Grundlagen der Elektrotechnik (GET)

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1 Grundlagen der Elekroechnk (GE) Schule: HBuVA S. Pölen Abelung / weg: Elekronk ehrperson: Prof. Dpl.-ng. Georg Panny Jahrgang: 3 / 4 Klasse: AHE

2 Anmerkung echenbespele snd m enem Srch auf der See gekennzechne. nhalsverzechns Anmerkung... nhalsverzechns... 3 Formeln. Klasse Wederholung esungsanpassung... 6 Felder ndukonsgesez Ausglechvorgänge Besondere Egenschafen von e x Anfangswer und Endwer Schwngkrese Kapazäsmessung ückschlagspannung ener Spule D Wandler (nverer)... 4 echeckverhalen von und Kondensaorwandler (adungspumpe) Wechselsromechnk Darsellung von Wechselgrößen Saz von Fourer Ensehung ener snusförmgen Wechselgröße Kennwere von Wechselgrößen nearer Melwer, Glechanel Glechrchwer Effekvwer MS (oo Mean Square) Formfakor, Scheelfakor Überlagerund (Addon) von,, P Gleche Frequenzen nerschedlche Frequenzen egerdarsellung ( egerdagramm ) usammenhang zwschen egerdagramm und Oszllogramm Addon und Subrakon snusförmger Größen ,, m Wechselsromkres Wdersand ndukvä (deal) Kapazä (deal) Komplexe ahlen echenregeln Geomersche nerpreaon mrechnung zwschen den Darsellungsaren * Konunger komplexe ahl: Poenzeren und Wurzelzehen ,, n symbolscher Schrebwese H / GE AHE See / 87

3 , Serenschalung , Serenschalung ,, Serenschalung , Parallelschalung , Parallelschalung ,, Parallelschalung Wdersand ewer Gemsche Schalungen egerdagramme esungen m Wechselsromkres , H / GE AHE See 3 / 87

4 3 Formeln. Klasse Durchfluung Θ Θ N Durchfluung Be mehreren Soffen: Wndungszahl Sromsärke Θ H l ( H l H ) l Sromdurchflossener gerader eer N H l Wndungszahl Sromsärke Feldsärke änge H π r Sromsärke Feldsärke π adus m nneren des eers: H r π r nnere Feldsärke π Magnefeld ener ylnderspule lange schlanke Spule Sromsärke adus adus des eers Θ N H l N H l Durchfluung Wndungszahl Sromsärke Feldsärke änge kurze dcke Spule H N D H / GE AHE See 4 / 87

5 Wndungszahl Sromsärke Feldsärke Durchmesser Magnefeld ener ngspule Θ N H D π Durchfluung Wndungszahl Sromsärke Feldsärkemlerer Durchmesser P N H Dπ Wndungszahl Sromsärke Feldsärke mlerer Durchmesser P Magnescher Fluss Φ Enhe: Φ Vs (Volsekunde) Wb (Weber) Magnesche Flussdche B Vs Enhe: (esla) ( m² ) Φ B A magnesche Flussdche Permeablä µ magnescher Fläche Fluss Enhe: Vs Am μ B H Permeablä magnesche Flussdche Feldsärke Permeablä des leeren aumes µ B μ H magnesche μ 4π 7 Flussdche Vs Am relave Permeablä µ r μ r magnesche Feldkonsane Feldsärke H / GE AHE See 5 / 87

6 ndukvä Enhe: Vs H (Henry) A Φ ndukvä ndukvä ener Spule N μ A l magnescher Fluss Sromsärke ndukvä Wndungszahl ndukvä ener ufspule A μ N 4π l 7 N Permeablä Querschn änge A l ndukvä Permeablä des leeren aumes Wndungszahl Magnescher Wdersand Querschn änge m l μ A Magnescher ewer A m Ohmsches Gesez der Magnek Φ m m Θ m H l m N m elekrscher Wdersand H / GE AHE See 6 / 87

7 Wdersand ρ l A Wdersand Spannung Sromsärke spezfscher Wdersand änge Querschnsfläche G ewer Wdersand Wärmeabhängger Wdersand ϑ ( α( ϑ ) β ( ϑ )...) θ Wdersand be θ Grad Wdersand be Grad θ emperaur des Wdersands θ α lnearer emperaurkoeffzen β quadrascher emperaurkoeffzen ϑk α ϑ ϑ ϑk ϑk ϑ ϑ ϑ K ϑ ϑ ϑ K elekrsche Sromsärke Q Sromsärke adungsmenge e F μ π l a F Kraf µ Permeablä des leeren aumes, Sröme l eerlänge a eerabsand H / GE AHE See 7 / 87

8 Kraf F B A μ Drehspulnsrumen F B l N Elekromoor F B l 4 Wederholung Ohm sches Gesez Krchhoff Knoenregel Maschenregel Spannungselerregel H / GE AHE See 8 / 87

9 De Spannungen verhalen sch we de Wdersände, an denen se abfallen, wenn dese Wdersände vom glechen Srom durchflossen snd. Sromelerregel De Sröme verhalen sch we Kehrwere der Wdersände ( ewere), durch de se fleßen, wenn de Wdersände an der glechen Spannung legen. Ersazschalbld Voraussezungen Klemmen defneren Ausschleßlch lneare Bauelemene H / GE AHE See 9 / 87

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11 Orgnal und ESB müssen von den Klemmen aus berache densches Verhalen zegen (das heß gleche Were für Klemmenspannung und Klemmensrom für belebge aswdersände). nsbesondere müssen eerlaufspannung, Kurzschlusssrom und nnenwdersand überensmmen. ( von 3) Beache: eerlaufspannung und Kurzschlusssrom werden grundsäzlch an den Klemmen gemessen! ur Besmmung des müssen mmer alle Quellen auf Null gesez werden. 5 esungsanpassung esung m aswdersand: P P P H / GE AHE See / 87

12 W P W P Der Verlauf von P als Funkon von ha en Maxmum für, deser Berebsfall heß esungsanpassung. Anpassung Be Anpassung lefer de Quelle de maxmal ennehmbare esung an den, man nenn dese esung Angeboene esung der Quelle, se s nur von und abhängg. ANG P 4 Beache: Be ealserung als Spannungsquelle m (we oben gezechne) r m Falle enes Quellenkurzschlusses m ene Verluslesung V P auf, das s de verfache Angeboene esung! H / GE AHE See / 87

13 ur Ernnerung: Spannungsquelle m und Sromquelle m : P V KS: P V max : P V max KS: P V verhalen sch von den Klemmen aus berache glech. m Bezug auf de nnere Verluslesung edoch gegensäzlch. 6 Felder En Feld s ene Egenschaf des aumes, de anhand der Feldwrkung messechnsch erfassbar s. De Feldegenschaf s n velen Fällen ene Krafwrkung: Schwerefeld (Gravaonsfeld) Kraf auf Masse elekrsches Feld Kraf auf adung magnesches Feld Kraf auf Magnepol De Feldsärke erhäl man aus dem Quoenen von Kraf dvder durch de physkalsche Egenschaf des Dngs, auf das de Kraf wrk. Kraf durch Masse F/m Kraf durch adung F/Q Kraf durch Polsärke F/p elekrsches Feld magnesches Feld E,[ E] V Feldsärke m As D,[ D] Flussdche m² D ε E ε ε r ε Permvä Delekrzäskonsane As ε 8,854 Vm H,[ H ] A m Vs B,[ B] ( essla) m² B µ H µ µ r Permeablä µ µ 4π wschen den beden Feldkonsanen und der chgeschwndgke beseh der usammenhang: c ε µ 7 Vs Am H / GE AHE See 3 / 87

14 Dese Formel gl auch be vorhanden sen von Maeral: c ε µ De Ausbreungsgeschwndgke n enem Maeral (ε r, µ r ) s um den Fakor klener als m Vakuum. Saz vom Hüllenfluss: Durchfluungssaz: ε r µ r D A Q N H l Fläche ener geschlossenen Hülle, welche de adung Q enhäl. adungen snd Quellen und Senken (Anfang und Ende) der Feldlnen D. De E Feldlnen haben ebenfalls Quellen und Senken, wobe es an Grenzflächen von Maeralen m unerschedlchem ε r zusäzlche Quellen und Senken gb. Auch her gl (we bem Magnefeld), dass m schwächeren Maeral de höhere Feldsärke aufr. Bem prakschen echnen geh man mmer n folgender Wese vor: Der Fluss Φ s m gesamen Magnekres der selbe. Aus den Flächen, de von Φ durchflossen werden erklär man de ewelge Flussdche B. (De Anzahl der Feldlnen s überall glech groß, de Dche kann unerschedlch sen. Aus den enzelnen B Weren erhäl man be bekannem µ de ewelgen H Were. (An Grenzflächen gb es Quellen und Senken von H, H Feldlnen snd nch zwangsläufg n sch geschlossen.) De H Were, mulplzer m den ewelgen Weglängen l werden summer, man erhäl de gesame benöge Durchfluung Θ ( Wndungen N mal Srom ) änge ener geschlossenen Feldlne, welche den Srom umfass. De Feldlnen snd n sch geschlossen. Deser Saz gl für de Feldlnen der Flussdche B, er gl nch für de H Feldlnen: Sobald Maeralen m unerschedlchem µr anenandergrenzen, laufen de B nen unveränder durch, de Feldsärke H änder sch an der Grenzfläche sprunghaf um enen Fakor µ r µ. r z.b.: Esen-uf µ r n der uf s µ r mal so groß we m Esen. H Fe B µ µ H B µ r nangenehme Folgerung: Enhäl das Delekrkum enes Kondensaors (ungewoll) klene ufenschlüsse, dann r dor ene Feldsärkeüberhöhung en (Fakor ε r ), es komm zu elenladungen, de auf Dauer den Kondensaor zersören. (Bem Magnefeld gb es solche Durchschläge nch!) H / GE AHE See 4 / 87

15 6. ndukonsgesez n enem eer, der sch n enem veränderlchen Magnefeld befnde, wrd Spannung nduzer. De nduzere Spannung s proporonal zur Höhe der Feldänderung und umgekehr proporonal zur dafür benögen e. ΔΦ u N Δ De nduzere Spannung wrd m der Wndungszahl vervelfach. De Feldänderung (Flussänderung) kann durch Bewegung der Anordnung und/oder Änderung der Feldsärke selbs erfolgen. Wchg: Auch n der Flederzeugenden Spule selbs wrd Spannung nduzer, wenn sch de Sromsärke änder ( Selbsndukon ). Als Maß für de Höhe der Selbsndukon den de ndukvä. Defnon von : De ndukvä s der Proporonaläsfakor zwschen der Sromsärke und dem m der Wndungszahl N mulplzeren Fluss Φ. N Φ N Φ verkeeer Fluss Vs [ ] Henry A Vergleche: De Kapazä s der Proporonaläsfakor zwschen Spannung und gespecherer adung Q. Q As [ ] Farrad V H / GE AHE See 5 / 87

16 7 Ausglechvorgänge En Ausglechsvorgang s de eakon enes physkalschen Sysems auf ene plözlche ( sprunghafe ) Änderung ener Sysemgröße. Jeder Ausglechsvorgang n der Physk läuf n Form ener Exponenalfunkon ab. Grundsäzlch s der Verlauf mmer ers sel, dann flach. n der Formel wrd das durch exp ausgedrück. τ evarable,, belebge Were, [] s τ ekonsane, leg den emaßsab fes, n dem der Ausglechsvorgang abläuf (Konsane), [τ] s Beache: De Exponenalfunkon kann nur von Größen geblde werden, welche de Dmenson haben. Das negave Vorzechen sorg dafür, dass wrklch en Ausglechsvorgang beschreben wrd τ e τ und nch en Wachsumsvorgang e. Wchg: De Exponenalfunkon s mmer de Selbe, unabhängg davon, ob der Auglechsvorgang ansegend oder abfallend verläuf. Jeder Ausglechsvorgang s vollsändg (m Formel) darsellbar, wenn folgende Were bekann snd: ekonsane τ Anfangswer AW Endwer EW Anfangswer s ener Wer der beracheen Größe, der zum epunk s aufr. (De Formel muss für s den Anfangswer lefern.) Der Endwer s ener Wer der beracheen Größe, auf den se (mmer flacher werdend) zuläuf. Exak berache wrd der Endwer ers nach unendlch langer e errech. (De Formel muss für s den Endwer lefern.) Für den prakschen mgang m der Exponenalfunkon muss man wssen: exp() exp(),783 e exp( ) ),3678 exp() exp( ) exp( ) H / GE AHE See 6 / 87

17 m den Anfangswer zu erhalen, sez man n der Formel. m den Endwer zu erhalen, sez man n der Formel. Nach desen egler läss sch ganz lech für belebge Anfangs- und Endwere de gesuche Formel ermeln. Geg.: Spannungsverlauf u x () AW: x () 5,5V EW: x ( ) -V Ges.: Formel, Bld u x () Ene Asympoe s ene angene an de Exponenalfunkon m nendlchen. u x ( ) V 7,5V exp τ allg. Formel: u x ( ) EW τ ( AW EW ) exp H / GE AHE See 7 / 87

18 usazfrage: u welchem epunk s u x glech Null Vol? u x u x ( ) u x V 7,5V exp V τ 7,5 exp τ 7,5 exp τ exp τ 7,5 ln τ 7,5 τ ln 7,5 7,5 τ ln τ ln 3,75 ln x ln x Beache: Vor der Anwendung der ln Funkon muss de Glechung so umgeform werden, dass de Exponenalfunkon e x allen auf ener See seh. Bsp.: AW V EW 7V τ 3ms Ges.: u x (), u x (,3s) ux( ) 7V 7V exp 7V exp τ τ 3 ux(,3s) ux(3ms) 7V 7V exp 3 7V 7V exp 7V 7V,994 (,376) 7V,6958V 6,34V H / GE AHE See 8 / 87

19 7. Besondere Egenschafen von e x Bsp.: ( ) ma exp τ () ma % ( τ ) 36,78mA (τ ) 3,53mA (3τ ) 4,97mA (4τ ),83mA (5τ ),67mA 37% 5% < % (6τ ),5mA (7τ ),9mA,% Nach ener ekonsane τ s der Ausglechsvorgang so we abgelaufen, dass von der ursprünglchen Dsanz zum Endwer (%) nur mehr 37% verbleben. nnerhalb ener ekonsane τ werden 63% der Dsanz zum Endwer durchlaufen. Dese Egenschaf der e- Funkon gl nch nur m Anfangswer, sondern n edem belebgen Punk des Verlaufs. Be der Messung von τ m Hlfe enes Oszlloskops wrd mes 63% m 5/8 6,5% angenäher. H / GE AHE See 9 / 87

20 Außerdem gl: n edem belebgen Punk der e-funkon leg de angene so, dass se den Endwer genau τ späer schnede. Achung: Enschedend s mmer der Endwer und nch de age der eachse. 7.. Anfangswer und Endwer Der Anfangswer s de berachee Größe zum epunk. Der Endwer s de berachee Größe zum epunk. s ener epunk, n dem der Ausglechsvorgang gesare wrd, zum Bespel durch beägen enes Schalers. Denkbar s auch ene sprunghafe Änderung enes Bauelweres, oder der Enseg n enen früher gesareen Ausglechsvorgang. Auch dese Sarzepunke können durch das Beägen enes Schalers endeug fesgeleg werden. s ener epunk, n dem der Ausglechsvorgang exak mahemasch berache beende s. Das Errechen des Endes s daran erkennbar, dass alle beracheen Größen ewels hr el errech haben ( Endwer), es gb kene weeren Änderungen. Srom und Spannungsverläufe n Nezwerken laufen nach e-funkonen ab, wenn zum epunk en Schalvorgang safnde. ekonsane τ, AW und EW können nach enfachen egeln berechne werden ekonsane τ Grundsäzlch gl: Kondensaor Spule τ τ Kapazä des zebesmmenden Kondensaors ndukvä der zebesmmenden Spule wrksamer Wdersand Der wrksame Wdersand s der nnenwdersand der gesamen Schalung, vom Kondensaor aus bzw. von der Spule aus gesehen. ( bzw. enfernen, Klemmen sezen, nnenwdersand besmmen) Wchg: Der wrksame Wdersand muss n eder Schalersellung besmm werden, de für >, das heß während des Ablaufs der e-funkon gl. H / GE AHE See / 87

21 Bespel: Schaler geschlossen ab. Ges.: τ // // τ 3 Varane: τ (Schaler offen ab s) 3 Bespel: Ges.: τ τ Varane (Schaler ab zu): H / GE AHE See / 87

22 Endwer EW Der Endwer s daran erkennbar, dass sch kene Größe n der ganzen Schalung veränder: Alle Were snd konsan. : : Δu Δ be EW Δ u Δ be EW Durch gb es kenen Srom, an fäll kene Spannung ab. ur Berechnung des Endweres s eder Kondensaor durch ene nerbrechung, ede Spule durch ene Durchverbndung zu ersezen. Merkregel: und so n der Schalung berachen, we das Schalsymbol andeue. Der Endwer wrd dann m den üblchen Mehoden der Nezwerkrechnung besmm (renes Wdersandsnezwerk!). Anfangswer AW Wr müssen sreng unerscheden: a) De Suaon vor (vor dem Beägen des Schalers), genann - b) De Suaon ganz knapp nach (ganz knapp nach Beägung des Schalers), genann Üblcherwese wrd vorausgesez, dass de gegebene Schalung schon se sehr langer ze (unendlch) exser. De Verhälnsse vor dem Beägen des Schalers ( - ) werden nach den selben egeln berechne, de für den Endwer gelen. (asächlch läuf nach der nberebnahme der Schalung en Ausglechsvorgang ab, dessen Endwer für den epunk - maßgeblch s. Für den epunk - muss n edem Fall (auch wenn nur andere Größen gesuch snd de Spannung an bzw. der Srom durch berechne werden. Begründung: De n den Bauelemenen bzw. gespechere Energe kann sch zwschen - und nch verändern. : W u : W Srom durch bzw. Spannung an kann sch zwschen - und nch verändern. kann sch nch sprunghaf ändern. Achung: Spannung an bzw. Srom durch kann sch sehr wohl sprunghaf ändern. H / GE AHE See / 87

23 Für de Berechnung der Verhälnsse m epunk ersez man durch ene Sromquelle bzw. durch ene Spannungsquelle. von - auf von - auf deren rsrom bzw. rspannung ener Wer s, der für - ermel wurde. Beache: De asache, dass enmal durch enen eerlauf und en anderes Mal durch ene Spannungsquelle ersez wrd, seh nch n Wderspruch zur bekannen egel, dass Spannungsquellen z.b. zur Berechnung des ener Schalung durch Kurzschlüsse ersez werden: Man kann sch auch be der Berechnung des Endweres eden durch enen Spannungsquelle ersez denken, de genau so vel rspannung ha, we de umgebende Spannung vorgb, sodass ken Srom fleß. Gleches gl für Spule, Kurzschluss, Sromquelle, eerlauf. Ges.: () Formel, Bld τ 4,6,,3ms k 5//k 3k3 4,64kΩ AW: - (Schaler offen) 3 ( ),6mA,5 u ( ) V c H / GE AHE See 3 / 87

24 Grundsäzlch kann u c auch eden belebgen Wer annehmen bzw. se unendlch langer e gespecher haben. (Be geöffneem Schaler kann sch Q nch verändern.) Üblcherwese nmm man edoch V an, wel das der Praxs am besen ensprch. (solaonswdersand!) (Schaler geschlossen) 3 ( ) 7,54mA k 5 k // 3k3 u ( ) V ( ) c u c EW: ( 3 ),6mA,5 uc( ) 3 6, 8V,5 Formel: ( ),6mAK < s ( ),6mA (4,93) exp K s,3ms H / GE AHE See 4 / 87

25 Ges.: S () τ,3µs 5k6 5k7 AW: - u S ( ) V 4V () Ω,A ma ( ) () ma 5k6 ma V S EW 5k6 us ( ) 4 3,5V 5k6 4 ( ) 4,mA 5,6, us ( ) 3,5V (V 3,5V ) exp,3µs H / GE AHE See 5 / 87

26 us ( ) 3,5V 96,5V exp,3µs ( ) 4,mA 95,8mA exp,3µs usazfrage: Spannungsverlauf von u Δ Δ - u V H / GE AHE See 6 / 87

27 u V u ( ) V exp, 3µs Ges.: (), u S () τ Ω,8, 5µs AW - 4 () 4,9mA 5,6, 5,6 us () 4 3,5V 5,6, ( ) 4,9mA u S ( ) V EW 4 ( ) ma, u ( ) V S H / GE AHE See 7 / 87

28 Ges.: (), u (), u () ) S zu τ,5ms //k 5 93,75Ω AW - V (),k Ω u ( ) V u () V ma u ( ) ( ) V u ( ) V ( ) ma H / GE AHE See 8 / 87

29 Das Schleßen von S bleb ohne unmelbare Wrkung, wel er enen Wdersand zwschen Punke schale, de zu desem epunk auf glechem Poenal legen. EW Endwere snd glech den AW, wel asächlch ken Ausglechsvorgang safnde. ) ms S auf τ k ,3µs k 5 AW ms, n - n u ms ( ) ma ( ) V u () V ms, n u ( ) ( ) u ( ) ( ) ma V EW, n k 5,5 8V ( ) A u ( ) V u ( ) V verblebende Schalung enhäl kene Quelle alles sreb gegen u u ms maexp 3,3µs ms 8V exp 3,3µs V für < ms V für > ms H / GE AHE See 9 / 87

30 Varane: En Kondensaor zu Ω erzwng enen exponenellen Verlauf von nach dem Öffnen von S. De zugehörge ekonsane Ω mal µf s völlg unabhängg von dem glechzeg m 47mH/5Ω ablaufenden -Ausglechvorgang. Begründung: Nach dem Öffnen von S zerfäll de Schalung praksch n von enander unabhängge ele, de nur an enem enzgen Punk menander verbunden snd. Achung: Wenn n deser Schalung S weder geschlossen wrd, begnn en Ablauf, für den Dfferenalglechungen aufgesell und gelös werden müssen! (für uns unlösbar) Es enseh en Schwngkres, be dem de Energe mmer weder zwschen Spule und Kondensaor hn und her geschoben wrd. 7. Schwngkrese Δu Δ u ) Energe von nach ) Energe von nach 3) we ) 4) we ) H / GE AHE See 3 / 87

31 m eabschn ) wrk als Erzeuger, als Verbraucher. m eabschn ) fleß de Energe weder zurück nach : s Erzeuger, s Verbraucher. n den eabschnen 3) und 4) laufen de selben Vorgänge m umgekehrem Vorzechen von u und ab, was edoch auf de Energe kenen Enfluss ha. W W u Alle Abläufe geschehen so, dass durch de Energeennahme der ewelgen Erzeuger kenen konsanen Wer von u bzw. an den Verbraucher lefer, wodurch de efunkon nch lnear werden. Es ensehen Kosnus- bzw. Snusfunkonen für u bzw. (Mahemasch bewesbar). Beache: Öffne man den Schwngkres zum epunk enes Nulldurchganges des Sromes, dann s de gesame Energe m Kondensaor gespecher und de Schwngung hör sofor auf. äss man den Schwngkres unveränder, dann dauer de Schwngung endlos an, wenn n der ganzen Schalung ken enzger Wdersand wrksam s ( kene Verluse ). 8 Kapazäsmessung ur Besmmung unbekanner (klener) Kapazäen kann en Ausglechsvorgang verwende werden, der perodsch wederhol und am Oszlloskop dargesell wrd. De Wederholfrequenz solle enerses möglchs hoch sen, um en flmmerfrees sehendes Bld zu erhalen, andererses dürfen de enzelnen Ausglechsvorgänge nch nenander laufen, das heß τ muss ausrechend klen sen. Als Quelle für enen solchen Ablauf wrd en echeckgeneraor benög. τ ( ) X V X H / GE AHE See 3 / 87

32 Durch Wahl von V besmm man τ, durch Wahl der Frequenz des echecksgnals besmm man /. Dese beden Wahlmöglchkeen snd so zu verwenden, dass m ensehenden Bld der Endwer deulch schbar errech wrd! ahlenwer: X pf V k k µ k µ τ [s] ns M µ M m H / GE AHE See 3 / 87

33 Sehr hohe Were von snd nch präzse realserbar, außerdem s ene rückwrkungsfree Messung schwerg. (Engangswdersand enes Oszlloskops m/ohne askopf beräg MΩ/MΩ) Sehr nedrge Were von führen zu sehr schnellen Abläufen, deren Messung ebenfalls schwerg s. Außerdem reen dann de unvermedlchen ndukväen sämlcher eungen des Messaufbaus sörend n Erschenung. ( parasäre ndukväen) Vollsändges Schalbld: n deser Schalung gb es ekonsanen τ X und τ. De beden zugehörgen Ausglechsvorgänge laufen glechzeg ab, se können gerenn von enander berache werden, wenn de beden τ sark unerschedlch snd. (Fakor oder mehr) Der schnelle Vorgang s schon beende, bevor der langsame Ablauf überhaup n Bewegung komm. Wenn fre wählbar s, gb es mmer de Möglchke auf sark unerschedlche τ, τ zu kommen. Für de gegebene Schalung s das normalerwese m möglchs großem der Fall. τ wrd dann so klen, dass x vernachlässg werden kann, de Schalung verenfach sch auf. Bsp.: kω X 5pF X 5nH X Fausregel: Normaler Schaldrah Ø,6 ha ene ndukvä von ca. nh/cm Drahlänge. 9 5 τ,5 5 3 τ 5,5 ps 5 9,5µs H / GE AHE See 33 / 87

34 Bsp.: kω X 5pF X 5nH τ τ 5 ps,5ns 5ns De beden Ausglechvorgänge können mmer noch unabhängg vonenander berechne werden. τ : τ τ H / GE AHE See 34 / 87

35 τ : AW: EW: X ma u X -5V X ma u X 5V Bede Vorgänge n enem Bld dargesell: H / GE AHE See 35 / 87

36 9 ückschlagspannung ener Spule Ges.: u(), Maxmalwer von u() - ( ) n der Spule s ene gewsse Energe gespecher: W Nach dem Öffnen des Schalers wrd de Energe n den Kondensaor umgeladen. u W u De mladung erfolg verlusfre: W W u max und blden enen Schwngkres, für eden Schwngkres kann de Größe berechne werden: Kennwdersand des Schwngkreses. Kennwdersand Beache: s ene rene echengröße und kann daher nch drek gemessen werden! ahlenwere: 5mH nf ( ) 3mA 3 5mH 3 5 umax 3mA 3 3mA7,7kΩ 9 nf V H / GE AHE See 36 / 87

37 De Höhe der ückschlagspannung kann durch den Enbau ener Frelaufdode parallel zur Spule verhnder werden: cu und snd n Wrklchke nch rennbar, wel cu der Wdersand des Drahes, aus dem de Spule beseh über de ganze änge glechmäßg verel s: von außen zugänglch snd nur de beden Enden der Serenschalung. Be geschlossenem Schaler leg (nach ausrechend langer e) u an cu : 3mA,4 u u leg n Sperrrchung an der Dode ken Srom. Nach dem Öffnen des Schalers bleb zunächs glech, änder aber senen Sromweg: fleß durch de Dode n Durchlassrchung, dabe fäll an der Dode ene Spannung von ca.,7v ab. ur Berechnung des Sromverlaufs () können wr uns de Dode als Spannungsquelle m,7v vorsellen: u (,7),7V 3mA 5mH τ 4 8 u 3 s 5µs De Spannung an sprng auf -,7V, bleb zunächs glech, alle Were nehmen exponenell gegen ab. (Ausnahme: D bleb,7v konsan, solange bs D geworden s und verschwnde dann n unserer Modellvorsellung schlagarg.) H / GE AHE See 37 / 87

38 Varane: En zusäzlcher Wdersand n Sere zur Dode bewrk: ) τ schnelleres Abschalen u ) Höhere Spannung u bzw. auch mehr Spannung am offenen Schaler Bespel: Ges.: u (), (), u () Nach dem Öffnen des Schalers blden und über de Dode enen Schwngkres, n dem der Srom nur n ene chung fleßen kann. Es wrd daher Energe von nach nur enmal umgeladen, dann unerbrch de Dode den Kres, de Energe fleß nch weder zurück nach, sondern wrd (sehr langsam) von verbrauch. Der mladevorgang von nach läuf nach Snus bzw. Kosnusfunkon ab, de nachfolgende Enladung von über s en normaler Ausglechsvorgang m τ s. De mladung von nach erfolg wesenlch schneller, für desen Vorgang kann zunächs enmal vernachlässg werden. AW: - u 5V 5mA,3kΩ u ( ) V ( ) V u u ( ) u ( ) ( ),7V ( ) V ( ) 5mA Nach vollsändger mladung der Energe von nach beräg u : W, W (,5) u max,5ws,5mws H / GE AHE See 38 / 87

39 3 6 W,5 5 u, 36V max 6 6 Δ u Δ Δu Δ Δ Sromänderungsgeschwndgke Δ Δu Spannungsänderungsgeschwndgke Δ Abschäzung der mladeze: Varane ) Δ u Δ Δ 5mA u,v... mlerer Wer Δ Δu Δ Varane ) Δu Δ Δu,4V Δ Δu,, 5,89ms 5mA... mlerer Wer 6 5 3,4,89 3 s,89ms Varane und snd glechwerg, lefern aber bede nur enen Näherungswer für de mladeze. H / GE AHE See 39 / 87

40 De exake Berechnung der mladeze s aus der Egenfrequenz (esonanzfrequenz) des Schwngkreses möglch. f π f,8 π 3, s,8ms 6 356Hz Der mladevorgang läuf nnerhalb von /4 ab, das snd m7ms. De Schalung lefer also ene negave Spannung u, wenn se m der posven Spannung gespes wrd, se s also vom Prnzp her en D-Wandler. Üblcherwese snd solche D-Wandler ewas anders dmensoner. D Wandler (nverer) wrd ohne Vorwdersand an geschale. Der Schaler darf mmer nur kurzzeg geschlossen werden, bs auf den gewünschen Wer angesegen s. Nach dem Öffnen des Schalers wrd de Energe von nach umgeladen, m der Annahme enes sehr großen Kondensaors ( ) änder sch dabe nch wesenlch. sowohl bem Aufladen, als auch bem Enladen leg konsane Spannung an. everlauf von s lnear. wschen der zugeleferen Energe (aus der Quelle) und der n verbrauchen Energe muss Glechgewch herrschen, durch de Wahl der Enschaldauer kann de zugeführe Energemenge geregel werden. ur enfachen Berechnung nehmen wr an, dass n der gesamen Schalung kene Energe verloren geh. (nsbesondere auch nch n der Dode) H / GE AHE See 4 / 87

41 Man erhäl folgende Oszllogramme: an abgegebene esung P : 5 P, 5W Aus der Quelle ennommene esung:,5 P, 8mA zel. Melwer von H / GE AHE See 4 / 87

42 usammenhang zwschen und : î ˆ ˆ Spzensrom Î, Enschaldauer und Perodendauer snd be gegebenen Spannungen und und gegebener ndukvä nch fre wählbar: Ensprechend den Spannungsverhälnssen an der Spule ergeben sch Ansegs- und Abfallgeschwndgke des Sromes. M Berückschgung enes Scherheszuschlages, der garaner, dass an Begnn ener eden Perode scher s, erhäl man für ene besmme Enschalbauer de mnmale Perodendauer. ). ( 4 3,4 5 ˆ ˆ Scherhesze nkl u u M bekannem Verhälns zu kann Î berechne werden: ma 6 66, 4,8 ˆ ulez kann also de nowendge Enschaldauer berechne werden. khz f µs 36,69,66 5 ˆ ˆ Andere Wandlerypen: Aufwärswandler: > H / GE AHE See 4 / 87

43 Abwärswandler: < echeckverhalen von und τ engeschwungener usand! De Exponenalfunkon u () muss be den Wer haben, und be f / den Wer. Aus desem usammenhang zwschen,,, τ kann berechne werden. H / GE AHE See 43 / 87

44 < < / u ) τ ( / u u ( ) exp ( ) / exp τ / exp τ / exp τ Plausbläskonrolle: >> τ : << τ : z.b.: τ / / exp τ exp( ) exp / exp τ / exp τ / exp τ ( ) exp( ) exp( ) exp( ) exp( ),46 Varane: Deselbe Schalung, aber () schale zwschen und V. Man erhäl das selbe Ergebns we vorher, wenn man den mleren Spannungswer / zunächs wegläss und ers ganz am Schluss weder hnzufüg. H / GE AHE See 44 / 87

45 Δ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ / exp / exp / exp / exp / exp / exp / exp / exp / exp / exp / exp / exp / exp / exp / exp / exp mn max Bsp.: analog zu : τ τ / exp / exp H / GE AHE See 45 / 87

46 ( ) τ τ τ τ / exp / exp / / exp exp ) ( u u u Konrolle auf Plausblä: τ >> / ) exp( Be sehr großem τ snd () und () glech. (Koppelkondensaor) τ << / ) exp( H / GE AHE See 46 / 87

47 De Exponenalfunkon errech edes Mal vor dem Sprung den Wer. () beseh nur aus schmalen Spzen der Höhe bzw. -. Beache: Das Engangssgnal ha enen Spze-Spze Wer der Größe, das Ausgangssgnal ha enen Spze-Spze Wer von 4. Enschwngvorgang Varane: Enschwngvorgang / u ( ) exp τ / u( / ) exp τ Annahme: Be / s der engeschwungene usand errech. u ( / ) / exp τ / exp τ De exake Berechnung des Enschwngvorgangs muss Schr für Schr erfolgen: enzelne exp anenandergereh, wobe de Anfangswere der Nachfolgenden exp aus den Weren der vorangegangenen zum epunk des usandswechsels berechne werden muss. H / GE AHE See 47 / 87

48 usammenfassung: efpassfler Hochpassfler Solche Srukuren werden n der Nachrchenechnk auch als Fler bezechne. efpassfler efe Frequenzen werden durchgelassen Hochpassfler hohe Frequenzen werden durchgelassen De ekonsane τ besmm ewels de Grenzfrequenz f g π τ H / GE AHE See 48 / 87

49 Kondensaorwandler (adungspumpe) nur aus Kondensaoren, Doden und Schalern aufgebau (spulenlos), lefer ohne egelung ewa en ganzzahlges Velfaches der Engangsspannung. Das mng s vollkommen unkrsch, spulenlos (daher auch n der Praxs m hohem Wrkungsgrad realserbar). De Schaler und snd ewels abwechselnd geschlossen geschlossen wrd auf geladen geschlossen das reche Ende von geh auf, der Ausgangskondensaor wrd auf desen Wer nachgeladen. Besonderheen: De Grundsäzlche Funkon s unabhängg von den everhälnssen. (Phase und können belebg lange dauern) Funkon s unabhängg von den asverhälnssen, de Schalung s eerlauffes. Für hohen Wrkungsgrad wchg: ) und dürfen nemals glechzeg geschlossen sen. (günsg: Kurze Pause dazwschen) ) De Kondensaoren dürfen mmer nur gerngfügg nachgeladen werden, d.h. große und hohe Schalfrequenzen. Vergleche dazu folgendes Bespel: H / GE AHE See 49 / 87

50 vor Schalen: W W As Q V u W Q u ges nach Schalen: Q Q u u adung bleb erhalen Spannung wrd halber Q Q u u Energe: 4 W ges 5% m X verbraen 5% der ursprünglch gespecheren Energe gehen verloren! H / GE AHE See 5 / 87

51 3 Wechselsromechnk 3. Darsellung von Wechselgrößen perodsche Funkon: ( ) ( ), für alle Momenanwer: Funkonswer zu ener belebgen e Frequenz f / s de Anzahl der Peroden pro Sekunde [f] Hz Kresfrequenz πf π/ [] s - rener Wechselsrom Der lneare zelche Melwer über ene Perode s. Berache man enen eraum von ener Perode, dann gb es kenen blebenden adungsrägerranspor. zelcher Melwer Δ Näherung, de umso genauer s, e klener Δ gewähl wrd. Den exaken Melwer erhäl man für Δ geh gegen aus der Summe wrd en negral d 3. Saz von Fourer Jede belebge perodsche Funkon kann aus Snus- und Kosnusschwngungen zusammengesez werden. De Frequenzen all deser Schwngungen snd grundsäzlch ganzzahlge Velfache der Frequenz der ursprünglchen Funkon. Kehrwer der Perodendauer der ursprünglchen Funkon: Grundfrequenz f (auch Grundwelle genann). Oberwelle f. harmonsche. Oberwelle 3f 3. harmonsche n. Oberwelle (n)f (n). harmonsche H / GE AHE See 5 / 87

52 Wende man den Saz von Fourer an, dann kann ede perodsche Wechselgröße beherrsch werden, wenn de echenmehode für snusförmge Wechselgrößen bekann s. ab sofor berachen wr nur noch snusförmge Wechselgrößen! 3.3 Ensehung ener snusförmgen Wechselgröße oerender eger, de Proekon des Endpunkes auf de y-achse lefer de Snusschwngung, de Proekon auf de x-achse lefer de Kosnusschwngung. ( ) ˆ sn π π ( ) ˆ sn Î Spzenwer, Maxmalwer, Scheelwer, Amplude Achung: aschenrechner auf adan umsellen. (Wenn Grad: ( ) ˆ 36 De Kosnusfunkon bee enen glechargen Verlauf, der edoch be m dem posven Maxmum begnn. Aus dversen Gründen bevorzug man n der Praxs de Darsellung m der Kosnusfunkon, sprch edoch mes von Snusförmgem Verlauf. ( ) ˆ cos H / GE AHE See 5 / 87

53 3.4 Kennwere von Wechselgrößen 3.4. nearer Melwer, Glechanel Δ d ) ( ) ( ) ( 3.4. Glechrchwer Δ d ) ( ) ( ) ( Beache: En Glechrchwer von s nur möglch, wenn de Wechselgröße ununerbrochen (konsan) den Wer ha! u Verglech: En lnearer Melwer von kennzechne renen Wechselsrom. H / GE AHE See 53 / 87

54 3.4.3 Effekvwer MS (oo Mean Square) MS Wurzel aus dem Melwer der Quadrae er Effekvwer enes Wechselsroms s ener Wer, der n enem Wdersand de gleche D Wrklesung (Wärmeenwcklung) verursach we en Glechsrom der selben Größe. A P D P eff eff K K ) cos ( ˆ ) ( ) cos ( sn sn ˆ ) ( sn ˆ ) ( x x ür de Momenanlesung gl: ür enen konsanen Wdersand ensprch der Verlauf p() dem Verlauf (())² ²(). F p ) ( ) ( F ( ) p cos ˆ sn ˆ ) ( ür de Wrklesung (Wärmeenwcklung) s der Melwer der Momenanlesung wesenlch F ( ) Î cos s d p P cos ) (. e enzge zeabhängge Größe n deser Formel Es muss nur der Melwer von cos geblde werden (). ˆ P P eff eff H / GE AHE See 54 / 87

55 Achung! Der usammenhang zwschen Effekvwer und Spzenwer m dem Fakor gl nur be Snusform. Für belebge Kurvenform gl: eff ( ) d Beache: Be sehr nedrgen Frequenzen (,Hz) kann de Melwerbldung sehr lange dauern Formfakor, Scheelfakor Scheelfa kor Formfakor Scheelwer Effekvwer Effekvwer Glechrchwer Î F S F F eff eff () Bespele: Snusform ˆ eff ˆ π F F S F eff ˆ / ˆ / π π, Dreecksform ˆ F F eff S F ˆ 3 3,5 3 H / GE AHE See 55 / 87

56 echeckform eff ˆ ˆ F F S F Snushalbwellen (Enwegglechrcher) ˆ eff ˆ π FS π FF, Phasenanschn ündwnkel 9 rener A ˆ eff ˆ π F F S F π, Mschsrom Effekvwere werden quadrasch adder Beache: Der Effekvwer enes Glechsroms s der Glechsrom selbs. eff eff eff 4 ( / ) 6 4, 4A ges D A H / GE AHE See 56 / 87

57 Bespel zu den Kennweren ener Wechselgröße F S eff F F,,,, Ges.: [ ] [ ] ( ) ( ) [ ],9,5,78,69,78 3 ˆ,78 3,6 3, ) (,5 3 6 ) (, ) ( Δ Δ Δ F F ma ma ma ma ma eff F eff S eff eff & & H / GE AHE See 57 / 87

58 3.5 Überlagerund (Addon) von,, P 3.5. Gleche Frequenzen Es gl das Helmholz sche Überlagerungsprnzp: De Momenanwere von Spannungen und Srömen werden adder, be snusförmgen Verläufen s das Ergebns ene Snusschwngung, deren Amplude und Phasenlage von den Ampluden und Phasen der elschwngungen abhäng. gleche Amplude, gleche Phase doppele Amplude gleche Amplude, 8 Phasenverschebung Auslöschung Für de Effekvwere gelen de selben usammenhänge, we für de Spzenwere. Wchg: Das Helmholzprnzp gl nur n lnearen Nezwerken für Spannungen und Sröme. Es gl nch für esungen! Be nch snusförmgen Größen kann de resulerende Kurvenform komplzer ausfallen, ensprechend schwerg wrd dann de Berechnung von Effekvwer, Glechrchwer, 3.5. nerschedlche Frequenzen Be der Überlagerung von Spannungen und Srömen unerschedlcher Frequenzen ensehen Schwebungen. m ak der Schwebung schwank auch de umgeseze esung. De mlere esung muss über ene ausrechend lange e (ene Schwebeperode) ermel werden. Es gl: De mlere esung (Wrklesung) s de Summe aller enzelnen esungen be den verschedenen Frequenzen. Be Sgnalen unerschedlcher Frequenzen werden de esungen adder. Daraus folg unmelbar, dass de Effekvwere der zugehörgen Spannungen und Sröme quadrasch adder werden. eff eff eff eff eff 3 eff P P P P eff3 eff3 H / GE AHE See 58 / 87

59 3.6 egerdarsellung ( egerdagramm ) ( ) ˆ cos ( ϕ) ur endeugen Beschrebung ener snusförmgen Wechselgröße genüg de Angabe von Amplude ˆ egerlänge Frequenz ˆ π Phase ˆ age des egers zum epunk Dese Angaben snd am enfachsen m enem eger darsellbar, das echnen der Snusform s nch nowendg. Wr denken uns den eger m der Wnkelgeschwndgke roerend, gezechne wrd ene Momenaufnahme zum epunk. n der Praxs zechne man de egerlänge n Größe des Effekvweres (enfacher!), das heß alle Blder snd um den Fakor verklener usammenhang zwschen egerdagramm und Oszllogramm Den asächlchen everlauf ener snusförmgen Wechselgröße erhäl man durch de Proekon des roerenden egers auf ene Koordnaenachse: Proekon auf de x-achse lefer de Kosnusfunkon Proekon auf de y-achse lefer de Snusfunkon ( ) ˆ cos ( ) ˆ sn u( ) ˆ cos ( ϕ) ( ϕ ) ( ϕ ) üblch selen ˆ H / GE AHE See 59 / 87

60 Üblch s de Proekon auf de x-achse, d.h. de Darsellung m Hlfe der cos-funkon. ϕ ϕ ϕ Phasenverschebung zwschen und u den Vorzechen: De Nullphasenwnkel φ und φ zählen m Gegenuhrzegersnn posv. De Phasenverschebung zwschen den beden egern wrd endeug durch de Angabe der Begrffe vorelend und nachelend beschreben. n unserem Bespel s u um den Wnkel ϕ ϕ ϕ vorelend, bzw. s um denselben Wnkel nachelend. Beache: m egerbld snd alle Phasenwnkel drek ablesbar, m Oszllogramm s ene mrechnung nowendg. De egerdarsellung s nur für snusförmge Verläufe verwendbar, be abwechender Kurvenform muss m dem Oszllogramm gearbee werden. rsprünglch s das egerdagramm gedach, um Schwngungen ener enzgen Frequenz darzusellen. Das Bld bleb dazu sarr, wenn man de oaon m als Beobacher mmach. Wenn nun ene Schwngung n der Frequenz abwech, dann beweg sch deren eger m Bld m der Dfferenzfrequenz: gegen den rzegersnn be höherer Frequenz m rzegersnn be nedrgerer Frequenz H / GE AHE See 6 / 87

61 3.7 Addon und Subrakon snusförmger Größen erfolg prnzpell durch Addon und Subrakon der Momenanwere (Oszllogramm). Mühsam, Ampluden- und Phasenlage können nch drek ermel werden. egerdagramm: Der eger der Summe s de Vekorsumme der beden Enzelzeger. Wesenlch lecher durchführbar, Amplude und Phase können drek abgelesen werden. echnersch erfolg de Addon durch Addon der Koordnaenpaare, de mrechnung zwschen xy enerses und r, φ andererses erfolg nach den bekannen egeln. Man kann auch de efunkon anschreben und adderen und erhäl aus den Addonsheoremen der Wnkelfunkonen: ϕ Summe Summe ( ϕ ϕ ) cos snϕ snϕ arcan cosϕ cosϕ Dese Formeln erhäl man auch, wenn auf de Dreecke m egerdagramm der Kosnussaz angewende wrd. H / GE AHE See 6 / 87

62 3.8,, m Wechselsromkres 3.8. Wdersand Ohm sches Gesez: u( ) ( ) Das Ohm sche Gesez gl für de Momenanwere, wegen kons. auch für de Effekvwere. eff eff Deser usammenhang s zeunabhängg und Frequenzunabhängg. Es gb kene Phasenverschebung zwschen und ndukvä (deal) ndukonsgesez: d( ) u( ) d Δ( ) Δ H / GE AHE See 6 / 87

63 Aus dem ndukonsgesez ergb sch, dass der Srom () der Spannung u() um 9 nachel. (De Spannung u() dem Srom () um 9 vorausel) Ebenso erhäl man aus dem ndukonsgesez folgende Ergebnsse: ˆ ( eff ) s proporonal zu s proporonal zu ˆ( eff ) s proporonal zur Frequenz, wel ene höhere Frequenz zu ener größeren d Sromänderungsgeschwndgke führ. d De Dfferenalglechung lefer ene Proporonalä zu πf. nsgesam erhäl man: eff eff X ndukver Blndwdersand Kapazä (deal) du( ) ( ) d Δu( ) Δ H / GE AHE See 63 / 87

64 Aus der Dfferenalglechung erhäl man weder: eff eff eff eff X kapazver Blndwdersand Beache: Aus den Formeln, de für,, das Oh m sche Gesez darsellen, s de ewelge Phasenverschebung nch erkennbar. Merkregel: Ene Spule wehr sch gegen Sromänderungen, daher s der Srom gegenüber der Spannung nachelend. En Kondensaor wehr sch gegen Spannungsänderungen, daher s de Spannung gegenüber dem Srom nachelend. Eselsbrücke: Kondensaor Srom vorelend De Blndwdersände X und X verhalen sch gegensäzlch: X s proporonal zu und X s verkehr proporonal zu und Man kann daher sagen: Ene ndukvä s vom yp Wdersand. Ene Kapazä s vom yp s glech ewer. m de usammenhänge zwschen und vollsändg zu machen, d.h. auch de ewelgen Phasenverschebungen n der Formel darzusellen, verwende man komplexe ahlen. H / GE AHE See 64 / 87

65 3.9 Komplexe ahlen eelle ahlen ahlengerade Komplexe ahlen Gauss sche ahlenebene Anschaulch berache snd Punke n der Gauss schen ahlenebene. Üblch s de Darsellung als eger vom rsprung zum Punk der ahl. ur endeugen Beschrebung ener benög man. z.b.: karessche Koordnaen: ealel, magnärel Polarkoordnaen: Berag (adus), Phase (Wnkel) Jede wrd durch en Paar von endeug fesgeleg. (3,4) 5 53, 3 3 e 5 Berag 4 m 53,3 Wnkel ahlenpaardarsellung 3.9. echenregeln a, b ) ( a, b ) ( a a, b b )... adderen ( ( a a ( a, b)... subraheren a b, a b a b b b, a b a b )... mulplzeren... dvderen ursprünglche Defnonen für de 4 Grundrechenaren H / GE AHE See 65 / 87

66 De ahlenpaardarsellung s exrem unpraksch. Wesenlch handlcher s de Darsellung m Hlfe der magnären Enhe. a b Der ealel und der m mulplzere magnärel werden adder, wobe dese Addon aber nemals ausgeführ werden kann. Dadurch bleben de beden ele (we gewünsch) gerenn erhalen. Vorel: Für de so ensandenen Ausdrücke gelen alle echenregeln der Algebra (z.b.: Klammern auflösen, herausheben, Kommuavgesez, Asso zavgesez, Dsrbuvgesez ) m ener enzgen usazregel: Beache: Grundsäzlch s um a b mmer ene Klammer zu denken / sezen, bevor weere echenschre durchgeführ werden Geomersche nerpreaon De Summe er erhäl man als Vekorsumme der beden eger. Das Produk er s ene, deren Berag als Produk der beden Beräge und deren Phase als Summe der beden Phasen enseh mrechnung zwschen den Darsellungsaren a e { } { } b a m b H / GE AHE See 66 / 87

67 Beache: ealel und magnärel snd bede reelle ahlen! a b ϕ arcan a b Beache: De arcan Funkon des aschenrechners lefer mmer den sogenannen Haupwer des Wnkels m Berech -9 bs 9. m. und 3. Quadranen werden falsch umgerechne. Es s daher wchg anhand ener klenen Skzze de age der gegebenen ahl zu ermeln und den Wnkel, falls nög, durch Addon oder Subrakon von 8 zu korrgeren. Schneller und wenger fehleranfällg s de Verwendung der n velen echner realseren Koordnaenumwandlung P bzw. P (x,y r,φ) Berebsanleung lesen! n edem Fall problemlos s de mrechnung n rechwnklge Koordnaen (P ). ϕ ϕ e cosϕ snϕ a b Euler sche Formel e m { } a z cos { } b z snϕ ϕ Konunger komplexe ahl: * a b * * * * * a e b m a b ϕ ϕ a b * { } ( ) * { } ( ) exp( ) exp( 9 ) exp( 8 ) exp( 7 ) H / GE AHE See 67 / 87

68 ϕ ϕ ϕ ϕ exp( ϕ) Aus den echenregeln für de Mulplkaon n Polardarsellung ergb sch: Mulplkaon m bedeue Drehung um 9 Dvson durch bedeue Drehung um -9 reell machen des Nenners s nur n Formeln m allgemenen ahlen snnvoll, wenn de Were bekann snd ( besondere ahlen ), dann s de mwandlung n Polarform zur Kehrwerbldung wesenlch prakscher Poenzeren und Wurzelzehen Poenzeren s grundsäzlch auch n kahesscher Form möglch, aber of sehr aufwändg. n der Polardarsellung s es wesenlch lecher. n n n [ exp( ϕ )] exp( n ϕ ) Der Berag wrd poenzer, der Wnkel m der Hochzahl vervelfach. n n Achung: Wurzelzehen lefer zunächs nur den Haupwer der Wurzel (Beragsmäßg klenser Wnkel), de reslchen Wurzeln erhäl man durch Addon von x 36 zum ursprünglchen Wnkel (danach durch n dvderen), solange, bs man kene neuen Were mehr erhäl. n n n ϕ exp n De Wurzel aus dem Berag s mmer der posve Wer, de Velfal der Wurzeln komm nur aus der Velfal der Wnkel! Vele Aufgabensellungen der Elekroechnk führen auf Glechungen, de auf spezelle Wese lösbar snd. H / GE AHE See 68 / 87

69 z.b.: { } m a b wrd reell, wenn ähler und Nenner den glechen Phasenwnkel haben. c d b d arcan arcan a c b a d lech lösbar c z.b.: { } ± e{ } m ϕ ± 45 a b a ± b 3.,, n symbolscher Schrebwese 3.. Kene Phasenverschebung zwschen und reell Man nenn enen ohmschen Wdersand auch reellen Wdersand oder Wrkwdersand. 3.. Der Fakor sorg für de Phasendrehung von 9. X X ndukver Blndwdersand (mmer posv magnär) H / GE AHE See 69 / 87

70 3..3 X kapazver Blndwdersand X X mmer negav magnär! Beache: De magnäre Enhe s mmer unmelbar und unrennbar m verbunden. 3..4, Serenschalung, : : ( ) MPEDAN (Schenwdersand) Das egerdagramm für Spannungen und Sröme s mmer ene Momenaufnahme, das ganze Bld roer m gegen den rzegersnn, grundsäzlch kann es n eder belebgen Poson bezechne werden. (üblch: den Sromzeg er m Phasenlage zechnen) De Verhälnsse n der Schalung können genauso gu m enem e gerdagramm der Ebene beschreben werden. H / GE AHE See 7 / 87

71 De eger für, und haben deselben Phasenlagen und Größen we de es Bld s aber von vorn heren ruhend (kene Momenaufnahme), sene eleg. Der Wdersand ha mmer enen Wnkel von, führ n Spannungszeger, des age s endeug fesg de obere Halbebene, führ mmer n de unere Halbebene. 3..5, Serenschalung :, : ϕ / arcan Beache: s mmer posv X X φ s mmer zwschen -9 und 9 (Haupwer des arcan) H / GE AHE See 7 / 87

72 3..6,, Serenschalung kapazv reell ndukv esonanz < > SB E De mpedanz verhäl sch e nach Frequenz, kapazv, reell oder ndukv. Jene Frequenz, be der reell wrd, heß esonanzfrequenz f. De esonanzfrequenz kann aus der Bedngung { } m berechne werden: f π hompson-formel H / GE AHE See 7 / 87

73 Man nenn de Schalung Serenschwngkres. Se verhäl sch oberhalb der enz reell (we en ohmscher Wdersand), nerhalb der esonanzfrequenz kapazv. Der Serenschwngkres kann daher be gegebener Frequenz durch ene enfachere - oder -Schalung ersez werden. Achung: esonanzfrequenz ndukv, be esonanzfrequ u Das ewelge ESB, nsbesondere de errechneen Bauelwere, gelen mmer nur für ene enzge Frequenz! Man darf kenesfalls aus der Srukur enes ESB auf sen Frequenzverhalen schleßen, ohne de Frequenzabhänggke der Bauelwere zu berückschgen., Parallelschalung 3..7 // 3..8, Parallelschalung // / H / GE AHE See 73 / 87

74 3..9,, Parallelschalung // // Auch her s weder esonanz möglch: De beden Sröme und snd n edem Fall zuenander 8 phasenverschoben ( Gegenphasg ). Falls se gleche Beräge haben, ergb hre Summe, also von außen fleß ken Srom n de Parallelschalung von und, obwohl m nneren deses Schwngkreses hohe Sröme aufreen. Beache: En Schwngkres s nur deshalb schwngfähg, wel n den beden Bauelemenen nerge n verschedenen Formen gespecher und mmer weder von ener Form n de Andere umgewandel wrd. E H / GE AHE See 74 / 87

75 3. Wdersand ewer AHE See 75 / 87 Auch n der komplexen echnung s der ewer grundsäzlch der Kehrwer des Wdersands. Wr verwenden folgende Bezechnungen: Wdersand: X B G Y ewer: MPEDAN (Schenwdersand) ESSAN (Wrkwdersand) X EAKAN (Blndwdersand) Y ADMAN (Schenlewer) G KONDKAN (Wrklewer) B SSEPAN (Blndlewer) Bauele: ( ) ( ) B B B B X X X X Y Y G Y B G Y B G H / GE

76 Dese ewere können n en Schalbld engezechne werden, n dem se parallel angeordne snd: B P Parallel-ESB G P lwere deses Parallel-ESB snd bede von beden ursprünglchen Weren und bhängg. P P P Achung: De Baue a ( ) B G B G Parallel-ESB Y B P G P P P H / GE AHE See 76 / 87

77 Y Y und snd ren magnär und können daher für ene besmme Frequenz durch en Bauel ersez werden. Dabe s es glechgülg, ob uns von desem Bauel oder Y neresser! We be edem Schwngkres s de Grenze zwschen ndukvem und kapazvem Verhalen de esonanzfrequenz f. Schalungsverenfachung bzw. Berechnung des eweres bzw. Ermlung des Parallel-ESB erfolg n Schren: ) und durch en Bauelemen E bzw. E ersezen. ), E bzw. E n Parallel-ESB umwandeln. Beache: De Ersazbauele P, P oder P haben komplzere Frequenzgänge, als be enfacher - oder -Serenschalung. H / GE AHE See 77 / 87

78 umgekehre Aufgabensellung ( ener Parallelschalung) ( ) Y Y Seren-ESB S S ( ) Y Y Seren-ESB S S H / GE AHE See 78 / 87

79 Y Y ne eakanz darsellbar, wobe de Frequenz ber oder enschede. En Parallelschwngkres s durch ene enzel ü f π f < f ndukv f > f Kapazv Y mwandlung n en Seren-ESB weder n Schren: ), n ene eakanz umwandeln ) zusammen m ns Seren-ESB umwandeln H / GE AHE See 79 / 87

80 3.. Gemsche Schalungen Ges.: esonanzfrequenz f res, res esonanz { } m{ } m Y ( ) ( ) ( ) ( ) {} // 3 Y En Bruch wrd, wenn der ähler s und der Nenner unglech s. En Bruch wrd, wenn der Nenner und der ähler unglech s. En Produk wrd, wenn mnd. ener der Fakoren s. s ösung deser Glechung, praksch werlos, wel ede belebge Schalung be ren reelle Were für m Y 3 ( ) 3 und Y lefer. H / GE AHE See 8 / 87

81 Dese Formel erlaub de Berechnung der esonanzfrequenz f res bzw. res wobe genauso genommen ab der Glechung m {} Y überall anselle von de Größe res geschreben werden müsse. Das Ergebns laue daher: res s her nch de esonanzfrequenz, ha aber dennoch große Bedeuung für dese Schalung. Man nenn üblcherwese Kennfrequenz f. M erhäl man res. De esonanzfrequenz deses gedämpfen Schwngkreses s nch densch m der Kennfrequenz. De Dämpfung durch den Wdersand bewrk ene Frequenzänderung, de be snnvoller Dmensonerung (schwache Dämpfung) relav gerng ausfäll. Be särkerer Dämpfung wrd de esonanzfrequenz mmer klener und errech schleßlch den Wer. res Aperodscher Grenzfall Be noch särkerer Dämpfung (noch größerer ) wrd res magnär (negave Wurzel), das heß es gb weder nur en exponenelles abklngen, kene Schwngung. Beache: Ene magnäre Frequenz bzw. Kresfrequenz lefer bem Ensezen n exp ( ) ene nch perodsche Funkon (abklngend) vom yp usammenfassung: ungedämpf res exp. τ gedämpf, schwngfähg < res aperodscher Grenzfall res > aperodsches Krechen res... magnär Kennfrequenz Kennwdersand Beache: Be anderen Schalungsanordnungen kann res auch größer sen als. H / GE AHE See 8 / 87

82 Bsp.: f Hz φ -8 bs 8 Ges.: Kennfrequenz: 3 s 6, f 59Hz > Hz lösbar! π π Y φ? { } { } m anϕ e ϕ ϕ m anϕy m {} Y { } anϕ Y 3 anϕ Y, Y 3 anϕ anϕy anϕy ± 99,56 6, 7 Y anϕy ( ) an8 ± ( ) 4 45,3 3947, π , 45,3 m an-8 : 99,56 6,7 99,56Ω und 6,7Ω H / GE AHE See 8 / 87

83 99,56Ω lefer φ Y 8, dass heß φ -8 kapazv Für φ Y 8, das heß φ 8 erhäl man: 6,7Ω lefer φ Y -8, dass heß φ 8 ndukv Für de beden Wdersandswere ergeben sch folgende esonanzfrequenzen: res s 6,7Ω 6,7 res, res fres 58,79Hz π 99,56Ω 997,75s res 99,56, 94,5s zu sarke Dämpfung, nch schwngfähg Der aperodsche Grenzfall r en für res Ω usazfrage: Für welchen Wer von beräg de esonanzfrequenz Hz? res, 77,8Ω ( π) ( π) ( π) π Hz ( π) H / GE AHE See 83 / 87

84 3. egerdagramme erlauben de überschlche Darsellung der Verhälnsse n Wechselsromnezwerken. Of kann man das Verhalen ener Schalung abschäzen, ohne dass vele echengänge nowendg snd. Quanave egerdagramme snd exak maßsäblch gezechne, ersezen of ene komplzere echnung. Qualave egerdagramme veranschaulchen de Verhälnsse n der Schalung prnzpell, snd nch maßsäblch. Bauelwere und/oder Frequenz müssen nch bekann sen. Man kann aus hnen das Verhalen ener Schalung be Varaon verschedener Parameer erkennen. ehenfolge bem echnen enes egerdagramms Grundsäzlch muss man m nneren der Schalung begnnen, d.h. be enen Bauelemenen, Spannungen und Srömen, de am weesen von den Klemmen enfern snd. Hlfe: Schreb man de mpedanz oder Admanz als Formel an, dann muss n der nnersen Klammer m dem Aufbau des egerdagramms begonnen werden. Bsp.: Beache: De wllkürlch wählbaren egerlängen solle man so feslegen, dass Sonderfälle vermeden werden: Kene rechen Wnkel oder Parallelen, wo es nch zwngend s. H / GE AHE See 84 / 87

85 HÜ: Hz V 5, cm A cm V,5 Ges.: egerdagramm 3.3 esungen m Wechselsromkres D Momenanlesung P ) ( ) ( ) ( u p P p ) ( Wrklesung (veranworlch für de Wärmeenwcklung) Be snusförmgen Größen erhäl man de Wrklesung ( Melwer der Momenanlesung) n Abhänggke von der Phasenverschebung zwschen und ϕ ( ) ( ) p x x p u p cos ˆ ˆ ) ( ) ( ) ( ) ( u cos ˆ ˆ ) ( cos cos cos ˆ ) ( cos ˆ ) ( H / GE AHE See 85 / 87

86 P p( ) ˆ ˆ cos ˆ ˆ 3 Melwer eff eff P ϕ eff eff 3.3. ϕ 9 u( ) ˆ cos ( ) ˆ sn p( ) u( ) ( ) p( ) ˆ ˆ cos sn cosα cos β sn( α β ) sn( α β ) ˆ ˆ p( ) sn ˆ ˆ P p( ) sn 3 De Wrklesung s. ( ) Melwer Obwohl Spannung anleg und Srom fleß, gb es kene Wrklesung. Dese Ar von esung nenn man Blnlesung. ndukve Blndlesung: Q eff ϕ 9 eff H / GE AHE See 86 / 87

87 3.3.3 ϕ 9 Analoge Überlegungen lefern auch her nur Blndlesung. kapazve Blndlesung 3.3.4, 9 ϕ var. 9 Her gb es Wrklesung und Blndlesung! S Schenlesung usammenhang zwschen den 3 esungen: S P Q P S cosϕ Q S snϕ üblche Enheen: [S] VA Volampere [P] W Wa [Q] var Volampere reakv H / GE AHE See 87 / 87