Theoretikum zur Vorlesung Theoretische Physik II für Lehramtskandidaten

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Nadja Schmitz
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1 Dr. J. Reinhardt Sommersemester 214 Theoretikum zur Vorlesung Theoretische Phsik II für Lehramtskandidaten Lösungen zu latt 1 Aufgae 1 a) Das Magnetfeld zeigt in die Papiereene und wächst an. Daher wird nach der Lenzschen Regel ein Strom entgegen dem Uhrzeigersinn induziert, denn dessen Magnetfeld (Rechte- Hand-Regel) zeigt im Inneren der Schleife aus der Papiereene heraus. ) Die Magnetfeldlinien verlaufen aus Smmetriegründen in der Papiereene. Daher ist der magnetische Fluss durch die Leiterschleife gleich Null und ändert sich auch nicht. Es wird kein Strom induziert. c) Das von der Schleife üerdeckte aus der Papiereene herauszeigende Magnetfeld verringert sich durch die ewegung. Nach der Lenzschen Regel wird ein Strom induziert, dessen Magnetfeld dieser Aschwächung entgegenwirkt, also aus der Papiereene herauszeigt: Stromfluss entgegen dem Uhrzeigersinn. d) Der magnetische Fluss zeigt in die Papiereene und wird kleiner. Also muss der Induktionsstrom ein Feld erzeugen, dass in die Papiereene zeigt: Stromfluss im Uhrzeigersinn. e) Der Magnetfluss ist anfänglich Null und wächst dann infolge der Drehung an, woei er nach links zeigt. Folglich muss das vom Induktionsstrom erzeugte Magnetfeld im Inneren der Schleife eine nach rechts zeigende Komponente aufweisen: Stromfluss entgegen dem Uhrzeigersinn. ezogen auf den Draht wird sich die Stromrichtung nach einer halen Umdrehung umkehren (Wechselstromgenerator). Aufgae 2 Um die induzierte Spannung zu erechnen, denken wir uns das Drahtstück zu einer rechtwinkligen Leiterschleife ergänzt, deren oere Querseite durch das ewegliche Drahtstück geildet wird. Die Seitenlängen sind = a und z = vt, was die ewegung zum Ausdruck ringt. Dieses Rechteck wird von dem Magnetfeld des unendlich langen Drahts durchflossen, das ekanntlich (vgl. Aufgae 1 von latt 8) den Wert (ρ) = µ I ρ e ϕ esitzt. v U z 1

2 Für die gewählte Geometrie (siehe Aildung) ist ρ = und e ϕ = e. Für die Orientierung der Stromschleife wählen wir die mathematisch positive Richtung (entgegen dem Uhrzeigersinn) sodass die Flächennormale aus der Papiereene zeigt, n = e. Damit ergit sich für den magnetischen Fluß durch das Rechteck F C Φ(t) = F C df n = µ I vt d a d 1 = µ I vt a+ d 1 = µ I vt ln a+ Infolge der ewegung des oeren Drahtstücks wächst die Fläche und damit der Magnetfluss mit der Zeit an. Gemäß dem Induktionsgesetz wird dann folgende elektrische Spannung induziert: U ind = dφ dt = µ Iv ln a+. Die induzierte elektrische Spannung hängt mit der induzierten Feldstärke gemäß U ind = d r E zusammen. Nur das oere Drahtstück trägt ei. Dort ist d r = dr e. Weil das oen erechnete U ind negativ ist, muss dann die elektrische Feldstärke E in Richtung + e zeigen, also zum stromführenden Leiter hin(wenn die ewegung in Richtung des Stroms I erfolgt, v > ). Das zugehörige elektrische Potential auf dem kurzen Draht ist also außen positiv und innen negativ. Da sich ei solchen Üerlegungen leicht Vorzeichenfehler einschleichen, empfiehlt sich eine unahängige Üerprüfung der Richtung der induzierten elektrischen Feldstärke. Dazu kann das Lorentz-Kraftgesetz F = q v dienen. Eine Proeladung q, die sich mit dem Drahtstück mitewegt, erfährt die (ortsahängige) Kraft F = qv e z ( e ) = qv e, was mit F = q E einer zum Draht hin zeigenden Feldstärke E entspricht. Aufgae 3 Zu lösen ist die Newtonsche ewegungsgleichung für ein Teilchen, dass sich unter dem Einfluss der Lorentz-Kraft ewegt: m r = q( E + r ) = q(e e +ẋ e e z +ẏ e e z ) = q(e e ẋ e +ẏ e ). Komponentenweise ausgeschrieen ergit sich das Sstem von Differentialgleichungen mẍ = qẏ, mÿ = q(e ẋ), m z =. Da in z-richtung keine Kraft wirkt, folgt mit der gegeenen Anfangsedingung z() = ż() = für alle Zeiten z(t) =, d.h. die ewegung erfolgt in der --Eene. a) Ohne Magnetfeld liegt eine gleichförmig eschleunigte ewegung in -Richtung vor. Das Prolem ist äquivalent zur Wurfewegung im Schwerefeld der Erde, woei qe der Schwerkraft mg entspricht. Als Lösung ergit sich eine Wurfparael: (t) = v t, (t) = 1 qe 2 m t2, woei die Anfangsedingungen () = () =, ẋ() = v, ẏ() = enutzt wurden. 2.

3 ) Die Differentialgleichungen für die ewegung im reinen Magnetfeld mẍ = qẏ, mÿ = qẋ lassen sich elementar lösen. Dazu integrieren wir zunächst die zweite Gleichung, mit dem Resultat mẏ = q+c = q woei die Integrationskonstante C wegen der Anfangsedingung Null ist. Durch Einsetzen dieses Ausdrucks für ẏ lässt sich in die erste Differentialgleichung entkoppeln: ẍ+ q2 2 m 2 =. Dies ist die Differentialgleichung eines harmonischen Oszillators mit der Kreisfrequenz ω = q m. Dieser Wert wird als Zklotronfrequenz ezeichnet. Die allgemeine Lösung der Oszillatorgleichung ist ekanntlich (t) = acos(ωt)+sin(ωt). Aus den Anfangsedingungen () = a = und ẋ() = ω = v folgt (t) = v ω sin(ωt) = v m q sin(ωt). Die ewegung in -Richtung folgt durch Integration von mẏ = q, mit dem Resultat (t) = v m q (cos(ωt) 1). Die eiden um 9 phasenverschoenen Schwingungen eschreien eine Kreisewegung mit dem Zkotronradius(andere ezeichnung: Larmor-Radius ) E r = v m q, r woei der Kreismittelpunkt um r in negativer -Richtung verschoen ist: 2 +( +r ) 2 = r 2. Die allgemeine (ż ) ewegung geladener Teilchen im konstanten Magnetfeld erfolgt auf Spiralahnen, die um die Feldlinien gewickelt sind. Zusatzaufgae: Im Fall gemischter E- und -Felder ist das gekoppelte Differentialgleichungssstem mẍ = qẏ, mÿ = q(e ẋ), 3

4 etwas schwieriger zu lösen. Zunächsteinmalerkenntmanleicht,dasseineuneschleunigteewegung(t) = v t, (t) = ei einem ganz estimmten konstanten Wert der Geschwindigkeit ẋ = v möglich ist: Sie muss mit dem Verhältnis von elektrischer und magnetischer Feldstärke üereinstimmen: v = E. In diesem Fall heen sich der elektrische und der magnetische Anteil der Lorentzkraft genau auf! Zur estimmung der Lösung für elieige v integrieren wir zunächst wieder die Differentialgleichung für : mẏ = qet q+c 1 = qet q woei der Wert der Integrationskonstanten c 1 = aus den Anfangsedingungen () = und ẏ() = folgt. Analog zum Vorgehen in ) führt das Einsetzen dieses Werts in die Differentialgleichung für auf ẍ+ω 2 = q2 E m 2 t. Die allgemeine Lösung dieser inhomogenen Oszillatorgleichung setzt sich aus der allgemeinen Lösung des homogenen Prolems und einer speziellen Lösung des inhomogenen Prolems zusammen. Eine spezielle Lösung lässt sich sofort erraten, nämlich die uneschleunigte ewegung inh = 1 ω 2 q 2 E m 2 t = E t. Die allgemeine Lösung lautet dann (t) = acos(ωt)+sin(ωt)+ E t. Aus den Anfangsedingungen () = und ẋ() = v findet man für die Integrationskonstanten a = und = 1 ( v E ). Das Resultat für die -ewegung lautet somit ω (t) = 1 ω ( v E ) sin(ωt)+ E t. Zur estimmung von (t) kann die oen ageleitete Differentialgleichung für ẏ integriert werden: m = 1 2 qet2 q dt(t)+c 2 = 1 2 qet2 q [ 1 ( v ω 2 E ) cos(ωt)+ 1 E ] 2 t2 +c 2. Die t 2 -Terme heen sich gegenseitig weg. Aus der Anfangsedingung () = folgt c 2 = q (v ω 2 E ) was zum Resultat (t) = m ( v E ) (cos(ωt) 1) q 4

5 führt. ei den Gleichungen für (t) und (t) handelt es sich mathematisch etrachtet um die Parameterdarstellung einer Zkloide (mit der Zeit als Parameter). ei kleinen Geschwindigkeiten, v < E/, gewinnt zunächst die elektrische Kraft und das Teilchen wird nach oen agelenkt. Die magnetische Kraft führt dann aer zu einer seitlichen Alenkung und anstatt der Wurfparael weiter zu folgen, krümmt sich die Teilchenahn nach Erreichen einer maimalen Höhe ma = 2m q ( E v ) wieder zurück is zum ursprünglichen Wert =. Danach wiederholt sich die ewegung periodisch. Für große Geschwindigkeiten, v > E/, ergit sich eine ähnliche ewegung, aer in die negative -Richtung. Üerschreitet die Anfangsgeschwindigkeit den Wert v > 2E/ dann wird ẋ(t) zeitweilig negativ und die ewegung verläuft schleifenförmig. Die Aildung zeigt vier Trajektorien für verschiedene Anfangsgeschwindigkeiten, ausgedrückt durch das Verhältnis E/: v =.5E/, 1E/, 1.5E/ und 2.5E/ (von oen nach unten). Anmerkung: Die diskutierte Anordnung aus gekreuzten E- und -Feldern hat eine interessante technische Anwendung. Sie kann dazu enutzt werden, aus einem Strahl gleichartiger aer verschieden schneller geladener Teilchen den Anteil mit einer vorgegeenen gewünschten Geschwindigkeit v herauszufiltern. Dazu wird der Strahl durch eine lende in ein Geiet mit gekreuzten E- und -Feldern geschickt. Die Teilchen mit der Geschwindigkeit v = E ewegen sich gradlinig und verlassen die Apparatur durch eine Austrittslende am anderen Ende. Alle anderen Teilchen werden nach oen oder unten agelenkt und enden auf den Kondensatorplatten. Eine solche Anordnung heisst Wien-Filter (nach Wilhelm Wien) und wird in eschleunigeranlagen und Massenspektrometern eingesetzt. Ein Wien-Filter 5

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