Grundlagen der Elektrotechnik Teil B

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1 Grundlagen der Elekroechnk Tel B Prof. Dr.-Ing. Joachm Böcker Skrp zur Vorlesung Sand vom.5.5 nversä Paderborn Fachgebe esungselekronk und Elekrsche Anrebsechnk

2 Vorwor II Vorwor Deses Skrp fass de wchgsen Inhale der Vorlesung Grundlagen der Elekroechnk, Tel B schworarg zusammen. Des soll ken umfassendes ehrbuch sen, sondern als Orenerung und Gedächnssüze denen. Ich empfehle den Sudennnen und Sudenen, auf egene Nozen nch zu verzchen und darüber hnaus neben dem Skrp auch andere ehrbücher zu benuzen. Es veref das Versändns, enen Sachverhal von enem anderen Auor, n ener anderen Schwese, auch andere Schrebwesen kennen zu lernen. Selbs das Endecken vermenlcher oder asächlcher Wdersprüche s von Wer, wenn man gewll s, sch m den Inhalen und Zusammenhängen ausenander zu sezen, und nch nur ene Formelsammlung erware. Paderborn, m Aprl 8

3 Inhal III Inhal Elekrsche Nezwerke m dskreen Elemenen. Zwepole und Zählpfelsyseme. Krchhoffsche Geseze 3.3 Mehrpole 5.4 Ableung der Krchhoffschen Geseze aus den allgemenen Feldglechungen 6 Melwer und Effekvwer 8 3 Elemenare Zwepole 3. Bezechnungen 3. Wdersand 3.3 Kondensaor Drossel oder Spule 7 4 Nchlneare Elemene 4. Nchlneare Drossel 4. Nchlnearer Kondensaor 4 5 esung, Arbe, Energe m elekrschen Nezwerk 6 5. Arbe und Energe 6 5. Energeblanz m Nezwerk 6 6 Glechsromseller 8 6. Tefsezseller Prnzp M Gläungskondensaor ealserung Hochsezseller Prnzp M Gläungskondensaor ealserung 4 7 Elemenare Ausglechsvorgänge 4 7. C-Gled Gled Anfangs-Endwer-Darsellung für C- und -Gleder 46 8 Schwngkrese C-Schwngkres C-Parallelschwngkres C-ehenschwngkres Aufschalung von sprungförmgen Größen auf C-Nezwerke 59 9 Snusförmge Vorgänge n lnearen Nezwerken Snusförmge Größen 63

4 Inhal IV 9. Darsellung snusförmger Größen m komplexen Zegern Snusförmge Größen an Zwepolen Impedanz und Admanz Impedanzen und Admanzen der elemenaren Zwepole ehenschalung und Parallelschalung Impedanzen enger Zwepole Allgemene Voraussezungen für de echnung m Impedanzen und Admanzen 78 Frequenzabhängge Darsellungen von Impedanzen und Admanzen 8. C-Parallelschalung 8. -ehenschalung Parallelschalung 87.4 C-ehenschalung 88.5 C-Parallelschwngkres 89.6 C-ehenschwngkres 96 Überragungsfunkonen 98 esung be snusförmgen Vorgängen 3. Momenan-, Wrk-, Blnd- und Schenlesung 3. esung und Energe 8.3 Wrk- und Blndsrom.4 Wrk- und Blndspannung.5 Wrk- und Blndlesungsblanz sowe Gesamenerge n Nezwerken.6 Tabelle für Schen-, Wrk- und Blndlesungen 3 3 eale Bauelemene (, C, 4 3. Normrehen 4 3. Kennwere Bauformen Wdersände Kondensaoren Drosseln eales Verhalen 3.5 Verluswnkel und Verlusfakor 4 Enfache magnesche Syseme m Kern und ufspal 4 4. Ersazschalbld des magneschen Kreses 4 4. Indukvä und Energe Bezehungen zwschen Schenlesung, Geomere und Maeral Krafwrkung Nchlneare Magneserung Hyserese 4 5 Transformaor 43

5 Inhal V 5. Aufbau, Schalzechen Idealseres Verhalen Messwandler und Überrager Sromwandler Spannungswandler Modellerung von Transformaoren m Sreuung Berückschgung der Verluse eerlaufverhalen Kurzschluss und Verhalen be Belasung Zusammenhang zwschen Geomere und Schenlesung 6 6 Glechsrommoor Wrkprnzp Aufbau Kommuaor und Ankerwcklungsschemaa Mahemasche Modellerung Elekrsche und mechansche esung, Wrkungsgrad Schalungsaren, Klemmenbezechnungen und Schalzechen Fremderreger und permanen erreger Moor Bereb m Vorwdersänden Spesung durch enen Tefsezseller Nebenschlussmoor 8 6. ehenschlussmoor 8 7 nearmoor Grundprnzp, enphasger nearmoor Zwephasger nearmoor Drehsrom-nearmoor 9 8 Drehsrom Energeüberragung Komplexe Zeger der Sernschalung Komplexe Zeger der Dreeckschalung 8.4 mrechnung zwschen Sern- und Dreeckschalung A Grechsche Buchsaben B eraur C Klenes deusch-englsches Glossar v

6 Elekrsche Nezwerke m dskreen Elemenen S. Elekrsche Nezwerke m dskreen Elemenen Elekrsche Nezwerke m dskreen Elemenen besehen aus elekrschen Zwe- oder Mehrpolen, de durch deal leende Verbndungen menander verknüpf snd. En elekrsches Nezwerk s ene Absrakon, durch de velfälge elekroechnsche Anordnungen und Syseme ganz unerschedlcher Größenordungen dargesell werden können. Z.B.: Elekrsche Energeverelungsneze (geomersche Ausdehnung: km bs zu engen km Elekronsche Schalungen (geomersche Ausdehnung: enge µm (IC bs zu engen cm En elekrsches Nezwerk beseh aus zwe unerschedlchen Aren von Srukurelemenen: Zwe- oder Mehrpole: Elemene m zwe oder mehreren elekrschen Anschlüssen, den Polen oder den Klemmen. Ideal leende Verbndungen, de de Anschlüsse der Zwe- oder Mehrpole menander verbnden. Zwe- oder Mehrpole können ganz unerschedlcher Ar und auch gänzlch unerschedlcher Komplexä n hrem Innern sen. Bespele: Zwepole: Wdersand Kondensaor Drossel Haarrockner (schuzsoler, ohne Schuzleer Baere Drepole: Transsor Sparransformaor Kühlschrank (m Schuzleer Verpole: Doppelleung (zwe Enden m je zwe Anschlüssen Transformaor m zwe Wcklungen Fünfpol: Elekrscher Herd (Drehsromanschluss m Neural- und Schuzleer

7 Elekrsche Nezwerke m dskreen Elemenen S. Bld -: Bespel enes Nezwerks m Zwepolen und Drepol Wr verwenden den Begrff elekrsches Nezwerk n zwe unerschedlchen Zusammenhängen:. Das Nezwerk als Schalplan oder Schalbld: Das Nezwerk gb an, we ene reale Schalung aufgebau s, welche Komponenen es benhale und we dese Komponenen unerenander verbunden snd.. Das Nezwerk gb an, we sch en Sysem bezüglch äußerer Enflussgrößen verhäl, ohne dass es asächlch m Innern so beschaffen wäre, we es das Nezwerk beschreb. Derarge Nezwerke bezechnen wr als Modelle oder Ersazschalblder. Bespele: Ersazschalblder enes Transsor, enes Moors, enes Transformaors, ener Baere oder ener langen elekrschen eung.. Zwepole und Zählpfelsyseme De Wahl der Zählrchungen von Srom und Spannung s fre. Be der Berechnung elekrscher Nezwerke wrd häufg versuch, de Zählrchungen so enzuführen, dass de Sröme und Spannungen posv snd. Das s für von vornheren bekanne Größen durchaus snnvoll. Für unbekanne Größen solle de Zählrchung zwanglos fesgeleg werden. Es wrd dadurch nch ausgedrück, dass der Srom asächlch n der Pfelrchung fleß bzw. ene posve Spannung n Pfelrchung anleg. De asächlche chung wrd dann durch das Vorzechen der Spannung ausgedrück. Für ene vorzechengereche Beschrebung von Srömen und Spannungen s also ene Bemaßung m Zählpfelen zwngend nowendg.

8 Elekrsche Nezwerke m dskreen Elemenen S. 3 Für Zwepole gb es zwe wchge Konvenonen der Zählrchungen: Verbraucher-Zählpfel-Sysem (Srom und Spannung werden glechsnng gezähl u Zwepol Zwepol u Bld -: Verbraucher-Zählpfel-Sysem Erzeuger-Zählpfel-Sysem (Srom und Spannung werden gegensnng gezähl u Zwepol Zwepol u Bld -3: Erzeuger-Zählpfel-Sysem De am Zwepol umgeseze elekrsche esung s das Produk von Spannung und Srom: p ( u( ( (. Verbraucher-Zählpfel-Sysem: De esung p ( u( ( wrd vom Zwepol aufgenommen Erzeuger-Zählpfel-Sysem: De esung p ( u( ( wrd vom Zwepol abgegeben Sprechwese: En Srom fleß durch enen Anschluss, enen Pol, enen eer Ene Spannung leg an zwschen zwe Anschlüssen, zwe Polen, zwe Punken. Krchhoffsche Geseze Erses Krchhoffsches Gesez: De Summe* aller Sröme über ene belebg gewähle geschlossene Hülle s ses Null: k ( (. k * De Summe wrd vorzechengerech ensprechend der gewählen Zählpfelrchungen geblde.

9 Elekrsche Nezwerke m dskreen Elemenen S. 4 Als wchger Spezalfall ergb sch aus dem ersen Gesez de Knoenregel: De Summe aller Sröme an enem Knoen s ses Null. De oben formulere erweere Form s jedoch rech nüzlch Drepol 3 Bld -4: Bespele für Anwendung der Knoenregel Zwees Krchhoffsches Gesez ( Maschenregel : De Summe* aller Spannungen enlang enes belebg gewählen geschlossenen mlaufs (Masche s ses Null: uk ( (.3 k * De Summe wrd vorzechengerech ensprechend der gewählen Zählpfelrchungen geblde.

10 Elekrsche Nezwerke m dskreen Elemenen S. 5.3 Mehrpole u n u u n u 3 3 n-pol u 3n n Bld -5: Mehrpol Wegen des. Krchhoffschen Gesezes n sener allgemenen Form muss be Mehrpolen gelen. esung am Mehrpol: n k k ( (.4 n k k p( ( u ( (.5 kn

11 Elekrsche Nezwerke m dskreen Elemenen S. 6.4 Ableung der Krchhoffschen Geseze aus den allgemenen Feldglechungen. Krchhoffsches Gesez Erhalungssaz bzw. Blanzglechung der elekrschen adung (Konnuäsgesez: V d j da d q V ρ dv (.6 Beelge Größen snd: Vekor der Sromdche: j adungsdche: ρ j d A s der Gesamsrom durch de Hülle des Volumens V, wobe be deser V Defnon der Srom n das Volumen hnen posv gezähl wrd, da de Flächennormale A d nach außen zeg q ρ dv s de gesame elekrsche adung m Volumen V V Heraus folg also das erse Krchhoffsche Gesez, sofern vorausgesez werden kann, dass sch de adung q m Volumen V nch änder, also q : k ( (.7 k Achung: Bem Kondensaor ändern sch zwar de adungen auf den Elekroden, de Gesamladung bleb jedoch mmer Null! Das erse Krchhoffsche Gesez darf also nch auf Syseme angewende werden, be denen de Voraussezung q nch zurff, z. B. be Vorgängen m Wellenausbreung (sowohl leungsgeführ als auch gesrahl Anordnungen, de sch elekrosasch aufladen können, wo also neben elekrschen Srömen auch delekrsche Verschebungssröme aufreen

12 Elekrsche Nezwerke m dskreen Elemenen S. 7. Krchhoffsches Gesez Das Faradaysche Indukonsgesez laue n negraler Form A d E ds d A B da (.8 Beelge Größen snd: Vekor der elekrschen Feldsärke: E Vekor der magneschen Flussdche oder der magneschen Indukon: B gesamer magnescher Fluss durch de Fläche A : φ B d A : A φ A u u 3 ds Bld -6: Zum Indukonsgesez De Beräge zum Wegnegral der elekrschen Feldsärke nnerhalb der elekrschen Verbndungsleungen snd Null, sofern deale eer vorausgesez werden. Es folg also: dφ u k (.9 d k A Nur wenn der magnesche Fluss φ durch de bereffende Masche enes Nezwerkes Null s oder sch zumndes nch änder, gl das zwee Krchhoffsche Gesez u uk ( k (. Trff dese Voraussezung nch zu, gl das zwee Krchhoffsche Gesez nch. Bespele: Elekrsche Schalungen, be denen magnesche Sreuflüsse, z.b. enes Transformaors, de Nezwerkmaschen durchdrngen, so dass ene Brummspannung nduzer wrd. En sch aufgrund des Sonnenwnds änderndes Erdmagnefeld kann be sehr großen Maschen, we se durch Freleungen geblde werden, für Überraschungen sorgen. Vorgänge m Wellenausbreung

13 Melwer und Effekvwer S. 8 Melwer und Effekvwer Arhmesches Mel ener zelch veränderlchen Größe ( : x m Inervall [ ], x x( d. (. De Melwerbldung läss sch auf belebge zelch veränderlche Größen anwenden. Häufg handel es sch aber um perodsche Größen: Für ene perodsche Größe x ( gl x( x( T (. T heß Perodendauer. Der Melwer über ene Perode s unabhängg von der Wahl des Anfangszepunkes: Glechrchwer: belebg, z.b., T (.3 x T Quadrasches Mel oder Effekvwer: T x( d (.4 X T T x ( d. (.5 Scheelwer: xˆ max x( (.6 T Scheelfakor (cres facor: k s xˆ (.7 X Ebenfalls üblche Bezechnung x AV x (AV, Average. Ebenfalls üblche Bezechnungen: x x X (MS, oo Mean Square eff MS

14 Melwer und Effekvwer S. 9 Formfakor (Effekvwer bezogen auf Glechrchwer: k f X x (.8 Melwere verschedener Sgnalformen x ( x x X k s k f xˆ ( T x ( xˆ sn π / T xˆ π xˆ π xˆ ( T x ( xˆ sn π / T xˆ π xˆ π xˆ π xˆ xˆ T T xˆ x T ˆ xˆ x T ˆ xˆ 3 x T ˆ 3 T 3 T Häufg neresseren esungsmelwere (arhmesches Mel! P p T T p( d (.9 Arhmesches Mel der esung an enem ohmschen Wdersand: P T T T T T p( d u( ( d ( d T I (.

15 Melwer und Effekvwer S. Oder: T T P p( d u( ( d u ( d T T T T (. Der Effekvwer enes Srom bzw. ener Spannung erzeug n enem ohmschen Wdersand de gleche esung we en ensprechender Glechsrom bzw. ene ensprechende Glechspannung! Messgeräe, de Effekvwere anzegen, messen mes über Glechrchung und arhmescher Melung gar nch den Effekvwer, sondern nur den Glechrchwer. Deser wrd über den Formfakor n den Effekvwer umgerechne, wobe angenommen wrd, dass snusförmge Größen vorlegen. De Effekvwermessung nch-snusförmger Größen m derargen Messnsrumenen führ dann regelmäßg zu falschen Ergebnssen, wenn das Messergebns nch m den ensprechenden Formfakoren korrger wrd. Das gelng naürlch nur dann, wenn de Kurvenform und dam der Formfakor bekann snd. Messgeräe, de asächlch Effekvwere für belebge Kurvenformen drek messen (rue MS, snd aufwändg und euer. Hlfrech snd de folgenden Zusammenhänge für de Berechnung von arhmeschem oder quadraschem Meln, sofern dese Melwere für Telnervalle des Kurvenverlaufs beres bekann snd, also nsbesondere dann, wenn das Sgnal aus elemenaren Sücken we Dreeck, echech, Snus oder Sgnalpausen zusammengesez s: Seen x, x, de jewelgen arhmeschen Melwere n den Telnervallen T, T, bzw. X, X, de ensprechenden Effekvwere, so ergb sch der Gesam-Melwer bzw. Gesameffekvwer gemäß Tk xk k x (. T k k X k k T k T X k k (.3

16 3 Elemenare Zwepole S. 3 Elemenare Zwepole 3. Bezechnungen Im Gegensaz zu Glechsrom-Glechspannungs-Kresen werden Sröme, Spannungen, esungen als zelch veränderlche Größen aufgefass. Für zelch veränderlche Größen werden Klenbuchsaben verwende: ( (3. u u( (3. p ( u( ( ( Wdersand Für den Wdersand gl das ohmsche Gesez auch für zelch veränderlche Vorgänge: bzw. m dem ewer u ( ( (3.4 ( Gu( (3.5 G (3.6 Achung: Es wrd das Verbraucher-Zählpfel-Sysem vorausgesez. Der bauelspezfsche Zusammenhang ( Bauelglechung zwschen Srom und Spannung, also das ohmsche Gesez bem Wdersand, wrd als konsuve Glechung bezechne. Das ohmsche Gesez beschreb en dealseres Verhalen enes Wdersands. eale Wdersände (z.b. gewckele Drahwdersände zegen darüber hnaus en nennensweres ndukves, sogar en kapazves Verhalen. esung und Arbe p ( ( u ( Gu ( (3.7 w [, ] p( d ( d u ( d (3.8

17 3 Elemenare Zwepole S. De Größe w [ ] s de während des Zenervalls [ ],, gelesee elekrsche Arbe. Dese wrd vollsändg n ene Wärmemenge Q umgesez: θ Q θ w[, ] p( d ( d u ( d (3.9 De gelesee Arbe s zwar von hrer Dmenson glech der ener Energe. Se wrd m Allgemenen aber nch als Energe bezechne. Der nersched zwschen den Begrffen Arbe und Energe wrd be der Berachung von Kondensaor und Spule deulch. ehenschalung zweer Wdersände u ( ( (3. u ( (3. ( u u ( u ( ( ( ( (3. ( m dem resulerenden Ersazwdersand der ehenschalung: Parallelschalung u ( ( (3. (3.3 ( Gu( (3.4 G u( (3.5 ( ( ( ( G G u( Gu( (3.6 ( m dem resulerenden Ersazlewer der Parallelschalung: Werden sa der ewere de Wdersände benuz, führ das zu Gu ( ( (3. G G G (3.7 (3.8 Für de Berechnung des Ersazwdersands der Parallelschalung wrd, we n der lezen Formel, gern de Kurzschrebwese benuz.

18 3 Elemenare Zwepole S Kondensaor ( u( C Bld 3-: Schalsymbol des Kondensaors Der Kondensaor specher ene elekrsche adung q, wobe sch auf den beden Elekroden jewels adungen m gegensäzlchen Vorzechen 3 befnden (de adung auf der oberen Elekrode werde posv gezähl. Aufgrund der Blanzglechung der elekrschen adung (vgl. Abschn.4 muss be Annahme obger Zählrchungen gelen: dq( d ( (3.9 De adung q s aber proporonal zur elekrschen Spannung: q ( Cu( (3. De Proporonaläskonsane C heß Kapazä. Maßenhe der Kapazä s das Farad (F: As [ C ] F V Elmner man de elekrsche adung aus desen beden Glechungen, erhäl man als Bezehung zwschen Spannung und Srom ene Dfferenzalglechung. Ordnung oder kurz du( C ( (3. d C u ( ( (3. Dese Glechung beschreb das dealsere Verhalen enes Kondensaors. De beschrebende Dfferenzalglechung s de konsuve Glechung des Kondensaors (man beache, dass das Verbraucherzählpfelsysem vorausgesez wurde, andernfalls erhele man das umgekehre Vorzechen. 3 De Summe der adungen beder Elekroden s folglch mmer Null, weshalb das. Krchhoffsche Gesez auch auf Schalungen m Kondensaoren angewende werden kann.

19 3 Elemenare Zwepole S. 4 Kapazä enes Plaenkondensaors De Kapazä enes Kondensaors, be dem der Plaenabsand d klen gegenüber der Ausdehnung der Plaen (oder Folen m der Fläche A s, besmm sch zu wobe r ε r A C ε (3.3 d ε de relave Permvä (de Delekrzäszahl des Delekrkums und ε 8,854 F/m de Permvä (Delekrzäskonsane des Vakuums s (ohne Herleung. esung, Energe m dwc ( ( u ( w ( du( d p( u( ( Cu( C C (3.4 d d d w ( Cu C ( (3.5 Dese Größe s de nnere Energe des Kondensaors. De Energe enes Sysems s ypscherwese nur vom momenanen Zusand abhängg, her also von u (, nch aber von der Vorgeschche. De über enem Zenervall gelesee äußere Arbe w [, ] läss sch we folg negreren: w [ ] p( d w ( d w ( w ( C( u ( u ( C C C (3.6, w [ ] w ( w (, C C (3.7 De gelesee Arbe s also de Dfferenz der Energen zwschen End- und Anfangszusand. Des mach den nersched zum Wdersand deulch: Der Kondensaor specher de an hm gelesee äußere Arbe als Energe und kann dese be Enladung auch weder abgeben. Im Prnzp s de Energe w C ( nur bs auf ene Inegraonskonsane endeug besmmbar. Da aber ses Dfferenzen von Energen aufreen, kann dese Inegraonskonsane ohne Enschränkung der Allgemenhe (we oben geschehen zu Null gewähl werden. Dynamsches Verhalen Wrd bem Kondensaor de Spannung vorgegeben, folg endeug der Srom:

20 3 Elemenare Zwepole S. 5 Bespel: Snusförmge Größen: ( Cu ( (3. ( ω α u( uˆ sn (3.8 ( ωcuˆ cos ω α ˆ cos ω α (3.9 ( ( De Ampluden von Spannung und Srom sehen be ener solchen snusförmgen Spesung also m Zusammenhang ˆ ωcuˆ (3.3 wobe de Schwngung des Sroms der Spannungsschwngung vorausel. Wrd dagegen bem Kondensaor der Srom vorgegeben, kann de Spannung nur bs auf den Anfangswer der Spannung (mahemasch: de Inegraonskonsane besmm werden. Der Anfangswer muss also auf anderem Wege gegeben oder besmm werden: u( u ( d (3.3 C Merke: De Spannung am Kondensaor kann sch nch sprungförmg ändern. u( ( ( ˆ ωcuˆ û C u( T π /ω Bld 3-: Bespele für zelche Verläufe von Srom und Spannung am Kondensaor Parallelschalung C u ( ( (3.3 C u ( (3.33 ( C C u ( ( ( (3.34 (

21 3 Elemenare Zwepole S. 6 m der resulerenden Ersazkapazä der Parallelschalung: ehenschalung C u ( ( (3. C C C (3.35 C u ( ( (3.36 C u ( (3.37 ( u ( ( C (3.38 u ( ( C (3.39 u( u ( ( C C (3.4 m der resulerenden Ersazkapazä der ehenschalung: C u ( ( (3. C C C CC C C (3.4 Merke: Kapazäen verhalen sch n ehen- und Parallelschalung ähnlch we ewere. ( ( u ( ( ( u( C u( C C u ( C Bld 3-3: ehen- und Parallelschalung von Kondensaoren

22 3 Elemenare Zwepole S Drossel oder Spule ( ( u( u( nach neuer Norm al, nch mehr verwenden Bld 3-4: Schalsymbole der Drossel Ausgangspunk s das Indukonsgesez (vgl. Abschn.4. Es soll aber berückschg werden, dass Spulen n der egel nch nur aus ener enzgen, sondern mehreren Wndungen besehen. In desem Fall ergb sch der magnesche Verkeungsfluss ψ als Inegraon über ene ensprechend velschchge Fläche. ner der verenfachenden Annahme, dass jede Wndung vom glechen magneschen Fluss durchsez wrd, s der Verkeungfluss enfach en ganzzahlges Velfache des enfachen Flusses, ψ Nφ (3.4 wobe N de Wndungszahl der Spule s. Das Indukonsgesez ha weder de gleche Form, ledglch r sa des (enfachen Flusses φ der mehrfach verkeee Fluss auf: dψ ( u( d (3.43 Das Indukonsgesez gl n mmer glecher Form unabhängg davon, we das Magnefeld zusande komm. Es kann durch fremde Erregungen we durch ene andere Spule n enem Transformaor (Gegenndukon, durch Bewegung oder Formänderung der Spule n enem fremden Magnefeld we es bespelswese be elekrschen Maschnen der Fall s (Bewegungsndukon oder aber durch den egenen Srom der Spule selbs erzeug werden (Selbsndukon. Wr berachen her nur den lezen Fall. In desem Fall kann der magnesche Verkeungsfluss ψ be Bauelemenen m lnearen Maeralen als proporonal zum Srom angenommen werden. De Proporonaläskonsane wrd als Indukvä bezechne: De Maßenhe der Indukvä s das Henry (H: ψ (3.44 Vs [ ] H A

23 3 Elemenare Zwepole S. 8 De Bezehung zwschen Srom und Spannung läss sch dann n der Form bzw. d( u( (3.45 d ( u( (3.46 schreben. Des s de konsuve Glechung der Spule (auch her gl das Verbraucherzählpfelsysem. Deses dealsere Verhalen berückschg nch den Innenwdersand und möglche kapazve Effeke realer Bauelemene. Indukvä ener langen Zylnderspule Ene Zylnderspule m N Wndungen und Querschnsfläche A, be der de änge l sehr groß gegenüber dem Durchmesser s, besz de Indukvä wobe r µ r AN µ (3.47 l µ de relave Permeablä bzw. de Permeabläszahl des Kernmaerals und 7 m 4π H/m de Permeablä des Vakuums 4 s. Das gleche Ergebns gl auch für orusförmge Spulen (ngkernspulen, sofern de Abmessungen des Torusquerschns klen gegenüber dem Torusdurchmesser snd. Man vergleche de Formel für de Kapazä des Plaenkondensaors! (ohne Herleung esung, Energe dw ( ( ( w ( d( d p( u( ( ( (3.48 d d d Innere Energe der Drossel (vgl. Kondensaor: w ( ( ( De Permeablä des Vakuums, de auch als magnesche Feldkonsane bezechne wrd, s asächlch auf desen glaen Wer fesgeleg. Auf dese Wese wrd m Inernaonalen Sysem der Maßenheen de Maßenhe des elekrschen Sroms defner: A s defner als derjenge Srom, der jewels zwe sehr lange, hnrechend dünne, m Absand von m angeordnee eer durchfleß, wenn dese je m eerlänge ene Kraf von -7 N aufenander ausüben.

24 3 Elemenare Zwepole S. 9 Dynamsches Verhalen Wrd der Srom der Drossel vorgegeben, folg daraus endeug de Spannung: Bespel: Snusförmge Größen: u( ( (3.46 ( ω α ( ˆ sn (3.5 u( ωˆ cos ω α (3.5 ( Spannungs- und Sromampluden sehen be ener solchen snusförmgen Spesung m Zusammenhang De Spannungsschwngung el dabe dem Srom voraus. uˆ ωˆ (3.5 Wrd dagegen de Spannung vorgegeben, s der Anfangswer des Sroms unbesmm: ( u( d (3.53 Merke: Der Srom n ener Drossel kann sch nch sprungförmg verändern. ( u ( u( uˆ ωˆ î u ( T π /ω Bld 3-5: Bespele für zelche Verläufe von Srom und Spannung an der Drossel

25 3 Elemenare Zwepole S. ehenschalung ( u( (3.54 u ( (3.55 ( ( u ( u ( (3.56 ( m der resulerenden Ersazndukvä der ehenschalung: Parallelschalung ( u( (3.46 (3.57 ( u( (3.58 u( (3.59 ( ( u( (3.6 ( u( (3.6 ( ( u( (3.6 m der resulerenden Ersazndukvä der Parallelschalung: ( u( (3.46 (3.63 Merke: Indukväen verhalen sch n ehen- und Parallelschalung ähnlch we Wdersände.

26 3 Elemenare Zwepole S. ( u ( ( u( ( ( ( u ( Bld 3-6: ehen- und Parallelschalung von Drosseln

27 4 Nchlneare Elemene S. 4 Nchlneare Elemene 4. Nchlneare Drossel Insbesondere Spulen m ferromagneschen Kernen zegen Sägungsverhalen. Magnescher Fluss und elekrscher Srom snd dann nch mehr proporonal. Das Indukonsgesez s aber en physkalsches Grundgesez, deses gl weerhn: u( ψ ( (4. Sa des nun nch mehr gülgen lnearen Zusammenhangs zwschen ψ und wrd nun angenommen, dass es ene we auch mmer gearee nchlneare Kennlne der Ar gebe. Dese wrd Magneserungskennlne genann. ψ ψ ( (4. ψ d ( ( Bld 4-: Magneserungskennlne Durch Ensezen und Anwendung der Keenregel ergb sch ene neue Dfferenzalglechung als konsuve Glechung: dψ u( ψ ( ( d ( ( (4.3 d De Glechung glech formell jener be lnearen Verhälnssen. Herbe s aber de sogenanne dfferenzelle Indukvä

28 4 Nchlneare Elemene S. 3 d dψ ( (4.4 d maßgeblch. Es läss sch zwar auch ene Indukvä als sromabhängges Verhälns von Fluss und Srom defneren, dese ha aber für das dynamsche Verhalen kene Bedeuung. ψ ( (4.5 esung und Energe p( u( ( ψ ( ( (4.6 w ( w ( p( d ( d dψ ( d ψ ( ψ ( dψ (4.7 Auch m nchlnearen Fall läss sch also de äußere Arbe zu ener nneren magneschen Energe w negreren. De geomersche Inerpreaon der magneschen Energe als Flächennhal der Magneserungkennlne s n folgendem Dagramm dargesell (vgl. de Formel für de magnesche Energe für de lneare Drossel, dese Energe enspräche ener Dreecksfläche: ψ w Bld 4-: Magnesche Energe n ener nchlnearen Drossel

29 4 Nchlneare Elemene S Nchlnearer Kondensaor Ausgangspunk s weder de adungsblanz ( q ( (4.8 de als physkalsches Grundgesez auch m nchlnearen Fall gelen muss. Es werde nun angenommen, es gäbe enen nchlnearen Zusammenhang zwschen adung q und Spannung u : Ensezen und Keenregel lefer: m der dfferenzelle Kapazä Kapaza, jez spannungsabhängg: esung und Energe q q(u (4.9 dq ( q ( u ( Cd ( u u ( (4. du dq C d ( u (4. du q C ( u (4. u p( u( ( u( q ( (4.3 q( dq( w C ( wc ( p( d u( d u dq (4.4 d q(

30 4 Nchlneare Elemene S. 5 q w C u Bld 4-3: Geomersche Inerpreaon der Energe enes nchlnearen Kondensaors

31 5 esung, Arbe, Energe m elekrschen Nezwerk S. 6 5 esung, Arbe, Energe m elekrschen Nezwerk 5. Arbe und Energe Das Inegral der elekrschen esung an enem Zwe- oder Mehrpol über der Ze [, ] w p( d (5. s de gelesee (elekrsche Arbe. Verenfach gesprochen, bezechnen wr dese Arbe nur dann als Energe deses Elemens, wenn dese als Spechergröße denfzer werden kann (nsbesondere kann dese dann auch weder abgegeben werden. Mahemasch genauer formuler sprechen wr von Energe, wenn das obge esungsnegral so negrer werden kann, dass das Ergebns nur ene Funkon der Zusandsgrößen 5 x ( zum End- bzw. Anfangszepunk s: w [ ] w( w( w( x( w( x( (5., Dese Funkon w ( x( heß dann nnere Energe. We schon nachgewesen, exseren für Kondensaor und Spule derarge Energen, de für lneare Fälle und w ( ( (5.3 w ( Cu C ( (5.4 lauen. Für den Wdersand fnde man ene solche nnere Energe nch. 5. Energeblanz m Nezwerk De esung an enem Elemen k n enem elekrschen Nezwerk se p k (, de dem Nezwerk über äußere Klemmen zugeführe esung se p e (. De esungsblanz m Nezwerk laue dam e N p ( p ( (5.5 k k 5 Zusandsgrößen nenn man enen Saz von Varablen, deren Kennns ausrech, um den Zusand enes Sysems vollsändg zu beschreben.

32 5 esung, Arbe, Energe m elekrschen Nezwerk S. 7 Snd enge der Elemene Energespecher (Kondensaoren oder Spulen oder andere Elemene, de dem Krerum nach Abschn 5. genügen, läss sch ene Gesamenerge des Nezwerks defneren Dam: wobe w ( w k ( (5.6 k Specher p ( w ( p ( (5.7 e k k Specher p ( p ( (5.8 de nnere esung s. Dese sez sch aus Verlusen z. B. der Wdersände zusammen. Spezalfälle deser esungs- oder Energeblanz: bzw. Nezwerk enhale kene Elemene, de esung vernchen oder erzeugen, z. B. en Nezwerk nur aus Spulen und Kondensaoren p e ( w ( (5.9 do., darüber hnaus werde kene äußere esung zugeführ. Dann folg ene Energeerhalung: w ( (5. w ( cons. (5. Nezwerk enhale gar kene Specher: De von außen zugeführe esung wrd dann momenan auf de Nezwerkelemene verel: p e( p ( pk ( (5. k

33 6 Glechsromseller S. 8 6 Glechsromseller Transformaoren denen der mformung von Wechselspannungen oder srömen. De mformung von Glechspannungen wrd m enem gänzlch anderen Funkonsprnzp bewerksellg. Im Folgenden werden de beden enfachsen Srukuren vorgesell, um ene Glechspannung herauf- oder herunerzusezen: Der Tefsezseller und der Hochsezseller. Derarge Glechsromseller werden für verschedene Anwendungen und esungsklassen m Spannungsberech von wengen Vol bs zu engen V oder sogar kv und esungen von ewa mw bs zu engen kw oder mehr engesez. 6. Tefsezseller 6.. Prnzp S u u s u u Bld 6-: Prnzpschalbld des Tefsezsellers Annahme konsaner Spannungen: u (, ( Der Schaler S wrd m dem Tasverhälns geake (s. Bld 6-. Begrffe: T e Enschalze (Schaler oben T a Ausschalze (Schaler unen T s Te Ta Schalperode f s T Schalfrequenz s u. T e D (6. Ts

34 6 Glechsromseller S. 9 Sellerspannung: u( während der Enschalze u s ( (6. während der Ausschalze u u u u s u u u s u u während der Enschalze während der Ausschalze Bld 6-: Ersazschalblder während En- und Ausschalze Analyse des saonären Verhalens Zelcher Verlauf des Sroms ( (vgl. Bld 6-: Aus folg während der Enschalze, T ] : ( u ( u ( (6.3 [ e und während der Ausschalze T e, T ] : s ( ( (6.4 [ s ( Te ( Te ( Te ( Te (6.5 ( Der Drosselsrom ( s genau dann saonär (bzw. perodsch, wenn Daraus folg: ( Ts ( ( Te ( Ts Te ( T T T ( e s e T T e s (

35 6 Glechsromseller S. 3 T e D (6.6 T Das Tasverhälns besmm ähnlch we das Verhälns der Wndungszahlen bem Transformaor das Verhälns der Spannungen! s u s ( Te Ta Ts ( ( max mn ( Bld 6-3: Zelche Verläufe bem Tefsezseller m saonären Zusand Andere alernave Berachung m Melweren: Der Srom ( änder sch über ene Perode T s nch, wenn de Drosselspannung u ( m Mel Null s, u, denn aus ( u ( (6.7 folg durch Inegraon über ene Schalperode T s : Ts ( ( T ( u ( d T u s s (6.8

36 6 Glechsromseller S. 3 Aus der Maschenglechung: u ( u ( (6.9 s erhäl man de Aussage über de Melwere m saonären Zusand: u u (6. s Der Melwer der Sellerspannung s aber u s T s Te us( d D T (6. T s s Daher folg u s D (6. bzw. Für den Melwer des Enganssroms ( ergb sch: D (6.3 Ts Te Te Te ( d ( d T T (6.4 s T T s s s Also D (6.5 D (6.6 Der Drosselsrom ( s nemals konsan, sondern schwank ses nach enem dreeckförmgen Verlauf hn und her. De Schwankungsbree des Sroms besmm sch zu ( D D Ts D max mn ( Te ( Ts Ta (6.7 De maxmale Sromschwankungsbree ergb sch für das Tasverhälns D, 5 zu Ts max (6.8 4

37 6 Glechsromseller S. 3 Dam: D D D D (6.9 4 ( max D D max,5 D Bld 6-4: Sromschwankung über Tasverhälns De Sromschwankung kann über de Gläungsdrossel oder über de Schalperode T s bzw. über de Schalfrequenz f s / Ts beenfluss werden. Typsche Schalfrequenzen legen m Berech enger Hz (m esungsberech enger MW m Spannungen bs zu engen kv bs zu engen khz (m Klenspannungsberech von wengen Vol und wengen Wa. Im lezeren Fall kommen MOSFET sa Bpolar-Transsoren zum Ensaz 6.. M Gläungskondensaor S I u s C C u C u Bld 6-5: Tefsezseller m Kondensaor zur Spannungsgläung Is de Ausgangsspannung u nch von sch aus konsan, kann en Kondensaor zur Gläung engesez werden. Es wrd en konsaner assrom I angenommen. Im saonären Zusand muss der Kondensaorsrom C ( ( I (6.

38 6 Glechsromseller S. 33 m zelchen Mel Null sen,. Daher gl De resulerende Schwankung der Kondensaorspannung u C I (6. ( d ( I C ( ( d (6. C C C ergb sch durch enfache geomersche Berachung aus den dreeckförmgen Sromkurvenformen zu (vgl. das folgende Bld 6-6 Ts uc uc max uc mn ( ( I d ( C (6.3 C 4C ( D D Ts D uc (6.4 8C Herbe wrd verenfachend angenommen, dass de Spannungsschwankung u C klen gegenüber der mleren Kondensaorspannung u C u s, so dass de ückwrkung auf den Verlauf der Sröme vernachlässg werden kann. De maxmal möglche Spannungsschwankung wrd be D, 5 errech: Ts uc max (6.5 3C

39 6 Glechsromseller S. 34 u s ( u u ( Te Ta ( T s max u u Enfluss der Spannungsschwankung auf den Sromverlauf I ( T s / mn I u( uc ( u C max u u C mn Bld 6-6: Zelche Verläufe bem Tefsezseller m Gläungskondensaor 6..3 ealserung Der bslang dealsere Schaler wrd schalungsechnsch durch Halbleerbauelemene realser. Das Bld 6-7 zeg ene Schalung m enem Transsor und ener Dode. Der Transsor wrd dabe ses schalend bereben. Ohne auf de näheren Egenschafen enes Transsors her näher enzugehen, soll des bedeuen, dass der Transsor enweder ausgeschale s, also kenen Srom führ und Sperrspannung aufnmm, oder aber m engeschaleen Zusand den Srom lee und dann kene Spannung an desem abfäll. De leze Annahme s naürlch ene Idealserung und nur unvollkommen erfüll, denn be enem Bpolarranssor, we er Bld 6-7 verwende wurde, leg be voller Durchseuerung m sogenannen gesägem Bereb de ypsche Kollekor-Emer-esspannung be engen mv, bem sogenannen IGBT (solaed gae bpolar ranssor, enem spezellen esungsranssor, kann dese auch m Berech enger Vol legen. Deser esspannung-

40 6 Glechsromseller S. 35 sabfall des Transsor als auch de Flusspannung der Dode wurden be der vorangegangenen Modellerung vernachlässg. u u s u Bld 6-7: ealserung des Tefsezsellers m Transsor und Dode Man möge überprüfen, dass dese Schalung asächlch de Funkon des n Bld 6- dargesellen Schalers erfüll: Nehmen wr an, es fleße en posver Srom > und der Transsor se nch angeseuer, also m gesperren Zusand. Dann muss der Srom den Weg durch de Dode nehmen, de also leend s. Im leenden Zusand fäll an deser nur ene gernge Flussspannung ab, also u s Das heß also, der n Bld 6- dargeselle dealsere Schaler befnde sch n der uneren Schalposon. Wrd nun der Transsor angeseuer, so dass deser lee wrd und sene ängsspannung zusammenbrch, fäll nun an der Dode de Spannung (uner Vernachlässgung der Transsor-esspannung de Engangsspannung an, de posv angenommen werden soll, u s u. Dam wrd de Dode n Sperrrchung belase, de folglch den Srom nch mehr führen kann. Sa dessen muss der Srom nun den Pfad durch den Transsor nehmen, was bedeue, dass sch der dealser Schaler aus Bld 6- n der oberen Poson befnde. Be deser Konrolle wrd aber ene wchge Bedngung deulch: Sowohl der Srom als auch de Spannung u mussen als posv angenommen werden. Be der dealseren Schalung wurden zwar de Dagramme für posve Spannung und posven Srom gezechne, doch war das bslang kene zwngende Annahme. Be der her vorlegenden Schalerrealserung s des nun aber ene zwngende Voraussezung 6. Insbesondere soll folgender msand beache werden: Selbs wenn der Anfangswer des Sroms posv, aber rech klen s, kann es passeren, dass der Srom auf der fallenden Flanke den Wer Null errech, bevor der Transsor neu engeschale wrd. In desem Fall erlsch der Srom und verharr solange be Null, bs der Transsor neu engeschale wrd. In desem Zwschenzusand lee weder de Dode noch der Transsor. Es ergb sch ene Sromlücke, de deser Berebsar hren Namen gb. De genauere nersuchung deses lückenden Berebs se den weerführenden ehrveransalungen vorbehalen. Her soll nur 6 Andere, aufwändgere Schalerrealserungen können durchaus auch negave Sröme und/oder Spannungen haneren. Ineressere seen auf de weerführenden ehrveransalungen verwesen.

41 6 Glechsromseller S. 36 darauf hngewesen werden, dass de vorangegangene Modellerung des Tefsezsellers für den lückenden Bereb sene Gülgke verler und nch angewand werden darf. nsere Modellerung bleb gülg, solange der Srommelwer größer als de halbe Schwankungsbree s, Der Fall >. (6.6 (6.7 heß ückgrenzbereb, denn dann oucher de unere Spze des dreeckförmgen Sromverlaufs gerade de Null we n Bld 6-9 gezeg. u s ( Te Ta Ts ( ( D max D D mn ( D Bld 6-8: Zelche Verläufe bem Tefsezseller m ückgrenzbereb

42 6 Glechsromseller S Hochsezseller 6.. Prnzp S s u u s u Bld 6-9: Prnzpbld des Hochsezsellers Annahme konsaner Spannungen: u (, ( u. u s ( Ta Te Ts ( ( max mn ( Bld 6-: Zelche Verläufe bem Hochsezseller m saonären Zusand

43 6 Glechsromseller S. 38 De Inervalle T e und T a werden her anders defner als bem Tefsezseller: Während T e s der Schaler n der uneren Poson, so dass u s ; während T a s der Schaler n der oberen Poson. De Movaon zu deser Defnon ergb sch ers bem Blck auf de ealserung des Schaler durch Transsor und Dode (s. Abschn Tasverhälns: Im saonären Zusand gl: Sromschwankung: T e D (6. Ts D (6.8 ( D DTs D Ts D max mn Te ( M Gläungskondensaor S s I us C C u u C Bld 6-: Hochsezseller m Kondensaor zur Spannungsgläung Gläung der Ausgangsspannung m Gläungskondensaor. Annahme konsanen assroms ( I Im saonären Zusand gl wegen C s I (6.3

44 6 Glechsromseller S. 39 Spannungsschwankung: ( D I I DTs D Ts D uc uc max uc mn Te (6.3 C C C wobe de ückwrkung der Spannungsschwankung auf de Sromverläufe vernachlässg wurde. u s ( Ta Te ( Ts max u Enfluss der Spannungsschwankung auf den Sromverlauf mn s ( I u( uc ( u C max u u C mn Bld 6-: Zelche Verläufe bem Hochsezseller m Gläungskondensaor

45 6 Glechsromseller S ealserung Der Schaler wrd weder durch enen Transsor und ene Dode realser, wobe der engeschalee Transsor her der uneren Sellung des dealseren Schalers ensprch. Auch be deser ealserung müssen posve Spannungen und Sröme angenommen werden. De Ausführungen über den lückenden und den ückgrenzbereb gelen ensprechend we n Abschn u s Bld 6-3: ealserung des Hochsezsellers m Transsor und Dode

46 7 Elemenare Ausglechsvorgänge S. 4 7 Elemenare Ausglechsvorgänge 7. C-Gled S ( u ( C u C ( Bld 7-: C-Gled m Schaler an Spannungsquelle Wenn Schaler S geschlossen, gl de Maschenglechung: Auflösen und Ensezen: u ( u ( (7. C u ( ( (7. Cu C ( ( (7.3 ( u ( ( uc ( (7.4 Cu C ( ( uc ( (7.5 Cu ( u ( (7.6 C C Inhomogene, lneare Dfferenzalglechung. Ordnung! ösungsweg: Irgendene spezelle ösung der nhomogenen Dfferenzalglechung (parkuläre ösung allgemene ösung der homogenen Dfferenzalglechung: Ene ösung der nhomogenen Dgl. erraen, z.b.: ösung der homogenen Dgl. u C ( cons. (7.7 Cu ( u ( (7.8 C C

47 7 Elemenare Ausglechsvorgänge S. 4 durch Exponenalansaz: u Ch ( uch e (7.9 Ensezen des Ansazes n de Dfferenzalglechung ergb C uch e uche C u Ch e (7. De Exponenalfunkon s nemals Null. ner der Annahme u Ch muss also de Klammer glech Null sen und es folg C (7. De Konsane heß Zekonsane des C-Gledes. (Dskueren Se auch den Fall u! Ch De allgemene ösung laue also u C ( u u Ch ( uc( (7. e Ch De Konsane u Ch s mmer noch unbekann. Dese Konsane wrd nun durch de Anpassung der ösung an de Anfangsbedngung besmm: Der Schaler schale be, Anfangsspannung des Kondensaors se Also: u u (7.3 C ( uc C uch uc ( uch ( (7.4 u Ch C u (7.5 Dam fnde man als endgülge ösung für de Kondensaorspannung: u C ( ( u u C C e e e (7.6

48 7 Elemenare Ausglechsvorgänge S. 43 Der saonäre Endwer s Aus der Spannung läss sch nun auch der Srom berechnen: u C ( lm uc ( (7.7 ( Cu C C ( ( u C ( u e C e (7.8 u C ( u C ( Bld 7-: Ausglechsvorgang bem C-Gled Spezell be enladenem Kondensaor als Anfangszusand: u C ( e (7.9 ( e (7.

49 7 Elemenare Ausglechsvorgänge S Gled I ( ( S u( Bld 7-3: -Gled m Schaler an Sromquelle Wenn Schaler S geöffne, Knoenglechung: I ( ( (7. u( ( (7. ( u( (7.3 Auflösen und Ensezen: ( I ( ( I ( u( ( (7.4 ( (7.5 ( ( I (7.6 Vorgehen analog we bem C-Gled. (7.7 heß Zekonsane des -Gledes. Allgemene ösung: he ( I (7.8 Anpassen der ösung an de Anfangsbedngung: Schaler schale be, Spulenanfangssrom se (7.9 (

50 7 Elemenare Ausglechsvorgänge S. 45 ( ( I e e I I e (7.3 Saonärer Endwer: ( I (7.3 Berechnung der Spannung: u( ( ( I ( I e e (7.3 Spezell be sromloser Drossel als Anfangszusand: ( I e (7.33 u( I e (7.34 I ( u( Bld 7-4: Ausglechsvorgang bem -Gled

51 7 Elemenare Ausglechsvorgänge S Anfangs-Endwer-Darsellung für C- und -Gleder Be enfachen C- und -Gledern folg der Ausglechsvorgang mmer dem glechen Schema: Für de Größe, de de Energe des Spechers beschreb, also der Srom be der Drossel oder de Spannung bem Kondensaor, gl ses: x ( x e x e (7.35 Anfangswer: Saonärer Endwer: x x( (7.36 x lm x( (7.37 Besmmung des Anfangsweres drek aus Maschen- oder Knoenglechung oder der Anfangswer s drek gegeben. Besmmung des saonären Endwers: Kondensaor gedanklch durch dealen Isolaor, Drossel durch dealen eer ersezen und Srom- bzw. Spannungswer an desen Klemmen durch Nezwerkanalyse besmmen. Besmmung der Zekonsanen: Kondensaor bzw. Spule aus dem Nezwerk herauslösen, dann den wrksamen Wdersand der reslchen Schalung an den fregeschnenen Klemmen besmmen.

52 8 Schwngkrese S Schwngkrese 8. C-Schwngkres C C ( ( u( Bld 8-: Schwngkres C u C C (8. u (8. u u u (8.3 (8.4 C C Cu u (8.5 Cu u (8.6 De Spannung u gehorch ener auonomen lnearen homogenen Dfferenzalglechung. Ordnung! (Sellen Se ebenso ene Dfferenzalglechung für den Srom auf! Es wrd weder ene Exponenalfunkon als ösung angesez. Späer wrd sch heraussellen, dass es komplexwerge ösungen gb. De ggf. komplexe Konsane wrd daher schon jez m enem nersrch gekennzechne: s u e (8.7 s (8.8 u s e s s C s e e (8.9

53 8 Schwngkrese S. 48 De resulerende Glechung n s heß charakerssche Glechung bzw. das darn vorkommende Polynom wrd charakerssches Polynom genann: Cs (8. s C (8. s, ± j C (8. De ösungen s, s der charakersschen Glechung heßen Egenwere. Obwohl s, s also magnäre Zahlen sen können, werden se üblcherwese nch m enem nersrch gekennzechne. Abkürzungen: Kennkresfrequenz: Kennwdersand: ω (8.3 C Z (8.4 C Allgemene ösung jω jω ( e e (8.5 u Da de ösung reell sen soll, müssen de Koeffzenen, zuenander konjuger komplex sen 7 : Darsellung m Snus und Kosnus: * (8.6 u( c cosω s snω (8.7 c e( (8.8 s Im( (8.9 Srom: ( Cu ( Cω c snω Cω s cosω (8. 7 z*x-jy bezechne de zu zxjy konjuger komplexe Zahl

54 8 Schwngkrese S. 49 Anfangsbedngungen: s C ( ω (8. c u u ( (8. u Z u C sn cos sn cos ( ω ω ω ω ω (8.3 Z u C u u sn cos sn cos ( ω ω ω ω ω (8.4 Berache man de Schwngungsampluden von Srom und Spannung, ˆ Z u u (8.5 ˆ Z u (8.6 so ergb sch, dass für deren Verhälns gerade der Kennwdersand maßgeblch s: ˆ ˆ Z u (8.7 Energe m Schwngkres: (. sn cos sn cos ( ( ( ( ( cons Cu Z u C u Z Cu w w w C w w w w (8.8

55 8 Schwngkrese S. 5 Bld 8-: Zelche Verläufe von Spannung und Srom des C-Schwngkreses Fragen: Welche Kurve zeg den Srom, welche de Spannung? Kennzechnen Se de Anfangswere! Idenfzeren Se ω! Skzzeren Se de Energeverläufe m Kondensaor und n der Drossel!

56 8 Schwngkrese S C-Parallelschwngkres C C ( ( ( u( Bld 8-3: C-Parallelschwngkres C (8.9 (8.3 C Cu u u (8.3 Cu u u (8.3 Exponenalansaz: s u e (8.33 s s s C s e se e (8.34 s Cs s (8.35 s s (8.36 C C ± (8.37 C 4 C C,

57 8 Schwngkrese S. 5 Abkürzungen: Kennkresfrequenz: Kennwdersand: ω C (8.38 Z C (8.39 Dämpfung oder Dämpfungsgrad 8 : Z d (8.4 C M desen Kennzahlen lassen sch de Dfferenzalglechung und de charakerssche Glechung n den Sandardformen u dω u ω u (8.4 s dω s ω (8.4 schreben. Es folgen de Wurzeln (Egenwere der charakersschen Glechung als s, ω d ± jω d (8.43 Allgemene ösung für de Spannung Allgemene ösung für de Sröme C s s ( e e (8.44 u s [ ] s e e u( ( (8.45 s [ ] s s e s e ( Cu ( C (8.46 s ( ( C ( Cs e Cs s e ( In der eraur fnde sch für den Dämpfungsgrad auch de alernave Defnon d Z /. Her wrd de n der Sysemheore und egelungsechnk üblche Defnon der Dämpfung verwende.

58 8 Schwngkrese S. 53 Fallunerschedung: Schwache Dämpfung: < d, de Egenwere blden en konjuger komplexes Paar: * s s (8.48 d j d j d s ω ω ω ± ±, (8.49 d ω (8.5 d d ω ω (8.5 Außerdem muss gelen: * (8.5 mrechnung der Exponenaldarsellung n Darsellung m Snus und Kosnus: ( ω ω d s d c s s s s e e e e e u sn cos ( * * (8.53 e( c (8.54 Im( s (8.55 Sröme: ( ω ω d s d c e u sn cos ( ( (8.56 ( ( ω ω ω ω ω ω ω ω ω d s c d d c s d d s d c d s d c d C e C e C Cu sn cos sn cos cos sn ( ( (8.57 ( ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω d s c d d c s d d s c d d c s d d s c d d c s d d s d c C e C C e C C C C e C e sn cos sn cos sn cos sn cos ( ( ( (8.58

59 8 Schwngkrese S. 54 Anfangsbedngungen: u ( u (8.59 c ( ω dc s c (8.6 u s (8.6 ω C ω C d d Zelcher Verlauf: Bld 8-4: Bespel für Verlauf der Spannung bem C-Parallelschwngkres m Fall schwacher Dämpfung d < Skzzeren Se m Spannungsverlauf de Kennwere, ωd! Skzzeren Se de Verläufe der Sröme,, C. Es sell sch also ene gedämpfe Schwngung en. Wr sprechen m Fall schwacher Dämpfung auch vom Schwngfall. Sarke Dämpfung: d > : bede Egenwere snd reell:, s ω d ± ω d (8.6

60 8 Schwngkrese S. 55 Ebenso de Konsanen (8.63,, Bld 8-5: Bespel für Verlauf der Spannung bem C-Parallelschwngkres m Fall sarker Dämpfung d > Es fnde kene Schwngung sa, es leg be sarker Dämpfung der aperodsche Fall vor. Aperodscher Grenzfall: d : Der aperodsche Grenzfall s de Grenze des aperodschen Falls. Dann snd bede Egenwere snd reell und glech: s s (8.64 ω In desem Fall sellen wr fes, dass über den üblchen Exponenalansaz m desen Egenweren weerhn ene, aber eben nur ene ösung der Dfferenalglechung gefunden werden kann, da bede Egenwere glech snd. De Anpassung an zwe unabhängge Anfangsbedngungen (Spulensrom und Kondensaorspannung kann dam nch gelngen. Das s en Hnwes, dass das ösungssysem noch nch vollsändg s. Für den aperodschen Grenzfall s der ösungsansaz folgendermaßen zu erweern: s u e s e (8.65

61 8 Schwngkrese S. 56 Des möge durch Ensezen n de Dfferenzalglechung verfzer werden. Weere Deals können den mahemaschen Grundlagenlehrbüchern ennommen werden. In der Praxs läss sch der Fall d wegen nch vermedbarer Baueloleranzen ohnehn ne exak ensellen. Zechnen Se de age der Egenwere s, s für alle Dämpfungsfälle n Abhänggke von d be konsaner Kennkresfrequenz ω n der komplexen Ebene! Im e Bld 8-6: age der Egenwere n Abhänggke der Dämpfung (zu vervollsändgen

62 8 Schwngkrese S C-ehenschwngkres ( u ( u C ( u C ( Bld 8-7: C-ehenschwngkres u C u u (8.66 u u u (8.67 C C (8.68 C C (8.69 Exponenalansaz: s ( Ie (8.7 Charakerssche Glechung: Cs Cs (8.7 s s (8.7 C Egenwere: s ± ( C,

63 8 Schwngkrese S. 58 Abkürzungen: Kennkresfrequenz: Kennwdersand: Dämpfung: ω (8.74 C Z (8.75 C C d (8.76 Z M desen Abkürzungen lassen sch Dfferenzalglechung und charakerssche Glechung schreben als dω ω (8.77 s dω s ω (8.78 de som genau glech lauen we de des C-Parallelschwngkreses. ösungen: s, ω d ± jω d (8.79 Allgemene ösung für den Srom: Allgemene ösung für de Spannungen: C s s ( I e I e (8.8 s [ ] s e I e u ( ( I (8.8 s [ ] s s e I s e u ( ( I (8.8 ( s s s I e ( s I e u ( u ( u ( (8.83 Weere Dskusson der ösungen we bem Parallelschwngkres! Sehe dor.

64 8 Schwngkrese S Aufschalung von sprungförmgen Größen auf C-Nezwerke In den vorangegangenen Abschnen wurden sogenanne Anfangswerprobleme von Nezwerken ohne äußere Enspesungen behandel. Werden Spannungen oder Sröme zusäzlch von außen aufgeschale, wrd das Superposonsverfahren angewende. Deses darf wegen der nearä des Glechungssysems angewende werden. Bespel: I S C ( C ( u ( u C ( u ( Bld 8-8: Ausglechsvorgang ener C-Schalung Be geschlossenem Schaler S s sowe u (8.84 C u u (8.85 (8.86 Es fnde also nur en enfacher Ausglechsvorgang des -Gledes m exponenellem Verlauf und Abklngzekonsane / sa; es gb kene Schwngung. Der Srom der Sromquelle wrd ebenfalls über den Schaler kurzgeschlossen. Is der Schaler genügend lange geschlossen, wrd der Srom Null. Also seen u C ( uc (8.87 ( (8.88 als Anfangswere für den Zepunk angenommen, zu dem der Schaler geöffne wrd. Nun gl de Maschenglechung u u u (8.89 C

65 8 Schwngkrese S. 6 bzw. für de Zeableung u u u (8.9 C Ensezen der Bauelemenglechungen (konsuve Glechungen führ zu der nhomogenen Dfferenzalglechung ( I (8.9 C C C (8.9 I Der homogene Tel der Dfferenzalglechung s der des ehenschwngkreses (!. ösungsweg für de nhomogene Dfferenzalglechung:. Homogene ösung (ohne äußeren Srom sehe vorangegangener Abschn: h s s ( I e I e (8.93. Irgendene parkuläre ösung, am enfachsen de saonäre ösung: ( I cons. ( Allgemene ösung durch Superposon: Daraus folgen de Spannungen: C ( ( ( I I e I e (8.95 h s s s [ ] s I e I e u ( ( I (8.96 s [ ] s s e I s e ( ( I (8.97 u ( s s s I e ( s I e ( u ( u ( I (8.98 u 4. Anfangsbedngungen ( I I I (8.99 ( s I ( s C ( uc I u I (8.

66 8 Schwngkrese S. 6 De weere echnung beschränk sch auf den Fall schwacher Dämpfung d <. Dann gl Also folg aus der Anfangsbedngung für den Spulensrom * I I (8. * s s (8. I c e I I (8.3 und aus der Anfangsbedngung für de Kondensaorspannung [( s ] I e I (8.4 M s ( d j ω (8.5 d folg [( s ] I e I (8.6 d e I I (8.7 d Im d Im I e d I (8.8 bzw. I s d Ic I (8.9 d d d Vollsändge ösung m angepassen Anfangsbedngungen für schwache Dämpfung n Darsellung m Snus- und Kosnusermen für > : ( I d dω cosω d snωd e (8. d

67 8 Schwngkrese S. 6 Bld 8-9: Ausglechsvorgang des Sroms We verhäl sch de Kondensaorspannung? een Se de Glechungen her und skzzeren Se den Verlauf.

68 9 Snusförmge Vorgänge n lnearen Nezwerken S Snusförmge Vorgänge n lnearen Nezwerken 9. Snusförmge Größen Snusförmge Größen snd spezelle perodsche Größen; se lassen sch auf verschedene Aren schreben: x ( xˆ cos( ω ϕ (9. x ( xˆsn( ω ϕ (9. x( X cosω X snω (9.3 c De Darsellungen snd äquvalen und n enander umrechenbar. ezendlch wrd ene snusförmge Größe durch nur dre Konsanen charakerser: de Amplude xˆ, de Kresfrequenz ω, de Phasenverschebung ϕ. mrechnung deser Konsanen ausgehend vom Addonsheorem: s [ cosω cosϕ snω ] x( xˆ cos( ω ϕ xˆ snϕ (9.4 x ˆ X c X s (9.5 X s anϕ (9.6 X c bzw. X c xˆ cosϕ (9.7 X s xˆ snϕ (9.8 Weere abgeleee Konsanen: ω Frequenz f π Zekonsane ω π Perodendauer T ω Effekvwer X ˆx f

69 9 Snusförmge Vorgänge n lnearen Nezwerken S. 64 xˆ x( π T f ω ω ϕ Bld 9-: Snusförmges Sgnal Frequenz vs. Kresfrequenz: De Frequenz f wrd n Herz 9, Abkürzung: Hz /s, gemessen. De Kresfrequenz ω unerschede sch nur um den dmensonslosen Fakor π von der Frequenz f. Als Maßenhe der Kresfrequenz wrd das Herz üblcherwese nch verwende, sondern ses /s oder s, geschreben. Enge Egenschafen snusförmger Größen: Der Melwer ener snusförmgen Größe über ene Perode s Null: x Seen x (, x ( snusförmge Größen der glechen Frequenz ω, so s de Superposon x c x ( c x ( ebenfalls snusförmg m deser Frequenz ( De Ableung ener snusförmgen Größe nach der Ze s ebenfalls snusförmg m glecher Frequenz: x xˆ cos( ω ϕ x ( xˆ ω sn( ω ( ϕ Das Produk zweer snusförmgen Größen m belebgen Frequenzen s als Summe zweer snusförmger Größen darsellbar, wobe de Summen- und Dfferenzfrequenzen aufreen (Addonsheorem der Trgonomere: x ˆ cos(, ( ˆ ( x ω ϕ x x cos( ω ϕ (9.9 xˆ xˆ x ( x ( x( [ cos( ( ω ω ϕ ϕ cos( ( ω ω ϕ ϕ ] (9. 9 Des ha nchs m dem Herzschlag, sondern m Henrch Herz zu un, der de aus der Maxwellschen Theore resulerenden elekromagneschen Wellen erzeuge und nachwes.

70 9 Snusförmge Vorgänge n lnearen Nezwerken S Darsellung snusförmger Größen m komplexen Zegern Bld 9-: Zur Ddakk magnärer Zahlen Imagnäre Enhe:, j (n der Elekroechnk wrd j bevorzug Anbndung an de reellen Zahlen: j Darsellung komplexer Zahlen nach eal- und Imagnärel: x x r jx Darsellung komplexer Zahlen nach Berag und Wnkel: x xe ˆ ϕϕ Im x x xˆ ϕ x r e Bld 9-3: Komplexer Zeger ϕ e ϕ cosϕ ϕsnϕ (9.

71 9 Snusförmge Vorgänge n lnearen Nezwerken S. 66 Dam: x ˆ x (9. x r x xr sgn ϕ arccos x (9.3 xˆ x r ˆx cosϕ (9.4 x ˆxsnϕ (9.5 Komplexe Darsellung reeller snusförmger Verläufe: m ( x( x ( xˆ cos( ω ϕ e (9.6 ( ˆ ϕ( ω ϕ x xe (9.7 Im x ϕ ω ϕ x r e x( Bld 9-4: Zusammenhang zwschen enem Schwngungsvorgang und sener Darsellung durch enen komplexen Zeger

72 9 Snusförmge Vorgänge n lnearen Nezwerken S. 67 Komplexer Momenanwerzeger: x xe ˆ xe ˆ j ω j jj jω ( ( e xe ˆ jω (9.8 De komplexe Amplude ˆ ˆ ϕϕ x xe (9.9 benhale de beden Kenngrößen Amplude und Phasenverschebung der perodschen Funkon. De Frequenz wrd dadurch nch angezeg. xˆ xˆ (9. ϕ arg( ˆ (9. x Gebräuchlch snd außerdem Effekvwerzeger: X ˆ ˆ ϕ ϕϕ ϕ x xe Xe ( Snusförmge Größen an Zwepolen Annahme: Spannung und Srom an enem Zwepol seen snusförmg und von glecher Frequenz, jedoch m unerschedlcher Phasenlage: ( ω ϕ ( ω ϕ u( uˆ cos cos (9.3 u ( ω ϕ I ( ω ϕ ( ˆcos cos (9.4 Dfferenz-Phasenwnkel zwschen Srom und Spannung: Achung: Vorzechenkonvenon des Phasenwnkels: u ϕ ϕ u ϕ (9.5 ϕ > : Srom el der Spannung nach (sog. ndukves Verhalen ϕ < : Spannung el dem Srom nach (sog. kapazves Verhalen

73 9 Snusförmge Vorgänge n lnearen Nezwerken S. 68 û î ( u( ϕ /ω Bld 9-5: Snusförmge Verläufe von Srom und Spannung an enem Zwepol Im u( ue ˆ jω ϕu ϕ ϕ u ϕ ( e ˆ jω ϕ u( ( e Bld 9-6: Darsellung der Schwngung durch komplexe Zeger 9.4 Impedanz und Admanz Annahme: Spannung und Srom enes Zwepols seen snusförmg m glecher Frequenz. u uˆ cos( ω ϕ cos( ω ϕ (9.6 ( u u ˆcos( ω ϕ I cos( ω ϕ (9.7 ( Darsellung m Effekvwer- bzw. Momenanwerzegern: jj u e (9.8 I jj Ie (9.9

74 9 Snusförmge Vorgänge n lnearen Nezwerken S. 69 ( u( u ( e j( ω ju jω u( e e ( ( ( e j( ω j jω ( Ie Ie (9.3 (9.3 (9.3 (9.33 Quoen der Momenanwerzeger: jω jju ( e e j( ju j e jω jj u (9.34 ( Ie I Ie I Der Quoen s uner besmmen Voraussezungen unabhängg von den Ampluden bzw. Effekvweren sowe der Phasenlage und wrd Impedanz oder komplexer Wdersand genann: Z I I e ϕ( ϕu ϕ I e ϕϕ (9.35 De Impedanz als Verhälns von Spannung zu Srom läss sch als frequenzabhängger Wechselspannungswdersand auffassen. Weere Begrffe: Wrkwdersand oder essanz: Blndwdersand oder eakanz: e( Z Z cosϕ X Im( Z Z snϕ Schenwdersand Dam: Z Z ϕϕ ϕx Ze (9.36 Z Der Kehrwer der Impedanz heß Admanz oder komplexer ewer: Y Z I I e ϕ( ϕ ϕ u I e ϕϕ (9.37 Weere abgeleee Begrffe: Wrklewer oder Kondukanz Blndlewer oder Suszepanz Schenlewer G e( Y Y cosϕ B Im( Y Y snϕ Y Y

75 9 Snusförmge Vorgänge n lnearen Nezwerken S. 7 Dam: Y ϕϕ G ϕb Ye (9.38 mrechnungen zwschen Admanzen und Impedanzen: G X Z B X X X Z G G G B Y X G B B B Y Offene Fragen zur Enführung von Impedanz und Admanz: Wann gb es überhaup snusförmge Sröme und Spannungen an Zwepolen? ner welchen Bedngungen s der Quoen von Spannungs- und Sromzeger unabhängg von den Amplude und den Anfangsphasenwnkeln? Verschebung ener allgemenen Anwor auf späer. Zunächs spezelle Berachung der elemenaren Zwepole Wdersand, Spule, Kondensaor:

76 9 Snusförmge Vorgänge n lnearen Nezwerken S Impedanzen und Admanzen der elemenaren Zwepole Wdersand Annahme snusförmgen Sroms: u( ( e e e jω ( Ie jω ( Ie jω ( e (9.39 m I (9.4 Das Ohmsche Gesez gl also auch für de komplexen Zeger! Impedanz und Admanz des Wdersands snd demnach: Z (9.4 I Y G (9.4 Z und Y snd unabhängg von den Ampluden und Phasenwnkeln! Kondensaor Annahme snusförmger Spannung ( Cu ( C e e e jω e( e d jω C ( e d jω ( jωce jω ( Ie d d (9.43 m I jωc (9.44

77 9 Snusförmge Vorgänge n lnearen Nezwerken S. 7 bzw. Z I jωc (9.45 Y jωc (9.46 De Dfferenzaon nach der Ze geh be der echnung m komplexen Zegern n ene Mulplkaon m j ω über: Kurz: d d e jω jω jω e (9.47 d d jω (9.48 Daher nenn man j ω auch Dfferenzaloperaor. Drossel Annahme snusförmgen Sroms: u( ( d d e e e jω ( Ie d jω ( Ie d jω ( jωie jω ( e e (9.49 m jωi (9.5 bzw.

78 9 Snusförmge Vorgänge n lnearen Nezwerken S. 73 Im Z jω (9.5 I Y jω (9.5 Im Im I I e e e I Im Im Im Z Z jω e e e Z jωc Wdersand Kondensaor Spule Bld 9-7: Zegerdagramme für de Impedanzen von Wdersand, Kondensaor und Spule De Wahl der absoluen Wnkel für de Spannung- und Sromzeger s wllkürlch (da sch gezeg ha, dass Impedanz und Admanz von den Anfangswnkeln nch abhängen. Her s der Spannungszeger n chung der reellen Achse ausgerche. Bemerkung: Soll beon werden, dass de Impedanz Z bzw. de Admanz Y von der Frequenz abhängen, schreben wr mes Z ( jω bzw. Y ( jω. Zwar leg de Schrebwese Z (ω bzw. Y (ω sogar eher nahe und s n desem Zusammenhang glechberechg, doch wrd häufg de erse Varane aus folgenden Gründen benuz: In den her aufreenden Ausdrücken r de Frequenz ω mmer m Produk m der magnären Enhe j auf. Ausdrücke we ω können als ( j ω nerpreer werden. Im Konex der aplace-transformaon, de Se nch n deser, aber n späeren ehrveransalungen kennen lernen werden, wrd sch zegen, dass sch de frequenzabhängge Impedanz aus ener sogenannen aplace-überragungsfunkon Z (s m ener unabhänggen komplexen Varable s aus dem Spezalfall s jω ergb.

79 9 Snusförmge Vorgänge n lnearen Nezwerken S ehenschalung und Parallelschalung ehenschalung zweer Zwepole m u u ( u ( (9.53 ( jω jω jω ( e e( e ( e e e (9.54 (9.55 Z I Z I ( Z Z I (9.56 Z I (9.57 Z Z Z (9.58 De Impedanz n ener ehenschalung besmm sch durch de komplexe Summe der Telmpedanzen. Für de resulerende Gesamadmanz gl demnach Y Y Y Y Y Y Y (9.59 Im I e Bld 9-8: Zegerdagramm für de ehenschalung

80 9 Snusförmge Vorgänge n lnearen Nezwerken S. 75 Achung: Zwar adderen sch de komplexen Spannungszeger be der ehenschalung,, u ˆ uˆ uˆ, nch aber de reellen Effekvwere oder reellen Ampluden! Der Gesameffekvwer läss sch ledglch durch abschäzen (sogenanne Dreecksunglechung. Parallelschalung zweer Zwepole m bzw. ( ( ( (9.6 jω jω jω e ( Ie e( I e e( I e (9.6 I I I (9.6 I Y Y I ( Y Y (9.63 I Y (9.64 Y Y Y (9.65 Z Z Z Z Z Z Z (9.66 Im I I I e Bld 9-9: Zegerdagramm für de Parallelschalung

81 9 Snusförmge Vorgänge n lnearen Nezwerken S. 76 Achung: Zwar adderen sch de komplexen Zeger be der Parallelschalung, I I I, ˆ ˆ ˆ, nch aber de reellen Effekvwere. Es gl wederum nur ene Abschäzung I I I Faz: Jeder aus den elemenaren Zwepolen Wdersand, Kondensaor, Spule durch Parallelund ehenschalung aufgebaue Zwepol besz selbs ene Impedanz, de nach den angegebenen Glechungen besmm werden kann.

82 9 Snusförmge Vorgänge n lnearen Nezwerken S Impedanzen enger Zwepole Zwepol Z ( jω Abkürzungen jω C jωc jω ( jω C jωc jω jω C C ω C jωc Z ω ω jωω ω Z C C C jωc ω C jωc Z ω jdωω ω jωω d Z jω jω jω / jω C jωc jω C C jω jωω Z ω C ω ω ω Z C C C jω jωω Z jω / ω C ω jdωω ω Z d

83 9 Snusförmge Vorgänge n lnearen Nezwerken S Allgemene Voraussezungen für de echnung m Impedanzen und Admanzen Aufgrefen der offenen Fragen aus 9.4: Wann snd Sröme und Spannungen an enem Zwepol snusförmg? Wann snd de Quoenen der komplexen Zeger (Impedanz, Admanz unabhängg von Amplude und Phasenlage? Offenschlch s des der Fall, wenn en elekrscher Zwepol aus den elemenaren Elemenen Wdersand, Kondensaor und Spule aufgebau wrd. Des soll nun aber uner ewas allgemeneren Annahmen berache werden. Das Verhalen von Srom und Spannung enes Zwepols werde durch ene allgemene Dfferenzalglechung der Form a m d u( d ( b (9.67 m m d d n u( au( a u (... an b ( b ( b (... n beschreben. De Dfferenzalglechung s von endlcher Ordnung lnear, d.h.: seen u (, ( ; u (, ( zwe ösungen, so s m belebgen Konsanen c,c auch u c u ( c u (, c ( c ( ene ösung. ( ( zenvaran: Se u (, ( ene ösung, so s auch u( T, ( T für belebge Zeverschebung T ene ösung. Zegen Se de lezen beden Punke durch Ensezen! Zwepole bzw. Syseme, de dese Voraussezungen erfüllen, heßen lnear zenvaran (lnear me-nvaran, kurz ZI- oder TI-Syseme. Allgemen läss sch zegen, dass sch für TI-Syseme de oben gesellen Fragen posv beanworen lassen. Für dese Syseme gb es ses snusförmge Sröme und Spannungen als ösung und der Quoen / I s unabhängg von den Ampluden und I, unabhängg von den absoluen Phasenwnkeln ϕ u, ϕ ; nur der Dfferenz- Phasenwnkel ϕ ϕ u ϕ geh en. Nur uner desen Voraussezung s es möglch, Impedanzen zu besmmen und dam zu arbeen!

84 9 Snusförmge Vorgänge n lnearen Nezwerken S. 79 De obge allgemene Dfferenzalglechung sell ene durchaus umfangreche Klasse von TI-Sysemen, nch aber alle denkbaren. Der Nachwes wrd her nur auf solche TI- Syseme beschränk, de sch durch ene solche Dfferenzalglechung darsellen lassen: Der Ansaz ( j e u ω e ( (9.68 ( j Ie ω e ( (9.69 wrd n de Dfferenzalglechung engesez: ( [ ] ( [ ] m n j n n j j b j b j b b Ie j a j a j a a e (... ( ( e (... ( ( e ω ω ω ω ω ω ω ω (9.7 ( ( m n j n n j b j b j b b Ie j a j a j a a (... ( ( (... ( ( ω ω ω ω ω ω ω (9.7 Es gb snusförmge ösungen m n n m n j a j a j a a j b j b j b b I (... ( ( (... ( ( ω ω ω ω ω ω (9.7 Der Quoen, de Impedanz, s also asächlch unabhängg von Amplude und Anfangsphasenwnkel und ergb sch allen aus den Koeffzenen der Dfferenzalglechung: n n m n j a j a j a a j b j b j b b j Z Z (... ( ( (... ( ( ( ω ω ω ω ω ω ω (9.73

85 Frequenzabhängge Darsellungen von Impedanzen und Admanzen S. 8 Frequenzabhängge Darsellungen von Impedanzen und Admanzen. C-Parallelschalung ner ener Orskurve verseh man de grafsche Darsellung ener Impedanz Z oder Admanz Y n der komplexen Ebene n Abhänggke der Frequenz ω. Herbe wrd nur de frequenzabhängge Trajekore des Endpunkes des komplexen Zegers gezechne. Des soll an enem Bespel dargesell werden: C Bld -: C-Parallelschalung De Orskurve der Admanz Y jωc ( jω (. m C (. s n der komplexen Ebene ene Gerade, de parallel zur magnären Achse verläuf. Im ω Y ω 45 ω e Bld -: Admanzorskurve der C-Parallelschalung

86 Frequenzabhängge Darsellungen von Impedanzen und Admanzen S. 8 De Impedanzorskurve n der komplexen Ebene s en Kres, we man durch folgende mformungen erkenn. Der Verenfachung halber wrd de Impedanz auf den Wdersand bezogen: ~ Z Z jω jω jω ( jω (.3 Der Berag des. Summanden s jω ( jω jω jω ( ω ( ω (.4 De Orkurve s folglch en Kres m Melpunk auf der reellen Achse be / und adus /. De Orkurve sare be ω auf der reellen Achse m Punk Z. Für ω sreb se gegen Z, wobe der Wnkel gegen -9 geh. Der Wnkel von -45 wrd be der Frequenz angenommen. ω, ω (.5 Im ω an ( ω / ω Z e / ω Bld -3: Impedanzorskurve der C-Parallelschalung An Orskurven lassen sch gu Beräge und Wnkel, also de Schenwdersände bzw. Schenlewere und de Phasendrehungen, auch de eakanzen, essanzen bzw.

87 Frequenzabhängge Darsellungen von Impedanzen und Admanzen S. 8 Kondukanzen und Suszepanzen ablesen. Es fäll aber schwer, zu ener konkreen Frequenz den ensprechenden Punk der Orskurve zu denfzeren, wenn nch ene Frequenzskala auf der Orskurve angebrach wrd. De Frequenzabhänggke läss sch enfacher m Bode- Dagramm überblcken: Im Bode-Dagramm werden Amplude und Wnkel n separaen Telbldern über der Frequenz dargesell. De beden Telblder heßen Ampluden- oder Beragsgang und Phasengang. Das folgende Bld zeg ene solche Darsellungen der Impedanz der C- Parallelschalung. Bld -4: Ampluden- und Phasengang der Impedanz der C-Parallelschalung, Darsellung m lnearen Achsen Ene solche Darsellung m lnearen Achsen s jedoch weng aussagekräfg. Skaler man dagegen de Achsen für Amplude und Frequenz dagegen logarhmsch, reen vele Charakerska vel deulcher heraus. Für de Amplude verwende man dabe üblcherwese de Darsellung n Dezbeln: db( x lg x (.6

88 Frequenzabhängge Darsellungen von Impedanzen und Admanzen S. 83 x db(x 4, -, -4 * 3, 6, / -3, / -6, De Movaon deser db-defnon ergb sch aus dem Wer von db (s. *: Ene Erhöhung ener Spannung oder enes Sroms an enem ohmschen Wdersand um db resuler n ener -fachen esung. De logarhmsche Darsellung s aber nur für dmensonslose Größen möglch. Während also Ampludengänge ener Srom- oder Spannungsversärkung drek logarhmsch dargesell werden können, s ene Impedanz oder Admanz zuvor auf enen geegneen Bezugswer zu bezehen. Denkbar s, dese enfach auf Ω zu bezehen, doch vorelhafer verwende man ene naürlche, sch aus der Problemsellung ergebende Bezugsgröße, bespelswese de Kenn-Impedanz Z oder Kenn-Admanz Y. Im vorlegenden Bespel wurde beres de auf bezogene Impedanz Z ~ engeführ, welche also dmensonslos s. De resulerende Darsellung m logarhmschen Achsen s m folgenden Bld zu sehen. In deser Darsellung bekommen sowohl der Ampludengang als auch der Phasengang sehr charakerssche Formen, was man n der lnearen Darsellung nch oder nur sehr schwer erkenn : Der Ampludengang sreb für klene und große Frequenzen asymposch Geraden zu. Der Schnpunk deser Geraden s de sogenanne Knckfrequenz. Dese wrd durch ω / besmm. De fallende Asympoe ha ene Segung von - db/dekade Be der Knckfrequenz beräg de Abwechung von den Asympoen -3 db. Der Phasenwnkel s dor -45. De Abwechung des Ampludengangs von den Asympoen s symmersch zur Knckfrequenz Der Phasengang s symmersch zur Knckfrequenz Auch der Phasengang kann überschlägg durch Geradensücke approxmer werden. De Darsellung des Frequenzverhalens m ogarhmus des Berags ln Z ~ und Wnkel ϕ s gegenüber derjengen m Berag und Wnkel nch zulez aufgrund eflegender mahemascher Zusammenhänge überlegen, de her nur angedeue werden sollen: De Funkonenheore zeg, dass eal- und Imagnärel sogenanner analyscher Funkonen, we de Impedanz oder Admanz ene s, nch vonenander unabhängg snd, sondern besmmen Gesezmäßgkeen gehorchen. Des gl auch für den ogarhmus der Impedanz (bzw. der Admanz, deren ealel der ogarhmus des Berags (also des Schenwdersands und deren Imagnärel ~ ~ der Phasenwnkel s: ln Z ln Z ϕϕ.

89 Frequenzabhängge Darsellungen von Impedanzen und Admanzen S. 84 De Fehler deser Approxmaonen snd weer unen dargesell. Se beragen n der Amplude max. 3 db, n der Phase max. 6. De logarhmsche Frequenzskalerung erlaub außerdem enen Überblck über enen großen Frequenzberech als be lnearer Achse. Bld -5: Bodedagramm der bezogenen Impedanz der C-Parallelschalung, exaker Frequenzgang und Approxmaon durch Geradensücke

90 Frequenzabhängge Darsellungen von Impedanzen und Admanzen S. 85 Bld -6: Fehler der Approxmaon durch Geradensücke nach Amplude und Wnkel Geh man vom Bodedagramm der Impedanz zu dem der Admanz über, wrd en weerer Vorel der logarhmschen Darsellung erschlch. Be der Bldung des Kehrwers werden sowohl Amplude als auch de Phase enfach gespegel: ~ ~ ~ ~ ~ Y ~ db( Y db( Z, Y Z (.7 Z Das Bodedagramm kann nun sofor aus dem der Impedanz abgelee werden:

91 Frequenzabhängge Darsellungen von Impedanzen und Admanzen S. 86 Bld -7: Bodedagramm der bezogenen Admanz der C-Parallelschalung, exaker Frequenzgang und Approxmaon durch Geradensücke. -ehenschalung Bld -8: -ehenschalung Z jω ( jω (.8 Y ( jω (.9 (. ~ Z Z jω ~ Y Y jω (. (. De -ehenschalung zeg also ene ähnlche Charakersk we de C-Parallelschalung, nur dass de ollen von Impedanz und Admanz verausch snd.

92 Frequenzabhängge Darsellungen von Impedanzen und Admanzen S Parallelschalung Bld -9: -Parallelschalung Y jω jω jω (.3 jω Z jω (.4 (.5 ~ jω Y Y jω ~ Z jω Z jω (.6 (.7 De Orskurven der Impedanz und Admanz snd ene Geraden bzw. en Krese, was man ähnlch we n Abschn. schnell nachgewesen werden kann. Im 45 ω e Y ω ω Bld -: Admanzorskurve der -Parallelschalung

93 Frequenzabhängge Darsellungen von Impedanzen und Admanzen S. 88 Im / ω ω Z ω an ( / ω / e Bld -: Impedanzorskurve der -Parallelschalung.4 C-ehenschalung C Bld -: C-ehenschalung Z jω jωc jω (.8 jω Y jω (.9 C (. ~ Z jω Z jω ~ jω Y Y jω (. (. De normere Impedanz und Admanz glechen denen der -Parallelschalung, nur das wederum de ollen von Impedanz und Admanz verausch snd.

94 Frequenzabhängge Darsellungen von Impedanzen und Admanzen S C-Parallelschwngkres C Bld -3: -Parallelschalung Besmmung der Impedanz: Z jω jωc Z jωω ω djωω ω Z jω jdω Ω (.3 Verwendee Abkürzungen (vgl. Abschn 8. d ω C (.4 Z C (.5 Z C (.6 Zweckmäßgerwese bezeh man auch de Frequenz auf de Kennkresfrequenz. De Größe ω Ω (.7 ω wrd dann als normere Frequenz oder Versmmung bezechne. Bezeh man außerdem de Impedanz auf de Kennmpedanz, folg de Darsellung De Admanz s dann ~ Z jω Z (.8 Z jdω Ω Y ω jdωω ω jdω Ω jωc Y (.9 jω Z jωω jω Bezeh man auf de Kennadmanz C Y (.3 Z

95 Frequenzabhängge Darsellungen von Impedanzen und Admanzen S. 9 ergb sch de bezogenen Admanz ~ Y jdω Ω Y (.3 Y jω De Orskurve der Impedanz s auch her en Kres, we man we folg nachwes: ~ Z Z Z 4d 4d 4d 4d jω jdω Ω jω jdω Ω 4djΩ 4d ( jdω Ω ( jdω Ω jdω Ω 4d ( jdω Ω jdω Ω jdω Ω 4d (.3 Der Berag des. Summanden s glech. De Orskurve s also en Kres m Melpunk auf der reellen Achse be Z (.33 4d und dem glechen adus. Der maxmale Schenwdersand wrd gerade n dem Punk errech, n welchem de Orskurve de reelle Achse schnede, also Z ren reell s. Des s be m Ω max (.34 Z max max Z (.35 ω der Fall. Be der Frequenz Ω mach sch also nur der Wdersand n der Impedanz bemerkbar. De Erklärung herfür s, dass sch be deser Frequenz de komplexen ewere von Spule und Kondensaor genau kompenseren.

96 Frequenzabhängge Darsellungen von Impedanzen und Admanzen S. 9 Im Ω Ω Z Ω e Bld -4: Impedanzorskurve des C-Parallelschwngkreses Das Verhälns von maxmaler Impedanz und Kennmpedanz wrd als Güe Z (.36 Z max Q p Z bezechne. De Güe gb also de esonanzüberhöhung an. Außerdem läss sch näherungswese das Verhalen der Impedanz für klene und große Frequenzen unersuchen. De Ergebnsse snd der folgenden Tabelle dargesell. Z ~ Z ~ Ω << Ω 9 Ω Qp Ω >> 9 Ω Dese Charakerska spegeln sch unmelbar m Bodedagramm weder. De asymposchen Näherungskurven sellen sch m Ampludengang als Geraden m Segungen von db/dekade bzw. - db/dekade dar. Ganz allgemen sellen sch Ampludengänge der Form n A A Ω (.37

97 Frequenzabhängge Darsellungen von Impedanzen und Admanzen S. 9 (m posven oder negaven Exponenen n, welche häufg als Asympoen komplzerer Ampludengänge aufreen, n doppel-logarhmschen Achsen als Geraden dar: Dese Geraden haben de Segung db( A n lgω db( A (.38 db( A db( A n lgω (.39 was üblcherwese als n dbpro Dekade bezechne wrd. Je größer de Güe, also je klener de Dämpfung, deso schneller dreh de Phase bem Durchgang durch de esonanzselle Ω. Wr unersuchen dazu de Wnkeländerung: ~ jω Z jdω Ω jdω Ω jω d jω Ω jω arcan Ω d (.4 ~ d Z d Ω d Ω ~ d Z ( Ω d Ω d Ω Ω d Q p (.4 Da de Frequenzachse logarhmsch skaler s, neresser demensprechend de Segung n der logarhmschen Darsellung. Dese berechne sch aus dem vorangegangenen Ergebns we folg: ~ ~ ~ ~ ~ d Z d Z d Z d Z d Z ln ln Ω ln d (lg Ω ln Ω d(ln Ω d Ω d Ω d ln Ω ~ d Z ln ( Ω d (lg Ω d (.4 eg man an den Phasengang m Punk Ω ene Tangene m der berechneen Segung, schnede dese de waagerechen ± 9 -nen (also ± π / n der logarhmschen Skalerung an den Sellen π lgω, d, 7d ln (.43 M desen Punken läss sch de Tangene und m deser en genäherer Phasengang auch per Hand halbwegs genau konsrueren, vgl. Bld -5.

98 Frequenzabhängge Darsellungen von Impedanzen und Admanzen S. 93 Bld -5: Bodedagramm der Impedanz des C-Parallelschwngkreses her für d, bzw. Q 5, dargesell snd m Ampludengang de beden Asympoen m ± db/dek., p m Phasengang de Tangene m Punk Ω

99 Frequenzabhängge Darsellungen von Impedanzen und Admanzen S. 94 Bld -6: Bodedagramm der Impedanz des C-Parallelschwngkreses m d als Parameer Bld -7: Bodedagramm der Admanz des C-Parallelschwngkreses m d als Parameer

100 Frequenzabhängge Darsellungen von Impedanzen und Admanzen S. 95 De Bandbree s derjenge Frequenzberech, n welchem das Verhälns von Schenwdersand Z zum maxmalen Schenwdersand Z max größer als / s. In Dezbeln ensprch des enem maxmal erlauben Abfall um 3 db. Be der Besmmung deser Frequenzgrenzen arbee man vorelhaferwese m dem Beragsquadra, um de sons aufreenden Quadrawurzeln zu vermeden: Z Z Z Z Z max Zmax jdω jdω Ω (.44 Z Z max 4d Ω ( Ω 4d Ω (.45 ( Ω 4d 4d Ω Ω ( Ω 4d Ω Ω d Ω (.46 Fallunerschedung: Annahme Ω > : Ω d Ω (.47 Posve ösung lefer obere Grenzfrequenz (negave ösung bleb außer Ach: Annahme < Ω < : Ω d d (.48 B De posve ösung lefer desmal unere Grenzfrequenz: Normere Bandbree: Ω d Ω (.49 Ω d d (.5 B Ω B Ω B Ω B d (.5 Q p

101 Frequenzabhängge Darsellungen von Impedanzen und Admanzen S. 96 bzw. ω ω B (.5 Q p De Bandbree s umgekehr proporonal zur Güe. Anders ausgedrück: Das Produk aus normerer Bandbree und Güe s ses glech : Man beache, dass außerdem gl Q Ω (.53 p B Ω (.54 B Ω B Dese Egenschaf drück aus, dass de beden Frequenzgrenzen auf der logarhmschen Frequenzachse genau symmersch um Ω angeordne snd. Bld -8: Zur Defnon der Bandbree.6 C-ehenschwngkres C Bld -9: ~ Z jdω Ω Z (.55 Z jω

102 Frequenzabhängge Darsellungen von Impedanzen und Admanzen S. 97 ~ Y jω Y (.56 Y jdω Ω De Impedanz und Admanz erhalen weder de gleche Form we bem C- Parallelschwngkres, nur das abermals de ollen verausch snd. Daher können de Ergebnsse aus dem vorangegangenen Abschn drek überragen werden. Für de Güe des ehenschwngkreses gl ensprechend Y Q s (.57 Y d Y max /

103 Überragungsfunkonen S. 98 Überragungsfunkonen Bslang wurden be Impedanzen und Admanzen de komplexen Zeger von Srom und Spannung an denselben Klemmen enes Nezwerks ns Verhälns gesez. Ganz allgemen kann man auch den Quoen belebger komplexer Zeger n enem Nezwerk blden. En solcher Quoen wrd Überragungsfunkon genann, z.b.: H (. I I H (. Sez man zwe Spannungen bzw. zwe Sröme ns Verhälns, sprch man von ener frequenzabhänggen Spannungsversärkung bzw. Sromversärkung: H (.3 I H (.4 I Bespel: Überragungsverhalen enes C-ehenschwngkreses I C C Bld -: C-ehenschalung Impedanz: jωc ω C Z (.5 jωc

104 Überragungsfunkonen S. 99 bzw. Z Z jdω Ω (.6 jω Admanz: Y Y jω jdω Ω (.7 Im Folgenden sollen de frequenzabhänggen Verhälnsse der Telspannungen zur Gesamspannung unersuch werden., C, Z jω Y Ω H jω Z Z Y (.8 jdω Ω H C C Z Z C jωc Z jω Y Y jdω Ω (.9 Z Y jdω H Y (. Z Q Y jdω Ω s Das esonanzmaxmum von H H leg we das der Admanz be Ω m H max De Maxma von H und H C legen aber be anderen Frequenzen. De Frequenz des Maxmums von H wrd durch Nullsellensuche der. Ableung besmm. Enfacher s es aber, das Maxmum von C H C, noch enfacher, das Mnmum von / C H zu suchen, wobe man nochmals echenarbe sparen kann, ndem man nch nach Ω, sondern nach dfferenzer: ( Ω 4d Ω H C Ω (. ( 4 ( d / HC Ω d d( Ω (. Ω d (.3 Ω d (.4 C

105 Überragungsfunkonen S. De Selle des Maxmums von H besmm man auf ähnlch konzenrerem echenweg : ( Ω 4d Ω 4 H 4d (.5 Ω Ω Ω ( d / H 4 d d(/ Ω Ω (.6 Ω (.7 d Demnach gl Ω CΩ (.8 Das bedeue, dass dese beden esonanzsellen sch auf der logarhmschen Frequenzachse symmersch um Ω anordnen. De Ergebnsse bedeuen aber, dass es reelle ösungen nur gb, wenn de Dämpfung klen genug s, genauer: d < bzw. d < bzw. Q s > Is de Dämpfung größer bzw. de Güe klener, präg sch kene esonanzüberhöhung mehr aus. De Maxma von H und H C gewnn man durch Ensezen. Bede resuleren zu H C max H max d d Q s (Q s (.9 Für große Güe bzw. klene Dämpfung wrd des sehr gu durch H C max Q (. H max genäher. Für de Frequenz Ω gl sogar exak (vgl. Frequenzkennlnen und jq s s H ( Ω (. H ( Ω (. C jq s Selbsversändlch gelang man auch ohne solche rechensparende Subsuonen auf dem konvenonellen Weg der Kurvendskusson zum selben Ergebns, ha dann aber enge Zelen mehr zu schreben.

106 Überragungsfunkonen S. Bld -: Spannungsversärkungen bem C-ehenschwngkres, für Güe Q Bld -3: Spannungsversärkungen bem C-ehenschwngkres, für Güe Q

107 Überragungsfunkonen S. Bld -4: Spannungsversärkungen bem C-ehenschwngkres, für Güe Q,5

108 esung be snusförmgen Vorgängen S. 3 esung be snusförmgen Vorgängen. Momenan-, Wrk-, Blnd- und Schenlesung Es werde en Verbraucherzählpfelsysem angenommen: u cos( ω ϕ (. ( u I cos( ω ϕ (. ( Anwendung der rgonomerschen Addonsheoreme: p( u( ( I I I cos( ω ϕu cos( ω ϕ [ cos( ϕu ϕ cos( ω ϕu ϕ ] [ cosϕ cos( ω ϕ ϕ ] u (.3 De Momenanlesung beseh aus enem zelch konsanen Term und enem m der doppelen Frequenz oszllerenden Term. Weere mformung lefer: p( I I [ cosϕ cosϕ cos ( ω ϕu snϕ sn ( ω ϕu ] cosϕ[ cos ( ω ϕ ] I snϕ sn ( ω ϕ u u (.4 Alernave echnung m komplexen Zegern: ( [ ] j ω j ω * e e e j ω u( e (.5 ( [ ] j ω j ω * Ie Ie I e j ω ( e (.6 p( u( ( e jω * jω jω * jω [ e e ][ Ie I e ] * * jω * * jω [ I I Ie I e ] * jω ( I e( Ie j( j u j j(ω j u j e( e I e( e I I cosj I cos ( ω j j u (.7

109 esung be snusförmgen Vorgängen S. 4 Heran erkenn man, dass de Momenanlesung aus zwe Anelen beseh: Enem Glechanel der Größe I cosϕ. Enem m der doppelen Frequenz oszllerenden Term m der Amplude I. Es soll aber noch ene andere Darsellung erarbee werden: p( I e I e I e I cosj I cosj j( ju j j(ω ju j ( e I e( e jj j(ω ju j ( e I e( e jj jj j(ω ju ( e I e e I cosj cos( ω ju I snj sn ( ω ju ( cos( ω j I snj sn ( ω j u u (.8 In deser Darsellung denfzeren wr dre Terme: Wederum den Glechanel der Größe I cosϕ. Enen m der doppelen Frequenz oszllerenden Term, welchen wr n deser Phasenlage auch be enem ohmschen Wdersand erwaren würden. De Amplude deser Schwngung s genau so groß we der Glechanel I cosϕ. Auch dese Egenschaf enspräche der esung an enem ohmschen Wdersand. Enen weeren m der doppelen Frequenz oszllerenden Term, allerdngs m ener gegenüber dem vorangegangenen Term um 9 vorelenden Phasenlage und ener Amplude von I snϕ. De mlere esung ener Perode heß Wrklesung. Das s auch der Glechanel der Momenanlesung: * ( I P p I cosϕ e (.9 De Wrklesung P s aber glechzeg de Amplude des ozllerenden esungsanels, welcher n Phase m der esungspendelung an enem ohmschen Wdersand s. Der Term heß esungsfakor oder Wrkfakor. λ cosϕ (. Als Blndlesung wrd de Amplude der esungsschwngung m der um 9 verschobenen Phase bezechne: * ( I Q I snϕ Im (.

110 esung be snusförmgen Vorgängen S. 5 De Schenlesung wrd enfach als Produk der Effekvwere von Srom und Spannung defner: S I (. ner Verwendung der Wrk- und Blndlesung läss sch de Momenanlesung schreben als ( cos( ω ϕ Qsn ( ω ϕ p( P (.3 u Aus der ersen obgen Darsellung der Momenanlesung sehen wr, dass de Schenlesung S de Schwngungsamplude des gesamen oszllerenden Anels s: ( ω ϕ ϕ P S cos( ω ϕ ϕ p( I cosϕ I cos (.4 u u u û î ( u( ϕ ω P S p( P P S ω Bld -: Momenwere von Spannung, Srom und esung Wrk-, Blnd-, Schenlesung und der Phasenwnkel hängen also we folg zusammen: bzw. P S cosϕ (.5 Q S snϕ (.6 S P Q (.7

111 esung be snusförmgen Vorgängen S. 6 ezeres läss sch geomersch nerpreeren. S Q ϕ P Bld -:Geomersche Inerpreaon der Bezehung zwschen Wrk-, Blnd-, Schenlesung und dem Phasenwnkel: Wrk- und Blndlesung lassen sch zu enem komplexen esungszeger * ϕϕ (.8 S I P ϕq Se zusammenfassen. Dam erhalen wr ene weere Inerpreaon der Momenanlesung p ( als ealel enes m der doppelen Frequenz um den Melpunk S roerenden Zegers der änge S : j(ω ju j j( ω j ( S Se e( S Se p( e (.9 Im j Se ( ω ϕu ϕ Q S ϕ P S P p( P S e Bld -3: Inerpreaon der Momenanlesung als ealel enes roerenden komplexen Zegers Begrffe (für Verbraucherzählrchung: P > verbrauchend, dssperend oder moorsch P < erzeugend oder generaorsch Q > ndukv Q < kapazv

112 esung be snusförmgen Vorgängen S. 7 Maßenheen [ P ] W VA [ Q ] VA [ S ] VA Be Blnd- und Schenlesungen wrd de Enhe VA, obwohl es formal korrek wäre, üblcherwese nch als W geschreben. Im Generaorzählpfelsysem kehren sch de Vorzechen bzw. de Bedeuungen um: P > erzeugend oder generaorsch, lefer Wrklesung P < verbrauchend, dssperend oder moorsch Q > lefer ndukve Blndlesung, zeg selbs also kapazves Verhalen Q < lefer kapazve Blndlesung, zeg selbs also ndukves Verhalen Darsellungen m Admanzen und eakanzen M Z I ( jx I (. bzw. I Y ( G jb (. folgen de Darsellungen (vgl. Abschn 9.4 P Q S I XI ZI G B Y Für de Blndlesung s de Enhe var zwar we verbree (r für reacve, also für de Blndkomponene, und sogar nach DIN 3, Tel zulässg, doch beseh weder Grund noch Nowendgke, für de Blndlesung ene gesondere Enhe enzuführen, da VA als Enhe völlg ausrech. De Enhe var s m Sysem der nernaonalen Enheen nch vorgesehen. Bespele anderer, leder mmer weder ns Krau scheßender unzulässger Schrebwesen: A eff, V ss, W el, /mn usw. Korrek: Der Effekvwer des Srom s I5 A, de Spannungsschwankung beräg ss,5 V, de elekrsche esung s P el,5 MW, de Drehzahl (das s de Zahl der mdrehungen pro Zeenhe beräg n/mn.

113 esung be snusförmgen Vorgängen S. 8 Bedeuung der Blnd- und Schenlesung Elekroechnsche Komponenen und Syseme werden häufg nach den Effekvweren des zu führenden Sroms I und der Spannung bemessen und ausgeleg (enfachses Bespel: Kabel. Das Produk beder Größen s de Schenlesung. De Schenlesung s also en Maß für de Bemessung, dam mes auch für de Kosen. Be Sysemen der Energeüberragung und -wandlung möche man häufg be gegebener Schenlesung möglchs vel Wrklesung umzusezen, also enen esungsfakor cos ϕ möglchs nahe errechen. Der normale Haushalssromzähler mss nur de Wrklesung, de Blndlesung bleb außer Ach. De Energeversorgungsunernehmen (EV sellen jedoch be großen Sromverbrauchern auch de beregeselle Blndlesung n echnung bzw. sezen Grenzwere für den zulässgen esungsfakor des Verbrauchers.. esung und Energe Nach obgen Abschn gl ( cos( ω ϕ Qsn ( ω ϕ p( P (.3 Nach Abschn 5 gl auch de Energeblanz: u u p( p ( w ( (. Aus ener Melwerbldung über ene Perode folg, dass de zugeführe Wrklesung m zelchen Mel de m Innern des Zwepols verbrauche (dsspere esung sen muss, denn für perodsche Vorgänge muss gelen P p( p w (.3 p w (.4 Ene enfache Zuordnung der m Kosnus und Snus oszllerenden Terme n der Momenanlesung zu den Termen p ( und w ( gelng m Allgemenen jedoch nch. Es gelng m Allgemenen auch nch, allen durch Berachung von Wrk- und Blndlesung ohne Kennns der nneren Srukur des Zwepols ene Aussage über de mlere gespechere Energe zu gewnnen.

114 esung be snusförmgen Vorgängen S. 9 Für Kondensaoren und Spulen können wr aber durch Kennns der nneren Zusammenhänge als mlere gespechere Energen angeben: W C ( S Q ωc Cu C I (.5 ω ω ω W ( S Q ω I I (.6 ω ω ω Für de Scheelwere der gespecheren Energen gl: Q ωˆ C WC ω (.7 Q ωˆ W ω (.8

115 esung be snusförmgen Vorgängen S..3 Wrk- und Blndsrom Wrksrom: Blndsrom: Dam lassen sch Wrk- und Blndlesung schreben als I w I cosϕ (.9 I b I snϕ (.3 P I w (.3 Q I b (.3 Im I b I w ϕ I e Bld -4: Wrk- und Blndsrom m Zegerdagramm In Parallelschalungen adderen sch de Wrk- und Blndsröme der enzelnen Zwepole: Ebenso gl: auch I w I wk k I b I bk k P Q S P k k Q k k S k k (.33 (.34 (.35 (.36 (.37 Solches gl aber nch für de Summe der Schenlesungen k S! k

116 esung be snusförmgen Vorgängen S..4 Wrk- und Blndspannung Wrkspannung: Blndspannung: Dam lassen sch Wrk- und Blndlesung schreben als w cosϕ (.38 b snϕ (.39 P I (.4 w Q I (.4 b Im b ϕ I w e Bld -5: Wrk- und Blndspannung m Zegerdagramm In ehenschalungen adderen sch de Wrk- und Blndspannungen der enzelnen Zwepole: Ebenso gl: w wk k b bk k P Q S P k k k k Q k S k (.4 (.43 (.35 (.36 (.37

117 esung be snusförmgen Vorgängen S..5 Wrk- und Blndlesungsblanz sowe Gesamenerge n Nezwerken Aus den Abschnen.3 und.4 folg, dass sch Wrk- und Blndlesung über de Elemene enes Nezwerks blanzeren: P Q P k k Q k k (.35 (.36 sowe für de komplexen esungszeger S S k k (.37 Ähnlches gl nch für de Summe der Schenlesungen S k, ebenso nch für de k Phasenwnkel. Aus der Blanz der Blndlesungen ergb sch, dass Elemene m posver und negaver Blndlesung sch gegenseg kompenseren können. Des s der wesenlche Gedanke be der Blndlesungskompensaon, be der de (häufg ndukve Blndlesung enes Verbrauchers durch enen Blndlesungskompensaor m engegengesezer (mes kapazver Blndlesung kompenser wrd. Wrd en Nezwerk aus elemenaren,, C-Elemenen aufgebau, läss sch für de mlere m gesamen Nezwerk gespechere Energe nach Abschn. fnden: W W k Q ω k k k (.44 Aufgrund der Beragsbldung n der Summe läss sch de Gesamenerge m Allgemenen nch aus der Gesamblndlesung besmmen.

118 esung be snusförmgen Vorgängen S. 3.6 Tabelle für Schen-, Wrk- und Blndlesungen ϕ S P Q I I C π π ω I ω I ω C ωc ω arcan ω I I ω I C arcan ωc I I ω C I ωc arcan ω ω ω C arcanωc ω C ωc

119 3 eale Bauelemene (, C, S. 4 3 eale Bauelemene (, C, 3. Normrehen Sandardsere Bauelemene werden für besmme Normwere beregehalen. De Were ergeben sch durch logarhmsche Telung ener Dekade und undung auf möglchs glae Were. Es gb de Normrehen E3, E6, E, E4: E3 E6 E E4 logarhmsche Telung,,,,,,,7,,,5,3,3335,5,5,5,4678,6,656,8,8,7783,,9573,,,,,544,4,374,7,7,6 3,,873 3,3 3,3 3,3 3,63 3,6 3,487 3,9 3,9 3,83 4,3 4,7 4,7 4,7 4,7 4,7 4,646 5, 5,9 5,6 5,6 5,634 6, 6,897 6,8 6,8 6,8 6,89 7,5 7,4989 8, 8, 8,54 9, 9,85, 3. Kennwere Idealsere Bauelemene werden allen durch den Wer hres Wdersands, der Indukvä oder der Kapazä besmm. eale Bauelemene werden darüber hnaus durch ene Zahl weerer Spezfkaonen beschreben. Grundsäzlch lassen sch de angegebenen Daen n zwe Kaegoren enelen: Berebskennwere, de das Verhalen m normalen Bereb charakerseren Grenzwere, de kenesfalls verlez werden dürfen Je nach Bauelemen und Ensazberech snd des z.b.:

120 3 eale Bauelemene (, C, S. 5 Berebskennwere: Kennwer des Wdersands, der Indukvä der Kapazä Toleranzen der Kennwere ypsche Verluslesung Angaben über parasäre Effeke (z. B. Innenwdersand und Kapazä be Spulen Grenzfrequenz Temperaurkoeffzen Angaben über Abwechungen von der nearä geomersche Abmaße Schuzklasse usw. Grenzwere: maxmale Spannung maxmaler Srom maxmale Änderungsrae von Srom oder Spannung (Srom- oder Spannungsselhe maxmale Spzen-Verluslesung maxmale Dauerlesung zulässger Berech der Berebsemperaur zulässger Berech der uffeuchgke zulässge mgebungsbedngungen (z.b. explosve Gase zulässge Bereche der Temperaur und uffeuchgke für Transpor, agerung und Monage (öemperaur mechansche Beanspruchbarke ebensdauer, Zahl der Temperaurzyklen usw.

121 3 eale Bauelemene (, C, S Bauformen 3.3. Wdersände SMD-Wdersand,5 W bs 7 ºC SMD-esungs-Wdersand W, zulässge Berebsspannung 3 V bs 55 ºC Drahwdersände 4 W Toleranz ±5%. Nch gewckel, sehr gernge Indukvä Drahwdersände 5Ω/5 W Drahwdersände Ω/ W Toleranz 5%. Drahwdersände 3 W. Bremswdersände für Schalschränke,,-5 kw z. B. für Anrebe m Frequenzumrchern.

122 3 eale Bauelemene (, C, S. 7 Wdersandsspannungseler für Hochspannungs-Messung ca. 5kV 3.3. Kondensaoren Keramscher Kondensaor, unpolar, Hohe esonanzfrequenz bs MHz. Spannung 5 V SMD Keramscher Kondensaor, unpolar, Nennspannung 5V Tanal-Kondensaor m radalen Anschlüssen, Polaräskennzechnung (, klener Verlusfakor. SMD Tanal-Kondensaor bs 35V. Frequenzberech bs MHz Elekrolykondensaor, ow-es besonders m Frequenzberech khz MHz, Temperaurberech: -55 bs 5 ºC.

123 3 eale Bauelemene (, C, S. 8 SMD Elekrolykondensaor bs 5V, Polaräskennzechnung (-, Temperaurberech: -4 bs 85 ºC Folenkondensaor, Temperaurberech -55 bs ºC. Hochspannungskondensaor, Ensaz für Schalnezele, Kapazäsoleranz ±% Temperaurberech 5 V: -4 bs 5 C, 4 V: -5 bs 5 C. Schraubenkondensaor, für hochprofessonelle Sromversorgungsgeräe, hohe Srombelasbarke, spannungslose agerung bs Jahre möglch.

124 3 eale Bauelemene (, C, S Drosseln SMD Drossel bs mh Frequenzberech bs MHz Nennsrom 4 o 35 ma Ensördrosseln, z. B. für Thyrsor- und Trac-Schalungen ufspule Ensördrossel m Ferr-ngkern Drossel m EI-Ferrkern

125 3 eale Bauelemene (, C, S. 3.4 eales Verhalen Modellerung des realen Verhalens durch Ersazschalblder m dealen Elemenen. De Wahl des passenden Ersazschalbldes (also des Modells s abhängg von der Problemsellung und der nowendgen Deallerungsefe. De Enschedung für en Modell erfolg aufgrund: Modell-Verfkaon durch Messung uner Problem-ypschen Bedngungen durch Verglech verschedener Modellerungsansäze (wenn Messungen nch möglch snd Erfahrung Bespele für verschedene Modelle bzw. Ersazschalblder: s s C s dealer Wdersand m parasärer Indukvä (nsb. be gewckelen Drahwdersänden außerdem m parasärer Kapazä Bld 3-: Ersazschalblder enes realen Wdersands

126 3 eale Bauelemene (, C, S. C C C C e dealer Kondensaor m Innenwdersand (sogenannem ES: equvalen seres ressor Keenleermodell m Enladewdersand Bld 3-: Ersazschalblder enes realen Kondensaors C s deale Spule m Innenwdersand (ES zusäzlch m parasärer Kapazä Bld 3-3: Ersazschalblder ener realen Spule

127 3 eale Bauelemene (, C, S. 3.5 Verluswnkel und Verlusfakor Als reakve Bauelemene bezechne man Kondensaoren und Spulen, da dese m Idealfall nur ene eakanz, aber kene essanz aufwesen. De Güe realer Bauelemene wrd durch de Abwechung vom dealen Verhalen bewere. Dazu wrd der Verluswnkel engeführ. Deser s de Abwechung vom dealen Phasenwnkel von 9 be ndukven bzw. von -9 be kapazven Bauelemenen: π δ π Z ϕ (3. Der Phasenwnkel ϕ der Impedanz läss sch über hren eal- und Imagnärel, also der essanz und eakanz besmmen: Daraus folg: X an ϕ (3. X an ϕ (3.3 π an ϕ (3.4 X B an δ (3.5 X G Der Term an δ wrd Verlusfakor genann. Er wrd durch Messung der eakanz und essanz bzw. der Suszepanz und der Kondukanz besmm. Typscherwese snd Verluswnkel und Verlusfakor nch konsan, sondern frequenzabhängg. C C dealer Kondensaor m Innenwdersand (ES Bld 3-4: Bespel: Kondensaor m Innenwdersand

128 3 eale Bauelemene (, C, S. 3 Der äquvalene Serenwdersand enes Kondensaors (auch ES, engl.: Equvalen Seres essor fass verschedene Verluse enes realen Kondensaors zusammen: - Ohmsche Verluse der Zuleungen - Delekrsche Verluse durch mladung des Kondensaors - Isolaonsverluse Impedanz des Ersazschalbldes und resulerender Verlusfakor: Z (3.6 jωc (3.7 X ωc (3.8 an δ ω C (3.9 X

129 4 Enfache magnesche Syseme m Kern und ufspal S. 4 4 Enfache magnesche Syseme m Kern und ufspal 4. Ersazschalbld des magneschen Kreses u l N AFe l Fe Bld 4-: Drossel m ngkern und ufspal ( u ( Spule m Kern m ufspal m Kern ufspule Bld 4-: Schalzechen ener Drossel Magnescher Fluss: φ b da A (4. Magnesche Spannung: θ h ds l (4. b: magnesche Flussdche h: magnesche Feldsärke Annahme sückwese homogener Felder m k-en Elemen des magneschen Kreses: φ A b (4.3 k k k θ l h (4.4 k k k

130 4 Enfache magnesche Syseme m Kern und ufspal S. 5 Annahme enes lnearen Maeralgesezes: ergb µ µ h (4.5 bk rk k k k k θ φ (4.6 m dem magneschen Wdersand oder der magneschen elukanz θk l k (4.7 φ A µ k k k rkµ Der Kehrwer des magneschen Wdersands s de magnesche efähgke φk Ak µ rkµ Λ k (4.8 θ l k k Im enem enfachen magneschen Kres gl (Quellenfrehe des magneschen Feldes: Das Indukonsgesez: Wrd en ohmscher Innenwdersand De Größe heß Verkeungsfluss. Der Durchfluungssaz: k φ φ k cons. (4.9 u N φ ψ (4. der Spule berückschg, laue de Glechung: u N φ ψ (4. ψ Nφ (4. θ k k N (4.3 De Quelle der magneschen Spannung N heß Durchfluung.

131 4 Enfache magnesche Syseme m Kern und ufspal S. 6 Es folg N ψ (4.4 magn m dem gesamen magneschen Wdersand (4.5 magn Fe Häufg kann der Kernwdersand be hochpermeablem Maeral gegenüber enem ufspal vernachlässg werden: magn (4.6 u φ θ Fe u Nφ N Fe θ elekrsches Telsysem magnesches Telsysem Bld 4-3: Ersazschalbld ener Drossel m elekrschen und magneschem Telsysem 4. Indukvä und Energe Vgl. Abschne 3.4 und 4.! ψ N Λ N Λ (4.7 magn Je gernger der magnesche Wdersand, deso größer de Indukvä. Ohne ufspal wrd be ansonsen glech blebenden Parameern de größe Indukvä errech: Energe (vgl. Abschn 3.4: ψ N AFeµ rfeµ (4.8 l Fe w (4.9

132 4 Enfache magnesche Syseme m Kern und ufspal S. 7 Anschenend seg de specherbare Energe m der Indukvä. Das s aber en Trugschluss bzw. nur für de Berachung konsanen Sroms rchg. Andere Darsellung der Energe: w (4. ψ φ magn Be gegebenem magneschem Maeral s de Flussdche begrenz und som auch der Fluss und Verkeungsfluss begrenz. Be enem maxmal möglchen Fluss nmm de specherbare Energe also m segender Indukvä ab! Physkalsche Inerpreaon: De magnesche Energe wrd m Wesenlchen m ufspal, kaum m Esen gespecher. Ene Drossel, de Energe spechern soll, muss enen ufspal oder enen äquvalenen magneschen Wdersand haben. Das hochpermeable Kernmaeral den ledglch der Flussführung und Flusskonzenraon durch de Wcklung. Vele weere snnvolle Darsellungsformen für de magnesche Energe: w ψ φn φ φ θk V k k k k magn φ θ A b l k k k V b h k k k bh dv k h k (4. Herbe snd V A l (4. k k k de Volumna der Elemene und V das Gesamvolumen. De Größe bh s de Energedche des magneschen Feldes.

133 4 Enfache magnesche Syseme m Kern und ufspal S Bezehungen zwschen Schenlesung, Geomere und Maeral Fe A Fe A W Bld 4-4: Zur Defnon von Wcklungsfenser und Kernquerschn A Fe : Querschnsfläche des Kerns A W : Fläche des Wcklungsfensers Snusförmge Spesung: Scheelwer der Flussdche: u( cosω (4.3 ψ ( snω (4.4 ω ψ ( b( snω bˆ snω (4.5 NA ω NA Fe Fe bˆ (4.6 ω N A Fe Be ener gegebenen maxmalen Flussdche ˆb max des Kernmaerals folg de maxmale Spannung max bˆ max ω N A Fe (4.7

134 4 Enfache magnesche Syseme m Kern und ufspal S. 9 Fenser (Wndow für Wcklung: N : Wndungszahl A : Drahquerschn Cu ACu N A W (4.8 k k : Füllfakor, ypsche Were:,5-,65 (Drahwcklungen bs,9 (für Formspulen Cu Maxmaler Srom be gegebener maxmaler Sromdche Maxmale Schenlesung: I cu J max (Effekvwer: AW kcu J max ACu J max (4.9 N max S max maximax J bˆ max max ω kcu AFe AW (4.3 Das Produk A A A (4.3 p Fe W heß Flächenproduk und s ene ypsche Kenngröße magnescher Bauelemene (Enhe: [ A ] m p 4 und seh n dreker Bezehung zur Schenlesung: A p Smax (4.3 J b ω k max ˆmax Cu Werden magnesche Bauelemene glecher Konsrukon, aber unerschedlcher geomerscher Skalerung, welche durch ene charakerssche ängenabmessung l beschreben werde, menander verglchen, ergeben sch de folgenden Wachsumsgeseze: änge Volumen Masse Kernquerschn Wcklungsfenser Flächenproduk Schenlesung l 3 V ~ l 3 M ~ l A Fe ~ l A W ~ l A p 4 ~ l ~ A 4 ~ l V Smax p ~ 4 / 3

135 4 Enfache magnesche Syseme m Kern und ufspal S. 3 Nach Abschn. gl Außerdem gl nach Abschn 4. W S ω (4.33 ω W w φ magn bˆ max AFe magn ( Daraus folg der benöge magnesche Wdersand zu magn S bˆ max max AFe ω J max bˆ bˆ ω k max Cu max AFeω A Fe A W J bˆ max max k A Cu Fe A W (4.35 Alernaver Weg: NI NI NSmax bˆ (4.36 φ A max magn bˆ max AFe Der nowendge magnesche Wdersand wrd enweder be hochpermeablen Kernen durch enen ensprechenden ufspal oder durch Kernmaeral m passender Permeablä realser. Be hochpermeablem Kernmaeral wrd der magnesche Gesamwdersand m Wesenlchen allen durch den ufspal besmm, max Fe max magn l (4.37 m AFe und es folg für de nowendge ufspalbree l m S m J kcu AW m A (4.38 max max Fe magn bˆ ˆ max AFeω bmax Wrd der magnesche Wdersand ohne ufspal, aber uner Verwendung von Kernmaeral mlerer Permeablä (Index Fe wrd weerhn verwende konzper, folg aus dem magneschen Wdersand magn l Fe (4.39 m mrfeafe für de nowendge Permeabläszahl lfe lfebˆ max AFeω bˆ maxlfe m rfe (4.4 A m m S m J k A Fe magn max max Cu W

136 4 Enfache magnesche Syseme m Kern und ufspal S. 3 In desem Fall werden ypscherwese Kerne aus pulverseren Maeralen (Pulverkerne engesez. Typsche Were verschedener Maeralen Maeral ˆb max /T µ r Ferre (NZn, MnZn,-,5 - Dynamobleche (Fe -,5 - Permalloy, MuMeall (FeN -5 Fe-Pulverkerne,5-,9 - FeN-Pulverkerne -,5-3 FeSAl-Pulverkerne 5- De maxmalen effekven Sromdchen max J n Cu legen (je nach Gesamvolumen der Wcklung und Kühlung n der Größenordnung von bs A/mm. Be sehr hohem Kühlungsaufwand können Were bs zu A/mm errech werden (wodurch sch aber ypscherwese der Füllfakor verschlecher, m supraleenden Spulen sogar enge ka/mm.

137 4 Enfache magnesche Syseme m Kern und ufspal S. 3 A Fe A Fe A W Cu Fe A W Cu Fe Bld 4-5: Geomersche Darsellung der Durchdrngung von magneschem und elekrschem Kres Skzze ener Auslegung enes magneschen Bauelemens: Anforderung feslegen: Z. B. max, I max, ω max, ω max, ω daraus folg S max Maeralvorauswahl lefer ˆb max, Wckelverfahren und Kühlung (häufg Erfahrungswere besmmen k Cu und J max dam Flächenproduk A p besmmen A W A Fe AW α Ap, A /α. Ggf. für ersen Enwurf: α W A p geomersche Konsrukon m den Flächen A W, A Fe ausführen bzw. ensprechende Sandardkerne auswählen ufspal besmmen oder Maeralauswahl über µ r feslegen

138 4 Enfache magnesche Syseme m Kern und ufspal S Krafwrkung u F Fe d F Fe Bld 4-6: Zur magneschen Kraf Magnescher Druck (Vorgrff auf Feldheore: p bh (4.4 Der magnesche Druck s glech der Energedche. Berachung der Enheen: [ p] A Vs Ws 3 m m m Nm N 3 m m J m 3 An der Grenzfläche uf-esen wrk de Druckdfferenz: p p pfe ( bh bfehfe (4.4 De Kraf ergb sch also als F A p (4.43 Fe Wegen h (4.44 Fe und b b Fe (4.45

139 4 Enfache magnesche Syseme m Kern und ufspal S. 34 gl näherungswese p b h (4.46 und som für de Kraf: Fe l Fe N µ A N µ A F AFe p AFebh (4.47 4d

140 4 Enfache magnesche Syseme m Kern und ufspal S Nchlneare Magneserung Vele magnesche Maeralen können nur näherungswese für klene Feldsärken bzw. Flussdchen durch das lneare Maeralgesez b µ r h µ (4.48 beschreben werden. Für größere Felder wrd das Verhalen sark nchlnear (gesäg. Der Zusammenhang wrd dann durch ene nchlneare Kennlne beschreben (nerschedung von Funkonswer und Funkonsname durch Klen- und Großbuchsaben: b B(h (4.49 ner der Annahme homogener Felder folg de Kennlne zwschen magnescher Spannung und Fluss durch mskalerung der Maeralkennlne: θ φ Ab AB( h AB Φ ( θ (4.5 l Ensprechendes folg für den Zusammenhang zwschen Verkeungsfluss und Srom, sofern der magnesche Kres nur aus dem enen beracheen Elemen beseh: N ψ NAb NAB( h NAB Ψ ( (4.5 l

141 4 Enfache magnesche Syseme m Kern und ufspal S. 36 b Bld 4-7: Typsche Magneserungkennlne m Sägung h Beseh der magnesche Kres aus enem nchlnearem Elemen (Kern, enem lnearen magneschen Wdersand (ufspal und ener magneschen Spannungsquelle (Durchfluung der Wcklung we m dargesellen Bld, so kann de ösung der resulerenden nchlnearen Glechung grafsch ermel werden: Dazu werden de nchlneare Kennlne φ über θ Fe (oder umgekehr sowe de lneare Kennlne der magneschen Spannungsquelle NI m dem magneschen Innenwdersand gezechne und der Schnpunk besmm. magn φ N h φ Θ Fe (φ nchlnearer Kern Bld 4-8: Nchlnearer magnescher Kres

142 4 Enfache magnesche Syseme m Kern und ufspal S. 37 φ N N θ Bld 4-9: Schnpunk der Kennlnen der magneschen Quelle m lnearem Innenwdersand m der Kennlne der nchlnearen elukanz Alernav: Bldung der gesamen magneschen Spannung v θ θ φ Θ (φ (4.5 Fe als neue nchlneare Kennlne. De nchlneare Kennlne wrd um de ufspalgerade gescher: Fe

143 4 Enfache magnesche Syseme m Kern und ufspal S. 38 φ ufspalgerade θ φ θ Fe Θ Fe (φ um de ufspalgerade geschere Kennlne θ φ Θ Fe (φ θ Bld 4-: Geschere Gesam-Magneserungskennlne Wrd ene Spule m nchlnearer Magneserung m snusförmger Spannung beaufschlag, folg en snusförmger Verkeungsfluss ψ ( u( cosω (4.53 ψ ( snω (4.54 ω der Srom dagegen s nch snusförmg, sondern resuler aus der mkehrfunkon zu Ψ ( : Ψ ( ψ I( ψ (4.55 Je nachdem, we we de Magneserungkennlne bs n de Sägung ausgeseuer wrd, resuler ene mehr oder wenger sarke Sromverzerrung:

144 4 Enfache magnesche Syseme m Kern und ufspal S. 39 Bld 4-: Zelche Verläufe be ener nchlnearen Drossel

145 4 Enfache magnesche Syseme m Kern und ufspal S Hyserese b b r Neukurve h c h Bld 4-: Hyserese enes magneschen Maerals b r : h c : remanene Flussdche Koerzvfeldsärke De Kurve, de de mkehrpunke der ausseuerungsabhänggen Hysereseschlefen verbnde, heß Kommuerungskurve. De Form der Hyserese häng ab von der Vorgeschche, de Gesal änder sch auch m der Frequenz. Be nch vollsändgem mlauf bzw. be asymmerscher Ausseuerung ergeben sch weere Abwechungen. m Maeralen m Hyserese zuverlässg zu enmagneseren, werden Wechselfelder m langsam abnehmender Amplude aufgeschale.

146 4 Enfache magnesche Syseme m Kern und ufspal S. 4 ψ dψ dw dψ W V Bld 4-3: Verlusarbe be der Hyserese Wegen W V dw p d u( ( d ψ ( ( d ( ψ dψ ( v( φ dφ (4.56 gb de von der Hyserese umschlossene Fläche de mmagneserungs- oder Hysereseverluse an. Is T de Perodendauer enes mlaufs, s de mlere Verluslesung WV P V f WV (4.57 T In erser Nährung snd de Verluse also der Frequenz proporonal. P V ~ f (4.58 Für höhere Frequenzen gl des nch mehr, da sch auch de Gesal der Hyserese frequenzabhängg änder. De Verluse können dann überproporonal segen: e f P ~ f, e... (4.59 V f

147 4 Enfache magnesche Syseme m Kern und ufspal S. 4 Für de Abhänggke von der Amplude kann als grobe Näherung angesez werden: ˆeb P ~ b ; e...3 (4.6 V b De Zusammenfassung deser beden emprschen Geseze führ zu der sogenannen Senmez-Glechung e f e P K f bˆ b (4.6 V

148 5 Transformaor S Transformaor 5. Aufbau, Schalzechen l φ u N N u Bld 5-: Zwe-Wcklungs-Transformaor m ufspal (dargesell snd glechsnnge Wcklungsrchungen m Kern m ufspal m Kern ufransformaor ( ( ( ( u ( u ( u ( u ( glechsnnge Wcklungsrchungen gegensnnge Wcklungsrchungen Bld 5-: Elekrsche Schalblder (m Verbraucherzählpfelsysemen auf Prmär- und Sekundärsee

149 5 Transformaor S Idealseres Verhalen φ φ N N Fe Bld 5-3: Enfaches elukanzmodell φ φ φ (5. ψ ψ (5. N N 3 ψ N ψ (5.3 N u u (5.4 N N bzw. u u N N α (5.5 α : Übersezungsverhälns (velfach auch ü N N N N φ (5.6 magn Fe 3 nur uner der Annahme, dass de Flussanfangswere verschwnden, s auch der mkehrschluss möglch

150 5 Transformaor S. 45 bzw. N N φ (5.7 magn Zunächs dealsere Annahme (ken ufspal, hochpermeabler Kern: bzw. magn N N (5.8 N N α (5.9 Sröme und Spannungen der Prmär- und der Sekundärsee werden bem dealen Transformaor genau m dem Übersezungsverhälns übersez. ( ( u ( u ( Verbraucher- Zählpfelsysem Erzeuger- Zählpfelsysem Bld 5-4: Schalbld m gemschen Zählpfelsysemen Wenn man sch für en solches gemsches Zählpfelsysem enschede, muss des aber auch m magneschen Ersazschalbld durch mkehr des Zählpfeles von ebenfalls berückschg werden: φ φ N N Fe Bld 5-5: Enfaches elukanzmodell, gemsches Zählpfelsysem Verwende man gemsche Zählpfelsyseme be glechsnngen Wcklungen we n obgem Bld, lassen sch de Srom- und Spannungsübersezungen m posvem Vorzechen schreben:

151 5 Transformaor S. 46 u u N N α (5. De komplexe Zegerrechnung für snusförmge Größen läss sch auch auf Transformaoren anwenden: I I N N α (5. Es gl de esungsblanz (gemsches Zählpfelsysem: p (5. u p u Der deale Transformaor specher kene Energe! Schen-, Wrk- und Blndlesung snd bem dealen Transformaor (gemsche Zählpfelsyseme auf Prmär- und Sekundärsee glech (nvaran: bzw. S (5.3 I S I * * I S I S (5.4 P e S P S (5.5 e Q Im S Q Im S (5.6 Das deale Transformaorverhalen beruh auf folgenden Annahmen: bede Wcklungen snd deal menander verkee, es gb kenen Sreufluss der magnesche Wdersand des Kreses s Null de ohmschen Wdersände der Wcklungen snd Null ( ( ( u ( u ( Z u ( Z α Z dealer Transformaor α : Bld 5-6: Transformaon von Impedanzen

152 5 Transformaor S. 47 Z (5.7 I α I Auf de Prmärsee ransformere Impedanz: Z I α Z (5.8

153 5 Transformaor S Messwandler und Überrager Transformaoren, de so gesale snd, dass se dem dealen Verhalen möglchs nahe kommen, werden als Wandler oder Überrager engesez. Herbe seh nch de esungs-, sondern de Sgnalüberragung, ggf. auch de galvansche Trennung von En- und Ausgang m Vordergrund Sromwandler Werden Transformaoren zum Zwecke der Srommessung engesez, sprch man von Sromwandlern. Dese werden dann verwende, wenn enweder ene Poenzalrennung nowendg oder der zu messende Srom zu groß für ene dreke Messung durch den egenlchen Sromsensor s. In desem Fall werden Übersezungsverhälnsse α < gewähl. Der Sromwandler darf nur enen gerngen ohmschen Wdersand aufwesen und benög daher hnrechende eerquerschne. Of s N, d. h. de Prmärwcklung wrd nur enmal durch den Kern geführ. Der n der egel sehr klene Innenwdersand des sekundärsegen Sromsensors übersez sch auf de Prmärsee nach dem vorangegangenen Abschn ensprechend α < (5.9 ( α ( ( u( A u ( Bld 5-7: Sromwandler Fe φ N N Bld 5-8: Magnescher Kres des Sromwandlers

154 5 Transformaor S. 49 Da der Innenwdersand des Sromsensors n der egel klen s, s de Sekundär- und dam auch de Prmärspannung gerng. Der Sromwandler wrd spannungsmäßg nur weng belase, daher s der magnesche Fluss m Kern klen. En ggf. nch-dealer magnescher Kernwdersand verursach daher rozdem kenen großen magneschen Spannungsabfall und beenrächg das Sromübersezungsverhälns kaum. Aus dem nch dealen magneschen Wdersand und dem elekrschen Wdersänden von Sromsensor und Wcklungen resuler lezlch ene unere Grenzfrequenz (s. Bld 5-9 von ( ( Fe ω mn α (5. N α ( ( / α α u ( N Fe α Sromsensor Bld 5-9: Elekrsches Ersazschalbld des Sromwandlers (Transformaon der Größen auf de Prmärsee M enem Sromwandler können folglch kene Glechsröme gemessen werden. Sollen auch Glechsröme gemessen werden, kann man sch des Kompensaonsprnzps bedenen. En Sensor (Hall-Sensor mss m ufspal enes Sromwandlers das Magnefeld. Ene seuerbare Sromquelle wrd so reguler, bs das magnesche Feld verschwnde. Magnefeldsensor Kompensaonsregler φ A u N N seuerbare Sromquelle Bld 5-: Srommessung nach dem Kompensaonsprnzp

155 5 Transformaor S Spannungswandler Is de zu messende Spannung zu groß für den egenlchen Spannungssensor, kann se durch enen Transformaor m α > herunergesez werden. Der Innenwdersand des Spannungssensors vorangegangenen Abschn ensprechend übersez sch auf de Prmärsee nach dem α > (5. ( ( u ( V u( u( α Bld 5-:Spannungswandler Fe φ φ N N Bld 5-: Magnescher Kres des Spannungswandlers ( α ( / α u ( N Fe α Spannungssensor Bld 5-3: Elekrsches Ersazschalbld des Spannungswandlers Da der Spannungssensor enen hohen Innenwdersand aufwesen solle, s der Sekundärsrom und dam auch der Prmärsrom klen. Der Spannungswandler wrd srommäßg also nur sehr gerng belase. Er komm daher m gerngen eerquerschnen

156 5 Transformaor S. 5 aus, der Wdersand der Sekundärwcklung kann gegenüber dem Innenwdersands des Spannungssensors n der egel vernachlässg werden. Auf der Prmärsee ergb sch jedoch aus Prmärwdersand und Indukvä ene unere Grenzfrequenz von Fe ω mn (5. N Herbe s aber de Sägung des Kerns und de dam verbundene Veränderung der Indukvä nch berückschg: Es gl uner Vernachlässgung von b ( u( (5.3 N A Fe De Annahme ener maxmalen Flussdche ˆb max führ be angenommener snusförmger Spannung u cosω( (5.4 ( zu der zusäzlchen Enschränkung an Amplude und Frequenz N AFebˆmax < ω

157 5 Transformaor S Modellerung von Transformaoren m Sreuung Im Folgenden werden weder glechsnnge Wcklungen und Verbraucherzählpfelsyseme auf Prmär- und Sekundärsee angenommen: φ m φ φ u φσ φ σ u φ m Bld 5-4: Sreuflüsse m Transformaor m ufspal Sreuung: de nch vollsändge Verkeung zweer Wcklungen; der Anel des Flusses ener Wcklung, der nch m der anderen verkee s, heß Sreufluss: φ σ, φ σ. Der Anel des Flusses, der bede Wcklungen menander verkee, s der Haupfluss φ m (m: man oder muual. Ene Sreuung s nch grundsäzlch unerwünsch, sondern s be manchen Anwendungen durchaus snnvoll und nuzbrngend. φ φσ φ σ φ N N s s Fe Fe Fe3 Bld 5-5: elukanzmodell m ufspal und Sreuwegen

158 5 Transformaor S. 53 Bld 5-6: Verenfaches elukanzmodell Berechnung des magneschen Kreses: σ φ σ N (5.5 σ φ σ N (5.6 m m N N φ (5.7 ( N N N N m m m m Λ Λ Λ φ σ σ (5.8 ( N N N N m m m m Λ Λ Λ φ σ σ (5.9 Marxschrebwese: N N m m m m σ σ Λ Λ Λ Λ Λ Λ φ φ (5.3 bzw. Λ N φ (5.3 m den Vekoren und Marzen, φ φ φ, N N N, σ σ Λ Λ Λ Λ Λ Λ m m m m Λ (5.3 N θ φ φ N θ φ σ m m Λ,, σ σ Λ φ σ, σ σ Λ φ m

159 5 Transformaor S. 54 wobe Λ m, m Λ σ, σ Λ σ (5.33 σ de magneschen ewere der Haup- und Sreuwege snd. De magnesche ewermarx s symmersch, Übergang auf mehrfach verkeee Flüsse: T Λ Λ (5.34 ψ ψ N φ N φ (5.35 ψ N Λ N (5.36 De Marx N Λ N (5.37 heß Indukväsmarx. De Indukväsmarx s ebenfalls symmersch: m T, bzw. (5.38 m σ m (5.39 m m σ N N (5.4 m N N m m m N N m m m N N m m Λ σ N N Λ σ σ Λ σ N NΛ σ σ (5.4 (5.4 (5.43 (5.44

160 5 Transformaor S. 55 Begrffe: : prmäre Selbsndukvä : sekundäre Selbsndukvä : Haupndukvä oder Gegenndukvä m : prmäre Haupndukvä m m σ : sekundäre Haupndukvä : prmäre Sreundukvä σ : sekundäre Sreundukvä Sreuung oder Sreuzffer m m mm σ (5.45 Transformaon der Größen der Prmärsee m dem Übersezungsverhälns: u u (5.46 α ψ ψ (5.47 α α (5.48 Indukväsmarx für de ransformeren Größen: ψ ψ (5.49 m σ m (5.5 m m σ m N (5.5 m Λm m De Sreuung s gegenüber deser Transformaon nvaran: σ N Λ σ σ α (5.5 σ σ (5.53

161 5 Transformaor S. 56 De Summe der Sröme µ (5.54 heß Magneserungssrom. Inerpreaon n enem elekrschen Ersazschalbld (sog. T-Ersazschalbld: σ σ µ u u m m u N : N dealer Transformaor Bld 5-7: T-Ersazschalbld des Transformaors m Sreuung, Transformaon der Prmärgrößen auf de Sekundärsee

162 5 Transformaor S. 57 Je nach Erforderns können alernav de sekundärsegen Größen auf de Prmärsee ransformer werden: u α (5.55 u ψ α ψ (5.56 m (5.57 α N (5.58 Λm m (5.59 σ N Λσ α σ σ σ µ u m m u u N : N dealer Transformaor Bld 5-8: T-Ersazschalbld des Transformaors m Sreuung, Transformaon der Sekundärgrößen auf de Prmärsee Zusammenfassung der bshergen Enschen: En Transformaor kann dre verschedenen Funkonen denen: Spannungs- bzw. Sromanpassung Poenalrennung Beresellung enes ndukves Verhalen

163 5 Transformaor S Berückschgung der Verluse Berückschgung der Innenwdersände der Wcklungen: σ σ u u m m u N : N dealer Transformaor Bld 5-9: T-Ersazschalbld des Transformaors m Sreuungen und elekrschen Wdersänden N (5.6 N α De Esen- oder Kernverluse sezen sch aus den mmagneserungs- oder Hysereseverlusen und den Wrbelsromverlusen zusammen. Bede Verluserme können m Ersazschalbld näherungswese durch enen ohmschen Wdersand parallel zur Haupndukvä berückschg werden. σ σ u u Fe m u α N : N dealer Transformaor Bld 5-: T-Ersazschalbld m Berückschgung der Kernverluse

164 5 Transformaor S eerlaufverhalen Im eerlauf (Sekundärwcklung offen fleß nur Magneserungssrom. De Sreundukväen und Innenwdersände snd mes klen gegenüber der Haupndukvä, so dass für den eerlauf das verenfache Ersazschalbld benuz werden kann: u Fe m u Bld 5-: eerlauf-ersazschalbld Im eerlauf gl auch für den realen Transformaor m guer Genaugke α (5.6 Wrd en Transformaor an ene snusförmge Nezspannung geschale, enseh je nach Enschalzepunk en Glechanel m Fluss (nur wenn m Spannungsmaxmum oder Mnmum engeschale wrd, resuler ken Fluss-Glechanel. Dadurch wrd das magnesche Maeral sark enseg gesäg. In Folge ensehen hohe Spzen m Magneserungssrom, welcher über den dadurch verursachen Spannungsabfall am Innenwdersand der Prmärwcklung den Flussglechanel langsam abbau. Deser Vorgang heß ush-effek. Insbesondere be großen Transformaoren m klenen Innenwdersänden kann des elche Sekunden oder sogar Mnuen dauern. u n ~ u Fe m u Bld 5-: Zum Enschalproblem bem Transformaor

165 5 Transformaor S Kurzschluss und Verhalen be Belasung Bem Kurzschluss der Prmär- oder der Sekundärwcklung oder be großer Belasung können Magneserungssrom und Kernverluse vernachlässg werden. k k u u Z α Z Bld 5-3: Ersazschalbld für größere Belasung oder Kurzschluss k (5.6 Kurzschlussmpedanz (be Z : Nennmpedanz: k k σ (5.63 k σ Z jω jx (5.64 k k k Z N N (5.65 IN elave Kurzschlussspannung: Z k u k (5.66 Z N Inerpreaon der Kurzschlussspannung: Im Kurzschlussversuch wrd de Spannung der jewels nch kurzgeschlossenen Wcklung so lange erhöh, bs Nennsrom fleß. elave Sreuung und relave essanz X k x k, Z N k r k (5.67 Z N Be Transformaoren großer esung s der Innenwdersand mes rech klen, konkre <<. Dann gl k X k uk x k (5.68

166 5 Transformaor S. 6 Im Ohmsche as ϕ ϕ I I I k jω k I e Kappsches Dreeck Im Indukve as ϕ ϕ π I k jω k I e I I Kapazve as Im ϕ I I ϕ π jω k I e I k Bld 5-4: Zegerdagramme am Transformaor für verschedene asfälle

167 5 Transformaor S Zusammenhang zwschen Geomere und Schenlesung De Zusammenhänge zwschen Schenlesung und geomerscher Bemessung we be der Spule (vgl. Abschn 4.3 gelen ähnlch auch für den Transformaor. Bem Zwe- Wcklungsransformaor müssen sch aber zwe Wcklungen das Wcklungsfenser elen: A A A (5.69 W W W Berückschg man unerschedlche Füllfakoren der beden Wcklungen, erhäl man N I De Durchfluungen snd jedoch glech groß, N I max max W AW AW (5.7 kcujmax kcujmax A N (5.7 Imax NImax sofern man wederum den Magneserungssrom vernachlässg. Analog zum echengang n Abschn 4.3 erhalen wr: S N Jmax b ˆmax ω k Cu A Fe A W (5.7 m k Cu k Cu k Cu (5.73

168 6 Glechsrommoor S Glechsrommoor 6. Wrkprnzp Bld 6-: Wrkprnzp elekromagnescher Indukon E u E b F Permanen- Magne b F elekrsche Erregung Erregung m Permanenmagne Bld 6-: Wrkprnzp aufgrund der orenzkraf Krafwrkung auf den sromdurchflossenen eer (orenzkraf, vekorelle Formulerung: F l b (6. Herbe s l de gerchee änge des eerabschns, der dem Magnefeld ausgesez s. Sehen de vekorellen Größen we n der dargesellen Anordnung senkrech aufenander, können wr schreben. F bl (6.

169 6 Glechsrommoor S. 64 ue E T F F b d Bld 6-3: Drehmomen auf eerschlefe Drehmomen (orque: T d F Fd b d l (6.3 Induzere Spannung n der eerschlefe, enweder aus Indukonsgesez: oder aus der esungsblanz: Der Term u d ψ b ω l b d l ω (6.4 p el p mech (6.5 u Tω bd lω (6.6 u b d l ω (6.7 φ b d l (6.8 läss sch als der magnesche Fluss deuen, der de eerschlefe be senkrecher Ausrchung und be homogener Flussdche durchdrngen würde. Herm: u φ ω (6.9 φ (6. T

170 6 Glechsrommoor S Aufbau Hauppol Erregerwcklung Ankerwcklung Sänderjoch Anker, äufer oder oor Bürse Ankerwcklung ufspal Sänder oder Saor Bld 6-4: Schnskzze enes Glechsrommoors Bld 6-5: Glechsrommoor m zwe Polpaaren, p

171 6 Glechsrommoor S Kommuaor und Ankerwcklungsschemaa Pol Kommuaor A A Bld 6-6: Wcklungsschema des Ankers Schlefenwcklung, her für p, Zahl der parallelen Zwege a p A A Bld 6-7: Wcklungsschema des Ankers Wellenwcklung, her für p, Zahl der parallelen Zwege a

172 6 Glechsrommoor S Mahemasche Modellerung Bezechnungen: T Drehmomen ener eerschlefe T gesames Drehmomen des Ankers (ufspaldrehmomen N A Zahl der Anker-eerschlefen N E Gesamzahl der Erregerwndungen aller Pole a Zahl der parallelen Ankersromzwege p Polpaarzahl α Polbedeckung, Verhälns der akven Polflächen zur Ankeroberfläche φ E Erregerfluss b E Erregerflussdche l akve änge des Ankers d Ankerdurchmesser δ ufspalbree A Polfläche pol esulerendes auf den Anker wrkendes Drehmomen: T N T α N φ α N b d lα (6. A A A E Ankersrom A el sch auf a Zwege auf: (6. a A p d lα φ E be Apol be (6.3 p Dam: T p N A φe A cm φe A (6.4 ap De Konsane π N A cm (6.5 aπ heß Moorkonsane. Se s ene dmensonslose Zahl, de nur vom konsrukven Aufbau abhäng. M der Abkürzung

173 6 Glechsrommoor S. 68 läss sch de Drehmomenglechung sehr knapp als a N A d l be ψ E cm φe (6.6 a T ψ E A (6.7 schreben. De nduzere Spannung (elekromoorsche Kraf, EMK folg weder aus der esungsblanz, u φ ω ψ ω (6.8 c M E oder alernav durch Summaon der nduzeren Spannungen der n ehe geschaleen eerschlefen. Spannungsglechung des Ankerkreses uner Berückschgung des Ankerwdersands Ankerndukvä A und des Bürsenspannungsabfalls u B : A A A A E A B A, der u u u (6.9 M guer Genaugke kann der Bürsenspannungsabfall u B als ene konsane, vom Ankersrom unabhängge Spannung von ewa V angesez werden. Erregersromkres: u (6. E E E Beache: Im Allgemenen snd zwe Wcklungen ses über de Gegenndukvä menander gekoppel. De Flüsse von Erreger- und Ankerwcklung snd aber durch de zuenander senkreche Anordnung nch menander verkee, so dass de Gegenndukvä zwschen desen Wcklungen Null s. Besmmung der Indukvä des Erregerkreses: Herzu wrd der magnesche Wdersand der Esenwege gegenüber dem des ufspals vernachlässg: E E Λ E µ APol µ α π δ l µ α π δ l (6. δ δ π 4 πδ Λ Is N E de Gesam-Wndungszahl aller n ehe geschaleen Erregerspulen, wrk je Polpaar de magnesche Spannung (Durchfluung oder magneomoorsche Kraf, MMF θ N E E E (6. p

174 6 Glechsrommoor S. 69 woraus sch der Erregerfluss (je Pol zu φ E µ α p d ln E ΛEθE E (6.3 4 p d ergb. En Moor wrd so konsruer, dass de Flussdche b E φ µ N E E E (6.4 Apol pδ nch zu sark m gesägen Tel der Magneserungskennlne leg. Typsche Were legen m Berech von bs,4 T. Der Erregerfluss s m allen s also N E Wndungen verkee; der mehrfach verkeee Erregerfluss ψ E E µ α p d ln N EφE N EΛEθE E (6.5 4 p d De Erregerndukvä ergb sch dann zu ψ E µ α π δ l N E (6.6 4 π δ E E Zusammenfassung der wchgsen Glechungen Drehmomen Erregerfluss Ankerspannung Erregerspannung T c φ ψ (6.7 A M E A E E E A E E E A ψ (6.8 cm E ψ E E E E (6.9 N E E u ψ ω u (6.3 E E A E A E A E A B u (6.

175 6 Glechsrommoor S. 7 Ersazschalblder A A A E E E u A u ψ E ω u E Bld 6-8: Ersazschalblder des Anker- und des Erregerkreses Dynamsches Verhalen Das dynamsche Verhalen des Anker- bzw. Erregersroms ensprch dem enes -Gleds. De maßgeblchen Anker- und Erregerzekonsanen snd und A A (6.3 A E E (6.3 E 6.5 Elekrsche und mechansche esung, Wrkungsgrad Elekrsche esung (Verbraucherzählpfelsysem: p p p u u (6.33 el ela ele A A Mechansche esung (Erzeugerzählpfelsysem: Energeblanz: Verluslesung: el E E p mech ωt (6.34 p w w p p (6.35 A E V mech V VA VE EE AA p p p (6.36

176 6 Glechsrommoor S. 7 Innere Energen: A A A w (6.37 E E E w (6.38 Wrkungsgrad des Ankerkreses (Vernachlässgung der Erregerverluse m saonären Zusand für den moorschen Bereb: ( ω ψ ψ ω ω ψ ω ψ ψ ω ω ψ ω ω η T T T T T I I T I T P P E A E A E E E A A E A A A A ela mecη (6.39

177 6 Glechsrommoor S Schalungsaren, Klemmenbezechnungen und Schalzechen Man unerschede verschedene Schalungsaren: Fremderregung: Erreger- und Ankerkres werden aus verschedenen elekrschen Quellen gespes Nebenschluss: Erreger- und Ankerkres snd parallel geschale ehenschluss: Erreger- und Ankerkres snd n ehe geschale Doppelschluss: Mschform von Neben- und ehenschluss Wcklung Ankerwcklung Wendepolwcklung* Kompensaonswcklung* Erregerwcklung für ehenschlussschalung Erregerwcklung für Nebenschlussschalung Erregerwcklung für Fremderregung Klemmen A, A B, B C, C D, D E, E F, F * Auf dese Wcklungen wrd m ahmen deser ehrveransalung nch engegangen. A Anker D D E E F F Erregerwcklungen (alernav A B B C C Wendepolwcklung Kompensaonswcklung Bld 6-9: Schalbld des Glechsrommoors m verschedenen Wcklungen (Erregerwcklungen werden ses senkrech zum Ankersrompfad dargesell

178 6 Glechsrommoor S Fremderreger und permanen erreger Moor Bem fremderregen Bereb werden Erreger- und Ankerwcklung unabhängg vonenander gespes. Typscherwese werden der Erregersrom und dam der Erregerfluss konsan gehalen, cons. φ cons. bzw. ψ cons. (6.4 E E E Des gelng durch Aufschalung ener konsanen Erregerspannung u E allerdngs nur unvollkommen, da sch der Srom aufgrund des emperaurabhänggen Erregerwdersands E verändern kann. Ggf. wrd deshalb ene Erregersromregelung vorgesehen, welche de Erregerspannung derar reguler, so dass ses der gewünsche Erregersrom fleß. Bem permanen erregen Moor wrd der Erregerfluss von enem Permanenmagneen erzeug. Sen Verhalen glech dem des fremderregen Moors m konsanem Erregersrom. A u A E ω,t u E Bld 6-: Fremderreger Glechsrommoor Saonäres Srom-Spannungs-Verhalen be konsaner Drehzahl ψ ω I (6.4 A E Wrd der Anker be sch drehender Maschne kurzgeschlossen, A, fleß der Kurzschlusssrom A A I Ak ψ ω E (6.4 A Wrd dagegen der Moor nch belase, also T und som I A sell sch de eerlaufspannung A ψ E ω (6.43 en.

179 6 Glechsrommoor S. 74 A A A ω cons. I Ak I A Bld 6-: Saonäre Srom-Spannungskennlne für ene konsane Drehfrequenz A ω > A ω I A ω < Bld 6-: Kennlnenschar für konsane Drehfrequenzen

180 6 Glechsrommoor S. 75 A A erzeugend (generaorsch verbrauchend bremsend anrebend (moorsch ω I A I A verbrauchend erzeugend (generaorsch anrebend (moorsch bremsend Bld 6-3: Berebsaren dargesell n der Srom-Spannungs-Ebene Berebsaren: P el > verbrauchend, dssperend P < erzeugend, generaorsch el P me > anrebend, moorsch P < bremsend me Saonäres Drehmomen-Drehzahl-Verhalen be konsaner Spannung Ensezen der Drehmomenbezehung n de Spannungsglechung: A A T ωψ E (6.44 ψ E Auflösen nach ω ergb das saonäre Drehmomen-Drehzahl-Verhalen für konsane Ankerspannung: ω T A A (6.45 ψ E ψ E

181 6 Glechsrommoor S. 76 osbrech-drehmomen und Anker-Anlaufsrom (be ω : A I A (6.46 A A Aψ E T (6.47 Problem: Be klenem Ankerwdersand kann en sehr großer Anlaufsrom resuleren. eerlaufdrehzahl (be T bzw. I A A ω (6.48 ψ E ω ω A cons. A E ψ T T Bld 6-4: Saonäre Drehmomen-Drehzahl-Kennlne be konsaner Ankerspannung I A < ω I A > - A /ψ² A > T A A < Bld 6-5: Saonäre Drehmomen-Drehzahl-Kennlnen be konsanen Ankerspannungen

182 6 Glechsrommoor S. 77 ω ω erzeugend (generaorsch verbrauchend bremsend anrebend (moorsch A T T verbrauchend erzeugend (generaorsch anrebend (moorsch bremsend Bld 6-6: Berebsaren dargesell n der Drehmomen-Drehzahl-Ebene

183 6 Glechsrommoor S Bereb m Vorwdersänden Seh nur ene fese Spesespannung zur Verfügung, soll der Moor aber rozdem drehzahlvarabel bereben werden, zumndes aber das Anfahren aus dem Sllsand auf ene Berebsdrehzahl bewerksellg werden, s de klasssche ösung de Verwendung von Vorwdersänden m Anker- ggf. auch m Erregerkres. Dadurch werden Enschalsröme und de Drehmomene begrenz bzw. de Drehmomen-Drehzahl-Kennlnen ensprechend veränder. Vorwdersände erhöhen aber de Verluse und verschlechern som den Wrkungsgrad. V A E ω,t u E Bld 6-7: Bereb m Vorwdersand I A I max ψ E A V ψ E A V ψ E A A ψ E ω Bld 6-8: Anfahren m Vorwdersänden

184 6 Glechsrommoor S Spesung durch enen Tefsezseller Der Bereb m Vorwdersänden kann vermeden werden, wenn ene varable Spannungsquelle zur Verfügung seh. Herzu kann bespelswese en Tefsezseller denen, der den Ankerkres spes. Der Tefsezseller benög ene Indukvä am Ausgang. In der egel s kene zusäzlche Sellerdrossel nowendg, da de Ankerndukvä dese Funkon übernmm. Durch Veränderung des Tasverhälnsses wrd de (mlere Ankerspannung veränder. Ggf. kann auch der Erregerkres durch enen weeren Seller gespes werden. Durch den Tefsezseller werden m Gegensaz zu Vorwdersänden nur verhälnsmäßg gernge zusäzlche Verluse verursach. A A A u u A u ψ E ω Bld 6-9: Spesung des Ankerkreses durch Tefsezseller

185 6 Glechsrommoor S Nebenschlussmoor Bld 6-: Nebenschlussschalung A A E E A A A A E A A A u ω ω ψ (6.49 E E E E E u (6.5 A E E A E T ψ (6.5 Nebenschluss: u A u E u (6.5 A E (6.53 Saonäres Verhalen: E E I (6.54 I I A E E A E E A E E A ω ω ω / / (6.55 I I I E A E E A A E ω (6.56 / I I T E A E E E A E E ω (6.57 ω,t u E u u A A E

186 6 Glechsrommoor S ehenschlussmoor u A ψ ω ω (6.58 A A E A A A A E E A A u E (6.59 E E E E T ψ (6.6 E A E E A u u E u A ω,t Bld 6-: ehenschlussschalung ehenschluss: u u A u E (6.6 A E (6.6 A E (6.63 A E (6.64 u E ω u ( E ω u (ω (6.65 Drehzahlabhängger effekver Wdersand: ( ω E ω (6.66 T ψ (6.67 E E Das Drehmomen häng quadrasch vom Srom ab und s deshalb mmer posv oder Null (Ene Änderung des Vorzechens s nur durch Wechsel der Verschalung von Erreger- und Ankerwcklung möglch, also m A. E

187 6 Glechsrommoor S. 8 Saonäre Drehmomen-Drehzahl-Charakersk des ehenschlussmoors: ( ω I ( I (6.68 E ω T E E E I (6.69 ( ω ( ω E De Abhänggke des Drehmomens von der Drehzahl s be konsaner Spannung also ene Hyperbel m ener Asympoe be ω (6.7 E Wrd der ehenschlussmoor m konsaner Spannung bereben und dabe mechansch enlase, also T, wächs de Drehzahl über alle Grenzen, ω (s. Bld; der Moor geh durch und kann sch ggf. durch de anwachsenden Flehkräfe selbs zersören. Es s daher gefährlch, enen ehenschlussmoor ohne as zu bereben. Be negaver Drehrchung ω < arbee der ehenschlussmoor bremsend, für ω < (6.7 E darüber hnaus auch generaorsch, da sch dann unerschedlche Vorzechen von Srom und Spannung ergeben. Bld 6-: Drehmomen-Drehzahl-Kennlnen des ehenschlussmoors für verschedene Spannungen be Glechspannungsspesung

188 6 Glechsrommoor S. 83 Da das Drehmomen nur quadrasch vom Srom abhäng, kann en ehenschlussmoor auch m Wechselspannung gespes werden. m des zu unersuchen, wenden wr de komplexe Wechselsromrechnung an. Es muss sorgfälg zwschen der mechanschen Drehfrequenz ω und der elekrschen Frequenz, de her m ω el bezechne werden soll, unerscheden werden: ( ω I jω I (6.7 el I ( ω j ω el (6.73 Das Drehmomen s be WS-Spesung nch konsan, sondern pulser wegen T ( E ( (6.74 m der doppelen elekrschen Frequenz ωel. Das mlere Drehmomen ergb sch we folg aus dem Srom- bzw. Spannungseffekvwer: T E E E I (6.75 ( ω ω el Drehmomen-Drehzahl-Charakersk: ( ( ω T ω (6.76 el E T E (6.77 ω ω ( E el Das mlere Drehmomen s also be glechem Spannungseffekvwer be WS-Spesung ewas klener als be GS-Spesung. Auch zeg sch kene Asympoe be ω / E, sondern nur das Drehmomen-Maxmum.

189 6 Glechsrommoor S. 84 Bld 6-3: Drehmomen-Drehzahl-Kennlnen des ehenschlussmoors für GS-Spesung (oberse Kurve und verschedene Frequenzen be WS-Spesung, der Spannungseffekvwer s für alle Kurven konsan ω > ω ω / E ω < I Bld 6-4: Srom-Spannungs-Kennlnen des ehenschlussmoors für verschedene Drehzahlen

190 7 nearmoor S nearmoor 7. Grundprnzp, enphasger nearmoor x Fe E Fe a p ξ a Bld 7-: Prnzpbld nearmoor Bezechnungen: δ x ξ b E N a A E p p l ufspal Bewegungskoordnae des äufers Saorfese Koordnae Normalkomponene der magneschen Flussdche Erregersrom Zahl der Erregerwndungen Phasensrom ( Ankersrom vgl. Glechsrommoor Polfläche Polelung akve eerlänge Snusförmge Approxmaon des Erregerfeldes: ξ ξ b( ξ, ξ b ˆ cos π (7. ngefähre Abschäzung des Scheelwers der magneschen Flussdche aus dem magneschen Erregerkres, Vernachlässgung der magneschen Wdersände der Esenwege: π ˆ µ N E E b (7. δ

191 7 nearmoor S. 86 Krafwrkung auf enen eer des Saors m Srom, der sch an der Poson ξ befnde: F ξ ξ l b bl ˆ cos π (7.3 π eer a s an den Posonen ξ und ξ p und ensprechend perodsch forgesez, aber nur jewels zwe eer davon befnden sch m Erregerfeld. Gesamkraf auf eer a: F a xp bl a cos (7.4 p ˆ chung der Vorrebskraf häng vom Sromvorzechen und der äuferposon x ab. Erzeugung ener glechgercheen Vorrebskraf enweder durch Sromkommuerung we bem Glechsrommoor oder durch Enspesung enes Wechselsroms: a ˆ cosϕ ( (7.5 a F a ˆ xp bl ˆcos cosϕa ( (7.6 p Wahl des Srom-Phasenwnkels abhängg von der Poson x: x( p ϕa ( (7.7 p ˆ ˆcos ( ˆ F ( bl ϕ F cos ϕ ( (7.8 a a esula: Vorrebskraf nur n ene chung, aber pulserend. Scheelwer und mlere Kraf: a a ˆ bl ˆ ˆ (7.9 bl ˆ ˆ (7. F a F a Induzere Spannung der eerschlefe a kann aus der esungsblanz gewonnen werden: p F x u (7. me a a a ˆ xp b l a cos x uaa (7. p u a xp bl ˆ bl ˆ cos ˆ ˆ p p p p p x bl cosϕ a ϕ a ω cosϕ a ψ ω cosϕ a (7.3 ua ψˆ ω cosϕ (7.4 a

192 7 nearmoor S. 87 m bl ψˆ (7.5 π π ˆ a u a u a ψˆ ω cosϕ ( a Bld 7-: Elekrsches Ersazschalbld des enphasgen nearmoors 7. Zwephasger nearmoor Idee zur Vermedung der Krafpulsaon: Zwees, phasenverschobenes Wcklungssysem: x Fe E Fe a ξ b p a b a Bld 7-3: Zwephasger nearmoor Krafwrkung auf eer b, Posonen ξ / und ξ / : p 3 p ˆ xπ π F cos b l bb (7.6 π b ˆ cosϕ ( (7.7 b

193 7 nearmoor S. 88 F b ˆ xp p l bˆcos cosϕb( p (7.8 Wahl: Gesamkraf: x( π π π ϕb ( ϕa ( (7.9 π ˆ ˆ π ( ˆcos ( ˆcos ( ˆ Fb l b ϕ b l b ϕa l bˆsn ϕa( (7. ( cos ( sn ( l b ˆ ˆ cons. F( F ( F ( l b ˆ ˆ ϕ ϕ (7. a b a a Gesamkraf s nun konsan, erforder aber zwe Wcklungen (4 Anschlüsse, de phasenversez gespes werden müssen. a u a u a ψˆ ω cosϕ ( a b u b u b ψˆ ω cosϕ ( b Bld 7-4: Elekrsches Ersazschalbld des zwephasgen nearmoors

194 7 nearmoor S. 89 î a ( b ( Fˆ F a ( F b ( Bld 7-5: Zelcher Verlauf der beden Phasensröme und der Kräfe

195 7 nearmoor S Drehsrom-nearmoor Bld 7-6: Drephasger nearmoor p a a x bl F p cos ˆ (7. 3 cos ˆ π π π b b x b l F (7.3 3 cos ˆ π π π c c x b l F (7.4 ( ˆcos ( a a ϕ (7.5 ( ˆcos ( b b ϕ (7.6 ( ˆcos ( c c ϕ (7.7 m p a x p ϕ ( ( (7.8 3 ( 3 ( ( π ϕ π π ϕ x a π b (7.9 3 ( 3 ( ( π ϕ π π ϕ x a π c (7.3 Fe Fe a E x ξ b a p c b a c

196 7 nearmoor S. 9 (7.3 ( ˆcos ˆ ( b l F a a ϕ (7.3 3 ( ˆcos ˆ ( ˆcos ˆ ( π ϕ ϕ b l b l F a b b ( ( ˆcos ˆ ( ˆcos ˆ ( π ϕ ϕ b l b l F a c c (7.34 Gesamkraf: 3 ( cos 3 ( cos ( cos ˆ ˆ ( ( ( ( π ϕ π ϕ ϕ b l F F F F a a a c b a (7.35 b l F ˆ ˆ 3 ( (7.36 Ebenfalls kene Drehmomenpulsaon! Summe der Sröme: 3 ( cos 3 ( cos ( cos ˆ ( ( ( ( π ϕ π ϕ ϕ a a a c b a (7.37 De Summe s Null (des s bem zwephasgen Moor nch der Fall!. msezung deser Erkennns n echnscher ealserung: Es werden nch 3 Klemmen für de Sromzufuhr benög, sondern nur 3, da der gemensame ücksrom Null s und deshalb kenen eer benög (Sernschalung: Bld 7-7: Elekrsches Ersazschalbld des Drehsrom-nearmoors u a a u a u b b u b u c c u c

197 7 nearmoor S. 9 î a ( b ( c ( Fˆ F a ( F b ( F c ( Bld 7-8: Zelcher Verlauf dre Phasensröme und der Kräfe Bld 7-9: Saor des Transrapd