Differentialgeometrie I

Transkript

1 Partielles Skript zur Vorlesung Differentialgeometrie I Urs Lang ETH Zürich Herbstsemester 2016 Version vom 21. Februar 2017

2

3 Inhaltsverzeichnis Elementare Differentialgeometrie 1 1 Kurven Flächen Innere Geometrie von Flächen Krümmungsbegriffe für Hyperflächen Spezielle Klassen von Flächen Globale Flächentheorie Der hyperbolische Raum Differentialtopologie 33 8 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten Transversalität Vektorbündel, Vektorfelder und Flüsse Differentialformen Anhang 59 A Mehrdimensionale Analysis B Grundbegriffe der Topologie C Multilineare Algebra Literaturverzeichnis 69 i

4 ii

5 Elementare Differentialgeometrie 1 Kurven Parametrisierte Kurven Im Folgenden bezeichne I stets ein Intervall, d.h. eine zusammenhängende Teilmenge von R. Eine stetige Abbildung c: I X in einen topologischen Raum X heisst eine (parametrisierte) Kurve in X. Nun sei X = (X, d) ein metrischer Raum. Die Länge L(c) [0, ] der Kurve c: I X ist definiert durch k L(c) := sup d(c(t i 1 ), c(t i )), i=1 wobei das Supremum über alle endlichen, monoton wachsenden Folgen t 0 t 1... t k in I genommen wird. Die Kurve c heisst rektifizierbar, falls L(c) < ist. Die Länge ist invariant unter Umparametrisierung: Ist Ĩ ein weiteres Intervall und ϕ: Ĩ I eine stetige, surjektive und monoton wachsende oder monoton fallende Funktion, so besitzt die Kurve c := c ϕ: Ĩ X die gleiche Länge L( c) = L(c). Man nennt c: I X proportional zur Bogenlänge parametrisiert, falls eine Konstante λ 0 existiert, sodass für jedes Paar von Punkten a < b in I L(c [a,b] ) = λ(b a) gilt. Im Fall λ = 1 ist c nach Bogenlänge parametrisiert. 1.1 Lemma (Parametrisierung nach Bogenlänge) Die Kurve c: I (X, d) erfülle L(c [a,b] ) < für jedes Paar a < b in I, und s sei eine feste Stelle in I. Die Funktion ψ : I R sei so definiert, dass ψ(t) = L(c [s,t] ) für t s und ψ(t) = L(c [t,s] ) für t < s. Dann ist ψ stetig und monoton wachsend, und c: ψ(i) X, c(ψ(t)) := c(t) für alle t I, 1

6 ist eine wohldefinierte, nach Bogenlänge parametrisierte Kurve. Wir betrachten jetzt als Zielraum den R n, versehen mit dem Standardskalarprodukt x, y = (x 1,..., x n ), (y 1,..., y n ) := n x i y i i=1 und der durch d(x, y) := x y := x y, x y definierten euklidischen Metrik. Im Folgenden setzen wir stets stillschweigend voraus, dass das Innere des Intervalls I nicht leer sei. Für k = 0 bzw. k {1, 2,... } bzw. k = schreiben wir wie üblich c C k (I, R n ), falls c stetig bzw. k-mal stetig differenzierbar bzw. beliebig oft stetig differenzierbar ist. Ist I nicht offen und k 1, so bedeutet dies, dass sich c zu einer Abbildung c C k (J, R n ) auf einer offenen Menge J I fortsetzen lässt. Nun sei c C k (I, R n ) mit k 1. Dann gilt L(c [a,b] ) = b a ċ(t) dt < für jedes Teilintervall [a, b] I (Aufgabe), und die in Lemma 1.1 definierte Funktion ψ erfüllt ψ(t) = t s ċ(r) dr für alle t I und ist auch von der Klasse C k. Die Kurve c heisst regulär, falls ċ(t) 0 für alle t I; dann ist ψ streng monoton wachsend und ϕ := ψ 1 : ψ(i) I ist ebenfalls C k. Lokale Kurventheorie Die folgenden Begriffe gehen auf Jean Frédéric Frenet ( ) zurück. 1.2 Definition (Frenet-Kurve) Die Kurve c C n (I, R n ) heisst eine Frenet-Kurve, falls für alle t I die Vektoren ċ(t), c(t),..., c (n 1) (t) linear unabhängig sind. Das begleitende Frenetn-Bein (e 1,..., e n ), e i : I R n, ist dann durch die folgenden Bedingungen eindeutig bestimmt: (1) (e 1 (t),..., e n (t)) ist eine positiv orientierte Orthonormalbasis von R n für t I, (2) lin{e 1 (t),..., e i (t)} = lin{ċ(t),..., c (i) (t)} und e i (t), c (i) (t) > 0 für i = 1,..., n 1 und t I. Hier bezeichnet lin die lineare Hülle. Die Vektoren e 1 (t),..., e n 1 (t) erhält man aus ċ(t),..., c (n 1) (t) mittels des Gram Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens, und e n (t) ist dann durch Bedingung (1) bestimmt. Es gilt e i C n i (I, R n ) für i = 1,..., n 1, und e n C 1 (I, R n ). 2

7 1.3 Definition (Frenet-Krümmungen) Es sei c C n (I, R n ) eine Frenet-Kurve mit begleitendem Frenet-n-Bein (e 1,..., e n ). Die Funktion κ i : I R, κ i (t) = 1 ċ(t) ė i(t), e i+1 (t), heisst i-te Frenet-Krümmung von c für i = 1,..., n 1. Es gilt κ i C n i 1 (I); somit ist κ n 1 noch stetig. Sämtliche Frenet- Krümmungen sind invariant unter orientierungstreuen Umparametrisierungen: Für c = c ϕ mit ϕ > 0 folgt κ i = 1 c ẽ i, ẽ i+1 = 1 (ėi ċ ϕ ϕ ϕ)ϕ, e i+1 ϕ = κ i ϕ. 1.4 Satz (Frenet-Gleichungen) Es sei c C n (I, R n ) eine Frenet-Kurve mit Frenet-n-Bein (e 1,..., e n ) und Frenet-Krümmungen κ 1,..., κ n 1. Dann sind κ 1,..., κ n 2 > 0, und 1 ċ ėi = κ 1 e 2 falls i = 1, κ i 1 e i 1 + κ i e i+1 falls 2 i n 1, κ n 1 e n 1 falls i = n. Im Fall n = 2 ist c C 2 (I, R 2 ) genau dann eine Frenet-Kurve, wenn c regulär ist. Dann heisst die (einzige) Frenet-Krümmung κ or := κ 1 = 1 ċ ė 1, e 2 auch die ebene oder orientierte Krümmung von c. Es gilt e 1 = ċ/ ċ und ċ, e 2 = 0, somit ist κ or = c, e 2 ċ 2 = det(e 1, c) ċ 2 = det(ċ, c) ċ 3. Die Frenet-Gleichungen lauten in diesem Fall ( ) ( 1 ė1 0 κor = ċ ė 2 κ or 0 )( e1 e 2 ). Der Schmiegkreis (engl. osculating circle) von c an einer Stelle t mit κ or (t) 0 ist der Kreis mit Zentrum c(t) + (1/κ or (t))e 2 (t) und Radius 1/ κ or (t), der die Kurve im Punkt c(t) in zweiter Ordnung approximiert (Aufgabe). Im Fall n = 3 ist c C 3 (I, R 3 ) genau dann eine Frenet-Kurve, wenn ċ und c überall linear unabhängig sind. Die Vektoren e 2 bzw. e 3 = e 1 e 2 3

8 (Vektorprodukt) heissen (Haupt-)Normale bzw. Binormale von c. Die zwei Frenet-Krümmungen κ := κ 1 = 1 ċ ė 1, e 2 > 0, τ := κ 2 = 1 ċ ė 2, e 3 heissen Krümmung und Torsion von c; letztere misst die Drehung der Schmiegebene (engl. osculating plane) lin{ċ, c} = lin{e 1, e 2 } um e 1. Sowohl κ wie τ sind auch unter orientierungsumkehrenden Parametertransformationen invariant, τ ändert aber das Vorzeichen unter orientierungsumkehrenden Isometrien des R 3. Die Frenet-Gleichungen für Kurven in R 3 lauten 1 ċ ė 1 ė 2 ė 3 = 0 κ 0 κ 0 τ 0 τ 0 e 1 e 2 e 3. Ist c nach Bogenlänge parametrisiert, so gilt 2 ċ, c = ċ, ċ = 0 und damit e 2 = c/ c, also κ = ė 1, e 2 = c. 1.5 Satz (Hauptsatz der lokalen Kurventheorie) Sind Funktionen κ 1,..., κ n 1 C (I, R) mit κ 1,..., κ n 2 > 0 gegeben, und ist s 0 I, x 0 R n und (b 1,..., b n ) eine positiv orientierte Orthonormalbasis von R n, so existiert genau eine nach Bogenlänge parametrisierte Frenet-Kurve c C (I, R n ) mit den folgenden Eigenschaften: (1) c(s 0 ) = x 0, (2) (b 1,..., b n ) ist das Frenet-n-Bein von c an der Stelle s 0, (3) κ 1,..., κ n 1 sind die Frenet-Krümmungen von c. Eine Frenet-Kurve c C (I, R n ) ist also im Fall n = 2 bzw. n = 3 durch κ or bzw. κ und τ bis auf eine orientierungserhaltende Isometrie bestimmt. Die Differenzierbarkeitsvoraussetzungen können abgeschwächt werden. Wir zeigen noch zwei Sätze aus der globalen Kurventheorie. Der Umlaufsatz Im Folgenden sei stets a < b. Eine Kurve c: [a, b] X in einen topologischen Raum X heisst geschlossen oder eine Schleife, falls c(a) = c(b) gilt, und c heisst einfach geschlossen, falls zusätzlich c [a,b) injektiv ist. Nun sei wieder X = R n. Für k {1, 2,... } { } nennen wir die geschlossene bzw. einfach geschlossene Kurve c C k ([a, b], R n ) C k -geschlossen bzw. einfach C k - geschlossen, falls c eine (b a)-periodische Fortsetzung c C k (R, R n ) besitzt; d.h. c(t + b a) = c(t) für alle t R. 4

9 Nun sei c: [a, b] R 2 eine C 1 -geschlossene und reguläre ebene Kurve. Dann gilt ċ(t) = (cos θ(t), sin θ(t)) ċ(t) für eine stetige Polarwinkelfunktion θ : [a, b] R, die bis auf Addition eines ganzzahligen Vielfachen von 2π eindeutig bestimmt ist. [Aufgrund der gleichmässigen Stetigkeit von t ċ(t)/ ċ(t) S 1 auf dem kompakten Intervall [a, b] gibt es eine Unterteilung a = a 0 < a 1 <... < a k = b, sodass keines der Teilintervalle [a i 1, a i ] auf ganz S 1 abgebildet wird. Nun setzt man θ(a) := (ċ(a)/ ċ(a), (1, 0)) [0, 2π) und findet dann schrittweise jeweils eindeutige stetige Fortsetzungen von θ auf die Intervalle [a, a i ] für i = 1,..., k.] Da ċ(a) = ċ(b) ist, gilt dann θ(b) θ(a) = 2πϱ c für eine von der Wahl von θ unabhängige ganze Zahl ϱ c, die Umlaufzahl von c (engl. rotation index). Bezeichnet c die (b a)-periodische Fortsetzung von c auf R, und ist ϕ: [ã, b] R eine C 1 -Funktion mit ϕ( b) ϕ(ã) = b a, ϕ > 0 und ϕ ( b) = ϕ (ã), so ist c := c ϕ eine C 1 -geschlossene, reguläre Kurve mit derselben Umlaufzahl ϱ c = ϱ c. 1.6 Satz (Umlaufsatz) Die Umlaufzahl einer einfach C 1 -geschlossenen, regulären Kurve c: [a, b] R 2 beträgt 1 oder 1. Dieser Satz geht wohl auf Riemann zurück. Der folgende Beweis stammt von H. Hopf [Ho1935]. Beweis: Wir nehmen an, dass c nach Bogenlänge parametrisiert und [a, b] = [0, L] sei. Ausserdem liege das Bild von c in der oberen Halbebene R [0, ) und es sei c(0) = (0, 0) und c (0) = (1, 0). Wir zeigen, dass dann ϱ c = 1 gilt. Jedem Paar von Parameterwerten im Bereich D := {(s, t) : 0 s t L} werde wie folgt ein Einheitsvektor zugeordnet: c (s) falls s = t, e(s, t) := c (0) = e 1 falls (s, t) = (0, L), c(t) c(s) sonst. c(t) c(s) Die so definierte Abbildung e: D S 1 ist offensichtlich stetig, und man kann wieder zeigen, dass es eine stetige Polarwinkelfunktion θ : D R für e gibt. [Da D kompakt ist, ist e gleichmässig stetig. Es gibt deshalb ein δ := L/(k+1) > 0, für eine ganze Zahl k 1, sodass e keinen der Teilbereiche D j,i := D ([iδ, (i + 1)δ] [jδ, (j + 1)δ]) 5

10 mit i, j Z und 0 i j k auf ganz S 1 abbildet. Damit gibt es eine stetige Polarwinkelfunktion θ für e auf D 0,0, und θ lässt sich sukzessive auf jeweils eindeutige Weise stetig auf D 1,0, D 1,1, D 2,0,..., D k,k (lexikografische Ordnung) fortsetzen.] Da e(0, 0) = e 1 und e(0, L) = e 1 gilt und der Vektor e(0, t) für alle t [0, L] in der oberen Halbebene liegt, folgt θ(0, L) = θ(0, 0) + π. Ausserdem liegt e(s, L) für alle s [0, L] in der unteren Halbebene, und e(l, L) ist wieder gleich e 1 ; somit folgt θ(l, L) = θ(0, L) + π = θ(0, 0) + 2π. Da s θ(s, s) eine stetige Polarwinkelfunktion für s e(s, s) = c (s) ist, ergibt dies ϱ c = 1. Totalkrümmung von Kurven Nun sei c: [0, L] R 2 (L > 0) eine nach Bogenlänge parametrisierte C 2 -Kurve mit Frenet-2-Bein (e 1, e 2 ). Ist θ : [0, L] R stetig und e 1 (s) = (cos θ(s), sin θ(s)), so ist θ stetig differenzierbar, und e 1(s) = θ (s)( sin θ(s), cos θ(s)) = θ (s)e 2 (s). Mit der ersten Frenet-Gleichung folgt θ = κ or. Die Totalkrümmung von c erfüllt somit L 0 κ or (s) ds = L 0 θ (s) ds = θ(l) θ(0). Ist c einfach C 2 -geschlossen, so folgt aus dem Umlaufsatz, dass für die totale Absolutkrümmung von c L L κ or (s) ds κ or (s) ds = 2π 0 gilt. Gleichheit tritt genau dann ein, wenn κ or das Vorzeichen nicht wechselt, d.h. wenn κ or 0 oder κ or 0 ist. Dies ist äquivalent dazu, dass c konvex ist, d.h. dass das Bild c([0, L]) Rand einer konvexen Menge C R 2 ist (Aufgabe). Für eine nach Bogenlänge parametrisierte Frenet-Kurve c C 3 (I, R 3 ) im R 3 gilt κ = κ 1 = c. Wir können somit die Krümmung einer beliebigen nach Bogenlänge parametrisierten Kurve c C 2 (I, R n ) in R n (n 2) durch erklären. 0 κ := c 6

11 1.7 Satz (Satz von Fenchel) Für die Totalkrümmmung einer einfach C 2 -geschlossenen, nach Bogenlänge parametrisierten Raumkurve c: [0, L] R 3 gilt L 0 κ(s) ds 2π, mit Gleichheit genau dann, wenn c eben und konvex ist. Dies wurde zuerst in [Fe1929] gezeigt, der Satz gilt aber ebenso in R n [Bo1947]. Für verknotete Kurven in R 3 ist die Totalkrümmung sogar > 4π [Fa1949], [Mi1950]. 7

12 2 Flächen Untermannigfaltigkeiten und Immersionen Wir betrachten nun m-dimensionale Flächen M R n. 2.1 Definition (Untermannigfaltigkeit) Eine Teilmenge M R n heisst eine m-dimensionale Untermannigfaltigkeit von R n, falls es für jeden Punkt p M eine offene Umgebung V R n von p und einen C -Diffeomorphismus ϕ: V ϕ(v ) auf eine offene Menge ϕ(v ) R n gibt, sodass ϕ(m V ) = (R m {0}) ϕ(v ). Die Zahl k := n m heisst Kodimension von M in R n, die Abbildung ϕ eine Schnittkarte von M um p (engl. submanifold chart). Nun sei W R n eine offene Menge und F : W R k eine differenzierbare Abbildung. Ein Punkt p W heisst regulärer bzw. singulärer Punkt von F, falls das Differential df p surjektiv bzw. nicht surjektiv ist. Ein Punkt x R k heisst regulärer Wert von F, falls alle p F 1 {x} reguläre Punkte von F sind; x heisst singulärer Wert von F, falls F 1 {x} einen singulären Punkt von F enthält. Man beachte, dass insbesondere alle x R k \ F (W ) reguläre Werte von F sind. 2.2 Satz (Implizit definierte Untermannigfaltigkeit von R n ) Ist W R n offen und F C (W, R k ), und ist x F (W ) ein regulärer Wert von F, so ist M := F 1 {x} eine Untermannigfaltigkeit von R n der Dimension m := n k 0. In Analogie zu den regulären Kurven führen wir noch einen anderen Flächenbegriff ein. 2.3 Definition (Immersion) Eine Abbildung f C (U, R n ) einer offenen Menge U R m heisst eine Immersion oder eine reguläre (parametrisierte) m-fläche, falls das Differential df x : R m R n in jedem Punkt x U injektiv ist, also Rang m besitzt. 2.4 Satz (Immersionssatz) Es sei f C (U, R n ) eine Immersion der offenen Menge U R m. Dann existiert für jeden Punkt x U eine offene Umgebung U x U von x, sodass f(u x ) eine m-dimensionale Untermannigfaltigkeit von R n ist. Selbst wenn eine Immersion injektiv ist, so ist ihr Bild nicht unbedingt eine Untermannigfaltigkeit. Aber es gilt: 2.5 Satz (Lokale Parametrisierungen) Die Menge M R n ist genau dann eine m-dimensionale Untermannigfaltigkeit, wenn für jeden Punkt p M offene Mengen U R m, V R n und 8

13 eine Immersion f : U R n existieren, sodass p f(u) = M V gilt und f : U M V ein Homöomorphismus ist. Dann heisst f eine lokale Parametrisierung und f 1 : M V U eine Karte von M um p. 2.6 Lemma (Parametertransformation/Kartenwechsel) Für eine m-dimensionale Untermannigfaltigkeit M R n seien zwei lokale Parametrisierungen f i : U i f(u i ) M, i = 1, 2, mit V := f 1 (U 1 ) f 2 (U 2 ) gegeben. Dann ist ϕ := f2 1 f 1 : f1 1 1 (V ) f2 (V ) ein C - Diffeomorphismus. 2.7 Definition (Tangentialraum, Normalenraum) Der Tangentialraum T M p einer m-dimensionalen Untermannigfaltigkeit M R n im Punkt p M ist definiert durch T M p := df x (R m ) R n für eine (und somit jede) lokale Parametrisierung f : U f(u) M mit f(x) = p. Das orthogonale Komplement T Mp von T M p in R n ist der Normalenraum von M in p. Der Tangentialraum T M p ist ein m-dimensionaler linearer Unterraum von R n. Ebenso ist der Normalenraum T Mp ein linearer Unterraum; seine Dimension ist gleich der Kodimension k := n m von M. Eine Abbildung F : M R l einer Untermannigfaltigkeit M R n in R l heisst differenzierbar im Punkt p M, falls für eine (und somit jede) lokale Parametrisierung f : U f(u) M mit f(x) = p die Komposition F f : U R l an der Stelle x U differenzierbar ist. Das Differential von F : M R l im Punkt p ist dann als die eindeutig bestimmte lineare Abbildung df p : T M p R l erklärt, für die die Kettenregel d(f f) x = df p df x gilt. Entsprechend sind auch glatte (d.h. überall beliebig oft differenzierbare) Abbildungen F : M R l erklärt; wir schreiben dann F C (M, R l ). Orientierbare Flächen und der Zerlegungssatz 2.8 Definition (Orientierbarkeit) Eine Untermannigfaltigkeit M R n heisst orientierbar, falls es ein System {f α : U α f α (U α ) M} α A von lokalen Parametrisierungen von M gibt, sodass α A f α(u α ) = M gilt und jede Parametertransformation f 1 β f α mit α, β A und f α (U α ) f β (U β ) orientierungstreu ist, also überall det d(f 1 β f α ) > 0 erfüllt. Ein maximales solches System heisst eine Orientierung von M, und jede lokale Parametrisierung in diesem System heisst dann positiv orientiert. 9

14 2.9 Lemma (Orientierbare Hyperflächen) Eine m-dimensionale Untermannigfaltigkeit M R m+1 ist genau dann orientierbar, wenn es ein stetiges Einheitsnormalenvektorfeld N : M S m gibt, d.h. N(p) T M p für alle p M Satz (Zerlegungssatz) Es sei M R m+1 eine m-dimensionale kompakte, zusammenhängende Untermannigfaltigkeit. Dann besitzt R m+1 \M genau zwei Zusammenhangskomponenten A, B, es gilt A = B = M, und M ist orientierbar. Beweis: Da M Kodimension 1 hat, besitzt jeder Punkt p M eine Umgebung V in R m+1, sodass V \M genau zwei Zusammenhangskomponenten hat und p Randpunkt von beiden ist (man verwende eine Schnittkarte). Diese beiden Mengen müssen Teil von zwei verschiedenen Zusammenhangskomponenten von R m+1 \M sein; sonst würde eine glatte Abbildung c: S 1 R m+1 existieren, sodass c(e 1 ) = p, ċ(e 1 ) T M p sowie c(s 1 \ {e 1 }) M = gilt, was im Widerspruch zum später bewiesenen Satz 9.12 über die Schnittzahl modulo 2 steht. Somit ist jeder Punkt p M Randpunkt von zwei verschiedenen Zusammenhangskomponenten von R m+1 \ M. Nun sei p M fest und q M ein beliebiger weiterer Punkt. Dann gilt p A, B und q A q, B q für Zusammenhangskomponenten A B und A q B q von R n \ M. Da M zusammenhängend ist, existiert eine Kurve c q : [0, 1] M von p nach q. Es sei N q : [0, 1] R n ein stetiges Einheitsvektorfeld längs c q normal zu M. Für ɛ > 0 klein genug verlaufen die beiden Kurven c ± q : t c q (t) ± ɛn q (t) in R n \ M. Damit folgt entweder A q = A und B q = B, oder A q = B und B q = A. Die Orientierbarkeit von M ergibt sich dann aus Lemma 2.9. Satz 2.10 gilt allgemeiner für den Fall, dass = M R m+1 das Bild einer kompakten, zusammenhängenden, m-dimensionalen topologischen Mannigfaltigkeit (Definition 8.1) unter einer stetigen und injektiven Abbildung ist [Br1911b]. Dies ist der sogenannte Jordan Brouwer-Zerlegungssatz, der den Jordanschen Kurvensatz verallgemeinert. In letzterem ist M eine Jordan-Kurve in R 2, d.h. das Bild einer einfach geschlossenen Kurve c: [0, 1] R 2. 10

15 3 Innere Geometrie von Flächen Erste Fundamentalform 3.1 Definition (Erste Fundamentalform) Die erste Fundamentalform g einer Untermannigfaltigkeit M R n ordnet jedem Punkt p M das durch g p (X, Y ) := X, Y für X, Y T M p definierte Skalarprodukt auf T M p zu, d.h. g p ist einfach die Einschränkung des Standardskalarprodukts, des R n auf T M p. Die erste Fundamentalform g einer Immersion f : U R n (U R m offen) ordnet jedem Punkt x U das durch g x (ξ, η) := df x (ξ), df x (η) für ξ, η R m definierte Skalarprodukt g x auf T U x = R m zu. Die erste Fundamentalform g heisst auch (riemannsche) Metrik oder metrischer Tensor von M bzw. f. Die Matrix (g ij (x)) von g x bezüglich der kanonischen Basis (e 1,..., e m ) ist gegeben durch f f g ij (x) = g x (e i, e j ) = df x (e i ), df x (e j ) = (x), xi x j (x), wobei g ij C (U). Es sei M R n eine Untermannigfaltigkeit und f : U f(u) M eine lokale Parametrisierung (insb. eine Immersion). Die beiden ersten Fundamentalformen von f und M entsprechen sich wie folgt: Ist x U und f(x) = p, so ist df x eine Isometrie der euklidischen Vektorräume (R m, g x ) und (T M p, g p ). Die Menge U R m, versehen mit der ersten Fundamentalform von f, bildet ein Modell für f(u) M, in dem sich alle Grössen der inneren Geometrie von f(u) M berechnen lassen. Beispiele: 1. Beträge und Winkel: Für X, Y T M p, x := f 1 (p), ξ := (df x ) 1 (X) und η := (df x ) 1 (Y ) ist X = g p (X, X) = g x (ξ, ξ) =: ξ gx, cos (X, Y ) = g p(x, Y ) X Y = g x(ξ, η) ξ gx η gx. 2. Länge von C 1 -Kurven c: I f(u) M: Für γ := f 1 c: I U gilt ċ(t) = df γ(t) ( γ(t)) und somit L(c) = ċ(t) dt = γ(t) gγ(t) dt. I 11 I

16 3. m-dimensionaler Flächeninhalt von Borelmengen B f(u) M: A(B) = det(g ij (x)) dx [0, ]. f 1 (B) Die Gramsche Determinante det(g ij (x)) = det( f i (x), f j (x) ) ist gleich dem Quadrat des Volumens des von den Vektoren f i (x) = ( f/ x i )(x), i = 1,..., m, aufgespannten m-dimensionalen Parallelotops. A(B) ist unabhängig von der Wahl von f und wird auch mit B da bezeichnet. Um den m-dimensionalen Flächeninhalt eines kompakten Bereichs K M zu berechnen, wählt man endlich viele lokale Parametrisierungen f α : U α f α (U α ) M und Borelmengen B α f α (U α ), sodass K = α B α eine disjunkte Zerlegung ist. Der Flächeninhalt A(K) = α A(B α ) = α f 1 α (B α) det(gij α (x)) dx erweist sich als unabhängig von den getroffenen Wahlen. Hier bezeichnet g α die erste Fundamentalform von f α. Für eine stetige Funktion b: M R definiert K b da = α f 1 α (B α) dann das Oberflächenintegral von b über K. b f α (x) det(gij α (x)) dx 3.2 Definition (Isometrien) Zwei Untermannigfaltigkeiten M R n, M R n mit ersten Fundamentalformen g bzw. ḡ heissen isometrisch, falls es einen Diffeomorphismus F : M M gibt, sodass g p (X, Y ) = ḡ F (p) (df p (X), df p (Y )) für alle p M und X, Y T M p. Zwei Immersionen f : U R n, f : Ū R n (U, Ū Rm offen) mit ersten Fundamentalformen g bzw. ḡ heissen isometrisch, falls es einen Diffeomorphismus ψ : U Ū gibt, sodass g x(ξ, η) = ḡ ψ(x) (dψ x (ξ), dψ x (η)) für alle x U und ξ, η R m. Wir verwenden die Schreibweise g = F ḡ bzw. g = ψ ḡ (zurückgeholte Metrik). Insbesondere sind f, f isometrisch, wenn f = f ψ eine Umparametrisierung von f ist: g(ξ, η) = df(ξ), df(η) = d f dψ(ξ), d f dψ(η) = ḡ(dψ(ξ), dψ(η)). Kovariante Ableitung Es sei f : U R n eine Immersion der offenen Menge U R m. Wir betrachten jetzt zweite Ableitungen von f. Für das tangentiale Vektorfeld f/ x i 12

17 längs f ist 2 f/( x j x i ) im Allgemeinen nicht tangential. Der tangentiale Anteil besitzt eine eindeutige Darstellung ( 2 ) f T x j x i = m k=1 Γ k ij f x k für C -Funktionen Γ k ij = Γk ji : U R, die Christoffelsymbole von f. 3.3 Lemma (Christoffelsymbole) Es sei f C (U, R n ) eine Immersion der offenen Menge U R m. Dann gilt Γ k ij = 1 2 m l=1 ( g kl gjl x i + g il x j g ) ij x l, wobei (g kl ) die zu (g ij ) inverse Matrix bezeichnet. Im Fall m = 2 vereinfachen sich diese Ausdrücke, da dann stets mindestens zwei Indizes übereinstimmen. Verwendet man Gauss Notation E := g 11, F := g 12 = g 21, G := g 22, und setzt man noch D := EG F 2 sowie E i := E/ x i usw., so gilt dann ( Γ 1 11 Γ 1 12 Γ 1 22 Γ 2 11 Γ 2 12 Γ 2 22 ) = 1 ( G F 2D F E )( E 1 E 2 2F 2 G 1 2F 1 E 2 G 1 G Definition (Kovariante Ableitung, paralleles Vektorfeld) Es sei M R n eine m-dimensionale Untermannigfaltigkeit, c: I M eine glatte Kurve in M und X : I R n ein Vektorfeld längs c tangential an M, d.h. mit X(t) T M c(t) für alle t I. Die kovariante Ableitung (D/dt)X von X nach t ist das durch D dt X(t) := Ẋ(t)T T M c(t) für t I definierte Vektorfeld längs c tangential an M. Das Vektorfeld X heisst parallel längs c, falls (D/dt)X(t) = 0 für alle t I, d.h. Ẋ(t) T M c(t). 3.5 Satz (Kovariante Ableitung) Es seien M R n eine m-dimensionale Untermannigfaltigkeit mit erster Fundamentalform g, c: I M eine glatte Kurve in M und X, Y : I R n zwei Vektorfelder längs c tangential an M. Es gelten die folgenden Eigenschaften. (1) D dt (X + Y ) = D dt X + D dt Y. 13 ).

18 (2) (3) D dt (h X) = d dt h X + h D dt X (h C (I)). d ( D ) dt g(x, Y ) = g dt X, Y + g (X, D ) dt Y. (4) Ist c(i) f(u) für eine lokale Parametrisierung f : U f(u) M, und schreiben wir X in der Form X(t) = m i=1 ξ i (t) f x i (γ(t)) für γ := f 1 c und ξ 1,..., ξ m C (I), so ist D m dt X(t) = ( für alle t I. k=1 ξ k (t) + m i,j=1 ) f ξ i (t) γ j (t)γ k ij(γ(t)) x k (γ(t)) Sind X, Y parallel längs c, so ist g c(t) (X(t), Y (t)) konstant, da d ( D ) dt g(x, Y ) = g dt X, Y + g (X, D ) dt Y = 0. Insbesondere ist X = g(x, X) konstant. 3.6 Satz (Existenz und Eindeutigkeit paralleler Vektorfelder) Es sei M R n eine Untermannigfaltigkeit, c: I M eine glatte Kurve, 0 I, und X 0 T M c(0). Dann existiert ein eindeutig bestimmtes paralleles Vektorfeld X längs c mit X(0) = X 0. Geodätische 3.7 Definition (Geodätische) Es sei M R n eine Untermannigfaltigkeit. Eine glatte Kurve c: I M heisst eine Geodätische, falls ċ parallel ist längs c, d.h. (D/dt)ċ(t) = 0 für alle t I. Da (D/dt)ċ(t) = c(t) T, ist c genau dann eine Geodätische, wenn c(t) T Mc(t) für alle t I. Jede nicht-konstante Geodätische c: I M ist proportional zur Bogenlänge parametrisiert, da d ( D ) dt g(ċ, ċ) = 2g dtċ, ċ = 0. 14

19 Ist f : U f(u) M eine lokale Parametrisierung und γ : I U eine glatte Kurve, so ist c := f γ : U M genau dann eine Geodätische, wenn γ k (t) + m i,j=1 γ i (t) γ j (t)γ k ij(γ(t)) = 0 für alle t I und k = 1,..., m; kurz: γ k + i,j γi γ j Γ k ij γ = Satz (Existenz und Eindeutigkeit von Geodätischen) Es sei M R n eine Untermannigfaltigkeit, p M und X T M p. Dann existiert genau eine auf einem maximalen offenen Intervall definierte Geodätische c: I M mit c(0) = p und ċ(0) = X. 3.9 Satz (Clairaut) Es sei M R 3 eine Rotationsfläche und c: I M eine nicht-konstante Geodätische. Für t I bezeichne r(t) > 0 den Abstand von c(t) zur Rotationsachse und θ(t) [0, π] den Winkel zwischen ċ(t) und den orientierten Breitenkreisen. Dann ist r(t) cos θ(t) konstant Satz (Erste Variation der Bogenlänge) Es sei M R n eine Untermannigfaltigkeit und c 0 : [a, b] M eine glatte Kurve mit ċ 0 k 0. Ist c: ( ɛ, ɛ) [a, b] M eine glatte Variation von c 0, c s (t) := c(s, t), mit Variationsvektorfeld V s (t) := ( c/ s)(s, t), so gilt d L(c s ) = 1 ( g ( V 0 (t), ċ 0 (t) ) b ds s=0 k b a a ( g V 0 (t), D ) ) dtċ0(t) dt. Die Variation c von c 0 heisst eigentlich, falls c s (a) = c 0 (a) und c s (b) = c 0 (b) für alle s ( ɛ, ɛ). Nach Satz 3.10 ist eine nicht-konstante glatte Kurve c 0 : [a, b] M genau dann eine Geodätische, wenn gilt: c 0 ist proportional zur Bogenlänge parametrisiert und (d/ds) s=0 L(c s ) = 0 für jede eigentliche Variation c von c 0. Insbesondere gilt: Ist c 0 proportional zur Bogenlänge parametrisiert und kürzeste Verbindung zwischen p = c 0 (a) und q = c 0 (b), d.h. L(c 0 ) = d(p, q) := inf{l( c) : c ist Kurve von p nach q}, so ist c 0 eine Geodätische. Existiert zu jedem Paar von Punkten p, q M eine kürzeste Kurve von p nach q? Nach dem Satz von Hopf Rinow aus der Riemannschen Geometrie lautet die Antwort auf diese Frage ja, falls M zusammenhängend und (M, d) vollständig ist als metrischer Raum. 15

20 4 Krümmungsbegriffe für Hyperflächen In diesem Abschnitt beschränken wir uns auf Kodimension 1, d.h. m = n 1. Zweite Fundamentalform Es sei M R m+1 eine m-dimensionale orientierbare Untermannigfaltigkeit und N : M S m ein stetiges Einheitsnormalenvektorfeld, d.h. N(p) T Mp für alle p M, vgl. Lemma 2.9. Jedes solche Vektorfeld heisst eine Gauss-Abbildung von M. Ist auf M schon eine Orientierung festgelegt, dann wählen wir N so, dass für jede positive orientierte lokale Parametrisierung f : U f(u) M und für alle x U det ( f 1 (x),..., f m (x), N(f(x)) ) > 0 gilt, wobei wir f/ x i mit f i abgekürzt haben. Ist allgemein f : U R m+1 eine Immersion einer offenen Menge U R m, so nennen wir ν : U S m die Gauss-Abbildung von f, falls ν(x) df x (R m ) und det ( f 1 (x),..., f m (x), ν(x) ) > 0 für alle x U. Wir betrachten nun das Differential dn p : T M p T S m N(p) = T M p bzw. dν x : R m T S m ν(x) = df x(r m ) für p M bzw. x U. 4.1 Definition (Weingarten-Abbildung) Die lineare Abbildung L p : T M p T M p, L p := dn p, heisst Weingarten- Abbildung (oder Form-Operator) von M im Punkt p. Die lineare Abbildung L x : R m R m, L x := (df x ) 1 dν x, heisst Weingarten-Abbildung der Immersion f im Punkt x U. Ist speziell f eine lokale Parametrisierung von M mit f(x) = p und ν = N f, so gilt L x = (df x ) 1 L p df x. 4.2 Lemma (Selbstadjungiertheit) Die Weingarten-Abbildung L p von M im Punkt p ist selbstadjungiert bezüglich g p, d.h. g p (X, L p (Y )) = g p (L p (X), Y ) für X, Y T M p. Die Weingarten-Abbildung L x einer Immersion f im Punkt x ist selbstadjungiert bezüglich g x, d.h. g x (ξ, L x (η)) = g x (L x (ξ), η) für ξ, η R m. 16

21 4.3 Definition (Zweite Fundamentalform) Die zweite Fundamentalform h einer Untermannigfaltigkeit M R m+1 ordnet jedem Punkt p M die durch h p (X, Y ) := g p (X, L p (Y )) = X, dn p (Y ) für X, Y T M p definierte symmetrische Bilinearform h p auf T M p zu. Die zweite Fundamentalform h einer Immersion f : U R m+1 (U R m offen) ordnet jedem Punkt x U die durch h x (ξ, η) := g x (ξ, L x (η)) = df x (ξ), dν x (η) für ξ, η R m definierte symmetrische Bilinearform h x auf R m zu. Die Matrix (h ij (x)) von h x bezüglich der kanonischen Basis (e 1,..., e m ) ist gegeben durch f ν 2 h ij (x) = (x), xi x j (x) f = x j (x), ν(x). xi Die Matrix von L x bezüglich (e 1,..., e m ) bezeichnen wir mit (h i k(x)); nach Definition von h x gilt (g ij )(h j k) = (h ik ) und somit (h i k) = (g ij )(h jk ), d.h. Krümmung von Flächen h i k = m g ij h jk. j=1 Das folgende Lemma beschreibt eine geometrische Bedeutung der zweiten Fundamentalform. 4.4 Lemma (Normalkrümmung) Es sei M R m+1 eine m-dimensionale Untermannigfaltigkeit, p M und X 0 T M p mit X 0 = 1. Dann gilt h p (X 0, X 0 ) = c(0), N(p) für jede glatte Kurve c: ( ɛ, ɛ) M mit c(0) = p, ċ(0) = X 0. Man kann die Kurve c so wählen, dass sie in einer Umgebung von p den Schnitt M (p + lin{x 0, N(p)}) parametrisiert. Dann ist h p (X 0, X 0 ) = c(0), N(p) gerade die orientierte Krümmung κ or (0) von c in der Normalebene p + lin{x 0, N(p)} mit positiv orientierter Basis (X 0, N(p)). Deshalb heisst h p (X 0, X 0 ) Normalkrümmung von M in Richtung X 0. 17

22 Da die Weingartenabbildung L p selbstadjungiert ist bezüglich g p, besitzt sie m relle Eigenwerte κ 1... κ m, und es existiert eine Orthonormalbasis (X 1,..., X m ) von T M p mit L p (X j ) = κ j X j, also h p (X i, X j ) = g p (X i, L p (X j )) = κ j δ ij. Insbesondere ist κ j die Normalkrümmung von M in Richtung X j. 4.5 Definition (Hauptkrümmungen) Die m reellen Eigenwerte κ 1... κ m von L p heissen Hauptkrümmungen von M in p. Jeder Eigenvektor X von L p mit X = 1 heisst eine Hauptkrümmungsrichtung. Für Immersionen f : U R m+1 gilt analog: L x (für x U R m ) hat m reelle Eigenwerte κ 1... κ m, die Hauptkrümmungen von f, und es existiert eine Orthonormalbasis (ξ 1,..., ξ m ) von R m bezüglich g x mit L x (ξ j ) = κ j ξ j, h x (ξ i, ξ j ) = κ j δ ij. Ein Punkt x U heisst ein Nabelpunkt von f, falls κ 1 =... = κ m in x. 4.6 Satz (Nabelpunktsatz) Es sei f : U R m+1 eine Immersion, U R m zusammenhängend, m 2. Ist jeder Punkt x U ein Nabelpunkt von f, so liegt f(u) in einer m-ebene oder m-sphäre. 4.7 Definition (Gauss-Krümmung, mittlere Krümmung) Es sei M R m+1 eine m-dimensionale Untermannigfaltigkeit und p M. K(p) := det(l p ) heisst Gauss-Kronecker-Krümmung (im Fall m = 2 Gauss-Krümmung) von M in p, mittlere Krümmung von M in p. H(p) := 1 m spur(l p) Analog sind K(x) := det(l x ) und H(x) := 1 m spur(l x) für eine Immersion f : U R m+1 und x U definiert. Es gilt K = κ 1... κ m = det(h i k) = det((g ij )(h jk )) = det(h ij) det(g ij ), mh = κ κ m = spur(h i k) = i h i i = i,j g ij h ji. 18

23 Das Gauss sche Theorema Egregium Im Folgenden schreiben wir f i für f/ x i und f ij für 2 f/( x j x i ), usw. 4.8 Lemma (Ableitungsgleichungen) Es sei f : U R m+1 eine Immersion der offenen Menge U R m mit Gauss- Abbildung ν : U S m. Dann gilt: (1) (Gauss sche Ableitungsgleichung) m f ij = Γ k ijf k + h ij ν k=1 (i, j = 1,..., m), (2) (Weingarten sche Ableitungsgleichung) m m ν k = h i kf i = g ij h jk f i i=1 i,j=1 (k = 1,..., m). Diese Gleichungen entsprechen den Frenet-Gleichungen der Kurventheorie. Sie lassen sich z.b. für m = 2 wie folgt in Matrix-Form schreiben: f 1 Γ 1 1k Γ 2 1k h 1k f 1 x k f 2 = Γ 1 2k Γ 2 2k h 2k f 2. ν h 1 k h 2 k 0 ν Wir betrachten nun zweite Ableitungen der f k. Die Identität f kij = f kji drückt sich in den Koeffizienten der beiden Fundamentalformen folgendermassen aus. 4.9 Satz (Integrabilitätsbedingungen) Es sei f : U R m+1 eine Immersion der offenen Menge U R m. Dann gilt für alle i, j, k: (1) (Gauss-Gleichungen) R s kij = h s ih kj h s jh ki = m g sl( ) h li h kj h lj h ki l=1 (s = 1,..., m), wobei R s kij := x i Γs kj (2) (Codazzi-Mainardi-Gleichung) x i h kj x j h ki + m x j Γs ki + r=1 ( Γ r kj Γ s ri Γ r ) ki Γs rj, m ( Γ r kj h ri Γ r ki h ) rj = 0. r=1 19

24 Für feste i, j, k ist (1) äquivalent zu R lkij := m s=1 ( g ls R s hli h kij = h li h kj h lj h ki = det lj h ki h kj ) (l = 1,..., m). Die R s kij bzw. R lkij sind die Komponenten des Riemannschen Krümmungstensors von f (s. Differentialgeometrie II). Im Fall m = 2 erhält man aus der Gleichung für R 1212 unmittelbar den folgenden fundamentalen Satz Satz (Theorema Egregium von Gauss) Es sei U R 2 offen, f : U R 3 eine Immersion. Dann gilt für die Gauss- Krümmung von f K = R 1212 det(g ij ). Insbesondere ist K intrinsisch (d.h. aus den g ij berechenbar). Gauss leitet in seiner grundlegenden Arbeit [Ga1828] die ganz explizite Formel K = 1 ( E(G 2 4D 2 1 G 2 A) + F (E 1 G 2 2E 2 G 1 + AB) + G(E2 2 E 1 B) ) 1 ( ) E22 2F 12 + G 11 2D her, wobei wir hier die gleiche Notation wie nach Lemma 3.3 verwenden und noch A := 2F 1 E 2 und B := 2F 2 G 1 gesetzt haben Satz (Eindeutigkeit) Es seien f, f : U R m+1 zwei Immersionen einer zusammenhängenden offenen Menge U R m. Gilt g = g und h = h auf U, so stimmen f und f bis auf eine euklidische Bewegung B : R m+1 R m+1 überein, d.h. f = B f. Existiert zu gegebenen g ij, h ij : U R eine Immersion mit diesen Fundamentalformen? Der folgende Hauptsatz der lokalen Flächentheorie von O. Bonnet gibt eine Antwort auf diese Frage. Es sei U R m eine offene Menge, und (g ij ), (h ij ) C (U, R m m ) seien symmetrische Matrizenfunktionen, sodass (g ij (x)) für alle x U positiv definit ist und die g ij und h ij die in Satz 4.9 genannten Integrabilitätsbedingungen erfüllen. Dann gibt es zu vorgegebenen Punkten x 0 U, p 0 R m+1 und linear unabhängigen Vektoren b 1,..., b m R m+1 mit b i, b j = g ij (x 0 ) eine offene und zusammenhängende Umgebung U von x 0 in U und genau eine Immersion f : U R m+1 mit f(x 0 ) = p 0, f i (x 0 ) = b i für i = 1,..., m und (g ij ), (h ij ) als erste bzw. zweite Fundamentalform, wobei h bezüglich der Gauss-Abbildung ν : U S m gebildet wird, für die (b 1,..., b m, ν(x 0 )) positiv orientiert ist. Die Eindeutigkeit folgt aus Satz

25 5 Spezielle Klassen von Flächen Geodätische Parallelkoordinaten Wir betrachten Immersionen f : U R 3, U R 2 offen. Zur Vereinfachung der Notation bezeichnen wir Punkte in U mit (x, y) statt (x 1, x 2 ). 5.1 Satz (Geodätische Parallelkoordinaten, Fermi-Koordinaten) Es sei f : U R 3 eine Immersion der offenen Menge U R 2. (1) Die erste Fundamentalform g von f erfüllt genau dann g 12 = g 21 = 0 und g 22 = 1, wenn die Kurven y f(x 0, y) (x 0 fest) nach Bogenlänge parametrisierte Geodätische sind, die jede der Kurven x f(x, y 0 ) (y 0 fest) orthogonal schneiden. (2) Falls g 11 =: E, g 12 = g 21 = 0 und g 22 = 1, so ist die Gauss-Krümmung von f gegeben durch K = ( E) 22 = E 2 2 E 4E 2 E 22 2E. (3) Ist zusätzlich s f(s, 0) eine nach Bogenlänge parametrisierte Geodätische, so gilt E(s, 0) = 1, E 1 (s, 0) = E 2 (s, 0) = 0 und Γ k ij (s, 0) = 0 für alle i, j, k und für alle s. Koordinaten wie in (1) und (2) bzw. (3) heissen geodätische Parallelkoordinaten bzw. Fermi-Koordinaten. 5.2 Satz (Existenz geodätischer Parallelkoordinaten) Es sei M R 3 eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit und f : {(x, 0) R 2 : x ( ɛ, ɛ)} M eine reguläre Kurve. Dann lässt sich f um (0, 0) zu einer lokalen Parametrisierung von M mit g 12 = g 21 = 0 und g 22 = 1 fortsetzen. Flächen mit konstanter Gauss-Krümmung 5.3 Satz (Flächen konstanter Krümmung in Fermi-Koordinaten) Es sei U R 2 offen und f : U R 3 eine Immersion in Fermi-Koordinaten, wie in Satz 5.1(3), mit konstanter Gauss-Krümmung K κ R. Dann gilt E(x, y) = g 11 (x, y) = cs κ (y) 2, wobei cos( κy) falls κ > 0, cs κ (y) := 1 falls κ = 0, cosh( κy) falls κ < 0. 21

26 5.4 Satz (Konstante Gausskrümmung) Es seien M, M R 3 zwei Flächen mit Gauss-Krümmungen K : M R bzw. K : M R. Dann sind äquivalent: (1) K k K für eine Konstante k R. (2) Zu jedem Paar von Punkten p M, p M gibt es eine offene Umgebung U R 2 von 0 und lokale Parametrisierungen f : U f(u) M, f : U f(u) M mit f(0) = p, f(0) = p und g = ḡ auf U (d.h. M und M sind überall lokal isometrisch). Regelflächen Es seien c: I R 3 eine C 2 -Kurve und X : I R 3 ein nirgends verschwindendes C 2 -Vektorfeld, wobei X(t) als Vektor im Punkt c(t) aufgefasst wird. Eine Abbildung der Gestalt f : U R 3, f(s, t) = c(s) + tx(s), heisst eine (nicht notwendigerweise regulär parametrisierte) Regelfläche mit Leitkurve c. Die Geraden f β, β(t) := (s 0, t) (s 0 fest), heissen Erzeugende. Sie sind Asymptotenlinien von f, d.h. es gilt h( β, β) = 0, da h 22 = f 22, ν = 0. Anschaulich wird f durch die Bewegung einer Geraden im Raum erzeugt. In den regulären Punkten einer Regelfläche gilt K = det(h ij) det(g ij ) = h2 12 det(g ij ) 0, mit K = 0 genau dann, wenn die Ableitung von ν nach t verschwindet: h 12 = f 1, ν 2 = 0 ist äquivalent zu ν 2 = 0, da ν, ν 2 = 0 und f 2, ν 2 = h 22 = 0. Eine Regelfläche mit K = 0 in den regulären Punkten heisst auch eine Torse. 5.5 Satz (Torsen) Es sei U R 2 offen und f : U R 3 eine Immersion mit K 0 und ohne Flachpunkte (x U heisst Flachpunkt, falls κ 1 (x) = κ 2 (x) = 0). Dann lässt sich f überall lokal als Regelfläche umparametrisieren. Der Beweis verwendet Lemma A.4. Minimalflächen Eine Immersion f : U R m+1 einer offenen Menge U R m heisst minimal, falls die mittlere Krümmung H von f überall verschwindet. 22

27 5.6 Satz (Erste Variation des Flächeninhalts) Es sei U R m eine offene Menge und f : U R m+1 eine Immersion mit m-dimensionalem Flächeninhalt A(f) <. Ist ϕ Cc (U), so gilt d A(f + sϕν) = m ϕhda. ds s=0 Insbesondere ist f genau dann minimal, wenn (d/ds) s=0 A(f s ) = 0 für alle solchen Variationen f s := f + sϕν von f mit ϕ Cc (U). Eine parametrisierte Fläche f : U R 3 heisst isotherm oder konform, falls (g ij ) = λ 2 (δ ij ) für eine Funktion λ: U R. Eine Funktion z : U R heisst harmonisch, wenn z = z 11 + z 22 = 0 auf U. 5.7 Lemma (Minimalflächen in isothermen Parametern) Die Immersion f : U R 3 sei isotherm, mit (g ij ) = λ 2 (δ ij ). Dann gilt f = 2λ 2 Hν. Somit ist f genau dann minimal, wenn die Koordinatenfunktionen f 1, f 2, f 3 harmonisch sind. Für den nächsten Satz verwenden wir die folgenden Bezeichnungen. Es sei U R 2 offen und f C (U, R 3 ), f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y), f 3 (x, y)). Wir fassen U als Teilmenge von C auf und definieren ϕ = (ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3 ): U C 3 durch ϕ j (x + iy) := f j j (x, y) i f (x, y), x y j = 1, 2, 3. Hier setzen wir nicht voraus, dass f eine Immersion sei. Trotzdem können wir sagen, f sei konform oder minimal (H = 0 in den Punkten, wo f immersiv ist). 5.8 Satz (Komplexifizierung) Es gilt: (1) Die Abbildung f ist genau dann konform, wenn 3 j=1 (ϕj ) 2 = 0 auf U. (2) Ist f konform, so gilt: f ist genau dann eine Immersion, wenn 3 j=1 ϕj 2 > 0 auf U, und f ist genau dann minimal, wenn ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3 holomorph sind. (3) Ist U C eine einfach zusammenhängende offene Menge, und sind holomorphe Funktionen ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3 : U C gegeben mit 3 j=1 (ϕj ) 2 = 0 und 3 j=1 ϕj 2 > 0 auf U, so definiert f = (f 1, f 2, f 3 ): U R 3, x+iy f j (x, y) := Re ϕ j (z) dz, z 0 für z 0 U eine konforme, minimale Immersion. U 23

28 Wie findet man solche ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3? Seien F : U C holomorph, G: U C { } meromorph, F G 2 holomorph. Setze ϕ 1 := 1 2 F (1 G2 ), ϕ 2 := i 2 F (1 + G2 ), ϕ 3 := F G; dann folgt 3 j=1 (ϕj ) 2 = 0, und ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3 sind holomorph. Durch Einsetzen dieser ϕ j in Satz 5.8(3) erhält man die sogenannnte Weierstrass-Darstellung. Jede konforme Minimalfläche f, die keine Ebene ist, lässt sich lokal so darstellen. Flächen mit konstanter mittlerer Krümmung 5.9 Satz (Alexandrov-Hopf) Es sei M R m+1 eine zusammenhängende, kompakte m-dimensionale Untermannigfaltigkeit mit konstanter mittlerer Krümmung H. Dann ist M eine Sphäre mit Radius 1/ H. Der Satz ist falsch für immersierte Flächen im R 3. Es existiert eine immersierte Fläche konstanter mittlerer Krümmung vom Typ des Torus [We1986]. 24

29 6 Globale Flächentheorie Der Satz von Gauss-Bonnet 6.1 Definition (Geodätische Krümmung) Es sei f : U R 3 eine Immersion, γ : I U eine Kurve, und c = f γ sei nach Bogenlänge parametrisiert. Setze ē 1 (s) := c (s) und wähle ē 2 (s) so, dass (ē 1 (s), ē 2 (s)) eine positiv orientierte Orthonormalbasis von df γ(s) (R 2 ) ist (d.h. äquivalent zu (f 1 (γ(s)), f 2 (γ(s)))). Dann heisst D κ g (s) := ē 1(s), ē 2 (s) = ds c (s), ē 2 (s) die geodätische Krümmung von c an der Stelle s. 6.2 Lemma Es seien f und c = f γ wie oben, γ(s) = (x(s), y(s)), f in geodätischen Parallelkoordinaten, d.h. g 12 = g 21 = 0, g 22 = 1. Schreibe γ (s) = cos ϕ(s) g11 (γ(s)) + sin ϕ(s)e 2 für eine stetige Polarwinkelfunktion ϕ: I R (eindeutig bestimmt bis auf Addition eines ganzzahligen Vielfachen von 2π). Dann gilt: e 1 κ g (s) = ϕ (s) g 11 y (γ(s)) x (s). 6.3 Satz (Gauss-Bonnet, lokale Fassung) Es sei M R 3 eine Fläche, D M eine kompakte Menge homöomorph zur Kreisscheibe, berandet von einer stückweise glatten und nach Bogenlänge parametrisierten Kurve c: [0, L] M mit Aussenwinkeln α 1,..., α r [ π, π] in den Eckpunkten von D. Die geodätische Krümmung κ g von c werde bzgl. des zum Innern von D gerichteten Normalenvektors ē 2 gemessen. Dann gilt L r K da + κ g ds + α i = 2π. D 0 Hier sind die Aussenwinkel α i [ π, π] durch α i := π β i definiert, wobei β i den im Intervall [0, 2π] genommenen Innenwinkel bezüglich des Bereichs D bezeichnet. Ist der Rand von D stückweise geodätisch, so gilt offensichtlich β i (0, 2π) und α i ( π, π). 6.4 Korollar (Gauss, Theorema elegantissimum) In einem geodätischen Dreieck D M mit Innenwinkeln β 1, β 2, β 3 (0, 2π) gilt K da = β 1 + β 2 + β 3 π D 25 i=1

30 Es sei jetzt M R 3 eine kompakte (und somit orientierbare) Fläche. Wähle eine Zerlegung M = F D j=1 j, Dj M kompakt und homöomorph zur Kreisscheibe, mit stückweise glattem Rand D j (wie D in 6.3), sodass D j D j für j j entweder leer ist oder aus genau einer Ecke oder genau einer Kante dieser Zerlegung besteht (Polygonzerlegung von M). Die Euler- Charakteristik von M ist die Zahl χ(m) = E K + F, wobei E, K, F die Zahl der Ecken, Kanten und Flächen der Zerlegung bezeichnen. 6.5 Satz (Gauss-Bonnet, globale Fassung) Es sei M R 3 eine kompakte Fläche. Dann gilt K da = 2πχ(M). Der Indexsatz von Poincaré M Wir geben noch eine weitere Interpretation von χ(m) an mittels Indizes von Nullstellen von Vektorfeldern. Zunächst sei ξ : U R 2 ein stetiges Vektorfeld auf einer offenen Menge U R 2. Alle Singularitäten (Nullstellen) von ξ seien isoliert. Der Index I(x) = I ξ (x) von ξ im Punkt x U ist als die eindeutig bestimmte ganze Zahl definiert, für die Folgendes gilt: Ist r > 0 hinreichend klein, sodass {y R 2 : 0 < y x r} in U liegt und keine Singularitäten von ξ enthält, und ist ϕ: [0, 2π] R eine stetige Polarwinkelfunktion für das Vektorfeld t ξ(c(t)) entlang des Kreises c : t x + r(cos t, sin t) mit Zentrum x und Radius r, so gilt ϕ(2π) ϕ(0) = 2πI(x); aus Stetigkeitsgründen hängt I(x) nicht von der Wahl von r > 0 ab. Der Index I(x) stimmt mit dem Abbildungsgrad deg(f ) (s. S. 42 für den Fall von glatten Abbildungen) von F : S 1 S 1, F (u) = ξ(x + ru)/ ξ(x + ru), überein. Diese zweite Definition überträgt sich direkt auf höhere Dimensionen. Ist ξ(x) 0, so gilt I(x) = 0, da ξ in der Nähe von x annähernd konstant ist. Ist ψ : U V ein C 1 -Diffeomorphismus auf eine offene Menge V R 2, und ist η das stetige Vektorfeld auf V mit η(ψ(x)) = dψ x (ξ(x)) für alle x U, so kann man zeigen, dass I η ψ = I ξ gilt. Für eine Fläche M R 3 und ein stetiges Tangentialvektorfeld X : M R 3, dessen Singularitäten alle isoliert seien, definiert man den Index I(p) = I X (p) von X im Punkt p M dann mittels einer lokalen Parametrisierung f : U f(u) M um p durch I X (p) := I ξ (f 1 (p)) für das entsprechende Vektorfeld ξ auf U. 26

31 6.6 Satz (Indexsatz von Poincaré) Es sei M R 3 eine kompakte (C 1 -)Fläche und X ein stetiges Tangentialvektorfeld auf M mit endlich vielen Singularitäten p 1,..., p s. Dann gilt s I(p r ) = χ(m). r=1 Dieser Satz stammt aus [Po1885] (s. Chapitre XIII) und wurde von Hopf auf beliebige Dimensionen verallgemeinert [Ho1927b]. 27

32 7 Der hyperbolische Raum Raumartige Hyperflächen im Lorentz-Raum Wir betrachten den R m+1 zusammen mit der nicht-degenerierten symmetrischen Bilinearform (Lorentz-Skalarprodukt). ( m ) x, y L := x i y i x m+1 y m+1 i=1 R m,1 := (R m+1,, L ) heisst Minkowski- oder Lorentz-Raum. Ein Vektor v heisst raumartig bzw. zeitartig falls v, v > 0 bzw. v, v < 0, und v heisst lichtartig oder Nullvektor falls v, v L = 0, d.h. (v m+1 ) 2 = m i=1 (vi ) 2. Die Menge aller Nullvektoren heisst Nullkegel. Wir sind interessiert an raumartigen Hyperflächen M m R m,1, d.h. v, v L > 0 für alle p M und v T M p \ {0}. Die erste Fundamentalform g p in einem Punkt p M ist die Einschränkung von, L auf T M p. 7.1 Definition (Hyperbolischer Raum) Die raumartige Hyperfläche H m := {p R m,1 : p, p L = 1, p m+1 > 0}, zusammen mit ihrer ersten Fundamentalform g, heisst hyperbolischer Raum. Es sei jetzt M R m,1 eine beliebige raumartige Hyperfläche. Ist U R m offen und f : U f(u) M eine lokale (oder globale) Parametrisierung von M, so ist die erste Fundamentalform von f gegeben durch g ij = f i, f j L. Alle Definitionen und Formeln der inneren Geometrie von M bzw. f aus Abschnitt 3 übertragen sich unverändert auf die jetzt betrachtete Situation (Christoffelsymbole, kovariante Ableitung, Parallelität, Geodätische). Es existiert eine wohldefinierte Gauss-Abbildung N : M H m, sodass v, N(p) L = 0 für alle (p, v) T M. Für f wie oben setzen wir wieder ν := N f. Die Weingarten-Abbildung und zweite Fundamentalform h von M bzw. f sind wie in Abschnitt 4 erklärt. Die Ableitungsgleichungen und Integrabilitätbedingungen erhält man ebenfalls wie in Lemma 4.8 und Satz 4.9, wobei jetzt zwei Vorzeichen wechseln: Die Gauss sche Ableitungsgleichung 4.8(1) lautet neu f ij = m Γ k ijf k h ij ν für i, j = 1,..., m, k=1 28

33 die Gauss-Gleichungen 4.9(1) R s kij = (h s ih kj h s jh ki ) = m g sl( ) h li h kj h lj h ki für s = 1,..., m, wobei R s kij unverändert bleibt. Für feste i, j, k sind diese dann äquivalent zu ( ) m R lkij := g ls R s h kij = (h li h kj h lj h ki ) = det li h lj s=1 für l = 1,..., m. Ist speziell M = H 2 R 2,1, so gilt N(p) = p wie für die äussere Normale von S 2 R 3, also L p = dn p = id T H 2 p und det(l p ) = 1. Für die Gauss- Krümmung von H 2 folgt somit l=1 K = R 1212 det(g ij ) = det(h ij) det(g ij ) = 1. Die Lorentz-Gruppe ist definiert durch h ki O(m, 1) := {A GL(m + 1, R) : Ax, Ay L = x, y L }. Für A O(m, 1) und p H m ist Ap ±H m. Man setzt O(m, 1) + := {A O(m, 1) : A(H m ) = H m }. h kj Für A O(m, 1) + ist dann die Einschränkung A H m : H m Isometrie. H m eine 7.2 Satz (Freie Beweglichkeit) Seien p, q H m, (v 1,..., v m ) eine Orthonormalbasis von T H m p und (w 1,..., w m ) eine Orthonormalbasis von T H m q. Dann existiert ein A O(m, 1) + mit Ap = q und Av i = w i, i = 1,..., m. D.h. H m ist (wie R m und S m ) ein Raum freier Beweglichkeit. Es sei p H m, v T H m p, v, v L = 1. Die nach Bogenlänge parametrisierte Geodätische c: R H m mit c(0) = p und c (0) = v verläuft in der von p und v aufgespannten Ebene und ist gegeben durch c(s) = cosh(s)p + sinh(s)v. Für den Abstand zweier Punkte p, q in H m gilt cosh d(p, q) = p, q L. 29

34 Modelle des hyperbolischen Raumes Im Folgenden bezeichne U := {x R m : x < 1} den offenen Einheitsball in R m. Das (Beltrami-)Klein-Modell (U, ḡ) des hyperbolischen Raumes erhält man via die Zentralprojektion f : U H m 1, f( x) := ( x, 1) 1 x 2 (die Punkte (0, 0) R m R, ( x, 1) und f( x) liegen auf einer Geraden). Zweidimensionale lineare Unterräume von R m+1 schneiden U {1} in einer Sehne, Geodätische in (U, ḡ) werden somit durch Strecken dargestellt. Für den Abstand zweier Punkte x, ȳ in (U, ḡ) gilt und ḡ ist gegeben durch cosh(dḡ( x, ȳ)) = ḡ ij ( x) = f i (x), f j (x) = 1 x, ȳ 1 x 2 1 ȳ 2, 1 1 x 2 δ 1 ij + (1 x 2 ) 2 xi x j. Das Poincaré-Modell (U, g) von H m erhält man auf ähnliche Weise via die stereographische Projektion f : U H m, f(x) := 1 1 x 2 (2x, 1 + x 2 ) (nun liegen e m+1 = (0, 1) R m R, (x, 0) und f(x) auf einer Geraden). Für den Abstand zweier Punkte x, y (U, g) gilt und g ist gegeben durch cosh(d g (x, y)) = 1 + g ij (x) = f i (x), f j (x) L = 2 x y 2 (1 x 2 )(1 y 2 ), 4 (1 x 2 ) 2 δ ij. Insbesondere ist (U, g) also ein konformes und somit winkeltreues Modell. Sind x, x U zwei Punkte mit f(x) = f( x), so stellt sich heraus, dass der Punkt v( x) := ( x, 1 x 2 ) S m R m+1 auf der Geraden durch e m+1 = (0, 1) und (x, 0) liegt. Die Abbildung v bildet Sehnen von U auf Halbkreise in der oberen Halbsphäre von S m ab, die senkrecht auf der Äquatorebene R m {0} stehen, und diese werden durch die stereographische Projektion bezüglich e m+1 somit auf Kreisbogen in U {0} bzw. U abgebildet, die wiederum senkrecht auf dem Rand von U stehen. Vollständige Geodätische in (U, g) werden deshalb durch solche Kreisbogen dargestellt. 30

35 Ein weiteres konformes Modell von H m ist das Halbraum-Modell (U +, g + ), wobei U + := {x R m : x m > 0}. Durch Einschränkung der Inversion an der Sphäre in R m mit Zentrum e m und Radius 2 erhält man einen Diffeomorphismus ψ : U + U, ψ(x) = 2 x + e m 2 (x + e m) e m. Für g + := ψ g, wobei g die Metrik des Poincaré-Modells bezeichnet, gilt dann g + ij (x) = 1 (x m ) 2 δ ij. Die nach Bogenlänge parametrisierte Geodätische γ : R (U +, g + ) mit γ(0) = e m und γ (0) = e i ist gegeben durch γ(s) = 1 cosh(s) e m + tanh(s)e i falls i m bzw. γ(s) = e s e m falls i = m. Im ersten Fall ist die Spur von γ ein Kreisbogen vom euklidischen Radius 1, der senkrecht auf dem Rand von U + steht. In diesem Modell sind insbesondere die Dilatationen x rx für r > 0 Isometrien, somit sind auch die Kurven s rγ(s) nach Bogenlänge parametrisierte Geodätische. Im Fall m = 2 operiert GL(2, R) auf U + C wie folgt: ( a b ) c d operiert als z az + b cz + d bzw. a z + b c z + d falls ad bc > 0 bzw. < 0. Dies sind alle orientierungstreuen bzw. orientierungsumkehrenden Isometrien von (U +, g). Der Kern der Operation ist {λi : λ 0}, die Isometrie-Gruppe von (U +, g) ist somit isomorph zu PGL(2, R) = GL(2, R)/{λI : λ 0} (Aufgabe). Der Satz von Hilbert Wir zeigen noch den folgenden berühmten Satz [Hi1901]. 7.3 Satz (Satz von Hilbert) Es existiert keine isometrische C 3 -Immersion der hyperbolischen Ebene in den R 3. Insbesondere existiert keine C 3 -Untermannigfaltigkeit M R 3 isometrisch zu H 2. Nach einem Resultat von Kuiper [Ku1955] existiert aber für beliebiges m 2 eine isometrische C 1 -Einbettung von H m als abgeschlossene Teilmenge von R m+1! 31