Riemannsche Geometrie

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1 HUMBOLDT-UNIVERSITÄT ZU BERLIN INSTITUT FÜR MATHEMATIK GEOMETRISCHE ANALYSIS UND SPEKTRALTHEORIE Riemannsche Geometrie Creative Commons Namensnennung-Nicht-kommerziell-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Unported Lizenz. Semester SoSe 2012 Dozentin Prof. Dr. S. Schüth Verfasser Alessandro Masacci Berlin, den 15. September 2012 Bei Verbessungsvorschlägen bzw. Korrekturen bitte eine an senden.

2 Inhalt Erinnerung... 2 Kapitel I: Krümmung von Untermannigfaltigkeiten und Flächen in R Gauß-Gleichung und isometrische Immersion Flächen in R Minimalflächen in R Der Satz von Gauß und Bonnet...30 Kapitel II: Krümmung und Topologie Geodätische Variationen und Jacobifelder Zweite Variation von Länge und Energie Der Satz von Bonnet und Myers Der Satz von Hadamard und Cartan...62 Kapitel III: Lie-Gruppen Grundlegende Konzepte Linksinvariante und biinvariante Metriken Quotienten nach diskreten Untergruppen...89 Kapitel IV: Konjugierte Punkte, Schnittort und Injektivitätsradius Konjugierte Punkte Schnittort und Injektivitätsradius Abschätzungen des Injektivitätsradius Der Satz von Synge Kapitel V: Lokale Symmetrie und Mannigfaltigkeiten konstanter Krümmung Lokale Symmetrie Mannigfaltigkeiten konstanter Krümmung Literaturverzeichnis Index

3 Erinnerung 1 Gauß-Gleichung und isometrische Immersion Erinnerung Eine semi-riemannsche Metrik g auf einer Mannigfaltigkeit M assoziiert (auf glatte Weise) zu jedem p M eine symmetrische, nicht entartete Bilinearform g p : T p M T p M R. Schreibe auch X, Y statt g X, Y. Der Levi-Civita-Zusammenhang auf M, g erfüllt: 1) ist ein Zusammenhang ( X Y ist F M -linear in X, R-linear in Y und es ist X fy = X f Y + f X Y). 2) ist torsionsfrei ( X Y Y X = X, Y ). 3) ist metrisch (X Y, Z = X Y, Z + Y, X Z ). und ist dadurch eindeutig bestimmt. Riemannscher Krümmungstensor zu M, g : R X, Y Z X Y Z Y X Z X,Y Z, ist F M -linear in X, Y, Z, also ein Tensorfeld vom Typ 1,3. Sind ς = span X, Y T p M 2-dimensional sowie nicht entartet (genau dann, wenn g p ς ς nicht entartet) und Q X, Y X, X Y, Y X, Y 2, so heißt K ς R X,Y Y,X Q X,Y die Schnittkrümmung von ς, ist wohldefiniert. ric X, Y tr R, X Y Tensorfeld vom Typ 0,2, symmetrisch, Ric X definiert durch ric X, = Ric X, Tensorfeld vom Typ 1,1 heißen Ricci- Tensor. scal tr Ric F M heißt Skalarkrümmung. Ist e 1,, e n T p M eine Orthonormalbasis (genau dann, wenn für alle i j gilt e i, e j = 0 und e i, e i =: ε i ±1 ), so gilt ric p X, Y = ε i R e i, X Y, e i und i scal p = ε i Ric p e i, e i = ε i ric e i,e i i i = ε i ε j R e j, e i e i, e j = 2 K span e i, e j. Ist e 1 = X X, dann ist i,j i<j Ric p X, X = ric p X, X = ε i R e i, X X, e i n i=2 n = X, X K span X, e i i=2. Insbesondere gilt: Ist X ein Eigenvektor zu Ric p, so ist der zugehörige Eigenwert n i=2 K span X, e i. 2

4 Kapitel I: Krümmung von Untermannigfaltigkeiten und Flächen in R3 1 Gauß-Gleichung und isometrische Immersion Kapitel I: Krümmung von Untermannigfaltigkeiten und Flächen in R 3 1 Gauß-Gleichung und isometrische Immersion Notation Im Folgenden seien N, eine semi-riemannsche Mannigfaltigkeit, M N eine Untermannigfaltigkeit, auf der eine semi-riemannsche Metrik g induziert, der Levi-Civita-Zusammenhang von N, und der Levi-Civita-Zusammenhang von M, g. Erinnerung Es gilt Xp Y = Xp Y T, wobei T den Anteil in T p M bezüglich der Zerlegung T p N = T p M T p M bezüglich p für Xp T p M und Y V M bezeichnet. 1.1 Definition (zweite Fundamentalform Für X, Y V M definieren wir II X, Y durch Xp Y = Xp Y + II p X, Y, d. h. II p X, Y = Xp Y T p M T p N. II heißt zweite Fundamentalform. 1.2 Lemma i) II p X, Y hängt von X, Y V M nur via X p, Y p, =: II p X p, Y p ab. ii) II p X, Y = II p Y, X. Also ist II eine glatte Familie von symmetrischen bilinearen Abbildungen T p M T p M T p M. i) Klar für X. Für Y: Sei ν p T p M beliebig. Setze ν fort auf einer offenen Umgebung U von p in Mzu einer glatten Abbildung ν: U TN so, dass für alle q U ν q T q M ist. Dann gilt metrisch II p X, Y, ν p = X Y, ν p = Xp Y, ν 0 Y p, Xp ν. Dies hängt von Y nur via Y p ab. Weil ν p beliebig war, folgt die Behauptung. 3

5 Kapitel I: Krümmung von Untermannigfaltigkeiten und Flächen in R3 1 Gauß-Gleichung und isometrische Immersion ii) II p X, Y II p Y, X = Xp Y Yp X torsionsfrei = 1.3 Satz (Gauß-Gleichung für den Krümmungstensor) X, Y p T p M = 0. Seien R,R die Riemannschen Krümmungstensoren zu N, bzw. (M, g). Dann gilt für alle X, Y, Z, V T p M mit der Notation, für bzw. g R X, Y Z, V = R X, Y Z, V + II Y, Z, II X, V II X, Z, II Y, V. Setze X, Y, Z fort zu X, Y, Z V M X Y Z, V = X Y Z, V + X II Y, Z, V metrisch = V tangential an M X Y Z, V + X II Y, Z, V =0 = X Y Z, V II Y, Z, II X, V. II Y, Z T p M, X V Y X Z, V analog = Y X Z, V + II X, Z,II Y, V. V tangential an M X,Y Z, V = X,Y Z, V. Addieren und Umstellen liefert die Behauptung. 1.4 Satz (Codazzi-Gleichung) In der Situation von Satz 1.3 gilt R X, Y Z = X II Y, Z Y II X, Z, wobei X II Y, Z X II Y, Z II X Y, Z II Y, X Z der kanonische Zusammenhang auf dem Normalenbündel ist (für Fortsetzungen von Y, Z zu Y, Z V M ist die rechte Seite F M -linear in Y und Z, also hängt sie von Y, Z nur via Y p, Z p ab.) 4

6 Kapitel I: Krümmung von Untermannigfaltigkeiten und Flächen in R3 1 Gauß-Gleichung und isometrische Immersion X Y Z = X II Y, Z + X Y Z = X II Y, Z Y X Z = Y II X, Z X,Y Z = II X, Y,Z + II X, Y Z. II Y, X Z. torsionsfrei = II X Y, Z + II Y X, Z. Addieren liefert die Behauptung Notation Im Folgenden gelte zusätzlich dim M = dim N 1, d. h. (M, g) ist eine semi-riemannsche Hyperfläche in (N, ). 1.5 Bemerkung i) Sei p M. Dann gibt es eine offene Umgebung U M von p in M so, dass ein glattes Einheitsnormalenfeld ν auf U existiert, d. h. ν: U TM ist glatt und für alle q U ist ii) ν q T q M und ν q, ν q = ε {±1}. Ist ν q T q M und ν q, ν q, so gilt für alle X T p M: X ν T p M, weil metrisch 1 X ν, ν = 2 X ν, ν konstant 1.6 Definition (Weingarten-Abbildung) = 0 ist. Sei ν ein glattes Orthonormalfeld auf einer offenen Umgebung U M von p. Dann heißt S p ν :T p M 1.5 T p M die zugehörige Weingarten-Abbildung. S ist ein Endomorphismenfeld auf U (d. h. ein Tensorfeld vom Typ (1,1)). S ändert sein Vorzeichen bei Wahl von ν statt ν (wir können nur ν oder ν als Einheitsnormalenfeld wählen). S ist also nur bis auf das Vorzeichen eindeutig definiert. 5

7 Kapitel I: Krümmung von Untermannigfaltigkeiten und Flächen in R3 1 Gauß-Gleichung und isometrische Immersion 1.7 Lemma i) Für alle X, Y T p M ist metrisch II p X, Y, ν p = X Y, ν p = Xp Y, ν =0 Y p, Xp ν = S p X, Y. (In der Rechnung wird Y zu Y V M fortgesetzt). Also ist S eine Familie von symmetrischen Endomorphismen auf U. ii) Ist ε = ν, ν ±1, so gilt wegen i) II p X, Y = ε II p X, Y,ν p ν p = i) ε S p X, Y ν p. Insbesondere gilt für alle X, Y, Z, V T p M II p Y, Z, II p X, V = ε S p Y, Z S p X, V. 1.8 Korollar (Gauß-Gleichung für Hyperflächen) Seien ν, ε, S wie eben. i) Für alle X, Y, Z, V T p M ist R X, Y Z, V = R X, Y Z, V + ε S p Y, Z S p X, V S p X, Z S p Y, V, ist unabhängig von der Wahl von ν. Also gilt ii) R X, Y Z = R X, Y Z T + ε S p Y, Z S p X S p X, Z S p Y. Sind span X, Y =: ς T p M ein 2-dimensionaler nichtentarteter linearer Unterraum und K ς,k ς die zugehörige Schnittkrümmung in N, bzw. M, g, so gilt K ς = K ς + ε S p X, X S p Y, Y S p X, Y 2 Q X, Y iii) mit Q X, Y = X, X Y, Y X, Y 2. Ist N, = R 3,Standard-Metrik, so gilt K p = K T p M = K T p M =0, weil R=0 S p X, X S p Y, Y S p X, Y = det S 1 p. wähle X,Y als Orthonormalbasis von T p M 6

8 Kapitel I: Krümmung von Untermannigfaltigkeiten und Flächen in R3 1 Gauß-Gleichung und isometrische Immersion 1.9 Beispiele (Krümmungstensor von (S n,standard-metrik) und hyperbolischer Raum (H n,g)) i) Sei M, g = S n,standard-metrik R n+1,standard-metrik = N,. Hier ist R = 0 für R n+1,standard-metrik (siehe Analysis und Geometrie auf Mannigfaltigkeiten IV i)). Setze für alle p S n ν p = p. Es ist S p = ν Id p = dν p = did p = Id Tp S n (in Rn+1,Standard-Metrik ist X Y = dy X ) und ε = 1. Also ist R X, Y Z 1.8.i) = Y, Z X X, Z Y = Y, Z X X, Z Y. Insbesondere gilt für alle 2-dimensionalen ς T p H n K ς = 1 (per Definition und Formel für R oder mit Korollar 1.8.ii)). ii) Seien M, g = H n obere Zusammenhangskomponente von p R n +1 b p,p = 1, g R n+1, b Minkowski-Metrik X,Y X 0 Y 0 +X 1 Y 1 + +X n Y n R = 0, ν p = p ein Einheitsnormalenfeld und S p = Id Tp H n (genau wie in i)). Also gilt diesmal wegen ε = 1 : R X, Y Z = Y, Z X + X, Z Y und für alle 2- dimensionalen ς T p H n K ς = Korollar (Codazzi-Gleichung für Hyperflächen), Seien ν, ε, S wie in Definition 1.6, Lemma 1.7 und Korollar 1.8. Dann gilt für alle X, Y, Z T p M: R X, Y Z = ε X S Y Y S X, Z ν p, wobei X S Y X SY S( X Y) ist. (für Y beliebig fortgesetzt zu Y V(M) hängt die rechte Seite von Y nur via Y p ab.) Vergleiche von Tensorfeldern aus einer Übungsaufgabe der Analysis und Geometrie auf Mannigfaltigkeiten. X II Y, Z 1.7.i) = II X Y, Z II Y, X Z X ε SY, Z ν ε S X Y, Z ν ε SY, X Z ν = ε X SY, Z ν + 0 X ν tangential an M ε S X Y,Z ν ε SY, X Z ν = ε X SY,Z + SY, X Z S X Y,Z SY, X Z ν = ε X S Y, Z ν. 7

9 Kapitel I: Krümmung von Untermannigfaltigkeiten und Flächen in R3 1 Gauß-Gleichung und isometrische Immersion Notation Im Folgenden seien M, g, (N, ) zwei beliebige semi-riemannsche Mannigfaltigkeiten (also eventuell M N) Definition (isometrische Immersion) Eine glatte Abbildung f: M, g (N, ) heißt isometrische Immersion genau dann, wenn f eine Immersion ist und für alle X, Y T p M und p M gilt df p X, df p Y f p = X, Y gp Bemerkung i) Die Situation aus Definition 1.1 bis Korollar 1.10 lässt sich als Spezialfall interpretieren. Dort gilt f i: M N, wobei i die Inklusionsabbildung ist. ii) Sei p M. Wir wissen aus der Analysis und Geometrie auf Mannigfaltigkeiten (für Immersionen): Es existiert eine offene Umgebung W M von p so, dass f W N eine Untermannigfaltigkeit und f W : W f(w) ein Diffeomorphismus ist. Hier ist also f: W, g (f W,die von induzierte semi-riemannsche Metrik) eine Isometrie Korollar (Gaußgleichung für isometrische Immersionen) Sei f: M, g (N, ) eine isometrische Immersion. Seien p, W wie in Bemerkung 1.12.ii). Dann folgt aus Satz 1.3 und Korollar 1.8 (mit IV aus der Analysis und Geometrie auf Mannigfaltigkeiten) i) Mit II f X, Y II f p df p X, df p Y T f p f W = df p T p M für X, Y T p M und für alle X, Y, Z, V T p M gilt R X, Y Z, V = R auf f W df p X, df p Y df p Z, df p V = R df p X, df p Y df p Z, df p V + II f Y, Z, II f X, V II f X, Z, II f Y, V. ii) Sind dim M = dim N 1, ν ein lokales Einheitsnormalenfeld zu f W, ε = ν, ν {±1} und S die zu ν gehörende Weingarten-Abbildung. Setze S p f df p 1 S f p df p, so gilt R X, Y Z, V = R df p X, df p Y df p Z, df p V + ε S f Y, Z S f X, V ε S f X, Z S f Y, V. iii) Für nicht entartete ς = span X, Y T p M folgt K ς = K df p ς + ε Sf X,X S f Y,Y S f X,Y 2. Q X,Y Sind dim M = 2 und N, = R 3,Standard-Metrik, so gilt f K p = det S p = det S f p. 8

10 Kapitel I: Krümmung von Untermannigfaltigkeiten und Flächen in R3 1 Gauß-Gleichung und isometrische Immersion 1.14 Korollar (Codazzi-Gleichung für isometrische Immersionen von Hyperflächen) In der Situation von Korollar 1.13.ii) folgt aus Korollar 1.10 (und aus IV.7.11 (Isometrien respektieren Levi-Civita-Zusammenhänge) aus der Analysis und Geometrie auf Mannigfaltigkeiten): Für alle X, Y, Z gilt R df p X, df p Y df p Z = ε X S f Y Y S f X, Z ν f p. Insbesondere gilt: Sind N = R n, eine konstante semi-riemannsche Metrik auf R n (also R = 0), so ist für alle X, Y T p M X S f Y = Y S f X. (Sind f = i und M N eine Untermannigfaltigkeit, so ist für alle X, Y T p M X S Y = Y S X.) zur ersten Aussage Setze X, Y, Z fort zu X, Y, Z V M. Seien X, Y,Z die dazu f-verwandten Vektorfelder auf f W, also ist X f p = df p X p, Y f p = df p Y p und Z f p = df p Z p. IV.7.1 aus der Analysis und Geometrie auf Mannigfaltigkeiten liefert: X Y ist f-verwandt zu X Y, bei uns ist außerdem S f Y ist fverwandt zu SY, also auch X S f Y ist f-verwandt zu X SY S f X Y ist f-verwandt zu S X Y XS f Y ist f-verwandt zu X S Y, daher ist X S Y,Z = X S f Y, Z. Also folgt die Behauptung aus Korollar Notation Im Folgenden seien N, eine semi-riemannsche Mannigfaltigkeit und M N eine Untermannigfaltigkeit Definition (totalgeodätische Untermannigfaltigkeit) M heißt totalgeodätische Untermannigfaltigkeit von N, genau dann, wenn für jede tangential an M startende Geodätische c: I N,, d. h. mit c 0 M und c 0 T c 0 M, gilt: c I M Proposition Wenn die Untermannigfaltigkeit M N die Fixpunktmenge einer Isometrie f: N, N, ist, also wenn M = p N f p = p ist, dann ist M totalgeodätisch. 9

11 Kapitel I: Krümmung von Untermannigfaltigkeiten und Flächen in R3 2 Flächen in R3 Sei c: I N, eine Geodätische mit c 0 M und c 0 T c 0 M. Dann ist f c ebenfalls eine Geodätische (siehe Analysis und Geometrie auf Mannigfaltigkeiten) mit Anfangsvektor df c 0 c 0. Wähle eine Kurve a: ε, ε M mit a 0 = c 0 und a 0 = c 0. Dann ist f a = a, also ist df a 0 a 0 = a 0, d. h. df c 0 c 0 = c 0. Also ist f c = c. Also verläuft c in M Proposition Ist M N, eine totalgeodätische Untermannigfaltigkeit und induziert auf M eine semi- Riemannsche Metrik g, so gilt: i) II = 0 für die zugehörige zweite Fundamentalform. ii) Sind dim M = dim N 1, ν ein lokales Einheitsnormalenfeld und S die zugehörige Weingarten-Abbildung, so ist S = 0. i) Sei X p T p M. Weil II p symmetrisch ist, reicht es zu zeigen: II X p, X p = 0. Sei γ: I M, g die maximale Geodätische mit γ 0 = X p und γ 0 = p. Weil M totalgeodätisch ist, muss γ auch schon eine Geodätische in N, sein, also gilt D dt γ 0. Insbesondere ist 0 = D dt γ 0 = γ 0 X V(M) = Xp X mit X γ t = γ t für kleine t, also ist auch II X p, X p = Xp X = 0. ii) Folgt aus i) und II X, Y = ε SX, Y ν (siehe Lemma 1.7). 2 Flächen in R 3 Notation Im Folgenden sei immer U R 2 offen und f: U R 3 eine (glatte) Immersion. 10

12 Kapitel I: Krümmung von Untermannigfaltigkeiten und Flächen in R3 2 Flächen in R3 2.1 Bemerkung i) Für jedes u 0 U existiert eine offene Umgebung W U von u 0 so, dass f W R 3 eine Untermannigfaltigkeit und f W : W f W ein Diffeomorphismus ist. ii) Beispiel: Sind M R 3 eine Untermannigfaltigkeit und x: V V eine Karte von M, M R 3 so ist f x 1 :V V M R 3 eine Immersion, sogar ein Diffeomorphismus auf das Bild. iii) Auf U R 2 definieren wir eine Riemannsche Metrik g per g u X, Y df u X, df u Y Standardskalarprodukt auf R 3. Damit wird T u R 2 R 2 f: U, g R 3,Standard-Metrik eine isometrische Immersion. 2.2 Definition (erste Fundamentalmatrix zu f, Gauß-Abbildung zu f und zweite Fundamentalmatrix zu f) i) Für u U sei g ij u i,j=1,2 g e i, e j i,j =1,2 = df u e i, df u e j i,j =1,2 = i f u, j f u i,j=1,2 Mat 2,2, R. g ij :U Mat 2,2, R heißt erste Fundamentalmatrix zu f. (Das ist die erste Fundamentalform aus der Analysis und Geometrie auf Mannigfaltigkeiten zu g und zur Karte Id: U U.) ii) N: U R 3 mit N u = 1f u 2 f u heißt Gauß-Abbildung zu f. Es gilt 1 f u 2 f u N u Bild df u und N u = 1. iii) Sei ij u dn ue i, df u e j i,j=1,2 i,j =1,2 = i N u, j f u i,j =1,2. ij : U Mat 2,2, R heißt zweite Fundamentalmatrix zu f. 11

13 Kapitel I: Krümmung von Untermannigfaltigkeiten und Flächen in R3 2 Flächen in R3 2.3 Bemerkung (Beziehungen zu den Begriffen aus Kapitel 1) Sei W U so, dass f W R 3 eine Untermannigfaltigkeit und f W : W f W ein Diffeomorphismus ist. Dann gilt i) ν N f 1 W : f W R 3 ist ein glattes Einheitsnormalenfeld zu f W. ii) Sei p = f u. Dann ist ij u = dn u e i, df u e j = d ν p df u e i, df u e j mit S p wie in I = I,1.7 = wie in i) S p df u e i, df u e j = IIp df u e i df u e j, ν p =N u für die zweite Fundamentalform zu f W. Es ist ij u = = df u S u f e i, df u e j = g S u f e i, e j. Insbesondere ist für alle i, j 1,2 II p df u e i, df u e j = ij u N u. 2.4 Lemma (Aber Vorsicht: e i, e j ist eventuell keine g u -Orthonormalbasis.) i) ij u = ij f u, N u = ji (u), ii) da ij u = i N u, j f u = i N, j f 0 + N u, ij f u ist. Sind f W U ein Diffeomorphismus auf sein Bild, u W, p = f u, ν = N f W 1 und S p die zu ν gehörige Weingarten-Abbildung in p. Dann ist die Matrix von S p bezüglich der Basis 1 f u, 2 f u ist g ij u 1 ij u. Insbesondere ist also K p = 1.8.iii) det S p = det ij det g ij (u). 12

14 Kapitel I: Krümmung von Untermannigfaltigkeiten und Flächen in R3 2 Flächen in R3 zu ii) Sei s ij u i,j =1,2 die gesuchte Matrix. Dann gilt ij u = i) ji u = S p j f u, i f u = 2 s kj u k f u 2, i f u = g ik u s ki f u, k=1 k=1 also ist ij u = g ij u s ij u. 2.5 Definition (Hauptkrümmungen und mittlere Krümmung) Wir haben dieselbe Situation wie oben und es sei M f W. i) Die Eigenwerte κ 1, κ 2 von S p : T p M T p M heißen Hauptkrümmungen von M in p oder Hauptkrümmungen zu f in u. ii) H p 1 tr S 2 p heißt die mittlere Krümmung von M in p oder mittlere Krümmung zu f in u. Es ist H p =: H u = 1 tr g 2 ij u 1 ij u. iii) Schreibe auch K u K p. 2.6 Bemerkung i) Die selben Definitionen wie in 2.5 machen wir auch für Untermannigfaltigkeiten M 2 R 3 nach Wahl eines Einheitsnormalenfeldes um p. Dabei hängt das Vorzeichen von H p, κ 1 und κ 2 von der Wahl von ν ab. ii) Analog für höher dimensionale semi-riemannsche Hyperflächen M n N n+1, : H p 1 n tr S p mittlere Krümmung von M in p Vorzeichen eindeutig definiert.), κ 1,, κ n : Eigenwerte von S p. (Nur bis auf das Hauptkrümmungen von M in p 13

15 Kapitel I: Krümmung von Untermannigfaltigkeiten und Flächen in R3 2 Flächen in R3 2.7 Beispiel (Katenoid) Sei M x, y, z x 2 + y 2 = cosh 2 z. Sei f: R 2 R 3 mit f s, φ = cosh s cos φ, cosh s sin φ, s. Dann ist f eine Immersion (nachrechnen oder folgt unten aus det g ij s, φ 0) und hat Bild f = M (aber f ist nicht injektiv). Berechnung von g ij, N, ij, K, H, κ 1 und κ 2 : g ij : Mit 1 f s, φ = sinh s cos φ sinh s sin φ 1 und 2 f s, φ = cosh s sin φ cosh s cos φ 0 g ij s, φ = sinh2 s cosh 2 s = cosh2 s 0 0 cosh 2. s hat det 0, also ist f eine Immersion N: Mit 1 f s, φ 2 f s, φ = cosh s cos φ cosh s sin φ sinh s cosh s cos φ N s, φ = 1 sin φ cosh s sinh s ij : Benutze ij = ij f, N 12 f s, φ = cosh s cos φ cosh s sin φ sinh s cosh s = det g ij s, φ und manchmal angenehmer auszurechnen oft angenehmer als i N sinh s sinφ sinh s cosφ 0.. Mit 11 f s, φ = und 22 f s, φ = ij s, φ = 1 cosh s 0 cosh s 0 cosh s = K s, φ = det ij det g ij s, φ = 1 cosh 4 s brauche hierfür g ij noch nicht zu invertieren = cosh 2 s ist cosh s cos φ cosh s sin φ 0 cosh s cos φ cosh s sin φ 0 ist, ist ( < 0, 1, = 1 s = 0 ). 14

16 Kapitel I: Krümmung von Untermannigfaltigkeiten und Flächen in R3 2 Flächen in R3 H: Mit g ij u 1 ij u = 1 cosh 2 s cosh s ist H s, φ = 0 (bräuchte noch nicht κ 1, κ 2 auszurechnen). (Flächen mit H = 0 heißen Minimalflächen, siehe etwas später.) κ 1, κ 2 : Notation Die Eigenwerte von g ij 1 ij sind κ 1, κ 2 = ± 1 cosh 2 s. Im Folgenden sei M 2 R 3 eine Untermannigfaltigkeit ( ohne f ). 2.8 Korollar i) Ist p M, so ist K p = det S p = κ 1 κ 2 wohldefiniert, unabhängig von der Wahl von ν, wobei κ 1, κ 2 die Hauptkrümmungen von M in p sind (nach Wahl eines lokalen Einheitsnormalenfeldes ν). ii) Die Hauptkrümmungen κ 1, κ 2 sind max,min von S p X, X X T p M und X = 1. : S p ist ein symmetrischer Endomorphismus von T p M,,, hat also eine Orthonormalbasis X 1, X 2 aus Eigenvektoren. Ist X T p M mit X = 1, so existiert ein φ zu κ 1 zu κ 2 so, dass X = cos φ X 1 + sin φ X 2 ist, dann ist S p X, X = cos 2 φ κ 1 + sin 2 φ κ 2 eine Konvexkombination von κ 1, κ 2. 15

17 Kapitel I: Krümmung von Untermannigfaltigkeiten und Flächen in R3 2 Flächen in R3 Bilder Also ist κ 1, κ 2 < 0 und K p > 0. X 2 dν p X 1, X 1 > 0 S p X 1, X 1 < 0, dν p X 2,X 2 > 0 S p X 2,X 2 < 0. p ist ein elliptischer Punkt. (Bei Wahl von ν statt ν in diesem Bild gilt κ 1, κ 2 > 0 und K p > 0.) ν p X 1 p X 2 dν p X 1, X 1 < 0 dν p X 2,X 2 > 0 κ 1, κ 2 haben verschiedene Vorzeichen und K p < 0. ν X 1 p ist ein hyperbolischer Punkt. p ν X 1 X 2 dν p X 1 = 0 eine Hauptkrümmung ist 0, die andere nicht. dν p X 2, X 2 > 0 p ist ein parabolischer Punkt. p heißt Flachpunkt, wenn κ 1 = κ 2 = 0 ist. 16

18 Kapitel I: Krümmung von Untermannigfaltigkeiten und Flächen in R3 2 Flächen in R3 2.9 Bemerkungen Sei M 2 R 3 eine Untermannigfaltigkeit. i) K p = R X,Y Y,X Q X,Y x ist eine Karte von M X= x 1 p,y= x 2 p R 1221 p = det g ij u (gemäß der ursprünglichen Definition aus der Analysis und Geometrie auf Mannigfaltigkeiten). Die R ijkl waren durch die g ij und ihre 1. und 2. Ableitungen ausdrückbar (siehe Analysis und Geometrie auf Mannigfaltigkeiten). Also hängt κ Kartengebiet von M nur von den Funktionen g ij =, x i x j ab. D. h.: Für Immersionen f: U R 3 hängt K: U R 3 nur von der 1. Fundamentalmatrix g ij = i f, j f : U Mat 2,2, R ab, nicht von weiteren Eigenschaften von f. Das ist dann erstaunlich, wenn man K p = κ 1 κ 2 definiert, denn κ 1,κ 2 hängen von der äußeren Geometrie von M ab (durch ν und dν). beschreibt das Theorema Egregium von Gauß. ii) iii) Weil (S 2,Standard-Metrik) Gauß-Krümmung 1 und (R 2,Standard-Metrik) Gauß- Krümmung 0 hat, gibt es wegen Theorema Egregium (oder allgemeiner weil laut Analysis und Geometrie auf Mannigfaltigkeiten Isometrien die Schnittkrümmung invariant lassen) keine Isometrie (= längenerhaltende Abbildung) eines offenen Stückes von S 2 auf ein offenes Stück von R 2. (für Kartographen!) Im Gegensatz zu K sind H,κ 1 und κ 2 nicht invariant unter Isometrien von Flächen im R 3. 17

19 Kapitel I: Krümmung von Untermannigfaltigkeiten und Flächen in R3 2 Flächen in R3 Beispiel: Sei M x, 0, z x π, π, hat Einheitsnormalenfeld ν e 2. z x Dann ist dν = 0. Also ist für alle p M S p = 0, insbesondere ist H p 0 und κ 1, κ 2 = 0 in jedem p M. f: M Standardzylinder um die z-achse linker Meridian =: M mit f x, 0, z = cos x, sin x, z. f ist eine Isometrie (O.K.). Aber: bezüglich des äußeren Einheitsnormalenfeldes ν auf M hat M in jedem Punkt Hauptkrümmungen 1 und 0 also ist für alle p M H p = x ν 2.10 Beispiel (Helikoid) Sei M = { x, y, z R 3 x, y R cos z, sinz }. Mögliche Parametrisierung sind x, z (x cos z, x sin z, z) oder f: R 2 M mit f s, φ = sinh s cos φ, sinh s sin φ, φ. s φ φ cosh s cos φ Dann ist mit 1 f s, φ = cosh s sinφ und 2 f s, φ = 0 g ij s, φ = cosh2 s 0 0 cosh 2 s = g ij s, φ aus Beispiel 2.7 Katenoid schon, ohne weiter zu rechnen, dass gilt K s, φ = sinh s sin φ sinh s cos φ 1 ist. Nach Theorema Egregium wissen wir jetzt K s, φ Beispiel 2.7 = 1 cosh 4 s. Abbildung: links: Katenoid und rechts: Helikoid. 18

20 Kapitel I: Krümmung von Untermannigfaltigkeiten und Flächen in R3 2 Flächen in R Definition (Krümmungsrichtung, Asymptotenrichtung, Krümmungslinie und Asymptotenlinie) Sei ν ein lokales Einheitsnormalenfeld zu M um p M. i) Ein Vektor X T p M heißt Krümmungsrichtung genau dann, wenn X = 1 und X ein Eigenvektor von S p : T p M T p M. Nach Korollar 2.8.ii) ist dies äquivalent zu: S p X, X ist extremal unter allen S p Y, Y mit Y = 1. ii) Ein Vektor X T p M heißt Asymptotenrichtung genau dann, wenn X = 1 und S p X, X = 0 ist. iii) Eine glatte Kurve c: I M heißt Krümmungslinie genau dann, wenn für alle t 2.12 Bemerkung c t 0 (d. h. c ist regulär) und c t c t eine Krümmungsrichtung für alle t I ist. Eine glatte Kurve c: I M heißt Asymptotenlinie genau dann, wenn für alle t c t 0 (d. h. c ist regulär) und c t c t eine Asymptotenrichtung für alle t I ist. Sei c: I M eine reguläre Kurve. Dann gilt i) c ist eine Krümmungslinie genau dann, wenn für alle t I gilt ν c t c t (denn es gilt ν c t = dν c t c t = S c t c (t)). ii) c ist eine Asymptotenlinie genau dann, wenn für alle t I gilt ν c t c t (denn es gilt ν c t = dν c t c t = S c t c (t)). Wegen ν c, c 0 ist dies äquivalent zu: Für alle t I gilt ν c t c (t). iii) c ist eine Geodätische genau dann, wenn für alle t I gilt ν c t c (t). 19

21 Kapitel I: Krümmung von Untermannigfaltigkeiten und Flächen in R3 2 Flächen in R Bemerkung i) Krümmungsrichtungen gibt es in jedem Punkt von M, und zwar: o Falls κ 1 κ 2 (in p): genau 4, die in 2 zueinander orthogonalen eindimensionalen Unterräumen liegen. o Falls κ 1 = κ 2 : Jede Richtung ist eine Krümmungsrichtung. ii) Asymptotenrichtungen gibt es genau dann, wenn K p 0 ist, und zwar: o Falls K p < 0: genau 4 (so, dass die Krümmungsrichtungen die Winkel zwischen den Asymptotenrichtungen halbieren). o Falls K p = 0: entweder genau 2, wenn z. B. κ 1 = 0 und κ 2 0 ist, oder jede Richtung ist eine Asymptotenrichtung (wenn κ 1 = κ 2 = 0 ist). iii) Für eine Immersion f: U R 3 2 ist jede Parameterlinie t f t, u 0 und t f(u 1 0, t) eine Krümmungslinie genau dann, wenn 1 f(u) und 2 f(u) Eigenvektoren für S f u iv) für alle u U sind genau dann, wenn g ij u 1 ij u für jedes u Diagonalgestalt hat. Beim Katenoid (Bsp. 2.7) war dies der Fall. Beim Helikoid nicht, denn: wären dort die s-linien (Geraden) Krümmungslinien, so wäre eine Hauptkrümmung in jedem Punkt 0, aber es war K < 0. Für Rotationsflächen sind die Meridiane und die Breitenkreise immer Krümmungslinien. Breitenkreise: Meridiane: ν c t ist horizontal (d. h. orthogonal zur Drehachse), ν c t T c t M, also c (t). ν c (t) für alle t, und somit ν c t für alle t, ist tangential an der vertikalen Ebene, in der die Achse und der Meridian liegen, ν c t T c(t) M, also c (t) Definition (Krümmung von c in t) Sei c: I R³ eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve (d. h. für alle t gilt c t = 1). Dann heißt κ c t c t die Krümmung von c in t. (Für Kurven c: I R² kann man auch die (orientierte) ebene Krümmung betrachten, siehe Übungsaufgabe 5.) 20

22 Kapitel I: Krümmung von Untermannigfaltigkeiten und Flächen in R3 2 Flächen in R Korollar Seien p M, X T p M und X = 1. Sei c: I M eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve mit c 0 = p und c 0 = X. Dann gilt κ c 0 = c 0 c 0, ν p = c 0,dν p c 0 = S p X, X = :Normalenkrümmung von c in 0, hängt nur von c (0) und M ab. Es gilt κ c 0 = S p X, X genau dann, wenn c 0 ν p genau dann, wenn D c 0 = 0. dt Mit anderen Worten: Geodätische auf M sind die sparsamst gekrümmten Kurven auf M: sind in jedem Punkt nur so sehr gekrümmt, wie es die jeweilige Richtung und die Gestalt von M erfordern Definition (Normalenebene und Normalschnitt) Seien p M, X T p M und X = 1. i) Die Normalenebene zu M und X ist N X p + span X, ν p. ii) 2.17 Lemma Ein Normalschnitt zu M und X ist eine Kurve c: ε, ε M mit: c 0 = p, c 0 = X und c t N X M für alle t. Es gibt immer einen Normalschnitt zu X. Wähle ein Y T p M mit Y 0 und Y X. Setze φ: M R mit φ q = q p, Y. Dann ist N X M = φ 1 0. Es ist dφ p Y = Y, Y = Y 2 0. Also existiert eine offene Umgebung U von p in M so, dass für alle q U gilt dφ q 0. Der Satz vom regulären Wert liefert: N X U ist eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit von U und X ist tangential daran. Damit folgt die Behauptung Definition (ebene Krümmung von c in t, siehe auch Übungsaufgabe 5) Sei c: I R² eine reguläre Kurve. Dann heißt κ c e det c,c c 3 (t) die ebene Krümmung von c in t (ist laut Übungsaufgabe 5 invariant unter richtungserhaltenden Umparametrisierungen; falls c nach Bogenlänge parametrisiert ist, gilt κ c e = ± c t ). 21

23 Kapitel I: Krümmung von Untermannigfaltigkeiten und Flächen in R3 3 Minimalflächen in R Proposition Seien p M, X T p M, X = 1 und c: ε, ε M N X ein Normalschnitt zu M und X. Sei ν ein lokales Einheitsnormalenfeld zu M um p. Definiere eine Orientierung auf der Ebene N X so, dass X, ν p (in dieser Reihenfolge) eine positiv orientierte Basis von T p N X bilden. Dann ist die ebene Krümmung von c in der so orientierten Ebene N X in t = 0 gleich S p X, X (: κe c 0 = det c 0, c 0 = c 0, D 90 c 0 = c 0,dν c 0 c 0 = S p X, X.) Also sind die =ν p Hauptkrümmungen κ 1, κ 2 max und min der ebenen Krümmungen von in p startenden Normalschnitten c zu M (in der orientierten Ebene N c 0, wo c 0, ν p positiv orientiert ist) Minimalflächen in R 3 Zuerst einige allgemeine Vorbereitungen: 3.1 Definition ( Aφ dλg und Volumen von Riemannschen Mannigfaltigkeiten) Sei M n, g eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, φ F M erfülle φ 0 und sei A M Lebesgue-messbar. i) Existiert eine Karte x: U U von M mit A U, so setzen wir φ dλ g A φ x 1 det g ij dλ n x A (wobei g ij die 1. Fundamentalform zu x und g ist). (Ist supp φ kompakt (d. h. der Träger von φ), so ist in der rechten Seite der Integrand über x A integrierbar: φ x 1 det g ij dλ n x A ii) iii) φ x 1 x A supp φ det g ij dλ n <.) kompakt Zur Wohldefiniertheit: siehe Lemma 3.3. Für allgemeines A wähle man eine Zerlegung A 1, A 2, von A mit: A μ sind Lebesguemessbar, paarweise disjunkt und für alle μ existieren x μ : U μ U μ mit A μ U μ. Dann setzen wir φ dλ g A vol M, g 1 dλ g M μ φ dλ g. A μ heißt das Volumen von M, g. 3.2 Definition (Riemannsche Volumenform) Ist M n, g eine orientierte Riemannsche Mannigfaltigkeit, so ist die zugehörige Riemannsche Volumenform ω g Ω n M gegeben durch: ω g positiv orientierte Orthonormalbasis = 1. 22

24 Kapitel I: Krümmung von Untermannigfaltigkeiten und Flächen in R3 3 Minimalflächen in R3 3.3 Lemma In Definition 3.1.i) wähle man eine Orientierung auf M so, dass x eine positiv orientierte Karte wird. Sei ω g Ω n M die zugehörige Riemannsche Volumenform. Dann gilt: φ ω g A x A φ x 1 det g ij dλ n. Insbesondere ist die rechte Seite wohldefiniert, d. h. unabhängig von der Wahl von x. φ ω g A = φ ω g x 1,, x n x A >0, weil x positiv orientiert ist x 1 dλ n und ω g x 1,, in x n = p : Volumen des von den x i p aufgespannten Parallelepipeds = det g ij p. 3.4 Bemerkung Ist M n R k und g die vom Standardakalarprodukt induzierte Metrik auf M, so stimmen die Definitionen in 3.1 mit denen aus der Analysis 3 überein. Notation Sei jetzt wieder f: U R 2 R 3 eine Immersion. 3.5 Definition (minimale Immersion) i) f heißt minimale Immersion genau dann, wenn für alle u U gilt H u 0 (wobei H die mittlere Krümmung zu f ist). ii) Eine Untermannigfaltigkeit M 2 R 3 heißt minimal genau dann, wenn für alle p M gilt H p = 0. Diese Aussage ist äquivalent zu: f x 1 ist eine minimale Immersion für alle Karten x zu M. 23

25 Kapitel I: Krümmung von Untermannigfaltigkeiten und Flächen in R3 3 Minimalflächen in R3 3.6 Satz Sei φ F U mit supp φ U kompakt. Dann gilt: i) Es existiert ein ε > 0 so, dass f s : U R 3 mit f s u = f u + s φ u N u für = 1f 2f 1f 2f u alle s ε, ε eine Immersion ist. ii) Schreibe wie in Definition 3.1.iii): g df, (Riemannsche Metrik auf U) und für s ε, ε schreibe g s df s,. Sei vol U, g <. Dann gilt d ds s=0 vol U, g s = 2 φh dλ U g. i) Betrachte Φ: U M R mit Φ s, φ = det df s e i, df s e j u. Φ ist glatt und für alle u U i,j =1,2 ist Φ u, 0 0. Weil supp φ kompakt ist, folgt aus dem Tubenlemma: Es existiert ein ε > 0 so, dass für alle u, s supp φ ε, ε gilt Φ u, s 0. Für u supp φ und für alle s R ist Φ u, s = Φ u, 0 0. Also ist für alle u U und s ε, ε ist Φ u, s 0. Dann folgt die Behauptung. ii) also ist d ds s=0 g s e i, e j = d ds s=0 i f + sφ i N + s i φn, j f + sφ j N + s j φn = i f, φ j N + j f, φ i N = 2φ ij, d ds s=0 det g s e i, e j = 1 2 det g ij det g ij tr g ij 1 2 φ ij = det g ij φ 2 H weil H = 1 2 tr g ij 1 ij U Behauptung. 3.7 Proposition Seien f: U R 3 nicht minimal, d. h. es gelte nicht H 0, und vol U, g <. Dann gibt es =df, ein φ wie in Satz 3.6 so, dass d ds s=0 vol U, g s < 0. Insbesondere ist für kleine s > 0: vol U, g s < vol U, g. 24

26 Kapitel I: Krümmung von Untermannigfaltigkeiten und Flächen in R3 3 Minimalflächen in R3 Wähle ein u 0 U so, dass H u 0 0 ist. Wähle eine offene Umgebung W U von u 0 so, dass für alle u W gilt H u 0. Wähle ein ψ F U mit supp ψ kompakt, supp ψ W, ψ 0 und ψ u 0 > 0. Setze φ ψh. Dann für die zugehörigen in f s : d ds s=0 vol U, g 3.6 s = 2 ψh 2 dλ W g < 0. Bemerkung 0,>0 in u 0 Im zur Proposition 3.7 haben wir sogar gezeigt: Wenn u 0 U mit H u 0 0, dann gibt es zu jeder offenen Umgebung W U von u 0 ein φ wie in Satz 3.6 mit supp φ W so, dass vol U, g s < vol U, g für kleine s > 0 (wobei g s df s, und f s die zu φ gehörige Familie von Immersionen). 3.8 Bemerkung Man kann zeigen: Wenn H 0, dann hat jeder Punkt u 0 U eine offene Umgebung W U so, dass für jedes φ 0 mit supp φ < W gilt: d 2 ds 2 s=0 vol U, g s > 0. In diesem Sinn sind Minimalflächen tatsächlich lokal flächeninhaltminimierend! 3.9 Beispiel i) Das Katenoid aus Beispiel 2.7 ist eine Minimalfläche (wir hatten ausgerechnet: H = 0 in jedem Punkt). ii) Das Helikoid aus Beispiel 2.10 ist eine Minimalfläche (nachrechnen, dass H 0 ist). Beachte: Das folgt nicht schon aus i) und der lokalen Isometrie (gleiche g ij ) von Helikoid und Katenoid. Weitere allgemeine Vorbereitungen 3.10 Definition (Gradient zu φ, Divergenz zu φ und Laplace-Operator) Sei M n, g eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. i) Für φ F(M) sei grad g φ V M definiert durch g grad g φ, =! dφ und heißt Gradient zu φ. ii) Für X V M sei div g X F(M) definiert durch div g X p tr( X Tp M) und heißt Divergenz zu φ. iii) Für φ F M sei Δ g φ div g grad g φ F M und Δ g heißt Laplace-Operator zu (M, g) (Vorsicht: Auch Δ g div g grad g ist üblich). 25

27 Kapitel I: Krümmung von Untermannigfaltigkeiten und Flächen in R3 3 Minimalflächen in R Bemerkung Sei M n, g eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Ist {E 1,, E n } ein glattes Feld von g - Orthonormalbasen um p, so gilt: n Δ g φ p = g Ei p grad gφ,e ip i=1 n = E ip g grad g φ, E i g grad g φ p, Ei p E i i=1 n = E ip E i φ E Ei p i (φ). i= Proposition Seien (M 2, g) eine 2-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit, μ: M 0, glatt und g μ 2 g. Dann gilt Δ g = 1 μ 2 Δ g. (: siehe Übungsaufgabe 9.) 3.13 Satz Seien f: U R 2 R 3 eine Immersion und g f, auf U. Dann gilt 2 H N = Δ g f Δ g f 1, Δ g f 2, Δ g f 3 : U R 3. 26

28 Kapitel I: Krümmung von Untermannigfaltigkeiten und Flächen in R3 3 Minimalflächen in R3 Sei u 0 U. Wähle eine g-orthonormalbasis E 1, E 2 von T u0 U. Setze fort zu einem glatten Feld von g-orthonormalbasen E 1, E 2 auf einer offenen Umgebung W U von u 0 per paralleler Fortsetzung längs Geodätischer durch u 0. Sei dabei W so klein, dass f W ein Diffeomorphismus auf sein Bild f W ist. Seien E 1, E 2 die zu E 1, E 2 f-verwandten Vektorfelder auf f(w). Dann gilt mit p f u 0 : de i p E ip T Levi-Civita zu f W = E i p E i = df u0 Levi-Civita zu W,g E i parallel längs γ Ei u 0 E i p E i = 0. Und: mit ν N f 1 W 2 H u 0 N u 0 = tr S p ν p 2 = S p E ip, E ip ν p i= = i=1 2 s. o. = i=1 2 II p E ip, E ip de i p E ip = E ip E i i=1 komponentenweise zu lesen E i p =df u 0 = E iu 0 2 E iu 0 E i f i=1 =df E i =E i f 2 = E iu 0 E i f i= und Wahl der E i = Δ g f u Korollar Ist die Immersion f: U R 2 R 3 konform, d. h. es existiert ein glattes μ: U (0, ) mit i f, j f = μ 2 δ ij (diese Aussage ist äquivalent zu: g f, = μ 2 g 0, wobei g 0 Standard-Metrik auf U R 2 ), und außerdem f harmonisch bezüglich g 0 ist, d. h. Δ g0 f = 0, d. h. 11 f + 22 f = 0, dann ist f eine minimale Immersion. Δ g f 3.12 = 1 μ 2 Δ Voraussetzung 3.13 g 0 f = 0 H 0. 27

29 Kapitel I: Krümmung von Untermannigfaltigkeiten und Flächen in R3 3 Minimalflächen in R Beispiel (Enneper-Fläche) Sei f: R 2 R 3 mit f x, y = x 2 x xy2 2, y 2 + y3 6 x 2 y 2, x 2 2 y2 2. f ist konform: Mit 1 f x, y = 1 x y2 2 xy x und 2 f x, y = xy y2 x y ist 1 f x, y, 2 f x, y = xy + 1 xy xy = 0 und 2 1 f x, y 2 = = x2 + y 2 2 = 2 f x, y 2 (O.K.) μ = x 2 + y 2. f ist harmonisch bezüglich g 0 : 11 f x, y + 22 f x, y = x y 1 + x y 1 = 0 (O.K.) Also ist f eine minimale Immersion nach Korollar

30 Kapitel I: Krümmung von Untermannigfaltigkeiten und Flächen in R3 3 Minimalflächen in R Bemerkung Sei M 2 U 3 eine Untermannigfaltigkeit. i) Sei x eine Karte von M. Ist f x 1 eine konforme Immersion (diese Aussage ist äquivalent zu:, = x i x j λ2 δ ij für eine glatte positive Funktion λ auf dem Kartengebiet), dann sagt man: x 1, x 2 sind lokale isotherme Koordinaten auf dem Kartengebiet. ii) Sei p M. Dann gibt es eine Umgebung von p in M, auf der lokale isotherme Koordinaten existieren, d. h. eine Umgebung, die Bild einer konformen Immersion f = x 1 ist. skizze zu ii): Sei zunächst x: V V irgendeine Karte von M um p. Seien f x 1 : U V M R 3 und g f,. Für jedes glatte φ: U R gilt mit g e 2 φ g: K = e 2 φ K Δ g φ (: nachrechnen, siehe Zettel). Gauß-Krümmung zu g Blackbox: Δ g ist ein sogenannter elliptischer Differentialoperator auf U. Die Theorie solcher Operatoren liefert: Es gibt eine Umgebung W U von u 0 so, dass die partielle Differentialgleichung Δ g φ =! K eine Lösung φ F W besitzt. Wähle ein solches φ. Dann gilt also K = 0 für die zugehörige Metrik g e 2 φ g. Wir werden später zeigen, dass deswegen W, g lokal isometrisch zu (R 2,Standard-Metrik g 0 ) ist. Nach eventueller Verkleinerung von W sei F: Ω, g 0 W, g eine Isometrie. Dann ist f F: Ω M R 2 eine konforme R 2 u 0 Abbildung, die ein Diffeomorphismus auf eine Umgebung von p in M ist (denn: i f F, j f F = df dfe i, df dfe j = g dfe i, dfe j = e 2 φ F g dfe i, dfe j = e 2 φ F δ ij g 0 e i,e j iii) ). Also ist f F 1 eine Kart emit der gewünschten Eigenschaft. Insbesondere gilt wegen ii) und Satz 3.13: Ist M 2 R 3 eine Minimalfläche, so hat jedes p M eine Umgebung, die ein diffeomorphes Bild einer harmonischen konformen Immersion f: U R 3 ist (wie in Korollar 3.14) (harmonisch: bezüglich g df,, wegen Proposition 3.12 dann auch bezüglich g 0 ). Solche f lassen sich gut anhand der holomorphen Abbildungen 1 f i 2 f: U C 3 diskutieren. ( 11 f = 22 f (O.K.), 12 f = 21 f (O.K.).) Mehr dazu hier nicht! 29

31 Kapitel I: Krümmung von Untermannigfaltigkeiten und Flächen in R3 4 Der Satz von Gauß und Bonnet 4 Der Satz von Gauß und Bonnet Notation Im Folgenden sei M 2, g eine 2-dimensionale orientierte Riemannsche Mannigfaltigkeit und eventuell M R Definition (geodätische Krümmung, Außenwinkel und Polygon) Sei c: I M eine stückweise glatte Kurve, nach Bogenlänge parametrisiert (d. h. c t 1). i) Ist c in t 0 I glatt, so heißt κ g t 0 D dt c t 0, D 90 c t 0 in dem 2-dimensionalen orientierten euklidischen Vektorraum T c t 0 M,g c t 0 ii) iii) die geodätische Krümmung von c in t 0. (Beachte: Ist M = R 2 mit Standard-Metrik und Standard-Orientierung, so ist κ g = κ e e c, wobei κ c die ebene Krümmung aus Definition 2.18 ist.) Ist c in t 0 I nicht glatt, so heißt der gerichtete Winkel π, π von c t 0 nach + c t 0 der Außenwinkel zu c in t 0. Ein Polygon in M ist eine Teilmenge A M, für die gilt: A ist homöomorph zu B 2, A ist Bild einer einfach geschlossenen, stückweise glatten regulären Kurve, mit allen Außenwinkeln in π, π (keine Spitzen ). 4.2 Satz von Gauß und Bonnet (lokale Version) Sei A M ein Polygon, das in einem Kartengebiet von M enthalten ist. Sei A = Bild c, wobei c: 0, L M eine stückweise glatte, einfach geschlossene, nach der Bogenlänge parametrisierte und positiv durchlaufene Kurve, dabei liege A links von c, d. h. D 90 c t zeige stets in das Innere von A. Seien α 1,, α k die Außenwinkel von c. Dann gilt: K dλ g A L + κ g t dt 0 t als i t κ g t dt zu lesen i 1 k + α i = 2π. i=1 30

32 Kapitel I: Krümmung von Untermannigfaltigkeiten und Flächen in R3 4 Der Satz von Gauß und Bonnet Vorbereitungen 4.3 Lemma Seien c: a, b M eine glatte, nach der Bogenlänge parametrisierte Kurve und X ein Vektorfeld t längs c mit X t 1. Setze β t = D X s, ds D90 X s g ds und P t D β t X t. Dann ist a P ein paralleles Vektorfeld längs c. Insbesondere gilt: D X s ds,d90 X s ds ist die Gesamtdrehung längs c von X gegenüber einem längs c parallelen a Vektorfeld. D dt P t = D dt cos β t X t sin β t D90 X t = sinβ t D dt X t, D90 X t X t + cos β t D dt X t sinβ t D dt D90 X t cos β t D dt X t, D90 X t D 90 X t = D dt X t, weil D dt X t D90 X t = sinβ t X t, D dt D90 X t X t D dt D90 X t + 0 b = 0, da D dt D90 X t X t. 4.4 Korollar Aus Lemma 4.3 folgt, mit X c : Unter den Voraussetzungen von Satz 4.2: 4.5 Lemma L κ g t dt 0 k + α i = i=1 Gesamtdrehung längs c von c gegenüber. einem längs c parallelem Vektorfeld Sei U M. Es gebe auf U ein Vektorfeld X mit X 1. (Z. B.: Ist U ein Kartengebiet, so setze x 1 man X.) Definiere μ X Ω 1 U durch μ X V V X, D 90 X. Dann gilt: x 1 dμ X = K auf U, ist unabhängig von X. ω g Riemannsche Volumenform 31

33 Kapitel I: Krümmung von Untermannigfaltigkeiten und Flächen in R3 4 Der Satz von Gauß und Bonnet Schreibe Y D 90 X, dann ist X p, Y p eine positiv orientierte g-orthonormalbasen in jedem p U. Für alle V, Z V U ist dμ X V, Z = V μ X Z Z X,Y Z μ X V V X,Y = V Z X, Y + Z X, V Y X Y μ X V, Z = R V, Z X, Y = V, X Z, Y V, Y Z, X R X, Y X, Y = ω g V, Z K. Z V X, Y V Y, Z X V,Z X, Y 4.6 Korollar Sei A U M, wobei U offen und A ein Polygon ist. Es gebe ein X V U mit X 1. Wegen Lemma 4.5, Satz von Stokes und Lemma 4.3 gilt: K dλ g A = μ X A Gesamtdrehung längs A von X gegenüber =. einem längs A parallelem Vektorfeld Insbesondere gilt: Sind Y, Y V U zwei Vektorfelder ohne Nullstellen, so haben Y, Y die gleiche Gesamtdrehung gegenüber einem längs A parallelem Vektorfeld. Also gilt auch: Die Gesamtdrehung von Y gegenüber Y längs A ist 0. vom Satz von Gauß und Bonnet 4.2 Wähle eine Karte x: U U von M mit A U, setze X V U hat X 1. Wegen Korollar 4.6 und Korollar 4.4: Die linke Seite der behaupteten Formel 1 ist x 1 x Gesamtdrehung von X gegenüber Gesamtdrehung von c gegenüber + einem längs c parallelem Vektorfeld einem längs c parallelem Vektorfeld = Gesamtdrehung von c gegenüber X längs c. Zu zeigen: Dies ist 2π: Betrachte auf U die Familie g s ( s 0,1 ) von Riemannschen Metriken mit g 0 euklidische Metrik auf U, zurückgezogen von U R 2 mittels x (so, dass, eine x 1 x 2 Orthonormalbasis ist, darum ist U, g 0 isometrisch zu U,Standardnorm und g s 1 s g 0 + s g, also g 1 = g. Setze β s Gesamtdrehung von c gegenüber X längs c bezüglich g s. Dann ist für alle s: β s 2πZ (weil c 0 = c t ), also ist β s const.. Aber es gilt β 0 = 2π. Das ist der klassische Umlaufsatz von Hopf, siehe z. B. M. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces S Also ist auch β 1 = 2π. Dies liefert die Behauptung. 32

34 Kapitel I: Krümmung von Untermannigfaltigkeiten und Flächen in R3 4 Der Satz von Gauß und Bonnet 4.7 Definition (reguläres Gebiet, Dreieck, Triangulierung und Eulercharakteristik) i) A M heißt reguläres Gebiet genau dann, wenn A kompakt, A = A, A Vereinigung der Bilder von endlich vielen paarweise disjunkten, einfach geschlossenen, stückweise glatten und regulären Kurven mit Außenwinkeln π, π. ii) Ein Dreieck ist ein Polygon mit genau drei Ecken. iii) Eine Familie T i i = 1,, f von Dreiecken in M heißt Triangulierung des regulären Gebietes A genau dann, wenn f i=1 T i = A und für i j gilt:, T i T j = oder eine gemeinsame Ecke,. oder eine gemeinsame Kante iv) Ist T = T i i = 1,, f eine Triangulierung von A, so heißt χ T #Ecken #Kanten + #Flächen =: e k + f die Eulercharakteristik von T. In der Topologie lernt man: χ T =: χ A ist unabhängig von der Wahl von T. 4.8 Bemerkung Sei A M ein reguläres Gebiet. Dann existiert eine Triangulierung von A, sogar: Zu jedem Atlas von M existiert eine diesem untergeordnete Triangulierung von A, d. h. so, dass jedes Dreieck der Triangulierung in einem Kartengebiet des Atlas liegt. (Hier ohne : siehe zum Beispiel C. Bär, Elementare Differential-Geometrie.) 4.9 Satz von Gauß und Bonnet (globale Version) Sei A M ein reguläres Gebiet. Die Komponenten von A seien nach der Bogenlänge parametrisiert und positiv durchlaufen. Seien α 1,, α l die Außenwinkel. Dann gilt: K dλ g A + κ g t dt + α i = 2π χ A. A zu lesen als l i=1 33

35 Kapitel I: Krümmung von Untermannigfaltigkeiten und Flächen in R3 4 Der Satz von Gauß und Bonnet Wähle einen Atlas für M und eine diesem untergeordnete Triangulierung T = {T i i = 1,, f} von A. Der Rand jedes T i werde positiv durchlaufen und nach der Bogenlänge parametrisiert. Der lokale Satz von Gauß und Bonnet 4.2 liefert: Für jedes i mit β ij, j = 1,2,3 Außenwinkel von T i : K dλ T g + κ g t dt + β i T ij i j =1 3 = 2π. Summieren über i liefert: K dλ g A + κ g t dt T i A κ g t dt f 3 + β ij i=1 j =1 = 2πf. Erklärung zum mittleren Term: Beiträge längs innerer Kanten heben sich auf, da jede solche Kante einmal in der einen und einmal in der anderen Richtung durchlaufen wird. Und: i,j β ij = π γ ij i,j Innenwinkel von T i = 2πf γ ij i,j = 2π # innere Kanten + π # äußere Kanten γ ij i,j l = 2πk π # äußere Kanten 2π # innere Ecken + π # äußere Ecken = 2πk 2πe + α i. =# äußere Ecken i=1 l i=1 α i Daraus folgt mit die Behauptung Korollar (Fall A=M kompakt) Sei (M, g) eine kompakte, orientierte und 2-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann gilt: K dλ g M = 2π χ M. 34

36 Kapitel I: Krümmung von Untermannigfaltigkeiten und Flächen in R3 4 Der Satz von Gauß und Bonnet 4.11 Bemerkung Aus der Topologie folgt für eine 2-dimensionale, orientierte und kompakte Mannigfaltigkeit M, dass M eine orientierte Fläche vom Geschlecht g mit g N 0 ist. Für g = 0 ist M diffeomorph S 2, für g = 1 ist M T 2, für g = 2 ist M Torus mit 2 Löchern, etc.. Ist M eine orientierte Mannigfaltigkeit vom Geschlecht g, so ist χ M = 2 2 g. 35

37 Kapitel I: Krümmung von Untermannigfaltigkeiten und Flächen in R3 4 Der Satz von Gauß und Bonnet Korollar Sei (M, g) eine kompakte und orientierte Riemannsche Mannigfaltigkeit. i) Ist M S 2, so ist K dλ g M Ist M T 2, so ist K dλ g M = 4π. = 0. Ist M vom Geschlecht g 2, so ist K dλ g M = 2π 2 2 g < 0. Insbesondere gilt: Ist K > 0 auf M, so ist M S 2. Ist K = 0 auf M, so ist M T 2. Ist K < 0 auf M, so ist M vom Geschlecht g 2. Insbesondere gilt: ii) Ist M S 2 und existiert eine isometrische Immersion von (M, g) nach R 3,Standard-Metrik, so existieren p, q M (nach Übungsaufgabe 1 und q: zum Ausgleich wegen K dλ M g 0) mit K p > 0 und K q < 0. Es gelte K > 0 auf M. Dann schneiden sich je 2 einfach glatt geschlossene Geodätische in M. Es ist M S 2 nach i). Angenommen: A Geodätische 0 < K dλ g A Satz von Gauß und Bonnet = 2π χ A = Korollar Es sind e = 4, k = 8, f = 4. Also ist χ = 0. Sei M, g eine 2-dimensionale orientierte Riemannsche Mannigfaltigkeit (eventuell nicht kompakt). Es gelte K 0 auf M. Dann existieren keine geodätischen Zweiecke in M, d. h. Polygon mit 2 Ecken und geodätischen Randstücken. ( siehe Übungsaufgabe 10.) 36

38 Kapitel I: Krümmung von Untermannigfaltigkeiten und Flächen in R3 4 Der Satz von Gauß und Bonnet Notation Im Folgenden sei M, g eine 2-dimensionale und orientierte Riemannsche Mannigfaltigkeit Korollar Die Aussagen von Korollar 4.6 gelten auch für ein reguläres Gebiet A anstatt eines Polygons A. D. h.: Sind X V U, U eine offene Umgebung von A und X 1, so ist K dλ g A Gesamtdrehung von X längs A positiv durchlaufen =. gegenüber einem längs A parallelem Vektorfeld Insbesondere gilt: Sind Y, Y V U ohne Nullstellen, so ist die Gesamtdrehung von Y längs A (positiv durchlaufen) gegenüber Y gleich 0. Trianguliere A, wende Korollar 4.6 an auf die Dreiecke der Triangulierung und summiere: Die Gesamtdrehungen von X gegenüber einem längs inneren Kanten parallelem Vektorfeld heben sich auf. Daraus folgt die Behauptung Definition (Index von Vektorfeldern) Sei Y V M mit lauter isolierten Nullstellen, d. h.: Für alle p M gilt: Ist Y p = 0, so existiert eine Umgebung W p von p so, dass für alle q W p p gilt Y q 0. Sei p eine solche Nullstelle von Y. Wähle eine Karte x: U U von M um p so, dass Y auf U p keine Nullstelle hat. Setze X x 1. Wähle ein Polygon A U mit p A. Dann heißt Ind p Y 1 Gesamtdrehung von Y längs A positiv durchlaufen 2π gegenüber X der Index von Y in p. (Wohldefiniertheit: siehe Lemma 4.16.) Beispiele 4.16 Lemma Index = 1 Index = 1 Index = 2 Index = 1 In Definition 4.15 ist Ind p Y wohldefiniert. 37

39 Kapitel I: Krümmung von Untermannigfaltigkeiten und Flächen in R3 4 Der Satz von Gauß und Bonnet Ind p Y ist unabhängig von der Wahl von A: Sei A noch so ein Polygon. Wähle ein Polygon B mit p B und B A A. Wende Korollar 4.14 an auf das reguläre Gebiet A B und X, Y. (Es gibt ja eine offene Umgebung V U von A B, auf der auch Y keine Nullstelle hat.) U A B p A Also hat Y eine Gesamtdrehung 0 gegenüber X längs A B. Dies liefert: Gesamtdrehung von Y gegenüber X längs A =Gesamtdrehung von Y gegenüber X längs B. Analog für A. Daraus folgt die Behauptung. Ind p Y ist unabhängig von der Wahl der Karte: 4.17 Satz Sei x noch so eine Karte und X 1. Wähle ein Polygon A im Schnitt der Kartengebiete x mit p A. Wende Korollar 4.14 an auf A und X, X. Also hat X eine Gesamtdrehung 0 gegenüber X längs A. Dies liefert: Y hat gegenüber X dieselbe Gesamtdrehung längs A wie gegenüber X. Seien M kompakt und Y V M mit lauter isolierten Nullstellen. Seien p 1,, p k die Nullstellen von Y. Dann gilt k i=1 Ind pi Y = χ M. (Insbesondere gilt wieder der Satz vom Igel: Y V S 2 hat mindestens eine Nullstellen.) 38

40 Kapitel I: Krümmung von Untermannigfaltigkeiten und Flächen in R3 4 Der Satz von Gauß und Bonnet Wähle paarweise disjunkte Kartengebiete U 1,, U k um p 1,, p k. Setze X i x i 1 auf U i. Zu jedem i wähle man ein Polygon A i U i mit p i A i. Dann ist A M A 1 A k ein reguläres Gebiet und es existiert eine offene Umgebung V von A so, dass Y auf V keine Nullstellen hat. Also gilt: Also gilt: 2π k i=1 Ind pi Y = = k i=1 k i=1 k i=1 Gesamtdrehung von Y gegenüber X i längs A i positiv durchlaufen bzgl. A i Gesamtdrehung von Y gegenüber einem parallelen Vektorfeld längs A i Gesamtdrehung von X i gegenüber. einem parallelen Vektorfeld längs A i Gesamtdrehung von Y gegenüber einem parallelen = Vektorfeld längs A i positiv durchlaufen bzgl. A. 2π k i=1 Ind pi Y = K dλ g A k + K dλ g i=1 A i = K dλ g M = 2π χ M Definition (Geradenfeld) Ein Geradenfeld l auf einer offenen Menge U M ordnet jedem p U einen 1-dimensionalen linearen Unterraum l p T p M zu so, dass zu jedem p U eine Umgebung W U von p existiert, auf der ein Y V W mit l q = span Y q existiert. Beispiel U = R 2 0. Hier existiert kein solches Y auf ganz U. 39

41 Kapitel I: Krümmung von Untermannigfaltigkeiten und Flächen in R3 4 Der Satz von Gauß und Bonnet 4.19 Bemerkung Sei l ein Geradenfeld auf U M. i) Definiere μ l Ω 1 U wie folgt: Lokal auf solchen W wie in Definition 4.18 setze man μ l μ Y Y, D 90 Y, wobei Y auf W wie in Definition 4.18 und Y 1. (μ l ist wohldefiniert wegen μ Y = μ Y.) Wie in Lemma 4.5 folgt: ii) dμ l = K ω g. Seien c: a, b U eine stückweise glatte Kurve und X ein nirgends verschwindendes Vektorfeld längs c. Definiere Gesamtdrehung von l gegenüber X längs c Gesamtdrehung von Y gegenüber X längs c, iii) iv) wobei Y ein Vektorfeld längs c sei so, dass für alle t giltl c t = span Y t. (Y existiert und die Gesamtdrehung von l gegenüber X längs c ist wohldefiniert.) Sei A U ein reguläres Gebiet. Aus i), dem Satz von Stokes und Lemma 4.3 folgt, genau wie im zu Korollar 4.6/Korollar 4.14: Gesamtdrehung von l gegenüber einem parallelen K dλ g = Vektorfeld längs A positiv durchlaufen bzgl. A. A Sei p ein isolierter Punkt von M U. Wähle x, A zu p wie in Definition 4.15, X und definiere x 1 Ind p l 1 Gesamtdrehung von l längs A positiv durchlaufen 2π gegenüber X Z 2 (Wohldefiniertheit: analog zum von Lemma 4.16) Satz (Verallgemeinerung von Satz 4.17) Seien M kompakt und l ein Geradenfeld auf M p 1,, p k. Dann gilt k i=1 Ind pi l = χ M. Analog zu Satz 4.17 mittels Bemerkung 4.19.iii). 40