Verbindungs- und Kostenverteilungsprobleme

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1 MaMaEuSch Management Mathematics for European Schools mamaeusch Verbindungs- und Kostenverteilungsprobleme Federico Perea Justo Puerto MaMaEuSch Management Mathematics for European Schools CP DE - COMENIUS - C21 Universität Sevilla Dieses Projekt wurde unter anderem durch die Europäische Union im Rahmen des Sokrates Projektes unterstützt. Der Inhalt spiegelt nicht notwendigerweise die Stellung der Europäischen Union wieder und diese trägt keinerlei Verantwortung für dieses Projekt. 0

2 1 Einführung 1.1 Was ist ein Graph? Im Folgenden werden einige Situationen beschrieben, die mit Hilfe von Graphen darstellbar sind. Zur genaueren Untersuchung solcher Gegebenheiten ist es allerdings nicht notwendig, Graphentheorie im Detail zu betrachten. Die Grundidee eines Graphen soll lediglich anhand einiger Beispiele verdeutlicht werden Beispiele Straßenkarten Das Diagramm in Figur 1 zeigt eine Karte des zukünftigen U-Bahn-Systems von Sevilla. Wie bei jeder Karte wird nicht jedes, sondern nur ein für die Kunden bedeutendes Merkmal im Detail wiedergegeben. Im Fall dieser Karte sind die genauen geographischen Standorte der U-Bahnstationen nicht von Bedeutung. Wichtig ist nur die Art und Weise, wie die verschiedenen Haltepunkte miteinander verbunden sind, so dass ein Reisender eine Route von Station zu Station planen kann. Die Karte ist also lediglich eine schematische Darstellung der Verbindungsstrecken zwischen den einzelnen Stationen. Architektonische Stockwerkpläne Figur 2 zeigt den Plan eines Erdgeschosses. Bei einfachen Plänen reicht ein solches Diagramm aus, um die gegenseitigen Zugangsmöglichkeiten der vorhandenen Räume zu verdeutlichen. Bei komplexeren Plänen ist allerdings eine einfachere Darstellung gefordert. Wie in Figur 3 beschrieben, werden in einer weiteren Darstellungsweise die Räume durch kleine Kreise repräsentiert. Da solche Diagramme die Bewegungen von Menschen in größeren Gebäuden beschreiben, sind sie Architekten auch als Flussdiagramme bekannt. Sie wurden bereits beim Entwerfen von Flughäfen und der Planung von Supermärkten eingesetzt. Solche Darstellungen repräsentieren zwar die Verbindungen zwischen den Räumen, sie geben allerdings keinerlei Auskunft über die Größe und Gestalt der Räume Die Definition eines Graphen In allen vorherigen Beispielen liegt eine Zusammenfassung von Objekten vor, die in irgendeiner Weise miteinander verknüpft sind. Im ersten Beispiel repräsentieren diese Objekte Haltepunkte, die durch Schienen verbunden sind und im zweiten Beispiel werden gegenseitige 1

3 Figure 1: Zukünftiges U-Bahn-System von Sevilla. Zugangsmöglichkeiten von Räumen betrachtet. In jedem Fall kann ein Diagramm erstellt werden, bei dem die Objekte selbst durch Punkte beschrieben werden und deren gegenseitige Verbindungen durch Linien dargestellt sind. Ein solches Diagramm wird als Graph bezeichnet. Die Punkte, welche die gegebenen Objekte repräsentieren, werden Knoten (oder Punkte) genannt und deren Verbindungslinien werden als Kanten (oder einfach Linien) bezeichnet. Das Flussdiagramm des Hauses zum Beispiel ist ein Graph mit sieben Knoten (entsprechend dem Spielzimmer, der Küche, der Eingangshalle usw.) und zehn Kanten (entsprechend den Verbindungen zwischen den Räumen). Hieraus ergibt sich folgende Definition: Definition 1.1 Ein Graph ist ein Diagramm, das aus Punkten bzw. Knoten und Linien bzw. Kanten besteht. Jede Kante verbindet genau zwei Knoten miteinander. Weiterhin werden folgende Begriffe näher betrachtet: Kreis und Zusammenhang. 2

4 Figure 2: Unteres Stockwerk. Ein Graph G wird als zusammenhängend bezeichnet, falls er einen Weg zwischen jedem gegebenen Knotenpaar enthält. Sowohl beim U-Bahn- als auch beim Stockwerkplan liegen somit zusammenhängende Graphen vor. Der Graph von Figur 4 ist allerdings nicht zusammenhängend, d.h. unzusammenhängend. Ein Weg, der einen Knoten mit sich selbst verbindet, wird als Kreis bezeichnet. Der Weg Wohnzimmer - Esszimmer - Büro - Wohnzimmer in Figur 3 ist zum Beispiel ein Kreis, da er im Wohnzimmer startet und im Wohnzimmer endet. Diese Konzepte führen zu einem weiteren Themenkomplex dieser Arbeit: dem sogenannten Baum-Netzwerk. Ein zusammenhängender Graph, der keine Kreise enthält, wird als Baum bezeichnet. Figur 5 zeigt einige Beispiele für Bäume. Ein spannender Baum in einem zusammenhängenden Graphen G ist ein Baum, der jeden Knoten von G beinhaltet. Hierzu wird der Graph aus Figur 6 betrachtet. Die Anzahl der spannenden Bäume in einem Graphen kann sehr groß werden (sie ist durch den Faktor 2 n 2 nach oben beschränkt, wobei n die Anzahl der Knoten im Netzwerk repräsentiert). Figur 7 zeigt drei mögliche spannende Bäume des Graphen aus Figur 6. 3

5 Figure 3: Graph. 1.2 Kooperative Situationen In vielen Situationen gilt, dass durch den Zusammenschluss mehrerer Vertreter entweder ein höherer Profit oder geringere Kosten erreicht werden können (zum Beispiel in der Wirtschaft). Solche Situationen werden als kooperative Situationen bezeichnet, da eine Kooperation mehrerer Repräsentanten erlaubt ist. Folgendes Beispiel dient zur Verdeutlichung einer kooperativen Situation Beispiel Die drei Freunde Justin, Paula und Malcolm spielen mit dem Gedanken, ein Pflegezentrum für ältere Menschen zwischen 60 und 80 Jahren zu eröffnen. Nach gründlicher Prüfung der bestehenden Vorschriften und des lokalen Marktes gelangen sie zu folgender Situationseinschätzung. Sie benötigen pro vier Patienten zwischen 71 und 80 Jahren eine Pflegeperson und eine weitere pro zehn Patienten zwischen 60 und 70 Jahren. Zusätzlich werden für jeden Patienten zwischen 71 und 80 Jahren 8 m 2 Innen- und 4 m 2 Außenraumfläche verlangt. Jeder Pflegebedürftige zwischen 60 und 70 Jahren benötigt 5 m 2 bzw. 6 m 2 Platz. Nachdem alle Kosten berechnet sind, stellen die Freunde fest, dass sie für jeden Patienten zwischen 71 und 80 Jahren einen Nettogewinn von 200 Euro pro Monat und für jeden Kranken zwischen 60 und 70 Jahren einen monatlichen Nettogewinn von 150 Euro erzielen können. 4

6 Figure 4: Unzusammenhängender Graph. Justin kennt 9 Personen, die er als Pflegepersonal einstellen kann. Weiterhin hat er die Möglichkeit, 260 m 2 Innenraum- und 200 m 2 Außenraumfläche anzumieten. Um den maximalen Gewinn zu berechnen, den er bei Einhaltung aller Vorgaben erzielen kann, muss ein lineares Programm gelöst werden. Mit x 1 sei dabei die Anzahl aller Pflegebedürftigen zwischen 71 und 80 Jahren bezeichnet, während x 2 die Anzahl der Patienten im Alter von 60 bis 70 Jahren repräsentiert. Zur Berechnung von Justins Maximalgewinn erhält man somit folgendes Problem: 1 max 200x x 2 1 s.t. x x x 1 + 5x x 1 + 6x x 1 0, x 2 0 Die Lösung ergibt, dass Justin bei Betreuung von 20 Patienten jeder Altersgruppe einen eigenständigen Gewinn von 7000 Euro erzielen kann. Im Gegensatz dazu stehen Paula 7 und Malcolm 14 Personen als Pflegepersonal zur Verfügung. Weiterhin hat Paula Zugang zu 120 m 2 Innen- und 200 m 2 Außenfläche, während 1 Weitere Informationen über lineares Programmieren können H.W. Hamacher, E. Korn, R. Korn, S. Schwarze, Production Planing and Linear Optimization auf der MaMaEusch-Website mamaeusch/allgemein e/frames2 e.html (2004) entnommen werden. 5

7 Figure 5: Einige Bäume. Malcolm 590 m 2 Innen- und 400 m 2 Außenfläche mieten kann. Die Lösungen der zugehörigen linearen Programme ergeben, dass Paula eigenständig einen maximalen Gewinn von 3600 Euro und Malcolm einen maximalen Gewinn von Euro erzielen kann. Die drei Freunde können sich allerdings auch dazu entschließen, die ihnen zur Verfügung stehenden Mittel zu kombinieren. Man nimmt an, dass jeder der drei verschiedene Pflegekräfte anheuert. Bei Zusammenarbeit von Justin und Paula ergibt sich somit ein Gewinn von Euro. Schließen sich Justin und Malcolm zusammen, können sie einen Ertrag von Euro erzielen. Paula und Malcolm kämen auf einen Gewinn von Euro. Bei Zusammenarbeit aller drei Freunde könnte ein gemeinsamer Erlös von Euro erreicht werden. Diese Zahlen werden nochmals in folgender Tabelle zusammengefasst, S v(s) S v(s) S v(s) S v(s) {1} 7000 {3} {1,3} {1,2,3} {2} 3600 {1,2} {2,3}

8 Figure 6: Dieser Graph ist kein Baum. wobei Justin mit Nummer 1, Paula mit Nummer 2 und Malcolm mit Nummer 3 gekennzeichnet ist. Weiterhin wird der maximale Gewinn, den die Gruppe S eigenständig erwirtschaften kann, durch die Größe v(s) repräsentiert. Somit wird der größtmögliche Profit durch Vereinigung aller Ressourcen erreicht. In diesem Fall muss allerdings ein Verfahren zur Aufteilung des Gewinns von Euro gefunden werden. 2 Verbindungs- und Kostenverteilungsprobleme In vielen täglichen Situationen werden wir mit Optimierungsproblemen konfrontiert. Wenn sich mehrere Vertreter (Händler, Firmen, usw.) zusammenschließen, um eine gemeinsame Aktion auszuführen, die allen Teilnehmern nutzt, so sind die Kosten normalerweise geringer als bei Aktionen auf eigene Faust. Somit wird ein Zusammenschluss angestrebt, da die beteiligten Vertreter auf diese Weise dieselben Leistungen mit geringeren Kosten erhalten. Dadurch tritt allerdings ein neues Problem auf: Wie sollen die bei der gemeinsamen Aktion anfallenden Kosten unter den einzelnen Teilnehmern aufgeteilt werden? Betrachten wir zum Beispiel die Situation, dass mehrere Bauern ihr Ackerland durch einen Drahtzaun begrenzen wollen. Wenn die Zäune jeweils zwei Landgüter voneinander trennen, werden sie stets von mehr als einem Bauern genutzt. Es erscheint also offensichtlich, auf jeder Grenze nur einen Drahtzaun zu errichten, anstatt jeden Bauern seinen eigenen Zaun aufstellen zu lassen. Bei Zahlung der entstandenen Kosten traten allerdings Probleme auf. 7

9 Figure 7: Einige Bäume. In vielen ähnlichen Situationen hat man sich darauf geeinigt, die Gesamtkosten zu gleichen Anteilen auf die einzelnen Vertreter zu verteilen (diese Regel soll im folgenden Proportionsregel genannt werden). Die Proportionsregel wird in den meisten Fällen als fairste Lösung angesehen. Weitere Beispiele werden allerdings zeigen, dass diese Verteilungsvorschrift auch,,unfair sein kann, wobei der Begriff,,Fairness nicht immer eindeutig geklärt ist. 3 Über Kostenverteilung in Verbindungsproblemen Als erstes wird eine Fragestellung behandelt, die der Klasse der Probleme zur Bestimmung eines minimalen spannenden Baumes zuzuordnen ist. Hierbei werden mehrere Nutzer eines Produkts betrachtet, welches einer festen Quelle entnommen wird. Die Nutzer werden als Knoten in einem Graphen dargestellt. Bei dem Produkt kann es sich zum Beispiel um Wasser, Elektrizität oder Benzin handeln. Es geht nun darum, für jeden Kunden eine Verbindung mit der Quelle zu schaffen. Dabei sind die Netzwerkverbindungen nicht festgelegt, d.h. die Knoten können auf jede Art und Weise miteinander verbunden werden. 8

10 Example 3.1 Eine Ansammlung von Dörfern wird betrachtet, wobei jedes Dorf entweder auf direktem Weg oder über andere Siedlungen Zugang zu einem Wasserreservoir erhalten muss. Dabei werden jeder möglichen Verbindung bestimmte Kosten zugeordnet. Das Problem besteht nun darin, alle Dörfer so mit dem Reservoir zu verbinden, dass die auftretenden Gesamtkosten minimiert werden. Das sich daraus ergebende Netzwerk mit minimalen Kosten wird als minimaler spannender Baum bezeichnet. Alles in allem ist die Konstruktion dieses minimalen spannenden Baumes nur ein Teil des Problems. Neben der Minimierung der Gesamtkosten muss auch das Problem der Kostenaufteilung betrachtet werden, d.h. es gilt zu entscheiden, wieviel jedes Dorf für das Netzwerk bezahlen muss. Im Folgenden werden einige Regeln zur Kostenverteilung vorgestellt und die Idee einer fairen Aufteilung erläutert. Formal ist ein Problem zur Bestimmung eines minimalen spannenden Baumes durch ein Tripel T = (N,, t) gegeben, wobei N = {1,..., n} die Menge der Knoten darstellt. In obigem Beispiel repräsentieren die Knoten die gegebenen Dörfer. Die Größe beschreibt die Quelle (Wasserreservoir) und die Abbildung t : E N R + ist die positive Kostenfunktion, die jeder Kante eindeutige Kosten zuordnet (z.b. Preise für Wasserleitungen). Die Menge E S stellt eine Kantenmenge dar, die Kanten zwischen allen Knotenpaaren aus S N = N beinhaltet. Somit ist (S, E S ) ein vollständiger Graph mit Knotenmenge S. E S = {{i, j} i, j S, i j}. Da alle Verbindungskosten positiv sind, ist ein Graph mit minimalen Kosten, der jeden Knoten mit der Quelle verbindet, selbst ein Baum. Somit ergibt sich auch die Problembezeichnung als Bestimmung eines minimalen spannenden Baumes. Sei ein Problem zur Bestimmung eines minimalen spannenden Baumes T = (N,, t) gegeben. Die Bird Zuteilung β R (T ) ordnet jedem Knoten i N die Kosten der ersten Kante auf dem Weg von i zur Quelle zu. Die Berechnung dieser Zuteilung kann von Prim s Algorithmus abgeleitet werden. Dieser erzeugt ausgehend von der Quelle einen minimalen spannenden Baum, indem die Kanten schrittweise mit minimalen Kosten ohne Auftreten von Kreisen gewählt werden (Kreise sind Wege, die einen Knoten mit sich selbst verbinden). Hierzu wird nun ein Beispiel betrachtet. Im Diagramm von Figur 8 sollen drei Knoten, A,B und C, mit einer Quelle (S) mit minimalen Kosten verbunden werden. Die Quelle ist im Diagramm durch einen roten Punkt dargestellt. Zunächst wird die Quelle mit dem nächstgelegensten Knoten, in diesem Fall Knoten B, verbunden. Danach wird derjenige Knoten bestimmt, der den nächst kleineren Abstand zu B oder der Quelle besitzt, was hier Knoten A entspricht. Da A näher an B als an der Quelle liegt, wird Knoten A mit Knoten B verbunden. Schließlich muss Knoten C noch in den Graphen 9

11 Figure 8: Beispiel für den Algorithmus von Prim. integriert werden. Es soll allerdings ein minimaler spannender Baum erzeugt werden, weshalb Knoten C mit minimalen Kosten zu verbinden ist. Anders ausgedrückt, wird eine Verbindung von Knoten C zu dem Knoten erstellt, der innerhalb des Graphen den geringsten Abstand zu C besitzt. In diesem Beispiel besitzt die Quelle die geringste Entfernung zu C, weshalb diejenige Kante, welche die Quelle mit Knoten C verbindet, hinzugefügt wird. Als Ergebnis erhält man den vierten Graphen aus Figur 8, der einen minimalen spannenden Baum zwischen diesen vier Knoten darstellt. Nun wird das nächste Problem betrachtet: Wie sollen nun die auftretenden Gesamtkosten, die sich durch Entwicklung dieses minimalen spannenden Baumes ergeben, verteilt werden? Hierzu wird Birds Regel angewendet, die im Folgenden genauer vorgestellt wird: Eingabe: Ein Problem zur Bestimmung eines minimalen spannenden Baumes (N,, t). Ausgabe: Eine Kantenmenge R E N mit zugehöriger Bird Zuteilung β R (T ). 1. Wähle Quelle als Wurzel des Baumes. 2. Initialisiere R =. 3. Bestimme eine Kante e = {i, j} E N \ R mit minimalen Kosten, die entweder mit der Quelle oder mit einem Endknoten einer R zugehörigen Kante verbunden ist, so dass durch Hinzunahme von e zu R kein Kreis entsteht. 10

12 4. Einer der Knoten i, j, sei dies ohne Einschränkung Knoten j, ist dabei bereits mit der Quelle verbunden. Dagegen besteht zwischen Knoten i und der Quelle noch keine Verbindung. Dann werden Knoten i die Kosten β R i (T ) = t(e) zugeordnet. 5. R wird um die Kante e erweitert. 6. Falls Knoten existieren, die innerhalb des Graphen (N, R) noch nicht mit der Quelle verbunden sind, soll mit diesem Verfahren erneut bei Schritt drei begonnen werden. Das nächste Beispiel dient zum besseren Verständnis dieser Regel. Example 3.2 Betrachte das Problem zur Bestimmung eines minimalen spannenden Baumes T mit Knotenmenge N = {1, 2, 3}, das in Figur 9 dargestellt ist. Die Zahlen an den Kanten repräsentieren die Kosten der jeweiligen Kante. Figure 9: Problem zur Bestimmung eines minimalen spannenden Baumes T. Bei Anwendung des eben präsentierten Algorithmus, kann als erstes entweder Kante {, 1} oder Kante {, 3} zu R hinzugefügt werden (diese entsprechen den Kanten mit minimalen Kosten, die von der Quelle ausgehen). Sei nun Kante {, 1} ausgewählt, dann ergeben sich Kosten von β R 1 (T ) = 10. Danach wird laut Birds Algorithmus Kante {1, 2} zu R hinzugefügt mit zugehörigen Kosten β R 2 (T ) = 6. Letztendlich wird R um Kante {2, 3} erweitert, wodurch man die Kosten β R 3 (T ) = 5 erhält. Dies führt zu folgender Kostenverteilung: (10, 6, 5). Bei Start mit Kante {, 3}, ergibt sich die Kostenaufteilung β R (T ) = (6, 5, 10). Jeder dieser spannenden Bäume ist in Figur 10 dargestellt. 11

13 Figure 10: Zwei minimale spannende Bäume. Genauer gesagt, muss bei der ersten Lösung nach Birds Regel Knoten eins 10 Einheiten, Knoten zwei 6 und Knoten drei 5 Einheiten der Kosten übernehmen. Analog muss in der zweiten Lösung Knoten eins 6, Knoten zwei 5 und Knoten drei 10 Einheiten der Gesamtkosten tragen. 4 Anwendungen Spanien ist in 17 verschiedene Regionen unterteilt, und eine davon wird Andalusien genannt. Andalusien selbst ist in acht Provinzen aufgeteilt, von denen jede eine Hauptstadt besitzt. Die geographische Karte dieser Region ist in Figur 11 dargestellt, wobei jede Hauptstadt als schwarzer Punkt gekennzeichnet ist. Folgende Fälle sollen einige Anwendungen von minimalen spannenden Bäumen beschreiben: 4.1 Fall 1: Verbindung ohne Quelle Angenommen eine Telekommunikationsfirma möchte alle acht Hauptstädte mit Glasfaserleitern verbinden. In folgender Tabelle sind die Entfernungen der einzelnen Städte angegeben: 12

14 Figure 11: Andalusien. Almería Cádiz Córdoba Granada Huelva Jaén Málaga Sevilla Almería Cádiz Córdoba Granada Huelva Jaén Málaga Sevilla Im Folgenden wird der minimale spannende Baum für diesen Fall erstellt und bestimmt, welche Kosten jede Hauptstadt für dessen Errichtung zu tragen hat. 13

15 4.2 Fall 2: Verbindung mit Quelle Angenommen, die acht Hauptstädte müssen sowohl untereinander, als auch mit einer Energiequelle verbunden werden, die sich in der Stadt Málaga befindet. Hierzu soll nun ebenfalls ein minimaler spannender Baum erstellt werden. Weiterhin geht es darum zu entscheiden, welche Zahlungen jede einzelne Stadt zu leisten hat. Dabei wird vorausgesetzt, dass sich die Stadt Málaga nicht an den Kosten für das Netzwerk beteiligt. 4.3 Lösungen Im ersten Fall ist keine Quelle vorhanden, so dass die erste Kante die beiden Städte mit minimaler Entfernung, in diesem Fall Sevilla und Huelva verbindet. Danach wird die verbleibende Hauptstadt zum Netzwerk hinzugefügt, die am nächsten zu Sevilla oder Huelva gelegen ist. Somit wird die Stadt Cádiz ausgewählt, die näher bei Sevilla als bei Huelva liegt. Also wird das Netzwerk um die Kante Sevilla-Cádiz erweitert. In analoger Weise werden nacheinander alle weiteren Städte in das Netzwerk integriert, was folgenden minimalen spannenden Baum liefert. Sevilla, Huelva, 94 Sevilla, Cádiz, 125 Sevilla, Córdoba, 138 Jaén, Córdoba, 104 Jaén, Granada, 99 Málaga, Granada, 129 Granada, Almería, 166,,Gesamtentfernung, 855 Im zweiten Fall mit festgesetzter Quelle erhält man dieselbe Lösung, wobei die Kanten jedoch in einer anderen Reihenfolge ausgewählt werden: Málaga, Granada, 129 Jaén, Granada, 99 Jaén, Córdoba, 104 Sevilla, Córdoba, 138 Sevilla, Huelva, 94 Sevilla, Cádiz,

16 Granada, Almería, 166,,Gesamtentfernung, 855 Die Verbindungen mit minimalen Kosten sind in Figur 12 dargestellt. Figure 12: Minimaler spannender Baum. 4.4 Kostenverteilung Zunächst wird angenommen, dass ein Kilometer des Netzwerks im ersten Beispiel Kosten von Euro verursacht und dass die Gesamtkosten von allen Städten getragen werden. Wieviel muss jede Stadt dann für das Netzwerk bezahlen? Im zweiten Beispiel wird davon ausgegangen, dass die Stadt Málaga die Errichtung der Quelle, die auch die anderen Städte versorgt, bezahlt hat und somit keine Kosten für das Netzwerk übernehmen muss. Welche Zahlungen haben dann die anderen Städte für das Netzwerk zu leisten? 15

17 4.5 Kostenverteilung für Verbindungen ohne Quelle Im ersten Fall kann Birds Regel nicht angewendet werden, da keine Quelle vorhanden ist. Im Folgenden werden weitere Regeln zur Bestimmung von Kostenverteilungen vorgestellt: Proportionale Verteilung: Hierbei werden die Gesamtkosten ( Euro) durch die Anzahl der durch das Netzwerk verbundenen Städte geteilt (8). Somit muss jede Stadt die gleichen Kosten übernehmen ( Euro). Jede Stadt übernimmt die Hälfte der Kosten derjenigen Kanten, die dieses Stadt als Anfangs- oder Endknoten besitzen. Zum Beispiel tragen die Städte Sevilla und Huelva die Kosten für die gegenseitige Verbindung zu gleichen Anteilen. 4.6 Kostenverteilung bei Verbindung mit einer Quelle Im zweiten Fall existiert eine Quelle in Málaga, weshalb Birds Regel angewendet werden kann. Zunächst wird allerdings die Kostenaufteilung mit proportionaler Verteilung und die daraus resultierenden Probleme betrachtet. Anschließend wird eine dritte Möglichkeit zur Kostenverteilung präsentiert. Proportionale Verteilung. Die Gesamtkosten des Netzwerks betragen Euro, weshalb jede der sieben mit Málaga verbundenen Städte = Euro bezahlen muss. Ist dies tatsächlich 7 die fairste Lösung? Hierzu wird der Fall betrachtet, dass sich Granada und Jaén entscheiden, ihr eigenes Netzwerk ohne Beteiligung der restlichen Städte aufzubauen. Bei Anwendung des bisherigen Algorithmus zur Erstellung eines minimalen spannenden Baumes, ergibt sich, dass die kürzeste Verbindung zwischen diesen beiden Städten und Málaga einer Gesamtlänge von km entspricht. Dies verursacht Gesamtkosten von Euro. Bei Anwendung der Proportionalitätsregel hätten beide hierfür einen Betrag von zu zahlen. Damit wären Granada und Jaén allerdings nicht bereit, einen Anteil der Gesamtkosten des gemeinsamen Netzwerks zu übernehmen, da sie ihr eigenes Netzwerk mit gleicher Leistung und geringeren Kosten errichten können. In diesem Beispiel liefert die Anwendung der Proportionalitätsregel keine sinnvolle Lösung. Falls bei einer Kostenverteilung ein Zusammenschluss von Kunden (in diesem Fall Städte) gebildet werden kann, die sich untereinander mit geringeren Kosten verbinden können, wird die entsprechende Aufteilung abgelehnt. 16

18 In der Spieltheorie wird eine Kostenverteilung, die garantiert, dass sich keine Kundengruppen bilden können, die bei Handlung auf eigene Faust geringere Kosten erreichen, als Kernverteilung bezeichnet. Nun wird Birds Regel angewendet. Jede Stadt muss folgende Beträge zahlen: Granada Euro. Jaén Euro. Córdoba Euro. Sevilla Euro. Huelva Euro. Cádiz Euro. Almería Euro. (Jede Stadt zahlt für die Kante, die sie mit dem Netzwerk verbindet). Hierbei kann nachgewiesen werden, dass kein Zusammenschluss von Städten eigene Verbindungen mit geringeren Kosten errichten kann. Diese Verteilung würde in der Spieltheorie somit eine Kernverteilung repräsentieren. Als Ergebnis ist bekannt, dass Birds Regel eine Kernverteilung für jedes Problem zur Bestimmung eines minimalen spannenden Baumes liefert. Folglich wird eine weitere, in Verteilungsproblemen angewandte, Aufteilungsmöglichkeit für Kosten vorgestellt. Bei dieser Aufteilung zahlt jede Stadt den proportionalen Anteil der Kosten derjenigen Kanten, die von dieser Stadt genutzt werden (wird eine Kante von mehreren Städten benutzt, werden die Kosten dieser Kante zu gleichen Anteilen unter den entsprechenden Städten aufgeteilt). Diese Verteilung wird nun im Folgenden näher betrachtet: Die Kante Málaga-Granada wird von allen Städten genutzt, so dass sich die entsprechenden Kosten ( Euro) in sieben gleiche Anteile aufteilen. Die Kante Granada-Almería wird nur von Almería genutzt, weshalb diese Stadt die gesamten Kosten ( Euro) zu tragen hat. Jaén, Córdoba, Sevilla, Cádiz und Huelva nutzen die Kante Granada-Jaén gemeinsam, so dass jede dieser Städte dafür Euro zahlen muss. Durch die Kante Jaén-Córdoba werden die Städte Córdoba, Sevilla, Cádiz und Huelva mit der Quelle verbunden. Somit übernimmt jede dieser Städte Kosten von Euro. 17

19 Die Verbindung Córdoba-Sevilla wird von Sevilla, Cádiz und Huelva genutzt, so dass sich für jede Stadt hierfür Kosten von / 3 Euro ergeben. Die Verbindung Sevilla-Cádiz wird ausschließlich von Cádiz genutzt, so dass diese Stadt die zugehörigen Gesamtkosten ( Euro) übernehmen muss. Die Kante Sevilla-Huelva wird nur von Huelva genutzt, so dass Huelva die Errichtungskosten von Euro zahlen muss. Zusammenfassend hat jede Stadt also folgende Beträge zu zahlen: Granada: Almería: = Jaén: = Córdoba: = Sevilla: = Cádiz: = Huelva: = Obwohl diese Verteilung fair erscheint, ist sie keine Kernverteilung. Entschließen sich nämlich Sevilla, Cádiz und Huelva dazu, ihr eigenes Netzwerk zur Verbindung mit Málaga zu errichten, so belaufen sich die entsprechenden Kosten auf (Sevilla- Málaga) (Sevilla-Huelva) (Sevilla-Cádiz) Euro, was Gesamtkosten von Euro entspricht. Dieser Preis ist geringer als die Kosten ( Euro), die sich für die Städte durch obige Aufteilung ergeben. Somit wird diese Verteilung nicht angewendet, da sie die geforderte Fairness Bedingung nicht erfüllt. 5 Wie soll der Fahrstuhl in einer Wohngemeinschaft bezahlt werden Auch in der heutigen Zeit gibt es immer noch Gebäude ohne einen Fahrstuhl. Irgendwann entscheiden die Anwohner, dass ein günstiger Zeitpunkt zur Installierung eines Aufzugs gekommen ist. Dabei treten Schwierigkeiten bei der Finanzierung auf. Die Art der Kostenverteilung bringt einige Anwohner dazu, auf eigene Faust, ohne Rücksicht auf die übrigen Bewohner zu handeln. Dies kann insbesondere dann eintreten, wenn eine Gruppe von Anwohnern existiert, deren Kosten für einen eigenen Fahrstuhl geringer wären als die Zahlungen, 18

20 die diese Gruppe für die gemeinsame Einrichtung eines Aufzugs für die gesamte Gemeinde zu leisten hätte. Hierzu wird folgender Fall betrachtet: In ein fünfstöckiges Wohnhaus mit jeweils einem Appartment pro Stockwerk soll ein Fahrstuhl eingebaut werden. Die beauftragte Baufirma verlangt einen festgelegten Preis, der von der Anzahl der beteiligten Stockwerke abhängt. Auf Grund technischer Schwierigkeiten nehmen die Kosten für ein Stockwerk mit steigender Höhe zu. Dies bedeutet, die Einrichtung eines Aufzugs zwischen dem sechsten und siebten Stock ist teurer als die Einrichtung zwischen dem ersten und zweiten Geschoss. Die genauen Preise der Baufirma sind in folgender Tabelle dargestellt. Anzahl der Stockwerke Kosten für den Fahrstuhl Figur 13 zeigt eine Skizze des Fahrstuhls. Figure 13: Fahrstuhlskizze. Innerhalb der Wohngemeinschaft wurde folgende Kostenverteilung entwickelt: jeder zahlt einen proportionalen Anteil, was Kosten von Euro entspricht. Ist diese Zuteilung,,fair? Auf welche andere Art könnte man die Ausgaben zwischen den Anwohnern aufteilen? 19

21 5.1 Ausgaben aufteilen Im Folgenden werden die drei bereits bekannten Regeln zur Kostenverteilung hinsichtlich dieses Problemfalls untersucht: 1. Proportionale Verteilung führt dazu, dass jeder Bewohner Euro zahlen muss. Allerdings müsste der Bewohner des ersten Stockwerks zur Einrichtung seines eigenen Fahrstuhls weniger (10000 Euro) bezahlen, weshalb dieser natürlich die teuerere Einrichtung eines allgemeinen Fahrstuhls ablehnen würde. 2. Birds Regel: bei Anwendung dieser Regel zur Kostenverteilung, kann sich kein Zusammenschluss von Anwohnern bilden, die einen eigenen Fahrstuhl mit geringeren Kosten installieren können. In diesem Beispiel liefert Birds Regel folgende Kostenverteilung: Der Bewohner des ersten Stockwerks zahlt Euro (entsprechend den Kosten zur Errichtung eines Aufzugs zwischen dem Erdgeschoss und dem ersten Stock). Der Bewohner des zweiten Geschosses zahlt einen Betrag von Euro (entsprechend den Kosten zur Einrichtung eines Fahrstuhls zwischen dem ersten und dem zweiten Stock). Für alle anderen Stockwerke wird analog verfahren. Mit dieser Aufteilung ergeben sich für den Bewohner des dritten Stocks Kosten von Euro, für den Bewohner des vierten Stocks Kosten von Euro und der Anwohner im fünften Stock muss eine Zahlung von Euro leisten. (solche Verteilungen, bei denen kein Zusammenschluss einer Teilmenge von Beteiligten mit geringeren Kosten gebildet werden kann, ist aus der Spieltheorie bereits als Kernverteilung bekannt.) 3. Weiterhin kann folgende Verteilungsregel entwickelt werden: Jeder Anwohner zahlt in Abhängigkeit der Anzahl von Stockwerken, die er zum Erreichen des eigenen Geschosses mit dem Fahrstuhl passieren muss. Somit muss der Bewohner des dritten Stocks für die Errichtung des Aufzugs zwischen dem ersten, zweiten und dritten Geschoss bezahlen. Hieraus ergeben sich folgende Kosten: Die erste Teilstrecke des Aufzugs kostet Euro und wird von jedem Bewohner genutzt, weshalb diese Kosten unter allen Anwohnern aufgeteilt werden ( = Euro). Die Kosten für die Errichtung zwischen dem ersten und zweiten Stockwerk werden von den Bewohnern des zweiten bis fünften Geschosses übernommen ( = Euro). 20

22 Die Fahrt zwischen dem zweiten und dritten Stockwerk kostet Euro und wird von den Anwohnern im dritten, vierten und fünften Geschoss bezahlt ( = Euro). Die Errichtung zwischen dem dritten und vierten Stock verursacht Kosten von Euro, die von den Bewohnern des vierten und fünften Geschosses übernommen werden müssen ( = 6500 Euro). Die letzte Strecke zwischen dem vierten und fünften Stock wird ausschließlich von dem Bewohner des fünften Geschosses bezahlt ( = Euro). Somit ergibt sich folgender Kostenvektor: (2000, 4750, 8750, 15250, 29250), wobei die i-te Komponente die Kosten für den Anwohner im i-ten Stockwerk repräsentiert. Obwohl dies eine stabile Verteilung darstellt, die einer Kernverteilung des entsprechenden kooperativen Spiels entspricht, scheint es übertrieben, dass der Bewohner des fünften Stocks 15 mal soviel wie der Anwohner des ersten Geschosses zahlen muss. Was hat man also von dem Fairnesskonzept dieser Verteilung zu halten? 21