Kreis- und Kreisteile

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1 Kreis- und Kreisteile Formeln: Umfang Kreis: u Kreis r π Fläche Kreis: Kreis r π Länge Kreisbogen: b Fläche Kreissektor: sek oder sek φ 360!rπ φ 360!r π!b!r Umfang Kreissektor: u b + r Fläche Kreissegment: Seg sek - µ 360!r π!r!sin µ#

2 wichtige einfache ufgaben: ) Ein Kreissektor hat den Radius r 6,5 cm und den Mittelpunktswinkel 0. a) Zeichne den Kreissektor und zugehöriges Kreissegment. b) erechne:! Länge des ogens b, (b,48 cm)! Flächeninhalts des Kreissektors sek ( sek 40,56 cm )! den Umfang des Kreissektors u sek ( u sek 5,48 cm)! die Fläche des Kreissegments seg ( seg 0,7 cm )! den Umfang des Kreissegments u seg (u seg 3,3 cm) ) Ein Kreissektor hat den Radius r 4 cm und die ogenlänge b 3,04 cm. erechne:! Maßzahl des Flächeninhalts : ( 46,04 cm )! Mittelpunktswinkel φ ( φ 330,0 ) 3) Ein Kreissektor hat einen Flächeninhalt von 0 cm. er Mittelpunktswinkel µ 4. erechne den Radius r des zugehörigen Kreises. (r 7,48 cm) 4) erechne den Umfang eines Halbkreises mit Radius r 3 cm. (u 5,4 cm)

3

4 .

5 ufgabe Nachtermin.0 ie nebenstehende Skizze zeigt den Grundriss einer ühne, welcher durch die Strecken [E], [] und [C] sowie den Kreisbogen CE begrenzt wird. er Punkt liegt auf der Strecke [E] und ist der Mittelpunkt des Kreises mit dem Radius r E C. Gegeben sind folgende Maße: E C E 8,00m; 6,00m; E 0,80m; E 45 ; CE 56. Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.. Zeichnen Sie den Grundriss der ühne im Maßstab :00. P Seite - -

6 ufgabe Nachtermin. Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecke [E] gilt: E 5,78m. [Teilergebnis: E 33,7 ] 3 P.3 er Kreissektor, der durch die Strecken [E] und [C] sowie den Kreisbogen CE begrenzt wird, dient als Hebebühne für Showeffekte. erechnen Sie den Flächeninhalt dieses Kreissektors. [Teilergebnis: C 46,06 ] 4 P Seite - 3 -

7 EENE GEOMETRIE. L3 K4 E C. E E sin E sin E E 80 - E- E E + E - E E cos E 8,00 + 0,80-6,00 cos E E Î ]0 ;80 [ 8,00 0,80 E 33,7 E ,7 E 0,83 8,00 sin45 E sin0,83 m E 5,78m 3 L K K5

8 .3 CE E 360 p CE 80 C C 80 C C sin C sin C E E C C E 5,0 sin56 sin C 5,78 C ]0 ;4 [ C 46,06 C ,06 C 77, CE 80 77, CE 0,06 0,06 5,78 m 360 p,75m 4 L K K5

9 Prüfungsdauer: 50 Minuten an den Realschulen in a ern 009 Ma a II.0 Gegeben ist ein Fünfeck CE mit 5cm ; C 7cm ; E 5cm ; C 0 ; E 0. Es gilt: C; ^. E C Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.. Zeichnen Sie das Fünfeck CE. P. estimmen Sie durch Rechnung den bstand d des Punktes von der Geraden C. [Ergebnis: d 6,58cm ] P.3 erechnen Sie den Flächeninhalt des Fünfecks CE. [Ergebnis: Fünfeck CE 49,00cm ] 4 P.4 Ermitteln Sie rechnerisch die Länge der Strecke [E] sowie das Maß e des Winkels E. [Ergebnisse: E 3,36cm; e 48,08 ] P.5 er Punkt E ist der Mittelpunkt eines Kreises mit dem Radius r E. ieser Kreis schneidet die Seite [C] des Fünfecks CE im Punkt G. Zeichnen Sie den Kreisbogen G und die Strecke [EG] in die Zeichnung zu. ein. erechnen Sie das Maß des Winkels EG. [Ergebnis: EG 86,68 ] 4 P.6 ie Figur GE wird durch die Strecken [G], [E] und [E] sowie den Kreisbogen G begrenzt. erechnen Sie den prozentualen nteil des Flächeninhalts der Figur GE am Flächeninhalt des Fünfecks CE. 3 P

10 an den Realschulen in a ern 009 Ma a II L EENE GEOMETRIE. G C L3 K4 E. Es sei der Punkt F der Fußpunkt des Lotes om Punkt auf die Gerade C. F cos 0 F 6,58cm 7cm d 6,58cm.3 Fünfeck CE E RechteckF CF Fünfeck CE 6,58 5sin(0 90 ) + 56, ,58 sin0 cm Fünfeck CE 49,00cm 4 L K K5 L K K5.4 E 5 + 6,58 56,58 cos30 cm E 3,36cm sinε sin30 ε ]0 ;90 [ 5cm 3,36cm L K5 ε 48,08

11 - -.5 Einzeichnen des Kreisbogens G und der Strecke [EG] EG E GE E ,0 E 0, L3 K4 L K K5 GE 80 EG+ G sin GE sin 48,08 + 3,36cm 5cm GE 6,68 GE ]0 ; 0[ GE 80 38,08 + 6,6 GE 5,4 EG 0, 5,4 EG 86, Sektor EG + EG 86,68 5 π + 53,36 sin5,4 cm 360,cm L K K5,cm 4,00cm 0,43 er nteil beträgt 43%. 3 7 Hinweis: ei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die nzahl der Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird, entsprechend ihrer okumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten. ei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung der Lösungsvorlage zu Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.

12 Prüfungsdauer: bschlussprüfung Minuten an den Realschulen in ayern R4/R6 Mathematik II Nachtermin ufgabe.0 ie nebenstehende Skizze zeigt den Grundriss eines Wintergartens, der durch die Strecken [E], [E], [] und [C] und den Kreisbogen C» begrenzt wird. Es gelten folgende Maße: 7,00m; E 5,00m; E C M M 3,00m; S C 00 ; S E 90 ; S E 05. Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.. Zeichnen Sie den Grundriss des Wintergartens im Maßstab :00. P. erechnen Sie die Länge der Strecke [E] sowie das Maß des Winkels E. [Ergebnisse: E 8,60m; S E 35,54 ] P.3 n den Seiten [E] und [C] werden Glaselemente verbaut. Ermitteln Sie durch Rechnung die Länge der Seiten [E] und [C]. 5 P.4 uf dem Kreisbogen C» sollen gebogene Wandelemente verbaut werden. erechnen Sie die Länge des Kreisbogens C». [Teilergebnis: S CM 95 ] P.5 er im Grundriss vom Kreisbogen» C und der Strecke [C] begrenzte Teil soll sich durch eine Faltwand bei [C] vom restlichen Teil des Wintergartens abteilen lassen. estimmen Sie rechnerisch die Länge der Strecke [C]. P.6 erechnen Sie den prozentualen nteil der vom Kreisbogen C» und der Strecke [C] begrenzten Fläche an der gesamten Fläche des Wintergartens. [Teilergebnis: gesamt 69,0m ] 5 P

13 bschlussprüfung 008 an den Realschulen in ayern Mathematik II Nachtermin ufgabe Lösungsmuster und ewertung EENE GEOMETRIE. L3 K4 M E C. E 7,00 + 5,00 m E 8,60m 5 tans E S E 35,54 S E ]0 ;90 [ 7 L K5.3 E EM M EM E sinsme sinsem L K K5 8,60 sin(00 35,54 ) EM m sin(360 ( )) EM 8,56m E 8,56m 3,00m E 5,56m

14 - - C M M M 8,56 + 8,60 8,56 8,60 cos(05 (90 35,54 )) m M 7,33m C 7,33m 3,00m C 4,33m.4 S CM 360 [360 ( )] S CM 95» 95 C 3,00 π m 360»C 5,45m 5 L K K5.5 C 3,00 + 3,00 3,00 3,00 cos65 m C 3,m L K5.6 gesamt ViereckME+ SektorCM 95 gesamt 7,00 5,00+ 8,56 7,33 sin65 + 3,00 π m 360 L K K5 69,0m gesamt + abgeteilt CM SektorCM 95 abgeteilt 3,00 3,00 sin65 + 3,00 π m 360 7,5m abgeteilt 7,5m 0,39 69,0m er nteil beträgt 39%. 5 7 Hinweis: ei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die nzahl der Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird, entsprechend ihrer okumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten. ei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung (Kopie, Folie) der Lösungsvorlage zu Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.

15 Prüfungsdauer: bschlussprüfung Minuten an den Realschulen in ayern R4/R6 Mathematik II Nachtermin ufgabe.0 ie nebenstehende Skizze zeigt den Plan für ein Grundstück C, das eine Gemeinde als Veranstaltungsort zur Verfügung stellt. C Es gelten folgende Maße: 0,0 m mit [] [C], C 90,0 m und 60, 0. E. Zeichnen Sie das Grundstück C im Maßstab : 000. P. uf dem Grundstück soll ein abgeschlossener Veranstaltungsbereich entstehen. azu wird das reieck E mit E [] und E 60,0 m von allen Seiten mit einem Zaun abgegrenzt. Zeichnen Sie das reieck E in die Zeichnung zu. ein und berechnen Sie sodann die Länge des Zaunes. [Teilergebnis: E 79, 4 m ] P.3 erechnen Sie den prozentualen nteil des reiecks E an der Gesamtfläche des Grundstücks C. 5 P.4 as Viereck EC soll für Openair-Konzerte genutzt werden. azu wird eine ühne in der Form eines Kreissektors mit dem Mittelpunkt (siehe Skizze) gebaut. ie Fläche der ühne soll ein chtel der Fläche des Vierecks EC einnehmen. erechnen Sie den Radius r des Kreissektors und zeichnen Sie sodann den Kreissektor in die Zeichnung zu. ein. [Teilergebnisse: EC 584, m ; E 40,9 ] 6 P.5 uf der egrenzungslinie [E] soll eine Energieversorgung am Punkt M so installiert werden, dass sie von den Eckpunkten und gleichweit entfernt ist. Zeichnen Sie den Punkt M in die Zeichnung zu. ein. erechnen Sie anschließend die Entfernung des Punktes M von den Eckpunkten und. P

16 bschlussprüfung 007 an den Realschulen in ayern Mathematik II Nachtermin ufgabe Lösungsmuster und ewertung. C M E Zeichnen des Grundstücks C im Maßstab : 000. Einzeichnen des reiecks E E E + E cos E 60,0 90,0 60,0 90,0 cos 60,0 m + E 79, 4 m u (60,0 + 90,0 + 79,4) m u 9,4 m.3 Δ E E sin Δ E 60,0 90,0 sin 60,0 m Δ E 338,3 m C ( + C) d(;) d(;) sin d(;) 90,0 sin 60,0 m d(; ) 77,9 m

17 - - C (0,0 + 90,0) 77,9 m C 879,5m 338,3 m p ,5 m p 8,6 oder E 338,3 m C 879,5 m Δ 0,86 er prozentuale nteil beträgt 8,6%. Δ E C 5.4 EC C Δ E 879,5 m 338,3 m EC ühne 8 EC EC ühne r π ühne 360 EC 584, m ühne 584, m ühne 730, m ühne 360 r r π EC π EC EC C E EC (80 60 ) E sin E sin E 60,0 sin 60,0 sin E E E 79,4 E 40,9 E ]0 ;60 [ EC 0, 0 40,9 EC 79, 730, 360 r m π 79, Einzeichnen des Kreissektors r 3,5m 6.5 Einzeichnen des Punktes M 0,5 cos E M 0,5 90,0 M m cos 40,9 M 59,5 m 7 Hinweis: ei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die nzahl der Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird, entsprechend ihrer okumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten. ei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung (Kopie, Folie) der Lösungsvorlage zu Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.

18 Prüfungsdauer: bschlussprüfung Minuten an den Realschulen in ayern R4/R6 Mathematik II Haupttermin ufgabe.0 Gegeben ist ein Kreissektor mit M M 7 cm und der ogenlänge 8 cm (siehe Skizze). M. erechnen Sie das Maß α des Mittelpunktswinkels M des Kreissektors und zeichnen Sie sodann den Kreissektor. [Teilergebnis: α 47,3 ] P. uf dem Kreisbogen liegen Punkte C n, die zusammen mit den Punkten, M und Vierecke MC n bilden. Für die Länge der Strecke [C n ] gilt: Cn x cm mit x IR +. estimmen Sie das Intervall für x so, dass es Vierecke MC n gibt. [Teilergebnis: 3, 4 cm ] P.3 Im Viereck MC hat der Winkel MC das Maß 70. Zeichnen Sie das Viereck MC in die Zeichnung zu. ein. erechnen Sie sodann den prozentualen nteil des Flächeninhalts des reiecks MC am Flächeninhalt des Vierecks MC. 4 P.4 Unter den Vierecken MC n gibt es das achsensymmetrisches Viereck MC 0 mit MC 0 als Symmetrieachse. er Punkt S 0 ist der Schnittpunkt der beiden iagonalen [] und [MC 0 ]. Zeichnen Sie das Viereck MC 0 in die Zeichnung zu. ein. erechnen Sie sodann den Flächeninhalt des Vierecks MC 0..5 erechnen Sie die Länge der Strecke [C0S 0] und erklären Sie, dass das Viereck MC 0 unter den Vierecken MC n den größten Flächeninhalt besitzt..6 Für x entsteht eine Figur, die von [C], [M], [M] und C begrenzt wird. Zeichnen Sie die Figur in die Zeichnung zu. ein und berechnen Sie anschließend den Umfang u der Figur. P 3 P 4 P

19 bschlussprüfung 007 an den Realschulen in ayern Mathematik II Haupttermin ufgabe Lösungsmuster und ewertung. M π M α π α 47,3 C 0 C C S 0 M. Zeichnen des Kreissektors M + M M M cos α cos47,3 cm + 3, 4 cm x ]0;3,4[.3 Einzeichnen des Vierecks MC + MC ΔMC ΔCM Δ MC M C M sin(80 MC CM) Δ MC 7 7 sin( ) cm MC Δ CM C M M sin( M CM) Δ CM 7 7 sin(47,3 40 ) cm CM MC 5,7cm + 3,4cm MC Δ Δ 5,7cm 3,4cm 39,cm

20 - - ΔMC MC 5,7 cm 39,cm Δ MC 0,40 MC er prozentuale nteil beträgt 40,%. 4.4 Einzeichnen des Vierecks MC 0 MC MC 0 0 MC 3,4 7cm 0 MC0 46,9cm MS0.5 tan MS0 0,5 MS0 0,5 3,4 tan( ,5 47,3 ) cm MS0,0 cm CS 0 0 (7,0)cm CS 0 0 5,0cm er Flächeninhalt der Vierecke MC n ist abhängig von der Höhe d(c n;[]) der Teildreiecke C n. iese ist im Teildreieck C 0 am größten. (ie Höhe [C 0 S 0 ] ist im reieck C 0 am größten, da sie auf der Mittelsenkrechten zur Sehne [] liegt.) 3.6 Einzeichnen der Figur MC u C + M+ M+ C CM π MC 80 MC α C M C M + C M C cos CM MCM cos 7 π 9,3 u cm CM 77 C M 8,0 u 9,6cm 4 7 Hinweis: ei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die nzahl der Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird, entsprechend ihrer okumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten. ei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung (Kopie, Folie) der Lösungsvorlage zu Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.

21 Prüfungsdauer: bschlussprüfung Minuten an den Realschulen in ayern R4/R6 Mathematik II Nachtermin ufgabe.0 Nebenstehende Skizze zeigt den Plan F einer Leichtathletikanlage, auf der zeitgleich ein Speerwurf- und ein Hochsprungwettbewerb stattfinden N können. ie nlage besteht aus dem rechteckigen Rasenfeld C und den zwei angrenzenden Halbkreisen, G deren Flächen mit einem Kunststoffbelag ausgelegt sind. N ist der Mit- telpunkt der Strecke []. Es gelten folgende Maße: 90,00 m ; 60,00 m. C M Hinweis für erechnungen: Runden Sie jeweils auf zwei Stellen nach dem Komma: Winkelmaße in, Längen in m, Flächeninhalte in m² und Kosten in.. Zeichnen Sie die Leichtathletikanlage in einem geeigneten Maßstab. Geben Sie den gewählten Maßstab an. P. M ist der Mittelpunkt des Speerwurfsektors, der von den Strecken [MF] und [MG] und dem Kreisbogen FG begrenzt wird. Es gilt: G F 3,00 m ; MGF GFM 75,00. Zeichnen Sie die Strecken [MF] und [MG] sowie den Kreisbogen FG in die Zeichnung zu. ein und berechnen Sie den Flächeninhalt des Speerwurfsektors. [Teilergebnis: MF 04,3 m ] 4 P.3 us Sicherheitsgründen wird empfohlen, dass der bstand des Mittelpunktes M des Speerwurfsektors von der Strecke [C] mindestens 0,00 m betragen soll. Prüfen Sie rechnerisch, ob die geplante nlage diese Sicherheitsempfehlung einhält. P.4 Nach einem Wettkampf müssen 5% der Rasenfläche im Speerwurfsektor erneuert werden. erechnen Sie die zu erneuernde Rasenfläche..5 ie Hochsprunganlage wird von den Kreisbögen und FG sowie den Strecken [G] und [F] begrenzt. us Sicherheitsgründen soll der Kunststoffbelag im ereich der Hochsprunganlage mit blauer Farbe hervorgehoben werden. er Preis hierfür beträgt 8,50 pro Quadratmeter. erechnen Sie die Kosten für das Einfärben des Kunststoffbelages. 4 P 3 P

22 bschlussprüfung 005 an den Realschulen in ayern Mathematik II Nachtermin ufgabe Lösungsmuster und ewertung. F C N M G Zeichnen der Leichtathletikanlage z.. Maßstab: : 000. Einzeichnen der Strecken [MF], [MG] und des Kreisbogens FG FN (30 3) m cos GFM MF MF 04,3 m MF cos Kreissektor 04,3 π m Kreissektor 849,07 m d(m;[c]) MF FN d(m; [C]) 04,3 7 m 90 m d(m;[c]) 0,77 m er Sicherheitsabstand von 0,00 m wird eingehalten.

23 - -.4 Trapez Rechteck reieck 9054m 9090tan5 m Trapez neu neu 0,5 Trapez 0,5 689,6 m Trapez neu 689,6 m 403,44 m 4.5 Hochsprunganlage 30 π m 849, 07 m + 04,3 sin 30 m 85,3 m Hochsprunganlage Kosten 85,3 m 8,50 m Kosten 3778, Hinweis: ei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die nzahl der Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird, entsprechend ihrer okumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten.

24 Prüfungsdauer: bschlussprüfung Minuten an den vierstufigen Realschulen in ayern R4 Mathematik II ufgabengruppe C ufgabe C C.0 C. ie nebenstehende Skizze zeigt den Plan des Gartengrundstücks eines Reihenhauses. Eine geplante Terrasse wird von den Strecken [G], [], [C], [C], [L], [LH] mit L [E] und G [F] und dem Kreisbogen HG begrenzt. abei ist der Mittelpunkt M der Strecke [] auch der Mittelpunkt des zum Kreisbogen HG gehörenden Kreises. Es gelten folgende Maße: 7,00 m ; C,50 m ; C 3,00 m ; E 3,00 m ; L 4,50 m ; G,00 m. Hinweis für erechnungen: Runden Sie jeweils auf zwei Stellen nach dem Komma: Winkelmaße in, Längen in m und Flächeninhalte in m². Zeichnen Sie das sechseckige Grundstück CEF mit den Terrassengrenzen im Maßstab : 00. F G M C H E L P C. C.3 ie Terrassenoberfläche soll mit Fliesen versiegelt werden. er ebauungsplan der Gemeinde schreibt vor, dass im Gartengrundstück der nteil der versiegelten Oberfläche höchstens 34% der gesamten Gartenfläche betragen darf. erechnen Sie den Flächeninhalt der Terrasse und prüfen Sie, ob die Vorschriften des ebauungsplans eingehalten werden, wenn die Terrassenoberfläche durch Fließen versiegelt wird. [Teilergebnisse: GM 9,74 ; GM HM 4,03 m ] 5 P Ein Teich ist in der Form eines Kreissektors geplant. Hierzu wird ein Kreis k mit dem Radius 4,00 m um den Mittelpunkt L gezogen, der [LE] in P und HG in Q schneidet. Ferner wird von M nach L ein Rohr verlegt, das die Versorgungsleitungen für den Teich aufnehmen kann. Zeichnen Sie die Strecke [ML] und den Kreissektor LPQ in die Zeichnung zu. ein. erechnen Sie sodann die Länge der Strecke [ML] und den Flächeninhalt des Kreissektors LPQ. [Teilergebnis: ML 6,80 m ; QLM 3, 7 ] 4 P C.4 ie von den Strecken [QL], [LH] und dem Kreisbogen HQ begrenzte Fläche zwischen Teich und Terrasse soll mit Kies bedeckt werden. erechnen Sie den Flächeninhalt der mit Kies bedeckten Fläche. 4 P

25 bschlussprüfung 005 an den vierstufigen Realschulen in ayern Mathematik II ufgabengruppe C ufgabe C Lösungsmuster und ewertung C. F E P Q G H L M C Zeichnen des Sechsecks CEF C. Terrasse ΔMG + Kreissektor MHG + CLH,00 tan GM 3,50 GM 9,74 GM ]0 ; 90 [ HMG 80 9, 74 HMG 0,5 GM 3,50 +, 00 m GM 4,03 m HM 4,03 m 4, 03 π 0,5 Terrasse 3,50,00 m + m + 3,00 4,50 m ,58 m Terrasse

26 ,5 m + 3,00,50 m Grundstück Grundstück 37,58 m p 00 p 33,40,50 m ie Vorschriften des ebauungsplan werden eingehalten.,50 m 5 C.3 Einzeichnen des Teiches LPQ und der Wasserleitung [ML] Teich LP π PLQ 360 ML 6,50 +, 00 m ML 6,80 m 4, 00 6,80 4, 03 cos + QLM 4,006,80 QLM ]0 ;80 [ QLM 3, 7 6,50 tan ML,00 ML 7,90 ML ]0 ; 90 [ Teich PLQ 80 3, 7 7,90 PLQ 74,83 4, 00 74,83 π m 360 0,45m Teich 4 C.4 MLQ MLH Kreissektor MHQ Δ Δ HM π HMQ ML MQ sin LMQ ML HM sin LMH 360 sin LMQ sin 3,7 4,00 4,03 LMQ 3, 00 LMQ ]0 ;47,73 [,00 tan ML 6,50 ML 7,0 ML ]0 ; 90 [ HMQ 3, ,0 9, 74 HMQ 9,36 LMH 3, 00 9,36 LMH,64 4,03 π 9,36 6,80 4,03 sin3,00 6,80 4,03 sin,64 m 360,5m 4 5 Hinweis: ei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die nzahl der Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird, entsprechend ihrer okumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten.

27 Prüfungsdauer: bschlussprüfung Minuten an den Realschulen in ayern R4/R6 Mathematik II ufgabengruppe ufgabe.0 Nebenstehende Skizze zeigt den Plan der Trittfläche einer Wendeltreppenstufe. ie Trittfläche C hat die Form eines Vierecks. Es gelten folgende Maße: 0,0cm ; C 60,0cm ; 5,0cm ; 30, 0 ; C 90,0. T S C E Hinweis für erechnungen: Runden Sie jeweils auf eine Stelle nach dem Komma: Winkelmaße in, Längen in cm und Flächeninhalte in cm². M Q R.. Zeichnen Sie das Viereck C im Maßstab : 0 und berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [C]. [Teilergebnis: C 65,0 cm ] P Ermitteln Sie rechnerisch den Flächeninhalt T der Trittfläche C. [Zwischenergebnis: C 6, 6 ; Ergebnis: T 393,9 cm² ] 3 P.3 us Sicherheitsgründen wird die Trittfläche C mit einer rutschfesten uflage belegt. ie Seite [QT] der uflage mit dem Mittelpunkt M liegt auf der Treppenkante [] und es gilt: M 45,0 cm. ie uflageform setzt sich aus zwei kongruenten, rechtwinkligen reiecken MQR und MST mit QR ST 5, 0 cm und dem Kreissektor MRS zusammen. er Kreisbogen RS berührt die Treppenkante [C] im Punkt E. Zeichnen Sie die Teildreiecke und den Kreissektor in die Zeichnung zu. ein. P.4 erechnen Sie den Radius r des Kreissektors MRS. [Ergebnis: r 38, 0 cm ] 3 P.5 estimmen Sie rechnerisch den Flächeninhalt der rutschfesten uflage und berechnen Sie sodann, wie viel Prozent der Trittfläche von der uflage bedeckt wird. 5 P

28 bschlussprüfung 005 an den Realschulen in ayern Mathematik II ufgabengruppe ufgabe Lösungsmuster und ewertung. C T S E M R Q C 5, , 0 cm C 65,0 cm. T ΔC + Δ C T C+ C sin C 60,0 tan C C 67,4 C ]0 ; 90 [ 5,0 C 30 67, 4 C 6,6 T 5,0 60,0 cm + 0,0 65,0 sin 6,6 cm T 393,9 cm 3

29 Einzeichnen der reiecke MQR und MST und des Kreissektors MRS C + C C cos C C 0,0² + 65,0² 0,0 65,0 cos 6,6 cm C 98,7 cm sin C sin C C C 65,0 sin 6,6 sin C 98,7 C 35,8 r sin C M r (0,0 45,0) sin 35,8 cm r 38,0cm 3.5 Δ MQR + Δ MST + Kreissektor MRS r RMS π MQ QR+ 360 MQ 38,0 5,0 cm MQ 34,9 cm QR 5,0 sin QMR sin QMR r 38,0 QMR 3, RMS 80 3, RMS 33,6 38,0 π 33,6 34,9 5,0 cm + cm 07,0 cm ,0 cm p 00 p 56, 393,9 cm oder 07,0 cm 0,56 T T 393,9 cm ie uflage bedeckt 56,% der Trittfläche. 5 5 Hinweis: ei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die nzahl der Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird, entsprechend ihrer okumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten.

30 Prüfungsdauer: bschlussprüfung Minuten an den Realschulen in ayern R4/R6 Mathematik II ufgabengruppe ufgabe.0 ie nebenstehende Skizze zeigt den Plan eines neu vermessenen Parkgrundstücks CE. as Parkgrundstück wird durch die Strecken [C], [], [E] und [E] sowie den Kreisbogen C begrenzt. er Mittelpunkt M des Kreisbogens C ist der Schnittpunkt der Geraden C und E. Folgende Maße wurden vom Vermessungsteam ermittelt: 0,00 m ; E 80,00 m ; M 60,00 m ; E 58,00 m ; E 75, 00 ; M 65,00. E C Hinweis für erechnungen: Runden Sie jeweils auf zwei Stellen nach dem Komma: Winkelmaße in, Längen in m und Flächeninhalte in m².. Zeichnen Sie das Parkgrundstück CE im Maßstab : 000. P. erechnen Sie die Länge der Strecke [E] sowie das Maß des Winkels E. [Ergebnisse: E 5,8 m ; E 37,89 ] P.3 Ermitteln Sie durch Rechnung den Radius r des Kreisbogens C. [Ergebnis: r 9, 40 m ] 3 P.4 estimmen Sie rechnerisch den Flächeninhalt des Parkgrundstücks CE. [Zwischenergebnis: EM 3, ] 4 P.5 er Kreisbogen C ist die Grundstücksgrenze zu einem stark befahrenen Kreisverkehr. Zum Schutz gegen den Lärm wird ein an den Kreisbogen C angrenzender Grüngürtel mit äumen und Sträuchern bepflanzt. er Kreisbogen GH mit G [E] und H [C] begrenzt diesen Grüngürtel zum Grundstücksinneren hin. Er berührt die Strecke [E] im Punkt K und hat mit dem Kreisbogen C den Mittelpunkt M gemeinsam. Zeichen Sie den Kreisbogen GH in die Zeichnung zu. ein. erechnen Sie sodann den Flächeninhalt des Grüngürtels. 4 P

31 bschlussprüfung 005 an den Realschulen in ayern Mathematik II ufgabengruppe ufgabe Lösungsmuster und ewertung. E G M K C H. Zeichnen des Parkgrundstücks CE im Maßstab : 000 E + E E cos E E 0,00 80,00 0,00 80,00 cos 75,00 m + E 5,8 m sin E sin E E E 80,00 sin 75 sin E E ]0 ;05,00 [ 5,8 E 37,89 ( E 4, ).3 r EM E EM 60, ,8 60, 00 5,8 cos(65, 00 37,89 ) m EM 77, 40 m r 77,40 m 58,00 m r 9,40m 3

32 - -.4 EM + M E cos EM EMM 77,40 60,00 5,8 cos + EM 77,40 60,00 EM 3, + ΔE ΔME Kreissektor MC 0,00 80,00 sin 75 5,8 60,00 sin 7, 9,40 π 3, + m ,30 m 4.5 Einzeichnen des Kreisbogens GH KM sin 7, KM 60, 00 sin 7, m KM 7,34 m M Grüngürtel Kreissektor MGH Kreissektor MC Grüngürtel Grüngürtel (7,34 9, 40 ) 3, π m ,7 m 4 5 Hinweis: ei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die nzahl der Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird, entsprechend ihrer okumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten.