Lösungen Aufgaben zur beschreibenden Statistik

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1 1. a) Die Verkaufszahlen selber unterliegen verschieden Einussfaktoren (Nachfrage- Entwicklung, Konkurrenzrmen oder Konkurrenzmedien wie z.b. e-books, allgemeine Wirtschaftslage,...; siehe auch b) und c)). Eine statistische Analyse der Verkaufszahlen macht deshalb nur bei einer mehr oder weniger stabilen Marktlage Sinn. Dann wäre es jedoch besser nicht nur die Verkaufszahlen des letzten Jahres zu betrachten, sondern auch die Entwicklung der Verkaufszahlen in den vergangenen Jahren, um sicherzustellen, dass die Verkaufszahlen des letzten Jahres nicht einen Ausreiser (nach oben oder nach unten) darstellen. b) Es ist anzunehmen, dass durch die Intensivierung von Werbung die Verkaufszahlen nach oben steigen. Dadurch wären allenfalls mehr Mitarbeiter notwendig, um die erhöhte Anzahl an Bestellungen zu bewerkstelligen. Ferner stellt sich die Frage, wie das Geld für die Werbung eingesetzt wird: Wird das Geld lediglich für eine Intensivierung der Werbeplatzierungen ausgegeben? Oder werden dazu neue PR-Spezialisten eingestellt, sodass auch in diesem Bereich der Personalbedarf steigt? c) Neue Maschinen benötigen immer neue Techniker und Spezialisten für die Maschine vor Ort. Auf der anderen Seite übernimmt die Maschine einige Arbeiten, welche zuvor von Angestellten manuell getätigt wurden. Bei diesen Angstellten ist nun sicherlich ein Stellenabbau vorzunehmen. Trotzdem benötigt es neu auch Personal, welches die Produkte der Maschine zumindest stichprobenweise überprüft. Es kann aufgrund dieser Aussage also nicht gesagt werden, ob mehr Personal eingestellt oder entlassen werden sollte. Allerdings werden solche Veränderungen in Firmen meistens dann eingesetzt, wenn dies für die Firma rentabler ist, sprich, wenn die Kosteneinsparung beim Personal zu Gunsten der Einführung von Maschinen langfristig zu einer positiven Bilanz führt. Bemerkung: Die Antworten auf die Fragen b) und c) sind allgemeine Überlegungen, die an sich nichts mit Statistik zu tun haben. Sie machen aber deutlich, dass - wie in der Antwort auf die Frage a) angedeutet - die alleinige Betrachtung der Verkaufszahlen kaum sinnvoll ist. Statistische Analysen sind oft hilfreich. Man sollte sich aber immer bewusst sein, dass statistisch ermittelte Zahlen nur eingeschränkt Schlussfolgerungen über komplexe Sachverhalte zulassen. So sagen in diesem Beispiel die letztjährigen Verkaufszahlen nichts darüber aus, wie diese zustande gekommen sind oder welchen Einuss die Werbung und die neuen Maschinen auf die künftigen Verkaufszahlen haben werden.. Die Aussage ist i.a. falsch. Dieselben relativen Häugkeiten zu erhalten, ist in einer Stichprobe beinahe unmöglich, das wäre reiner Zufall. Bei einer guten Stichprobe sollte sich jedoch die Tendenz in die gleiche Richtung bewegen, wie bei einer Vollerhebung. 1

2 3. a) qualitativ, nominal b) metrisch, diskret 1 c) metrisch, diskret d) qualitativ, ordinal e) qualitativ, nominal f) qualitativ, ordinal g) metrisch, stetig h) metrisch, stetig 4. a) Die Aussage ist wahr, denn die Regenmenge (Volumen) kann jeden beliebigen Wert annehmen (in einem plausiblen Intervall für die Regenmenge). b) Die Aussage ist je nach Kontext wahr oder falsch: Normalerweise wird die Temperaturvorhersage nur in ganzen Grad angegeben, z.b. 8 Grad oder 30 Grad. Wenn dies die Bedingung ist, handelt es sich um ein diskretes Merkmal und die Aussage ist falsch. Andererseits kann man bei der Temperaturvorhersage jeden beliebigen Wert prognostizieren, beispielsweise Grad. Das ist zwar etwas unsinnig, aber nicht per se falsch. Mit dieser Begründung handelt es sich um ein stetiges Merkmal und die Aussage ist wahr. c) Die Aussage ist falsch, denn per Denition können diskrete Merkmale nicht jeden beliebigen Wert in einem bestimmten Intervall annehmen, was die Bedingung für ein stetiges Merkmal ist. Beispielsweise kann man 0, 1,, 3,... Geschwister haben (diskretes Merkmal). Wäre die Anzahl Geschwister auch ein stetiges Merkmal, so müssten 1. Geschwister möglich sein, was es jedoch nicht ist. 5. a) Die Augenzahl 4 ist k mal vorgekommen in 0 Würfen. b) h 4 = k 0 6. a) Die kleinst mögliche Augensumme ist = und die grösst mögliche Augensumme ist = 1. Also ist die Menge der möglichen Augensummen {, 3, 4, 5, 6,, 8, 9, 10, 11, 1}. b) H = k c) H 1 = l = h 1 = l 10 d) In den Lösungen von Aufgabe 8.1 im Leitprogramm Einführung in die beschreibende Statistik sieht man, dass genau 36 mögliche Wurfkonstellationen 1 Geldbeträge werden in der Schweiz von Banken auf Rappen gerundet und sind deshalb diskret.

3 vorkommen können. Aber nur wenn beide Würfel die Augenzahl 6 zeigen, ist die Augensumme 1. Deshalb ist günstige Fälle erwartete relative Häugkeit = mögliche Fälle = 1 36, also einer aus 36 Würfen sollte erwartungsgemäss die Augensumme 1 haben.. a) Unter den Schweizern ist die relative Häugkeit für die Blutgruppe 0 (h 0 ) 41%. Wir wissen, dass die absolute Häugkeit (H 0 ) 31 ist. Deshalb benutzen wir die Formel für die relative Häugkeit: h 0 = H 0 n und erhalten somit die Gleichung = 31 = n = 5.61 n Die Reisegruppe zählt also schätzungsweise 6 Personen. b) Unter den Franzosen gilt: h AB = und H AB =. Durch erneutes benutzen der Gleichung für die relative Häugkeit erhalten wir = = n = 00 n 3. Die gesamte Reisegruppe der Franzosen zählt also schätzungsweise 33 Personen. Weiter wissen wir h B = und erhalten somit, dass H B = n h B = = 3 = 5.6 schätzungsweise 6 Personen der Franzosen die Blutgruppe B haben. c) Wir berechnen die relative Häugkeit der Blutgruppe 0 (h 0 ) h 0 = 39 = 0.80 = 80.%. 98 Somit gehören die Einwohner des Dorfes sehr sicher zu den Indianern, welche h 0 = 9% besitzen. 8. Säulendiagramm Anzahl Schüler Fussball Handball Volleyball Tischtennis Golf keine Sportart 3

4 9. Die Aussage ist falsch. Die Summe der relativen Häugkeiten ergibt 100%, also n i=1 h i = 1. Die Summe der absoluten Häugkeiten bestimmt die gesamte Anzahl der untersuchten Objekte, also den Stichprobenumfang. 10. Als negativ könnte man bezeichnen, dass die y-achse nicht bei Null beginnt sondern bei 3'000. Deshalb sehen die Unterschiede zwischen den Jahren sehr viel bedeutsamer und grösser aus, als sie eigentlich sind. Hätte die y-achse bei Null begonnen, wäre in einem solchen Säulendiagramm praktisch kein Unterschied erkennbar und alle Säulen wären für das Auge des Betrachters praktisch auf der gleichen Höhe. Ein positiver Aspekt des Diagramms zeigt sich, wenn man vor allem an den Details der Entwicklung interessiert ist: So kann man im Diagramm sehr schön erkennen, wie die Primarschulzahlen ab 1999 ziemlich linear abfallen. Ferner kann man die genauen Zahlen in den Säulen sehen, die man auf der y-achse nicht so genau ablesen kann. 11. a) b) 1. Klasse : 1 5 = H 1 =. Klasse : 6 50 = H = 5 3. Klasse : 51 5 = H 3 = 5 4. Klasse : = H 4 = 3 1. Klasse : 1 50 = h 1 = 1 0 = 60%. Klasse : = h = 8 0 = 40% 1. a) 5 i=1 (1 + 3i) = = 50 b) 6 i= (i 1) = = 35 c) 10 k=5 k(k + 1) = = 400 d) 6 j=1 10j 1 = =

5 13. a) 5 i=1 i b) 4 i=1 ( 3 i + 5 i+1) = 5 i= c) 10 i= i = 10 i= 1 i oder 9 i=1 ( 3 (i 1) + 5 i) 1 i Durchschnittsalter: x = 1 n k H i x i = i= = 1.14 Modus: 1 Median: 1 (Es sind 106 Besucher, in der Mitte an 53. und 54. Stelle der sortierten Urliste ndet man das Alter 1.) 15. Wir haben x = 1 n n i=1 x i = , also erhalten wir die Gleichung 1 8 (6 } {{ } +x 8 ) = = Durch auösen nach x 8 erhalten wir x 8 = = Fr. 16. Eine erste Möglichkeit wäre es, die Klassenmitten zu mitteln. Dieses Vorgehen ist aber problematisch, wenn die Klassengrössen unterschiedlich gross sind. Beispiel: Eine Schülerin teilt ihre Schulnoten in eine Klasse 'ungenügend' und eine Klasse 'genügend' ein. Der Datensatz könnte wie folgt aussehen:.8 }{{} 1. Klasse } {{ }. Klasse Klasse 'ungenügend': Zehntelnoten von 1 bis 3.9, Klassenmitte = =.45 Klasse 'genügend': Zehntelnoten von 4 bis 6, Klassenmitte = 4+6 = 5 Arithmetisches Mittel der beiden Klassenmitten:.45+5 = 3.5 Mittelwert über alle Noten: 4.4 5

6 Wir sehen, dass das arithmetische Mittel der Klassenmitten ungenügend ist, während der Mittelwert über alle Noten nicht nur genügend, sondern sogar etwa eine Note höher ist. Wenn wir hingegen die Klassenmitten entsprechend den Klassengrössen gewichten, sind wir näher am tatsächlichen Mittelwert: Anz. Ungenügende.45+Anz. Genügende 5 Anzahl Noten = = 4.49 Dies ist immer noch eine relativ grosse Abweichung vom tatsächlichen Mittelwert 4.4. Bei sehr grossen Datenmengen, in denen die Daten mehr oder weniger gleichmässig verteilt sind, ergibt das gewichtete arithmetische Mittel der Klassenmitten aber eine einigermassen vernünftige Abschätzung des tatsächlichen Mittelwertes. Für einen Datensatz bestehend aus n Datenwerten in k max Klassen, wobei in der k. Klasse n k Datenwerte enthalten sind und m k die Klassenmitte der k. Klasse ist, gilt deshalb näherungsweise: x kmax k=1 n k m k kmax k=1 n k = kmax k=1 n k m k n ( Klassen = ) Anzahl Klassenmitte Umfang 1. a) x = ( ) = = b) 5 g-klassen: x 1 40 ( ) = g-klassen: x 1 40 ( ) = 505 c) Relative Abweichung der gewichteten Mittelwerte der Klassenmitten vom tatsächlichen Mittelwert: 5 g-klassen: x x 0.06% 10 g-klassen: 505 x x 0.03% Die Abweichungen der gewichteten Mittel vom tatsächlichen Mittelwert sind relativ gering. 6

7 Lösung mit Excel:

8 18. a) f(x) = y = 5 35 x + 1 f(x) = y = x + 1 b) Wir erstellen eine Tabelle für b) und c) Punkte Note gerundet Note exakt 16 Der Mittelwert der gerundeten Noten ist c) Der Mittelwert der exakten Noten ist d) Der Mittelwert bei den gerundeten Noten ist um 0.0 höher. Es wurde für jeden Wert aufgerundet a) Nein, weil die Statistik nur relative Häugkeiten angibt. Man weiss daraus nichts über absolute Häugkeiten. Hätte man z.b. im Jahr 19 die Statistik mit 3.5 mal so vielen Personen erhoben wie im Jahr 196 (d.h. n = 3.5 n 6 ), so wäre die absolute Anzahl an Personen, welche durch einen Unfall ums Leben gekommen sind, 19 genau gleich hoch wie im Jahr 196. Gemäss der Grak gilt nämlich für die relativen Häugkeiten: Falls nun n = 3.5 n 6 ist, so folgt: h 3.5 = h 6 H 3.5 = H 6 n n 6 H 3.5 = H n 6 n 6 H = H 6 b) Nein, diese Statistik alleine, sagt noch nichts über die Ursache des Anstiegs aus. (Ferner ist - ähnlich wie in a) - auch die Aussage, dass zwischen 19 und 196 zunehmend mehr Menschen infolge einer Kreislauferkrankung gestorben sind, falsch. So wäre stattdessen auch die folgende Situation denkbar: Die absoluten Werte in den anderen drei Kategorien haben abgenommen, während der absolute Wert in der Kategorie Kreislauferkrankung gleich geblieben ist, dann ist die relative Häugkeit der Todesursache Kreislauferkrankung gestiegen, obwohl der absolute Wert genau gleich geblieben ist.) 8

9 c) Jein. Das Problem liegt hier in der Formulierung, die suggeriert, dass der Anteil der an Krebs Gestorbenen zwischen 19 und 196 sukzessive zugenommen hat. Es ist richtig, dass sich die relative Häugkeit etwa vervierfacht hat. Allerdings sagt das nichts darüber aus, wie sich diese relative Häugkeit entwickelt hat. So könnte es sein, dass die relative Häugkeit zwischen 19 und 196 in einem Jahr unter den Wert von 19 gesunken, in einem anderen Jahr aber weit über den Wert von 196 gestiegen ist. d) Nein, dies stimmt nur für den Anteil der untersuchten Todesfälle (relative Häugkeit). Über die absolute Häugkeit haben wir keine Informationen. e) Nur, wenn man die Klasse der 1-15 Jährigen ausschliesst, sonst nein! 0. Wir haben n = 6, somit ist der Median das arithmetische Mittel aus dem drittkleinsten (x (3) ) und dem drittgrössten (x (4) ) Wert, also Median = x (3) + x (4) = 5. Da der drittkleinste Wert aus den gegebenen Grössen 3 ist, welcher kleiner als der Median 5 ist, wissen wir sofort, dass der drittgrösste Wert grösser als 5 sein muss, nämlich 3 + x (4) = 5 = x (4) = 50 3 =. Da der Mittelwert gegeben ist, können wir nun sofort den sechsten Wert herausnden x = 1 ( }{{} +x 6 ) = 40 = x 6 = = 18. =11 1. Wir stellen die Werte in einer Tabelle dar: Modus Median Mittelwert Peter 3, 5 und Kurt 3 und Bei Peter ist der Median grösser als der Mittelwert und bei Kurt ist der Mittelwert grösser als der Median. Peter und Kurt haben völlig unterschiedliche Mediane und Mittelwerte. Die Modi sind bei beiden nicht eindeutig deniert. 9

10 . a) Die absoluten Häugkeiten sind wie folgt: Summe s i Absolute Häugkeit H i Daraus wird ersichtlich, dass Modus = gilt. b) Stimmt mit dem erwarteten Wert überein. 3. a) Es müssen sich alle Personen genau 1 min vorbereiten mit Ausnahme der Arbeiter, welche in der Halle der Kantine sind. Somit ist der optimale Standort in der Halle, in der die meisten Personen arbeiten (was dem Modus entspricht), also Halle D. b) Die Laufwege von der einen in die andere Halle kann in einer Tabelle dargestellt werden: Halle A B C D E A B C D E Um den Gesamtweg aller Arbeiter zu erhalten summieren wir die Anzahl Personen einer Halle multipliziert mit dem Weg von der jeweiligen Halle in die Kantine. Dies ergibt Kantine in Halle A : = Kantine in Halle B : = Kantine in Halle C : = Kantine in Halle D : = Kantine in Halle E : = Die Kantine sollte in der Halle D stehen. Es genügt, wenn man nur die Hinwege berücksichtigt. Die Summe von Hin- und Rückweg ist in allen Fällen doppelt so gross, was das Resultat nicht beeinträchtigt. 10

11 4. Die Aussage ist falsch. Siehe zum Beispiel Aufabe a) Wir benützen dafür die Formel für den Mittelwert x = 1 ( }{{} +x) = 4. = x = = 3.4 =0.1 b) Mit Hilfe des Verschiebungssatzes erhalten wir σ = = Die realen Werte liegen mit grosser Wahrscheinlichkeit im Intervall ( x σ, x + σ). Wir stellen diese Werte nun in einer Tabelle dar: Firma A Firma B Firma C Firma D x σ x + σ Firma B sollte man nicht wählen, da bei dieser Firma die Zahnräder mit grosser Wahrscheinlichkeit nicht.10 mm Durchmesser haben. Firma A hat zwar genau den Mittelwert x =.10, jedoch auch eine relativ grosse Abweichung von diesem gewünschten Wert, so dass die Zahnräder relativ sicher nicht exakt den gewünschten Durchmesser besitzen. Firma C hat eine sehr kleine Standardabweichung, so dass die Zahnräder mit grosser Wahrscheinlichkeit einen Durchmesser zwischen.10 mm und.1 mm haben, was doch nahe am gewünschten ist. Bei Firma D ist das Intervall mit 0.04 mm bereits doppelt so breit wie bei C mit 0.0 mm, weshalb Firma C zu bevorzugen wäre. Interessant und hilfreich ist auch folgende Betrachtung: Firma A Firma B Firma C Firma D x σ Summe Bei der Firma C ist die Summe der Abweichung des Mittelwerts vom Idealwert.10 mm und der Standardabweichung am kleinsten. 11

12 . Die Aussage ist wahr, denn gemäss Denition der Standarbweichung müssen für ein kleine Standardabweichung σ fast alle gemessenen Werte in der Nähe des Mittelwertes sein. Somit beschreibt eine kleine Standardabweichung eine konstante Messung oder in diesem Beispiel eine konstante Leistung. 8. Wir haben x = 40mg und σ = 0.0. a) 68.% der Tabletten sind im Bereich ( x σ, x + σ) = (39.8, 40.). Da die Normalverteilung symmetrisch um den Mittelwert x ist, haben somit % = 34.% der Tabletten ein Gewicht zwischen 40 mg und 40. mg. b) 95.5% der Tabletten sind im Bereich ( x σ, x+σ) = (39.6, 40.4). Das heisst, dass aufgrund der Symmetrie der Normalverteilung bloss 1 (100% 95.5%) =.5% der Tabletten leichter als 39.6 mg sind bzw..5% schwerer als 40.4 mg. Somit unterschreiten 100% -.5% = 9.5% ein Gewicht von 40.4 mg. c) 99.% aller Tabletten haben gemäss der Standardnormalverteilung ein Gewicht im Intervall [ x 3σ, x + 3σ] = [39.4, 40.6]. Somit sind 0.15% aller Tabletten leichter als 39.4 mg und 0.15% aller Tabletten sind schwerer als 40.6 mg. 9. Die Aussage ist wahr, denn die Normalverteilung ist symmetrisch um den Mittelwert x, welcher mit grösster Wahrscheinlichkeit angenommen wird. Da der Modus ebenfalls den Wert meint, welcher am häugsten Auftritt, ist der Mittelwert äquivalent zum Modus bei einer normalverteilten Urliste. 30. a) Sortierte Urliste: {6.34, 6.53, 6.55, 6.5, 6.60, 6.6, 6.0, 6.5, 6.81, 6.84} km l l/100 km b) Boxplot: q 1 = 6.55, q = 6.63, q 3 = 6.5 1