei. Andernfalls wird die Münze ein weiteres Mal geworfen. Erscheint beim nächsten Wurf Z, so erhält man 4 und das Spiel ist beendet. Ansonsten geht es so lange weiter, bis schließlich beim n-ten Wurf Z erscheint. Auf diese Weise gewinnt man am Ende2 n. 120

122 Das St. Petersburger Spiel. 121

123 Der Erwartungswert des Spiels nach n Schritten beträgt also n ( ) i 1 n ( ) i 2 n 2 i = = 1 = n. 2 2 i=1 i=1 Das Problem ist nun, dass sich der Erwartungswert des gesamten i=1 Spiels nicht berechnen lässt, da die Folge{n} divergent ist. Eine naive (und insbesondere falsche!) Interpretation des Erwartungswerts in diesem Kontext wäre lim n n i=1 ( 1 2 ) i 2 i =. Man könnte dann z.b. meinen, dass der Entscheider bereit sei, unendlich viel Geld auszugeben, um am Spiel teilzunehmen. 122

124 Diesen Effekt wird man im wirklichen Leben jedoch kaum beobachten. Es handelt sich hierbei um das Sankt-Petersburg-Paradoxon. Die im Erwartungswert enthaltene Risikopräferenz spiegelt also nicht das intuitive Entscheidungsverhalten von Menschen wider. Gibt es eine andere Entscheidungsregel, welche die individuelle Risikopräferenz des Entscheiders realitätsnah in den Kalkül einbezieht? Unter realitätsnah versteht man hierbei die Tatsache, dass der Entscheider üblicherweise nicht bereit ist, unendlich viel Geld für das St. Petersburger Spiel auszugeben. 123

125 4.2 Der Erwartungsnutzen Die im Folgenden dargestellte Erwartungsnutzentheorie wurde 1944 von John von Neumann und Oskar Morgenstern begründet. Es handelt sich um einen axiomatischen Ansatz. Das bedeutet, man legt eine Menge von Regeln fest und leitet daraus einen geeigneten Kalkül ab. Die besagten Regeln werden hierbei als Postulate rationalen Verhaltens interpretiert. Es handelt sich dabei im Wesentlichen um die bereits erwähnten Kriterien einer rationalen Entscheidung. 124

126 Die Risikopräferenz des Entscheidungsträgers muss demnach die folgenden vier Eigenschaften erfüllen: 1. Vollständigkeit, 2. Transitivität, 3. Konvexität und 4. Unabhängigkeit. Sind diese Eigenschaften erfüllt, so existiert eine Nutzenfunktion u: R R, deren Erwartungswert die Risikopräferenz des Entscheiders adäquat abbildet. Beim axiomatischen Ansatz muss der Begriff des Nutzens nicht ontologisch bestimmt werden ( Was ist Nutzen? ). 125

127 4.2.1 Das Vollständigkeits- und Transitivitätsaxiom Es wird eine vollständige und transitive Ordnung der Alternativen vorausgesetzt, d.h. für jedes Paara 1,a 2 A von Lotterien gilt entwedera 1 a 2 odera 1 a 2 und für alle Lotteriena 1,a 2,a 3 A folgt ausa 1 a 2 unda 2 a 3 zwangsläufiga 1 a 3. Man sagt der Entscheider ist indifferent hinsichtlich der Lotterien a 1 unda 2, falls sowohla 1 a 2 als aucha 1 a 2. In diesem Fall schreibt mana 1 a 2 und die beiden Lotterien werden als gleichwertig oder äquivalent bezeichnet. 126

128 4.2.2 Das Konvexitätsaxiom Angenommen Alternativea 1 wird mit Wahrscheinlichkeitp gewählt (0 p 1), ansonsten entscheidet man sich füra 3. Solch eine zufällig generierte Entscheidung stellt ebenfalls eine Lotterie dar. Man spricht hierbei von einer zusammengesetzten Lotterie und schreibtpa 1 +(1 p)a 3. Axiom: Für alle Lotteriena 1,a 2,a 3 A mita 1 a 2 a 3 existiert eine Wahrscheinlichkeit0 p 1, so dass a 2 pa 1 +(1 p)a

129 4.2.3 Das Unabhängigkeitsaxiom Für alle Lotteriena 1,a 2,a 3 A mita 1 a 2 und alle Wahrscheinlichkeiten0 p 1 gilt pa 1 +(1 p)a 3 pa 2 +(1 p)a 3. D.h. die Präferenz vona 1 gegenübera 2 wird durch die Beimischung einer dritten Lotteriea 3 nicht verändert. 128

130 Beispiel Ein Entscheider bevorzuge die Lotteriea 1 mit X 1 = gegenüber der Lotteriea 2 mit X 2 = 100, q = 0.5, 0, 1 q = 0.5, 60, q = 0.7, 10, 1 q = 0.3. Gegeben sei außerdem eine Lotteriea 3 mit dem sicheren Gewinn x 3 =

131 Dann muss der Entscheider für alle0 p 1 die Lotterie gegenüber der Lotterie pa 1 +(1 p)a 3 pa 2 +(1 p)a 3 präferieren. Die zusammengesetzten Lotterien setzen sich in diesem Beispiel also aus einer riskanten und einer risikolosen Lotterie zusammen. 130

132 Das Unabhängigkeitsaxiom (Teil I). 131

133 Das Unabhängigkeitsaxiom (Teil II). 132

134 Das Unabhängigkeitsaxiom (Teil III). 133

135 Falls der Entscheider indifferent hinsichtlicha 1 unda 2 ist, folgt aus dem Unabhängigkeitsaxiom insbesondere pa 1 +(1 p)a 3 pa 2 +(1 p)a 3. In diesem Fall kanna 1 in einer zusammengesetzten Lotterie durcha 2 ausgetauscht werden, ohne dass sich die Rangordnung unter allen gegebenen Lotterien ändert. Das Unabhängigkeitsaxiom wird deswegen oft auch als Substitutionsaxiom bezeichnet. 134

136 Das Unabhängigkeitsaxiom am Beispiel einer Substitution. 135

137 Das Allais-Paradoxon Welche Lotterie würden Sie bevorzugen? 136

138 Das Allais-Paradoxon Welche Lotterie würden Sie nun bevorzugen? 137

139 Das Allais-Paradoxon beschreibt Situationen, in denen das Unabhängigkeitsaxiom verletzt ist. Es handelt sich dabei um eine verzerrte Wahrnehmung von Wahrscheinlichkeiten. Grund: Viele Menschen nehmen Wahrscheinlichkeiten nicht absolut sondern relativ wahr. Dieser Effekt wird durch die Postulate rationalen Verhaltens nicht abgebildet. Das Allais-Paradoxon wird im Rahmen der deskriptiven Entscheidungstheorie zur Erklärung irrationalen Verhaltens herangezogen. 138

140 4.2.4 Herleitung der Nutzenfunktion Gegebene Lotterie. 139

141 Anwendung des Konvexitäts- und Substitutionsaxioms. 140

142 Reduktion auf eine einfache Lotterie. 141

143 Jede andere zusammengesetzte Lotterie kann auf die gleiche Art und Weise in eine äquivalente einfache Lotterie überführt werden. Der Erwartungsnutzen einer Lotterie ergibt sich also gemäß n p j q ij = n p j u(x ij ) = E{u(X i )} = EU(a i ). j=1 j=1 Man entscheidet sich für jene Lotterie, bei der die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten vonx max am größten ist. Die letzte Aussage folgt aus dem Dominanzprinzip. 142

144 Beispiel Alternativeavs.b. 143

145 Beispiel Alternative a dominiert über b. 144

146 Man kommt also zu der folgenden Erkenntnis: Eine Lotteriea 1 wird genau dann einer Lotteriea 2 vorgezogen, wenn EU(a 1 ) = n p j u(x 1j ) > n p j u(x 2j ) = EU(a 2 ). j=1 j=1 Etwas allgemeiner kann man den Erwartungsnutzen einer Entscheidung mittels E{u(X)} = u(x)df(x) berechnen, wobei F die Verteilungsfunktion von X ist. 145

147 Nutzenfunktionen sind nur bis auf affin-lineare Transformationen definiert, d.h. jede andere Nutzenfunktion v(x) = α+βu(x), mitα R undβ > 0 bringt die gegebenen Alternativen in dieselbe Rangordnung, denn E{v(X)} = E{α+βu(X)} = α+βe{u(x)}. Die betrachtete Zielgröße der Handlungskonsequenz muss lediglich auf einer Ordinalskala meßbar sein. Damit lässt sich der Erwartungsnutzenkalkül auf ein großes Spektrum praktischer Entscheidungsprobleme anwenden. 146

148 4.3 Die Einstellung zum Risiko Sicherheitsäquivalent Sei a eine Lotterie mit dem Erwartungsnutzen EU(a) = E{u(X)} = n j=1 p j u(x j ). Ferner seix R der Gewinn einer risikolosen Lotterie, so dass u(x) = E{u(X)}. Der Wert x wird als Sicherheitsäquivalent von X bezeichnet. 147

149 Das Sicherheitsäquivalent kann anhand von x = u 1[ E{u(X)} ] ermittelt werden, sofern u invertierbar ( umkehrbar ) ist Die drei Risikotypen Jensensche Ungleichung: Sei X eine Zufallsvariable und f( ) eine konkave Funktion. Dann gilt Istf( ) hingegen konvex, so gilt E{f(X)} < f{e(x)}. E{f(X)} > f{e(x)}. 148

150 Ist die Nutzenfunktionualso konkav, so erhält man E{u(X)} < u{e(x)} und damit x = u 1[ E{u(X)} ] < E(X). D.h. der Entscheidungsträger bewertet die Lotterie a, indem er vom Erwartungswert E(X) eine Risikoprämie RP(X) > 0 subtrahiert: x = E(X) RP(X). Falls die Nutzenfunktionukonvex ist, giltrp(x) <