Einleitung. Hinweise zur Organisation. Voraussetzungen und Vorbereitung

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1 Einleitung Hinweise zur Organisation Die praktischen Übungen finden im Allgemeinen Verfügungszentrum I (AVZ) der Universität Bonn, Bonn, Endenicher Allee 11-13, Erdgeschoss - rechter Flügel - statt. Je 10 Praktikanten gehören zu einer Gruppe. Für jede Gruppe ist der betreffende Versuch 5 mal aufgebaut, so dass jeweils zwei Praktikanten den Versuch gemeinsam durchführen. Jeder Praktikant protokolliert seine Messergebnisse und Auswertungen jedoch in ein eigenes Protokoll. Die Zuordnung Gruppe Versuch Tag ergibt sich aus der beigefügten Versuchsmatrix. In den oberen Zeilen sind die Gruppenbuchstaben, in den Spalten darunter die Nummern der Versuche angegeben, die an den jeweils links stehenden Tagen durchgeführt werden. Weitere Informationen sowie wichtige Ankündigungen erfahren Sie während des Semesters auf der Internetseite des Praktikums unter Voraussetzungen und Vorbereitung Unabdingbare Voraussetzung für eine erfolgreiche Vorbereitung und Durchführung der Versuche ist, dass der Praktikant über physikalische Grundkenntnisse in dem Umfange, wie sie in der Vorlesung Physik für Mediziner und Pharmazeuten im 1. Fach-Semester angeboten werden, verfügt. Dazu gehören notwendigerweise mathematische Kenntnisse zur Handhabung, Interpretation und Auswertung physikalischer Sachverhalte und Messergebnisse. Damit verbunden müssen Kenntnisse über die in der Physik gebräuchlichen Einheiten sein, insbesondere über die internationalen SI-Einheiten, die zum größten Teil seit gesetzlich vorgeschrieben sind. Vor Beginn des Praktikums sollten Sie daher die Anhänge A und B studiert haben. Unabhängig von diesen allgemeinen Voraussetzungen muss jeder Versuch einzeln vorbereitet werden. Die in diesem Heft befindlichen Kurzbeschreibungen der Versuche geben Ihnen einen Anhaltspunkt für die Themenauswahl zur Vorbereitung. Selbstverständlich müssen alle physikalischen Begriffe, auf die man bei der Vorbereitung stößt, verstanden sein (z.b. der Begriff Drehmoment bei der Vorbereitung auf das Thema Waage (Versuch 1)) und erklärt werden können. 2

2 Einleitung Zur Vorbereitung eignen sich die meisten Oberstufenbücher des Schulfaches Physik. Die verfügbaren Lehrbücher, die sich explizit an Nebenfächler richten (auch dann wenn der eigene Studiengang nicht explizit im Titel aufgeführt ist), unterscheiden sich zum Teil deutlich im Umfang, Tiefgang, Anschaulichkeit und Anspruch. Das beste Lehrbuch ist meist jenes, mit welchem Sie am besten arbeiten können. Wir empfehlen ihnen daher, z.b. in der Universitätsbibliothek und anhand eines ausgewählten Themas, einen vergleichenden Blick in mehrere Bücher zu werfen. Aus der großen Fülle der in den letzten Jahren erschienenen Physikbücher für Mediziner, Biologen, Pharmazeuten usw. finden wir insbesondere folgende empfehlenswert (nicht-wertende Sortierung nach Nachnamen des Autors, ohne Anspruch auf Vollständigkeit): Harms: Physik: ein kurz gefasstes Lehrbuch für Mediziner und Pharmazeuten HARMS Verlag, 18. Auflage 2010 Harms: Übungsbuch Physik: für Mediziner und Pharmazeuten HARMS Verlag, 9. Auflage 2010 (Aufgabensammlung) Harten: Physik für Mediziner Springer-Verlag, 14. Auflage, Oktober 2014 Kamke, Walcher: Physik für Mediziner B.G. Teubner Stuttgart Seibt: Physik für Mediziner Thieme, 6. Auflage 2009 Trautwein, Kreibig, Hüttermann: Physik für Mediziner, Biologen, Pharmazeuten de Gruyter, 8. Auflage 2014 Auch sehr gut geeignet, wenn auch nicht explizit an Nebenfächler gerichtet, sind u.a.: Meschede (Hrsg.) Gerthsen Physik Springer-Verlag, 24. Auflage 2010 Tipler, Mosca: Physik: für Wissenschaftler und Ingenieure Springer / Spektrum Akademischer Verlag, 6. Auflage

3 Einleitung Hinweise zur Versuchsdurchführung Zum Praktikum sind außer dem Testatzettel mitzubringen: für jeden Versuchstag zwei Klausurbögen DIN A4 kariert ohne Rand, mm-papier (DIN A4), Kugelschreiber oder Füller, Bleistift, durchsichtiges Lineal von 30 cm Länge, Taschenrechner; Logarithmenpapier wird gestellt. Zu Beginn eines jeden Versuchs überzeugt sich der Assistent, dass die physikalischen Grundkenntnisse vorhanden sind. Hinweise zur Protokollführung finden sich auf der nächsten Seite. Das Protokoll muss während des Praktikums fertiggestellt werden und ist am Ende des Versuchs dem Assistenten vorzulegen. Bei einigen Versuchen finden sich Aufgaben, die schon vor Beginn des Versuches zu lösen sind. Diese sind durch große Buchstaben gekennzeichnet (z.b. Aufgabe 1.A). Die sorgfältige Bearbeitung dieser Aufgaben dient der Vorbereitung und ist eine der Voraussetzungen zum Verständnis des Versuchsablaufs. Die Lösungen dieser Aufgaben sollen nicht im Protokoll erscheinen, sondern dienen lediglich der Vorbereitung auf den Versuchstag. Aufgaben, die im Verlauf der Versuchsdurchführung zu lösen sind, werden durch kleine Buchstaben gekennzeichnet (z.b. Aufgabe 1.a) und sind schriftlich im Protokoll zu beantworten. Alle protokollierten Messergebnisse müssen aus den an diesen Versuchstagen stattgefundenen Messungen oder den Angaben des Assistenten stammen. Auf Fremdprotokolle darf nicht zurückgegriffen werden. Alle Beschädigungen an Versuchsgeräten sind sofort dem zuständigen Assistenten zu melden. Die Praktikanten sollen nicht versuchen, Apparate selbst zu reparieren. Bei elektrischen Versuchen dürfen die Leitungsdrähte erst an die Spannungsquellen angeschlossen werden, nachdem die Schaltung vom Assistenten geprüft wurde. Auch kurzdauerndes Einschalten bei falscher Anordnung führt leicht zur Zerstörung von Geräten. Für die Beschädigung von Geräten, die durch Nichtbeachten dieser Vorschrift entsteht, können die Praktikanten voll haftbar gemacht werden. Nach Beendigung des Versuchs sind die Arbeitsplätze aufzuräumen. Eine ausführliche schriftliche Darstellung der theoretischen Grundlagen des Versuchs gehört nicht ins Protokollheft. Insbesondere ist ein Reproduzieren der gesamten Versuchsanleitung nicht notwendig. Unabhängig von der genauen Ausführung des Protokolls müssen die allgemeinen Prinzipien guter wissenschaftlicher Praxis eingehalten werden. Es ist darauf zu achten, dass das Protokoll wahrheitsgemäß, vollständig, unverändert und nachvollziehbar ist. 4

4 Einleitung Protokollführung Das während des Versuchstages anzufertigende Protokoll soll folgende Angaben enthalten: 1. Datum, Versuchsnummer und -name Für jeden Versuchsteil: 2. Titel der Messung 3. Prinzip der Messung in einem Satz 4. Versuchsskizze 5. Angabe der Messbeziehung (d.h. der Ausgangsformel(n), die bekannte und zu messende Größen enthalten). Alle verwendeten physikalischen Größen müssen benannt werden! 6. Angabe derjenigen Größen, die bereits in irgendeiner Form vorgegeben sind, eventuell umgerechnet in die entsprechenden SI-Einheiten 7. Angabe der zu messenden Größe(n) mit entsprechenden Einheiten Punkte 1-7 sollten zu Hause ins Protokoll eingetragen werden. Dabei sollten maximal 2 der 8 Seiten (von 2 Klausurbögen) belegt werden. In der Regel reicht eine Seite. Für jeden Versuchsteil: 8. Tabellen, in denen die Messwerte festgehalten werden; hierbei ist auf Übersichtlichkeit zu achten. Um die Lesbarkeit des Protokolls zu erhöhen empfiehlt es sich eine Tabelle ausschließlich mit Messdaten anzufertigen und die nach der Messung durchgeführte Auswertung in einer getrennten Tabelle zu behandeln. Zu jedem Messwert gehört ein entsprechender Messfehler. 9. Graphische Darstellung der Messdaten inklusive Fehlerbalken, wenn dies zur Versuchsdurchführung erforderlich ist. Achten Sie darauf, dass die Achsenskalierung den Wertebereiche der Messdaten nicht wesentlich überschreitet. Diese Abbildungen werden in das Protokoll eingelegt. 10. Auswertung; schrittweise und nachvollziehbare Berechnung des Endergebnisses; möglichst alle Zwischenrechnungen ins Protokoll! 11. Fehlerbetrachtung und -berechnung je nach Versuch, siehe Anhang B. 12. Ergebnis mit Fehlerangabe; Plausibilitätsbetrachtung (Vergleich mit Literaturwerten oder den Ergebnissen der anderen Gruppen, je nach Versuch). 5

5 Einleitung Lageplan der Versuche im AVZ I Nußallee 3 / 9 4 / / 11 5 / 10 1 / 7 Treppenhaus Endenicher Allee Halle Eingang Die Versuche Die Versuche gliedern sich in zwei Gruppen, die nacheinander im Semester durchgeführt werden. Eine besondere Rolle nehmen dabei die Versuche 10 und 11 ein; Versuch 11 (Polarisation) wird lediglich von den Pharmazeuten durchgeführt, der Versuch 10 (Ultraschall) von den übrigen Studenten. Versuch 0 findet immer in dem Raum statt, in dem der erste reguläre Versuch durchgeführt wird. 6

6 0 Einführungsversuch Grundkenntnisse Physikalische Größen und Einheiten, Messfehler und Fehlerrechnung; Masse (schwere Masse, träge Masse); Geschwindigkeit, Beschleunigung, Weg- Zeit-Diagramme, Geschwindigkeits-Zeit-Diagramme, Beschleunigungs-Zeit- Diagramme; Newtonsche Axiome; Gewichtskraft, Erdbeschleunigung; gleichmäßig beschleunigte Bewegungen, freier Fall 0.1 Bestimmung der Reaktionszeit Dieser Versuch soll Sie zur Einführung in das physikalische Praktikum mit der Dokumentation und Auswertung Ihrer Messergebnisse, dem Aufbau eines Protokolls und der Anwendung der Fehlerabschätzung und Fehlerfortpflanzung bekannt machen. Ihr Versuchsassistent wird Sie dabei schrittweise durch den Versuch und die Anfertigung des Protokolls führen. Alle diese Erkenntnisse werden in den übrigen Versuchen vorausgesetzt und nicht mehr getrennt angesprochen. Voraufgabe 0.A: Welche Abhängigkeit ergibt sich für die Wegstrecke s in Abhängigkeit von der Zeit t für eine konstante Beschleunigung a? Wie bestimmt man bei Kenntnis der Beschleunigung a und Strecke s die Zeit t, die vergangen ist? Voraufgabe 0.B: Ein Auto beschleunigt ( a ist konstant) von 0 km/h auf 50 km/h innerhalb von 5 Sekunden. Nach ca. 280 m Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit muss der Fahrer an einer Ampel anhalten. Dazu wird mit einer Bremsbeschleunigung von - 4,5 m/s 2 abgebremst. Wie verändern sich die Größen Beschleunigung, Geschwindigkeit und die zurückgelegte Wegstrecke vom Anfahren des Autos bis zum vollständigen Stillstand? Tragen Sie dazu jeweils in ein eigenes Diagramm auf: 1. die Beschleunigung a des Autos gegen die Zeit t 2. die Geschwindigkeit v des Autos gegen die Zeit t 3. die zurückgelegte Wegstrecke s des Autos gegen die Zeit t Aufgabe 0.a: Dieses Experiment führen Sie gemeinsam mit Ihrem Praktikumspartner durch. Einer von Ihnen (der Einfachheit halber Person A genannt) hält ein 30 cm langes Lineal an der 30 cm Markierung zwischen Daumen und Zeigefinger fest. Der andere (Person B genannt) hält seinen Daumen 7

7 0 Einführungsversuch und Zeigefinger auf der Höhe der 0-cm-Markierung in geringer Entfernung von Lineal. Zu einem unbestimmten Zeitpunkt lässt Person A das Lineal los und Person B versucht es durch Zusammenführen von Daumen und Zeigefinger zu fangen. Dieser Vorgang sollte möglichst ohne Vorwarnung ablaufen. Am Lineal kann nun die Fallstrecke s und daraus die Reaktionszeit bestimmt werden. Dieser Versuch wird zunächst fünfmal durchgeführt. Danach werden fünf weitere Messungen mit vertauschten Rollen durchgeführt. Aus den Messungen wird dann die Reaktionszeit von Person A und Person B bestimmt. 8

8 A Größen, Dimensionen und Einheiten in der Physik Unter physikalischen Größen versteht man messbare Eigenschaften physikalischer Objekte, Vorgänge und Zustände (z.b. Länge, Beschleunigung, Temperatur). Eine physikalische Größe wird durch die Grundgleichung quantitativ erfasst. physikalische Größe = Zahlenwert Einheit Das Produkt aus Zahlenwert Einheit nennt man auch Größenwert (nicht Größe) einer physikalischen Größe, wenn die quantitative Aussage betont werden soll. Der physikalische Zusammenhang verschiedener Größen wird durch Größengleichungen beschrieben, z.b. Geschwindigkeit = Weg Zeit, v = s t. Die Größengleichungen gelten unabhängig von der Wahl der Einheiten. Als Grundoder Basisgrößen bezeichnet man voneinander unabhängige physikalische Größen; sie lassen sich nicht über Größengleichungen durch andere Basisgrößen ausdrücken (z.b. sind Länge und Zeit Basisgrößen, aber nicht die Geschwindigkeit). Die Wahl und die Zahl der Basisgrößen in einem Größensystem ist in gewisser Weise willkürlich. Im neuen Internationalen Einheitensystem (SI) hat man die sieben Basisgrößen Länge, Masse, Zeit, elektrische Stromstärke, thermodynamische Temperatur, Stoffmenge und Lichtstärke gewählt. Name und Kennzeichen der zugehörigen SI-Einheiten sowie eine Übersicht über abgeleitete SI- Einheiten, atomphysikalische Einheiten etc. sind in den folgenden Abschnitten wiedergegeben. Unter der Dimension (Abkürzung für Dimensionsprodukt) einer physikalischen Größe versteht man das durch eine Größengleichung definierte Produkt aus Potenzen von Basisgrößen. (Ursprünglich wurde das Wort Dimension im geometrischen Sinn gebraucht, z.b. der Raum ist dreidimensional ). Z.B. ist die Dimension der Leistung Energie Zeit = Kraft Weg Zeit oder kurz: dim (Leistung) = M L 2 T 3. = Masse Weg2 Zeit 3 Der Begriff Dimension darf nicht mit dem Begriff Einheit verwechselt werden. Dementsprechend sollte man auch von Einheitenprobe und nicht Dimensionsprobe bei der Prüfung von Einheitengleichungen sprechen. 57

9 A Größen, Dimensionen und Einheiten in der Physik A.1 SI-Einheiten SI-Einheiten sind 1. die zu den Basisgrößen des Internationalen Einheitensystems (SI) festgesetzten Basiseinheiten des SI: Basisgröße Basiseinheit Einheitenzeichen Länge Meter m Masse Kilogramm kg Zeit Sekunde s el. Stromstärke Ampere A thermodynamische Temperatur Kelvin K Stoffmenge Mol mol Lichtstärke Candela cd 2. die aus ihnen als Potenzen oder als Potenzprodukte mit dem Zahlenfaktor 1 gebildeten ( kohärent ) abgeleiteten SI-Einheiten (z.b. m 2 oder kg/m 3 ). Alle aus den Basiseinheiten mit einem von 1 verschiedenen Faktor abgeleiteten Einheiten sind (nach DIN 1301) keine SI-Einheiten, d.h. auch die mit Vorsätzen für dezimale Vielfache und Teile gebildeten Einheiten sind keine SI-Einheiten! Beispiele für abgeleitete SI-Einheiten: 1. ohne besonderen Namen Größe Einheit Fläche 1 m 2 = 1 m 1 m Geschwindigkeit 1 m s 1 = 1 m 1 s 1 Dichte 1 kg m 3 = 1 kg 1 m 3 usw. 2. mit besonderen Namen und Einheitenzeichen Größe Einheit el. Ladung Coulomb 1 C = 1 As Kapazität Farad 1 F = 1 As/V Selbstinduktionskoeffizient Henry 1 H = 1 Vs/A Frequenz Hertz 1 Hz = 1/s = 1 s 1 Kraft Newton 1 N = 1 kg m s 2 Arbeit bzw. Energie Joule 1 J = 1 N m = 1 W s Leistung Watt 1 W = 1 J/s Druck Pascal 1 Pa = 1 N/m 2 el. Spannung Volt 1 V = 1 W/A el. Widerstand Ohm 1 Ω = 1 V/A el. Leitwert Siemens 1 S = 1/Ω magn. Fluss Weber 1 Wb = 1 V s magn. Flussdichte Tesla 1 T = 1 Wb/m 2 58

10 A.1 SI-Einheiten Dezimale Vielfache und dezimale Teile von Einheiten können durch Vorsätze vor den Namen der Einheit sowie durch Vorsatzzeichen vor Einheitenzeichen bezeichnet werden: Vielfaches/Teil Vorsatz Vors.Zeichen Beispiel das fache Tera T das fache Giga G GW (Gigawatt) das fache Mega M MN (Meganewton) das fache Kilo k km das fache Hekto h hpa (Hektopascal) das fache Deka da das fache dezi d dm das fache centi c cm das fache milli m mg das fache mikro µ µm das fache nano n nm das fache piko p pf (Pikofarad) das fache femto f fm das fache atto a Vorgesehen sind ferner: Peta (P) = fach und Exa (E) = fach. Der Vorsatz ist ohne Zwischenraum vor den Namen der Einheit, das Vorsatzzeichen ohne Zwischenraum vor das Einheitenzeichen zu setzen. Potenzen bei derart zusammengesetzten Kurzzeichen müssen sich immer auf das ganze Kurzzeichen beziehen (cm 2 = (cm) 2 usw.). Dezimale Vorsätze sind nicht erlaubt bei den Zeiteinheiten Minute, Stunde, Tag und bei den Winkeleinheiten Grad, Minute, Sekunde sowie bei den Einheiten für Flächen und Volumina 1 (z.b.: Milli -Quadratmeter; mm 2 bedeutet ausschließlich Quadrat-Millimeter u.ä.). Atomphysikalische Einheiten sind unabhängig von den SI-Basiseinheiten definierte Einheiten für Größe Einheit Einheitenzeichen Masse im atomaren Bereich atomare Masseneinheit u Energie Elektronenvolt ev 1 gilt nicht für Liter 59

11 A Größen, Dimensionen und Einheiten in der Physik A.2 Umrechnungstabellen Druckeinheiten bei Gasen, Dämpfen und Flüssigkeiten (mit 1 Pa = 1 N/m 2 (1/9,81) kp/m 2 = 0,102 kp/m 2 ) bar Pa Torr kp/m 2 1 bar Pa ,0075 0,102 1 Torr 0, ,6 1 kp/m 2 9, ,81 0, Einheiten von Energie, Arbeit, Wärmemenge (mit 1 cal = 4,2 J = 4,2 Nm = 4,2 Ws) J kj kwh kcal 1 J 1 0,001 2, , kJ , ,239 1kWh kcal ,2 0, Einheiten für Leistung, Energiestrom, Wärmestrom (mit 1 W = 1 Nm/s = 1 J/s und 1 kcal/s = 4190 W) W kw kcal/h PS 1 W 1 0,001 0,860 0, kw ,36 1 kcal/h 1,16 0, , PS 736 0, Einheiten von Temperatur Umrechnung von Grad Celsius in Kelvin: T [K] = T [ C] + 273,15 Umrechnung von Kelvin in Grad Celsius: T [ C] = T [K] 273,15 Daraus folgt: Temperaturdifferenzen haben in Grad Celsius und Kelvin den gleichen Zahlenwert. Zum Beispiel: Die Temperatur steigt von 0 C auf 30 C. Die Temperaturdifferenz in Kelvin ist dann: (273, ) K (273,15 + 0) K = 273,15 K + 30 K 273,15 K 0 K = 30 K. Gleiches gilt für Messunsicherheiten. Ist eine Temperatur T nur auf T = ± 1 C genau bestimmbar, so ist sie natürlich auch nur auf T = 1 K genau bestimmbar. 60

12 B Messunsicherheiten und Fehlerrechnung B.1 Messunsicherheiten Physikalische Messgrößen und Messergebnisse unterscheiden sich von mathematischen Zahlen (oder exemplarischen Berechnungen) dadurch, dass sie u.a. wegen apparativer Unvollkommenheiten oder der statistischen Natur der Messgröße prinzipiell nicht beliebig genau bestimmt und angegeben werden können. Wie weit der Messwert x maximal vom tatsächlichen Wert abweichen sollte, wird durch die absolute Messunsicherheit x (umgangssprl.: absoluter Fehler) angegeben. Wie fehlerbehaftet eine Messgröße ist, hängt dabei stark von der Vorgehensweise und von den verwendeten Apparaturen bei der Messung ab.ist Die Angabe der relativen Messunsicherheit x ist zwar erlaubt, im Praktikum aber selten sinnvoll. x x kennzeichnet ein Intervall von x x bis x + x, in dem die tatsächliche Größe liegen sollte. Dieses wird allerdings nie explizit angegeben, sondern immer nur in der Kurzschreibweise x ± x. Die Messunsicherheiten x, y, z... der gemessenen Größen x, y, z... werden prinzipiell abgeschätzt. Dies geschieht nicht willkürlich oder durch Raten sondern orientiert sich an folgenden Überlegungen: 1. Welche Herstellerangaben sind bzgl. der Genauigkeit der verwendeten Geräte bekannt? 2. Bis zu welcher Dezimalstelle können Werte vom Gerät mit ausreichender Genauigkeit abgelesen werden? 3. Bleiben die Werte während der Messung konstant oder zeigen sie eine gewisse Schwankung? Eine Ausnahme bilden hier lediglich rein statistische Prozesse: In rein statistischen Prozessen wie z.b. dem radioaktiven Zerfall ist die Messunsicherheit N der Anzahl der gemessenen Ereignisse N schon mit N = N gegeben. Eine unter Verwendung einer fehlerbehafteten Größe durchgeführte Rechnung kann nun ihrerseits wieder nicht zu einem beliebig exakten Ergebnis führen. Die Unsicherheiten der verwendeten Größen übertragen sich vielmehr in eine Unsicherheit des Ergebnisses. Inwiefern dies geschieht beschreibt dabei die sogenannte Fehlerrechnung (Fehlerfortpflanzung). 61

13 B Messunsicherheiten und Fehlerrechnung B.2 Signifikante Stellen Hinweise auf die Messgenauigkeit drückt man schon in der Schreibweise der Messgrößen oder aus den Messgrößen berechneter Ergebnisse aus, indem man alle zuverlässig bekannten Dezimalstellen mitführt; nur die letzte Stelle darf unsicher sein. Die zuverlässig bekannten Dezimalstellen nennt man signifikante Stellen. So weist z.b. die Längenangabe x = 25,5 mm bereits darauf hin, dass die Messgenauigkeit in der Größenordnung der letzten angegebenen Stelle, also von 0,1 mm liegt (z.b. 0,2 mm). Eine Angabe weiterer Stellen, z.b. durch x = 25,55 mm, wäre nicht zulässig, da hier eine Messgenauigkeit impliziert wird, die nicht gegeben ist. Bei der Angabe von Messergebnissen oder Messwerten ist eine Angabe führender Nullen generell nicht erlaubt. Statt z.b. 0,001 m muss der Wert in wissenschaftlicher Notation mit entsprechendem Zehnerpotenz-Faktor ( m) oder dem entsprechenden SI-Präfix (1 mm) angegeben werden (siehe Anhang A.1). Die Messunsicherheiten oder Fehlergrenzen hingegen dürfen führende Nullen besitzen. Die Angabe abschliessender Nullen, z.b m statt 20 km, ist ebenso nicht zulässig. Mathematisch wäre es zwar völlig richtig, als Messgröße aber nicht, da mit dieser Angabe wieder eine Aussage bezüglich der Genauigkeit getroffen wird, die nicht gegeben ist. Völlig korrekt wäre auch hier die Angabe 20, m. Diese Regeln werden im Praktikum nur auf Messwerte und Messergebnisse angewendet. Für Zwischenrechnungen und Nebenrechnungen ist es meist sinnvoller hiervon abzuweichen. B.3 Herkunft der Messunsicherheiten Die Messunsicherheiten ( Fehler ) setzen sich zusammen aus systematischen und zufälligen Fehlerquellen. Systematische Fehler Systematische Fehler rühren von der Unvollkommenheit der Apparatur oder auch von der nur annähernden Gültigkeit der benutzten Beziehung her. Wenn Sie erkannt werden kann man sie zwar im Prinzip beseitigen, aber gewöhnlich nicht mit den gerade zur Verfügung stehenden Mitteln. Systematische Fehler sind in Vorzeichen und Betrag reproduzierbar und auch durch Wiederholung der Messung mit der gleichen Apparatur nicht aufzudecken, eher schon durch Vergleich der mit verschiedenen Apparaturen gewonnenen Ergebnisse. 62

14 B.4 Bestimmung der Messunsicherheit eines Messergebnis Statistische (zufällige) Fehler Statistische (zufällige) Fehler können von Umwelteinflüssen (Erschütterungen, Temperatur- oder Netzspannungsschwankungen) und von subjektiven Beobachtungsungenauigkeiten herrühren. Sie sind in solchen Fällen im Grunde durch das Messverfahren bedingt. Unter die Kategorie der zufälligen Fehler fallen auch Abweichungen, die durch die statistische Natur mancher physikalischer Messgrößen bedingt sind, z.b. die Aktivität (zerfallende Kerne pro Zeiteinheit) eines radioaktiven Präparates. Statistische Fehler sind nicht reproduzierbar, sondern stochastisch, und können daher positive und negative Abweichungen verursachen. Bei wiederholter Messung zeigt sich die Streuung um einen Mittelwert, wobei große Abweichungen seltener sind als kleine Abweichungen. Wiederholt man eine Messung mit der gleichen Apparatur immer wieder, so kann man den statistischen Fehler (im Gegensatz zum systematischen) verringern. Grobe Fehler Von den oben genannten Messunsicherheiten deutlich zu unterscheiden sind die sogenannten groben Fehler. Grobe Fehler entstehen aus Missverständnissen oder Fehlüberlegungen bei der Bedienung der Messapparatur, aus falscher Protokollierung von Messdaten oder auch aus Fehlern in der Auswertung und dürfen nicht als Messunsicherheiten betrachtet werden. In diesen Fällen sind die Messungen und / oder Auswertungen falsch und müssen wiederholt werden. Das Vorhandensein grober Fehler erkennt man durch kritisches Überprüfen und Kontrollieren der Ergebnisse. Vermeiden kann man sie durch sorgfältiges Vorgehen beim Experimentieren und bei der Auswertung. B.4 Bestimmung der Messunsicherheit eines Messergebnis B.4.1 Vorgehensweise Die Messunsicherheit eines jeden Messwertes beinhaltet Abweichungen aufgrund von systematischen und von statistischen Fehlern. Der Einfluss aller möglichen Fehlerquellen auf die Messwerte muss diskutiert und bei statistischen Fehlerquellen die Größe der resultierenden Abweichungen abgeschätzt werden. Fast immer wird aus den eigentlichen Messgrößen die gesuchte Größe mittels einer physikalischen Gesetzmäßigkeit berechnet. Wenn z.b. ein ohmscher Widerstand R über die Messung der Spannung U und Stromstärke I bestimmt werden soll, so haben sowohl U als auch I systematische und statistische Messunsicherheiten, die sich auf die Berechnung von R = U/I übertragen (Fehlerfortpflanzung). 63

15 B Messunsicherheiten und Fehlerrechnung B.4.2 Maximalwertabschätzung Die im Praktikum mindestens durchgeführte Fehlerfortpflanzung geht von der ungünstigsten Annahme aus, dass alle auftretenden Messunsicherheiten das Messergebnis mit ihrem vollen Betrag verfälschen und sich nicht gegenseitig kompensieren können ( Maximalwertabschätzung ). Diese Annahme ist in der Regel falsch und resultiert prinzipiell in zu großen Fehlerabschätzungen. Die allgemeine Regel, aus denen diese elementaren Regeln abgeleitet werden können, lautet für eine Größe z, die funktional von x und y abhängt (z(x,y)): ( ) z ( ) z(x,y) = x x + z y y (B.1) y Hierbei ist ( ) z die Ableitung der Funktion z(x,y) nach der Variablen x alleine, x y wenn y konstant bleibt (partielle Ableitung). Angewendet aus einfache Beispiele ergibt sich dann: 1. Ist so folgt z = x + y oder z = x y, x z = x + y (B.2) 2. Ist so folgt z = x y oder z = x y, z z = x x + y y (B.3) Die Gleichungen B.2 und B.3 gelten auch für Summen (Differenzen) respektive Produkte (Quotienten) aus mehr als zwei Messgrößen sinngemäß. Die Fehlerfortpflanzung ist dann schrittweise zu verfolgen. B.4.3 Abschätzung bei teilweiser Kompensation der Messunsicherheiten Die eben beschriebene Maximalwertabschätzung geht vom ungünstigsten Fall aus, dass alle auftretenden Einzelunsicherheiten die Unsicherheit der Größe z maximal beeinflussen. Beim Zusammenwirken mehrerer Einzelunsicherheiten können diese sich jedoch auch teilweise kompensieren. So kann rein zufällig ein zu groß gemessener Durchmesser d durch eine zu klein gemessene Höhe h im Messergebnis kompensiert werden. 64

16 B.4 Bestimmung der Messunsicherheit eines Messergebnis Dies beschreibt die Gaußsche Fehlerfortpflanzung, welche die meistens im Praktikum verwendete Methode ist. Die zugrundeliegende allgemeine Regel lautet hierbei: ( ) z = [ z x y x] 2 + [( ) 2 z y] (B.4) y x Für einfache Zusammenhänge ergeben sich ähnlich elementare Regeln wie bereits bei der Maximalwertabschätzung: 1. Ist so folgt z = x + y oder z = x y, z = ( x) 2 + ( y) 2 2. Ist z = x y oder z = x y, so folgt ( x ) z 2 ( y z = + x y ) 2 B.4.4 Messunsicherheiten bei Messreihen (statistische Behandlung der Daten) Wurde eine Messung mehrmals (n-mal) durchgeführt, so streuen die n Einzelergebnisse x i (i = 1,2,...,n) um den Mittelwert x = 1 n n x i. i=1 (B.5) Ihre Häufigkeitsverteilung ist bei genügend großer Zahl n von Messungen eine Gaußsche Glockenkurve mit dem Maximum in x. Ein Maß für die Breite der Verteilungskurve ist die Standardabweichung σ: σ = 1 n 1 n (x i x) 2. (B.6) Hierbei ist die Größe x i x die Abweichung der i-ten Einzelmessung vom Mittelwert. i=1 65

17 B Messunsicherheiten und Fehlerrechnung Das Quadrat der Standardabweichung, d.h. σ 2, heißt Varianz. Für den statistischen Fehler des Mittelwertes δx (= mittlerer quadratischer Fehler des Mittelwertes) gilt: δx = σ = 1 n n(n 1) n (x i x) 2. (B.7) i=1 B.5 Lineare Regression ( Ausgleichsgerade ) Besteht ein linearer Zusammenhang zwischen Messgrößen, z.b. y(x) = s x mit der unbekannten Größe A, eignet sich zur Bestimmung von A die lineare Regression mittels einer Ausgleichsgeraden. Dazu trägt man die gemessene oder berechnete Größe y graphisch gegen x auf. Die Abmessungen der Abszisse und Ordinate dieses Graphen sollten so gewählt werden, dass die Wertebereiche von y und x abgedeckt, aber nicht wesentlich überschritten werden (siehe Abb. B.1). Zusätzlich zu den Punkten (x,y) werden zu jedem Punkt die Messunsicherheiten x und y als sogenannte Fehlerbalken eingetragen, entsprechend Abweichungen zu größeren und kleineren Werten, und sind im Falle von x von x x bis x + x einzuzeichnen (siehe vergrößerter Ausschnitt in Abb. B.1) Graphische Bestimmung der Ausgleichsgeraden Da die exakte mathematische Bestimmung der Regression meist zu aufwändig wäre, um diese während der Versuchsdauer anzufertigen, wird im Praktikum die Ausgleichsgerade nach Augenmaß in den Graphen eingezeichnet. Die Lage der Ausgleichsgerade soll so gewählt werden, dass die Abweichung aller im Graphen eingezeichneten Punkte von der Geraden möglichst gering wird. Die Steigung s der Ausgleichsgeraden wird aus dem Steigungsdreieck für zwei beliebige Geradenpunkte (x 1,y 1 ) und (x 2,y 2 ) aus dem Differenzenquotienten bestimmt (s. Abb. B.1). Differenzenquotient s = y 2 y 1 x 2 x 1 Die Wahl eines zu kleinen Steigungsdreiecks würde den Einfluss von Ablesefehlern aus dem Graphen auf das Ergebnis erhöhen; daher muss das Steigungsdreieck möglichst groß gewählt werden. Unsicherheit der Geradensteigung Die Unsicherheit der Geradensteigung kann nun wiederum graphisch abgeschätzt werden. Dazu zeichnet man zwei Linien parallel und im gleichen Abstand zur Ausgleichsgeraden (gestrichelt in Abb. B.2). Der Abstand sollte so gewählt werden, dass ca. 2/3 der Messpunkte zwischen diesen beiden Linien liegen. Die beiden Hilfslinien werden nun zu einer rechtwinkligen Box ergänzt, die gerade diese 66

18 B.5 Lineare Regression ( Ausgleichsgerade ) y(x) [ 10 2 m ] 12 x 11 (x2, y2) 10 9 y Steigung s = y 2 y1 x2 x1 1 0 (x1, y1) x [s] Abbildung B.1: Zunächst wird der Wertebereich der x- und y-achse sinnvoll dem Wertebereich der Messung angepasst. Dann werden die Messpunkte mit Fehlerbalken eingezeichnet. Die Ausgleichsgerade kann zur Vereinfachung nach Augenmaß in die graphische Darstellung eingezeichnet werden. Die Steigung s wird dann mittels des Differenzenquotienten eines möglichst großen Steigungsdreiecks berechnet. 67

19 B Messunsicherheiten und Fehlerrechnung y(x) [ 10 2 m ] 12 (xmax 2, ymax 2) (xmin 2, ymin 2) smin = y min 2 ymin 1 xmin 2 xmin 1 smax = y max 2 ymax 1 xmax 2 xmax 1 (xmin 1, ymin 1) (xmax 1, ymax 1) s = s max smin 2 x [s] Abbildung B.2: Die Unsicherheit der Geradensteigung kann graphisch abgeschätzt werden. Dazu wird eine Box symmetrisch um die Ausgleichsgerade gezeichnet, welche den Wertebereich der Messung nicht nennenswert übersteigt und zudem ca. 2/3 der Messpunkte beinhaltet. Die Diagonalen dieser Box entsprechen s min s s und s max + s. 68

20 B.5 Lineare Regression ( Ausgleichsgerade ) Messpunkte enthält, d.h. nicht nennenswert über den Wertebereich der Messwerte hinausgehen. Von dieser Box werden die beiden Diagonalen eingezeichnet. In guter Näherung ist die Steigung der steileren Diagonale nun um s größer, jene der flacheren Diagonale um s kleiner als s. s max = y max 2 y max 1 x max 2 x max 1 s + s und s min = y min 2 y min 1 x min 2 x min 1 s s (B.8) erhält man eine Abschätzung für den Minimal- und den Maximalwert der Steigung und daraus die Unsicherheit der Geradensteigung: s = s max s min 2 (B.9) 69