Geometrische Charakterisierung von Mikrostrukturen in Volumenbildern

Transkript

1 Geometrische Charakterisierung von Mikrostrukturen in Volumenbildern

2 Ziele der Mikrostrukturanalyse geometrische Charakterisierung für - Qualitätssicherung - Auswahl und Vergleich von Materialien Aufbereitung von Bilddaten für die direkte Verwendung zur Simulation makroskopischer Materialeigenschaften Anpassung eines stochastischen Geometriemodells: - geometrische Kenngrößen der Mikrostruktur an Hand der Bilddaten bestimmen - Modellparameter daraus berechnen - Ermittlung der für die gewünschten Eigenschaften optimalen Struktur Seite 2

3 Was ist ein 3d/Volumenbild? Ergebnis eines 3d bildgebenden Verfahrens z.b. Jinnai et al, Phys. Rev. Lett. 78, 2251 (1997) Computertomographie Laserscanningmikroskopie Nanotomographie (mit AFM oder TEM mit FIB). Vermikulargraphit, TEM/FIB, A. Velichko, Uni Saarbrücken Grauwerte, bestimmt in den Knoten eines Gitters (hier: kuboidales Gitter ) in einem Beobachtungsfenster sind die Pixelgrößen in x-, y- bzw. z-richtung Pixel (Voxel) ist ein Gitterpunkt, Pixelwert der zugewiesene Grauwert R. Magerle, Phys. Rev. Lett. 85, 2749 (2000);. Seite 3

4 Typen von Mikrostrukturen homogen Strukturen mit Homogenität bezüglich einiger Bewegungen Systeme von Objekten Seite 4

5 Innere Volumina Volumen V, Oberfläche S, Integral der mittleren Krümmung M, Integral der totalen Krümmung K (Eulerzahl ) Theorem (Hadwiger, 1957): Jedes nichtnegative, bewegungs-invariante, monoton wachsende, c- additive Funktional von konvexen Körpern ist eine Linearkombination der inneren Volumina. Innere Volumina beschreiben nicht alle Eigenschaften von Mikrostrukturen. (Baddeley, Averback, 1983): Beispiel von gleichen inneren Volumina bei völlig verschiedener Tortuosität. Abgeleitete Kenngrößen: Richtungsinformation: Formfaktoren Projektionen Äquivalent: Minkowskifunktionale, Quermaßintegrale Seite 5

6 Croftonsche Schnittformeln innere Volumina aus Schnitten mit Ebenen (d=2), Geraden (d=1), Punkten (d=0). Bestimmung der inneren Volumina durch Integration über alle Positionen der Schnittobjekte: Volumen aus Flächeninhalt ebener Schnitte oder Länge linearer Schnitte oder Anzahl der überdeckten Punkte Oberflächeninhalt aus Umfang ebener Schnitte, gemittelt über alle Schnittrichtungen Eulerzahl der Schnitte mit Geraden, gemittelt über alle Schnittrichtungen Integral der mittleren Krümmung aus Eulerzahl der Schnitte mit Ebenen, gemittelt über alle Schnittrichtungen Seite 6

7 Croftonsche Schnittformeln In Formeln: Seite 7

8 Diskretisierung der Croftonschen Schnittformeln Innere Volumina aus Schnitten mit 1- oder 2-dimensionalen Untergittern oder Gitterpunkten. Bestimmung der inneren Volumina durch Zählen der Schnittobjekte: Volumen aus Anzahl der überdeckten Gitterpunkte Oberflächeninhalt aus Eulerzahl in 1-dimensionalen Untergittern, gemittelt über alle 13 diskreten Richtungen (3 Gitterkanten- + 6 Flächendiagonalen- + 4 Raumdiagonalenrichtungen) Integral der mittleren Krümmung aus Eulerzahl in 2-dimensionalen Untergittern, gemittelt über alle 13 diskreten Richtungen Entscheidende Aufgabe: korrekte und effiziente Bestimmung der Eulerzahl in Untergittern Seite 8

9 Diskreter Zusammenhang in 3d Diskreter Zusammenhang (Nachbarschaft) gibt an, wie Pixel miteinander verbunden sind (Kanten, Wege, Zusammenhangskomponenten). Wichtig: Konsistenz Vorder-/Hintergrund 2d: (4, 8), (6.1, 6.1), (6.2, 6.2), vollständig, konsistent (Jordanscher Kurvensatz und Eulerzahl Vordergrund=-Eulerzahl Hintergrund) 3d: (6,26), (14.1, 14.1), (14.2, 14.2) konsistent (Jordanscher Oberflächensatz und Eulerzahl Vordergrund=Eulerzahl Hintergrund) Ungelöst: Vollständigkeit Vorsicht: (6,18) nicht konsistent bzgl. Eulerzahl Seite 9

10 Approximation der Eulerzahl mit Hilfe der Euler-Poincaré-Formel Eulerzahl in 3d: Polytop: #Zusammenhangskomponenten - #Tunnel + #Löcher Eulerzahl = #Knoten - #Kanten + #Flächen - #Zellen Idee: - Bestimme lokale Eulerzahl, - Randkorrektur durch Gewichte, - Eulerzahl = Summe der lokalen Eulerzahlen Vorsicht: starke Abweichungen bei mangelnder Auflösung Seite 10

11 Kenngrößen von Komponenten: FieldFeatures Komponente = Ausschnitt aus makroskopisch homogener Struktur (räumlich stationäre zufällige abgeschlossene Menge) Messung der Dichten der inneren Volumina (z.b. Volumenanteil, spezifische Oberfläche) Interpretationsbeispiele: Fasern: (spezifische Faserlänge) L = 23.3mm V -2 isolierte Teilchen: Eulerzahl = Teilchenzahl offenzelliger Schaum: mittlere Stegdicke. χ =133 Seite 11

12 Fasermaterial Richtungsinformation ist enthalten in verallgemeinerten Projektionen bei Berechnung des Integrals der mittleren Krümmung Verteilung der Richtung im typischen Faserpunkt Faserfilz, European Synchrotron Radiation Facility (ESRF), Pixelgröße 7µm, Phasenkontrastmethode Seite 12

13 Inhomogenes Faservlies Seite 13

14 Kenngrößen von Objekten: ObjectFeatures Was sind Objekte? Mathematisch: kompakte, zusammenhängende Menge Bildanalytisch: pfadzusammenhängend, endlich Beispiele: Poren, Zellen, Fasern, Risse, Lunker Seite 14

15 Formfaktoren isoperimetrische Formfaktoren: 1 für Kugel, je näher an 0 desto weniger kugelig (0.9, 0.76, 0.89) (0.82, 0.71, 0.91) (0.72, 0.57, 0.85) Konvexität: Verhältnis der Volumina des Objekts und seiner konvexen Hülle Exzentrizität: Verhältnis von minimalem zu maximalem Durchmesser Seite 15

16 Problem: Randeffekte Randobjekte können nicht korrekt vermessen werden. Ausweg: Entfernen aller Randobjekte (ObjectFilter) Effekt: Größenverzerrte Auswahl (Randobjekte sind größer ) Ausweg: Randkorrektur Seite 16

17 Minus-Sampling-Korrektur Idee: reduziertes Beobachtungsfenster W-, so dass alle Objekte mit Zentrum in W- ganz in W enthalten sind -> Statistik über alle diese Objekte (Schätzung der Markenverteilung eines Punktprozesses) Verwendbar für große Anzahl von Objekten Objekte klein im Verhältnis zum Bildausschnitt Seite 17

18 Miles-Lantuejoul-Korrektur Idee: zähle nur Objekte, die den Rand nicht schneiden große Objekte erhalten größeres Gewicht als kleine Konkret: gewichte X mit 1/p p: Wahrscheinlichkeit, dass X in W platziert werden kann Verwendbar für kleinere Anzahl von Objekten Seite 18

19 Problematisches Beispiel Seite 19

20 Korundeinschlüsse in Feuerbeton Größen- und Formverteilung der Korundeinschlüsse in Feuerbeton Vorher: Trennung der Aluminaeinschlüsse durch Kombination von Euklidischer Distanztransformation und Wasserscheidentransformation Feuerbeton mit Aluminaeinschlüssen, TU Freiberg, XCT Fraunhofer IZFP, Saarbrücken Seite 20

21 Zellgrößen in offenzelligem Schaum Seite 21

22 Poren in Keramikkörnern Seite 22

23 Offenzellige Schäume Vermessung des Stegsystems: Messung der FieldFeatures, Ableitung von Charakteristika des Stegsystems Modellbasierte Berechnung von mittleren Charakteristika des Poren/Zellsystems (z.b. mittlere Zellgröße, ppi, mittlere Stegdicke) Rekonstruktion des Zellsystems: PU-Schaum, Foseco GmbH, Fraunhofer IZFP, Pixelgröße 71µm Messung der ObjectFeatures, Größenverteilungen Seite 23

24 Beispiel: FieldFeatures Porosität Formel 1-V V Beispiel 73,037% Steglängendichte (Gesamtlänge der Stege pro Volumeneinheit) mm - ² Mittlere Stegdicke mm Mittlerer Stegumfang mm Nickel-Chrom-Schaum, Recemat International, RJL Micro & Analytic, Pixelgröße 12µm Seite 24

25 OpenFoamFeatures Annahme: Der Schaum genügt einem der folgenden Modelle: Poisson-Voronoi- Mosaik (PV) Hardcore- Voronoi-Mosaik (HCV) Laguerre-Mosaike zu dichten Kugelpackungen (L1 und L2) Weaire-Phelan- Schaum (WP) Seite 25

26 OpenFoamFeatures (modellbasierte Analyse) Idee: Berechne Eulerzahldichte (- Knotenintensität) Bestimme Skalierungsparameter für Modell Berechne Kenngrößen für den Schaum anhand von Formeln für das Modell, z.b. - mittlere Anzahl von Zellen, Facetten, Kanten, Knoten pro Volumeneinheit - mittleres Zellvolumen - mittlerer Zelldurchmesser, ppi (pores per inch)-wert - mittlerer Durchmesser der Seitenflächen Seite 26

27 Beispiel: OpenFoamFeatures PV HCV L1 L2 WP Mittleres Volumen mm ³ M. Oberfläche mm ² M. Durchmesser mm Intensität Zellen mm - ³ Intensität Facetten mm - ³ Intensität Kanten mm - ³ Intensität Knoten mm - ³ Seite 27

28 Zellrekonstruktion Seite 28

29 Wasserscheidentransformation (WST) Morphologische Transformation, teilt Bild in Regionen und Grenzen Grauwerte = Relief Flutung, Grenzen dort, wo Wasser aus verschiedenen Becken zusammenläuft. Wasserscheiden: auf Bergrücken, teilen zwei Becken Jedes lokale Minimum erzeugt Becken (Region). Seite 29

30 Euklidische Distanztransformation (EDT) Start: Binärbild EDT Distanztransformation: weise jedem Pixel seinen Abstand zum Hintergrund zu invertiere topographische Oberfläche, Täler = Objektzentren WST trennt Objekte Topographic surface annähernd runde Objekte Euklidische Distanztransformation (EDT) WST Image: Piere Soille, Morphological Image Analysis, Springer Seite 30

31 Problem: Übersegmentierung WST weist jedem Minimum (Tal) ein Objekt zu Überflüssige Minima durch Rauschen Abweichungen von der Kugelform Diskretisierungseffekte verursachen Übersegmentierung. Seite 31

32 Zellrekonstruktion Erweiterung Presegmented Image: Matrix + Pores EDT on Pores Complement Filter Minima Pores --1 Matrix Max WST Mask with Pores Segmented Foam Seite 32

33 Vermeidung von Übersegmentierung: hmin-transformation Entfernt lokale Minima entsprechend ihrer Dynamik (minimale Höhe, die überwunden werden muss, um ein niedrigeres lokales Minimum zu erreichen) Lokale Minima mit Dynamik werden entfernt: Täler werden gefüllt, bis Minimum entweder um h erhöht ist oder Wasser in ein Tal mit Dynamik >h laufen würde Seite 33

34 Vermeidung von Übersegmentierung: Vorgeflutete Wasserscheide Erzeugt nur Regionen mit Volumen größer einem gegebenen Schwellwert. Kleinere Regionen werden von benachbarten Regionen überflutet. Schneller als Filterung + WST Seite 34

35 Zellrekonstruktion - Ergebnis Hmin, Dynamik 50% des mittleren Zelldurchmessers Vorgeflutete WST, Schwellwert 40% des mittleren Zellvolumens Seite 35

36 Offener Nickel-Chrom- Schaum: Zellgrößenverteilung gewichtet Frequency Minus-Sampling Volume [mm³] Volume [mm³] Seite 36

37 Grenzen Zellrekonstruktion schlägt fehl, wenn Geschlossener Aluminiumschaum, TU Freiberg, Bild BAM, Auflösung 40µm Zellgrößen zu stark schwanken Zellform zu stark von Kugelform abweicht Laguerre-Mosaik erzeugt von dichter Kugelpackung, Verteilung der Kugelvolumina ist Gamma-Verteilung mit cv=2.0 hmin Vorgeflutete WST Seite 37

38 Vermeidung von Übersegmentierung: Adaptive hmin- Transformation Idee: passe hmin-transformation an den Grauwert an, reduziere Dynamik linear mit dem Grauwert Ergebnis: lokale Minima mit kleinem Grauwert werden entfernt, lokale Minima mit gleicher Dynamik aber höherem Grauwert bleiben Seite 38

39 Anwendung: geschlossener Aluminiumschaum hmin Vorgeflutete WST Adaptives hmin Seite 39

40 Modellierung von Mikrostrukturen Modellierung von mikroskopisch heterogenem aber makroskopisch homogenem Material Messung der geometrischen Kenngrößen Auswahl eines Modells (Basis: räumlich homogene Modelle der stochastischen Geometrie) Bestimmung der Modellparameter (Anpassung des Modells) Ziel: Materialeigenschaft(en) optimieren Seite 40