Physikalisches Fortgeschrittenenpraktikum Versuchsprotokoll. Rauschen. Andreas Liehl Maximilian Russ. Universität Konstanz. Betreuer: Markus Herz

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1 Physikalisches Fortgeschrittenenpraktikum Versuchsprotokoll Rauschen Andreas Liehl Maximilian Russ Universität Konstanz Betreuer: Markus Herz Konstanz, den

2 ii Abstract This experiment deals with the fundamental properties of noise which is often visible in electronic measurements and disturbs the measured signal. Particularly, we ll investigate the properties of the so-called Johnson noise which results from the thermal motion of the charge carriers. The Johnson noise depends on the electical resistance where the charge carriers pass, the bandwidth with which the measurement is taken and of course on temperature. The quantitative measurement of the Johnson noise allows to calculate the value of the Boltzmann constant k B. In a second part of the experiment, we ll have a look at the so-called shot noise. The shot noise appears if charge carriers have to get over a potential barrier. The amount of charge carriers which pass the potential barrier is not constant in time but fluctuates. Therefore, the measured signal begins to fluctuate. In this case, a quantitative measurement of the shot noise allows a calculation of the elementary charge e.

3 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung und Motivation 1 2 Theoretische und experimentelle Grundlagen Rauschen Johnson-Rauschen Schrot-Rauschen Weißes und rosa Rauschen Messinstrumente und deren Funktion Frequenzfilter Operationsverstärker Elektrisches Messprinzip des Experiments Experimenteller Aufbau und Versuchsdurchführung 11 4 Ergebnisse und Diskussion Johnson-Rauschen in Bezug auf Widerstand R und Bandbreite f und Bestimmung der Boltzmann-Konstante k B Schrot-Rauschen und Bestimmung der Elementarladung e Bestimmung des absoluten Temperaturnullpunkts anhand des Johnson- Rauschens Fazit Literatur 20 Abbildungsverzeichnis 20 iii

4 1 1 Einleitung und Motivation Rauschen ist in der Experimentalphysik bei elektrischen Messsignalen meist ein unliebsamer Begleiter. Oftmals sind Messungen aufgrund des Rauschens, der Überlagerung des eigentlichen Messsignals mit zufälligen Fluktuationen im Signal, gar nicht möglich, da dessen Stärke das eigentliche Messsignal überragt. Im Alltag begegnet man Rauschen häufig im Ultrakurzwellenrundfunk, das Rauschen führt hier oftmals zu einer Verzerrung des akustischen Signals bei Radioübertragungen [1]. Es gibt unterschiedliche Arten von Rauschen, beispielsweise können externe Störquellen, wie z.b. zufällige elektromagnetische Felder oder fehlerhafte elektrische Kontakte, was zu einem variablen elektrischen Widerstand am Kontakt führt, ein elektrisches Messsignal beeinflussen. Durch ausreichende Abschirmung der Messapparatur sowie präzisem Vorgehen lassen sich diese Rauschquellen minimieren. In diesem Experiment hingegen sollen zwei unvermeidbare Rauschquellen untersucht werden. Zunächst wird das thermische Rauschen, das sog. Johnson-Rauschen, welches durch die thermische Bewegung der Ladungsträger, in etwa vergleichbar mit der Brownschen Molekularbewegung auftritt, beobachtet. Weiter tritt das sog. Schrot-Rauschen (engl. shot noise) durch die statistische Fluktuation der Anzahl der Ladungsträger, die eine Stelle im Leiter passieren und damit zu einem Stromfluss beitragen, in elektronischen Messungen auf und wird im Experiment ebenfalls untersucht. [2]. Neben der Untersuchung der Temperaturabhängigkeit des Rauschens lassen sich aus den Messungen die Naturkonstanten k B und e bestimmen.

5 2 Theoretische und experimentelle Grundlagen 2 2 Theoretische und experimentelle Grundlagen In diesem Abschnitt sollen zunächst die theoretischen Grundlagen des Rauschens sowie die im Experiment verwendete Messvorrichtung erläutert werden. 2.1 Rauschen Wie bereits in Abschnitt 1 erwähnt, gibt es mehrere Quellen, die zu einem verrauschten Messsignal führen können. Eine davon ist die Kopplung der Messvorrichtung mit dessen Umgebung, was auch als Interferenz bezeichnet wird. Im Wesentlichen können hier drei Hauptquellen, die zum Rauschen führen, unterschieden werden: die elektrostatische Kopplung, Kopplung an externe elektromagnetische Felder, sowie mechanische Vibrationen an der Versuchsapparatur, sofern diese an das Signal ankoppeln [2]. Eine weitere Quelle für Rauschen, die im übrigen durch präzise Arbeitsweise durchaus minimiert werden kann, bezeichnet man als technisches Rauschen und umfasst alle Defekte an der Messvorrichtung, wie beispielsweise schwache elektrische Kontakte [2]. Der Fokus in diesem Experiment soll jedoch auf zwei unvermeidlichen Rauschquellen liegen: zum einen das Johnson-Rauschen (oftmals auch als Johnson-Nyquist-Rauschen bezeichnet) und zum anderen das Schrot-Rauschen. Wie bereits in Abschnitt 1 erwähnt, sind beide Rauschtypen physikalischer Natur und bilden daher bei gegebener Apparatur eine Grenze des Auflösungsvermögens von elektrischen Messsignalen. Im Folgenden sollen typische Eigenschaften der beiden Rauschtypen näher erläutert werden Johnson-Rauschen Wie bereits in Abschnitt 1 erwähnt, liegt der Ursprung des Johnson-Rauschens in der Brownschen Molekularbewegung, der zufälligen Bewegung von Atomen oder Molekülen in Flüssigkeiten und Gasen aufgrund deren thermischer Energie, der Ladungsträger. Da die Brownsche Molekularbewegung thermischer Natur ist, bezeichnet man das Johnson- Rauschen auch als thermisches Rauschen. Die Brownsche Molekularbewegung wird bei abnehmender Temperatur geringer, von daher ist es nicht verwunderlich, dass auch das Johnson-Rauschen bei geringen Temperaturen weniger ins Gewicht fällt. Für eine quantitative Beschreibung des Johnson-Rauschens betrachten wir das durch das Rauschen verursachte zusätzliche Messsignal. Fließt durch einen elektrischen Widerstand R ein elektrischer Strom I, so fällt an diesem gemäß dem Ohmschen Gesetz die Spannung U = RI ab. Für I = 0 sollte also auch keine Spannung abfallen. Dies ist aufgrund des oben angesprochenen Johnson-Rauschens in der Praxis jedoch nicht der Fall und es ist eine zeitlich fluktuierende Spannung messbar. Diese Spannung sei im Folgenden mit U J = U J (t) bezeichnet. Da das Rauschen - ebenso wie die Brownsche Molekularbewegung - zufällig ist, verschwindet die zusätzliche Spannungsamplitude im zeitlichen Mittel: U J (t) = 0. (2.1) Um das Rauschen zu charakterisieren, verwendet man von daher Messtechniken, die das Messsignal quadrieren. Die Amplitude des quadrierten Signals verschwindet im zeitlichen Mittel nicht mehr. Der Zusammenhang zwischen mittlerer quadratischer Abweichung der

6 3 2.1 Rauschen am Widerstand abfallenden Spannung konnte 1928 von Nyquist aufgestellt [3] und von Johnson experimentell bestätigt werden [4]. Es gilt: t2 U J (t) 2 1 = U J (t) 2 dt t 2 t 1 t 1 = 4k B T R f, (2.2) wobei T die Temperatur, R der elektrische Widerstand und f die Bandbreite der Messung ist. Diese Formel wird auch als Nyquist-Formel bezeichnet. Die Abhängigkeit der Spannungsamplitude U J (t) von der Bandbreite der Messung ist offensichtlich, da das Rauschen als eine Überlagerung unendlich vieler Frequenzen zu verstehen ist. Da jede Frequenz einen Energiebeitrag zum Rauschen leistet, kann die Spannungsamplitude U J (t) nicht unabhängig von der Bandbreite sein [2]. Um die Bandbreite zu definieren verwenden wir in diesem Experiment einen Bandpass-Filter, auf dessen Funktionsweise in Abschnitt noch eingegangen wird. Gleichung (2.2) soll im Experiment verwendet werden um sowohl die Boltzmann-Konstante k B, als auch den absoluten Nullpunkt der Temperatur zu bestimmen. Oftmals definiert man hier die sog. Rauschdichte S, manchmal auch als spektrale Rauschleistungsdichte (engl. PSD = Power Spectral Density) bezeichnet, als mittlere quadratische Abweichung der Spannungsamplitude pro Frequenzintervall 1 [2]: U J (t) 2 S = = 4k B RT. (2.3) f Misst man nun U J (t) 2 bei bekannter Temperatur T, bekanntem Widerstand R und wohldefinierter Bandbreite, so lässt sich die Boltzmann-Konstante bestimmen. Ebenso lässt sich der absolute Temperaturnullpunkt bestimmen, indem mehrere Messwerte bei verschiedenen Temperaturen aufgenommen werden. Der gemäß Gleichung (2.3) lineare Zusammenhang sollte idealerweise eine Ursprungsgerade, d.h. T 0 = 0 K liefern. Es soll nun noch die Größenordnung des Johnson-Rauschens abgeschätzt werden. Wir betrachten hierzu einen 100 kω-widerstand bei Raumtemperatur und eine Messung mit einer Bandbreite von f = 100 khz, was durch einen Bandpass, der Frequenzen oberhalb von 100 khz herausfiltert 2, realisiert werden kann. Für die mittlere quadratische Spannungsamplitude ergibt sich U J (t) V 2. Da jedoch die Einheit V 2 relativ unanschaulich ist, gibt man häufig die Wurzel aus der mittleren quadratischen Abweichung an, was auch als quadratisches Mittel (engl. root mean square bzw. rms) bezeichnet wird. Man erhält für obiges Beispiel ein Messsignal mit zeitlich fluktuierender Spannung im Bereich von [2] U = U J,rms = U J (t) 2 10 µv. (2.4) 1 Tatsächlich ist die Rauschdichte in dieser Definition noch keine spektrale Leistungsdichte, was man sich an dessen Einheit verdeutlichen kann: [S] = V2. Wird die Rauschdichte hingegen auf den Widerstand Hz bezogen, also als Rauschdichte pro Widerstand, ergibt sich auch von der Einheit eine spektrale Leistungsdichte: [ ] S R = W. In diesem Fall spricht man auch von der spektralen Rauschleistungsdichte des Hz Widerstands. 2 Bandpässe, die Frequenzen oberhalb einer bestimmten Frequenz herausfiltern werden auch als Tiefpässe bezeichnet.

7 2 Theoretische und experimentelle Grundlagen 4 Durch das Johnson-Rauschen lässt sich ebenso das thermische Gleichgewicht zweier Leiter erklären, die energetisch nur durch eine koaxiale Leitung und nicht thermisch gekoppelt sind. Es sei angenommen, dass beide Widerstände identisch sind (R 1 = R 2 = R) und die koaxiale Leitung ebenso die Impedanz Z = R aufweist, damit keine Verluste durch Reflexion auftreten. Jedoch seien die Widerstände zu Beginn auf unterschiedlicher Temperatur. Durch das Johnson-Rauschen fungieren beide Widerstände als schwarze Körper und deren Strahlung kann durch die koaxiale Leitung ausgetauscht werden. Dadurch stellt sich schließlich ein thermisches Gleichgewicht zwischen den Widerständen ein [2]. Durch dieses Gedankenexperiment konnte Nyquist letztendlich seine theoretischen Beschreibungen des Johnson-Rauschens aufstellen [1, 3] Schrot-Rauschen Das Schrot-Rauschen kommt, wie ebenfalls bereits in Abschnitt 1 erwähnt, durch die Ladungsquantisierung zustande. In der Praxis ist gemessener elektrischer Strom I nichts anderes als die Detektion der Anzahl n der Elektronen in einer gewissen Zeitspanne τ, die alle die Ladung e tragen 3. Es gilt hier [2]: n = Q e = Iτ e. (2.5) Die Anzahl der Elektronen, die eine Potentialbarriere passieren, ist allerdings nicht konstant sondern statistisch verteilt. Unter Annahme unabhängiger Ladungsträger folgt die Anzahl der detektierten Elektronen der Poisson-Statistik, d.h. es wird im Zeitintervall τ die fluktuierende Anzahl n ± n an Elektronen gemessen [1]. Die Ladung fluktuiert also mit Standardabweichung σ Q = e n = Iτe und damit ergibt sich eine Fluktuation der gemessenen Stromstärke von σ I = σ Q τ = Ie τ. (2.6) Gemessen wird im Experiment die mittlere quadratische Abweichung der elektrischen Stromstärke: I (t) 2 = σ 2 I = Ie τ. (2.7) Da jedoch auch hier die Definition eines Zeitintervalls τ der Messung schwierig ist, definiert man die Fluktuation der Stromstärke, wie bereits beim Johnson-Rauschen die Definition der Fluktuation der Spannung in Abschnitt 2.1.1, anhand der Bandbreite. Schottky konnte dabei folgenden Zusammenhang ableiten [2]: I (t) 2 = 2Ie f. (2.8) Das Schrot-Rauschen ist also im Wesentlichen proportional zur gemessenen Stromstärke, was nicht verwunderlich ist, da gemäß der Poisson-Statistik ein größeres Messsignal 3 Zur Vereinfachung wird im Folgenden das Vorzeichen der Ladung nicht immer berücksichtigt.

8 5 2.2 Messinstrumente und deren Funktion auch zu einer stärkeren Fluktuation führt. Die Abhängigkeit des Schrot-Rauschens von der Bandbreite ergibt sich analog zur Überlegung zur Abhängigkeit des Johnson-Rauschens von Letzterer in Abschnitt Auch hier soll die Größenordnung des Schrot-Rauschens anhand eines kurzen Zahlenbeispiels abgeschätzt werden. Betrachten wir wie in Abschnitt die Bandbreite f = 100 khz und eine Stromstärke von I = 10 µa, was mit modernen hochauflösenden Ampèremetern durchaus mühelos detektierbar ist, so ergibt sich ein quadratisches Mittel der Fluktuationen der Stromstärke von I = I (t) 2 0,57 na. (2.9) Weißes und rosa Rauschen Im Allgemeinen unterscheidet man zwischen weißem und rosa Rauschen. Die Klassifikation erfolgt dabei anhand deren Rauschdichte. Während beim weißen Rauschen die Rauschdichte nicht frequenzabhängig ist, gilt für rosa Rauschen S 1 f und wird von daher auch als 1/f-Rauschen bezeichnet. Gemäß dieser Definition sind also sowohl Johnson- als auch Schrot-Rauschen weißes Rauschen. Für genügend niedrige Frequenzen dominiert das rosa Rauschen und für hohe Frequenzen das weiße Rauschen. Dieser Zusammenhang ist in Abbildung (2.1) dargestellt [5]. Abbildung 2.1: Die Abbildung zeigt die Abhängigkeit der Rauschdichte von der Frequenz bei weißem und rosa Rauschen [5]. 2.2 Messinstrumente und deren Funktion Für das Experiment werden einige elektronische Bauteile verwendet, auf deren Funktion und Anwendung im Experiment in diesem Abschnitt eingegangen wird Frequenzfilter Ein Frequenzfilter ist ein elektronisches Bauteil, welches aus einem Eingangssignal bestehend aus einer Überlagerung sehr vieler Frequenzen einen bestimmten Frequenzbereich

9 2 Theoretische und experimentelle Grundlagen 6 herausfiltert. Das Ausgangssignal enthält nur noch die Anteile der durchgelassenen Frequenzen. Man unterscheidet zwischen Hoch-, Tief- und Bandpässen, die im Folgenden kurz erläutert werden. Hochpass Ein Hochpass ist ein Frequenzfilter, der tiefe Frequenzen aus dem Eingangssignal herausfiltert und hohe Frequenzen passieren lässt. Man unterscheidet zwischen RCund LC-Hochpässen. Abbildung (2.2a) zeigt das Schaltbild eines RC-Hochpasses erster Ordnung. Gemäß der Kirchhoffschen Maschenregel lässt sich das Verhältnis zwischen Eingangs- und Ausgangsspannung berechnen: U a U e = R R + X C = 1, (2.10) (ωrc) 2 wobei U a die Amplitude der Ausgangsspannung, U e die Amplitude der Eingangsspannung und X C = i 1 ωc der kapazitive Widerstand bei einer Wechselspannung mit Frequenz ω als Eingangssignal ist. Dieses Verhältnis ist in Abbildung (2.2b) dargestellt. Tiefpass Ein Tiefpass hingegen filtert hohe Frequenzen heraus und lässt nur tiefe passieren. Auch hier lassen sich RC- und LC-Tiefpässe konstruieren. Die Schaltskizze eines LC-Tiefpasses zeigt Abbildung (2.2c). Analog zum RC-Hochpass gilt für das Verhältnis zwischen Eingangs- und Ausgangsspannung: U a = X C R + X C = 1. (2.11) 1 + (ωrc) 2 U e Dieses Verhältnis zeigt Abbildung (2.2d). LC-Hoch- und Tiefpässe lassen sich analog konstruieren. Bandpass Ein Bandpass ist ein elektronisches Bauteil, welches nur Frequenzen eines bestimmten Frequenzintervalls durchlässt, alle anderen Frequenzen werden herausgefiltert. Eine mögliche Anordnung für einen Bandpass ist in Abbildung (2.2e) gezeigt. Dabei gilt wieder für das Verhältnis zwischen Eingangs- und Ausgangssignal [6] U a U e = ( ω L R 1 ), (2.12) 2 ωrc d.h. es ergibt sich ein Maximum der Ausgangsspannung bei der Resonanzfrequenz ω = 1 LC. Dies ist in Abbildung (2.2f) dargestellt. Die Bandbreite f ist über die Breite des um die Resonanzfrequenz zentrierten Peaks definiert. Im Experiment realisieren wir den Bandpass durch eine Reihenschaltung von Hoch- und Tiefpass. Ebenso lassen sich auch Band-Stop-Filter konstruieren, die alle Frequenzen außer eines definierten Frequenzintervalls f passieren lassen. Die Tatsache, dass der kapazitive bzw. induktive Widerstand komplex ist, äußert sich bei allen analogen Frequenzfiltern in einer Phasenverschiebung zwischen Eingangs- und Ausgangssignal.

10 7 2.2 Messinstrumente und deren Funktion 1 U a U e (a) Schaltplan eines RC-Hochpass ωrc (b) Durchlasskurve eines RC-Hochpass 1 U a U e (c) Schaltplan eines RC-Tiefpass ωrc (d) Durchlasskurve eines RC-Tiefpass 1 U a U e (e) Schaltplan eines Bandpass ω LC (f) Durchlasskurve eines RLC-Bandpass Abbildung 2.2: Die Abbildung zeigt die Schaltpläne von (a) RC-Hochpass, (c) RC-Tiefpass und (e) einer möglichen Konfiguration eines Bandpass [6]. Ebenso sind die Verhältnisse von Ausgangs- und Eingangsspannung in Abhängigkeit der Frequenz gezeigt (b),(d),(f). Man beachte die logarithmische Skala.

11 2 Theoretische und experimentelle Grundlagen Operationsverstärker In den Abschnitten und wurde die Größenordnung des Rauschens abgeschätzt. Da die Amplitude des Johnson-Rauschens sehr gering ist (siehe auch Gleichung (2.4)), muss das Rauschsignal verstärkt werden, um es auf dem Oszilloskop sichtbar zu machen. Dazu wird ein sog. Operationsverstärker verwendet. Ein Operationsverstärker ist ein elektronisches Bauteil, welches zwei Eingänge besitzt, die mit + und bezeichnet werden [2]. Die zum Betrieb des im Experiment verwendeten Verstärkers, ein sog. nicht invertierender Verstärker, wobei die Bezeichnung daher rührt, dass Eingangs- und Ausgangssignal dasselbe Vorzeichen besitzen, notwendige elektrische Schaltung ist in Abbildung (2.3) dargestellt. Ebenso gibt es auch invertierende Operationsverstärker, auf die hier jedoch nicht eingegangen werden soll. Das Eingangssignal U e geht hier über den + -Eingang in den Verstärker, am -Eingang ist ein Widerstand angeschlossen. Durch die resistive Rückkopplung des Ausgangssignals U a an den -Eingang des Verstärkers kann die Potentialdifferenz der beiden Eingänge am Verstärker kontrolliert werden. Man spricht hier auch von Gegenkopplung, wird das Eingangssignal über den -Eingang in den Verstärker geleitet und die Rückkopplung über den + -Eingang realisiert, spricht man von Mitkopplung. Dabei wird die Rückkopplung stets so kontrolliert, dass die Potentialdifferenz zwischen den Eingängen des Verstärkers verschwindet. Damit lässt sich die Ausgangsspannung gemäß der Maschenregel berechnen und es gilt [7, Abb. (2.3)]: U a = U e ( 1 + R 2 R 1 ). (2.13) U e R 2 Ua R 1 Abbildung 2.3: Die Abbildung zeigt den Schaltplan des verwendeten Operationsverstärkers [7] Elektrisches Messprinzip des Experiments In diesem Abschnitt soll kurz die elektrische Schaltung des Experiments erläutert werden. Der Schaltplan des Experiments zur Messung des Johnson-Rauschens ist in Abbildung (2.4) dargestellt. Die an einem Widerstand R in abfallende Spannung des Johnson-Rauschens U J (t) wird zunächst in einem Vorverstärker (engl. preamplifier) um einen Faktor G pre verstärkt 4. An- 4 Die Bezeichnung G für die Verstärkung rührt aus dem Englischen - engl. gain = Verstärkung.

12 9 2.2 Messinstrumente und deren Funktion Abbildung 2.4: Die Abbildung zeigt den Schaltplan zur Messung des Johnson-Rauschens. Um das Schrot-Rauschen zu messen muss der Aufbau leicht modifiziert werden [2]. schließend wird die Bandbreite des Signals definiert, indem zunächst in einem Hochpassund anschließend in einem Tiefpassfilter niedrige und hohe Frequenzen gefiltert werden. Im Experiment verwenden wir Bandbreiten im Bereich von f = 0,1 100 khz. Anschließend wird das Signal nochmals im Hauptverstärker durch den Faktor G main verstärkt. Das nun ausreichend verstärkte Messsignal wird auf einem Oszilloskop ausgelesen. Um jedoch die mittlere quadratische Abweichung der Spannungsamplitude zu erhalten, was gemäß Gleichung (2.2) für weitere Berechnungen notwendig ist, muss die Spannung des Johnson-Rauschens quadriert werden, was mithilfe eines Quadrierers (engl. multiplier) bewerkstelligt wird. Dieser liefert im Ausgang das zeitliche Mittel des Spannungsquadrats 1 um den Faktor 10 V reduziert, was schließlich am Multimeter (DMM = digital multimeter) ausgelesen word. Die Einheit, des ausgelesenen Signals U DMM ist also V. Es gilt [2]: U DMM = G2 preg 2 main 10 V U J (t) 2. (2.14) Zur Messung des Schrot-Rauschens wird die Schaltung leicht modifiziert. Zunächst ist ein elektronisches Bauteil notwendig, an welchem das Schrot-Rauschen vermessen werden kann, hier wird eine Photodiode verwendet. Der gemessene Photostrom I ph wird direkt über ein weiteres Multimeter detektiert. Das Rauschsignal wird wieder durch die Anordnung aus Abbildung (2.4) detektiert und das zeitliche Mittel der Spannungsschwankung aus Gleichung (2.14) kann direkt über das Ohmsche Gesetz in eine Stromstärke umgerechnet werden [2]. Bisher wurde generell das Rauschen an einem Widerstand R in betrachtet und dabei die Messapparatur als ideal angenommen, d.h. das Rauschen der Apparatur, insbesondere das Rauschen der Verstärker, vernachlässigt. In der Praxis kann diese Annahme jedoch nicht getroffen werden, viel mehr verursacht die Messanordnung eine zusätzliche Rauschspannung U ext (t). Für das resultierende Ausgangssignal U ges (t) gilt also: U ges (t) = U J (t) + U ext (t).

13 2 Theoretische und experimentelle Grundlagen 10 Dieses durch die Verstärker verursachte Rauschen lässt sich jedoch ebenfalls messen und damit vom gesamten Messsignal subtrahieren. Dazu wird die Annahme getroffen, dass U ext jene Spannung bezeichnet, welche zwar durch den Verstärker verursacht wird, jedoch bereits vor dem Verstärker auftritt und anschließend von einem idealen, rauschlosen Verstärker mit gleicher Verstärkung G verstärkt wird. Weiter sein angenommen, dass das unkorrelierte Rauschen des Verstärkers nicht von dessen Eingangsspannung abhängt. Für das verstärkte Signal gilt damit U ges,amp (t) = G (U J (t) + U ext (t)) und für das quadratische zeitliche Mittel gilt folgender Zusammenhang: U ges,amp (t) 2 = (U J (t) + U ext (t)) 2 U J (t) U J (t) U ext (t) + U ext (t) 2. Die beiden Signale können als unkorreliert und mittelwertfrei angenommen werden, was dadurch zu rechtfertigen ist, dass sie unterschiedlichen Objekten entstammen. Dadurch verschwindet unter Verwendung von Gleichung (2.1) der Mischterm gemäß: U J (t) U ext (t) = U J (t) U ext (t) (2 1) = 0. Damit ist U ges,amp (t) 2 U J (t) 2 + U ext (t) 2, (2.15) wodurch eine Messung von U ext (t) 2 möglich wird, indem der Widerstand R in, an dem das Johnson-Rauschen vermessen wird, hinreichend klein gewählt wird, sodass das Johnson-Rauschen an diesem Widerstand im Vergleich zum Rauschen des Verstärkers vernachlässigt werden kann. Typische Größenordnungen des externen Rauschens liegen im Experiment bei U ext,rms 1 µv [2].

14 11 3 Experimenteller Aufbau und Versuchsdurchführung In diesem Abschnitt soll kurz der Versuchsaufbau und das experimentelle Vorgehen geschildert werden. Wie bereits in Abschnitt erläutert, ist der experimentelle Aufbau zur Vermessung des Johnson-Rauschens in Abbildung (2.4) dargestellt. Es wird lediglich eine kleine Änderung vorgenommen, dergestalt, dass der Hochpass-Filter entfernt wurde. Es lassen sich dann über die Kontrolleinheit Bandbreiten von f = 0,33 khz, 1 khz, 3,3 khz, 10 khz, 33 khz und 100 khz einstellen. Hierbei ist zu beachten, dass die tatsächliche Bandbreite um einen Faktor 1,1108 größer ist. Dies rührt aus der Tatsache, dass, wie an Abbildung (2.2) zu sehen ist, ein gewisser Anteil der gefilterten Frequenzen immer noch durchgelassen wird. Es wird aus diesem Grund eine effektive Bandbreite definiert, die sich bei den hier speziell verwendeten Filtern gemäß Herstellerangaben um oben genannten Faktor im Vergleich zum ursprünglichen Wert verändert [2]. Zur Kontrolle der durchgelassenen Bandbreiten wird auf dem Oszilloskop zusätzlich die Fourier-Transformation des Rauschsignals beobachtet. Ebenso lässt sich der Widerstand, an dem das Johnson-Rauschen vermessen wird, mit Werten von R in = 1 Ω, 10 Ω, 100 Ω, 1 kω, 10 kω, 100 kω und 1 MΩ einstellen. Zur Messung des Johnson-Rauschens wird wie in Abschnitt geschildert zunächst das Rauschen der Verarbeitungskette des Messsignals für jede Bandbreite bestimmt. Dazu wird am Eingangswiderstand der Wert R in = 1 Ω eingestellt, damit das Johnson-Rauschen hier so gering wird, dass es im Vergleich zum Rauschen der Signalverarbeitungskette vernachlässigt werden kann. Der so bestimmte Offset kann später von den Messwerten für höhere Eingangswiderstände abgezogen werden. Bei der quantitativen Messung des Johnson-Rauschens werden die Widerstände am Operationsvorverstärker (siehe auch Abbildung (2.3)) so kontrolliert, dass sich ein Vorverstärkungsfaktor von G pre = 600 ergibt. Weiter wird hier sowie bei allen folgenden Messungen am Quadrierer eine Zeitkonstante von τ = 1 s gewählt, d.h. die Berechnung des Mittelwerts der quadrierten Rauschspannung erfolgt anhand einer zeitlichen Integration über den Zeitraum von einer Sekunde. Dies ist insofern von entscheidender Bedeutung, da eine zu kurze Zeitkonstante hier zu fluktuierenden Werten führen würde, was auf die Ergoden-Theorie zurückzuführen ist. Am Hauptverstärker kann das Messsignal nochmals um einen Faktor G main verstärkt werden. Um nun die Nyquist-Formel (Gleichung (2.2)) auf Proportionalität zu Widerstand und Bandbreite zu überprüfen, wird die Rauschspannung 5 U J (t) 2 für jede Kombination aus Bandbreite und Widerstand bestimmt. Aus diesen Werten lässt sich schließlich die Boltzmann-Konstante k B bestimmen. Dabei, wie auch bei allen anderen Messungen, wird die 5 An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass im Folgenden die Bezeichnung Rauschspannung simultan für den Mittelwert der quadrierten zeitlich fluktuierenden Rauschspannung U J (t) 2 und die eigentliche Rauschspannung U J (t) verwendet wird. Was jeweils gemeint ist, ergibt sich aus dem Zusammenhang. Analog wird die Bezeichnung Rauschstrom beim Schrot-Rauschen verwendet.

15 3 Experimenteller Aufbau und Versuchsdurchführung 12 Verstärkung am Hauptverstärker in der Verarbeitungskette stets so gewählt, dass die verstärkte Spannung am digitalen Multimeter im Bereich von U DMM 1 V liegt, da für höhere Spannungen die Gefahr besteht, dass der Messbereich des Oszilloskops nicht ausreicht und der Detektor in die Sättigung gerät. Wie ebenfalls in Abschnitt geschildert, wird zur experimentellen Beobachtung des Schrot-Rauschens eine Photodiode in das Gehäuse der Kontrolleinheit eingebaut, die mit einer Glühbirne bestrahlt wird. Da sich Glühbirne und Photodiode innerhalb des Gehäuses befinden, ist eine zusätzliche externe Beleuchtung der Photodiode weitestgehend vermieden. Die Intensität der Glühbirne und damit der Photostrom I Ph lässt sich über die Kontrolleinheit steuern. Die Photodiode ist dabei parallel zum fest eingestellten Eingangswiderstand R in = 10 kω geschaltet, über welchem die Rauschspannung U (t) 2 abgegriffen wird, aus welcher sich schließlich der Rauschstrom ergibt. Die Vorverstärkung des Operationsverstärkers beträgt nun G pre = 100. Auch hier wird für I Ph = 0 A zunächst der Offset der Rauschspannung, der aus dem Rauschen der Signalverarbeitungskette rührt, bestimmt. Anschließend wird zur Verifikation von Gleichung (2.8) und zur Bestimmung der Elementarladung e für die Bandbreiten f = 3,3 khz, 10 khz, 33 khz und 100 khz und verschiedene Photoströme im Bereich von I Ph = µa die Rauschspannung bestimmt, woraus sich schließlich der Rauschstrom I (t) 2 gemäß dem Ohmschen Gesetz ergibt. Im letzten Versuchsteil wird die Temperaturabhängigkeit des Johnson-Rauschens untersucht. Dazu werden externe Widerstände mit Werten von R in = 10 Ω, 10 kω und 100 kω vermessen. Der kleinste Widerstand dient dabei wieder zur Bestimmung des Offsets. Die Rauschspannung der externen Widerstände wird wieder für verschiedene Bandbreiten von f = 1 khz, 3,3 khz und 10 khz jeweils bei Raumtemperatur und bei T = 77 K, der Siedetemperatur von flüssigem Stickstoff, in welchen die Widerstände abgesenkt werden, bestimmt. Durch den resultierenden linearen Zusammenhang sollte sich später idealerweise der absolute Temperaturnullpunkt T 0 = 0 K ergeben.

16 13 4 Ergebnisse und Diskussion In diesem Abschnitt werden die experimentellen Ergebnisse präsentiert und deren physikalischer Inhalt diskutiert. 4.1 Johnson-Rauschen in Bezug auf Widerstand R und Bandbreite f und Bestimmung der Boltzmann-Konstante k B Zunächst wird die Nyquist-Formel in Bezug auf Bandbreite f und Widerstand R in untersucht. Dazu wird jeweils die Rauschspannung U J (t) 2 über der jeweiligen Größe aufgetragen, was in einem linearen Zusammenhang resultieren sollte. Dies ist in Abbildungen (4.1) und (4.2) und gezeigt, in beiden Diagrammen wurde der Offset aus der Signalverarbeitungskette bereits herausgerechnet. Hierbei wurde - wie in allen weiteren Plots - auf die Fehlerbalken verzichtet, da sie im Diagramm ohnehin verschwindend klein wären. Dies liegt vor allem daran, dass die Rauschspannung sehr genau abgelesen werden konnte und nur wenig fluktuierte. Die Unsicherheit der daraus resultierenden Größen ergibt sich im Wesentlichen aus statistischer Streuung der Messwerte. Man beachte hier, dass in beiden UJ (t) 2 / V f / khz R = 0,1 kω R = 1 kω R = 10 kω R = 100 kω R = 1000 kω Abbildung 4.1: Die Abbildung zeigt die gemessene Abhängigkeit der Rauschspannung U J (t) 2 des Johnson-Rauschens von der Bandbreite f in doppelt logarithmischer Skala. Der Zusammenhang ist wie erwartet linear.

17 4 Ergebnisse und Diskussion UJ (t) 2 / V R in / kω f = 0,33 khz f = 1 khz f = 3,3 khz f = 10 khz f = 33 khz f = 100 khz Abbildung 4.2: Die Abbildung zeigt die gemessene Abhängigkeit der Rauschspannung U J (t) 2 des Johnson-Rauschens vom Widerstand R in in doppelt logarithmischer Skala. Der Zusammenhang ist wie erwartet linear. Graphen eine doppelt logarithmische Skala gewählt wurde, was aufgrund der Rechengesetze des Logarithmus und gemäß Gleichung (2.2) dazu führt, dass alle Geraden eine gleiche Steigung jedoch einen horizontalen Versatz relativ zueinander aufweisen. Die linearen Fits, welche in allen Fällen - bis auf wenige Ausnahmen, die sich jedoch auch sehr leicht erklären lassen (siehe unten) - sehr gut auf die Messdaten passen, bestätigen die Nyquist-Formel. In beiden Fällen wurde für die linearen Fits jeweils eine lineare Funktion angesetzt. Streng genommen müsste jedoch um einen zusätzlichen Offset unbekannter Herkunft ausschließen zu können eine affin lineare Funktion als Modell herangezogen werden. Dies würde jedoch in der doppelt logarithmischen Skala zu einem nichtlinearen Zusammenhang führen. Aus diesem Grund wurde zunächst bei jeder Messreihe ein affin lineares Modell als Fit gewählt und anschließend der Offset im Rahmen der Ungenauigkeit als verschwindend verifiziert. Die linearen Fits in Abbildungen (4.1) und (4.2) basieren alle auf den streng linearen Fitfunktionen. Es zeigen sich bei den Messreihen einige wenige Ausnahmen. Wie vor allem bei den Messwerten mit dem höchsten Widerstand R in = 1000 kω zu sehen ist, weichen die Messwerte für hohe Bandbreiten von dem zu erwartenden linearen Zusammenhang ab (siehe Abbildung (4.1)). Dies lässt sich dadurch erklären, dass die verwendeten Kabel in der Signalverarbeitungskette ebenfalls eine Kapazität C aufweisen. In Kombination mit dem Eingangswiderstand R in bildet sich hier ein zusätzlicher RC-Tiefpass, welcher gemäß Gleichung (2.11) vor allem bei hohen Eingangswiderständen zusätzlich hohe Frequenzen herausfiltert, was

18 4.1 Johnson-Rauschen in Bezug auf Widerstand R und Bandbreite f und 15 Bestimmung der Boltzmann-Konstante k B die effektive Bandbreite und somit die Rauschspannung U J (t) 2 zusätzlich verringert. Eine weitere Auffälligkeit ist, dass die Messwerte für den geringsten Widerstand R in = 100 Ω und die beiden geringsten Bandbreiten in den Diagrammen nicht aufgeführt sind. Hier war im Rahmen des Messunsicherheit die Rauschspannung U J (t) 2 am Eingangswiderstand nicht messbar größer als die der Signalverarbeitungskette und konnte deshalb nicht ausreichend genau bestimmt werden. Tatsächlich wurde bei der Bestimmung der Rauschspannung der Signalverarbeitungskette auch ein minimal zu großer Wert bestimmt, da immer noch ein - wenn auch verschwindend kleiner - Eingangswiderstand vorhanden war. Dies führt letztendlich zu kleinen systematischen Fehler, der vor allem bei kleinen Eingangswiderständen und Bandbreiten ins Gewicht fällt. Zur Berechnung der Boltzmann-Konstante werden aus diesem Grund diese, sowie die Messwerte, die aus oben genannten Gründen eine Abweichung des linearen Zusammenhangs liefern, nicht berücksichtigt. Für alle anderen Messwerte, bei denen kein unvermeidbarer systematischer Fehler auftritt, wird zur Berechnung der Boltzmann-Konstante die Nyquist-Formel (Gleichung (2.2)) nach der Boltzmann-Konstante umgeformt und so erhalten wir für alle Messwerte einen Wert für k B, welche wir anschließend mitteln. Die Messwerte sind im Wesentlichen statistisch verteilt und als Fehler wird von daher die Standardabweichung angenommen. Für die Temperatur wird eine Raumtemperatur von T = (293 ± 2) K angenommen. Es ergibt sich hier ein Wert von k B = (1,31 ± 0,09) J K. (4.1) Vergleicht man dieses Ergebnis mit dem Literaturwert von k B = 1, J K [8], so ergibt sich eine Abweichung von lediglich 5%. Im Rahmen der Messungenauigkeit konnte der Literaturwert bestätigt werden. Da im Versuch die Temperatur lediglich geschätzt und nicht gemessen wurde, könnte hier eine vermeintliche Fehlerquelle liegen, welche zu der - wenn auch nur geringen - Abweichung nach unten führt. Ebenso erwarten wir aufgrund der Tatsache, dass für sehr kleine bzw. sehr große Widerstände und Bandbreiten der Wert nicht mehr ganz korrekt ist, eine bestmögliche Bestimmung der Boltzmann-Konstante für mittlere Bandbreiten und mittlere Widerstände. Diese Vermutung spiegelt sich auch in unseren Messwerten wider, so treffen beispielsweise die berechneten Werte der Boltzmann-Konstante für einen mittleren Widerstand von R in = 10 kω und mittlere Bandbreiten von f 1 = 3,3 khz bzw. f 2 = 10 khz mit k B,1 = (1,37 ± 0,04) J K bzw. k B,2 = (1,38 ± 0,02) J K den Literaturwert sehr exakt. Die Fehler der beiden berechneten Werte ergeben sich dabei aus der Fehlerfortpflanzung, wobei der Fehler des Eingangswiderstands gemäß Herstellerangaben jeweils 1% des tatsächlichen Wertes beträgt 6 [2]. Weiter wirft die Tatsache, dass sich für hohe bzw. niedrige Bandbreiten und Widerstände abweichende Werte ergeben, die Frage auf, ob die Werte tatsächlich als statistisch verteilt gewertet werden können. Die stochastische Unabhängigkeit der Messwerte war die Rechtfertigung für die Abweichung des in Gleichung (4.1) berechneten Wertes anhand der Standardabweichung. Da wir hier jedoch annehmen, dass die Abweichungen in guter Näherung in beide Richtungen in etwa gleich gewichtet sind, können die Werte hier dennoch in guter Näherung als statistisch verteilt angesehen werden und die Messung als Bestätigung des Literaturwertes deuten. 6 Eine Ausnahme ist der Widerstand R in = 1 MΩ, hier beträgt der relative Fehler nur 0,1%.

19 4 Ergebnisse und Diskussion Schrot-Rauschen und Bestimmung der Elementarladung e Wie bereits in Abschnitt 3 erläutert, wird das Schrot-Rauschen an einer Photodiode vermessen, wobei durch die Photodiode stets ein Photostrom I Ph fließt. Gemäß Gleichung (2.8) sollte hier ein linearer Zusammenhang resultieren. Die erhaltenen Messwerte für den Rauschstrom I (t) 2 in Abhängigkeit des Photostroms sind in Abbildung (4.3) dargestellt. Der lineare Zusammenhang konnte dabei für alle Bandbreiten verifiziert werden. Aus der Steigung der Geraden lässt sich schließlich die Elementarladung e berechnen. Hierfür wird analog zur Berechnung der Boltzmann-Konstante in Abschnitt 4.1 Gleichung (2.8) nach der Elementarladung umgeformt und man erhält für jeden Messwert einen Wert für die Elementarladung. Auch hier nehmen wir die Messwerte als unkorreliert an und erhalten deshalb einen Mittelwert mit Standardabweichung von e = ( 1,59 ± 0,20) C. (4.2) Auch hier stimmt der Wert sehr gut mit dem Literaturwert von e = 1, C [9] überein, die relative Abweichung beträgt weniger als 1%. Dennoch ist der von uns berechnete Wert mit einem recht hohen Fehler behaftet. Dies rührt wie schon in Abschnitt 4.1 x I (t) 2 / A f = 3,3 khz f = 10 khz f = 33 khz f = 100 khz I Ph / µa Abbildung 4.3: Die Abbildung zeigt die Messwerte für den an der Photodiode gemessenen Rauschstrom I (t) 2 in Abhängigkeit des Photostromes I Ph für verschiedene Bandbreiten. Der erwartete lineare Zusammenhang konnte dabei bestätigt werden.

20 Bestimmung des absoluten Temperaturnullpunkts anhand des Johnson-Rauschens aus der Tatsache, dass für hohe bzw. niedrige Bandbreiten und Photoströme Störquellen die Messwerte stärker verfälschen können als für mittlere Bandbreiten und Photoströme. Dies scheint für hohe Bandbreiten und Photoströme insbesondere dadurch einleuchtend, dass die Wirkung des RC-Tiefpasses aus Eingangswiderstand und Kapazität der Kabel aufgrund des hohen Eingangswiderstand R in = 10 kω nicht mehr unbedingt vernachlässigbar ist. Wir wollen von daher einen zweiten Wert für die Elementarladung gewinnen, indem nur die Bandbreiten f = 10 khz und f = 33 khz sowie Photoströme im Bereich von I Ph µa berücksichtigt werden. Es ergibt sich e = (1,626 ± 0,026) C was mit einer Abweichung von 1,5% ebenfalls den Literaturwert wiedergibt, jedoch nun eine deutlich kleinere Unsicherheit liefert. Zweifellos kann die Messung sehr genau den Literaturwert bestätigen. 4.3 Bestimmung des absoluten Temperaturnullpunkts anhand des Johnson-Rauschens Im letzten Versuchsteil soll schließlich noch die Temperaturabhängigkeit des Johnson- Rauschens bestimmt werden, die gemäß der Nyquist-Formel ebenfalls linear ist. Wie bereits in Abschnitt 3 erläutert, wird hierzu die Rauschspannung an externen Widerstän- UJ (t) 2 / V x f = 1 khz f = 3,3 khz f = 10 khz T / K Abbildung 4.4: Die Abbildung zeigt den linearen Zusammenhang zwischen Rauschspannung und Temperatur für einen Eingangswiderstand von R in = 10 kω bei verschiedenen Bandbreiten.

21 4 Ergebnisse und Diskussion 18 x f = 1 khz f = 3,3 khz f = 10 khz UJ (t) 2 / V T / K Abbildung 4.5: Die Abbildung zeigt den linearen Zusammenhang zwischen Rauschspannung und Temperatur für einen Eingangswiderstand von R in = 100 kω bei verschiedenen Bandbreiten. den vermessen, welche in ein Dewar mit flüssigem Stickstoff abgesenkt werden können, um sie zu kühlen. Es konnte dabei das Abfallen der Rauschspannung U J (t) 2 bei sinkender Temperatur beobachtet werden. Die Messwerte der beiden Widerstände R in = 10 kω und R in = 100 kω bei Raumtemperatur und Siedetemperatur von Stickstoff wurden in einem Diagramm aufgetragen und eine Gerade durch die beiden Punkte gelegt. Dies ist in Abbildung (4.4) für R in = 10 kω und in Abbildung (4.5) für R in = 100 kω gezeigt. Auch hier wurde der zuvor bestimmte Offset berücksichtigt und von der gesamten gemessenen Rauschspannung subtrahiert. Dass die Messwerte tatsächlich den erwarteten linearen Zusammenhang liefert zeigt sich, indem die Nullstelle der Gerade bestimmt wird. Diese sollte beim absoluten Temperaturnullpunkt T 0 = 0 K liegen. Berechnet man die Nullstelle von allen sechs Geraden und bildet deren Mittelwert, der mit der Standardabweichung behaftet ist, so ergibt sich ein Wert von T 0 = ( 1,0 ± 2,8) K, (4.3) was den erwarteten Wert im Rahmen der Messunsicherheit bestätigt.

22 Fazit 4.4 Fazit In allen drei Versuchsteilen konnten die im Grundlagenteil (Abschnitt 2) erörterten Zusammenhänge sowohl qualitativ als auch quantitativ verifiziert werden, was insbesondere dadurch erstaunlich ist, da die Versuchsapparatur sehr anfällig auf mechanische Vibrationen oder externe Störfelder durch z.b. Handys ist. Diese Sensibilität konnte anhand stark fluktuierender Werte der Rauschspannung bei massiver mechanischer Erschütterung bzw. unmittelbarer Nähe eines eingeschalteten Handys zur Versuchsapparatur beobachtet werden. Nichtsdestotrotz konnten während des Experiments lediglich kleine Schönheitsfehler, wie z.b. das Auftreten eines zusätzlichen RC-Tiefpasses aufgrund der Kapazität der Kabel, was in Abschnitt 4.1 diskutiert wurde, beobachtet werden. Für eine genauere Analyse, wie stark solche Fehler die Messwerte verfälschen wären weiterführende, deutlich aufwendigere Messungen von Nöten, die an dieser Stelle nicht durchgeführt wurden. Generell konnten die Phänomene des Rauschens als hervorragende Möglichkeit zur quantitativen Bestimmung der Boltzmann-Konstante k B und der Elementarladung e bestätigt werden.

23 Abbildungsverzeichnis 20 Literatur [1] Pfeifer, H.: Elektronisches Rauschen - Teil 1 Rauschquellen. Teubner-Verlag, [2] Baak, David van, Geroge Herold und Jonathan Reichert: Noise Fundamentals NF1-A Instructor s Manual. TeachSpin Inc., 2495 Main Street, Suite 409, Buffalo, NY, [3] Nyquist, H.: Thermal Agitation of Electric Charge in Conductors. Phys. Rev., 32: , July [4] Johnson, J.B.: Thermal Agitation of Electricity in Conductors. Phys. Rev., 32:97 109, July [5] TeachSpin Inc.: SPLIA1-A Signal Processor / Lock-In Amplifier, [6] Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik 2 - Elektrizität und Optik. Springer, [7] Wikipedia, freie Enzyklopädie: Operationsverstärker, [8] Nolting, Wolfgang: Grundkurs Theoretische Physik 4: Spezielle Relativitätstheorie, Thermodynamik. Springer, [9] Nolting, Wolfgang: Grundkurs Theoretische Physik 3: Elektrodynamik. Springer, Abbildungsverzeichnis 2.1 Abhängigkeit der Rauschdichte von der Frequenz - weißes und rosa Rauschen Schaltpläne und Durchlasskurven von RC-Hoch- und Tiefpass, sowie einer möglichen Realisierung eines Bandpass Schaltplan des verwendeten Operationsverstärkers Schaltplan zur Messung des Johnson-Rauschens Gemessene Abhängigkeit der Rauschspannung U J (t) 2 des Johnson-Rauschens von der Bandbreite f Gemessene Abhängigkeit der Rauschspannung U J (t) 2 des Johnson-Rauschens vom Widerstand R in Gemessener Rauschstrom I (t) 2 in Abhängigkeit des Photostromes I Ph Abhängigkeit von Rauschspannung und Temperatur für R in = 10 kω Abhängigkeit von Rauschspannung und Temperatur für R in = 100 kω... 18