Anhang E Übungsaufgaben Teil III

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1 Mehnihe Syee yni III Anhng E Übungufgben Anhng E Übungufgben Tei III Beiung er priuären Löung eine Shwingungye Aufgben Monye Aufgbe Shwingungiger Aufgbe Moebiung i inien Eeenen reuenzgng Aufgbe 5 Moebiung i Aeberhe Prinzip in er ung von Lgrnge Aufgbe 6 7 E

2 Mehnihe Syee yni III Anhng E Übungufgben Aufgbe er in Bi E izziere Mehrfreiheigrhwinger beeh u rei Teien rei Linerfeern Seifigeien un rei vioen äpfern äpfungoeffizienen Sye wir n eine freien Ene urh eine zeiih vorgehriebene Verhiebung i er reuenz un er Apiue hronih erreg reuierene Bewegungverhen für ie beien neren Teien reiheigre i nhfogen zu uneruhen Bi E: Mehrfreiheigrhwinger Seen Sie für zunäh noh voänig freie Sye i rei reiheigren h [ ] T ie Bewegunggeihung uf b Geben Sie nhießen ie Bewegunggeihung für ie verbeibenen reiheigre n wenn nun i o vorgegeben i Wähen Sie zur Beiung er priuären Löung er Bewegunggeihung u b für un einen Anz vo Typ er rehen Seie h i io iin i un een Sie Geihungye zur Beiung er vier Preer uf i i Beien Sie un o un grunäzih gegenphig i geiher Apiue hwingen wobei g/ e Geben Sie für ie Shwingung geäß Tei un zhenäßig n wobei g N N g 8 8 g g Ergebnie: M & & K i M b M& & K i K in o M K 7 E

3 Mehnihe Syee yni III Anhng E Übungufgben 7 E e N N 8 9in o Bezug zu Mnurip: Abhni i Mnurip Wihige oren 6

4 Mehnihe Syee yni III Anhng E Übungufgben Aufgbe Ein würfeföriger Sei i urhgängig yeriher Menvereiung wir i einer Trnporgerung u vier Linerfeern un vier vioen äpfern vor e Einbu in ie Trägerree eine Snhwingveruh unerzogen ie Bewegungnregung erfog urh einen Seien befeigen Unwuhoor bei onner rehgehwinigei Nhfogen i ie ih eineene Bewegung in er in Bi E rgeeen Ebene i Hife er ngegebenen reiheigre bi zu uneruhen ür ie Anye wir zuäzih ie Annhe einer Auenungen geroffen Weierhin in ie Me e Seien ein Hup-Trägheioen Θ u ie berhee rehhe ie eereifigeien je un ie äpfungoeffizienen je er Lgerung ebeno gegeben wie ie in Bi E enhene Länge un er Krfveor [o in] T er Unwuherregung Θ y x Bi E: Sei i Trnporgerung Seen Sie ie Bewegunggeihung für Sye uf b Berehnen Sie für ie Eigenfreuenzen e Sye Beien Sie für bei Annhe einer unerriihen äpfung ie peziee Geöung für ie Bewegung wobei Sye bei u er Ruhe heru ngereg wir Wehen Wer oe ie Anregungfreuenz bezügih nie nnehen wenn Sye nur ehr hwh geäpf i? Ergebni: o M& & K i in in 7 E

5 Mehnihe Syee yni III Anhng E Übungufgben 7 E5 Θ K M b Θ Θ Θ Θ Θ Θ Hifgrößen: in o rn V V V V & & Bewegung: o in o e V & Ungefähr Bezug zu Mnurip: Abhni i Mnurip Wihige oren

6 Mehnihe Syee yni III Anhng E Übungufgben 7 E6 Aufgbe ür ein geäpfe Shwingungye i rei reiheigren i ie Bewegunggeihung in er fogenen ineren or gegeben: K M & & & [ ] [ ] N g g T T K M Ebenf benn in ie enoriere Morix M Q e Sye [ ] g M M M M Q owie ie Anfngbeingungen un & für eine hier berhee Shwingung: [ ] T & Shwingungye ez ih u ehreren einfhen Men- äpfer- eer- un Einpnneeenen zuen ie in Bi E wieergegeben in Bi E: Eeene eine Mehrörperye Reonruieren Sie en ehnihen Aufbu e Sye i Hife er in Bi E ngegebenen Eeene b Wehe Ar er äpfung ieg vor? Trnforieren Sie ie Bewegunggeihung in en Moru Veor er Mooorinen: ξ Wie groß in ie Eigenfreuenzen i e ungeäpfen Sye? e Trnforieren Sie ie gegebenen Anfngbeingungen in en Moru ie Morix o bei nih inverier weren f Beien Sie zhenäßig ie peziee hoogene Löung für ie ere Mooorine ξ h

7 Mehnihe Syee yni III Anhng E Übungufgben Ergebni: b Proporionäpfung M & ξ ξ& ξ g e ξ ξ& g f ξ h e g inh Bezug zu Mnurip: T Abhni i Mnurip 8 Wihige oren E7

8 Mehnihe Syee yni III Anhng E Übungufgben Aufgbe in Bi E bgebiee Shwingungye beeh u eine in fe eingepnnen Biegeben Länge on Biegeeifigei EJ on Menbeegung ρa owie einer Pune un eine geenig ngebrhen Shwingungiger rehen Ene e Ben er Tiger wieeru wir u einer eer Seifigei un eine vioen äpfer äpfungoeffizien gebie ie pre ngeorne in un n ihre freien Ene eine Pune rgen Nhfogen i ie Auwirung e Tiger uf Bewegungverhen er Me zu uneruhen wobei ie horizonen Bewegungoponenen e Shwingungye vernhäig weren önnen un ie verien ein ein oen er Ben o bei ein einzene ungeäpfe inie Eeen oeier weren ie Verrehung e rehen Benene ei hronihe Sörerregung φ vorgegeben z w EJ ρa x Bi E: eern ufgehänge Pune Wehe reiheigre h Sye wenn ie Verrehung e rehen Benene noh frei i? Geben Sie hierfür ie Bewegunggeihung n b Leien Sie hieru ie Bewegunggeihung für ie Anornung b wenn ie Verrehung nun vorgegeben i Geben Sie für Ergebni u b ie opexe reuenzgngrix G un ie opexe Erregungnwor in Abhängigei er gegebenen Preer n Sizzieren Sie für ie Veriuenung e rehen Benene en Beirg von G zu Apiuenfreuenzgng Benuzen Sie bei fogene Zhenwere: EJ N g ρ A g g g Wie erhä n hieru en geen Apiuenfreuenzgng? e Behreiben Sie urz wie Sie en Apiuenfreuenzgng für ie Veriuenung e rehen Benene gewinnen würen wenn er Tiger nih ehr ngeoppe i 7 E8

9 Mehnihe Syee yni III Anhng E Übungufgben 7 E9 Ergebni: reiheigre: K M & & & i 6 78 EJ A K M ρ b K M & & & i 6 78 K M & & i e e 6 78 G G von Anei G 8 6 G in /N in / 6

10 Mehnihe Syee yni III Anhng E Übungufgben Geer Apiuenfreuenzgng: Muipiion von G i 6 5 in /r in / 8 e eiinieren nur eine einzene re ifferenzigeihung für beib übrig ifferenzigeihung uf Norfor bringen Auf ie Geihung in Norfor ie benne ore für V nwenen Bezug zu Mnurip: Abhni i Mnurip 7 8 Wihige oren E

11 Mehnihe Syee yni III Anhng E Übungufgben Aufgbe 5 er Sorzeenueger eine Seien er nhfogen reibungfrei geenig gegerer Biegeben er Länge er onnen Biegeeifigei EJ un er onnen Menbeegung ρa ngeehen weren nn wir eine Snhwingveruh unerzogen Bi E5 ie hronihe Shwingungnregung erfog in er Mie e Aueger über einen weggeregeen Sher ähnih eine Ineriuor er ih eer-äpfer-sye Seifigei äpfungonne Me ieiieren ä ür eine ere Anye e Shwingungverhen e Sye bei er ie horizonen Bewegungoponenen vernhäigbr un ie verien ein in o er Aueger ein einzene inie Beneeen oeier weren Geihzeiig geen ie fogenen Beziehungen: ρa EJ EJ ρa EJ ρa x z w Bi E5: Snhwingveruh eine Sorzeenueger Wie viee un wehe reiheigre h Sye wenn ie Bewegung er Me noh frei i? b Seen Sie ie Bewegunggeihung für ie Anornung uf wobei ie Bewegung von noh frei ein o ie Preer EJ un ρa oen bei eiinier weren Reuzieren Sie iee Bewegunggeihung für en nun ie vorgegebene Veribewegung uführ un benuzen Sie für ie Auenung u ie Geihgewihge ie opexe oruierung e Seen Sie für reuziere Sye ie Beiunggeihungen für ie Shwingungpiuen er verbeibenen reiheigre uf un öen Sie iee uner Behung er Syerie e inien Beneeen e Wie ä ih u e Ergebni von ie eerrf e Shwingerreger beien? Ergebni: reiheigre: zb Verrehung e inen Benene i Uhrzeigerinn: Verrehung e rehen Benene i Uhrzeigerinn: Veriverhiebung von : jewei u ie Geihgewihge 7 E

12 Mehnihe Syee yni III Anhng E Übungufgben b M & & K & i [ ] T un M K M& & K & i [ ] T un 57 7 M 6 K e Au Syeriegrünen gi Hieru fog: e e e 65 e e 6 e 65 Bezug zu Mnurip: Abhni i Mnurip 7 8 Wihige oren E

13 Mehnihe Syee yni III Anhng E Übungufgben Aufgbe 6 Eine Hbuge i Riu ρ Me Huprägheioenen Θ uer zur Ahe er Roionyerie un Θ u ie Ahe er Roionyerie owie Abn zwihen e Miepun C * e Shnireie un e Shwerpun C beweg ih uner e Einfu er Erbeheunigung g reibungfrei uf einer horizonen Ebene er Berührpun zwihen Hbuge un Ebene i P Zur Behreibung er Kinei er Hbuge oen ein ebenenfee hier inerie Koorinenye xyz owie ein örperfee ξζ verwene weren er Übergng vo ebenenfeen zu örperfeen Sye nn wie in er ugehni über rei Euer- bzw Krnwine φ θ un ψ behrieben weren vg Bi E6 ρ C C * ξ φ g ψ z x y ζ P φ roen θ nien ψ gieren Bi E6: Roene Hbuge Beien Sie i Hife er ngegebenen Größen e inerien rehgehwinigeiveor owie e Aeberhen Prinzip in er ung von Lgrnge ie Bewegunggeihungen er Hbuge Ergebni: x& C y& C ρ oθoφ & φ oψ / oθ & θ inψ ψ& oψ nθ ρ oθoφ inψ / oθ oψ inψ nθ oψ inφ inψ inθoφ inψ inφ oψ inθoφ T T & Θ J J J gg Θ i Θ Θ Θ Θ T inψ inφ oψ inθoφ oψ inφ inψ inθoφ oθoφ owie J J J ρ oθoφ J oψ inφ inψ inθoφ inψ inφ oψ inθoφ un 7 E

14 Mehnihe Syee yni III Anhng E Übungufgben G G G oψ inφ inψ inθoφ x inψ inφ oψ inθ oφ G y oθoφx inψ inφ oψ inθoφ z oθoφ y oψ inφ inψ inθoφ z Bezug zu Mnurip: Abhni i Mnurip Voreung ugehni Wihige oren E