Elementare Differentialgeometrie auf Kurven und Flächen Prof. Dr. Christian Hainzl

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1 Eberhard Karls Universität Tübingen Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät Elementare Differentialgeometrie auf Kurven und Flächen Prof. Dr. Christian Hainzl Wintersemester 213/214

2 Vorwort Dieses Skript entstand im Wintersemester 213/14 im Rahmen meiner Zulassungsarbeit bei Prof. Dr. Christian Hainzl an der Eberhard-Karls-Universität Tübingen. Bei Fragen, Wünschen oder Verbesserungsvorschlägen freue ich mich über jede an Vielen Dank!

3 Inhaltsverzeichnis 1 Kurventheorie Kurven im R Ebene Kurven Raumkurven Lokale Flächentheorie Flächen und Tangentialraum Die erste Fundamentalform Krümmung Die zweite Fundamentalform Innere Geometrie von Flächen Isometrien Kovariante Ableitung Parallelverschiebung und Geodätische Das Gauß-Bonnet Theorem Riemannscher Krümmungstensor Exponentialabbildung Minimalflächen Index 75

4 1 KURVENTHEORIE 1 1 Kurventheorie 1.1 Kurven im R 3 Definition Sei I R ein Intervall. Eine parametrisierte Kurve ist eine unendlich oft differenzierbare Abbildung γ : I R 3 c : I R 2. Anschaulich ist eine Kurve im R 3 ein in den Raum gelegtes gebogenes Geradenstück. Eine Kurve heißt regulär, falls der Geschwindigkeitsvektor nirgends verschwindet: γ(t), ċ(t) t I. Bemerkung ċ heißt, dass sich die Kurve bewegt und nicht stehen bleibt. c(t) ist mehr als nur die Punkte im Raum. Es beschreibt, wie die Kurve durchlaufen wird. Beispiel a) Gerade: Eine Gerade lässt sich folgendermaßen als reguläre parametrisierte Kurve schreiben: a b γ : R R 3, γ(t) = a + t b, a R 3, b R 3 \. Dann gilt γ(t) = b. Abbildung 1: Gerade b) Kreislinie: mit Mittelpunkt (, ) und Radius r > : r c : R R 3, c(t) = ( r cos t r sin t ) Abbildung 2: Kreis Die Kurve ist nicht injektiv: Wegen c(t + 2π) = c(t) wird jeder Bildpunkt unendlich oft durchlaufen.

5 1 KURVENTHEORIE 2 c) Schraubenlinie Abbildung 3: Schraubenlinie γ : R R 3 γ(t) = r cos t r sin t ht d) Traktix (Schleppkurve) ) c : ( π 2 ) R2 c(t) = ( sin t cos t + ln tan(t/2) c : (, π) ist bei (, ) nicht regulär! ) c( π 2 ) = ( 1 Abbildung 4: Traktix e) c(t) = (t, f(t)) (t, f(t)) c(t) = ( ) t f(t) a t b

6 1 KURVENTHEORIE 3 f) logarithmische Spirale c : R R 2 c(t) = ( e t cos t e t sin t ) Abbildung 5: Spirale Eine Kurve sollte nicht von der Parametrisierung abhängen. Definition Sei γ : I R 3 eine parametrisierte Kurve. Eine Parametertransformation von γ ist eine bijektive Abbildung ϕ : J I, wobei J ein weiteres Intervall ist, sodass sowohl ϕ als auch ϕ 1 : I J unendlich oft differenzierbar sind. ( ) γ(s) = γ ϕ(s) : J R 3 heißt Umparametrisierung von γ. (Analog für c : I R 2 ) c(t) ( ) c(s) = c ϕ(s) ϕ : J I I J Bemerkung Es sollte ϕ gelten, damit die Umparametrisierung einer regulären Kurve regulär bleibt. Beispiel ϕ(t) = t : [ b, a] [a, b] γ(t) = γ( t) kehrt den Durchlaufsinn um. Definition Eine Parametertransformation heißt orientrierungserhaltend, falls ϕ > für alle t, und orientierungsumkehrend, falls ϕ < für alle t. Definition Eine Kurve ist eine Äquivalenzklasse von regulären parametrisierten Kurven, wobei diese als äquivalent angenommen werden, wenn sie Umparametrisierungen voneinander sind.

7 1 KURVENTHEORIE 4 Beispiel Die regulären parametrisierten Kurven und c 1 : R R 2, c 1 (t) = (t, t), c 2 : (, ) R 2, c 2 (t) = (ln t, ln t) sind äquivalent, denn c 1 = c 2 ϕ mit ϕ(t) = e t, und repräsentieren daher dieselbe Kurve. Bemerkung Das Bild c(i) wird auch Spur der Kurve c genannt. Definition Eine orientierte Kurve ist eine Äquivalenzklasse von parametrisierten Kurven, wobei diese als äquivalent angesehen werden, wenn sie durch orientierungserhaltende Parametertransformationen auseinander hervorgehen. Definition Eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve ist eine reguläre parametrisierte Kurve γ : I R 3 (bzw. c : I R 2 ) mit γ = 1 (bzw. ċ = 1) für alle t I. Bemerkung Nach Bogenlänge parametrisierte Kurven sind solche, die ihr Bild mit konstanter Geschwindigkeit durchlaufen. Wir werden nach Bogenlänge parametrisierte Kurven verwenden um Krümmung zu definieren. Satz Zu jeder regulären parametrisierten Kurve γ (bzw. c) gibt es eine orientierungserhaltende Parametertransformation ϕ, sodass die Umparametrisierung γ = γ ϕ nach Bogenlänge parametrisiert ist, dass also γ = 1. γ(t ) γ(t) γ(t) ( ) γ(s) = γ ϕ(s) ϕ(s) t I t J Beweis. Sei γ : I R 3 eine reguläre parametrisierte Kurve. Sei t I. Setze ψ(t) := t t γ(t ) dt. Dann ist ψ streng monoton wachsend, denn ψ(t) = d dt ψ : I J := ψ(i) t t γ(t ) dt = γ(t) >. Daher ist eine orientierungserhaltende Parametertransformation und es existiert eine Umkehrabbildung ϕ(s) := ψ 1 (s) : J I. Dann sind ϕ und ψ unendlich oft differenzierbar und es gilt ϕ(s) = ψ 1 (s) = 1 ψ(ψ 1 (s)) = 1 ψ(ϕ(s) = 1 γ(ϕ(s))

8 1 KURVENTHEORIE 5 Damit und mit der Kettenregel folgt γ(s) = (γ ϕ) (s) = γ(ϕ(s)) ϕ(s) = γ(ϕ(t)) γ(ϕ(t)) = 1 Damit ist γ ϕ nach Bogenlänge parametrisiert. Wir wollen als nächstes die Länge L einer Kurve definieren. Sei γ : [a, b] R 3, c : [a, b] R 2. Wir nähern c an durch einen Polygonzug P 1 und einen zweiten Polygonzug P 2 mit P 1 P 2 : a = t t 1 t 2 t 3 b = t 4 Abbildung 6: Polygonzug P 1 a = t t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 b = t 8 Abbildung 7: Polygonzug P 2 Dann gilt für die Länge der Polygonzüge L(P 1 ) L(P 2 ) und Sei ɛ = sup i t i t i 1, dann gilt c(t i ) c(t i 1 ) ċ(t i ) (t i t i 1 ) für (t i t i 1 ). n i=1 Dies motiviert folgende Definition: c(t i ) c(t i 1 ) ɛ b a ċ dt Definition Sei c : [a, b] R 2, bzw. γ : [a, b] R 3, eine parametrisierte Kurve. Dann gilt für die Länge der Kurve: L(c) = L(γ) = b a b a ċ dt, γ dt. Lemma Die Länge einer Kurve ist unabhängig von der Parametrisierung. Beweis. Sei ϕ >. L( γ) = = b a γ(s) ds = b b a a γ(ϕ(s)) ϕ(s)ds = d ( ϕ(s)) ds γ ds = b a b a γ(t) = L(γ), γ(ϕ(s)) ϕ(s) ds wobei im vorletzten Schritt substituiert wurde: t = ϕ(s), ϕ(a ) = a, ϕ(b ) = b, dt = ϕ(s)ds.

9 1 KURVENTHEORIE 6 γ(t) γ(s) = γ(ϕ(s)) ϕ a I b a J b Definition Eine parametrisierte Kurve c : I R 2 heißt periodisch mit Länge L, falls für alle t I gilt: c(t + L) = c(t) und es kein L gibt mit < L < L, so dass ebenfalls c(t + L ) = c(t) für alle t I. Eine Kurve heißt geschlossen, falls sie eine periodische reguläre Parametrisierung besitzt. (Analog für γ : I R 3 ) Bemerkung Nicht jede Parametrisierung einer geschlossenen Kurve ist periodisch. Beispielsweise lässt sich eine periodische parametrisierte Kurve so umparametrisieren, dass sie bei jedem Durchlauf der Kurve langsamer wird. Definition Eine geschlossene Kurve heißt einfach geschlossen, falls sie eine periodische reguläre Parametrisierung c mit Periode L hat, so dass c [,L) injektiv ist. Abbildung 8: einfach geschlossen Abbildung 9: geschlossen, aber nicht einfach geschlossen 1.2 Ebene Kurven Eine Besonderheit ebener Kurven ist die Möglichkeit, ihr Normalenfeld zu definieren. Sei dazu c : I R 2 eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve mit ċ = 1. n ċ

10 1 KURVENTHEORIE 7 Wir definieren das Normalenfeld durch ( ) ( ) π 1 n(t) := R ċ = ċ(t). 2 1 Dabei entspricht R(α) einer Rotation um den Winkel α. α α Da c nach Bogenlänge parametrisiert ist, gilt ċ 2 = ċ ċ = 1. (Anmerkung: Unter einer Vektormultiplikation verstehen wir hier und im Folgenden das Standardskalarprodukt der Vektoren: ċ ċ = ċ, ċ.) Differentiation der obigen Gleichung liefert = d dt ċ 2 = c ċ + ċ c = 2( c ċ) Also stehen ċ(t) und c(t) senkrecht aufeinander und c(t) ist ein Vielfaches des Normalenvektors n(t). Definition Die Funktion κ : I R mit heißt Krümmung von c. c(t) = κ(t)n(t) Die Krümmung ist ein Maß dafür, wie stark die Kurve von einer Geraden abweicht. Wenn c nach Bogenlänge parametrisiert ist, dann ist c eine Gerade genau dann, wenn c, d.h. wenn κ. n(t 1 ) ċ(t 1 ) c(t 1 ) n(t 2 ) c ċ(t 2 ) n(t 3 ) c(t 3 ) ċ(t 3 ) κ(t) < κ(t) = κ(t) > Abbildung 1: Krümmung Beispiel Wir betrachten die Kreislinie c : R R 2 mit Radius r >, parametrisiert nach Bogenlänge durch c(t) = (r cos(t/r), r sin(t/r)). Dann gilt ċ(t) = ( sin(t/r), cos(t/r)) und c(t) = 1 r ( cos(t/r), sin(t/r)) = 1 r n(t). Also ist κ 1/r.

11 1 KURVENTHEORIE 8 Bemerkung Sei c eine reguläre, (nicht notwendigerweise nach Bogenlänge) parametrisierte Kurve. Die Krümmung der Kurve ist gegeben durch die Formel κ(t) = det(ċ(t), c(t)) ċ(t) 3 Beweis. Sei ϕ(s) = l 1 (s) = t mit l(t) = t ċ(t ) dt. Dann ist c(s) = c(ϕ(s)) nach Bogenlänge parametrisiert, denn es gilt: c(s) = ċ(ϕ(s)) ϕ(s) = ċ(t) ċ(t) = 1 Dann gilt ( die obige ) Formel für die Krümmung von c. Denn nach Definition ist c = κn also 1 c = κ c 1. Damit gilt det( c(t), c(t)) = c c = κ ( 1 1 Nun bleibt die Formel für c zu zeigen. Wir berechnen: Damit ergibt sich κ = c(t) c (t) c 3 c(s) = ċ(ϕ(s)) ϕ(s) ) ( 1 c 1 c(s) = c(ϕ(s)) ϕ 2 (s) + ċ(ϕ(s)) ϕ(s) c (s) = c (ϕ(s)) ϕ 2 (s) + ċ (ϕ(s)) ϕ(s) ) c = κ = ċ(ϕ(s)) ϕ(s) ( c (ϕ(s)) ϕ 2 (s) + ċ (ϕ(s)) ϕ(s)) ċ(ϕ(s)) ϕ(s) 3 = ċ(ϕ(s)) ϕ(s) c (ϕ(s)) ϕ 2 (s) + ċ(ϕ(s)) ϕ(s) ċ (ϕ(s)) ϕ(s) ϕ(s) 3 ċ(ϕ(s)) 3 = ϕ(s)3 (ċ(ϕ(s)) c (ϕ(s))) + ϕ(s) 3 ċ(ϕ(s)) 3 = ċ(ϕ(s)) c (ϕ(s)) ċ(ϕ(s)) 3 = ċ(t) c (t) ċ(t) 3 = det(ċ(t), c(t)) ċ(t) 3 Beispiel f(t) c(t) = (t, f(t)) ċ = (1, f(t)), c = (, f (t)) Für die Krümmung ergibt sich somit (( ) ( )) 1 det f, f f (t) κ(t) = (1 + f 2 ) 3/2 = (1 + f 2 ) 3/2 Sei nun f(x) = cx 2. Dann ergibt sich mit oben:

12 1 KURVENTHEORIE 9 f (x) = 2cx, f (x) = 2c. Einsetzen in die obige Formel liefert für t = r = 1 2c κ() = 2c = 2c (1 + ) 3/2 Die Frage nach der Krümmung im Nullpunkt entspricht hier der Frage, welcher Kreis sich am Besten an die Parabel anschmiegt. Als Antwort bekommen wir also einen Kreis mit Radius r = 1 2c. Satz (Frenet-Gleichung). Sei c : I R 2 eine ebene nach Bogenlänge parametrisierte Kurve. Sei v = ċ. Sei κ die Krümmung von c und n der Normalenvektor. Dann gilt ( ) ( ) ( ) d v κ v = dt n κ n. Beweis. Die Gleichung v = κn ist gerade die Definition der Krümmung. Durch Differentiation der Gleichung n n 1 schließen wir wie oben, dass ṅ(t) senkrecht auf n(t) steht und daher ein Vielfaches von v(t) sein muss: ṅ(t) = α(t)v(t). Wir differenzieren n v und erhalten Also ist α = κ und damit ṅ = κv. = ṅ v + n v = (αv) v + n (κn) = α + κ. Wir wollen nun die Krümmung als Winkeländerung betrachten. ċ(t 2 ) θ(t 2 ) ċ(t 1 ) ċ(t 2 ) ċ(t 1 ) θ(t 1 ) θ misst den Winkel zwischen ċ(t) und der x-achse. Er ist nur bis auf 2πk, k Z, eindeutig. Jeder Einheitsvektor kann so in Form (cos θ, sin θ) geschrieben werden und es gilt κ(t) = θ(t). Lemma Sei c : [a, b] R 2 eine ebene nach Bogenlänge parametrisierte Kurve. Dann gibt es eine C -Funktion θ : [a, b] R, so dass ċ(t) = ( cos(θ(t)) sin(θ(t)) θ ist eindeutig bis auf 2πk, k Z, festgelegt. ) und κ(t) = θ(t).

13 1 KURVENTHEORIE 1 Beweis. Wir betrachten vier Halbkreise: den oberen, unteren, rechten und linken. S r := {(x, y) S 1 R 2 x > }, S l := {(x, y) S 1 R 2 x < } S o := {(x, y) S 1 R 2 y > }, S u := {(x, y) S 1 R 2 y < } Zu Beginn nehmen wir an, dass das Bild ċ([a, b]) ganz in einem der Halbkreise liegt. Sei beispielsweise ċ(t) = ( ċ1 (t) ċ 2 (t) ) S r. Dann gilt nach Definition von S r ċ 1 >. ċ 1 ċ 2 Wie man sieht, ist θ glatt. ċ2(t) sin θ(t) = = tan θ(t) ċ 1 (t) cos θ(t) θ(t) = arctan ċ2(t) ċ 1 (t) + 2πk, k Z Die Fälle, dass ċ([a, b]) in einem der anderen Halbkreise liegt, werden ähnlich behandelt. Nehmen wir jetzt an, dass ċ([a, b]) nicht komplett in einem der Halbkreise enthalten ist. Wie oben findet man dann ein eindeutiges glattes θ : [a, t 1 ] R wie gewünscht und θ(t 1 ) ist Dann unterteilen wir das Intervall [a, b] so, dass jedes ċ([t i, t i+1 ]) in einem Halbkreis liegt. a = t t 1 t 2 t n = b festgelegt. Weiter finden wir eine glatte Fortsetzung θ : [a, t 2 ] R und induktiv eine glatte Abbildung θ : [a, b] R. Der Startwert θ(a) ist nur bis auf 2πk, k Z eindeutig, daher ist θ eindeutig bis auf 2πk, k Z. Definition Sei c : I R 2 eine ebene nach Bogenlänge parametrisierte Kurve, periodisch mit Länge L. Sei θ : I R mit ċ = (cos θ, sin θ). Dann heißt Umlaufzahl von c. n c := 1 (θ(l) θ()) 2π Beispiel Der Kreis vom Radius r > hat die Bogenlängenparametrisierung c(t) = (r cos(t/r), r sin(t/r)) mit Periode L = 2πr. Für den Geschwindigkeitsvektor ergibt sich Damit erhalten wir als Winkelfunktion θ(t) = t/r + π/2 und somit für die Umlaufzahl n c = 1 1 (θ(2πr) θ()) = 2π 2π ( 2πr + π r 2 π ) = 1. 2

14 1 KURVENTHEORIE 11 ċ(t) = ( sin(t/r) cos(t/r) ) = ( cos(t/r + π/2) sin(t/r + π/2) ) ċ Beispiel n c = 2 n c = Satz Sei c : I R 2 eine nach Bogenlänge parametrisierte periodische ebene Kurve mit Periode L. Sei κ : I R die Krümmung von c. Dann gilt n c Z und n c = 1 L κ(t)dt. 2π Beweis. Da c geschlossene Kurve, gilt: c(l) = c(), ċ(l) = ċ() Aus Lemma 1.25 folgt: ċ(t) = (cos θ(t), sin θ(t)) Damit und mit e ia = cos a + i sin a folgt: ( ) ( cos θ(l) cos θ() = sin θ(l) sin θ() ) e iθ(l) = e iθ() θ(l) = θ() + k2π, k Z, mit e ik2π = 1. Daraus ergibt sich n c = 1 1 L (θ(l) θ()) = θ(t)dt = 1 L κ(t)dt 2π 2π 2π Satz (Umlaufsatz). Eine einfach geschlossene orientierte ebene Kurve hat Umlaufzahl 1 oder 1. Definition Eine stückweise glatte Kurve ist eine stetige Funktion c : I R 2, so dass es eine Einteilung von I = [a, b] gibt: a = t < t 1 <... < t n = b mit c [ti,t i+1 ] glatte reguläre parametrisierte Kurve für alle i =,..., n.

15 1 KURVENTHEORIE 12 Bemerkung Die Umlaufzahl einer stückweise glatten Kurve c mit c i : I i = [t i, t i+1 ] R 2, ċ i = 1, i =,..., n ist gegeben durch: n c = 1 2π n (θ j (t j ) θ j (t j 1 )) + 1 n 2π j=1 j=1 α j = 1 κ(t)dt + 1 2π I i 2π n α i i=1 wobei α j der Winkel zwischen den Tangenten an der j-ten Ecke ist. Wir können also folgern: α 1 c 1 c 2 α 3 α 2 c 3 Satz (Umlaufsatz für stückweise glatte Kurven). Eine stückweise glatte reguläre einfach geschlossene Kurve hat Umlaufzahl 1 oder 1. Als nächstes wollen wir uns mit einem klassischen Optimierungsproblem befassen. Wie müsste man einen Weidezaun der festen Länge L legen, damit die Fläche der Kuhweide so groß wie möglich wird? Optimal wäre für einen Zaun der Länge L = 2πr ein Kreis mit Flächeninhalt A = πr 2 = L2 4π. Das soll im Folgenden bewiesen werden. Satz (Isoperimetrische Ungleichung). Sei G R 2 ein beschränktes Gebiet, berandet von einer einfach geschlossenen ebenen Kurve c. Sei A[G] der Flächeninhalt des Gebiets. Dann gilt A[G] L[c]2 4π. Gleichheit gilt genau dann, wenn c ein Kreis ist. Beweis. Sei c : [, L] R 2, c(t) = (x(t), y(t)) eine einfach geschlossene ebene Kurve mit L = L[c]. Es gilt die Gleichung A = 1d(x, y) = 1 A 2 L xdy ydx = 1 2 L (xẏ yẋ)dt. Dies folgt aus dem Satz von Green: F = (P, Q) : R 2 R 2 Γ F dr = L F (c(t)) ċ(t)dt = L (P ẋ + Qẏ)dt = A (Q x P y )d(x, y) wobei F = 1 2 ( y, x), Q = x 2, P = y 2. Wir identifizieren R 2 nun mit der komplexen Zahlenebene und betrachten z(t) = x(t) + iy(t)

16 1 KURVENTHEORIE 13 Durch Parametertransformation erhalten wir z : R C, z(t) = x ( ) ( ) L L 2π t + iy 2π t. z ist damit eine 2π-periodische Funktion in C: z(2π) = x(l) + iy(l) = z(). Wir wissen, dass wir jede glatte Funktion punktweise in eine Fourier-Reihe entwickeln können z(t) = k= c k e ikt mit den Fourier-Koeffizienten c k C. Nun können wir mit den Fourier-Koeffizienten die Länge von c ausdrücken. Es gilt: 2π 2π ( ) L 2 ( ) Lt ż(t) 2 2 dt = ċ dt = L2 2π 2π 2π, ebenso wie und damit 2π ż(t) 2 dt = = = 2π 2π ż(t) = k= ż(t) ż(t)dt = k,l= 2π 2π = + Zusammen folgt für die Länge von c: k,l= k l k= L[c] 2 = (2π) 2 2π c k ike ikt k,l= c k c l kle i(k l)t dt 2π c k c l kle i(k l)t dt + c k 2 k 2 dt = k= c k ike ikt c l ( il)e ilt dt k= k 2 c k 2. k= c k 2 k 2 2π. c k 2 k 2 dt Als nächstes drücken wir auch den Flächeninhalt A[G] mit Fourier-Koeffizienten aus. 2A[G] = L = I (x(t)ẏ(t) ẋ(t)y(t))dt = I 2π l,k= Insgesamt folgt dann aus den obigen Gleichungen: ik c k c l e (l k)it dt = 2π ż(t)z(t)dt k= k c k 2 2π. A[G] π = k= k c k 2 k= k 2 c k 2 = L[c]2 (2π) 2

17 1 KURVENTHEORIE 14 Und damit 4πA[G] L[c] 2. Gleichheit gilt genau dann, wenn alle c k = für k, 1. Dies würde genau bedeuten das heißt, c beschreibt einen Kreis. 1.3 Raumkurven z(t) = c + c 1 e it, Definition Eine parametrisierte Kurve γ : I R 3 heißt parametrisierte Raumkurve. Analog sind reguläre parametrisierte Raumkurven und orientierte Raumkurven definiert. Definition Sei γ : I R 3 eine nach Bogenlänge parametrisierte Raumkurve. Die Funktion κ : I R, κ(t) := γ(t), heißt Krümmung von γ. κ(t) ist per Definition positiv und gibt wieder ein Maß dafür an, wie stark die Kurve gekrümmt ist. Definition Sei γ : I R 3 nach Bogenlänge parametrisierte Raumkurve. Sei t I und κ(t ). Dann heißt n(t ) := γ(t ) κ(t ) = γ(t ) γ(t ) der Normalenvektor von γ in t. Da d dt γ 2 =, gilt γ γ =, also n γ =. Also steht n(t) senkrecht auf γ(t). Da wir jetzt den Normalenvektor haben, können wir zu einer Orthonormalbasis des R 3 vervollständigen und folgendes definieren: Definition Sei γ : I R 3 eine nach Bogenlänge parametrisierte Raumkurve. Sei t I und κ(t ). Dann heißt Binomialvektor von γ in t. b(t ) = γ(t ) n(t ) Definition Die Orthonormalbasis ( γ(t ), n(t ), b(t )) heißt begleitendes Dreibein von γ in t. Definition Sei γ : I R 3 eine nach Bogenlänge parametrisierte Raumkurve. Sei t I mit κ(t ), und sei ( γ(t ), n(t ), b(t )) das begleitende Dreibein von γ in t. Dann heißt τ(t ) := ṅ(t ) b(t ) die Windung, oder auch Torsion von γ in t.

18 1 KURVENTHEORIE 15 b(t ) γ(t) γ(t ) n(t ) Abbildung 11: Raumkurve mit begleitendem Dreibein Proposition (Frenet-Gleichung). Sei γ : I R 3 eine nach Bogenlänge parametrisierte Raumkurve mit positiver Krümmung, κ(t) > für alle t I. Sei (v, n, b) das begleitende Dreibein von γ, wobei v = γ, und sei τ die Windung. Dann gilt d dt v n b = κ(t) κ(t) τ(t) τ(t) v(t) n(t) b(t) Beweis. Die Gleichung v = γ = κn ist gerade die Definition des Normalenvektors. Somit ist die erste Zeile der 3 3-Matrix korrekt. d Die zweite Zeile ergibt sich mit ṅ n = 1 2 dt (n n) =, ṅ v = d dt (n v) n v = κ = κ und ṅ b = τ. d Die dritte Zeile schließlich folgt aus ḃ b = 1 2 dt (b b) =, ḃ n = d dt (b n) b ṅ = τ = τ und ḃ v = d dt (b v) b v = b κn =. Bemerkung Sei γ = Rγ+d, d R 3, R SO(3) (d.h. R ist 3 3-Matrix mit det R = 1). Dann gilt κ = κ und τ = τ. Das heißt, durch Drehungen und Verschiebungen ändern sich Krümmung und Torsion einer Raumkurve nicht. Beweis. Es gilt κ = γ = γ γ = R γ R γ = R γ = γ = κ. Für τ gilt dann τ = ñ b = Rṅ Rb = ṅ b = τ. Satz (Hauptsatz der Raumkurventheorie). Sei I R ein Intervall, seien κ, τ : I R glatte (C )Funktionen, κ >. Dann existiert eine nach Bogenlänge parametrisierte Raumkurve γ : I R 3 mit Krümmung κ und Windung τ. Diese Raumkurve ist bis auf Drehung und Verschiebung eindeutig, das heißt bis auf Rγ + d, wobei R SO(3), d R 3. Beweis. Seien γ(t ) =, v(t ) = e 1, n(t ) = e 2, b(t ) = e 3.

19 1 KURVENTHEORIE 16 Dann hat das lineare gewöhnliche Differentialgleichungssystem erster Ordnung γ 1 γ d v dt n = κ v κ τ n b τ b mit obigem Anfangswertproblem nach dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz für derartige Differentialgleichungssysteme (Picard-Lindelöf) genau eine Lösung: γ(t), v(t), n(t), b(t). Die Struktur der Matrix erhält dabei die Orthogonalität von v(t), n(t) und n(t). r cos t/a Beispiel Wir betrachten die Schraubenlinie γ(t) = r sin t/a h t/a Damit ist γ(t) = und damit 1 = γ = r/a sin t/a r/a cos t/a h/a ( r Weiter erhalten wir γ(t) = κ(t) = γ(t) = a) 2 sin 2 ( t a. Es gilt ) ( ) r 2 ( ( ) t h 2 + cos a a) 2 + = a r/a 2 cos t/a r/a 2 sin t/a a = r 2 + h 2.. Damit können wir nun die Krümmung berechnen: r 2 ) + r2 ( t a 4 cos2 a Da n(t) = γ(t) cos t/a, gilt n(t) = sin t/a. κ(t) Dadurch berechnen wir b(t) = γ(t) n(t) = Also ergibt sich für die Torsion τ(t) = ṅ(t) b(t) = r/a sin t/a r/a cos t/a h/a = h ( t a 2 sin2 a = h a 2 = h r 2 + h 2 ( ) t a 4 sin2 = a 1/a sin t/a 1/a cos t/a ) + h a 2 cos2 ( t a cos t/a sin t/a ) + r 2 ( ) r 2 ( ) h 2 + a a a 4 = r a 2 = = h/a sin t/a h/a cos t/a r/a r r 2 + h 2. h/a sin t/a h/a cos t/a r/a

20 1 KURVENTHEORIE 17 Sei γ : I R 3 nach Bogenlänge parametrisierte Raumkurve. Wir werden die Gleichung der Kurve aufstellen, indem wir das begleitende Dreibein als Basis des R 3 nehmen. Nach dem Satz von Taylor gilt Es gilt: und γ(t) = γ() + γ()t + γ() t γ () t3 3! + O(t4 ). γ = κn... γ = d dt γ = d dt (κn) = κn + κṅ = κn + κ( κ γ τb) = κn κ2 γ κτb. Wir erhalten durch einsetzen und umsortieren γ(t) γ() = γ(t t3 3! κ2 ) + n( t2 2 κ + t3 t3 κ) 3! 3! bκτ + O(t4 ). Definition Die Darstellung von γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) bezüglich der Basis (v, n, b) durch x(t) = t t3 3! κ2 + O(t 4 ), y(t) = t2 2 κ + t3 3! κ + O(t4 ), z(t) = t3 3! κτ + O(t4 ) heißt lokale kanonische Form von γ. Für kleine t skizzieren wir die Projektionen der Spur von γ in die γn-, γb- und nb-ebenen: b n t γ + t2 2 κn n γ γ b t γ t3 3! κτb γ b t 2 2 κn t3 3! κτb n

21 2 LOKALE FLÄCHENTHEORIE 18 2 Lokale Flächentheorie Flächen im dreidimensionalen Raum sind zweidimensionale Objekte, das heißt die Punkte auf einer Flche können durch zwei unabhängige reelle Parameter beschrieben werden. Im Gegensatz zu Kurven, die wir stets als Ganzes parametrisiert haben, verlangen wir bei Flächen nur, dass man jeweils kleine Stücke der Flche durch eine Parametrisierung beschreiben kann. 2.1 Flächen und Tangentialraum Definition Unter einer parametrisierten Fläche verstehen wir eine glatte (C -)Abbildung X : U R 2 R 3 X(u 1, u 2 ) = (x 1 (u 1, u 2 ), x 2 (u 1, u 2 ), x 3 (u 1, u 2 )) mit U offene Teilmenge von R 2, sodass die Jakobi-Matrix dx = DX : R 2 T u X R 3, injektiv ist. DX(y) = X i y i mit X i = u i X, y = (y1, y 2 ) R 2 X u 2 U u 1 Nach der Einsteinschen Summationskonvention schreiben wir: 2 Y = X i y i = X i y i i=1 Beispiel a) Affine Ebene X(u 1, u 2 ) = a + u 1 b + u 2 c Dabei ist also X 1 = b, X 2 = c. b) Funktionsgraphen Sei f : U R. Wir betrachten die Abbildung X(x, y, f(x, y)). Dann ist X 1 = 1 x X =, X 2 = y X = 1 f x f y

22 2 LOKALE FLÄCHENTHEORIE 19 c) Sphäre Für U offen wählen wir: < ϕ < 2π, < θ < π und betrachten sin θ cos ϕ X(ϕ, θ) = sin θ sin ϕ cos θ Also ist X = sin θ cos ϕ, Y = sin θ sin ϕ und Z = cos θ. X(U) überdeckt nicht die ganze Sphäre, da der Halbkreis vom Nord- zum Südpol ausgelassen wird. d) Drehfläche Wir betrachten eine allgemeine Fläche folgende Drehfläche: X(t, ϕ) = ϕ R ϕ = e ( ) r(t) h(t) = cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ 1 Für einen Torus bedeutet das beispielsweise a cos t + b X(t, ϕ) = R ϕ a sin t wobei < t, ϕ < 2π, a, b R. =. Dann ergibt sich mit der Rotation cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ 1 r(t) h(t) = r(t) cos ϕ r(t) sin ϕ h(t) (a cos t + b) cos ϕ (a cos t + b) sin ϕ a sin t Definition Der Tangentialraum T u X an die parametrisierten Fläche X : U R 3 in u U ist der zweidimensionale Vektorraum, der von den Tangentialvektoren X 1, X 2 aufgespannt wird. Das heißt, Y T u X Y = y i X i.,. Bemerkung T u X stimmt überein mit der Menge der Tangentialvektoren γ() einer glatten Kurve γ(t) = X c(t) mit c() = u, wobei c : U R 2. Beweis. Sei Y = y i X i und c(t) = u + ty. Dann ist γ(t) = X c(t) = X(c 1 (t), c 2 (t)) γ() = X 1 ċ 1 () + X 2 ċ 2 () = X i y i.

23 2 LOKALE FLÄCHENTHEORIE 2 T u X X 2 X 1 X u 2 u U u 1 Definition Seien X : U R 3 und X : Ũ R3 parametrisierte Flächen. Wir sagen, X ist eine Umparametrisierung von X, wenn X = X φ, wobei φ ein Diffeomorphismus (das heißt eine glatte, bijektive Abbildung, deren Umkehrabbildung ebenfalls glatt ist): φ : Ũ U ist. φ heißt dann Parametertransformation. Wenn φ orientierungserhaltend ist, das heißt det φ >, dann ist X eine orientierungserhaltende Umparametrisierung. X X = X φ u 2 φ(ũ) u 1 φ ũ 2 ũ ũ 1 Proposition Sei X : U R 3 eine parametrisierte Fläche und sei X = X φ eine Umparametrisierung von X. Dann gilt T φ(ũ) X = Tũ X. Sei weiter Z T φ(ũ) X und Z = z i X i = z j X j. Dann gilt und φ(ũ 1, ũ 2 ) = z i = z j ui φi = zj ũj ũ j ( φ 1 (ũ 1 ũ 2 ) φ 2 (ũ 1 ũ 2 ) ) = ( u 1 (ũ 1 ũ 2 ) u 2 (ũ 1 ũ 2 ) Beweis. Es gilt X = X φ = X(φ 1 (ũ 1, ũ 2 ), φ 2 (ũ 1, ũ 2 )). Mit der Kettenregel folgt: X j = ũ X φ 1 j i = X 1 ũ 1 + X φ 2 2 ũ 1, also X φ i j = X i ũ j. Dadurch erhalten wir Z = z j X j = z j X i φ i ) ũ j = zi X j u j ũ i = zj X j..

24 2 LOKALE FLÄCHENTHEORIE 21 Tũ X = T φ(ũ) X X X 2 2 X 1 X X 1 X = X φ u 2 φ(ũ) u 1 φ ũ 2 ũ ũ 1 Definition Einn Vektorfeld entlang einer parametrisierten Fläche X : U R 3 ist eine Abbildung Y : U R 3. Ein Vektorfeld Y ist ein Tangentenfeld, von X, wenn Y (u) T u X u = (u 1, u 2 ) U, d.h. Y = y i X i = y i (u)x i (u). Ein Vektorfeld Z heißt Normalenfeld von X, wenn Z(u) T u X u U. Beispiel N(u 1, u 2 ) = X 1(u 1, u 2 ) X 2 (u 1, u 2 ) X 1 (u 1, u 2 ) X 2 (u 1, u 2 ) ist das Einheitsnormalenvektorfeld. (X 1, X 2, N) ist positiv orientiert, aber det(x 1, X 2, N) muss nicht notwendigerweise 1 sein. Definition Die Abbildung N : U S 2, wobei S 2 die zweidimensionale Sphäre im R 3 ist, mit N(u 1, u 2 ) = X 1(u 1, u 2 ) X 2 (u 1, u 2 ) X 1 (u 1, u 2 ) X 2 (u 1, u 2 ) heißt Gauß-Abbildung. N(u) X X(u) N(u) u N Abbildung 12: Gauß-Abbildung Bemerkung Sei X : U R 3 eine parametrisierte Fläche und sei N : U S 2 die Gauß-Abbildung. Sei weiter X = X φ eine orientierungserhaltende Umparametrisierung. Dann gilt für die Gauß-Abbildung von X : Ñ = N φ.

25 2 LOKALE FLÄCHENTHEORIE 22 Beweis. Sei ũ Ũ. Dann gilt Ñ(ũ) Da T φ(ũ) X = Tũ X, folgt T ũ X. Ñ(ũ) T φ(ũ) X sowie N(φ(ũ)) T φ(ũ) X. Daraus ergibt sich Ñ(ũ) = ±N(φ(ũ)) und da X orientierungserhaltend ist folgt Ñ(ũ) = N(φ(ũ)). 2.2 Die erste Fundamentalform Definition Sei X : U R 3 eine parametrisierte Fläche. Die erste Fundamentalform g : T u X T u X R ist definiert durch mit Dabei gilt g(y, Z) = Y Z = y i X i z j X j = y i z j X i X j = y i z j g ij Y = y i X i, Z = z j X j mit Y, Z T u X. g ij = g(x i, X j ) = X i X j Wir nennen dies die Koordinatendarstellung von g. ( ) E F In der Gauß-Notation wird g ij geschrieben als g ij = F G In der Physik wir die erste Fundamentalform auch oft in der Form ds 2 = g ij du i du j geschrieben. Als Erklärung dafür betrachten wir die Länge einer Kurve auf X, wobei wir die Notation c(t) = (c 1 (t), c 2 (t)) = (u 1 (t), u 2 (t)) verwenden: s(t) = t g ij ċ i ċ j dt Damit ergibt sich ds dt = g ij ċ i ċ j und durch Quadrieren erhalten wir. ds 2 dt 2 = g ijċ i ċ j dc i dc j = g ij dt dt ds 2 = g ij dc i dc j = g ij du i du j

26 2 LOKALE FLÄCHENTHEORIE 23 Beispiel Sphäre X(ϕ, θ) = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ) Es gilt X ϕ = ( sin θ sin ϕ, sin θ cos ϕ, ). Damit ergibt sich: X ϕ X ϕ = sin θ sin ϕ sin θ cos ϕ sin θ sin ϕ sin θ cos ϕ = sin 2 θ sin 2 ϕ + sin 2 θ cos 2 ϕ = sin 2 θ. Die übrigen Einträge berechnen sich analog und es ergibt sich: ( ) ( ) ( ) gϕϕ g ϕθ Xϕ X = ϕ X ϕ X θ sin = 2 θ g θϕ g θθ X θ X ϕ X θ X θ 1 und ds 2 = sin 2 θ d 2 ϕ + d 2 θ. Bemerkung Die erste Fundamentalform g : T u X T u X R ist eine positiv definite symmetrische Bilinearform, das heißt: g(y, Y ) Y T u X. g(y, Y ) = Y = g(y, Z) = g(z, Y ) Z, Y T u X. g(ax + by, Z) = ag(x, Z) + bg(y, Z) X, Y, Z T u X und a, b R. Definition Sei X : U R 3 eine parametrisierte Fläche und g : T u X T u X R ihre erste Fundamentalform. Der Winkel θ zwischen zwei Vektoren Y, Z T u X ist gegeben durch cos θ = g(y, Z) g(y, Y )g(z, Z). Der Winkel zwischen zwei Kurven ist definiert als der Winkel zwischen ihren Tangentialvektoren. Proposition Sei X : U R 3 eine parametrisierte Fläche und X = X φ eine Umparametrisierung von X. Sei g ij die Koordinatendarstellung der ersten Fundamentalform von X und sei g ij die Koordinatendarstellung der ersten Fundamentalform von X. Dann gilt mit der Jakobi-Matrix dφ = ui ũ j. Beweis. g ij = g( X i, X j ) = g g ij = g kl u k ũ i u l ũ j ( ) u k ũ i X k, ul ũ j X l = uk u l ũ i ũ j g(x u k u l k, X l ) = g kl ũ i ũ j.

27 2 LOKALE FLÄCHENTHEORIE 24 Definition Sei X : U R 3 eine parametrisierte Fläche. Sei g ij die erste Fundamentalform von X. Wir definieren denn Flächeninhalt A X (V ) einer Fläche X(V ) mit V U: A X (V ) = V da = V det g ij du 1 du 2 Bemerkung Obige Definition des Flächeninhalts stimmt mit der üblichen Definition V X 1(u) X 2 (u) du 1 du 2 überein, denn es gilt X 1 X 2 2 = X 1 2 X 2 2 sin 2 θ = X 1 2 X 2 2 (1 cos 2 θ) = X 1 2 X 2 2 X 1 2 X 2 2 cos 2 θ ( ) = (X 1 X 1 )(X 2 X 2 ) (X 1 X 2 ) 2 X1 X = det 1 X 1 X 2 = det g X 2 X 1 X 2 X ij. 2 Also folgt A X (V ) = V X 1 (u) X 2 (u) du 1 du 2 = V det g ij du 1 du 2. Bemerkung Der Flächeninhalt ist unabhängig von der Parametrisierung. Beweis. Sei X : U R 3 eine parametrisierte Fläche und X = X φ eine Umparametrisierung von X. Sei g ij die Koordinatendarstellung der ersten Fundamentalform von X und sei g ij die Koordinatendarstellung der ersten Fundamentalform von X. Sei V U und Ṽ = φ(v ). Dann gilt für die Fläche von X(Ṽ ) (bzw. X(V )): A X(Ṽ ) = = V V = A X (V ) det g ij dũ 1 dũ 2 = det glk det ( φ l ũ i V ) ( det dũ1 dũ 2 = u l u k g lk ũ i ũ j V ) dũ 1 dũ 2 det glk d(u 1, u 2 ) 2.3 Krümmung Bei Kurven gibt κ die Änderung des Tangentialvektors γ an. Da dieser bei Flächen nicht eindeutig ist, brauchen wir einen neuen Krümmungsbegriff. Definition Sei X : U R 3 eine parametrisierte Fläche mit Einheitsnormalenvektorfeld N. Wir definieren die Weingarten-Abbildung L : T u X T u X, LY := d dt N c t= = N i ċ i () = N i y i =: Y N für Y = y i X i T u X, wobei γ = X c und ċ() = y. LY gibt also die Änderung von N an, wenn N entlang einer Kurve γ mit γ() = Y bewegt wird.

28 2 LOKALE FLÄCHENTHEORIE 25 N Y X γ LY LY c y N Bemerkung Es gilt Y N T u X, also gilt für das Bild von L L(Y ) T u X Y T u X Beweis. Es gilt: N N = 1. = d (N N) dui = 2N i N = Also folgt: N i T u X. L kann in Matrixform geschrieben werden: mit A = (X 1, X 2 ) und M A (L) Mat(2 2). Nach Definition gilt LY = N i Y i. Also: L : T u X T u X M A (L) = ((LX 1 ) A ), (LX 2 ) A ), LX 1 = N 1 = d du 1 N = kj 1 X j = k 1 1X 1 + k 2 1X 2 LX 2 = N 2 = d du 2 N = kj 2 X j = k2x k2x 2 2 Damit ergibt sich die Matrix ) Es folt M A (L) = k j i = ( k 1 1 k 1 2 k 2 1 k 2 2 LY = y i N i = y i k l ix l. Satz Sei X : U R 3 eine parametrisierte Fläche mit Einheitsnormalenvektorfeld N, erster Fundamentalform g ij und Weingarten-Abbildung L. Dann gilt für die Einträge der Matrix M A (L): k m i = (N X il )g lm, wobei g lm = (g lm ) 1.

29 2 LOKALE FLÄCHENTHEORIE 26 Beweis. N j = k i jx i X l N j X l = kjx i i X l N j X l = kjg i il N X lj = kjg i il g lm N X jl g lm = kjg i il g lm = kj m. Bemerkung Die 2 2 Matrix k j i ist symmetrisch. κ 1 und κ 2 sind die reellen Eigenwerte der Matrix mit den Eigenvektoren e 1, e 2. Definition Sei X : U R 3 eine parametrisierte Fläche mit Einheitsnormalenvektorfeld N und Weingarten-Abbildung L. Wir definieren die Gauß-Krümmung G: und die mittlere Krümmung H: G = κ 1 κ 2 = det k m i = k 1 1k 2 2 k 2 1k 1 2 = k 1 1k 2 2 k H = κ 1 + κ 2 2 = 1 2 Spur(kj i ) = k1 1 + k2 2 2 Satz Sei X : U R 3 eine parametrisierte Fläche mit Einheitsnormalenvektorfeld N und Weingarten-Abbildung L. Sei G die Gauß-Krümmung. Sei weiter B r (u) U eine Kreisscheibe um u U mit Radius r >. Dann gilt A N (B r (u)) lim r A X (B r (u)) = G(u) A X (B r (u)) A N (B r (u)) B r (u) N Beweis. Es gilt A X (B r (u)) = B r(u) det g ij d(u 1, u 2 )

30 2 LOKALE FLÄCHENTHEORIE 27 Weiter gilt N 1 N 2 2 = N 1 2 N 2 2 sin 2 θ = N 1 2 N 2 2 (1 cos 2 θ) = N 1 2 N 2 2 (N 1 N 2 ) 2 ( ) N1 N = det 1 N 1 N 2 = det(n N 2 N 1 N 2 N i N j ) 2 und N i N j = ki lx l kj mx m = ki lkm j X l X m = ki lkm j g lm Damit erhalten wir A N (B r (u)) = N 1 N 2 (u 1, u 2 )d(u 1, u 2 ) = = = B r(u) B r(u) B r(u) B r(u) det(n i N j )d(u 1, u 2 ) = det(k j i )2 det(g ij )d(u 1, u 2 ) = G(u) det g ij d(u 1, u 2 ) Mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung gilt A N B = G(u) r(u) det g ij d(u 1, u 2 ) A X B r(u) det gij d(u 1, u 2 ) B r(u) det(k l i km j g lm)d(u 1, u 2 ) B r(u) det k j i det g ij d(u 1, u 2 ) B = G(x) r(u) det gij d(u 1, u 2 ) B r(u) det gij d(u 1, u 2 ) = G(x) für ein x B r (u). Für r gilt wegen Stetigkeit x u und damit folgt die Behauptung. Bemerkung Obiger Satz gilt für Kurven gleichermaßen: Sei c(t) eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve. Dann ist T (t) = ċ(t) eine Kurve auf dem Einheitskreis. Wir bezeichnen mit L [a,b] (c) die Länge der Kurve c zwischen c(a) und c(b). Es gilt L [a,a+h] (T ) lim h L [a,a+h] (c) = κ(a). Beweis. Es gilt L [a,a+h] (T ) lim h L [a,a+h] (c) = lim h = lim h a+h a a+h a a+h a c(t) dt ċ(t) dt c(t) dt a+h a 1dt = lim h a+h a c(t) dt h Wir verwenden wie oben den Mittelwertsatz der Integralrechnung. Für ein x [a, a + h] gilt damit lim h a+h a c(t) dt = lim h c(x) h h h = c(a) = κ(a)

31 2 LOKALE FLÄCHENTHEORIE Die zweite Fundamentalform Definition Sei X eine parametrisierte Flaeche und Y und Z Tangentenfelder entlang X mit Y = y i X i, Z = z i X i. Wir definieren die Richtungsableitung von Z in Richtung Y durch Y Z = y i Z i = y i Z u i. Bemerkung Die Definition der Richtungsableitung hängt ab von der der Basis X 1, X 2. Y Z ist aber invariant unter Umparametrisierung. Jedoch wenn Y und Z tangential sind, dann müssen Y Z und Z Y nicht notwendigerweise tangential sein. Definition Wir definieren den Kommutator von zwei Vektorfeldern Y und Z als das Vektorfeld [Y, Z] := Y Z Z Y Satz Sei X : U R 3 eine parametrisierte Fläche und sei N ihr Einheitsnormalenvektorfeld. Dann gilt: (1) Wenn Y und Z Tangentenfelder sind, dann gilt [Y, Z] T u (X). (2) Wenn Y, Z T u (X), dann gilt Y N Z = Z N Y. Beweis. Es gilt [X, Z] = Y Z Z Y = y i Z i z i Y i = y i i (z l X l ) z i i (y l X l ) = y i z,ix l l + y i z l X li z i i y,ix l l z i y l X il Da X li = X il gilt damit Y Z Z Y = (y i z,i l z i y,i)x l l T u X und so ist (1) gezeigt. Weiter gilt Y N Z Z N Y = Y Z N Z Y N = ( Y Z Z Y ) N = [Z, Y ] N = Damit folgt (2): Y N Z = Z N Y Definition Sei X : U R 3 eine Fläche und sei N : U S 2 ihre Gauß-Abbildung. Die zweite Fundamentalform ist die symmetrische Bilinearform k : T u X T u X R k(y, Z) = Y N Z

32 2 LOKALE FLÄCHENTHEORIE 29 Bemerkung Für die zweite Fundamentalform gilt somit k(y, Z) = Y N Z = LY Z = g(ly, Z) mit Weingarten-Abbildung N und erster Fundamentalform g ij = X i X j. Bemerkung Wir setzen k ij = k(x i, X j ) und erhalten so k ij = N i X j = N X ij (1) Bemerkung Mittels Gleichung (1) bekommen wir folgenden Zusammenhang zwischen der ersten Fundamentalform g ij und der zweite Fundamentalform k ij : k m i = (N X il )g lm = k il g lm, wobei g lm = (g lm ) 1. Das bedeutet, dass wir mittels der g ij die Indizes von k nach oben bzw. unten verschieben können. Beispiel a) Sphäre Sei X(θ, ϕ) = (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ), mit r >, < ϕ < 2π, < θ < π. Analog zu Beispiel berechnen wir die erste Fundametalform ( ) r 2 g ij = r 2 sin 2 θ = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ). Damit ist die zweite Funda- Weiter gilt N = X θ X ϕ X θ X ϕ mentalform gegeben durch k ij = ( r r sin 2 θ ) Für die Weingarten-Abbildung ergibt sich mit k j i = k ilg li = k il (g 1 lj ) k j i = 1 r 1 r Somit erhalten wir für die Gauß-Krümmung G und die mittlere Krümmung H G = det k j i = 1 r 2 H = k1 1 + k2 2 2 = 1 r b) Torus Sei X(θ, ϕ) = (cos θ(r + r cos ϕ), sin θ(r + r cos ϕ), r sin ϕ), wobei r >, R >, < θ, ϕ < 2π. Wir berechnen X θ = ( sin θ(r + r cos ϕ), cos θ(r + r cos ϕ), )

33 2 LOKALE FLÄCHENTHEORIE 3 X ϕ = ( r cos θ sin ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos ϕ). Für die erste Fundamentalform ergibt sich damit ( ) (R + r cos ϕ) 2 g ij = r 2 Es gilt außerdem N = X θ X ϕ = (cos θ cos ϕ, sin θ cos ϕ, sin ϕ). Damit ergibt sich die X θ X ϕ zweite Fundamentalform ( ) cos ϕ(r + r cos ϕ) k ij = r Die Weingarten-Abbildung berechnen wir mit k j i = k ilg li = k il (glj 1 ) und erhalten cos ϕ k j i = R + r cos ϕ 1 r Für Gauß-Krümmung G und die mittlere Krümmung H gilt G = det k j i = cos ϕ r(r + r cos ϕ) H = k1 1 + k2 2 2 = 1 2r c) Zylinder Sei X(ϕ, h) = (r cos ϕ, r sin ϕ, h), wobei r >, h >, < ϕ < 2π. Dann gilt X ϕ = ( r sin ϕ, r cos ϕ, ), X h = (,, 1). Für die erste Fundamentalform ergibt sich ( ) r 2 g ij = 1 Wir berechnen N = X θ X ϕ = (cos ϕ, sin ϕ, ) und damit die zweite Fundamentalform X θ X ϕ ( ) r k ij = Die Weingarten-Abbildung k j i = k ilg li = k il (glj 1 ) ist gegeben durch k j i = 1 r Damit ergibt sich für die Gauß-Krümmung G und die mittlere Krümmung H G = det k j i = H = k1 1 + k2 2 2 = 1 2r

34 2 LOKALE FLÄCHENTHEORIE 31 Definition Eine parametrisierte Fläche X : U R 3 mit X(t, ϕ) = (r(t) cos(ϕ), r(t) sin(ϕ), h(t)), < ϕ < 2π nennt man Drehfläche. Sie entstehen, wenn man eine ebene reguläre Kurve mit x = r(t), z = h(t) um die z-achse dreht mit Drehwinkel ϕ. Bemerkung Nachrechnen zeigt, dass für die erste Fundamentalform g, die zweite Fundamentalform k, die Gauß-Krümmung G und die mittlere Krümmung H einer Drehfläche X(t, ϕ) = (r(t) cos(ϕ), r(t) sin(ϕ), h(t)) mit ṙ 2 + ḣ2 = 1 gilt Aus ṙ 2 + ḣ2 = 1 folgt aber und damit ergibt sich g ij = G = G = ( 1 r 2 ), k ij = ḣ(ṙḧ rḣ), H = r ṙ r + ḣḧ = ḣṙḧ ḣ rḣ r ( ṙḧ ḣ r rḣ ṙḧ rḣ + ḣ r 2 ( ) = ṙ2 r ḣ2 r r = r r Sei γ(t) = (r(t),, h(t)) und κ = γ = r 2 + ḧ2 die Krümmung von γ. Mit ( ) folgt für κ ) κ = ḣ2 ḧ 2 ṙ 2 + ḧ2 = ḧ ṙ Da aber ebenso mit ( ) gilt ṙḧ ḣ r = ṙḧ + ḣḣḧ ṙ k ij = ( κ rḣ ) = ḧ ṙ = κ ergibt sich, G = ḣκ r Definition Sei γ(t) R 3 eine parametrisierte Kurve und Y ein Vektorfeld längs γ. Eine parametrisierte Fläche X : U R 3 mit heißt Regelfläche. X(s, t) = γ(s) + ty (s) Bemerkung (a) Ein Zylinder ist eine Regelfläche. Wir wählen r cos s γ(s) = r sin s, Y (s) =, < r, < s < 2π 1 und erhalten damit X(s, t) = r cos s r sin s t

35 2 LOKALE FLÄCHENTHEORIE 32 (b) Ein Kegel ist ebenso eine Regelfläche. Wir wählen die Spitze im Ursprung und cos s γ(s) =, Y (s) = sin s 1 Damit gilt X(s, t) = t cos s t sin s t Proposition Sei X : U R 3 eine parametrisierte Fläche und X = X φ eine Umparametrisierung von X. Sei k ij die Koordinatendarstellung der zweiten Fundamentalform von X und sei k ij die Koordinatendarstellung der zweiten Fundamentalform von X. Dann gilt analog zur ersten Fundamentalform k ij = k( X u, X u l u m j ) = k lm ũ j ũ i Definition Sei X : U R 3 eine parametrisierte Fläche und sei γ = X c eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve, d.h. γ = 1. Sei κ die Krümmung von γ. Wir definieren die Normalkrümmung von γ(t) κ n (t) := κ(t) cos θ Dabei ist θ der Winkel zwischen dem Einheitsnormalenfeld N von X und dem Normalenvektor n von γ, also cos θ = N n. N θ κ n n κn c Satz Sei X : U R 3 eine parametrisierte Fläche und sei γ = X c eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve. Sei k die zweite Fundamentalform von X und sei κ die Krümmung von γ. Dann gilt für die Normalkrümmung von γ κ n = k( γ, γ). Beweis. Gemäß Definition der zweiten Fundamentalform schließen wir k( γ, γ) = γ N γ = Ṅ γ = N γ = κn n = κ cos θ = κ n wobei verwendet wurde, dass γ = κn.

36 2 LOKALE FLÄCHENTHEORIE 33 Bemerkung Der Tangentialanteil von κn auf X (das heißt die Projektion auf T u X) nennt man geodätische Krümmung κ g. Es gilt κ g = κ sin θ. Nach dem Satz des Pythagoras gilt κ 2 = κ 2 g + κ 2 n. Bemerkung Die Normalkrümmung hängt nicht von der Wahl der Kurve γ ab, sondern wird nur von der Fläche X bestimmt. Folgerung Alle Kurven γ auf einer parametrisierten Fläche X, die in einem gegebenen Punkt u dieselbe Tangente Y haben, besitzen in diesem Punkt die gleiche Normalkrümmung κ n (u). γ 1 γ 2 γ 3 γ 4 Bemerkung Wenn n N gilt, dann gibt die zweite Fundamentalform k die Krümmung κ der Kurve an: k( γ, γ) = κ Definition Sei X : U R 3 eine parametrisierte Fläche mit zweiter Fundamentalform k. Die maximale Normalkrümmung κ 1 und die minimale Normalkrümmung κ 2 heißen Hauptkrümmungen bei u U. Genauer heißt das κ 1 = k(y, Y ) min Y T ux g(y, Y ) = min k(y, Y ), κ g(y,y )=1 k(y, Y ) 2 = max Y T ux g(y, Y ) = max k(y, Y ). g(y,y )=1 Die Einheitsvektoren E 1, E 2 bei denen Minimum und Maximum angenommen werden, heißen Hauptkrümmungsrichtungen. Satz Sei X : U R 3 eine parametrisierte Fläche. Sei L : T u X T u X die Weingarten-Abbildung. Dann sind κ 1 und κ 2 Eigenwerte von L mit Eigenvektoren E 1 und E 2. LE 1 = κ 1 E 1 LE 2 = κ 2 E 1 Die Eigenvektoren E 1, E 2 sind orthogonal, bzw. können immer orthogonal gewählt werden, das heißt es gilt g(e 1, E 2 ) = k(e 1, E 2 ) =. Beweis. Sei k(y, Y ) min Y T ux g(y, Y ) = κ 1.

37 2 LOKALE FLÄCHENTHEORIE 34 und κ 1 werde bei E 1 angenommen, also k(e 1, E 1 ) g(e 1, E 1 ) = κ 1. Zu zeigen: LE 1 = κe 1. Also = d k(e 1 + ɛy, E 1 + ɛy ) dɛ ɛ= g(e 1 + ɛy, E 1 + ɛy ) ( E1, Y = 2 g(e 1, E 1 ) k(e ) 1, E 1 )g(e 1, Y ) g(e 1, E 1 ) 2 = k(e 1, Y ) κ 1 g(e 1, Y ) k(e 1, Y ) = κ 1 g(e 1, Y ) g(le 1, Y ) = κ 1 g(e 1, Y ) LE 1 Y = κ 1 E 1 Y Y T u X Y T u X Mit LE 1 N = κ 1 E 1 N = folgt Und damit LE 1 Z = κ 1 E 1 Z Z R 3 LE 1 = κ 1 E 1 Bleibt noch die Orthogonalität zu zeigen. Allgemein gilt für Y, Z T u X Damit erhalten wir Für den Fall κ 1 κ 2 folgt damit g(ly, Z) = Y N Z = Z N Y = g(y, LZ) κ 2 g(e 1, E 2 ) = g(e 1, LE 2 ) = g(le 1, E 2 ) = κ 1 g(e 1, E 2 ) g(e 1, E 2 ) = und da g(e 1, LE 2 ) = k(e 1, E 2 ) folgt dies auch für k. Bemerkung (Euler-Formel). Sei Y ein beliebiger Einheitsvektor, also Y T u X und g(y, Y ) = 1. Wir können Y in der Basis E 1, E 2 ausdrücken durch Y = cos θe 1 + sin θe 2. Durch Einsetzen in die zweite Fundamentalform erhalten wir die Euler-Formel für die Normalkrümmung: Beispiel k(y, Y ) = k(cos θe 1 + sin θe 2, cos θe 1 + sin θe 2 )) = k(e 1, E 1 ) cos 2 θ + k(e 2, E 2 ) sin 2 θ = κ 1 cos 2 θ + κ 2 sin 2 θ

38 2 LOKALE FLÄCHENTHEORIE 35 Wir betrachten die Parametrisierung X : U R 3 eines Zylinders. Sei u U. Der Durchschnitt von X mit der Normalenebene im Punkt X(u) gibt entweder einen Kreis, eine Ellipse oder eine Gerade. Dementsprechend gilt κ n 1. < κ n < 1 κ n = 1 X(u) κ n = Bemerkung Mit k j i = k ilg lj folgt für die Gauß-Krümmung G = det(k j i ) = det(k ilg lj ) = det(k im ) det(g mj ) = det(k ik) det(g ij ) Lemma Für die Gauß-Krümmung G gilt Beweis. G = 2H k ijk ij k ij k ij = SpurL 2 = Spurk j i ki j = κ κ 2 2 = (κ 1 + κ 2 ) 2 2κ 1 κ 2 = 4H 2 2G Bemerkung Sei X : U R 3 eine parametrisierte Fläche. Mit der Taylor-Entwicklung folgt Damit gilt X(u) X() = X i ()u i X ij()u i u j + O(u 3 ) X(u) X() X i ()u i = 1 2 X ij()u i u j + O(u 3 ) N (X(u) X() X i ()u i ) N = 1 2 k ij()u i u j + O(u 3 ) Wir nennen einen Punkt der Fläche elliptisch, wenn G(u) > hyperbolisch, wenn G(u) < parabolisch, wenn G(u) = Nabelpunkt, wenn κ 1 = κ 2 Flachpunkt, wenn κ 1 = κ 2 =.

39 2 LOKALE FLÄCHENTHEORIE 36 u Abbildung 13: G(u) > u Abbildung 14: G(u) < u Abbildung 15: G(u) = Beispiel Sei X(u 1, u 2 ) = (u 1, u 2, f(u 1, u 2 )) mit f(, ) = und f(, ) =. dann ist k ij = X ij N = (Hessf)(, ). Definition Sei X : U R 3 eine parametrisierte Fläche. Y T u X ist eine Asymptotenrichtung, von X bei u, falls die Normalkrümmung ist, wenn also k(y, Y ) =. Eine Kurve γ = X c heißt Asymptotenlinie, von X, falls für jedes γ(u) die Tangente Asymptotenrichtung ist, falls also k( γ, γ) u U. Definition Eine reguläre Kurve γ = X c auf einer parametrisierten Fläche X heißt Krümmungslinie, falls γ(t) und γ(t) in jedem Punkt t I eine Hauptkrümmungsrichtung ist, falls also: γ(t) L( γ) = γ N = κ i γ, für entweder i = 1 oder i = 2. Daraus ergibt sich die folgende Charakterisierung der Krümmungslinien. Proposition Sei γ(t) = X c(t) : I R 3 und sei β(t) = N c(t) das sphärische Bild unter der Gauß-Abbildung N. Dann ist γ(t) eine Krümmungslinie genau dann, wenn β + λ(t) γ =, wobei λ(t) ist die Hauptkrümmung κ 1 oder κ 2 entlang γ ist. Beweis. Sei β(t) + λ(t) γ(t) =. Da γ = Xi ċ i (t) folgt L γ = N i ċ i (t). Außerdem gilt β(t) = N i ċ i (t). Damit ergibt sich Damit ergibt sich Also ist γ Krümmungslinie. = β(t) + λ(t) γ(t) = N i ċ i + λ(t) γ(t) = L( γ(t)) + λ(t) γ(t) L( γ(t)) = λ(t) γ(t)

40 2 LOKALE FLÄCHENTHEORIE 37 N γ(t) X γ(t) β c(t) N c Definition Man nennt eine Fläche nach Krümmungslinie parametrisiert, wenn die Koordinatenlinien γ c (u 1 ) = X(u 1, c), und γ c (u 2 ) = X(c, u 2 ) Krümmungslinien sind. Bemerkung Für eine nach Krümmungslinie parametrisierte Fläche gilt κ 1 X 1 = κ 1 γ c = γ c N = u 1 N = N 1 κ 2 X 2 = κ 2 γ c = γ c N = u 2 N = N 2 Damit und mit k ij = N X ij = N i X j erhalten wir k 11 = N 1 X 1 = κ 1 X 1 X 1 = κ 1 g 11 k 12 = N 1 X 2 = κ 1 X 1 X 2 = κ 1 g 12 = k 22 = N 2 X 2 = κ 2 X 2 X 2 = κ 2 g 22 ( ) κ1 g k ij = 11 κ 2 g 22 Proposition Sei X : U R 3 eine parametrisierte Fläche und es gelte für die zweite Fundamentalform k ij =. dann gibt es einen fixen Vektor a R 3 und eine Konstante b R, so dass X a = b gilt, das heißt X ist enthalten in einer Ebene. Beweis. Es gilt k ij = N i X j = N i N = N i =, i {1, 2} Daraus folgt, dass N konstant sein muss. Sei also N = a. Damit gilt = X i N = d (X N) = d dui (X a) dui Daraus ergibt sich, dass X N konstant sein muss, also X N = X a = b.

41 3 INNERE GEOMETRIE VON FLÄCHEN 38 Proposition Sei X : U R 3 eine parametrisierte Fläche. Seien weiter alle Punkte Nabelpunkte: κ 1 (u 1, u 2 ) = κ 2 (u 1, u 2 ). Dann ist X entweder in einer Ebene oder einer Sphäre enthalten. Beweis. Im Fall κ 1 = κ 2 = folgt automatisch, dass X in der Ebene liegen muss. Sei nun also κ 1 = κ 2 = κ(u 1, u 2 ). Dann gilt LY = κy für Y T u X. Aus LX i = κx i folgt i N = κx i N i = κx i =: λx i, i {1, 2} Wir erhalten N 1 = λx 1, N 2 = λx 2 Da aber N 12 = N 21, erhalten wir N 12 = λ 2 X 1 + λx 12, N 21 = λ 1 X 2 + λx 21 = N 12 N 21 = λ 2 X 1 λ 1 X 2 λ 1 = λ 2 = u i λ(u1, u 2 ) = Damit ergibt sich, dass λ(u 1, u 2 ) = λ konstant sein muss. (X 1 ) u i λ N = Damit ist auch X 1 N =: a konstant. Mit N = 1 folgt λ X a = 1 λ Dies entspricht der Gleichung der Sphäre mit Radius 1 λ. 3 Innere Geometrie von Flächen Unter innere Geometrie versteht man all diejenigen Eigenschaften, die nur von g ij abhängen. Diese entsprechen den Eigenschaften, die zweidimensionale Lebewesen auf der Fläche erkennen würden. Fragen: Welche Krümmungsgrößen gehören dazu, sind also Größen der inneren Geometrie? (k ij und H nicht, aber G) Wie kann man Ableitungen als innere Größe definieren, also nur unter Verwendung der g ij? Wie die Parallelverschiebung von Vektoren? 3.1 Isometrien Definition Seien X : U R 3, Y : V R 3 parametrisierte Flächen. X und Y heißen lokal isometrisch, wenn es einen Diffeomorphismus φ : U V gibt, mit: X i X j = g(x i, X j ) = g( i (Y φ), j (Y φ)) = i Y φ j Y φ

42 3 INNERE GEOMETRIE VON FLÄCHEN 39 α X 2 X1 (Y φ) 1 (Y φ) 2 X Y φ α Y U c φ V Äquivalente Definition: Seien X : U R 3, Y : V R 3 parametrisierte Flächen, seien g und h die zugehörigen ersten Fundamentalformen. X und Y heißen lokal isometrisch, falls es einen Diffeomorphismus φ : U V gibt, so dass φ l φ m g ij = h lm u i u j Beispiel Man kann zeigen, dass der Kegel lokal isometrisch zu einer Ebene ist. Die Idee dabei ist es, zu zeigen, dass der Kegel auf ein Stück der Ebene abgewickelt werden kann. Sei U(r, θ) R 2, mit < r, < θ < 2πr sin α. Dabei ist α der Winkel an der Spitze des Kegels. r α 2πr sin θ θ θ sin α Nachrechnen zeigt, dass ( ) ( ) θ θ Y (r, θ) = (r sin α cos, r sin α cos, r cos α) r sin α r sin α X(r, θ) = (r cos θ, r sin θ, ) X r X θ = = Y r Y θ X r X r = 1 = Y r Y r X θ X θ = r 2 = Y θ Y θ. Damit stimmt die erste Fundamentalform überein und die Flächen sind lokal isometrisch.

43 3 INNERE GEOMETRIE VON FLÄCHEN 4 Bemerkung Eine Isometrie φ erhält Längen und Winkel. Sei γ = X c und γ = Y φ c, dann gilt für die Länge L(X c) = L(Y φ c) da diese nur von der Metrik g ij abhängt. Ebenso wie Längen werden offensichtlich auch Winkel erhalten durch die Isometrie, da cos α = g(x 1, X 2 ) g(x1, X 1 )g(x 2, X 2 ) = g((y φ) 1, (Y φ) 2 ) = cos α g((y φ)1, (Y φ) 1 )g((y φ) 2, (Y φ) 2 ) Bemerkung Lokal isometrisch bedeutet, dass die erste Fundamentalform übereinstimmt. Aber es gilt X Y φ, also ist die zweite Fundamentalform nicht gleich. Wir werden sehen, dass G nur von g ij abhängen wird, d.h. G ist invariant unter Isometrien und damit eine Größe der inneren Geometrie. Das bedeutet, dass alle lokal isometrischen Flächen dieselbe Gauß-Krümmung haben. Definition Sei X(s, t) = γ(t) + sy (t) eine Regelfläche. Die Kurven zu konstantem t bzw. zu konstantem s werden Erzeugende bzw. Leitkurven genannt. Falls der Normalvektor N(s, t) konstant entlang der Erzeugenden ist, d.h. N s =, dann nennt man die Fläche X eine Torse. Proposition Sei X : U R 3 eine Regelfläche. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (i) X ist Torse, (ii) X st ist linear abhängig von X s, X t, (iii) G =. Beweis. Es gilt X s = Y (t), X t = γ(t)+sẏ (t), X ss =, X tt = γ(t)+sÿ (t). Da k ss = N X ss = N = gilt für die zweite Fundamentalform ( ) kst k ij = (a) (c) : Sei X eine Torse, also N s =. Nach Bemerkung gilt für die Gauß-Krümmung Wir berechnen k st k tt G = det(k ij) det(g ij ) det k ij = k ss k tt (k 2 st) = (N X st ) 2 = ( N s X t ) 2 =. G =

44 3 INNERE GEOMETRIE VON FLÄCHEN 41 (c) (b) : Sei G =. Nach Bemerkung gilt für die Gauß-Krümmung G = det(k ij) det(g ij ). Also ergibt sich = G = (k st) 2 g ij = k st = X st N X st T u X Da T u X aber von X s und X t aufgespannt wird folgt, dass X st linear abhängig von X s und X t sein muss. Definition Sei X : U R 3 eine parametrisierte Fläche mit X(s, t) = γ(t) + s γ(t) so, dass γ und γ linear unabhängig sind. Dann heißt X(s, t) Tangentialfläche. Bemerkung Sei X(s, t) eine Tangentialfläche. Dann ist X eine Torse. Beweis. Sei X(s, t) = γ(t) + s γ(t). Dann ist X s = Y (t) und X t = γ(t) + s γ(t). Es ergibt sich für N Also folgt N s = N = X s X t X s X t γ(t) ( γ(t) + s γ(t)) = γ(t) ( γ(t) + s γ(t)) γ(t) γ(t) + s( γ(t) γ(t)) = γ(t) γ(t) + s( γ(t) γ(t)) s( γ(t) γ(t)) = s( γ(t) γ(t)) Definition Sei γ = X c eine Kurve auf der Fläche X. Sei Y (t) ein tangentiales (d.h. Y (t) T c(t) X) Vektorfeld längs γ mit k ( γ(t), Y (t) ) = und γ und Y linear abhängig. Die Torse X(s, t) = γ(t) + sy (t) nennt man Schmiegtorse.