Statistik 1 für SoziologInnen. Univariate Häufigkeitstabellen Tabellarische und graphische Aufbereitung von Daten. Univ.Prof. Dr.

Transkript

1 Statistik 1 für SoziologInnen Univariate Häufigkeitstabellen Tabellarische und graphische Aufbereitung von Daten Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec

2 Absolute Häufigkeiten diskreter Merkmale X sei entweder ein diskretes, stetiges Merkmal mit k verschiedenen Realisationsmöglichkeiten x i, oder ein qualitatives Merkmal, das eine Nominal- oder eine Ordinalskala aufweist Der Index i nimmt folgende Werte an: i=1,...,k Die Anzahl des Vorkommens von x i in einer Population heißt absolute Häufigkeit: n(x=x i ) bzw. kurz n i n() ist die Zählfunktion 2 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

3 Beispiel: Personalbeurteilung (Schlittgen p.13 ff) n=120 Beurteilungsbögen Merkmal: "Produktives Denken" Ausprägungen x i (k=10): 0... sehr gering bis 9... sehr gut ausgeprägt Skalenniveau: Ordinal Urliste: Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

4 Häufigkeitstabelle (absolute Häufigkeiten) i x i n i Gesamt 120 i laufender Index x i Ausprägungen n i absolute Häufigkeiten 4 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

5 Relative Häufigkeiten diskreter Merkmale Die relative Häufigkeit h i von einer Merkmalsausprägung x i ist: die absolute Häufigkeit n i der Merkmalsausprägung x i dividiert durch die Gesamtzahl der Merkmalsträger n = = = = = = = k i i k i i i i i i h n n h n n n x X n x X h ) ( ) ( 5 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

6 Häufigkeitstabelle (absolute & relative Häufigkeiten) i x i n i h i h i in % ,00 0,00% ,00 0,00% ,00 0,00% ,06 5,83% ,10 10,00% ,32 31,67% ,24 24,17% ,23 22,50% ,05 5,00% ,01 0,83% Gesamt ,00% i laufender Index x i Ausprägungen n i absolute Häufigkeiten h i relative Häufigkeiten In der Praxis werden die relativen Häufigkeiten auch oft mit 100 multipliziert und als Prozentwerte dargestellt 6 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

7 Stabdiagramm: Produktives Denken nhi i Merkmal X 7 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

8 Säulendiagramm: Produktives Denken Absolute Häufigkeit Beurteilung "Produktives Denken" 8 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

9 3-dimensionales Säulendiagramm Beurteilung produktives Denken 1 9 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

10 Kontraproduktives Design Datenreihen1 10 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

11 4 Leitregeln für statistische Graphiken Eine statistische Graphik sollte möglichst selbsterklärend sein. Möglichst exakte Angabe der Datenquelle bzw. der Grundgesamtheit. Es sollte möglich sein, auf die zugrundeliegenden numerischen Daten rückschließen zu können Gitterlinien, Wertangaben Die erste optische Wahrnehmung muss die tatsächlichen Größenordnungen korrekt widerspiegeln. Menschen nehmen Flächen wahr Flächen müssen die Quantität reflektieren Die Graphik soll optisch attraktiv sein und gleichzeitig eine klare Botschaft vermitteln. Erwecken des Interesses des Betrachters 11 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

12 Vier zentrale Prinzipien statistischer Graphiken Selbsterklärend (Qualitative Information) Numerische Transparenz (Quantitative Information) Graphische Integrität (Korrektheit der Information) Optische Attraktivität (Anziehungskraft) Mehr dazu im Kapitel 3. Statistische Graphiken 12 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

13 Daten aus Kühnel & Krebs p.44 Frage nach der Einschätzung der Wirtschaftlage in Deutschland (1996) Merkmals Ausprägung x i Codierung abs. Häufigkeit n i sehr gut 1 30 gut teils/teils schlecht sehr schlecht keine Antwort Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

14 Daten aus Kühnel & Krebs p.44 - mit Excel aufbereitet Frage nach der "Einschätzung der allgemeinen Witschaftslage in der Bundesrepublik Deutschland" Merkmals Ausprägung x i Codierung abs. Häufigkeit n i rel. Häufigkeit h i in % Gültige Prozente sehr gut ,9% 0,9% gut ,4% 12,4% teils/teils ,6% 48,9% schlecht ,9% 31,1% sehr schlecht ,6% 6,6% keine Antwort ,7% Missing Total ,0% 100,0% Gültige Fälle: Fehlende Fälle: 24 Quelle: Allbus 1996 Die gültigen Prozentwerte beziehen die absolute Häufigkeit gültiger Antworten auf die Gesamtzahl aller gültigen Antworten 14 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

15 Beispiel zum Umgang mit fehlenden Werten (1) Umfrage zu einer bevorstehenden Wahl Absolute Häufigkeit n i rel. Häufigkeit h i in Prozent gültige Prozente Partei A % 37,50% Partei B % 31,25% Partei C % 18,75% Partei D % 12,50% Keine Antwort % % 100% # gültige Antworten Sie sollen einen Anteil für das Ergebnis der Partei A auf Basis der Umfrage veröffentlichen. Welche Werte würden Sie veröffentlichen: die relativen Häufigkeiten in % oder die gültigen Prozente? 15 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

16 Beispiel zum Umgang mit fehlenden Werten (2) Absolute Häufigkeit n i rel. Häufigkeit h i in Prozent gültige Prozente Partei A % 37,50% Partei B % 31,25% Partei C % 18,75% Partei D % 12,50% Keine Antwort % % 100% # gültige Antworten Die relativen Häufigkeiten machen nur unter einem sehr unwahrscheinlichen Szenario Sinn: Alle Respondenten die keine Antwort gaben, wählen eine andere Partei als die Partei A. 16 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

17 Beispiel zum Umgang mit fehlenden Werten (3) Welche Annahme steht hinter dem Konzept gültige Prozent? Absolute Häufigkeit n i rel. Häufigkeit h i in Prozent gültige Prozente fiktive Anzahlen Aufteilung der Nicht- Antworter relative Aufteilung der Nichtantworter Partei A % 37,50% ,50% Partei B % 31,25% ,25% Partei C % 18,75% ,75% Partei D % 12,50% ,50% Keine Antwort % % 100% # gültige Antworten Wir erkennen, dass bei der Berechnung gültiger Prozent implizit unterstellt wird, dass sich die Non-Responder gleich wie die Responder verhalten. Bei Kenntnis eines abweichenden Verhaltens der Non-Responder mag eine alternative Aufteilung der Antwortausfälle sinnvoll sein! 17 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

18 Umgang mit fehlenden Antworten 3 Monate vor der Fußball-WM 2006 war die Kampagne der Bild-Zeitung gegen den Bundestrainer Jürgen Klinsmann in vollem Gange. Auf der Online-Ausgabe "bild.de" konnte man bei der Sonntags-Frage zur WM am nachlesen: "Nur fünf Prozent sind sehr zufrieden mit Klinsmann 18 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

19 Korrekte Darstellung 5% aller Befragten ~ 6,9% aller Antwortenden Beachte: Keine Angabe über die absolute Anzahl der Respondenten! Repräsentativität? Unzufriedene äußern sich z.b. wesentlich häufiger in Web-Foren Manipulation: 54,1% der Antworter sind mit Klinsmann zufrieden oder sogar sehr zufrieden kann ebenso aus den daten als Überschrift gewonnen werden! 19 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

20 Praxis: Imputation fehlender Werte Imputationsmethoden haben das Ziel fehlende Werte möglichst sinnvoll zu ergänzen Grundgedanke ist dabei häufig das Ausnützen von Abhängigkeiten zwischen den Merkmalen Unterschiedliche Ergebnisse bei politischen Meinungsumfragen unterscheiden sich häufig nur in der methodischen Behandlung fehlender Werte! Wie werden die Unschlüssigen bzw. die Antwortverweigerer aufgeteilt? 20 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

21 Säulendiagramm mit absoluten Häufigkeiten 21 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

22 Säulendiagramm mit relativen Häufigkeiten Beachte: Angabe der Stichprobengröße unbedingt erforderlich! 22 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

23 Absolute oder relative Häufigkeiten? Für Vergleichszwecke eignen sich relative Häufigkeiten natürlich besser Bei Stichproben interessieren meist die Anteile (~relativen Häufigkeiten), aber der Umfang der Stichprobe muss unbedingt kommuniziert werden, um die Relevanz der Ergebnisse beurteilen zu können. Absolute Häufigkeiten kommunizieren stärker die Betroffenheit: Im Jahresdurchschnitt gab es in Österreich im Jahr 2013 laut AMS als arbeitslos vorgemerkte Personen. Im Jahresdurchschnitt betrug laut AMS die Arbeitslosenquote im Jahr ,6%. 23 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

24 Beispiel: Verteilung der Vegetation (Schlittgen p.17) Beachte: die Zähleinheit sind hier geographische Einheiten (z.b. Analyse von Satellitenbildern) Nadelwälder 2% Bruchwälder 6% Gebüsche 14% Auwälder 29% Laubmischwälder 49% 24 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

25 Tortendiagramm (Piechart) Nadelwälder Bruchwälder 2% 6% Gebüsche 14% Laubmischwälder 49% Wenig empfehlenswerte Darstellung Auwälder 29% 25 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

26 Balkendiagramm (Barchart) Gut geeignete Darstellungsform 26 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

27 Häufigkeitsverteilung bei einem stetigen Merkmal Stetiges Merkmal X mit vielen unterschiedlichen Ausprägungen Grundgesamtheit von n Merkmalsträgern x, x, 2, 1 x n Urliste der Körpergröße von 100 Studenten: Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

28 Erster Schritt: Ordnen der Daten Geordnete Stichpobe: x ( 1), (2),, ( n) Der in Klammer gesetzte Index signalisiert, dass es sich um geordnete Datenwerte handelt! x x 28 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

29 Visualisierung der Verteilung der Größen Ein Dot-Plot ist eine einfache statistische Graphik für die Darstellung der Verteilung kleinerer bis mittlerer Datensätze. Visualisierung von Werte-Cluster bzw. von Lücken in der Verteilung sowie für das Aufzeigen extremer Einzelbeobachtungen (Ausreißer). Körpergröße 29 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

30 Standardgraphik mit Excel Säulendiagramm Achtung: auf der horizontalen Achse wird die Merkmalsskalierung nicht korrekt widergegeben 30 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

31 Visualisierung der Verteilung der Größen Korrektes Stabdiagramm 31 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

32 Stem & Leaf-Diagram (Stengel-Blatt Diagramm) N = 100 Median = 174 Spaltenwerte in Einheiten von : : : : : : : : : 0 19 : 567 Semigraphische Technik: Systematisches Aufschreiben der Werte, so dass sich ein Bild der Verteilung ergibt Alle Einzelwerte bleiben dabei exakt erhalten Nur für kleinere Datensätze geeignet 32 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

33 Stemleaf-Diagramm mit Häufigkeiten von unten N = 100 Median = 174 Spaltenwerte in Einheiten von : : : : : : : : : : 567 Kumulierte Häufigkeiten von oben Absolute Häufigkeiten 33 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

34 Stemleaf-Diagramm Abstrahiert man von den konkreten Werten und achtet nur auf die Form der Verteilung, ergibt sich das Histogramm 34 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

35 Histogramm Das Bild erinnert an ein Säulendiagramm. Im Gegensatz dazu kommt aber der horizontalen Achse eine geänderte Bedeutung zu. Numerische Skala! 35 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

36 Häufigkeitstabelle bei stetigen Merkmalen Klassierung (Klassifizierung): Einteilung des Wertevorrates (Realisationsmöglichkeiten der Merkmalsausprägungen) in nicht überschneidende angrenzende Klassen Nach Möglichkeit ist eine gleiche Klassenbreite anzustreben! Absolute Häufigkeit der Klasse ist die Anzahl der Realisationen mit Werten, die zu dieser Klasse gehören: Klasse i sei definiert durch (u i,o i ] n(u i <X o i )=n i eindeutige Zuordnung durch halboffene Intervalle Relative Häufigkeit der Klasse h(u i <X o i )=n i /n=h i u i Untergrenze der Klasse i Wert ist nicht inkludiert runde Klammer o i Obergrenze der Klasse i Wert ist inkludiert eckige Klammer 36 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen u i o i u i+1 o i+1

37 Häufigkeitstabelle für klassifizierte Daten Bereich n i h i 150+ bis , bis , bis , bis , bis , bis , bis , bis , bis , bis ,02 Gesamt Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

38 Histogramm Ein Histogramm ist die graphische Darstellung einer Häufigkeitstabelle, die sich durch die Klassierung eines stetigen Merkmals in Intervalle ergibt Körpergröße 38 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

39 Histogramm mit Polygonzug Polygonzug: Die Linie in Magenta verbindet die Höhe der Histogramm-Balken in der jeweiligen Klassenmitte 39 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

40 Polygonzug Oft nutzt man nur dem aus dem Histogramm abgeleiteten Polygonzug zur Charakterisierung der Verteilung eines stetigen Merkmals. 40 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

41 Tabellen in der Praxis In der Praxis sind Häufigkeitstabellen die aus einer Klassierung einen stetigen Merkmals entstanden sind, oft Ausgangspunkt einer empirischen Untersuchung (Sekundärdaten) Achtung: Klassierte Daten haben nicht 1:1 den selben Informationsgehalt wie die Originaldaten, da die Verteilung innerhalb der Klassen ja unbekannt ist (vgl. Informationsgehalt von Stem & Leaf-Diagramm und Histogramm) Problem offener Klassen: z.b.: monatl. Einkommen größer als ,- Generell: Ungleich große Klassenbreiten erfordern eine adäquate graphische Darstellung 41 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

42 Zusammenfassung von Klassen Bereich n i h i 150+ bis , bis , bis , bis , bis , bis , bis , bis ,13 42 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

43 Fehlerhafte Modifikation des Histogramms Es entsteht durch das Zusammenlegen der oberen Klassen plötzlich der falsche Eindruck, dass es viele große Studenten gibt! 43 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

44 Korrekte Modifikation des Histogramms Die Fläche muss konstant bleiben! 44 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

45 Korrektes Histogramm nach Aggregation falsch korrekt Die Fläche muss konstant bleiben Prinzip der Flächentreue 45 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

46 Histogramm <==> Dichtedarstellung Prinzip der Flächentreue: Der Flächeninhalt der Histogramm-Blöcke muss proportional zur Häufigkeit sein Die Höhe der Histogramm-Blöcke muss dann die Häufigkeitsdichte oder kurz die Dichte und nicht die Häufigkeit darstellen Unter Dichte versteht man ganz allgemein eine Häufigkeit bezogen auf eine andere Einheit z.b. Bevölkerungsdichte Anzahl Einwohner je km² Häufigkeitsdichte ist die relative Häufigkeit dividiert durch die Klassenbreite Fläche = Höhe*Breite und Fläche ~ Häufigkeit Höhe muss Häufigkeit/Breite sein Bei Klassen konstanter Breite ist diese Unterscheidung für die Visualisierung irrelevant 46 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

47 Berechnung der Häufigkeitsdichte Bereich n i h i b i d i =h i /b i 150+ bis , , bis , , bis , , bis , , bis , , bis , , bis , , bis , ,009 Gesamt , Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

48 Korrekte Modifikation des Histogramms Die Fläche muss konstant bleiben! 48 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

49 Beispiel: Es liegen für 32 europäische Länder als Indikator für den Wohlstand die Zahlen der PKWs jeweils pro 1000 Einwohner vor. Die Werte werden wie folgt in Klassen eingeteilt. Klasse i Zahl der PKW pro 1000 Anzahl der Länder (absolute Klassenhäufigkeit) Klassenbreite Rechteckhöhe (Häufigkeitsdichte) über 0 bis 200 (0-200] über 200 bis 300 ( ] über 300 bis 400 ( ] über 400 bis 500 ( ] über 500 bis 700 ( ] Summe Σ 32 n i d i h i = n i /d i = 200 0, , , , ,03 49 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

50 Zeichnen von Histogrammen Wichtig ist, dass das Verhältnis der Höhen zueinander korrekt ist. Die konkrete Bedeutung der Skalierung der y-achse ist sekundär (siehe dazu das folgende Beispiel) 50 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

51 Altes Klausurbeispiel In der nachfolgenden Tabelle sind die Monatsgehälter der Angestellten eines Betriebes angegeben: Bruttomonatslohn Anzahl der Angestellten 1.000,-- bis 1.400, ,-- bis 1.800, ,-- bis 2.600, ,-- bis 3.800, ,-- bis 5.000,-- 3 Monatslohn von bis Anzahl relative Häufigkeit Breite Dichte per , , , , , , , , , , ,0000 Skizziere ein korrektes Histogramm für die Häufigkeitsverteilung! Siehe auch nächste Folie! 51 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

52 Pragmatische Vorgangsweise Um den Rechenaufwand zu minimieren haben wir beim vorigen Beispiel als Einheit der Klassenbreite 400 gewählt. Dann können wir bei den Klassen mit Breite 400 einfach die relative Häufigkeit direkt als Dichte im Histogramm verwenden. Die relative Häufigkeiten der Klassen mit Breite 800 müssen dann durch 2 dividiert werden. Die relative Häufigkeiten der Klassen mit Breite müssen dann durch 3 dividiert werden. Auf der vertikalen Achse ist dann die Häufigkeitsdichte bezogen auf eine Klassenbreite von 400 aufgetragen. 52 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

53 Wahl der Klassen für ein Histogramm In der Praxis ist die Wahl der Klassengrenzen bzw. der Klassenanzahl relativ willkürlich. In der Praxis wählt man die Klassenanzahl je nach Datenlage und Fragestellung zwischen 5 20 Klassen Annäherung an die Klassenbreite: Spannweite (Differenz zwischen größtem und kleinsten Wert) durch gewünschte Klassenanzahl dividieren Weitere Aspekte: Faustregeln Klassenmitten sollten mit beobachteten Werten übereinstimmen Wahl schöner Grenzen im Sinne des dekadischen Systems 53 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

54 Typisierung von Verteilungen Unimodale Verteilung Unimodal Distribution Bimodale Verteilung Bimodal Distribution Multimodale Verteilung Multimodal Distribution 54 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

55 Schiefe einer Verteilung Unimodale symmetrische Verteilung Rechtsschief Linkssteil Linksschief Rechtssteil 55 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

56 Kritik am klassischen Histogramm Das resultierende Bild von der Form und Gestalt der Verteilung hängt von der letztlich willkürlichen Wahl der Anzahl der Intervalle und auch vom Startpunkt der Intervallbildung ab. Siehe dazu die folgenden Folien, die Histogramme auf den beiden folgenden Folien, die alle die selben Daten visualisieren! 56 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

57 Variation der Anzahl der Klassen Histogram of Age Histogram of Age Frequency Frequency Age Age Histogram of Age Histogram of Age Frequency Frequency Age Age Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

58 Verschieben der Klassen-Intervalle Histogram of Age Histogram of Age Frequency Frequency Age Age Histogram of Age Histogram of Age Frequency Frequency Age Age 58 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

59 Dichte-Schätzung mit Kernfunktionen Die Dichteschätzung mit Kernen ist eine wichtige Alternative um die Form einer Verteilung darzustellen. Durch den Kern wird symmetrisch um jeden beobachteten Datenpunkt x i eine Häufigkeitsmasse platziert In der Praxis kommen verschiedene Typen von Kernen zur Anwendung (Gauss-Kern, Dreiecks- Kern, Rechtecks-Kern) Wichtig ist dabei die Wahl der Bandbreite (vgl. Temperatur des Wachstropfens!) 59 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen