Koordinatentransformationen und beschleunigte Bezugssysteme

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1 Koordinatntransformationn und bschlunigt Bzugssystm Wi lassn sich Drhungn mathmatisch bschribn? Was sind Galili- Transformationn? Wi lautn di Nwton schn Axiom in bschlunigtn Bzugssystmn? Was ist di Zntrifugalkraft? Warum wrdn Kuglkoordinatn vrwndt?. Drhungn von kartsischn Koordinatnsystmn Galili-Transformationn Bschlunigt Bzugssystm Kräft in rotirndn Bzugssystmn Nichtkartsisch Koordinatnsystm Aufgabn Ausführlich Lösungn zu dn Aufgabn... 8 Litratur M. Bartlmann tal., Thortisch Physik, DOI.7/ _, Springr-Vrlag Brlin Hidlbrg 5 49

2 5 Koordinatntransformationn und bschlunigt Bzugssystm Di Untrsuchung ds Vrhaltns ins physikalischn Systms untr inr Koordinatntransformation ist in zntralr Punkt in dr gsamtn thortischn Physik. Wird in physikalischs Systm nach inr Koordinatntransformation durch dislbn Glichungn bschribn wi vorhr, so hißt s symmtrisch untr disr Transformation. Symmtrin spiln in dr Physik in hrausragnd Roll, was in Kap. 5 hrausgarbitt wird. Das Intrss an dn Symmtriignschaftn physikalischr Systm ist dswgn so wichtig, da Symmtrin in dr Rgl auf Erhaltungsgrößn führn. Bispil hirfür sind di Enrgirhaltung aufgrund dr Zittranslationsinvarianz (Symmtri untr Vrschibung ds Zitnullpunkts) odr di Impulsrhaltung aufgrund dr Homognität ds Raums (Symmtri untr räumlichn Translationn). Wir wrdn darauf in Kap. 5 gnaur inghn. In dism Kapitl wrdn zahlrich mathmatisch Wrkzug ingführt, um Koordinatntransformationn und bschlunigt Bzugssystm bschribn zu könnn. Dazu ghörn z. B. di Drhmatrizn (Abschn..) sowi Zylindr- und Kuglkoordinatn (Abschn..5). Ds Witrn wird in Schwrpunkt auf di mit Koordinatntransformationn vrbundn Physik glgt. Bispilswis lässt in bstimmt Klass von Koordinatntransformationn, dn Galili-Transformationn (Abschn..), di Nwton schn Bwgungsglichungn invariant. Bschlunigt Bzugssystm andrrsits rfordrn Erwitrungn dr Bwgungsglichungn, was ltztlich auf di Zntrifugal- und Coriolis-Kräft führt (Abschn..3 und.4).. Drhungn von kartsischn Koordinatnsystmn Wir wrdn uns im Folgndn mit Drhungn von kartsischn Koordinatnsystmn im dridimnsionaln Raum bschäftign. Dabi wird im Normalfall nicht das btrachtt physikalisch Systm slbst im Raum gdrht, sondrn das bschribnd Koordinatnsystm. Als Konsqunz aus disn sognanntn passivn Drhungn ändrn sich di Koordinatn ds Orts inr Punktmass, nicht jdoch ihr Lag bzüglich ds ursprünglichn Koordinatnsystms. Drhungn von Vktorn lassn sich dabi durch orthogonal Matrizn darstlln, drn mathmatisch Eignschaftn vorgstllt wrdn. Schlißlich wrdn di Transformationsglichungn für Vktorn untr Drhungn abglitt. Darstllung ds Ortsvktors in inm Koordinatnsystm Es ist dutlich zu untrschidn zwischn inm physikalischn Vktor (z. B. dm Ortsvktor x) und sinr Darstllung in inm ggbnn Koordinatnsystm. Dr Vktor x kann durch sin Komponntn.x ; x ; x 3 / bzüglich inr gigntn Basis.O ; O ; O 3 / als x D x O C x O C x 3 O 3 (.) dargstllt wrdn. Oftmals wrdn dabi di dri Koordinatn in dr Form x D.x ; x ; x 3 / > x A (.) zusammngfasst. Mit dm Koordinatnvktor x lässt sich dann wi gwohnt rchnn. Man sagt auch, dass x nach dn Basisvktorn ntwicklt wird. Di Koordinatn sind jwils di Projktionn ds Vktors x auf di dri Koordinatnachsn ntlang O i,alsox i D x O i (i D ; ; 3). Hirbi nhmn wir an, dass di Basisvktorn in Orthonormalbasis bildn und somit O i O j D ı ij rfülln. Witrhin solln di O i in rchtshändigs Dribin bildn, d. h. O O D O 3, O O 3 D O und O 3 O D O. Wir nnnn physikalisch Vktorn wi x auch abstrakt Vktorn, da si unabhängig von irgndinr Wahl ds Koordinatnsystms sind. Achtung Es ist unbdingt zu untrschidn zwischn inm physikalischn Vktor x und sinr Darstllung x D.x ; x ; x 3 / > bzüglich inr gwähltn Basis, d. h. ins fstglgtn Koordinatnsystms. Di Koordinatn.x ; x ; x 3 / hängn von dr Wahl dr Basis ab, dr Vktor x ist allrdings völlig unabhängig von dr Wahl irgndinr Basis. Oftmals tritt Vrwirrung auf, da x bnfalls als Vktor bzichnt wird. Dis ligt daran, dass s sich bi x um inn mathmatischn Vktor handlt ( Mathmatischr Hintrgrund. ). In dism Buch wrdn wir dnnoch häufig auf di bqumr Formulirung auswichn und x als dn Ortsvktor bzichnn, wnn kin Missvrständniss zu rwartn sind. In dn wnign Fälln, bi dnn in Untrschidung zwischn x und x notwndig ist, wird dis xplizit btont. Frag Machn Si sich klar, dass di Darstllungn dr dri Basisvktorn in ihrm ignn Koordinatnsystm stts.; ; / >,.; ; / > und.; ; / > lautn. Physikalisch Vorgäng sind unabhängig von dr Wahl ds Koordinatnsystms, da Koordinatnsystm ldiglich dr Darstllung dinn, physikalisch Prozss abr nicht binflussn. Dis rlaubt das gschickt Auswähln ins Koordinatnsystms, in wlchm di rsultirndn Glichungn möglichst infach wrdn. Ein Bispil habn wir brits in Abschn..3 gshn: Dort wurd das Koordinatnsystm so gwählt, dass di Bwgungdr Punktmassntlang drz-achs rfolgt. Gnauso gut hätt man di Bwgung ntlang dr x-achs odr innrhalb dr y-z-ebn dfinirn könnn. Ght man von inm Koordinatnsystm in in andrs übr, ohn das physikalisch Systm als solchs zu vrändrn, stllt sich di Frag nach dn damit vrbundnn Transformationsglichungn für di Basisvktorn und di Koordinatn ds x x 3

3 . Drhungn von kartsischn Koordinatnsystmn 5 b b φ 3 3 φ b Di nun Basisvktorn lassn sich somit aus dn altn brchnn: O D cos O C sin O ; O D sin O C cos O ; (.6) O 3 D O 3: Allgmin gilt Abb.. Ein ungstrichns Koordinatnsystm (schwarz) wird um inn Winkl um di x 3 -Achs gdrht und ght somit in in nus, gstrichns Koordinatnsystm (blau)übr Ortsvktors. In dism Kapitl wrdn wir uns dahr mit dn wichtigstn disr Transformationn bschäftign: zitunabhängig und zitabhängig Drhungn und Translationn von kartsischn Koordinatnsystmn, Übrgang von inm kartsischn zu inm nichtkartsischn Koordinatnsystm, insbsondr zu Zylindr- und sphärischn Polarkoordinatn bzw. Kuglkoordinatn. Es wrdn hirbi auch bschlunigt Koordinatnsystm und solch mit nichtkonstantn Basisvktorn zuglassn, was in Modifizirung ds zwitn Nwton schn Axioms rfordrt. Drhungn um in Koordinatnachs Stlln wir uns zunächst vor, dass in vorhr ingführts ungstrichns Koordinatnsystm S mit dn kartsischn Basisvktorn O, O und O 3 um inn Winkl um di x 3 -Achs gdrht wird, wobi dr Ursprung nicht vrschobn wird (Abb..). Dadurch ghn di bidn Basisvktorn O und O in nu Basisvktorn O und O übr. Das nu gstrichn Koordinatnsystm S ist bnfalls kartsisch. Offnbar ist dr Winkl zwischn O und O sowi zwischn O und O grad dr Winkl, währnd dr Basisvktor O 3 unvrändrt blibt: O O D cos ; O O D cos ; O 3 O 3 D : (.3) Dis Größn wrdn Richtungskosinus gnannt. Aus Abb.. rknnt man, dass zwischn O und O dr Winkl = C und zwischn O und O dr Winkl = ist: O O D cos. = C / D sin ; O O D cos. = / D sin : (.4) Da O 3 D O 3 ist, vrschwindn all übrign Skalarprodukt a ij WD O i O j (i; j D ; ; 3). Zusammngfasst lautn di 3 3Zahln a ij a D cos ; a D sin ; a 3 D ; O i D.O i O /O C.O i O /O C.O i O 3/O 3 D a i O C a i O C a i3 O 3 : Di ntsprchnd Umkhrung ist (.7) O i D.O i O /O C.O i O /O C.O i O 3 /O 3 D a i O C a io C a 3iO 3 : (.8) Frag Man übrprüf di Gültigkit von (.6) anhand von Abb.. bzw. Glichung (.5). Wi brits btont, handlt s sich bi dr obn diskutirtn Koordinatntransformation um in Drhung ds Koordinatnsystms, wobi das physikalisch Systm slbst unvrändrt blibt. In dism Zusammnhang spricht man von passivn Drhungn. Drht man im Ggnsatz dazu das physikalisch Systm in inm fstn Koordinatnsystm, bzichnt man dis als aktiv Drhung. Mathmatisch sind bid Vorgäng äquivalnt, physikalisch abr strng zu untrschidn, da für in aktiv Drhung in dr Rgl Kräft bnötigt wrdn (und auch nicht immr möglich sind, z. B. bi Spiglungn). Passiv Koordinatntransformation Passiv Koordinatntransformationn ntsprchn dm Wchsl von inm Koordinatnsystm zu inm andrn. Si habn kin Auswirkung auf physikalisch Größn, ändrn abr in dr Rgl ihr Darstllung. Darstllung von Drhungn durch Matrizn Di 3 3Zahlna ij aus (.5) lassn sich durch das rchtckig Zahlnschma inr quadratischn Matrix darstlln: cos sin A D.a ij / sin cos A : (.9) a D sin ; a D cos ; a 3 D ; a 3 D ; a 3 D ; a 33 D : (.5) Matrizn und ihr grundlgndn Rchnrgln wrdn im Mathmatischn Hintrgrund. bsprochn. Di Matrix A

4 5 Koordinatntransformationn und bschlunigt Bzugssystm. Mathmatischr Hintrgrund: Matrizn I Dfinition und grundlgnd Rchnrgln In dr Mathmatik und dr Physik sind linar Abbildungn zwischn Vktorräumn von großr Bdutung. Im Fall ds R 3 sind dis bispilswis Drhungn odr Spiglungn. Solch linarn Abbildungn lassn sich mithilf von Matrizn bschribn. Matrizn Matrizn (singular: Matrix) sind Zahlnschmata aus M N Zahln ins Körprs K, di in M Ziln und N Spaltn angordnt sind: a a a N a a a N A D : : : :: : :: C A DW.a ij/: a M a M a MN Di Zahln a ij hißn Matrixlmnt. Ein Matrix mit M Ziln und N Spaltn nnnt man auch M N-Matrix. dr linarn Abbildung kann man (nachdm in dn btrffndn Vktorräumn in Basis gwählt wurd) gnau in Matrix zuordnn, und umgkhrt dfinirt jd Matrix (bi fstr Basis) in indutig linar Abbildung. Ein spzill Matrix ist di Einhitsmatrix I D.a ij / mit a ij D ı ij : Dis Matrix bschribt di Idntitätsabbildung. Vktorraum dr Matrizn Di MN-Matrizn bildn slbst widr inn Vktorraum M MN übr K, wnn man di Addition und di Multiplikation mit Skalarn lmntwis dfinirt: CWM MN M MN! M MN ;.A; B/ 7!.a ij C b ij /; WK M MN! M MN ;.;A/ 7!.a ij /: Man kann nur Matrizn addirn, bi dnn sowohl di Ziln- als auch di Spaltnanzahl übrinstimmt. Matrixmultiplikation Man dfinirt in Matrixmultiplikation so, dass man L M-Matrizn mit M N-Matrizn multiplizirn kann, um L N-Matrizn zu rhaltn: M LM M MN! M LN ;.A; B/ 7! AB D.a ij b jk /: Hir sind i L, j M und k N. DiSummation übr dopplt Indizs (hir übr j von bis M) wird implizit vorausgstzt, d. h. MX a ij b jk WD a ij b jk : jd Das Matrixprodukt ist grad so dfinirt, dass das Produkt zwir Matrizn dr Vrkttung dr zughörign linarn Abbildungn ntspricht. Hirbi ist s wichtig, dass man zwi Matrizn nur dann multiplizirn kann, wnn di rst Matrix gnauso vil Spaltn wi di zwit Matrix Ziln hat. Rchnrgln für di Matrixmultiplikation Für das Matrixprodukt gltn folgnd Rchnrgln, sofrn man di btiligtn Matrizn addirn bzw. multiplizirn kann:.ab/c D A.BC/ (Assoziativgstz).A C B/C D AC C BC (rchts Distributivgstz) A.B C C/ D AB C AC (links Distributivgstz) AI D IA D A (Idntitätsabbildung) Im Allgminn gilt jdoch AB BA. Matrix-Vktor-Multiplikation Indm man di Koordinatndarstllungn von Spaltnvktorn aus N-dimnsionaln Vktorräumn V N als N -Matrizn auffasst, ist damit auch in Multiplikation von M N-Matrizn mit N-dimnsionaln Spaltnvktorn dfinirt, drn Ergbnis in Vktor aus inm M-dimnsionaln Vktorraum V M ist: M MN V N! V M ;.A; v/ 7!.a ij v j /; wobi i M und j N sind. Ebnso kann man Zilnvktorn aus V N als N-Matrizn auffassn und si von rchts mit N M-Matrizn multiplizirn, um M-dimnsional Zilnvktorn zu rhaltn: V N M NM! V M ;.v; A/ 7!.v i a ij /: Man schribt di Multiplikationn auch kurz in dr Form Av und v > A. Transponirt Di Transponirt inr Matrix wird dfinirt, indm man di bidn Indizs und damit Ziln und Spaltn vrtauscht: A > D.a ij / > D.a ji /: Somit gilt dann v > A D v i a ij D a > ji v i D A > v: Es gltn di folgndn Rchnrgln:.AB/ > D.a ij b jk / > D.a kj b ji / D.a > jk b> ij / D B> A >,.A C B/ > D A > C B >,.A > / > D A, I > D I. Litratur Modlr, F., Krh, M.: Tutorium Analysis und Linar Algbra. 3. Aufl., Springr Spktrum (4) Bosch, S.: Linar Algbra. 4. Aufl., Springr (7)

5 . Drhungn von kartsischn Koordinatnsystmn 53 ist di Drhmatrix, wlch di in Abb.. bschribn Drhung vrmittlt. Für in allgmin Transformation zwischn blibign kartsischn Koordinatnsystmn gilt A O O O O O O 3 O O O O O O A 3 (.) O 3 O O 3 O O 3 O 3 odr in Kurzform a ij D O i O j. Solch Matrizn sind orthogonal Matrizn, di im Mathmatischn Hintrgrund. dfinirt wrdn und für di A > A D I gilt, wobi I D.ı ij / di Einhitsmatrix ist. Als Konvntion für di Schribwis lgn wir fst, dass Matrizn durch Großbuchstabn, di Matrixlmnt jdoch durch Klinbuchstabn notirt wrdn, z. B. A D.a ij / odr R D.r kl /. Frag 3 Man mach sich klar, warum nur quadratisch Matrizn für Drhungn von Koordinatnsystmn infrag kommn. Sukzssiv Drhungn Im Folgndn wolln wir Drhmatrizn mit R (wi Rotation) bzichnn. Si bildn in mathmatisch Untrgrupp (sih dn Mathmatischn Hintrgrund.4) dr allgminrn orthogonaln Matrizn. Da sich Drhungn durch quadratisch Matrizn ausdrückn lassn, könnn nachinandr ausgführt mhrfach Drhungn ins Bzugssystms mithilf dr Matrixmultiplikation formulirt wrdn. Ein solch mhrfach Rotation ist in viln Brichn dr thortischn Physik von großr Bdutung. Wird in Koordinatnsystm nachinandr durch N Rotationn R ;:::;R N gdrht, so ist dis äquivalnt zu inr Drhung mit dr Matrix R D R N R N :::R R : (.) Di Rihnfolg dr R i ist dabi drart, dass dasjnig R i,das als Ersts auf inn Vktor wirkn soll, ganz rchts und somit unmittlbar vor dm Vktor stht (und folglich zurst multiplizirt wird). Achtung Di Matrixmultiplikation ist im Allgminn nicht kommutativ, das Ergbnis hängt von dr Rihnfolg dr Multiplikation ab. Physikalisch bdutt dis, dass das Ergbnis aufinandrfolgndr Drhungn im Raum von drn Rihnfolg abhängt (Abb..). Rihnfolg von Drhungn Btrachtn wir zwi Drhungn, di rst um inn Winkl um di O 3 -Achs, di zwit um inn Winkl Abb.. Bi aufinandrfolgndn Drhungn spilt di Rihnfolg dr Einzldrhungn in Roll. Im obrn Bispil wirdinquadrumzwizu- inandr snkrcht Achsn gdrht. Vrtauscht man di Rihnfolg, ist das Rsultat untrschidlich (untrs Bispil) um di ursprünglich O -Achs. Di bidn Drhmatrizn lautn cos sin R sin cos A ; (.) cos sin R A : sin cos Wndt man di Rgln dr Matrixmultiplikation an, findt man für di rsultirnd Drhmatrix R D R R cos cos sin cos sin sin cos cos sin sin sin cos A : (.3) Im Ggnsatz dazu würd in Drhung vrmittlt durch R gfolgt von R auf di Drhmatrix R R D cos cos sin cos sin cos cos sin sin sin cos A (.4) führn. Offnsichtlich sind bid Ergbniss untrschidlich. Frag 4 Rchnn Si di bidn Produkt in (.3) und (.4) komponntnwis nach, wobi Si di Rgln dr Matrixmultiplikation vrwndn. In Kap. 4 wrdn wir shn, dass in räumlich Drhung um in blibig Achs stts durch dri sukzssiv Drhungn um

6 54 Koordinatntransformationn und bschlunigt Bzugssystm. Mathmatischr Hintrgrund: Matrizn II Dtrminantn Wir habn brits Matrizn und drn Bdutung knnnglrnt. Hir wolln wir uns nun noch twas gnaur mit ihnn bschäftign. Außrdm wrdn wir di Dtrminant knnnlrnn, di für Matrizn in groß Bdutung hat. Dafür bnötign wir Prmutationn. Prmutationn Ein Prmutation ist in bijktiv Abbildung inr ndlichn Mng in sich slbst. Andrs gsagt, vrtauscht (prmutirt) in Prmutation nur di Rihnfolg dr Elmnt inr Mng. Mist wrdn Prmutationn auf inr ndlichn Indxmng (d. h. inr ndlichn Mng von Zahln f;:::;ng) btrachtt. Di Mng disr Prmutationn bzichnt man dann mit S N. Findt in grad Anzahl von Vrtauschungn (von j zwi Elmntn) statt, so nnnt man di Prmutation grad, ansonstn ungrad. Entsprchnd ist für in Prmutation das Signum sgn. / dfinirt als, wnn grad ist, und als, wnn ungrad ist. Da di Indizs f;:::;ng auf N.N / D NŠ vrschidn Artn prmutirt wrdn könnn, nthält S N gnau NŠ Elmnt. Davon sind gnau NŠ= grad. Dtrminant Di Dtrminant inr Matrix A D.a ij / M NN ist dfinirt als dt.a/ WD X S N sgn. /a./ a./ a N.N/ : dr Nbndiagonaln (von rchts obn nach links untn) gnommn wrdn. Normalrwis wird di Dtrminant twas andrs dfinirt und di obig Forml daraus gfolgrt. Für uns wrdn di obig Dfinition und di folgndn Rchnrgln (di im Wsntlichn all Dtails dr richtign Dfinition dr Dtrminant nthaltn) jdoch ausrichn. Rchnrgln für di Dtrminant dt.ab/ D dt.a/ dt.b/ dt.a > / D dt.a/ dt.a/ D N dt.a/ sind in A zwi Ziln odr Spaltn linar abhängig, so ist dt.a/ D dt.i/ D Orthonormal Transformationn Mit Matrizn lassn sich Koordinatntransformationn bschribn, di in alt Basis O i in in nu O i übrführn. Bsondrs wichtig sind Transformationn für Orthonormalbasn, d. h. für Basn, für di ho i ; O j idı ij bzw. ho i ; O j idı ij gilt. Ist A D.a ij / in solch Matrix, so muss ı ij Dha ik O k ; a jl O l ida ik a jl ı kl D a ik a jk D a ik a > kj ; Statt dt.a/ schribt man auch jaj. Di Dtrminant ist nur für quadratisch Matrizn dfinirt. Für N D lautt di obig Forml dt.a/ D a a a a und für N D 3 dt.a/ D.a a a 33 C a a 3 a 3 C a 3 a a 3 /.a a a 33 C a a 3 a 3 C a 3 a a 3 / D " ijk a i a j a 3k : Dis Forml nnnt man auch Rgl von Sarrus, di man sich folgndrmaßn grafisch vorstlln kann: a a a 3 a a also AA > D I D A > A; gltn. Ein solch Matrix hißt orthogonal, währnd man di Transformation orthonormal nnnt. Wgn dr Rchnrgln für Dtrminantn gilt D dt.i/ D dt.aa > / D dt.a/ dt.a > / D.dt.A// ; also dt.a/ D. Ist dt.a/ D, nnnt man di orthonormal Transformation igntlich, ansonstn unigntlich. Anschaulich gibt di Dtrminant inr Transformationsmatrix an, wi sich das orintirt Volumn ins Körprs untr disr Transformation ändrt. Insbsondr lassn orthogonal Transformationn das Volumn höchstns bis auf das Vorzichn invariant. a a a 3 a 3 a 3 a 33 a a a 3 a 3 Man kann sich mrkn, dass di Produkt dr Hauptdiagonaln (von links obn nach rchts untn) minus dr Produkt Litratur Modlr, F., Krh, M.: Tutorium Analysis und Linar Algbra. 3. Aufl., Spktrum (4) Bosch, S.: Linar Algbra. 4. Aufl., Springr (7)

7 . Drhungn von kartsischn Koordinatnsystmn 55 b x Offnsichtlich rhält man di nun Koordinatn ds Ortsvktors durch Anwndung dr Matrix R auf di altn Koordinatn. In Kurzform könnn wir auch x D Rx: (.9) x φ φ Abb..3 Darstllung inr passivn Drhung, bi dr das ungstrichn Koordinatnsystm (schwarz) durch in Drhung um di x 3 -Achs in das gstrichn Koordinatnsystm (blau) übrführt wird. Dr Vktor x wird davon nicht brührt, allrdings hängt sin Darstllung vom Koordinatnsystm ab, wi man an dn Projktionn auf di ntsprchndn Koordinatnachsn rknnn kann di dri Koordinatnachsn dargstllt wrdn kann. Drhungn im dridimnsionaln Raum lassn sich dahr durch dri unabhängig Drhwinkl bschribn. x x b schribn. Achtung Ausdrück dr Form r ij a i b j odr r ij r kj sind Abkürzungn (und nichts andrs als das) für di längrn Schribwisn P i;j r ija i b j odr P j r ijr kj. Dabi wird stts übr dopplt auftrtnd Indizs summirt. Einzln Indizs müssn auf bidn Sitn inr Glichung auftrtn, z. B. a i b j D r ij c k d k odr a i b j D r ik c j d k. Glichungn wi a i b i D c i, r ij D d k odr a i b j D r ik c i d k sind nicht korrkt! Indizs könnn also ntwdr infach vorkommn, müssn dann abr auf bidn Sitn inr Glichung sthn odr auf inr odr bidn Sitn dopplt. Dann wird übr si summirt. Zum Bispil sind di Glichungn a i b i D c j d j und a k b k D c k d k bid gültig und sogar glichwrtig. Indizs dürfn nicht häufigr als zwimal auf inr Sit inr Glichung vorkommn, da stts paarwis summirt wird. Summationsindizs könnn also im Rahmn dr obn gnanntn Rgln umbnannt wrdn. Transformation ds Ortsvktors untr Drhungn Wir wolln nun untrsuchn, wi sich di Darstllung ds Ortsvktors x ändrt, wnn das Koordinatnsystm gdrht wird. Ein Punktmass bfind sich am Ort mit dn Koordinatn x. Abhängig von dr Wahl ds Koordinatnsystms hat disr Ort vrschidn Darstllungn. Wir schribn di Darstllungn vor und nach dr Drhung als x D.x ; x ; x 3 / > bzw. x D.x ; x ; x 3 />. Di Drhung ist in Abb..3 illustrirt. Wir wissn, dass für di Koordinatn ds Orts in dn bidn Koordinatnsystmn gilt. Witrhin sind x i D x O i bzw: x i D x O i (.5) x D x O C x O C x 3 O 3 und x D x O C x O C x 3 O 3 (.6) ggbn. Dis führt dirkt auf x i D.x O C x O C x 3 O 3 / O i D x j O j O i D x jo i O j D r ij x j ; (.7) wobi di Matrix R durch (.) dfinirt ist. Hir und im Folgndn wird übr dopplt auftrtnd Indizs summirt, ohn das Summnzichn xplizit anzugbn (Einstin sch Summnkonvntion): 3X r ij x j WD r ij x j : (.8) jd Transformation dr Darstllung ds Ortsvktors untr passivn Drhungn Dr Koordinatnvktor ds Orts transformirt untr passivn Drhungn vrmittlt durch di Matrix R wi x D Rx: (.) Frag 5 Machn Si sich anhand ds Bispils in Glichung (.9) und Abb..3 klar, dass di Drhmatrix R vrwndt wird, um di nu Darstllung ds Ortsvktors zu findn. Drhung Wir btrachtn dn Vktor mit dr ursprünglichn Darstllung x D.x ; x ; x 3 / > D.; ; / >. Di Drhung, di durch di Matrix R in (.9) vrmittlt wird, führt auf di Darstllung x x x x 3 A D cos C sin A cos sin A : (.) Bi inr aktivn Transformation wird in physikalischr Vktor x mit dr Darstllung x D.x ; x ; x 3 / > in in und dmslbn

8 56 Koordinatntransformationn und bschlunigt Bzugssystm Koordinatnsystm gdrht, sodass sich in andrr physikalischr Vktor x mit dr Darstllung x D.x ; x ; x 3 /> rgibt. Hir gilt bnfalls (.9); dis ist jdoch andrs zu intrprtirn, da di Basisvktorn von dr Transformation nicht btroffn sind. Wi brits rwähnt ist für solch in Drhung in Kraft nötig; si ist dahr von inr passivn Transformation zu untrschidn. Passiv und aktiv Drhungn Möcht man di Rücksit inr auf dm Tisch sthndn Vas btrachtn, kann man um dn Tisch hrum ghn. Dis ntspricht inr passivn Transformation, da sich di Vas nicht drht, das Bzugssystm (fstglgt durch di Blickrichtung) schon. Di andr Möglichkit ist, di Vas zu nhmn und umzudrhn. Dabi ändrt sich das Bzugssystm nicht, abr di Vas wird im Raum gdrht. Mathmatisch wrdn bid Vorgäng durch dislb Drhung bschribn, physikalisch kann s jdoch Untrschid gbn: So könnt bispilswis dr Lichtinfall von dr Richtung abhängn, sodass man di Rücksit dr Vas im inn Fall gut, im andrn nur schlcht shn kann. Außrdm muss in aktiv Drhung jwils gnau ntggngstzt zu inr passivn sin, damit man dasslb Ergbnis rhält. In Aufgab. wird gzigt, dass Winkl zwischn Vktorn und Längn (Bträg) von Vktorn invariant untr orthogonaln Transformationn sind. Systm S aus btrachtt di Koordinatn b. Dr Ursprung O hat in S natürlich di Koordinatn b D.; ; / >. b 3 x x b 3 O b O Abb..4 Transformation zwischn kartsischn Koordinatnsystmn. Dr Ursprung ds gstrichnn Koordinatnsystms S bfindt sich vom ungstrichnn Koordinatnsystm S aus btrachtt am Ort b.ein Punktmass hat in S di Ortskoordinatn x (blau), in S x (schwarz) Wird dr Ort inr Punktmass bschribn, so lautn di Koordinatn in S zunächst x. Ein Bobachtr in S gibt daggn di Koordinatn x D x b für dislb Punktmass an. Lgt man nun in zwit Punktmass gnau in dn Ursprung O und fragt nach dm Vrschibungsvktor d, dr bid Punktmassn vrbindt, so lautt disr Vktor d D x b bzw. d D x b D x. Man siht sofort, dass dann d D d gilt, wohinggn x 6D x ist. Somit ist x in Bispil für inn gbundnn, d für inn ungbundnn Vktor. Allgmin kann man sagn, dass ungbundn Vktorn ihr Darstllung untr Translationn ds Koordinatnsystms nicht ändrn. Gbundn und ungbundn Vktorn, Transformation ds Gschwindigkitsvktors Man untrschidt zwischn gbundnn und ungbundnn Vktorn. Dr Ort inr Punktmass wird durch inn gbundnn Vktor bschribn, da dr Ort von dr Wahl ds Koordinatnursprungs abhängt. Man sagt, dass dr Ortsvktor an dn Ursprung gbundn ist. Ein ungbundnr Vktor ist daggn von dr Lag ds Ursprungs unabhängig. Solch Vktorn sind Vrschibungsvktorn, di z. B. di Diffrnz von zwi Ortsvktorn und somit in Vrschibung bschribn. Häufig nnnt man ungbundn Vktorn schlicht Vktorn und gbundn Vktorn Elmnt ins affinn Raums. Um dis bssr zu vrsthn, btrachtn wir in Bispil. Vrschibungsvktorn und Drhungn Zwi Koordinatnsystm, S und S, sin durch in Translation ggninandr vrschobn, di Achsn abr nicht ggninandr gdrht (Abb..4). Dr Ursprung O ds gstrichnn Systms S hab vom ungstrichnn Nhmn wir nun an, dass S ggnübr S zurst vrschobn und dann gdrht ist. Di Vrschibung ds Ursprungs si durch dn Vktor b, di Rotation durch di Drhmatrix R bschribn.sowohl b als auch R sin zitunabhängig. In dism Fall gilt für dn Ort inr Punktmass x D R.x b/; (.) da b D ist. Für dn Vrschibungsvktor d D x b gilt daggn d D Rd: (.3) Gbundn und ungbundn Vktorn transformirn sich dahr untrschidlich. Transformation dr Darstllung ds Ortsvktors untr passivn Rotationn und Translationn Dr Ortsvktor ist in an dn Ursprung gbundnr Vktor. Nur Diffrnzn von Ortsvktorn, d D x b, transformirn sich wi d D Rd: (.4)

9 . Galili-Transformationn 57 Solch Größn nnnt man im physikalischn Sinn Vktorn. Frag 6 Machn Si sich di Gültigkit von (.) zichnrisch klar. Fragt man nach dm Transformationsvrhaltn ds Gschwindigkitsvktors dr Punktmass, so siht man dirkt, dass Px D RPx (.5) Hir ist dt.a/ di Dtrminant dr Matrix A D.a ij /. Allgminr lässt sich dr folgnd Zusammnhang zign (Rily t al. 6): " pjk a pq a jl a km D dt.a/" qlm : (.3) Dis widrum führt mit dr Drhmatrix R statt A auf " pjk r pq r jl r km r iq D dt.r/" qlm r iq : (.3) Es folgt sofort dr transformirt Drhimpuls bzw. L i D dt.r/r iq." qlm r l p m / D dt.r/r iq L q (.3) L D dt.r/ RL (.33) gilt. Gschwindigkitn transformirn untr Drhungn dahr wi ungbundn Vktorn. Ein glichzitig Vrschibung ds Ursprungs spilt dabi kin Roll. Frag 7 Übrprüfn Si das Ergbnis in (.5), indm si von (.)ausghn und Pb D und PR D vrwndn. Wir wrdn auf das Transformationsvrhaltn von Px bi allgminn zitabhängign Vrschibungn und Drhungn in Abschn..3 zurückkommn. in Vktorform. Im Ggnsatz zu Gschwindigkitn bzw. Impulsn, di ntsprchnd p D Rp transformirn, tritt bim Drhimpuls in zusätzlichr Faktor dt.r/ auf. Dis ist typisch für Größn, in drn Dfinitionn das Lvi-Civita-Symbol auftaucht. Dr Drhimpuls ändrt dahr sin Vorzichn, wnn di Matrix R in unigntlich Transformation mit dt.r/ D ist. Bispil hirfür sind Spiglungn odr das paarwis Vrtauschn von Koordinatnachsn. Eigntlich Drhungn sind daggn stts durch dt.r/ DCausgzichnt. Spiglung Transformation ds Drhimpulss untr Drhungn, polar und axial Vktorn Di Matrix A A (.34) Dr Drhimpuls L D x p inr Punktmass am Ort x mit Impuls p lautt in Komponntnschribwis L i D " ijk x j p k : (.6) Wir btrachtn rnut in durch in Rotation R vrmittlt Transformation vom ungstrichnn Systm S zum gstrichnn Systm S. Zur Vrinfachung sin bid Koordinatnsystm nicht ggninandr vrschobn. In S lautt dr Drhimpuls vrmittlt in Spiglung an dr x -x -Ebn, d. h., di Koordinatn x ds Ortsvktors wrdn folgndrmaßn transformirt:.x ; x ; x 3 / >!.x ; x ; x 3 / >. Offnsichtlich ist dt.a/ D. Es handlt sich also um in unigntlich orthogonal Matrix. Di nun Basisvktorn sind wgn O i O j D ijk O k (.35) nicht mhr rchtshändig, sondrn linkshändig. Mansagt auch, dass di Hlizität vrtauscht wurd. L i D " ijkx j p k D " ijk.r jl x l /.r km p m / D " ijk r jl r km x l p m : (.7) Di Orthogonalität dr Drhmatrix, RR > D I odr r pq r iq D ı pi, lässt sich ausnutzn, um das Matrixprodukt umzuschribn: " ijk r jl r km D " pjk ı pi r jl r km D " pjk.r pq r iq /r jl r km : (.8) Wi im Mathmatischn Hintrgrund. und.3 rläutrt wird, rfülln 3 3-Matrizn di Rlation dt.a/ D " ijk a i a j a 3k : (.9). Galili-Transformationn In Abschn.. wurdn inig mathmatischn Grundlagn für Koordinatntransformationn (insbsondr Drhungn) britgstllt. Dis Ergbniss wrdn nun ausgnutzt, um physikalisch Aussagn trffn zu könnn. Das Vrhaltn von physikalischn Systmn untr Transformationn ist von fundamntalr Bdutung für di thortisch Physik. Dis gilt vor allm, wnn Systm untr gwissn Transformationn invariant, d. h. symmtrisch sind. Wi in Kap. 5 diskutirt wird, führn Symmtrin

10 58 Koordinatntransformationn und bschlunigt Bzugssystm Vrtifung: Transformationsvrhaltn von Vktorn Polar und axial Vktorn Man untrschidt physikalisch Vktorn ntsprchnd ds Vrhaltns ihrr Darstllungn untr orthogonaln Transformationn R, di si von inm ungstrichnn in in gstrichns Koordinatnsystm übrführn. Transformirt in Darstllungsvktor wi dr Impuls, p D Rp; d. h. unabhängig von dt.r/, so ist dis Größ in polarr Vktor. Transformirt in Darstllungsvktor wi dr Drhimpuls, L D dt.r/ RL; ändrt r also bi inr unigntlichn Transformation das Vorzichn, so ist dis Größ in axialr Vktor. Allgmin ist das Kruzprodukt zwir polarr Vktorn in axialr Vktor. Das Skalarprodukt zwir polarr Vktorn ist in Skalar, dr untr unigntlichn Transformationn invariant ist. Das Produkt ins skalarn und ins polarn Vktors, z. B. p L, istinpsudoskalar, drsin Vorzichn ändrt, wnn dt.r/ D ist. Di physikalischn Bgriff dr polarn und axialn Vktorn sind von dr mathmatischn Dfinition ins Vktors zu untrschidn. in dr Rgl auf Erhaltungsgrößn, drn Knntnis das Lösn physikalischr Problm stark vrinfacht. In dism Abschnitt wrdn wir shn, dass di Nwton schn Axiom invariant untr inr gwissn Klass von Koordinatntransformationn sind. Dis wrdn als Galili-Transformationn bzichnt. Si übrführn Inrtialsystm ininandr. Anhand dr Galili- Transformationn wrdn inig Grundlagn dr mathmatischn Gruppn rläutrt, di in dr thortischn Physik in wichtig Roll spiln. b 3 x x b O b O b 3 b Kovarianz ds rstn Nwton schn Axioms untr Galili-Transformationn Wir habn in Abschn.. glrnt, dass das rst Nwton sch Axiom in alln Inrtialsystmn gültig ist: Sind Kräft abwsnd, bwgn sich Punktmassn glichförmig-gradlinig. Diss Prinzip bsagt, dass all Inrtialsystm im Hinblick auf di Nwton schn Axiom glichwrtig sind. Witrhin bdutt dis, dass di Bwgungsglichungn kovariant, d.h. forminvariant, sin müssn, wnn in Transformation von inm Inrtialsystm in in andrs durchgführt wird. Kin Inrtialsystm kann sich ggnübr inm andrn auszichnn. Gnauso darf sich di Form dr Bwgungsglichungn in kinm Inrtialsystm von dr in inm andrn Inrtialsystm untrschidn. Dis Aussagn solln im witrn Vrlauf nähr bluchtt wrdn. Wir untrsuchn nun, wlchn Einfluss Koordinatntransformationn auf di Bwgungsglichungn inr Punktmass habn. Das Ausgangssystm si in Inrtialsystm S mit Ursprung O und dn Basisvktorn O i. Das nu Systm si S mit Ursprung O und Basisvktorn O i. Zusätzlich zu Transformationn, vrmittlt durch orthogonal Matrizn R, rlaubn wir räumlich und zitlich Translationn. Dr Ursprung O von S lig von S aus btrachtt an inm blibign Ort b (Abb..5). Offnsichtlich sind di Koordinatn ins Punkts in S und S wgn Abb..5 Transformation zwischn kartsischn Koordinatnsystmn. Dr Ursprung ds gstrichnn Koordinatnsystms S bfindt sich vom ungstrichnn Koordinatnsystm S aus btrachtt am Ort b. Zusätzlich sind di Koordinatnachsn von S und S ggninandr gdrht. Ein Punktmass hat in S di Ortskoordinatn x (blau), in S x (schwarz) R D R > in dr Form mitinandr vrbundn. x D b C R > x ; x D R.x b/ (.36) Im Rahmn dr Nwton schn Mchanik ist di Zit in xtrnr Paramtr, dssn Vrlauf nicht von dr Bwgung von Punktmassn im physikalischn Systm abhängt. Allrdings kann dr Zitnullpunkt blibig gwählt wrdn. Wir schribn dahr di Rlation zwischn dn Zitn t und t in S und S in dr Form t D t t ; (.37) d. h., s gb in konstant zitlich Vrschibung. Daraus folgt das Diffrnzial dt D dt: (.38) Somit hängn Zitablitungn nicht von dr Wahl von t ab.

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