Der mathematische Werkzeugkasten

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1 Der atheatische Werkzeukasten Foreln ustellen Potenzen Zehnerpotenzen Einheiten Übunsaufabe Sonsties

2 1 Foreln ustellen Matheatischer Werkzeukasten 1/11 Jede Forel ist eine Gleichun (wie an a Gleichheitszeichen leicht erkennt). Forel ustellen bedeutet also Gleichun ustellen, d. h. Größen von einer Seite der Gleichun auf die andere Seite brinen. Und die Reeln dafür sind einfach: Brint an eine Größe it positive Vorzeichen auf die andere Seite, so wird diese Größe neativ. Beispiel: wir wollen die Gleichun ab + cd 5 so ustellen, dass cd auf der rechten Seite steht. Da cd positiv ist, wird es auf der anderen Seite neativ: ab 5 cd. Beispiel: In der Gleichun + x 1 soll x auf der linken Seite alleine stehen bleiben. (Das nennt an Auflösen der Gleichun nach x ). Dazu uss die auf die rechte Seite ebracht werden, wobei sie ihr Vorzeichen wechselt. So erhalten wir x 1 bzw. x 1. Uekehrt ist es ebenso: brint an eine Größe it neative Vorzeichen auf die andere Seite, so wird sie positiv. Beispiel: wir wollen die letzte Forel ab 5 cd so ustellen, dass cd wieder auf der anderen Seite steht. Da es neativ ist, wird es durch die Ustellun positiv: ab + cd 5. Beispiel: Auch die Gleichun x 6 soll nach x aufelöst werden. Sie sollten das folende Erebnis erzielen: x 6 + bzw. x 1. Ähnlich verhält es sich it Multiplikation und Division. Brint an einen Faktor auf die andere Seite, so wird er zu Divisor 1,, steht also unter de Bruchstrich. Uekehrt verhält es sich ebenso. Beispiel: wir wollen die einfache Forel s v t so ustellen, dass t auf der linken Seite steht. Jetzt wird der Divisor t zu Faktor: t v s. 1 Einie Bezeichnunen: Suand + Suand Sue; Minuend Subtrahend Differenz Faktor Faktor Produkt (auch: Multiplikand Multiplikator Produkt) Dividend Dividend : Divisor Quotient bzw. Quotient Divisor 1 Beerkun zur Division: Ein Bruchstrich und ein Divisionszeichen sind dasselbe: 1 : 5 ist dasselbe wie. 5

3 Matheatischer Werkzeukasten /11 Nun soll der Faktor v auf die rechte Seite ebracht werden, dadurch wird er zu Divisor: s t. v Matheatisch zwar nicht korrekt, aber riffi ausedrückt: Plus wird Minus und uekehrt, Mal wird Geteilt und uekehrt. Das Foreldreieck Bei einfachen Foreln wie s v t s v kann an sich das Foreldreieck aufzeichnen: t Zwei Größen, die durch die waaerechte Linie etrennt sind, werden dividiert, zwei Größen, die s s durch die senkrechte Linie etrennt sind, werden ultipliziert: s v t, v, t. t v Noch ein Beispiel: Einsteins berühte Forel E c sieht als Foreldreieck so aus: E c Dann sieht an sofort: E, c c E. Ein letztes Beispiel: Aus der Forel für de Massenanteil des Stoffes X an der Gesatasse X einer Lösun w X wird das Foreldreieck X Ls w X Ls. und an sieht sofort, dass X w X Ls.

4 Matheatischer Werkzeukasten /11 Potenzen: Wiederholun der Rechenreeln a heißt Basis der Potenz a n, n heißt Exponent der Potenz a n. Festleun (Definition): a 0 1 Multiplizieren zweier Potenzen: Die Exponenten werden addiert. a n a a n + Beispiel: n, : a a a a a a a a 5 Beispiel: + 5 Dividieren zweier Potenzen: Die Exponenten werden voneinander subtrahiert. a n : a a a n a n Beispiel: n 5, : a a 5 a a a a a a a a a a a Beispiel: 5 5 Mit der Divisionsreel lässt sich übriens zeien, waru die Festleun a 0 1 sinnvoll ist: 1 a : a a a 0. Potenzieren von Potenzen: Die Exponenten werden ultipliziert: (a n ) a n Beispiel: (10 ) a 1 a 1, alleeiner: a n 1 n a (a b) n a n b n, a b n a b n n

5 Zehnerpotenzen Matheatischer Werkzeukasten /11 Bei Zehnerpotenzen ibt der Exponent die Anzahl der Nullen an: Der neative Exponent ibt die Anzahl der Nullen einschließlich der Null vor de Koa an , , , Rechenreeln Multiplizieren: Wie oben schon ezeit: Die Exponenten werden addiert Stits? (Es reduziert sich praktisch auf das Zählen der Nullen.) ( )+( ) 10 5 Stits? Dividieren: Wie oben schon ezeit: Die Exponenten voneinander subtrahiert. 10 : : ( ) : : (Zur Erinnerun: Division durch einen Bruch ist Multiplikation it de Kehrwert!)

6 Matheatischer Werkzeukasten 5/11 Über und unter de Bruchstrich Bei Positionswechsel innerhalb eines Bruchs (d. h. vo Zähler in den Nenner oder uekehrt) ändert der Exponent sein Vorzeichen: ist dasselbe wie ist dasselbe wie In den beiden folenden Beispielen ändert der Exponent bei Wechsel vo Nenner zu Zähler sein Vorzeichen: 1,5 1, ,5 1 7, Wozu das anze? Unter andere, weil 1, einfacher zu schreiben ist als

7 Einheiten Matheatischer Werkzeukasten 6/11 Einheiten werden wie Zahlen behandelt! Einheiten lassen sich wie Zahlen behandeln: an kann sie addieren und subtrahieren (allerdins nur leichartie Einheiten), ultiplizieren und dividieren, potenzieren, kürzen usw. Dabei elten dieselben Reeln wie für Zahlen. Genau enoen bedeutet z. B. 5 : eine 1 lane Strecke 5 al aneinanderelet, also 5 1 Das ist eine Multiplikation einer Zahl it einer Einheit. Da an - noralerweise die 1 als Faktor welassen kann und - an auch den Multiplikationspunkt welassen kann, enüt es zu schreiben: 5. Die Einheit, in diese Beispiel der Millieter, wird also enauso behandelt, als wäre sie eine Zahl. Einheiten werden wie Zahlen behandelt! Einheiten kann an enau wie Zahlen addieren (und natürlich subtrahieren): 0 µol + 5 µol (0 + 5) µol 65 µol 1 k ( 1,1 k) Einheiten kann an kürzen wie Zahlen: 0 0,5 ol 10 ol n 1 1 ol 0,5 ol ol Potenzen von Einheiten Wenn it Einheiten versehene Größen potenziert werden, uss ier beides potenziert werden: die Zahl und die Einheit: (0 c) 0 c 00 c Zur Erinnerun: (ab) n a n b n Bitte beachten: (0 c) ist etwas anderes als 0 c! Besonders bei Urechnunen ist darauf achten, dass die Zehnerpotenzen itpotenziert werden, wie hier bei der Urechnun von c in : 1 c (10 - ) (10 - ) 10 -

8 Matheatischer Werkzeukasten 7/11 Präfixe Bruchteile oder Vielfache von Einheiten werden eistens it Vorsilben (Präfixen) versehen. Die Vorsilbe Kilo z. B. bedeutet 1000 oder 10 und an schreibt 1000 Meter 1 Kiloeter; die Vorsilbe Milli bedeutet 1/1000 oder 10, also 1/1000 L 1 L. 1 k sind 1000 und 1 ist 1/1000 Meter. Bei Verständnisprobleen achen Sie sich das an alltälichen Einheiten wie Kiloeter, Gra, Mikroliter etc. klar. Der Code für die Vorsilben: Wert und Vorsilbe Nae Wert und Vorsilbe Nae 10 1 da Deka 10-1 d Dezi 10 h Hekto 10 - c Zenti 10 k Kilo 10 - Milli 10 6 M Mea 10-6 µ Mikro 10 9 G Gia 10-9 n Nano 10 1 T Tera 10-1 p Pico Genau so wie die Einheiten selbst lassen sich auch die Präfixe wie Zahlen behandeln, denn jedes Präfix steht ja für eine Zahl. Aus deselben Grunde kann an kürzen, was sofort klar wird, wenn an das Präfix als Zehnerpotenz hinschreibt.,5 ol µol,5 ol 6 ol 5-6 w 00 µ ,000 (0,0%)

9 Matheatischer Werkzeukasten 8/11 Nicht erschrecken: Eine Übun zu Uan it Zahlen und Einheiten Geeben ist die Forel für eine Größe η. (0 µ) 0,791 / c 9,807 / s (0 in 5 s) η π ,5 c ln 1 Ziel ist es, das rechts vo Gleichheitszeichen stehende Zeu ölichst weit zu vereinfachen. Erste Vereinfachun: Ein Bruch i Bruch ist hässlich. We dait! (Hellelb unterlet) (0 µ) 0,791 / c 9,807 / s (0 in 5 s) η π ,5 c ln 1 Die soeben auseklaerten Millieter werden ekürzt, dabei wird leich der Zahlenwert auserechnet (elb unterlet): (0 µ) 0,791 / c 9,807 / s (0 in 5 s) η π 8 7,5 c ln 1,571 Jetzt folen zwei Schritte: der Loarithus wird auserechnet (elb) und die Zeitanabe i Zähler wird in Sekunden uerechnet (türkis): (1) ln 1,571,60797 (brauchen Sie nicht zu können, das acht der Taschenrechner) () 0 in 5 s (0 60 s) + 5 s 100 s + 5 s 15 s (0 µ) 0,791[ / c ] 9,807 / s η π 8 7,5 c, s Alle Einheiten werden in die Basiseinheiten k,, s uerechnet, inde an die Präfixe durch Zehnerpotenzen ersetzt (das Erebnis ist hellblau unterlet): π (0 η Es ibt noch einen Bruch i Bruch, nälich [10 k / (10 ) ] i Zähler. Wir brinen (10 ) in den Nenner, wobei nun auch die eckie Klaer i Zähler wieder entfallen kann. Achtun: In diese Fall ibt es keinen Vorzeichenwechsel bei Exponenten! η π I nächsten Schritt werden auch die Zahlen als Zehnerpotenzen ausedrückt (hellelb unterlet): η π -6 ) 0,791 [10 k /(10 ) ] 9,807 / s ,5(10 ), (0 ) 0,791 k 9,807/s ,5(10 ),60797 ( (,0 ) 7,91 k 9,807/s - - 8,7,5(10 ),60797 (10 15s ) 15s 1,5 s ) Jetzt lassen sich die Zehnerpotenzen zusaenfassen (rün unterlet): π η - (,0 ) 7,91 1 8,7,5 6 - k 9,807 /s, ,5 s

10 Matheatischer Werkzeukasten 9/11 Spätestens jetzt ist es zweckäßi, noch den Ter hinter de π i Zähler auszurechnen: (,0 10 ), , , η π 1 6,188 7,91 k 9,807 /s 1-8,7,5, ,5 s Jetzt sortieren wir die Zahlen, die Zehnerpotenzen und die Einheiten: η 1 6 π,188 7,91 9,807 1,5 k s - 8,7,5,60797 s ,85 k η 5 17,55 s s 9 107,85 k k η 5, ,55 s s Dies war eine Aufabe zur Berechnun der Viskosität einer Flüssikeit aus 8 eessenen Größen. Die Einheit der Viskositat ist Pa s. Dies ist konsistent it unsere Erebnis: Pa s s s N k k s s Was an noch wissen sollte Das Proble: Sie haben eine Forel hineschrieben und wissen nicht enau ob sie stit. Für diesen Fall ibt es einen einfachen Test. Anenoen, Sie berechnen it Hilfe der Molasse M und der Masse die Stoffene n. Sie M schreiben versuchsweise al n hin. Stit das? Das ist sofort und zweifelsfrei anhand der Einheiten zu überprüfen. Da Sie eine Stoffene berechnen, uss als Einheit ol herauskoen. Erster Versuch: M n hat die Einheiten /ol 1 Das ist it Sicherheit falsch! ol ol Versuchen wir es it ol n. Das hat die Einheiten ol. Ihre Forel stit! M /ol Jede beliebie Gleichun bzw. Forel, in der Einheiten vorkoen, lässt sich auf diese Weise testen. Es üssen auf beiden Seiten dieselben Einheiten stehen.

11 Matheatischer Werkzeukasten 10/11 * Wozu sind Zehnerpotenzen noch ut? Ist ein Erebnis plausibel? Wenn Sie Zweifel über das Erebnis Ihrer Berechnun haben, könne Sie it Hilfe von Zehnerpotenzen eine Größenabschätzun achen. Anenoen, Sie berechnen die Masse des entstehenden Kohlendioxids, wenn Sie 1 Kohlenstoff verbrennen, d. h. it Sauerstoff usetzen. Als Erebnis erhalten Sie k CO. Sie sehen dann auf den ersten Blick, dass etwas nicht stien kann. Woher sollen die k CO koen, wenn Ihre Ausansstoffe nur raweise vorhanden waren? A nahelieendsten ist es in solchen Fällen, dass an i Rechenwe nach eine Fehler bei den Zehnerpotenzen sucht. Was ist ein Mol? Wieviel ist das eientlich? 1 ol 1 C enthält 6,0 10 Atoe. 1 ol H O enthält 6,0 10 Moleküle. 1 Mol, das sind 6,0 10 Stück. Für robe Abschätzunen enüt es, wenn an it 6 10 rechnet. Eine so roße Zahl, eine 6 it Nullen dahinter, ist eientlich unvorstellbar. Machen wir trotzde einen Versuch, eine Vorstellun von der Größe dieser Zahl zu bekoen. Galaktische Seeln 1 Mol Seeln: das sind, wie wir wissen (s. o.), 6 10 Seeln. Wenn 1 Seel 0 wiet, dann wiet 1 Mol Seeln 6 10 al soviel, also , In k uerechnet sind das, 10 k oder, Tonnen. Ein Güterwaen trät eine Masse von 10 Tonnen, also braucht an, Güterwaen für die Seeln. Ein Güterwaen ist 10 lan. Bei, Güterwaen ist der Zu also, oder, k lan. Ein Lichtjahr sind 9, k. Die Läne des Güterzus beträt also 500 Lichtjahre. Der Däon it der Pinzette Ein Däon (Gollu?) ist dazu verdat, die 6 10 Atoe eines Mols zählen. Dazu nit er it seiner ultrawinzien Däonenpinzette in jeder Sekunde 1 Ato. Ständi, Ta und Nacht. Nehen wir an, er hätte dait beonnen, als das Universu entstand, also vor etwa 15 Milliarden Jahren. Das sind Sekunden, also, Sekunden. So viele Atoe hat er also schon abezählt. Das ist aber wenier als ein Millionstel eines Mols! Weiter ist der Däon in der esaten bisherien Existenz des Universus nicht ekoen. Daraus folt: 1 Mol ist wirklich sehr, sehr viel! Daraus folt außerde, dass Moleküle wirklich sehr, sehr klein sind!

12 Matheatischer Werkzeukasten 11/11 Viel oder weni? 6 ist ein bisschen rößer als 5. Aber 10 6 ist nicht ein bisschen rößer als 10 5, sondern zehnal so roß! Viele Leute kennen den Unterschied zwischen 1 Million und 1 Milliarde nicht. Eine Million sind 10 6, eine Milliarde sind Ist das ein roßer Unterschied oder ist beides anz viel und desween sowieso eal? Nehen wir an, auf de Tisch liet ein Hundert-Euro-Schein. Er ist etwas verknittert, also nicht anz platt: saen wir al, er sei 1 hoch. Nun leen wir ier neue Hundert-Euro-Scheine darauf und vernachlässien dabei al, dass sie dabei plattedrückt werden, d. h. für jeden Schein nehen wir 1 Dicke an. U 1 Million Euro zu bekoen, brauchen wir 10 6 / Hundert-Euro-Scheine. Das eribt einen 10 hohen Tur, denn Es wäre schön, einen solchen Tur aus Hundert-Euro-Scheinen zu besitzen. Eine Milliarde ist das Tausendfache von 1 Million ( ). Das heißt, dass der Tur tausendal höher, , also hoch ist. Das sind 10 k! Sehen Sie den anz praktischen Unterschied zwischen 1 Million und 1 Milliarde? Eine Million Dollar ist nicht cool. Weißt du was cool ist? Eine Milliarde Dollar. Kuhnke 11/01