Ganzzahlige OR-Methoden: Operations Research II a. Übungsblatt 1

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1 Operations Research und Wirtschaftsinformatik Prof. Dr. P. Recht // Dr. Eva-Maria Sprengel Ganzzahlige OR-Methoden: Operations Research II a Übungsblatt 1 Aufgabe 1 a) Erläutern Sie bitte die allgemeine Aufgabenstellung eines ganzzahligen Optimierungsproblems. b) In der Veranstaltung Einführung in das Operations Research haben Sie verschiedene Typen von Optimierungsproblemen kennengelernt. Geben Sie bitte einige Beispiele an, in denen die Ganzzahligkeit von Entscheidungsvariablen eine Rolle spielte. c) Welche Gründe führen dazu, dass die Lösungsstrategie : Lösen des Problems ohne Beachtung der Ganzzahligkeit und Runden der gefundenen Lösung, nicht angewendet werden kann? - Illustrieren Sie die Antwort anhand eines Beispiels. d) Geben Sie bitte jeweils ein Beispiel für ein (i) reellwertiges, (ii) ganzzahliges, (iii) kombinatorisches bzw. (iv) binäres Entscheidungsproblem an. (4 Punkte) Lösungsvorschlag: a) Ein Optimierungsproblem der Form min f(x 1,...,x n ) = f(x) u.d.n. x S R n heißt ganzzahliges Optimierungsproblem, falls für alle zulässigen Lösungen x 1,...,x n Z gilt. Wenn also die Variablen eines Optimierungsproblems einer Ganzzahligkeitsbedingung unterliegen, spricht man von einem ganzzahligen Optimierungsproblem. b) Beispiele aus OR I mit Ganzzahligkeit von Entscheidungsvariablen: Zuordnungsproblem, Transportproblem, TSP, Rucksackproblem c) (i) Die gerundete Lösung ist evtl. nicht zulässig. Beispiel: x = (2.4,2.2,5.4) unter der Nebenbedingung x 1 + x 2 + x 3 = 10. Keine herkömmliche Rundungsregel führt zu einer zulässigen ganzzahligen Lösung.

2 Zudem ist es ebenfalls möglich, dass die gerundete Lösung zwar zulässig, aber nicht optimal ist. Beispiel: max x 1 + 5x 2 udn 2x x 2 40 x 1 2 x 1,x 2 N 0 Die Optimallösung des relaxierten Problems ist x rel = (2, 9 5 ) mit ZFW 11. Wird diese Lösung gerundet, erhält man entweder x 1 ger = (2,2), welche eine unzulässige Lösung ist, oder x 2 ger = (2,1) mit einem ZFW von 7. Die optimale Lösung ist allerdings x opt = (0,2) mit einem ZFW von 10. (ii) Die nächste ganzzahlige Lösung ist nicht optimal. (Siehe Beispiel 1.1 der Vorlesung.) d) Beispiele für (i) reellwertige Optimierungsprobleme: Die meisten in OR I betrachteten Modelle setzen voraus, dass das betrachtete Optimierungsgut beliebig teilbar ist. Teilbarkeit liegt in den wenigsten Fällen tatsächlich vor. Beispiele für teilbare Güter sind: Sand, Mehl, Öl bzw. andere Flüssigkeiten. Entsprechende Entscheidungsfragen: Wie viele Tonnen Sand und Zement sollen bestellt werden? Wie viele Liter von Flüssigkeit A, B bzw. C sollen in die Mischung eingehen? Wie viele Kubikmeter Erde werden benötigt? (ii) ganzzahlige Optimierungsprobleme: Die entsprechenden Güter sind nicht teilbar - Angaben wie halbe Autos, 0.6 Bücher oder 1/4 Flasche ergeben keinen Sinn und sind nicht umsetzbar. Dementsprechend fallen alle Probleme, bei denen es um Geräte (Autos, Mixer, Bohrmaschinen, etc.) oder andere Gegenstände (Flaschen, Zeitungen, Bücher, oder auch Container, Paletten, usw.) geht, (eigentlich) in diese Klasse. Beispiel für eine mögliche Entscheidungsfrage: Wieviel Stück sollen produziert werden? (iii) kombinatorische Optimierungsprobleme: Von kombinatorischen Problemen wird gesprochen, wenn die Menge der zulässigen Punkte, also die Anzahl der möglichen Lösungen, endlich ist. Das Rucksackproblem beispielsweise ist ein kombinatorisches Optimierungsproblem. Entscheidungsfrage: Soll Gegenstand i eingepackt werden? (iv) binäre Optimierungsprobleme: Probleme, bei denen Ja/Nein Entscheidungen getroffen werden müssen, lassen sich durch binäre Variable modellieren. Klassisches Beispiel: TSP, Zuordnungsproblem. Entscheidungsfrage kann zum Beispiel sein: Soll von i nach j gefahren werden oder nicht? - Soll Produktionsart Y gewählt werden oder nicht?

3 Es sollte beachtet werden, dass oben beschriebene Problemklassen häufig nicht in reiner Form auftreten, sondern vermischt sein können. So treten in gemischt ganzzahligen Optimierungsproblemen sowohl x i Z als auch x j R auf. Auch die Einordnung von nur ganzzahlig oder binär oder kombinatorisch weicht einem oder und. Aufgabe 2 Ein chemischer Betrieb produziert zwei Erzeugnisse P 1 und P 2. Für die Herstellung einer Einheit von P 1 werden 0,5 Einheiten des Rohstoffes R 1 und 0,1 Einheiten des Rohstoffes R 2 benötigt. Um eine Einheit von P 2 zu produzieren wird nur R 2 (0,9 Einheiten) gebraucht, es entstehen allerdings 0,3 Einheiten R 1 als Nebenprodukt dieses Prozesses. Durch technische Einschränkungen ist es nur möglich, jeweils Mengen in Höhe von 0,10,20,30,... Einheiten zu produzieren. Die Rohstoffe sind mit 3 Einheiten R 1 und 63 Einheiten R 2 vorhanden. Durch die Produktion von P 1 entsteht ein Gewinn in Höhe von 2 Geldeinheiten pro Einheit, für P 2 beträgt der Gewinn 1 Geldeinheiten pro Einheit. a) Erstellen Sie unter obigen Bedingungen ein Modell zur Gewinnmaximierung. b) Lösen Sie das Problem graphisch. (5 Punkte) Lösungsvorschlag: a) Modell zur Gewinnmaximierung: Entscheidungsfrage: Wie viele Einheiten von P 1 und P 2 sollen hergestellt werden? Entscheidungsvariable: x i := produzierte Menge von P i in 10 Einheiten Dadurch, dass die Angabe der Entscheidungsvariablen in jeweils Vielfachen von 10 erfolgt, muss auch eine Transformation der Koeffizienten des Problems erfolgen! Zielfunktion: Entscheidungsschranken: 20x x 2 max! 5x 1 3x 2 3 x 1 + 9x 2 63 Nichtnegativität: Ganzzahligkeit: x 1,x 2 0 x 1,x 2 Z

4 b) Graphische Lösung: x 2 5x 1 3x 2 3 x 1 + 9x 2 63 x 1 20x x 2 Der schraffierte Bereich stellt den zulässigen Bereich ohne Berücksichtigung der Ganzzahligkeitsbedingung dar. Das darübergelegte Gitter gibt die ganzzahligen zulässigen Punkte an. Die verschobene Zielfunktion (fett gepunktet) nimmt den maximalen Wert im Punkt x = (4, 6) an. Das entspricht einer Produktion von 40 Einheiten P 1 und 60 Einheiten P 2 mit einem Gewinn von 140 Geldeinheiten. Der optimale Punkt des relaxierten Problems ist x r = (4.5,6.5). In diesem Fall hätte also Runden auf das richtige Ergebnis geführt. Im Allgemeinen ist das nicht so! (Siehe Beispiel aus der Vorlesung!) Aufgabe 3 Bei der Planung ihres Skiurlaubes stellt Dörte fest, dass sie nicht alle Sachen mitnehmen kann, da das Fassungsvermögen ihres Autos kleiner ist als vorher angenommen. Um zu entscheiden, welche Dinge mitgenommen werden sollen, erstellt sie sich eine Liste über das Gewicht der jeweiligen Gegenstände, den Nutzen, den sie sich von ihnen verspricht und die Anzahl mit der die Gegenstände vorhanden sind. Die Ladekapazität ihres Autos setzt sie mit 25 Gewichtseinheiten an.

5 Gegenstand Gewicht Nutzen Anzahl a) Erstellen Sie ein Optimierungsmodell, um herauszufinden, welche Gegenstände Dörte einpacken soll. b) Lassen Sie in dem Modell aus a) nun die Ganzzahligkeitsbedingung und die Mengenbeschränkung fallen und lösen das derart relaxierte Problem. c) Welche zusätzlichen Bedingungen müssen eingeführt werden, wenn Gegenstand 3 einen Ski darstellt, Gegenstand 5 einen passenden Skischuh und Gegenstand 4 ein Snowboard und Dörte entweder Ski oder Snowboard fahren möchte? d) Formen Sie das unter a) erstellte Modell in ein binäres Problem um. (6,5 Punkte) Lösungsvorschlag: Das vorgestellte Problem repräsentiert ein typisches Rucksackproblem: Eine begrenzte Kapazität soll Gewinn- bzw. Nutzenmaximal (optimal) gefüllt werden. Hier wird der Rucksack durch das Auto dargestellt, welches ein beschränktes Fassungsvermögen hat. Steht jeder Gegenstand nur einmal zur Verfügung, spricht man von einem binären Rucksackproblem. Sind die Gegenstände beliebig oft vorhanden, liegt ein unbeschränktes Rucksackproblem vor, und in dem konkreten Beispiel ist die Anzahl, in der die Gegenstände vorliegen jeweils beschränkt, daher wird es als beschränktes Rucksackproblem bezeichnet. a) Entscheidungsfrage: In welcher Anzahl soll Gegenstand i mitgenommen werden? Entscheidungsvariable: x i := einzupackende Anzahl von Gegenstand i,i = 1,...,5. Das Gewicht eines Gegenstandes i wird im folgenden mit g i und der Nutzen mit c i bezeichnet. Zielfunktion: Maximierung des Nutzens: 5 c i x i max! i=1 Entscheidungsschranken und Nebenbedingungen:

6 (i) Begrenzte Kapazität des Autos: 5 g i x i 25 i=1 (ii) Vorhandene Anzahl der Gegenstände: x 1 5 x 2 3. x 5 2 (iii) Nichtnegativität: (iv) Ganzzahligkeit: x i 0, i = 1,...,5 x i Z, i = 1,...,5 b) Wenn man das Problem als unbeschränktes Rucksackproblem ohne Ganzzahligkeitsbedingung aufstellt ergibt sich folgendes Modell: x i := einzupackende Anzahl von Gegenstand i,i = 1,...,5 5 c i x i max! i=1 5 g i x i 25 i=1 x i 0, i = 1,...,5 Das entsprechende duale Modell lautet: 25y min! unter den Nebenbedingungen: g 1 y c 1 g 2 y c 2. g 5 y c 5 y 0

7 Durch Einsetzen erhält man: 2y 3 y 1.5 5y 8 y 1.6 3y 4 y y 7 y y 3 y 1 Für y wird nun derjenige Wert gewählt, der alle Bedingungen erfüllt und die Zielfunktion minimiert: y = 1.6. Das ergibt einen Zielfunktionswert von 40. Mit Hilfe des Preistheorems aus OR I erkennt man, dass in der optimalen Lösung des primalen Problems nur die Variable x 2 einen positiven Wert annehmen kann. (Im dualen Optimum bindet nur die zweite Nebenbedingung. In den anderen Nebenbedingungen besteht positiver Schlupf.) Daraus folgt: x 2 = 5. (Mit 5 5 Gewichtseinheiten ist das Auto voll beladen und der maximale Nutzen von 40 Einheiten erreicht.) c) Derartige Forderungen sind für reale Probleme nicht untypisch. Häufig können Produkte nur in bestimmten Losgrößen hergestellt oder verkauft werden. Schuhe oder Ski sind Beispiele für Gegenstände, die im allgemeinen paarweise verkauft werden. Eine erste Möglichkeit der Modellierung besteht in einer anderen Definition der Entscheidungsvariablen: { 1, wenn das Paar Ski mitgenommen wird x 3 := 0, sonst. { 1, wenn das Paar Skischuhe mitgenommen wird x 5 := 0, sonst. Diese Definitionen erfordern dann, dass Gewicht und Nutzen entsprechend angepasst werden: g 3 := 6, c 3 := 8, g 5 := 6, c 5 := 6 Damit wird die Möglichkeit, nur einen Ski oder Schuh mitzunehmen, von vornherein ausgeschlossen. Um zu modellieren, dass entweder Ski oder Snowboard mit sollen, muss man in einer Nebenbedingung sicherstellen, dass die beiden Alternativen sich gegenseitig ausschließen: x 3 = 1 x 4. Ist x 4 = 0, so wird x 3 = 1 gesetzt; ist x 4 = 1, wird x 3 der Wert 0 zugewiesen. Jetzt muss noch sichergestellt werden, dass nicht nur Ski oder nur Schuhe mitgenommen werden können, denn zum Skifahren ist beides notwendig. Eine Möglichkeit wäre es, x 5 von x 3 abhängig zu machen: x 3 x 5 = 0

8 Zusammen mit der obigen Bedingung erhält man die gewünschte Koppelung. x 5 kann nur den Wert 1 annehmen, wenn x 3 = 1 ist und dann muss x 5 = 1 sein. Man kann natürlich auch eine entsprechende Formulierung wie oben benutzen, und auch x 5 an x 4 koppeln: x 5 = 1 x 4 Alternative: Es muss gelten: oder x 3 + x 5 = 4 Dörte nimmt beide Skier und beide Skischuhe mit x 4 = 1 Dörte nimmt das Snowboard mit. Für die Modellierug des oder wird eine zusätzliche binäre Variable y {0, 1} eingeführt, die als Schalter dient: { 1, Dörte möchte Ski fahren y := 0, Dörte möchte Snowboard fahren. Es müssen daher folgende Nebenbedingungen hinzugefügt werden: x 3 + x 5 = 4 y x 4 = 1 (1 y) y {0,1}. Für y = 1 gilt nämlich: Dörte möchte Ski fahren: x 3 + x 5 = 4 x 3 = x 5 = 2 x 4 = 1 0 = 0 Dörte packt daher jeweils zwei Skischuhe und zwei Skier ein, nicht jedoch das Snowboard. Für y = 0 gilt: Dörte möchte Snowboard fahren: x 3 + x 5 = 4 0 x 3 = x 5 = 0 x 4 = 1 1 = 1 Dörte packt daher kein Skischuh und kein Ski ein, dafür jedoch da Snowboard. d) In dem Modell unter a) wurden die Entscheidungsvariablen durch die Anzahlen der Gegenstände definiert. In einem binären Modell können die Variablen nur die Werte 0 und 1 annehmen. Um ein beschränktes Rucksackproblem in ein binäres umzuwandeln benutzt man folgenden Trick:

9 Für jeden Gegenstandstyp wird eine Reihe von Variablen eingeführt. Dabei steht jede dieser neuen Variablen für eine bestimmte Anzahl des Gegenstandes. Dementsprechend werden auch Gewicht und Wert für die neuen Variablen angepasst, so dass Gesamtgewicht und Gesamtwert erhalten bleiben. In unserem Fall: Aus der Variable x 1 werden die Variablen: { x 1 1, wenn Gegenstand 1 einmal eingepackt wird 1 ˆ= 0, wenn Gegenstand 1 nicht einmal eingepackt wird und entsprechend x 2 1,x3 1 ˆ= je zweimal Gegenstand 1 einpacken. Nehmen alle drei Variablen den Wert 1 an, so wird die maximal vorhandene Anzahl des Gegenstandes 1 eingepackt. Durch verschiedene 0-1 Kombinationen ist es möglich, jede Anzahl zwischen 0 und 5 anzugeben. Aus x 2 werden die Variablen: x 1 2 ˆ= einmal Gegenstand 2,x2 2 ˆ= zweimal Gegenstand 2. Aus x 3 werden die Variablen: x 1 3,x2 3 (beide Variable stehen jeweils für einen Gegenstand vom Typ 3!) x 4 ist im Prinzip schon eine binäre Variable, weil Gegenstand 4 nur einmal vorhanden ist. Aus x 5 wird: x 1 5,x2 5 (beide Variable stehen jeweils für einen Gegenstand vom Typ 5!) Das Modell lautet nun: 3x x x x x x x x 4 + 3x x 2 5 max! unter der Nebenbedingung: 2x x x x x x x x 4 + 3x x x j i {0,1},i = 1,...,5 und j = 1,2,3 Allgemein: Für jeden Gegenstandstyp, von dem b j Stück vorhanden sind, müssen log 2 b j zusätzliche Variable eingeführt werden. Damit führt die binäre Darstellung des beschränkten Rucksackproblems zu einer Vergrößerung des Modells um n j=1 log 2 b j Variable. Aufgabe 4 Die kleine Marie darf sich für ihren Geburtstag im Spielzeugladen einen Geburtstagskorb zusammenstellen. Auf Grund von Maries Interessen stehen folgende Spielzeuge zur Auswahl (angegeben mit einem Wunschfaktor zwischen 1 (wünsch ich mir ein wenig) und 10 (möchte ich unbedingt haben)) 1. Polizeiauto (3)

10 2. rosa Einhorn (9) 3. singende Barbie (10) 4. Teddy (5) 5. Roller (7) 6. Fahrrad (8) 7. Fahrradhelm mit rosa Sternen (2) 8. Kuschelpferd (6) 9. Playmobilschloss (8) 10. Filly-Turm (7) 11. Badepuppe (6) 12. Puppenzubehör (5) 13. Playmobilkutsche (4) Marie möchte den Korb natürlich mit dem größtmöglichen summierten Wunschfaktor zusammen stellen. Dabei muss sie allerdings einige Restriktionen beachten. Marie möchte unbedingt entweder das Einhorn oder das Kuschelpferd haben, allerdings nicht beides gleichzeitig. Ebenso möchte sie unbedingt die Barbie oder die Puppe haben. Sollte sie die Puppe bekommen, möchte sie dann auch das Zubehör haben. Das Fahrrad soll unbedingt dabei sein. Demzufolge muss auch der Helm im Korb sein, da der alte zu klein geworden ist. Des weiteren möchte sie nur entweder den Fillyturm oder das Schloss haben. Das PLaymobilschloss möchte sie nur genau dann haben, wenn sie auch die Playmobilkutsche bekommt. Zu guter Letzt überlegt sich Marie, dass sie das Auto eigentlich doch gar nicht haben möchte. Bitte helfen Sie Marie und bilden ihr Problem durch ein binäres Entscheidungsproblem ab. Beachten Sie dabei, dass Sie alle Entscheidungen von Marie in dem Modell erfassen. (5 Punkte) Lösungsvorschlag: Modellierung bestimmter logischer Beziehungen: Bezeichnung logische Beziehung Modellierung Oder x 1 = 1 oder x 2 = 1 x 1 + x 2 1 Exclusiv-Oder entweder x 1 = 1 oder x 2 = 1 x 1 + x 2 = 1 Und x 1 = 1 und x 2 = 1 x 1 + x 2 = 2 Nicht nicht x 1 = 1 x 1 = 0;1 x 1 = 1 Implikation x 1 = 1 x 2 = 1 x 1 x 2 0 Äquivalenz x 1 = 1 x 2 = 1 x 1 x 2 = 0

11 Entscheidungsfrage: Soll Marie Geganstand Nr. i in den Korb legen? Entscheidungsvariablen: { 1, Gegenstand Nr. i wird eingepackt x i := 0, sonst Zielfunktion: Maximierung des Gesamtwunschfaktors: 5 c i x i max! i=1 mit dem Wunschfaktor c i von Gegenstand i Entscheidungsschranken und Nebenbedingungen: a) Einhorn oder Pferd, aber nicht beides x 2 + x 8 = 1 b) Barbie oder Puppe c) Falls Puppe, dann Zubehör d) Fahrrad unbedingt dann auch den Helm x 3 + x 11 1 x 11 x 12 0 x 6 = 1 x 7 = 1 oder x 6 x 7 = 0 oder x 6 + x 7 = 2 e) Turm oder Schloss x 10 + x 9 1 f) Schloss genau dann, wenn Kutsche x 9 x 13 = 0 g) Auto nicht h) Binarität x 1 = 0 x i {0,1}, i = 1,...,13