Elektronik 1, Foliensatz 1: Einleitung, physikalische und mathematische Grundlagen

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1 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) 22. Dezember /86 Elektronik 1, Foliensatz 1: Einleitung, physikalische und mathematische Grundlagen G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) 22. Dezember 2016

2 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 Einleitung Die Elektronik entwickelt sich sehr schnell. Welches Wissen ist auch noch in 10 bis 20 Jahren nützlich? Die physikalischen und technischen Grundlagen. Grundtechniken für die Modellbildung, die Simulation und den Entwurf. Erarbeiten von Wissen aus Büchern etc. Gesundes Einschätzungsvermögen, was möglich und was Phantasie ist. Grundsäulen der Wissensvermittlung: Physikalische Grundlagen: Was ist Strom, was ist Spannung,... Systemtheorie (Mathematik): Lineare Systeme, Frequenzraum,... Schaltungstechnik.

3 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 Lernprozess als Iteration Physik Vorwissen stationärer Betrieb zeitver- Ströme änderliche Spannungen und Themen Schaltungstechnik fortgeschrittene Systemtheorie

4 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 Erster Lernzyklus: Stationäre Systeme Beschränkung auf den Sonderfall, dass Spannungen und Ströme in der Schaltung konstant sind. Themen: Physik: Welche physikalischen Gesetze sind dafür wichtig? Schaltungsanalyse: Lineare Ersatzschaltungen, Knoten- und Maschgleichungen, vereinfachte Rechenwege,... Dioden: Ersatzschaltung, Gleichrichter, Logikschaltungen,... Bipolartransistor: Ersatzschaltung, Verstärker, Logikschaltungen,... MOS-Transistor: Verstärker, Logikschaltungen,... Operationsverstärker: Verstärker, Addierer, Subtrahierer, Schwellwertschalter, Analog-Digital- und Digital-Analog-Wandler,...

5 . Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 Foliensätze zur Vorlesung Elektronik 1 Stationäre Systeme 1 Physikalische und mathematische Grundlagen. 2 Handwerkszeug bis Schaltungen mit Dioden. 3 Schaltungen mit Bipolartransistoren. 4 Schaltungen mit MOS-Transistoren und Operationsverstärkern. Zeitveränderliche Ströme und Spannungen 5 Kapazitäten und Induktivitäten, zeitdiskrete Modellierung. 6 Geschaltete Systeme. 7 Frequenzraum. 8 Halbleiter. 9 Leitungen. Forgeschrittene Themen Die Scripte zu den Foliensätzen werden in der Vorlesung ausgegeben.

6 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 Inhalt des ersten Foliensatzes Physik 1.1 Energie, Potential und Spannung 1.2 Strom 1.3 Ohmsches Gesetz 1.4 Leistung 1.5 Aufgaben Mathematik 2.1 Knoten- und Maschengleichungen 2.2 Lineare Zweipole 2.3 Nützliche Vereinfachungen 2.4 Gesteuerte Quellen 2.5 Bauteile mit nichtlinearer Kennlinie 2.6 Fehler in der Ersatzschaltung 2.7 Aufgaben

7 1. Physik G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 Physik

8 1. Physik G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 Welche Gesetze bestimmen das Verhalten einer Schaltung im stationären Betrieb? Denition Modell Ein Modell ist ein Mittel, um einen Zusammenhang zu veranschaulichen. Es stellt die wesentlichen Sachverhalte dar und verbirgt unwesentliche Details. Die Modelle für die Beschreibung der Funktion elektronischer Schaltungen sind: Schaltpläne und Gleichungssysteme.

9 1. Physik G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 Schaltplan Ersatzschaltung R B R C U V R B I B > 0 R C I C U V U e U a U e U BEF β I B U a > U CEX wird vorausgesetzt Tatsache In den Schaltungsbeschreibungen fehlt die Geometrie der Bauteile und Verbindungen. Es sind oenbar nur ortunabhängige physikalischen Zusammenhänge wesentlich, bei denen es keine Rolle spielt, wie Bauteile angeordnet und verbunden werden.

10 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 1. Physik 1. Energie, Potential und Spannung Energie, Potential und Spannung

11 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 1. Physik 1. Energie, Potential und Spannung Die betrachteten physikalischen Gröÿen Symbol Maÿeinheit Kraft (Vektor) F N (Newton) Feldstärke (Vektor) E N/C=V/m Ladung, Q C=As (Coulomb) Probeladung Energie W J=Nm=Ws (Joule) ev=1, J (Elektronenvolt) Spannung U V (Volt) Potenzial ϕ V (Volt)

12 1. Physik 1. Energie, Potential und Spannung Elektrische Kraft und Feldstärke Coulombsches Gesetz: F = 1 4πε Q1 Q 2 r 2 Feldstärke (Denition): E = F /Q Q + Q Q + Q Dielektrizitäts- konstante Abstand positive Ladung negative Ladung Probeladung Kraft auf die Probeladung Feldlinie ε r Q + Q G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86

13 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 1. Physik 1. Energie, Potential und Spannung Energieerhaltungssatz für die Bewegung einer Ladung in einem elektrischen Feld von P 1 nach P 2 geschlossene Bahn W = P2 P 1 F d s W = P1 P 1 F d s = 0 ortsunabhängig! Q 1 Q 2 F P 2 P 1 P 0 P 0 Ortsvektor Feldlinien Bewegungsbahn der Probeladung Bezugspunkt

14 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 1. Physik 1. Energie, Potential und Spannung Denition Potenzial Das Potenzial der Ladungsträger eines Punktes P ist die erforderliche Energie, um sie vom Punkt P zum Bezugspunkt P 0 zu bewegen, geteilt durch die Gröÿe der bewegten Ladung Q. ( ) ( ) ( ) W P W P0 ϕ P = Q Die Energiedierenz ist das Integral der Kraft über den Weg. Die Potenzieldierenz als Energiedierenz pro Ladung ist folglich das Integral der Kraft pro Ladung, d.h. der Feldstärke über den Weg: ( ) P ϕ P = E d s P 0

15 . Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 1. Physik 1. Energie, Potential und Spannung Denition Spannung Die Spannung zwischen zwei Punkten P 1 und P 2 ist die erforderliche Energie, um Ladungsträger vom Punkt P 1 zum Punkt P 2 zu transportieren, geteilt durch die Gröÿe der bewegten Ladung. Das ist die Potenzialdierenz: U 21 = ϕ ( ) ( ) P2 ϕ P1

16 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 1. Physik 1. Energie, Potential und Spannung Potenzial- und Spannungsangaben in Schaltplänen, Spannungspfeile ϕ 2 ϕ 1 ϕ 0 = 0 U 21 = ϕ 2 ϕ 1 U 12 = ϕ 1 ϕ 2 Schaltsymbole für Bauteile (Transistor, Widerstand) Verbindung, Äquipotenzialpunkte in einer Schaltung Verbindung mit Abzweig Bezugspunkt (Masse) Spannungspfeil

17 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 1. Physik 1. Energie, Potential und Spannung Achtung Zerstörungsgefahr Hohe Feldstärken von V m können wie ein Blitzen bei einem Gewitter Isolatoren in Leiter verwandeln. Durchschlag der Isolation. Die Folge ist meist eine thermische Zerstörung (Schmelzung, Verdampfung,... des Isolators). In der Mikroelektronik treten wegen der geringen Abmessungen zum Teil höhere Feldstärken als in der Starkstromtechnik auf. Die Grenzwerte aus den Datenblättern für die Spannungen zwischen Bauteilanschlüssen müssen stets eingehalten werden!

18 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 1. Physik 2. Strom Strom

19 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 1. Physik 2. Strom Symbol und Denition Symbol Maÿeinheit/Wert Strom I A (Ampere) Elementarladung q (Konstante) 1, As Denition Strom ist bewegte Ladung pro Zeit: I = d Q d t

20 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 1. Physik 2. Strom Modellierung durch die Bewegung von Ladungsträgern (Q l Flächenladung). I = d Q d l d l d t = Q l v v I I v d l v v Q l Schaltsymbol einer Leitung Strompfeil bewegliche Elektronen bewegliche Löcher Flächenladung

21 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 1. Physik 2. Strom Stromarten 1 Driftstrom: Feldgetriebene Bewegung (µ Beweglichkeit) v = µ E (1) 2 Umladestrom: Ladungsverschiebungen im Zusammenhang mit Feldstärke-, Spannungs- und Potenzialänderung. Im stationären Betrieb per Denition null. 3 Diusionsstrom: Ausgleich der Konzentrationsunterschiede der beweglichen Ladungsträger an Grenzschichten zwischen unterschiedlichen Materialien durch die thermische Bewegung. 4 Rauschstrom: Ungerichtete thermische Bewegung.

22 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 1. Physik 2. Strom Kontinuität der Ladungsbewegung In einem Leiter regelt sich die Feldstärke im stationären Zustand so ein, dass die Menge der zuieÿenden Ladungsträger an jedem Punkt gleich der Menge der abieÿenden Ladungsträger ist. Bei Störung dieses Gleichgewichts akkumulieren sich Ladungen, die eine Feldstärkeänderung verursachen, die der Gleichgewichtsstörung entgegen wirkt 1. Tatsache Im stationären Zustand gilt unabhängig von der Geometrie, dass die Summe der zuieÿenden Ströme in jedem Punkt null ist. Wegieÿende Ströme sind negative zuieÿende Ströme. 1 Feldstärkeänderungen bewirken Spannungsänderung. Das ist dann kein stationärer Betrieb mehr.

23 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 1. Physik 3. Ohmsches Gesetz Ohmsches Gesetz

24 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 1. Physik 3. Ohmsches Gesetz Symbole und Denition Symbol Maÿeinheit/Wert Widerstand R Ω (Ohm) Leitwert G S = Ω 1 (Siemens) Der Driftstrom durch einen Leiter verhält sich oft proportional zur Spannung über dem Leiter a : R = U I G = I U a bzw. wird durch eine lineare Beziehung angenähert.

25 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 1. Physik 3. Ohmsches Gesetz Zählrichtung und Modellierung I U I U R U = R I R U = R I Modelle für Leiter: Verbindung, wenn Spannungsabfall vernachlässigbar U 0 sonst Widerstand U = R I

26 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 1. Physik 4. Leistung Leistung

27 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 1. Physik 4. Leistung Symbole und Denition Symbol Maÿeinheit Leistung P W = V A (Watt) Verlustleistung P V W = V A (Watt) Denition Die Leistung ist die umgesetzte Energie pro Zeit: P = dw = d ( U I dt ) = U I dt dt Verlustleistung ist die in Wärme umgesetzte Energie pro Zeit.

28 1. Physik 4. Leistung Verlustleistung Die in Wärme umgesetzte Energie muÿ zur Vermeidung thermischer Zerstörung ausreichend schnell abgeführt werden. Die maximale Verlustleistung berechnet sich aus der Dierenz der maximal zulässigen internen Temperatur und der Umgebungstemperatur sowie dem Wärmewiderstand, ist erhöhbar durch bessere Kühlung (Lüfter,...), steht im Datenblatt und ist unbedingt einzuhalten. I U U maximale Leistung für Energieverbraucher P = U I I Betrag der maximalen Leistung für Energieerzeuger Statt zwischen Energieverbrauchern und -erzeugern unterscheidet die Vorlesung zwischen positivem und negativem Leistungsumsatz. G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86

29 1. Physik 4. Leistung Maximale Verlustleistung In der gezeigten Transistorschaltung lässt sich über einen Strom I B der Strom I C so steuern, dass die Ausgangsspannung U a von U e R B 1 kω I B R C 20 Ω 0 V bis U V verändert werden kann. Für Abschätzungen der Leistung ist I B 0,01 I C vernachlässigbar. Wie groÿ muss die zulässige Verlustleistung von R C und von dem Transistor sein? Verlustleistung von R C in Abhängigkeit von U a : Maximum bei U a = 0: P RC = U RC I C = (U V U a ) (U V U a ) R C P RC.max = U V 2 = R C (10 V)2 20 Ω = 5 W I C U a U V 10 V G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86

30 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 1. Physik 4. Leistung Die Verlustleistung des Transistors ist etwa das Produkt aus Kollektorstrom und Ausgangsspannung: R B P Tr = I C U a U e 1 kω = UV Ua R C U a Das Maximum, die Nullstelle der Ableitungen 0 = d (IC (UV RC IC)) d I C I C = UV 2 R C U 2 V 4 R C I B R C 20 Ω I C U a U V 10 V liegt bei U a = UV 2 und beträgt: P Tr.max = U 0 2 V U 4 R C 0 V2 U V U a = PRC.max 4 = 1,25 W Bauteile in einer Schaltung müssen die maximale Verlustleistung vertragen! P Tr

31 1. Physik 4. Leistung Mehr als zwei zu berücksichtigende Bauteilströme I 6 ϕ 1 I 1 ϕ 6 ϕ 2 I 2 I 5 ϕ 5 ϕ 3 = 0 I 3 I 4 ϕ 4 P = 6 i=1 ϕ i I i Summe der Produkte aus Potential und hereinieÿendem Strom für alle Anschlüsse. Wie kann man sich das herleiten? 2 1 A 1 A ϕ = 2 V 1 A ϕ = 1 V 1 A ϕ = 2 V P = 2 V 1 A+1 V ( 1 A) 1 A 1 A ϕ = 2 V ϕ = 1 V 1 A ϕ = 2 V P = (2 V 1 V) 1 A 2 Man denkt sich zuerst, das alle Ströme am Anschluss mit Potential null herausieÿen. Dafür gilt die Gleichung. Wenn die Ströme in Wirklichkeit an anderen Anschlüssen herausieÿen, ändert sich nichts am Leistungsumsatz... G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86

32 . Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 1. Physik 4. Leistung Inbetriebnahmeregeln Statistisch gesehen ist es nicht zu vermeiden, dass beim Entwurf und beim Aufbau von Schaltungen Fehler entstehen, auch solche, bei denen zu hohe Verlustleistungen auftreten. Zur Vermeidung der Zerstörung von Bauteilen sind in den Laborübungen vor der ersten Inbetriebnahme und nach jeder Änderung an einer Schaltung folgende Tests durchzuführen: Sichtkontrolle im spannungsfreien Zustand. Elektrische Verbindungskontrolle mit einem Durchgangsprüfer, Multimeter oder Tester ohne Betriebsspannung. Rauchtest: Test mit Strombegrenzung und ständiger Kontrolle auf Erwärmung und Rauchentwicklung. Während der Änderung an Schaltungen ist immer die Versorgungsspannung auszuschalten!

33 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 1. Physik 5. Aufgaben Aufgaben

34 . Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 1. Physik 5. Aufgaben Feldstärke Wo treten höhere Feldstärken auf, in der Haushaltselektrik, in der die Leitungen, die Spitzenspannungen bis zu etwa 500 V führen, durch eine 1 mm dicke Kunststoschicht isoliert sind, oder in der Mikroelektronik, in der leitende Gebiete mit Potenzialunterschieden von wenigen Volt durch wenige hundert Nanometer dicke Oxidschichten getrennt sind?

35 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 1. Physik 5. Aufgaben Driftgeschwindigkeit 1 Wie hoch ist die Driftgeschwindigkeit der beweglichen Elektronen in einen Kupferleiter mit einem Querschnitt von A = 0,1 mm 2, der von einem Strom von 10 ma durchossen wird? 2 Stellen Sie ihr Ergebnis in Relation zu der Aussage: Der elektrische Strom ist so schnell, dass er im Bruchteil einer Sekunde die Erde umrunden könne. 3 Wenn es nicht die beweglichen Ladungsträger sind, welche physikalische Gröÿe ist es dann, die sich im Bruchteil einer Sekunde entlang einer Leitung um die Erde bewegt? Hilfestellung: Sie benötigen Gl. I = Q l v. Kupfer hat ein bewegliches Elektron je Atom. Ein Kubikmillimeter Kupfer enthält 8, Atome.

36 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 1. Physik 5. Aufgaben Zusammenhang zwischen Energie, Spannung und Strom 1 Welche Energie wird umgesetzt, wenn sich eine Ladung von 1 As vom Pluspol einer Batterie durch einen Verbraucher zum Minuspol bewegt und dabei eine Potenzialdierenz von 4,5 V überwindet? 2 Welche Energie wird umgesetzt, wenn der gesamte Weg der Ladung aus Aufgabenteil a vom Pluspol durch den Verbraucher zum Minuspol und durch die Batterie zurück zum Pluspol betrachtet wird? 3 Wie lange dauert der Ladungstransport, wenn der Verbraucher einen Widerstand von R = 1 kω besitzt?

37 . Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 1. Physik 5. Aufgaben Leistungsumsatz 1 Wie groÿ darf der Spannungsabfall über einem Widerstand von R = 1 kω mit einer zulässigen Verlustleistung vom P Vmax = 0,125 W maximal sein? 2 Durch Simulation wurden an den Anschlüssen eines Schaltkreises die nachfolgend dargestellten Ströme und Potenziale bestimmt. I 1 = 30 ma I 6 = 100 ma ϕ 1 = 3,6 V ϕ integrierter 6 = 5,0 V I 2 = 10 ma I ϕ 2 = 2,0 V Schaltkreis 5 = 20 ma ϕ 5 = 1,0 V I 3 = 70 ma I 4 = 30 ma ϕ 3 = 0 V ϕ 4 = 4,0 V Maximale Verlustleistung: ohne Kühlkörper P Vmax1 = 300 mw, mit Kühlkörper P Vmax2 = 1 W. Benötigt der Schaltkreis den Kühlkörper?

38 2. Mathematik G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 Mathematik

39 2. Mathematik G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 Kirchhosche Sätze Knotensatz: Die Summe aller in einen Knoten hineinieÿenden Ströme ist null. Maschensatz: Die Summe aller Spannungsabfälle in einer Masche ist null. U 2 ZP2 U 1 ZP1 ZP3 U 3 I 1 I 2 I 3 NMU NZI n=1 U n = 0 a) n=1 I n = 0 b)

40 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 2. Mathematik 1. Knoten- und Maschengleichungen Knoten- und Maschengleichungen

41 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 2. Mathematik 1. Knoten- und Maschengleichungen Was sind alles Knoten? I 1 I 2 I 10 I 3 K2 I 7 I 9 K5 I 5 I 8 I 11 I 4 I 6 Bauteile mit zwei, drei und vier Anschlüssen Verzweigung Bezugspunkt Ein Knoten ist ein Schaltungspunkt, in dem mehr als zwei Ströme zusammentreen: Verzweigungen, interne Schaltungspunkte in Bauteilen mit mehr als zwei Anschlüssen und der Bezugspunkt.

42 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 2. Mathematik 1. Knoten- und Maschengleichungen Aufstellen der Knotengleichungen I 1 I 2 K1 I 10 K2 K3 K4 I 9 K5 I 7 I 4 I 6 I 8 I 11 I 3 I 5 K1 : I 1 I 2 I 7 I 10 = 0 K2 : I 2 I 3 I 4 = 0 K3 : I 4 I 5 I 6 = 0 K4 : I 6 + I 7 I 8 I 9 = 0 K5 : I 9 + I 10 I 11 = 0 K6 : I 1 + I 3 + I 5 + I 8 + I 11 = 0 Linearkombination! K6

43 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 2. Mathematik 1. Knoten- und Maschengleichungen Vorbereitung für das Aufstellen von Maschengleichungen Transformation in eine Ersatzschaltung aus Zweipolen: I 1 I 2 K1 I 10 I 7 ZP10 U10 U ZP1 U 1 ZP2 U 2 U 6 ZP7 U 7 U 9 K2 I 4 4 ZP4 K3 I 6 ZP6 K4 I 9 ZP9 ZP3 U 3 ZP8 U 8 I 5 K5 I 11 I 3 ZP5 U 5 I 8 ZP11 U 11 K6

44 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 2. Mathematik 1. Knoten- und Maschengleichungen Aufstellen von Maschengleichungen I 1 I 2 K1 I 7 I 10 ZP1 U 1 ZP2 U 2 U 4 K2 I 4 ZP4 K3 I 6 U 6 ZP7 U 7 ZP6 K4 I 9 U 9 ZP9 ZP10 U 10 K5 M1+M2 ZP3 I 3 U 3 M1 I 5 ZP5 U 5 M2 K6 I 8 ZP8 U 8 M1 : U 3 + U 4 + U 5 = 0 M2 : U 5 + U 6 + U 8 = 0 M1 + M2 : U 3 + U 4 + U 5 U }{{} 5 +U 6 + U 8 = 0 0 ZP11 I 11 U 11

45 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 2. Mathematik 1. Knoten- und Maschengleichungen Suche linear unabhängiger Maschen Regel: Jede Masche verbraucht einen Zweig, der in weiteren Maschengleichungen nicht mehr verwendet werden darf. 1 2 K2 4 K1 K3 6 7 K K5 1 2 K2 4 K1 K3 6 7 K K5 3 M M K6 K6 1 2 K2 K1 4 K3 6 M3 K6 7 K K5 K2 2 K1 M4 7 K3 K K K5

46 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 2. Mathematik 1. Knoten- und Maschengleichungen K2 K1 4 K3 6 7 K4 M5 K1 10 K3 9 K5 K2 4 6 K K M6 11 K6 K6 Alle gefundenen Maschen: K1 1 2 M4 7 M5 K3 K4 K M3 3 M1 5 M2 8 M K5 K6

47 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 2. Mathematik 1. Knoten- und Maschengleichungen Aufstellen der Maschengleichungen ZP1 U 1 ZP2 U 2 U 4 M4 U 6 ZP7 U 7 M5 ZP10 U 10 U 9 ZP4 ZP6 ZP9 M3 ZP3 U 3 M1 ZP5 U 5 M2 ZP8 U 8 M6 ZP11 U 11 M1 : U 3 + U 4 + U 5 = 0 M2 : U 5 + U 6 + U 8 = 0 M3 : U 1 + U 2 + U 4 + U 6 + U 8 = 0 M4 : U 2 + U 7 U 6 U 4 = 0 M5 : U 7 + U 10 U 9 = 0 M6 : U 8 + U 9 + U 11 = 0

48 2. Mathematik 1. Knoten- und Maschengleichungen Ergebnis I 1 I 2 K1 I 10 I 7 ZP10 U10 U ZP1 U 1 ZP2 U 2 U 6 ZP7 U 7 U 9 K2 I 4 4 ZP4 K3 I 6 ZP6 K4 I 9 ZP9 ZP3 U 3 ZP8 U 8 I 5 K5 I 11 I 3 ZP5 U 5 I 8 ZP11 U 11 K6 11 unbekannte Ströme, 11 unbekannte Spannungen, 5 linear unabhängige Knotengleichungen und 6 linear unabhängige Maschengleichungen. Zur Lösbarkeit fehlen noch 11 lineare Gleichungen.. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86

49 . Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 2. Mathematik 1. Knoten- und Maschengleichungen Die fehlenden Gleichungen Jeder der N Z Zweipole hat eine Strom-Spannungsbeziehung I i = f (U i ) oder U i = f (I i ) mit der N Z Unbekannte eliminiert werden können. Wenn diese gleichfalls linear sind, bilden sie zusammen mit den Knoten- und Maschengleichungen ein lösbares lineares Gleichungssystem aus N Z linear unabhängigen Gleichungen mit N Z Unbekannten. Die Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme derselben Gröÿe ist viel schwieriger. Tatsache Die Schaltungsanalyse erfolgt nicht auf dem direkten Weg, sondern über den Umweg der Annäherung der Bauteile und Schaltungen durch Ersatzschaltungen aus linearen Zweipolen.

50 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 2. Mathematik 2. Lineare Zweipole Lineare Zweipole

51 2. Mathematik 2. Lineare Zweipole Verhaltensmodell eines linearen Zweipols Strom-Spannungs-Kennlinie Ersatzschaltungen U U 0 I R U 0 I I 0 R I 0 I U U Beschreibungsform U (I): Beschreibungsform I (U): U = U 0 + R I Ersatzwiderstand (Anstieg): I = U R + I 0 R = U 0 I 0 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86

52 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 2. Mathematik 2. Lineare Zweipole Das Modell einer Quelle Spannungs- und Stromquellen sind Modelle für bekannte (vorgegebene, gemessene oder konstante) Spannungen und Ströme: Eine ideale Batterie oder eine Netzteil liefert eine bekannte Versorgungsspannung. Über einem Spannungsmessgerät ist die Spannung bekannt. Ein vorgegebener eingespeister Strom ist bekannt. Wenn eine nichtlineare Kennlinie stückweise parallel zur Spannungs- oder Stromachse verläuft, ist in diesem Bereich die Spannung bzw. der Strom bekannt.

53 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 2. Mathematik 2. Lineare Zweipole Beispiel einer Schaltungsanalyse U 3 I 3 U Q1 K1 M3 M1 R 3 U 2 R 1 I 2 R 2 R 4 U 1 I 1 K2 I 4 K4 U 4 M2 I Q5 U 5 R 5 I 5 R 6 U 6 K3 3 Knotengleichungen (K1 bis K3), 3 Maschengleichungen (M1 bis M3), 6 Zweige mit unbekannten Strömen und Spannungen 3. I 6 U Q6 3 I Q5 ist bekannt und die Spannung über I Q5 dieselbe wie über R 5.

54 . Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 2. Mathematik 2. Lineare Zweipole Knotengleichungen U 3 I 3 R 3 I Q5 U Q1 K1 U 2 U 5 I 2 K2 I 5 R 2 R 5 R 4 U 4 K3 U Q6 U 1 R 1 I1 I 4 K4 R 6 U 6 I 6 K1 : I 1 I 2 I 3 = 0 K2 : I 2 I 4 I Q5 I 5 = 0 K3 : I 3 + I 5 + I Q5 I 6 = 0

55 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 2. Mathematik 2. Lineare Zweipole Maschengleichungen U 3 M3 R 3 U 2 U 5 U Q1 M1 R 2 R 1 R 4 U 4 M2 R 5 R 6 U Q6 U 1 U 6 M1 : U Q1 + U 2 + U 4 U 1 = 0 M2 : U 4 + U 5 + U Q6 + U 6 = 0 M3 : U 3 U 5 U 2 = 0

56 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 2. Mathematik 2. Lineare Zweipole In Matrixform mit U i = R i I i R 1 R 2 0 R R 4 R 5 R 6 0 R 2 R 3 0 R 5 0 I 1 I 2 I 3 I 4 I 5 I 6 = 0 I Q5 I Q5 U Q1 U Q6 0

57 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 2. Mathematik 2. Lineare Zweipole Mit den Spannungen als Unbekannte 1 R 1 1 R 2 1 R R R 4 1 R R 3 0 R 5 1 R U 1 U 2 U 3 U 4 U 5 U 6 = 0 I Q5 I Q5 U Q1 U Q6 0

58 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 2. Mathematik 2. Lineare Zweipole Mischformen von unbekannten Strömen und Spannungen R 4 1 R R 5 1 R 6 R 1 R R 2 R I 1 I 2 I 3 U 4 U 5 U 6 = 0 I Q5 I Q5 U Q1 U Q6 0

59 2. Mathematik 2. Lineare Zweipole Lösen des Gleichungssystems M X = Q X = M 1 Q M quadratische Matrix; X Vektor der Unbekannten; Q Vektor der gegebenen Quellenwerte. R1 =... ; R2 =... ;... % W i d e r s t a n d s w e r t e i n Ohm UQ1 =... ; UQ6 =... ; % Q u e l l e n s p a n n u n g e n i n V IQ5 =... ; % Q u e l l e n s t r o m i n A M = [ ; % M a t r i x z u r B e s c h r e i b u n g ; % S c h a l t u n g s s t r u k t u r ; R1 R2 0 R4 0 0 ; R4 R5 R6 ; 0 R2 R3 0 R5 0 ] ; Q = [ 0 ; IQ5; IQ5 ; UQ1, UQ6 ; 0 ] ;% Q u e l l e n w e r t e I = (M^ 1) Q; % e i g e n t l i c h e Berechnung I % E r g e b n i s a n z e i g e G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86

60 2. Mathematik 2. Lineare Zweipole Analyse mit Schaltungssimulator (z.b. LTSpice) Schaltplaneingabe, Simulation starten,... Automatische Extraktion und Lösung der Gleichungssysteme. G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86

61 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 2. Mathematik 3. Nützliche Vereinfachungen Nützliche Vereinfachungen

62 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 2. Mathematik 3. Nützliche Vereinfachungen Bekannter Zweigstrom Über Zweigen mit bekanntem Strom (mit einer Stromquelle) ist keine Masche erforderlich. Einsparung einer Maschengleichung. U 1 I 1 K I Q3 U 3 R 1 U Q1 R 2 U 2 M I 2 R 3 Für die Berechnung der Ströme I 1 und I 2 sowie der Spannungen U 1 und U 2 genügen die Gleichungen: K : I 1 I 2 = I Q3 M1 : R 1 I 1 + R 2 I 2 = U Q1 U 3 ist von I 1 und I 2 unabhängig.

63 2. Mathematik 3. Nützliche Vereinfachungen Bekannte Zweigspannung Für Zweige mit bekanntem Spannungsabfall (Spannungsquelle) genügt die Summe der Knotengleichungen beider Seiten: U Q1 R 1 I 1 K1 I 2 R 2 U Q2 U Q1 R 1 I 1 U Q3 I 4 K2 I 3 I 4 gleiche Funktion I 2 R 2 U Q2 U Q3 K1 I 3 U Q3 Zusammenfassen I 4 K2 I 4 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86

64 . Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 2. Mathematik 3. Nützliche Vereinfachungen Getrennte Teilschaltungen Teilschaltungen sind auch dann schon elektrisch voneinander getrennt, wenn sie: nur über einen Knoten (z.b. den Bezugspunkt), nur über Zweige mit bekannten Strömen und/oder nur über Knoten mit bekannten Potenzialen verbunden sind. Bei nur einem gemeinsamen Knoten gibt es keinen geschlossenen Stromkreis, über den zwischen den Teilschaltungen Strom hin- und herieÿen kann.

65 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 2. Mathematik 3. Nützliche Vereinfachungen Verbindung über Zweige mit konstantem Strom U 1 I 1 K I Q3 U 3 R 1 U Q1 R 2 U 2 M I 2 R 3

66 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 2. Mathematik 3. Nützliche Vereinfachungen Verbindung über Knoten mit konstantem Potenzial z.b. derselben Spannungsversorgung Teilschaltung 1 Teilschaltung 2 U V Teilschaltung 1 U V Teilschaltung 2 U V U V Versorgungsspannung kein Strom, da kein geschlossener Stromkreis

67 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 2. Mathematik 4. Gesteuerte Quellen Gesteuerte Quellen

68 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 2. Mathematik 4. Gesteuerte Quellen Lineare Schaltungen mit mehr als zwei Anschlüssen U 1 I linearer Vierpol ohne 3 interne Quelle I 2 I 3 U 3 U 2 I 1 I 2 U 3 c 11 c 21 c 31 c 12 c 13 U 1 = c 22 c 23 c 32 4 I 1 + I 2 + I 3 c 33 Ein Anschluss ist der Bezugspunkt. An alle anderen wird einen Spannungs- oder Stromquelle angeschlossen. U 2 I linearer Vierpol ohne interne Quelle linearer Dreipol mit interner Quelle 3 I 3

69 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 2. Mathematik 4. Gesteuerte Quellen Nachbildung durch Widerstände und gesteuerte Quellen I 1 = c 11 U 1 + c 12 U 2 + c 13 I 3 U 1 1 c 11 c 12 U 2 c 13 I 3 I 2 = c 21 U 1 + c 22 U 2 + c 23 I 3 U 2 c 21 U 1 1 c 22 c 23 I 3 c 31 U 1 c 32 U 2 c 33 I 3 U 3 = c 31 U 1 + c 32 U 2 + c 33 I 3

70 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 2. Mathematik 4. Gesteuerte Quellen Verallgemeinerung Jede lineare Schaltung kann durch eine Ersatzschaltung aus Widerständen, konstanten Quellen (externe konstante Quellen können als interne Quelle betrachtet werden) und und gesteuerten linearen Quellen nachbildet werden. Tatsache Um auch beliebige lineare Mehrpole (Bauteile mit mehr als zwei Anschlüssen) berücksichtigen zu können, benötigt der Ersatzschaltungskatalog zusätzlich gesteuerte lineare Quellen. Systeme aus konstanten Quellen, gesteuerten linearen Quellen und Widerständen sind durch lineare Gleichungssysteme beschreibbar.

71 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 2. Mathematik 4. Gesteuerte Quellen Beispiel U R1 I 1 K β I 1 U R3 U e R 1 R 2 M I 2 U R2 keine Masche über Stromquellen Knoten- und eine Maschengleichung: Lösung in Matrixform: ( (1 + β) 1 R 3 K : I 1 I 2 + β I 1 = 0 M : R 1 I 1 + R 2 I 2 = U e R 1 R 2 ) ( I1 I 2 ) ( 0 = U e ) U V

72 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 2. Mathematik 5. Bauteile mit nichtlinearer Kennlinie Bauteile mit nichtlinearer Kennlinie

73 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 2. Mathematik 5. Bauteile mit nichtlinearer Kennlinie Nichtlineare Zweipole Annäherung der Strom-Spannungs-Beziehung nichtlinearer Zweipole durch eine lineare Beziehung: stückenweise lineare Annäherung I Annäherung durch die Tangente im Arbeitspunkt Arbeitspunkt I U linarisierte Teilbereiche Wenige zu unterscheidende Fälle. Gut für Überschläge. Für diese Vorlesung genau genug. U Tangente Iterative numerische Lösungssuche. Simulator. Viel genauer Wird in Elektronik II behandelt.

74 2. Mathematik 5. Bauteile mit nichtlinearer Kennlinie Grundalgorithmus Arbeitsbereichssuche mit einer linearen Schaltungsanalyse in der inneren Schleife: Abschätzen der Arbeitsbereiche aller nichtlinearen Bauteile Wiederhole Aufstellen der linearen Ersatzschaltung für die Arbeitsbereiche Berechnung der Spannungen und Ströme der linearen Ersatzschaltung Kontrolle für alle Bauteile: Ergebnis ja im Arbeitsbereich? nein Berechnung fertig anderer Arbeitsbereich für ein oder mehrere Bauteile G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86

75 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 2. Mathematik 5. Bauteile mit nichtlinearer Kennlinie Arbeitsbereichssuche für eine Schaltung mit einem nichtlinearen Zweipol mit drei linearen Kennlinienästen U! 3 1 2! I Bereich 1 Bereich 2 Bereich 3! Lösungssuche falscher Kennrichtiger Kennlinienbereich linienbereich

76 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 2. Mathematik 6. Fehler in der Ersatzschaltung Fehler in der Ersatzschaltung

77 2. Mathematik 6. Fehler in der Ersatzschaltung Die kirchhoschen Sätze gelten immer Aber die Ersatzschaltung kann falsch oder unvollständig sein. Beispiele sind die Vernachlässigung der Leitungswiderstände bzw. Isolationsleitwerte in den nachfolgenden Schaltungen: scheinbarer Widerspruch I richtiges Ersatzschaltbild R I U Q1 M U Q2 U Q1 M U Q2 U Q1 + U Q2 0 K U Q1 + U Q2 + R I = 0 K I Q1 I Q2 I Q1 R U R I Q2 I Q1 + I Q2 0 I Q1 + I Q2 U R = 0 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86

78 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 2. Mathematik 7. Aufgaben Aufgaben

79 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 2. Mathematik 7. Aufgaben Maschen und Knotengleichungen Stellen Sie Maschen- und Knotengleichungen zur Berechnung aller unbekannten Ströme auf: U R1 I 1 U Q3 U R3 I 3 K1I2 K2 U R5 R 1 R 4 I 4 R 2 R 3 R 5 U R2 U R4 I 5 UQ5 U Q2 U R6 U R7 K3 R 8 R 6 I 6 K4 R 7 I 7 K5 I Q9 U R8 I 8

80 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 2. Mathematik 7. Aufgaben Wie groÿ sind die Ströme durch die Widerstände? Stellen Sie Maschen- und Knotengleichungen zur Berechnung der Ströme auf. Programmieren Sie die Gleichungen in Matlab. 3 V 2,2 kω 10 kω 1 kω 5 V

81 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 2. Mathematik 7. Aufgaben Elektrisch getrennte Teilschaltungen In welche elektrisch voneinander unabhängig analysierbare Teilschaltungen lässt sich die nachfolgende Schaltung aufspalten? R 1 R 2 R 4 U Q1 R 3 U Q2

82 G. Kemnitz Institut für Informatik, TU-Clausthal (E1F1.pdf) December 22, /86 2. Mathematik 7. Aufgaben Schaltung mit einer gesteuerten Stromquelle Wie groÿ ist der Strom I 1? I 1 β I 1 U Q R I2 U R U Q = 1 V R = 1 kω β = 100