Mathias Hinkel, WS 2010/11

Transkript

1 Mathias Hinkel, WS 2010/11

2 1. Motivation und Einführungsbeispiel 2. Mathematische Beschreibung des Ofenprozesses 3. Lösungsansätze für Differentialgleichung 4. Einführung der Laplace-Transformation 5. Anwendung auf Beispiel 6. Bedeutung und Zusammenfassung Hinkel 2

3 Hinkel 3

4 Bäckerei: Backen von Broten und Brötchen Bestimmte Backtemperatur muss in vorgegebener Zeit erreicht werden, Schwankungen sind zu vermeiden Kontinuierlicher Prozess Lösung: Regelung der Backofentemperatur Hinkel 4

5 t Umgebung t Ofen w Heizung Hinkel 5

6 M c K w Heizung t Ofen t Umgebung Masse vom Backofen mit Inhalt Wärmekapazität der Backofenmasse Wärmeleitwert aufgrund der Isolation Leistung der Heizstäbe Temperatur im Ofen Umgebungstemperatur d dt t Ofen 1 ( t) w ( ) Heizung t K tofen ( t) tumgebung( t) cm Hinkel 6

7 1. Berechnung der Differentialgleichung im Zeitbereich 2. Simulation durch Matlab/Simulink 3. Laplace-Ansatz d dt t Ofen 1 ( t) w ( ) Heizung t K tofen ( t) tumgebung( t) cm Hinkel 7

8 Berechnung der homogenen Lösung Berechnung der inhomogenen Lösung Anfangswertbedingungen einsetzen Hier zwei Eingänge, ein Ausgang (MISO (Multiple Input, Single Output)-System) für kompliziertere Systeme zu aufwendig (Differentialgleichung 2. oder höherer Ordnung) Hinkel 8

9 Implementierung des mathematischen Modells in Simulink Matlab/Simulink 1/s K Modell Blockschaltbild Simulationsergebnisse Hinkel 9

10 Hinkel 10

11 Heizleistung in Watt Umgebungstemperatur in C Ofeninnentemperatur in C Hinkel 11

12 Eigentlich war exakte Lösung gesucht Langes Herumprobieren und erneutes Simulieren bei Parameterfindung vermeiden Lösung: Laplace-Transformation Hinkel 12

13 Pierre Simon Marquis de Laplace ( ) Oliver Heaviside ( ) Laplace: Betrachtungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung, Laplace-Integral Heaviside: Operatorenrechnung zur Lösung von Differentialgleichungen Doetsch: mathematische Begründung der Operatorenrechnung durch Laplace-Transformation F( s) 0 f Gustav Doetsch ( ) ( t) e st dt Hinkel 13

14 Problem im Zeitbereich Lösung der Differentialgleichung(en) Lösung im Zeitbereich F( s) 0 f ( t) e st dt Laplace- Transformation Laplace-Rück- Transformation Problem im Bildbereich Umstellen der Gleichung(en) Lösung im Bildbereich Hinkel 14

15 Look-Up-Tabellen nutzen statt Laplace- Integral lösen! d dt t 0 f(t) sf(s) f(τ) dτ Zeitbereich Bildbereich 1 s f 1 F(s) s (0) Einheitssprung ( Einschalten ) Ableitung Multiplikation mit s Integrieren Division durch s (1 e at ) a s ( s a) Tool-Unterstützung vorhanden (z.b. MuPAD) Hinkel 15

16 d dt t Ofen 1 K K ( t) wheizung( t) tofen ( t) tumgebung( t) cm cm cm st Ofen Transformation, Anwendung Korrespondenzen und Ableitungsregel 1 K K ( s) tofen (0) WHeizung( s) TOfen ( s) TUmgebung ( s) cm cm cm Hinkel 16

17 0 Annahme: Ofen wird bei eingeschalten Umgebungstemperatur = 20 C = const. Heizleistung: 2000W = const. t t Ofen (t) K w t Const 1 cm e t Const 1 K e K cm t t Const e K cm t t Ofen (t) e K cm t 20C Hinkel 17

18 Verhalten nach unendlicher Zeit berechnen Stabilität des Regelkreises sicherstellen Zielgerichtete Reglerparametrierung durchführen Anwendungen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung Hinkel 18

19 Laplace-Transformation als hilfreiches mathematisches Werkzeug, vor allem in der Regelungstechnik Vereinfacht Berechnung von Differentialgleichungen: Algebraisches Umstellen, Multiplizieren/Dividieren statt Integrieren Einfache Anwendung durch Tools sowie Korrespondenztabellen Hinkel 19

20 L. Litz: Grundlagen der Automatisierungstechnik (Einführungsbeispiel), 2005, Oldenbourg Verlag H. Weber, H. Ulrich: Laplace-Transformation (Korrespondenzen, Geschichtlicher Hintergrund), 2008, Teubner-Verlag R. Hoffmann: Systemtheorie I/II (Handschriftliches Skript) Bilder: (D.Poschmann (Backofen I), Manni66 (Backofen II)) (Sophie Feytaud (Laplace-Portrait, 1842), Unbekannter Fotograph (Heaviside-Portrait), Friedrich Hund (Doetsch-Portrait, 1930)) Hinkel 20