Partielle Differentialgleichungen

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1 Partielle Differentialgleichungen Eine Einführung Wintersemester 2005/06 Jens Struckmeier Fachbereich Mathematik Universität Hamburg Bunesstr Hamburg

2 Inhaltsverzeichnis Kapitel 1. Einleitung 1 1. Partielle Differentialgleichungen 1 2. Mathematische Moellierung mit partiellen Differentialgleichungen 2 3. Grunlegene Problemstellungen 9 Kapitel 2. Funamentale lineare partielle Differentialgleichungen Die Transportgleichung Die Laplacegleichung Die Wärmeleitungsgleichung Die Wellengleichung 40 Kapitel 3. Partielle Differentialgleichungen erster Ornung Die Methoe er Charakteristiken Nichtlineare skalare Erhaltungsgleichungen Systeme von partiellen Differentialgleichungen erster Ornung Analytische Lösung einfacher quasilinearer Systeme 81 1

3 KAPITEL 1 Einleitung 1. Partielle Differentialgleichungen Eine partielle Differentialgleichung (englisch: partial ifferential equation, oer auch kurz PDE) ist eine Gleichung, in er als Variablen eine unbekannte Funktion in mehreren Veränerlichen sowie eren Ableitungen auftreten. Im Gegensatz zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung, ie eine Funktion einer Veränerlichen beschreibt, tauchen also bei einer partiellen Differentialgleichung partielle Ableitungen auf. Formal efinieren wir eine partielle Differentialgleichung folgenermaßen: sei k 1 un U eine offene Teilmenge es R n. Definition 1.1. Ein Ausruck er Form (1.1) F (D k u(x), D k 1 u(x),..., Du(x), u(x), x) = 0 heißt partielle Differentialgleichung k ter Ornung, wobei eine gegebene Funktion un ie Unbekannte ist. F : R nk R nk 1 R n R U R u : U R Wir suchen nun eine Lösung er Gleichung (1.1) in einer Klasse von Funktionen, ie zusätzlich gewisse Ranbeingungen auf Teilen Γ es Ranes δu erfüllen. Neben er allgemeinen Definition von oben betrachtet man spezielle Klassen von partiellen Differentialgleichungen. Definition ) Die partielle Differentialgleichung (1.1) nennt man linear, wenn sie von er Form a α (x)d α u = f(x) α k ist, wobei a α ( α k) un f. Sie ist homogen, falls f = 0. 2) Die partielle Differentialgleichung (1.1) nennt man semilinear, wenn sie von er Form a α (x)d α u + a 0 (D k 1 u,..., Du, u, x) = f(x) ist. α =k 1

4 2 1. EINLEITUNG 3) Die partielle Differentialgleichung (1.1) nennt man quasilinear, wenn sie von er Form a α (D k 1 u,..., Du, u, x)d α u + a 0 (D k 1 u,..., Du, u, x) = f(x) α =k ist. 4) Die partiellen Differentialgleichung ist nichtlinear, wenn sie nichtlinear von en höchsten Ableitungen abhängt. Ein System von partiellen Differentialgleichungen ist entsprechen efiniert. Definition 1.3. Ein Ausruck er Form (1.2) F(D k u(x), D k 1 u(x),..., Du(x), u(x), x) = 0 (x U) heißt System von partiellen Differentialgleichung k ter Ornung, wobei eine gegebene Funktion un ie Unbekannte ist. F : R mnk R mnk 1 R mn R m U R m u : U R m, u = (u 1,..., u m ) 2. Mathematische Moellierung mit partiellen Differentialgleichungen Es existiert keine allgemeine Theorie zur Lösung von partiellen Differentialgleichung. Dafür sin partielle Differentialgleichungen für sich genommen zu reichhaltig. Sie bilen ie Basis er Mathematischen Moellierung etwa bei er Beschreibung physikalischer Phänomene oer bei naturwissenschaftlich technischen Anwenungen Stattessen untersucht man spezielle Gleichungen, ie bei Anwenungen innerhalb un ausserhalb er Mathematik wichtig sin, un erhofft sich aurch einen tieferen Einblick in ie Lösungstheorie er Gleichungen. In em Buch von Evans finet man eine Liste von wichtigen partiellen Differentialgleichungen, angefangen bei en klassischen linearen Gleichungen, wie etwa er Laplacegleichung oer er Wellengleichung, über spezielle nichtlineare Gleichungen (etwa ie Eikonalgleichung, ie Hamilton Jacoci Gleichung) bis hin zu Systemen von partiellen Differentialgleichungen (ie Maxwell Gleichungen, Euler un Navier Stokes Gleichungen). Wir wollen in iesem Abschnitt kurz auf en Aspekt er mathematischen Moellierung mit Hilfe von partiellen Differentialgleichungen eingehen un abei einige klassischen Gleichungen kennenlernen. Dabei formulieren wir zuerst ein funamentales Theorem zur Beschreibung von allgemeinen Transportprozessen, as Transporttheorem: Wir betrachten eine physikalische Grösse, ie zur Zeit t = 0 as beliebige Teilgebiet Ω 0 Ω = R n einnimmt, wobei Ω 0 offen un beschränkt sei. Weiter beschreibe ie Funktion Φ(x, t) ie Veränerung eines Punktes y Ω 0 in er Zeit, also Φ : Ω 0 [0, T ] Ω

5 soass 2. MATHEMATISCHE MODELLIERUNG MIT PARTIELLEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 3 = {Φ(y, t) : y Ω 0 } Die Trajektorie es Punktes y Ω 0 sei beschrieben urch ie Abbilung t Φ(y, t) un ie Geschwinigkeit er Grösse an einem festen Ort x = Φ(y, t) sei gegeben urch Φ(y, t) = v(φ(y, t), t) Satz 1.4. Transporttheorem Für eine ifferenzierbare, skalare Funktion f : [0, T ] R, (x, t) f(x, t) gilt { } f(x, t)x = t f + iv(fv) (x, t)x Beweis. Das Problem ist, ass selbst von er Zeit abhängt un man aher nicht irekt unter em Integral ifferenzieren kann. Also: Transformiere auf Ω 0 f(x, t)x = f(φ(x, t), t)j(x, t)x Ω 0 wobei J(x, t) ie Jacobi Determinante er Abbilung Φ(x, t) bezüglich x ist. Dann gilt f(x, t)x = f(x, t)x t t Ω 0 { Φ(x, t) = iv(f(φ(x, t), t)) J(x, t)+ Ω 0 } f J(x, t) (Φ(x, t), t)j(x, t) + f(φ(x, t), t) x un wir benötigen ie Ableitung er Jacobi Determinante J(x, t). Hier gilt J(x, t) = J(x, t)iv(v(φ(x, t), t)) was man urch einfaches Nachrechnen unter Verwenung von verifiziert. Also erhalten wir f(x, t)x = t = Ω 0 Φ(x, t) = v(φ(x, t), t) { } f (Φ(x, t), t) + iv(fv)(φ(x, t), t)) J(x, t)x { f(x, t) mittels Rücktransformation Ω 0. } + iv(fv)(x, t) x

6 4 1. EINLEITUNG Aus em Transporttheorem lassen sich ie sogenannten Erhaltungsgleichungen ableiten, ie häufig zur Moellierung von Transportvorgängen verwenet weren: Für ie physikalische Grösse Masse, ie urch ie Funktion u(x, t) beschrieben ist, gelte: währen es Transportprozesses wir keine Masse erzeugt oer vernichtet,.h. u(x, t)x = 0 t Aus em Transporttheorem folgt amit { } u(x, t) + iv(uv)(x, t) x = 0 Da Ω beliebig ist, folgt ie Differentialgleichung u (x, t) + iv(uv)(x, t) = 0 ie als Kontinuitätsgleichung bezeichnet wir. Die Grösse q(x, t) = (uv)(x, t) efiniert en Fluss. Die Kontinuitätsgleichung allein beschreibt kein abgeschlossenes physikalisches System,.h. wir benötigen eine Abschlussrelation für en Fluss in er Form q(x, t) = q(u(x, t), u(x, t),... ) un as Finen einer Abschlussrelation ist Teil er Moellierung. Die einfachste partielle Differentialgleichung ie sich aus er Kontinuitätsgleichung ableiten lässt ist ie Transportgleichung, (1.3) u t + b u = 0 ie wir im zweiten Kapitel näher untersuchen weren. Hier wählen wir also für en Fluss q(x, t) en einfachsten Ansatz, nämlich q(x, t) = b u(x, t), b R n Eine Beispiel zur Moellierung mit er Transportgleichung wir in en Übungen besprochen. Ein weiteres Beispiel zur Anwenung es Transporttheorems bei er Moellierung ist ie Wärmeleitungsgleichung: nehmen wir an, ass ie Funktion u(x, t) eine er rei folgenen Grössen beschreibt chemische Konzentration Temperatur elektro statisches Potential Da alle rei Grössen einem Erhaltungsprinzip unterliegen, lässt sich as ynamische Verhalten von u mit Hilfe er Kontinuitatsgleichung beschreiben, u t + iv (q) = 0

7 2. MATHEMATISCHE MODELLIERUNG MIT PARTIELLEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 5 Man muss nun also ie Abhängigkeit es Flusses q von er Ausgangsgrösse u beschreiben: aus physikalischen Grünen ist es sinnvoll anzunehmen, ass er Fluss proportional zum Graienten von u ist, allerings in ie entgegengesetzte Richtung es Graienten zeigt, (1.4) q = a u, a > 0 a ie Grösse u immer aus Bereichen höherer Werte in Bereiche mit nierigeren Werten fliesst. Wir erhalten amit aus er Kontinuitätsgleichung urch Einsetzen u t + iv ( a u) = 0 un mit a = 1 ie klassische Wärmeleitungsgleichung in er Form (1.5) u t = u Die Beziehung (1.4) heißt abei je nach Anwenungsfall as Ficksche Gesetz er Diffusion as Fouriersche Gesetz er Wärmeleitung as Ohmsche Gesetz er elektrischen Leitung Man nennt ie Gleichung (1.5) eshalb auch Diffusionsgleichung. Für en Fall, ass ie Funktion u(x, t) nicht von er Zeitvariablen t abhängt,.h. ie Grösse u(x, t) befinet sich in einem Gleichgewicht un somit einem stationären Zustan, erhält man aus (1.5) ie Laplacegleichung, (1.6) u = 0 eren Lösungen auch harmonische Funktionen genannt weren. Neben en rei Gleichungen (1.2), (1.5) un (1.6) ist ie sogenannte Wellengleichung u tt = u eine funamentale lineare Differentialgleichung, ie wir näher im zweiten Kapitel untersuchen wollen. Die klassischen Gleichungen er Strömungsynamik Die wohl wichtigste Anwenung es Transporttheorems kommt aus em Bereich er Strömungsynamik: Strömungen von Flüssigkeiten oer Gasen lassen sich prinzipiell in ie folgenen Klassen unterteilen laminare oer turbulente Strömungen, kompressible oer inkompressible Strömungen, reibungsfreie oer reibungsbehaftete (viskose) Strömungen Die bei er Beschreibungen von Strömungen am häufigsten verweneten Moelle sin abei laminare, inkompressible, viskose Strömungen, beschrieben urch ie Navier Stokes Gleichungen, kompressible, reibungsfreie Strömungen, beschrieben urch ie Euler Gleichungen, ein System von sogenannten Erhaltungsgleichungen. Die beien Gleichungen wollen wir allein aus em Transporttheorem ableiten. Dabei weren wir ie folgenen physikalischen Grössen verwenen:

8 6 1. EINLEITUNG ie Dichte ρ(x, t), ie Geschwinigkeit u(x, t), er Druck p(x, t) un unter Hinzunahme von Energietransport eine Temperatur T (x, t) oer Energie E(x, t). Der Begriff inkompressibel lässt sich am einfachsten unter Hinzunahme es Transporttheorems erklären: in er Formulierung es Transporttheorems hatten wir as zeitabhängige Gebiet betrachtet, as as von einer physikalischen Grösse zur Zeit t ausgefüllte Gebiet es R beschreibt. Ein Flui heißt inkompressibel, wenn für jees gegebene Ω 0 Ω gilt Vol( ) = x = konstant in t Anschaulich heißt as: bei en urch einen Strömungsvorgang auftretenen Kräften wir ein gegebenes Fluivolumen nicht veränert. Beispiele sin moerate Strömungen von Flüssigkeiten. Unter Verwenung es Transporttheorems erhalten wir 0 = x = J(x, t)x = iv(u)jx = iv(u)x t t Ω 0 Ω 0 un amit ergeben sich ie folgenen äquivalenten Aussagen a) ein Flui ist inkompressibel b) iv u = 0 c) J = 1 Beingung b) sagt, aß as Geschwinigkeitsfel ivergenz frei ist; ie Volumenerhaltung entlang von Partikeltrajektorien ist urch ie Beingung c) garantiert. Aus er Massenerhaltung hatten wir im vorhergehenen Abschnitt ie Kontinuitätsgleichung ρ + iv(ρu) = 0 hergeleitet, ie zur Beschreibung es Massentransports von kompressiblen Strömungen verwenet wir. Bei inkompressiblen Strömungen wir iese urch ie Inkompressibilitätsbeingung b) von oben ersetzt, also Für ie Dichte ρ(x, t) erhält man ann iv u = 0 ρ + (u )ρ + ρ iv u = 0 un somit unter Verwenung von /t = / + u ie Gleichung ρ t = ρ + u ρ = 0.h. ie Dichte bleibt entlang von Stromlinien konstant. Eine Unterscheiung zwischen reibungsfreien un reibungsbehafteten Strömungen wir

9 2. MATHEMATISCHE MODELLIERUNG MIT PARTIELLEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 7 über ie Erhaltungsgleichung für en Impuls gesteuert: er Impuls eines Fluis im Gebiet ist gegeben urch as Integral über as Proukt von Masse un Geschwinigkeit m(t) = ρ(x, t)u(x, t)x Nach em 2. Newtonschen Gesetz ist ie zeitliche Änerung von m(t) gerae gleich er Summe er auf as Flui wirkenen Kräfte, ie zum einen urch Volumenkräfte (z.b. Gravitation, Coriolis Kraft, magnetische Kraft) zum aneren urch Oberflächenkräfte gegeben sin. Die Oberflächenkräfte lassen sich mit Hilfe es Spannungstensors σ(x, t) in er Form σ(x, t)nω ausrücken, wobei σ = σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 Vernachlässigt man ie Volumenkräfte, so lautet as Newtonsche Gesetz amit ρ(x, t)u(x, t)x = σ(x, t)nω t Verwenen wir komponentenweise as Transporttheorem un transformieren wir as Oberflächenintegral auf er rechten Seite mit Hilfe es Gaußschen Integralsatzes, so erhält man ie Impulsgleichung in er Form (ρu) + (u )(ρu) + (ρu) iv u iv σ = 0 Ob as Flui viskos oer nicht viskos ist wir allein über ie Moellierung es Spannungstensors σ gesteuert. Reibungsfreie Strömungen: in iesem Fall vernachlässigt man ie inneren Reibungskräfte in einer Strömung, soass er Spannungstensor allein urch en Druck p(x, t) bestimmt ist, σ(x, t) = p(x, t)i = p(x, t) Reibungsbehaftete Strömungen: hier weren innere Reibungskräfte einer zähen Flüssigkeit berücksichtigt, z.b. bei sogenannten Newtonschen Fluien in er Form σ(x, t) = pi + τ = ( p + λ iv u)i + 2µδ wobei er viskosen Anteil τ mit Hilfe er Konstanten λ un µ un es Deformationstensors δ moelliert ist (Stokessches Postulat), δ = 1 [( ui + u )] j 2 x j x i i,j=1,2,3 Lassen wir en Energietransport unbercksichtigt, so erhalten wir ie beien folgenen Moelle: Die inkompressiblen Navier Stokes Gleichungen

10 8 1. EINLEITUNG Das Flui wir mit Hilfe es Geschwinigkeitfeles u(x, t) un es Drucks p(x, t) beschrieben un ie Gleichungen lauten u iv u = 0 + (u )u = p + ν u wobei ν ie kinematische Viskosität bezeichnet un er Druck mit er Dichte ρ(x, t) = ρ skaliert ist. Die zweite Gleichung erhält man irekt aus obiger Impulsgleichung unter Verwenung es Spannungstensors für Newtonsche Flüssigkeiten un er Kontinuitätsgleichung. Die inkompressiblen Navier Stokes Gleichungen weren gewöhnlich als Anfangs Ranwertproblem auf em räumlichen Bereich Ω R gestellt. Dabei sin ie folgenen Ranbeingungen für as Geschwinigkeitsfel u(x, t) gebräuchlich: wir bezeichnen mit n ie äußere Normale an Ω a) Haftbeingung (no slip) u, n = 0, u tang = 0.h. as Flui kann keine Wäne urchringen un as Flui haftet an er Wan, b) Rutschbeingung (free slip) u, n = 0, u tang n = 0.h. as Flui erfährt keine Reibungsverluste an er Wan, c) Einströmbeingung (inflow) Beie Geschwinigkeitskomponenten in Normal un Tangentialrichtung sin als Dirichlet Daten vorgeschrieben, c) Ausströmbeingung (outflow) u, n n = 0, u tang n = 0.h. beie Geschwinigkeitskomponenten änern sich in er Richtung senkrecht zum Ran nicht, e) Perioische Ranbeingungen Für as reine Dirchletproblem haben ie Navier Stokes Gleichungen in 2 D für alle t 0 eine eineutige Lösung (eineutig bis auf eine aitive Konstante beim Druck), für en reiimensionalen Fall gilt Eineutigkeit nur in einem gewissen Zeitintervall [0, T ]. Die kompressiblen Euler Gleichungen Die (isentropen) Euler Gleichungen beschreiben ie Strömung urch ie Kontinuitäts un ie Impulsgleichung, wobei er Spannungstensor urch ie Beziehung σ = pi gegeben ist. Isentrop beeutet, ass er Druck p allein über eine Beziehung er Form p = p(ρ), z.b. bei iealen Gasen urch p(ρ) = Aρ γ, mit em aiabaten Exponenten γ.

11 3. GRUNDLEGENDE PROBLEMSTELLUNGEN 9 Die Euler Gleichungen lassen sich in en primitiven Variablen ρ un u oer en konservativen Variablen ρ un ρu (Impuls) arstellen. In primitiver Form lauten ie Gleichungen ρ + iv(ρu) = 0 u + (u )u = 1 ρ p Führt man ie Schallgeschwinigkeit c = p (ρ) ein, so gilt 1 ρ p = c2 ρ ρ soass sich ie zweite Gleichung auch in er Form u + (u )u = c2 ρ ρ schreiben lässt. In konservativer Form schreibt man ie Gleichungen als ρ + iv(ρu) = 0 (ρu) + iv(ρ(u u) + p I) = 0 Die Euler Gleichungen weren in er Regel urch eine Energiegleichung erweitert, ie wieer aus einer Erhaltungseigenschaft abgeleitet ist, e + iv((e + p)u) = 0 wobei e ie totale Energie bezeichnet. Dies scheint auf en ersten Blick ie Situation komplizierter zu machen, ist aber aus physikalischen Grünen gerechtfertigt, a ie isentropen Euler Gleichungen zu unphysikalischen Phänomenen führen können. 3. Grunlegene Problemstellungen Ein zentraler Begriff bei er Untersuchung partieller Differentialgleichungen ist er eines sachgemäss gestellten Problems. Man versteht arunter, ass as Problem ie folgenen Eigenschaften besitzt: es existiert eine Lösung es Problems, iese Lösung ist eineutig, ie Lösung hängt stetig von er gegegebenen Daten es Problems ab. Die beien ersten Forerungen sin aus mathematischer Sicht naheliegen, ie letzte Beingung lässt sich eher aus er zugruneliegenen Anwenung motivieren: man verwenet partielle Differentialgleichungen zur Beschreibung von naturwissenschaftlich technischen Problemen. Dabei ist es einleuchten, ass ie Gleichungen nur als mathematische Moelle gesehen weren können, ie auf eine einfache Weise komplizierte Prozesse beschreiben. Damit ist auch klar, ass kleine Änerungen oer Ungenauigkeiten in er Beschreibung keine beliebig grossen Änerungen in en Lösung es Problems bewirken sollen.

12 10 1. EINLEITUNG Kehren wir zu er ersten Forerung zurück: wir hatten gesagt, ass eine Lösung er gegebenen partiellen Differentialgleichung existieren soll. Dies Frage natürlich ungenau formuliert, enn zuerst müssen wir efinieren, was wir unter einer Lösung tatsächlich verstehen. Wir könnten etwa nach einer analytischen oer unenlich oft ifferenzierbaren Funktion suchen, ie ie Gleichung löst. Dies wir im allgemeinen aber nicht möglich sein, wie wir auch später sehen weren. Statt ieser starken Einschränkung an ie Lösung könnten wir etwa verlangen, ass eine Lösung einer partiellen Differentialgleichung er Ornung k auch k mal ifferenzierbar ist. Eine solche Lösung weren wir als eine klassische Lösung er Differentialgleichung bezeichnen: zum Beispiel besitzt ie Laplace Gleichung eine klassische Lösung in em oben genannten Sinne. Daneben weren wir auch Gleichungen untersuchen, bei enen er Begriff einer klassischen Lösung nicht sinnvoll ist: betrachten wir ie nichtlineare skalare Erhaltungsgleichung er Form u t + F (u) x = 0 so weren wir später sehen, ass auch bei er Vorgabe einer beliebig glatten,.h. beliebig oft ifferenzierbaren Funktion, ie wir zur Zeit t = 0 vorschreiben können, ie Lösung er Gleichung Unstetigkeitsstellen entwicklet. Damit müssen wir en Begriff er klassischen Lösung zum Begriff einer verallgemeinerten oer schwachen Lösung erweitern. Dies weren Lösungen sein, ie nicht notwenigerweise ifferenzierbare Funktionen arstellen, sonern vielmehr ie gegebene Gleichung etwa nur in Integralform lösen. Damit ist es auch sinnvoll, ie Frage nach er Existenz einer Lösung von er Frage nach er Glattheit oer Regularität einer Lösung zu trennen. Evans gibt in seinem Buch eine Reihe von Faustregeln an, ie ie typischen Schwierigkeiten bei partiellen Differentialgleichungen kurz festhalten: nichtlineare partielle Differentialgleichungen sin komplizierter als lineare Gleichungen, je mehr höhere Ableitungen in er Nichtlinearität vorkommen, esto schwieriger wir es, partielle Differentialgleichungen höherer Ornung sin schwieriger als partielle Differentialgleichungen nieriger Ornung, Systeme von partiellen Differentialgleichungen sin ungleich komplizierter im Vergleich mit einer partiellen Differentialgleichung, partielle Differentialgleichungen in vielen Veränerlichen sin komplizierter als Differentialgleichungen in wenigen Variablen, im Allgemeinen ist es unmöglich für partielle Differentialgleichungen explizite Lösungsformeln anzugeben.