Statistik 1 für SoziologInnen. Univariate Häufigkeitstabellen Tabellarische und graphische Aufbereitung von Daten

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1 Statistik 1 für SoziologInnen Univariate Häufigkeitstabellen Tabellarische und graphische Aufbereitung von Daten Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Absolute Häufigkeiten diskreter Merkmale X sei ein diskretes Merkmal mit den Realisationsmöglichkeiten x i, wobei i=1,...,k X sei ein qualitatives Merkmal, das entweder eine Nominal- oder eine Ordinalskala aufweist Die Anzahl des Vorkommens von x i in einer Population heißt absolute Häufigkeit: n(x=x i ) bzw. kurz n i n() Zählfunktion 2 1

2 Beispiel: Personalbeurteilung (Schlittgen p.13 ff) n=120 Beurteilungsbögen Merkmal: "Produktives Denken" Ausprägungen x i (k=10): 0... sehr gering bis 9... sehr gut ausgeprägt Skalenniveau: Ordinal Urliste: Häufigkeitstabelle (absolute Häufigkeiten) i x i n i Gesamt 120 i laufender Index x i Ausprägungen n i Häufigkeiten 4 2

3 Relative Häufigkeiten diskreter Merkmale Die relative Häufigkeit h i von einer Merkmalsausprägung x i ist: die absolute Häufigkeit n i der Merkmalsausprägung x i dividiert durch die Gesamtzahl der Merkmalsträger n n( X = xi) ni h( X = xi) = hi n n n = k i= 1 k n i h i= 1 i = 1 5 Häufigkeitstabelle (absolute & relative Häufigkeiten) i x i n i h i h i in % ,00 0,00% ,00 0,00% ,00 0,00% ,06 5,83% ,10 10,00% ,32 31,67% ,24 24,17% ,23 22,50% ,05 500% 5,00% ,01 0,83% Gesamt ,00% In der Praxis werden die relativen Häufigkeiten oft mit 100 multipliziert und als Prozentwerte dargestellt 6 3

4 Stabdiagramm: Produktives Denken hi Säulendiagramm: Produktives Denken t Absolute Häufigkei Beurteilung "Produktives Denken" 8 4

5 3-dimensionales Säulendiagramm Beurteilung produktives Denken 9 Kontraproduktives Design Datenreihen1 10 5

6 4 Leitregeln für statistische Graphiken Eine statistische Graphik sollte möglichst selbsterklärend sein. Möglichst exakte Angabe der Datenquelle bzw. der Grundgesamtheit. Es sollte möglich sein, auf die zugrundeliegenden numerischen Daten rückschließen zu können Gitterlinien, Wertangaben Die erste optische Wahrnehmung muss die tatsächlichen Größenordnungen korrekt widerspiegeln. Menschen nehmen Flächen wahr Flächen müssen die Quantität reflektieren Die Graphik soll optisch attraktiv sein, aber eine klare Botschaft vermitteln. Erwecken des Interesses des Betrachters 11 Vier zentrale Prinzipien statistischer Graphiken Selbsterklärend (Qualitative Information) Numerische Transparenz (Quantitative Information) Graphische Integrität (Korrektheit der Information) Optische Attraktivität (Anziehungskraft) Mehr dazu im Kapitel 3. Statistische Graphiken 12 6

7 Daten aus Kühnel & Krebs p.44 Frage nach der Einschätzung der Wirtschaftlage in Deutschland (1996) Ausprägung Code Häufigkeit sehr gut 1 30 gut teils/teils schlecht sehr schlecht keine Antwort Daten aus Kühnel & Krebs p.44 - mit Excel aufbereitet Frage nach der "Einschätzung der allgemeinen Witschaftslage in der Bundesrepublik Deutschland" Gültige Kumulierte Ausprägung Code Häufigkeit Prozente Prozente Prozente sehr gut ,9% 0,9% 0,9% gut ,4% 12,4% 13,3% teils/teils ,6% 48,9% 62,2% schlecht ,9% 31,1% 93,4% sehr schlecht ,6% 6,6% 100,0% keine Antwort ,7% Missing Total ,0% 100,0% Gültige Fälle: Fehlende Fälle: 24 Quelle: Allbus 1996 Die gültigen Prozentwerte beziehen die absolute Häufigkeit gültiger Antworten auf die Gesamtzahl aller gültigen Antworten 14 7

8 Säulendiagramm mit absoluten Häufigkeiten 15 Säulendiagramm mit relativen Häufigkeiten 16 8

9 Umgang mit fehlenden Antworten 3 Monate vor der Fußball-WM 2006 war die Kampagne der Bild-Zeitung gegen den Bundestrainer Jürgen Klinsmann in vollem Gange. Auf der Online-Ausgabe "bild.de" konnte man bei der Sonntags-Frage zur WM am nachlesen: "Nur fünf Prozent sind sehr zufrieden mit Klinsmann 17 Korrekte Darstellung 5% aller Befragten ~ 6,9% aller Antwortenden Beachte: Keine Angabe über die Zahl der Respondenten Repräsentativität? Unzufriedene äußern sich z.b. wesentlich häufiger in Web-Foren Manipulation: 54,1% der Antworter sind mit Klinsmann zufrieden oder sogar sehr zufrieden 18 9

10 Imputation fehlender Werte Imputationsmethoden haben das Ziel fehlende Werte möglichst sinnvoll zu ergänzen Grundgedanke ist dabei das Ausnützen von Abhängigkeiten zwischen Merkmalen Unterschiedliche Ergebnisse bei politischen Meinungsumfragen unterscheiden sich häufig nur in der methodischen Behandlung fehlender Werte: Wie werden die Unschlüssigen bzw. die Antwortverweigerer aufgeteilt? Vergleiche in der jüngeren österreichischen Geschichte die Unterschätzung der FPÖ unter J. Haider in vielen Meinungsumfragen vor Wahlen 19 Absolute oder relative Häufigkeiten? Für Vergleichszwecke eignen sich relative Häufigkeiten natürlich besser Bei Stichproben interessieren meist die Anteile (~relativen Häufigkeiten), aber der Umfang der Stichprobe muss unbedingt kommuniziert werden, um die Relevanz der Ergebnisse beurteilen zu können. Absolute Häufigkeiten kommunizieren stärker die Betroffenheit: Im Jahresdurchschnitt 2006 gab es in Österreich laut AMS als arbeitslos vorgemerkte Personen Im Jahresdurchschnitt 2006 betrug laut AMS die Arbeitslosenquote 6,8% 20 10

11 Beispiel: Verteilung der Vegetation (Schlittgen p.17) Nadelwälder 2% Bruchwälder 6% Gebüsche 14% Auwälder 29% Laubmischwälder 49% 21 Balkendiagramm (Barchart) 22 11

12 Tortendiagramm (Piechart) Nadelwälder Bruchwälder 2% 6% Gebüsche 14% Laubmischwälder 49% Auwälder 29% 23 Häufigkeitsverteilung bei einem stetigen Merkmal Stetiges Merkmal X mit vielen unterschiedlichen Ausprägungen Grundgesamtheit von n Merkmalsträgern x x,, 1, 2 x n Urliste der Körpergröße von 100 Studenten:

13 Erster Schritt: Ordnen der Daten Geordnete Stichpobe: x ( 1), x ( 2 ),, x ( n ) Standardgraphik mit Excel Säulendiagramm Auf der horizontalen Achse wird die Merkmalsskalierung nicht korrekt widergegeben 26 13

14 Visualisierung der Verteilung der Größen Korrektes Stabdiagramm 27 Beispiel aus der Praxis: Die x-achse ist nicht konstant skaliert; links 10- Jahresveränderungen, danach jährliche Veränderungen 28 14

15 Visualisierung der Verteilung der Größen Ein Dot-Plot ist eine einfache statistische Graphik für die Darstellung der Verteilung kleinerer bis mittlerer Datensätze. Visualisierung von Werte-Cluster bzw. von Lücken in der Verteilung sowie für das Aufzeigen extremer Einzelbeobachtungen (Ausreißer). Körpergröße 29 Stem & Leaf-Diagram (Stengel-Blatt Diagramm) N = 100 Median = 174 Spaltenwerte in Einheiten von : : : : : : : : : 0 19 : 567 Semigraphische Technik: Systematisches Aufschreiben der Werte, so dass sich ein Bild der Verteilung ergibt Alle Einzelwerte bleiben exakt erhalten Nur für kleinere Datensätze geeignet 30 15

16 Stemleaf-Diagramm mit Häufigkeiten N = 100 Median = 174 Spaltenwerte in Einheiten von : : : : : : : : : : 567 Absolute Häufigkeiten Kumulierte Häufigkeiten 31 Stemleaf-Diagramm Abstrahiert man von den konkreten Werten und achtet nur auf die Form der Verteilung, ergibt sich das Histogramm 32 16

17 Histogramm Das Bild erinnert an ein Säulendiagramm. Im Gegensatz dazu kommt aber der horizontalen Achse eine geänderte Bedeutung zu. Numerische Skala! 33 Häufigkeitstabelle bei stetigen Merkmalen Klassierung (Klassifizierung): Einteilung des Wertevorrates (Realisationsmöglichkeiten der Merkmalsausprägungen) g in nicht überschneidende angrenzende Klassen Nach Möglichkeit gleiche Breite! Absolute Häufigkeit der Klasse ist die Anzahl der Realisationen mit Werten, die zu dieser Klasse gehören: Klasse i sei definiert durch (u i,o i ] ( ) n(u i <X o i )=n i eindeutige Zuordnung durch halboffene Intervalle Relative Häufigkeit der Klasse h(u i <X o i )=n i /n=h i 34 17

18 Häufigkeitstabelle für klassifizierte Daten Bereich n i h i 150+ bis , bis , bis , bis , bis , bis , bis , bis , bis , bis ,02 Gesamt Histogramm Ein Histogramm ist die graphische Darstellung einer Häufigkeitstabelle, die sich durch die Klassierung eines stetigen Merkmals in Intervalle ergibt Körpergröße 36 18

19 Histogramm mit Polygonzug Polygonzug

20 Tabellen in der Praxis In der Praxis sind Häufigkeitstabellen oft der Ausgangspunkt einer empirischen Untersuchung (Sekundärdaten) Achtung: Klassierte Daten haben nicht 1:1 den selben Informationsgehalt wie die Originaldaten, da die Verteilung innerhalb der Klassen unbekannt ist (vgl. Informationsgehalt von Stem & Leaf-Diagramm und Histogramm) Problem offener Klassen: z.b.: monatl. Einkommen größer als ,- Generell: Ungleich große Klassenbreiten erfordern eine adäquate graphische Darstellung 39 Zusammenfassung von Klassen Bereich n i h i 150+ bis , bis , bis , bis , bis , bis , bis ,13 Gesamt

21 Fehlerhafte Modifikation des Histogramms Fehlerhafte Modifikation des Histogramms 42 21

22 Korrekte Modifikation des Histogramms Fläche muss konstant bleiben 43 Korrektes Histogramm nach Aggregation falsch korrekt Fläche muss konstant bleiben Prinzip der Flächentreue 44 22

23 Histogramm <==> Dichtedarstellung Prinzip der Flächentreue: Der Flächeninhalt der Histogramm-Blöcke muss proportional p zur Häufigkeit sein Die Höhe der Histogramm-Blöcke muss dann die Dichte darstellen Dichte ist allgemein eine Häufigkeit bezogen auf eine Einheit z.b. Bevölkerungsdichte Anzahl Einwohner je km² Häufigkeitsdichte ist die relative Häufigkeit dividiert durch die Klassenbreite Fläche = Höhe*Breite Fläche ~ Häufigkeit Bei Klassen konstanter Breite ist diese Unterscheidung für die Visualisierung irrelevant 45 Berechnung der Häufigkeitsdichte Bereich n i h i b i d i =h i /b i 150+ bis , , bis ,10 5 0, bis ,16 5 0, bis ,23 5 0, bis ,20 5 0, bis , , bis , ,009 Gesamt

24 Beispiel: Haushaltseinkommen Rohdaten: Monatliches Haushaltseinkommen in DM Monatliches Zahl der Jahreseinkommebreite in Haushalte Klassen- Anteil Anteil Haushalts- Haushalte Haushalte einkommen in 1000 in Mio. DM 1000 DM korrigiert , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0033 Summe: Beispiel: Haushaltseinkommen 0,3 Histogramm der relativen Haushaltsanteile Falsche Darstellung 0,25 Anteil Haushalte 0,2 0,15 0,1 0, monatliches Einkommen in DM 48 24

25 Beispiel: Haushaltseinkommen Histogramm der relativen Haushaltsanteile 0,3 Richtige Darstellung teil Haushalte korrigiert 0,25 0,2 0,15 0,1 An 0, monatliches Einkommen in DM 49 Wahl der Klassen für ein Histogramm In der Praxis ist die Wahl der Klassengrenzen bzw. der Klassenanzahl relativ willkürlich. Klassenanzahl: je nach Datenlage und Fragestellung 5-20 Annäherung an die Klassenbreite: Spannweite (Differenz zwischen größtem und kleinsten Wert) bzw. durch gewünschte Klassenanzahl dividieren Klassenmitten sollten mit beobachteten Werten übereinstimmen Wahl schöner Grenzen im Sinne des dekadischen Systems 50 25

26 Typisierung von Verteilungen Unimodale Verteilung Unimodal Distribution Bimodale Verteilung Bimodal Distribution Multimodale Verteilung Multimodal Distribution 51 Schiefe einer Verteilung Unimodale symmetrische Verteilung rechtsschief linksschief 52 26

27 Kritik am klassischen Histogramm Das resultierende Bild von der Gestalt der Verteilung hängt von der letztlich willkürlichen Wahl der Anzahl der Intervalle und vom Startpunkt der Intervallbildung ab 53 Beispiel: Altersverteilung einer Kohorte Histogram of Age Histogram of Age Frequ uency Frequ uency Age Age Histogram of Age Histogram of Age Frequency Frequency Age Age 27

28 Verschieben der Klassen-Intervalle Histogram of Age Histogram of Age Freq quency Freq quency Age Age Histogram of Age Histogram of Age Frequency Frequency Age Age Alternative: Kernschätzer Ein Kern bezeichnet eine symmetrische Funktion, die rund um den empirischen Datenpunkt aufgetragen wird. Das Bild der Verteilung ergibt sich dann durch die Summe über alle Funktionswerte im gesamten Bereich der x-achse 56 28

29 Selektion der Bandweite 57 29