Lehren von Geometrie im Spannungsfeld von Anschaulichkeit und Deduktivität

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1 Lehren von Geometrie im Spannungsfeld von Anschaulichkeit und Deduktivität Inhaltsverzeichnis 1 Aspekte von Geometrie Phänomene Gewinnung geometrischer Erkenntnisse Praxis- und Theorieaspekt von Geometrie Genetisches Lernen und anschauliches Vorgehen vs. axiomatischer Aufbau 3 3 Zur Geschichte der Geometrie Ägypten, Mesopotamien Babylonien Ägypten Mesopotamien, Babylonien Griechenland, Entwicklung der Deduktivität Quellen Ionische Periode Athenische Periode Hellenistische Periode Ausgang der Antike Zur Weiterentwicklung der Geometrie nach der griechischen Antike bis zum Ende des 19. Jahrhunderts Indische und arabische Geometrie nach Europäisches Mittelalter Renaissance Wissenschaftliche Revolution Jahrhundert Jahrhundert Axiomensysteme für die Euklidische Geometrie der Ebene Die Grundlagen von Euklid

2 4.2 Moderne Axiomensysteme Beispiel 1: Das Hilbertsche Axiomensystem Beispiel 2: Axiomensystem nach Kolmogorov Beweis des Scheitelwinkelsatzes Lernziele im Geometrieunterricht Kanon Mathematik Allgemeine Lernziele im Geometrieunterricht nach M. Niss Aspekte von Geometrie 1.1 Phänomene Hans Freudenthal ( ) fordert 1963, dass nicht irgendwelche Axiome und Lehrsätze sondern Phänomene Ausgangspunkt des Geometrieunterrichts bilden sollten ([4], S. 380). Wie entsteht ein Schatten? Warum vertauscht ein Spiegel links und rechts? Wie weit weg ist die Sonne? Warum kann ein Halbmesser sechsmal längs des Kreisumfangs abgetragen werden? Ist es überhaupt genau sechsmal? Wie misst man grosse Abstände auf der Erde, den Erddurchmesser, Abstände von Himmelskörpern? Warum kann ein Tisch mit vier Beinen wackeln und wie unterscheidet er sich in dieser Hinsicht von einem mit drei Beinen? Warum lässt sich eine Ebene mit kongruenten Dreiecken pflastern, und warum geht es mit kongruenten Fünfecken im Allgemeinen nicht? Warum ist die Gerade die kürzeste Verbindung zweier Punkte? Warum zeigt ein Papierbandknoten ein regelmässiges Fünfeck? Ist es tatsächlich ein regelmässiges Fünfeck? 1.2 Gewinnung geometrischer Erkenntnisse Geometrische Erkenntnisse lassen sich gewinnen durch 1. visuellen Eindruck 2. Messen 3. deduktive Theorie 2

3 1.3 Praxis- und Theorieaspekt von Geometrie Von Erich Wittmann ([12]) stammt die folgende Charakterisierung von Geometrie. Praxisaspekt Einerseits liefert und entwickelt die Geometrie begriffliche Werkzeuge zur Konstruktion geometrischer Modelle räumlicher Situationen und zur Lösung praktischer Probleme. Theorieaspekt Andererseits entwickelt die Geometrie Theorien möglicher Modelle, in denen begriffliche Zusammenhänge ( Sätze ) und Verfahren ( Konstruktionen ) erforscht und begründet werden. 2 Genetisches Lernen und anschauliches Vorgehen vs. axiomatischer Aufbau Nach Euklids Elementen wurde mehr als 2000 Jahre Geometrie gelehrt. Hinter diesem Phänomen steht die Annahme, dass die Lehr-Lern- Organisation sich an der Sachlogik orientiere. Eine Ausnahme bildet das Lehrbuch Elémens de Géométrie von A.-C. Clairaut ( ). Es bricht erstmals mit der euklidischen Tradition. Die Lernenden werden nicht mit fertigen Lehrsätzen konfrontiert, sondern das Ziel ist, Anregungen zum Erfinden und Entdecken zu geben. Aus A.- C. Clairaut Elémens de Géométrie (1741) in der deutschen Übersetzung Anfangsgründe der Geometrie von F.I.Bierling: Vorbericht des Verfassers Obgleich die Geometrie an sich selbst abstract ist, so muss man dennoch gestehen, dass die Schwierigkeiten, so die Anfänger in dieser Wissenschaft finden, mehrentheils von der Lehrart herrühren, nach welcher sie in den gewöhnlichen Anfangsgründen vorgetragen wird. Man macht allezeit den Anfang mit vielen Erklärungen, Heischesätzen, Grundsätzen, und vorläufigen Gründen, welche dem Leser nichts als Trockenes zu versprechen scheinen. Und weil die darauffolgenden Sätze den Verstand nicht auf annehmlichere Objekte lenken, auch überdies schwer zu begreifen sind, so erfolget daraus insgemein dass die Anfänger Muth und Lust verlieren, bevor sie noch einen deutlichen Begriff von dem was man sie lehren wollte, erlanget haben,... Der Philosoph Arthur Schopenhauer ( ), der Clairauts Werk nicht kennt, vermisst bei den Beweisen der Geometrie die Anschaulichkeit und vermag dies besonders prägnant zu ausdrücken: Oft werden, wie im pythagoräischen Lehrsatz, Linien gezogen, ohne dass man weiss, warum. Hinterher zeigt es sich, dass es Schlingen waren, die sich unerwartet zuziehen und den assensus des Lernenden gefangen nehmen, der nun verwundert zugeben muss, was ihm seinem innern Zusammenhange nach völlig unbegreiflich bleibt etc. (in Die Welt als Wille und Vorstellung) Und in Über die vierfache Wurzel des Satzes vom zureichenden Grunde:... Daher kommt es, dass man nach so einer geometrischen Demonstration zwar die Überzeugung hat, dass der demonstrierte Satz wahr sei, aber keineswegs einsieht, warum das, was er behauptet so ist, wie es ist. Die Axiomatisierung der Euklidischen Geometrie durch Moritz Pasch ( ) schliesst Lücken bei Euklid und bereitet die Arbeit von Hilbert vor. Es muss in der That, wenn anders die Geometrie wirklich deductiv sein soll, der Prozess des Folgerns überall unabhängig sein vom Sinn der geometrischen Begriffe, wie er unabhängig sein muss von den Figuren; nur die in den benutzten Sätzen, beziehungsweise Definitionen niedergelegten Beziehungen zwischen den geometrischen Begriffen dürfen in Betracht kommen. (M. Pasch: Vorlesungen über neuere Geometrie, 1882)... wonach wir in der Geometrie nichts weiter erblicken als einen Teil der Naturwissen- 3

4 schaft. (ebenfalls in M.Pasch: Vorlesungen über neuere Geometrie) Axiomatisierung der Euklidischen Geometrie durch David Hilbert (Grundlagen der Geometrie, 1899) In vielen Bereichen der Mathematik im 20.Jahrhundert treten strukturtheoretische Aspekte in den Vordergrund. David Hilbert in Axiomatisches Denken(1918): Die Untersuchungsmethode Euklids wurde vorbildlich für die axiomatische Forschung, und seit Euklid ist zugleich die Geometrie das Musterbeispiel für eine axiomatisierte Wissenschaft überhaupt. Gegenbewegung: Natürliche Geometrie (H.Dingler, J.Hjelmslev) Elementarisierung moderner axiomatischer Fassungen der Geometrie (Dieudonné/Choquet, Spiegelungsgeometrie von F.Bachmann) Der Sputnikschock (Russland startete 1957 den ersten Satelliten Sputnik) trägt weiter dazu bei, dass die strukturtheoretische Ausrichtung in die Schule getragen wird: New Math Kritik, Neuorientierung Von Hans Freudenthal kommt 1963 vehemente Kritik. Ausgangspunkt im Geometrieunterricht sollten Phänomene sein. Er postuliert Stufen des Lernprozesses ([3]. Martin Wagenschein ( ) propagiert sogenanntes Genetisches Lernen. Berühmt ist sein Musterbeispiel im Artikel [10], in welchem er fragt: Finden Sie das eigentlich nicht merkwürdig, dass der Radius eines Kreises sich innen an der Peripherie gerade sechsmal herumspannen lässt? Oder stimmt es gar nicht genau?. Und er hält fest: Dass Seltsames aus Selbstverständlichem ohne Rest verstanden werden kann..., diese griechische Einsicht ist eine Entdeckung. Sie sollte auch in Schulen, bevor sie euklidisch benutzt wird, als sokratisch geführte Wieder-Entdeckung auftreten. Erich Wittmann (*1939), Heinrich Winter (*1928) und andere führen die Arbeit von Freudenthal und Wagenschein weiter. Anstelle von axiomatischem Vorgehen in der Schule wird sogenanntes Lokales Ordnen empfohlen. Es etablieren sich sogenannte Didaktische Prinzipien: Formulierungen von Grundsätzen und Empfehlungen für didaktisches Handeln, die aus Lerntheorien oder aus praktischen Erfahrungen (best practice) abgeleitet sind, siehe [1]. 3 Zur Geschichte der Geometrie Aus Wissen um die Entstehung und Entwicklung der Geometrie ergeben sich wertvolle Hinweise und Ideen für den Unterricht, insbesondere auch für den Umgang mit der Deduktivität. 3.1 Ägypten, Mesopotamien Babylonien Ägypten : Reichsbildung, Erfindung der Hieroglyphen : Altes Reich, Bau der Pyramiden : Erste Zwischenzeit : Mittleres Reich Aus dieser Zeit sind einige mathematische Texte, sogenannte Papyri, erhalten geblieben, die uns eine Art Momentaufnahme der ägyptischen Mathematik liefern. Über die Vorgeschichte ist nichts, über die Nachfolgegeschichte wenig bekannt. ([13], S. 113). Die wichtigsten Papyri sind 4

5 Papyrus Moskau und Papyrus Rhind: Berechnung des Inhalts von Dreiecken und rechtwinklig begrenzten Flächenstücken, Kreisfläche, Volumina, insbesondere Formel für Pyramidenstumpf, π Die sogenannten Schreiber sind ausführende Organe der Verwaltung. Die mathematischen Texte kann man als eine Art Nachschlagewerk oder Handwerkszeug der Schreiber verstehen: Probleme der Feldvermessung (Nilüberschwemmungen), Berechnung von Steuern und Abgaben, Berechnung der Verpflegung für die Heere, Berechnung der Grösse von Vorratsbehältern, Projektierung von Bauwerken - dazu sollte ein erfahrener Schreiber imstande sein. ([13], S. 114). Die altägyptische Kultur war hoch entwickelt. Die Mathematik hat in den Händen der Schreiber eine Höhe erreicht, die den praktischen Problemen gerecht werden konnte und in Einzelfällen zu weiteren Fragestellungen führte. ([13], S. 121) Es handelt sich im Allgemeinen um Rechenanweisungen ohne Begründungen : Zweite Zwischenzeit, Neues Reich, Dritte Zwischenzeit : Spätzeit, weitere Papyri, insbesondere Papyrus Kairo von ca. 300, das 40 mathematische Probleme enthält, von denen sich neun mit dem Satz von Pythagoras beschäftigen. 3.2 Mesopotamien, Babylonien (Zweistromland, Gebiet des heutigen Irak) : Sumerische Stadtstaaten, Entstehung der Keilschrift auf Tontafeln Altbabylonisches Reich, Hochblüte der Algebra und der Geometrie wurde in Susa ein altbabylonischer Keilschrifttext gefunden, der die Kenntnis des Satzes von Pythagoras beweist. Tontafeln mit pythagoreischen Zahlentripeln Neuassyrisches Reich. Ein gut erhaltener Keilschrifttext aus dem 7. Jahrhundert enthält viele praktische Probleme im Zusammenhang mit dem Bauwesen (Berechnung von Dämmen, Frage nach der Neigung oder Zahl der benötigten Arbeiter, Berechnung von Tempelfundamenten, Kanälen, Flächen von Feldern... ), Sehnenrechnungen, π 3 oder auch π 3 1 8, Rauminhalt von Zylindern und Prismen, (falsche) Berechnung für Volumina von Kegel- und Pyramidenstümpfen. In diesem Text wird auch die Tatsache benutzt, dass der Peripheriewinkel über einem Durchmesser ein rechter Winkel ist. Der Thaleskreissatz war also schon lange vor Thales bekannt! 3.3 Griechenland, Entwicklung der Deduktivität Vorbemerkung Während die griechische Mathematik, wie sie uns mit Euklids Elementen entgegentritt, ein kunstvolles zusammengestelltes Geflecht von Kenntnissen darstellt, enthalten die altorientalischen Texte nur interessante Anweisungen, Rezepte für das Vorgehen und Beispiele, wie man eine mathematische Aufgabe zu lösen habe. Nirgends hat sich ein Zeichen dafür gefunden, dass die Babylonier oder gar die Ägypter jemals den Versuch gemacht hätten, alle mathematischen Sätze streng logisch von ersten Prinzipien abzuleiten. ([5]). Von daher gesehen muss es eigentlich überraschen, dass es in der griechischen Mathematik Euklids Definitionen gibt und dass Sätze immer bewiesen werden. Wie kam es dazu? Warum kam man auf den Gedanken, dass alles bewiesen werden muss und wie kam es zur hoch entwickelten Beweistechnik, wie sie bei Euklid zu finden ist? Die Entwicklung umfasst den Zeitraum vom 7./6. Jahrhundert v. Christus bis zum 5. Jahrhundert n. Christus, einen Zeitraum also von mehr als einem Jahrtausend. Es lassen sich vier Perioden unterscheiden, die bei Wussing ([13] Ionische Periode, Athenische Periode, Hellenistische Periode und Ausgang der Antike genannt werden. 5

6 3.3.1 Quellen Es sind keine Originalschriften von griechischen Mathematikern und von griechischen Schriftstellern erhalten. Vollständige Abschriften der Werke gibt es in der Philosophie erst von Platon an, in der Mathematik erst von Euklid an. ([6], S. 71) Die ersten handschriftlichen Abschriften von Platon und Euklid datieren aus dem 9. Jahrhundert nach Christus. Ausser den Abschriften der mathematischen Texte sind auch Texte von antiken Philosophen, Historikern, Schriftstellern und Dichtern für unsere Kenntnisse der griechischen Mathematik von grosser Bedeutung. Historische Angaben finden sich auch in Kommentaren zu mathematischen Schriften. Besonders wichtig sind der Kommentar von Proklos (450 n. Chr.) zu den Elementen von Euklid und die Kommentare Eutokios zu Archimedes und Apollonios (ca. 500 n. Chr.). Quellen zur Geometrie von Thales (6.Jh.) sind unter anderen: Platon und Aristoteles (5./4.Jh.), Eudemos v. Rhodos (um 320, Geschichte der Astronomie), Euklid (um 300), Proklos (Kommentar zu Euklid, ca. 450 n. Chr.), Pamphile (Schriftstellerin zur Zeit Neros) Ionische Periode (Ende 7. Jh. - Mitte 5. Jh.) Ionische Naturphilosophie: Im Zentrum steht die über eine Beschreibung hinausgehende Suche nach natürlichen, nicht göttlichen oder mystischen, Ursachen von Phänomenen, die Suche nach Urprinzipien. In Milet (an der Westküste Kleinasiens in der heutigen Türkei gelegen) wirken unter anderen Thales (ca ) und Anaximandros (ca ). Erstmals tritt der Begriff des Winkels explizit auf. Fünf Sätze im Zusammenhang mit Winkeln werden Thales zugeschrieben: Scheitelwinkel sind gleich. (Proklos: von Thales zuerst entdeckt, des wissenschaftlichen Beweises aber erst von Euklid für wert erachtet.) Der Durchmesser halbiert den Kreis. Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich. Kongruenzsatz: Wenn zwei Dreiecke in 2 Winkeln und einer Seite übereinstimmen, dann sind auch die übrigen Seiten und der übrige Winkel gleich. Der Peripheriewinkel im Halbkreis ist immer ein rechter. Es heisst, Thales habe das Jahr der Sonnenfinsternis vom 28. Mai 585 vorhergesagt, er habe erkannt, dass die zwei Hälften des Jahres ungleich lang sind und habe zwei Werke über die Sonnenwende und Tag- und Nachtgleiche verfasst. Für das Messen der Höhe einer Pyramide habe er einen in der Ebene senkrecht aufgestellten Stab benutzt (ähnliche Dreiecke). Einen senkrecht aufgestellten Stab, den Gnomon ( Schattenanzeiger ), benützen Thales und Anaximandros auch für astronomische Beobachtungen - unter anderem zur Bestimmung der Tag - und Nachtgleichen, wobei der Winkelbegriff eine wichtige Rolle spielt. Thales Winkelsätze stehen offenbar in direktem Zusammenhang mit den astronomischen Forschungen, sind also nicht als Reine Mathematik entstanden. Damit beginnt eine Entwicklung der Astronomie, die die Himmelserscheinungen nicht nur beobachtet, sondern geometrische Modelle entwickelt. Die Trigonometrie (Sehnentafeln) wird durch die Lehre von Sehnen und Bogen vorbereitet. Vermutlich findet sich zu dieser Zeit ein erstes Zeigen, Veranschaulichen, Sichtbarmachen von Sätzen([9]). Die Frage, warum eine Vorschrift richtig ist, wurde in den bisher bekannten 6

7 Texten nicht gestellt. Das hat wohl Thales zum ersten Mal getan, wenn er, wie Eudemos sagt, die Messung der Entfernung von Schiffen auf See durch einen Kongruenzsatz gerechtfertigt sah. ([6], S.112) Die Fachdidaktik der Geometrie knüpft mit dem Begriff Anschauung an diese Anfangszeit der griechischen Geometrie an [11]. Der Geheimorden der Pythagoreer wird vermutlich von Pythagoras um ca. 525 in Kroton (Süditalien) gegründet und ist ein philosophisch-religiöser Bund mit der Grundidee, dass das Wesen der Welt in der Harmonie der Zahlen besteht und die Vereinigung mit dem Göttlichen über die Versenkung in die Gesetze der Zahlen erreicht wird. Pythagoras soll einen Beweis für den nach ihm benannten Satz des Pythagoras über das rechtwinklige Dreieck gefunden haben. Dem Pythagoreer Hippasos von Metapont schreibt man die Konstruktion des einer Kugel einbeschriebenen Dodekaeders und die Entdeckung der Inkommensurabilität zu. Eine nicht genau bekannte Rolle spielen die Pythagoreer bei der Entwicklung der Lehre von den drei Mitteln (arithmetisches, geometrisches und harmonisches Mittel). Ferner sollen sie unter anderem den Satz über die Winkelsumme im Dreieck bewiesen haben. Wahrscheinlich stammen große Teile von Euklids Elementen - sowohl der arithmetischen als auch der geometrischen Bücher - aus verloren gegangener pythagoreischer Literatur. In der Zeit der Pythagoreer wird erkannt, dass die grundlegenden geometrischen Figuren sich aus Gerade und Kreis zusammengesetzt denken lassen und es entsteht allmählich eine geordnete Theorie der geometrischen Konstruktionen ([6], S. 91), sowie die Auffassung, dass die Geometrie nicht auf willkürlich zusammengesetzten Aussagen aufgebaut werden soll, sondern dass ihre Grundlagen systematisch bestimmt werden sollen ([6], S. 88) Wichtig für die Entwicklung der deduktiven Methode in der Geometrie ist auch die Auseinandersetzung vorsokratischer Philosophen, der Eleaten und später der Sophisten, mit der Rhetorik und der Logik. Berühmt wurden insbesondere die Paradoxa des Zenon. Hippokrates von Chios (um 440) wirkt in Athen als Weisheitslehrer und gilt als berühmtester Geometer des 5. Jahrhunderts. Er kennt u.a. den Zusammenhang zwischen Peripheriewinkel und Bogen, Verallgemeinerungen des Satzes von Pythagoras auf stumpf- und spitzwinklige Dreiecke, Ähnlichkeit, er kann das regelmässige Sechseck, den Umkreis des Dreiecks u.a.m. konstruieren und jedes Polygon in eine flächengleiches Quadrat verwandeln. Er führt das Delische Problem, die Würfelverdopplung ( - es ging wegen eines Orakelspruchs um die Volumenverdoppolung eines würfelförmigen Altars unter Beibehaltung seiner Form - ), also die konstruktive Lösung der Gleichung x 3 = 2a 3 auf das Problem zurück, zwei mittlere Proportionale x und y mit a : x = x : y = y : 2a zu finden. Berühmt und sehr populär ist in damaliger Zeit seine Entdeckung der Quadrierbarkeit gewisser krummlinig begrenzter Flächen, die er im Zusammenhang mit Untersuchungen zur Quadratur des Kreises macht, die sog. Möndchen. Hippokrates schreibt eine Zusammenfassung des damaligen Wissens, die Elemente der Geometrie. Demokrit ( ): Von seinem Hauptwerk Grosse Weltordnung ist uns das Fragment über Atomistik bekannt. In seiner Atomlehre postuliert Demokrit unteilbar kleinste Teilchen (diese Hypothese wurde später von Platon und Aristoteles abgelehnt). Mathematische Abhandlungen: Über die Berührung von Kreis und Kugel, Über Geometrie, Über Zahlen, Über irrationale Strecken, Über Ausbreitungen. Demokrit gibt schon die Volumina von Pyramide und Kegel richtig an. Seine atomistische Denkweise zeigt sich auch in der Mathematik, wie folgende in einem Fragment überlieferte Überlegung zeigt: Wenn ein Kegel parallel zur Grundseite von Ebenen geschnitten wird, wie soll man sich die entstehenden Schnittflächen denken, gleich oder ungleich? Sind sie ungleich, dann werden sie den Kegel unregelmässig machen, da er viele stufenartige Einschnitte und Vorsprünge enthält; sind sie dagegen gleich, so werden (alle) Schnitte gleich sein, und der Kegel wird die Erscheinung 7

8 eines Zylinders darbieten. ([13], S. 170) Athenische Periode (Mitte 5.Jh ) Platon ( /7), Schüler von Sokrates, lernt die Mathematik bei dem den Pythagoreern nahe stehenden Archytas von Tarent kennen. Sie spielt in seiner Philosophie eine überaus wichtige Rolle. Umgekehrt prägt seine Erkenntnistheorie die weitere Entwicklung der Mathematik und insbesondere der Geometrie entscheidend. Am Eingang der von ihm gegründeten Akademie in Athen lässt Platon die Inschrift anbringen: Kein der Geometrie Unkundiger trete ein. Ideenlehre: Gemäss Platon ist die physische Welt ein Abbild, eine unvollkommene Welt des Wandels. Platons Ideenlehre zufolge sind es Ideen (und nicht die materielle Welt, die wir durch unsere Sinne wahrnehmen), die die höchste, die grundlegendste Art der Realität darstellen. Geometrische Figuren sind für ihn paradigmatische Beispiele dieser Auffassung: Im Liniengleichnis in Der Staat schreibt Platon über die,... die sich mit Geometrie und Arithmetik und dergleichen abgeben dass sie sich der sichtbaren Dinge bedienen und ihretwegen Untersuchungen anstellen, während sie doch nicht über diese nachdenken, sondern über das, dem diese gleichen. Nur dem Viereck selbst und seiner Diagonale selbst gilt ihre Untersuchung, nicht denen, die sie aufzeichnen, und so in allem sonst. Selbst das, was sie bilden und zeichnen, wovon es auch Schatten und Bilder im Wasser gibt, auch das gebrauchen sie weiter nur als Bild und suchen dadurch zur Schau dessen zu gelangen, was man nur mit dem Verstand schauen kann. Wie die ionischen Naturphilosophen denkt sich Platon die Materie aus wenigen Grundelementen aufgebaut. Auch in der Geometrie lassen sich alle Figuren aus den Elementen Gerade und Kreis zusammengesetzt auffassen. Platon vertritt diesen Standpunkt dezidiert und fordert, dass geometrische Konstruktionen nur mit Zirkel und Lineal ausgeführt werden sollen. Er postuliert auch, dass die Planetenbahnen ausschliesslich durch Kreise beschrieben werden können. Platon betont die Wichtigkeit von Definitionen, Begriffsbestimmungen für die Erkenntnis und bemüht sich um Regeln zur Aufstellung von Definitionen. Praktisch orientierte Mathematik achtet Platon gering. Berühmt ist seine Aussage: Die Bedeutung der Geometrie beruht nicht auf ihrem praktischen Nutzen, sondern darauf, dass sie ewige und unwandelbare Gegenstände untersucht und danach strebt, die Seele zur Wahrheit zu erheben. Auf Eudoxos (408? - 355?) geht die Lehre von Verhältnissen zurück. Er definiert nicht, was ein Verhältnis zweier Zahlen ist, sondern wann zwei Verhältnisse gleich sind und kommt dabei einer Definition von irrationalen Zahlen im Sinne von Dedekindschen Schnitten nahe. Aristoteles ( ) tritt in die platonische Akademie ein und gehört ihr bis zum Tode Platons an. Er analysiert die Grundlagen (Prinzipien) einer beweisenden Wissenschaft und unterscheidet Definitionen, Postulate und Axiome Hellenistische Periode (336 v. Chr n. Chr.) 336 übernimmt Alexander der Grosse, dessen Erzieher Aristoteles war, die Macht und bringt ein riesiges Territorium unter seinen Einflussbereich. Er gründete zahlreiche Städte unter anderen 332/331 Alexandria, westlich vom Nildelta gelegen. 8

9 Alexandria wird mit seinem Museion - dem ersten staatlich gegründeten Forschungs- und Lehrzentrum - das wissenschaftliche und kulturelle Zentrum der hellenistischen Welt. (Alexandria soll zu Beginn unserer Zeitrechnung etwa eine Million Einwohner gehabt haben.) Euklid (ca ) ist Platoniker, lebt vermutlich zunächst in Athen, wird an das Museion in Alexandria berufen und begründet dort eine einzigartige mathematische Schule (Gericke, S. 234). Er fasst in den 13 Büchern der Elemente fast die gesamte bekannte Mathematik zusammen. Wer auch immer die Elemente niedergeschrieben hat, es ist ein Meisterwerk didaktischer Art und beruht auf Arbeiten von Vorgängern. Auch ist die geistige Verwandtschaft mit Platon unverkennbar, da kaum auf Anwendungen Bezug genommen wird. Die strenge logische Gliederung und die Gründung des Werks auf Axiome und Postulate dürfte von Aristoteles und seinen Abhandlungen zur Logik beeinflusst worden sein. ([13], S. 191) (An dieser Stelle sei auch nochmals M. Wagenschein zitiert: Aber der Schüler ist nun reif für die Mitteilung der griechischen Entdeckung, dass und wie Axiomatik in der Geometrie möglich ist. Das heisst, dass ihre Wahrheiten nicht vereinzelt dastehen, sondern alle aus denselben einfachen Selbstverständlichkeiten ableitbar sind und damit vollständig durchsichtig gemacht werden können. [10]) Aristarch (ca. 310? - ca. 230?) von Samos, Astronom und Mathematiker, hat, wie wir von Archimedes wissen, ein heliozentrisches Weltbild vertreten. Er hat die Grösse des Mondes sowie das Verhältnis der Abstände Erde - Sonne und Erde - Mond berechnet. Er soll auch der Erfinder der Skaphe (Sonnenuhr in Halbkugelschale) sein. Archimedes ( ) von Syrakus, Mathematiker, Ingenieur, Begründer der mathematischen Physik, erhält seine Ausbildung in Alexandria und führt die Mathematik zu einem Höhepunkt. Bestimmung von Umfang und Fläche des Kreises, Oberfläche und Volumen Zylinder, Kegel und Kugel, Hebelgesetz, Archimedische Körper, Schwerpunkt, Quadratur der Parabel... Wie konnte Archimedes so viele Probleme lösen? In seiner Methodenlehre, die erst 1906 aufgefunden wurde, beschreibt er in einem Brief an Eratosthenes, wie er vorgeht:... Da ich aber, wie ich schon früher sagte, sehe, dass Du ein tüchtiger Gelehrter bist..., so habe ich für gut befunden, dir auseinanderzusetzen und in dieses selbe Buch niederzulegen eine eigentümliche Methode, wodurch dir die Möglichkeit geboten wird, eine Anleitung herzunehmen, um einige mathematische Fragen durch die Mechanik zu untersuchen. Und dies ist nach meiner Überzeugung ebenso nützlich auch um die Lehrsätze selbst zu beweisen; denn manches, was mir vorher durch die Mechanik klar geworden, wurde nachher bewiesen durch die Geometrie, weil die Behandlung durch jene Methode noch nicht durch Beweis begründet war; es ist nämlich leichter, wenn man durch diese Methode vorher eine Vorstellung von den Fragen gewonnen hat, den Beweis herzustellen, als ihn ohne eine vorläufige Herstellung zu erfinden. ([11], S. 33) Durch diesen Lehrsatz, dass eine Kugel viermal so gross ist als der Kegel, dessen Grundfläche der grösste Kreis, die Höhe aber gleich dem Radius der Kugel, ist mir der Gedanke gekommen, dass die Oberfläche einer Kugel viermal so gross ist, als ihr grösster Kreis, indem ich von der Vorstellung ausging, dass, wie ein Kreis einem Dreieck gleich ist, dessen Grundlinie die Kreisperipherie, die Höhe aber dem Radius des Kreises gleich, ebenso ist die Kugel einem Kegel gleich, dessen Grundfläche die Oberfläche der Kugel, die Höhe aber dem Radius der Kugel gleich. ([11], S. 45) Eratosthenes (ca ca. 194) wirkt in Alexandria und ist ausser für sein Verfahren zur Ermittlung von Primzahlen berühmt wegen seiner Berechnung des Erdumfangs. Apollonios (ca ca. 190), Mathematiker und Astronom, der in Alexandria studiert hat, gibt eine einheitliche Herleitung der schon im 4. Jh. bekannten Kegelschnitte und muss dabei ohne Koordinaten und ohne Formelschreibweise auskommen. Hipparch (ca ca. 120), Astronom und Mathematiker, führt äusserst genaue astronomische 9

10 Beobachtungen durch, für die er auch Instrumente erfindet. Auf diesen teilt er als erster den Kreis in 360. Mit seiner Sehnentafel (Schrittweite vermutlich ), legt er den Grundstein zur Trigonometrie. Ptolemaios (ca n. Chr.) gelingt es, trotz der einengenden Doktrin von ausschliesslicher Verwendung von Kreisbewegungen, ein tragfähiges Modell der Planetenbewegungen auszuarbeiten. Er vertritt, anders als Aristarch ein geozentrisches Weltbild. Sein Hauptwerk, der Almagest, enthält ausser umfangreichem astronomischen Material auch eine mit Kreissehnen formulierte recht gut durchgebildete ebene und sphärische Trigonometrie ([13], S. 204). Heron (um 60 n. Chr.), Ingenieur in Alexandria, betreibt eine praktische Mathematik. Seine Schriften bilden ein Gegenstück zu Euklids Elementen und werden ein Standardwerk der praktischen Mathematik. In seinen mathematischen Schriften finden sich auch die Heronsche Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks aus seinen Seiten oder neue Methoden zur approximativen Berechnung von Wurzeln ([13], S. 207) Ausgang der Antike (150 n. Chr Jh.) Pappos (um 320) von Alexandria, der letzte herausragende Mathematiker der Antike, ist auch als Geograph und Astronom tätig. In seinem Hauptwerk, der Collectio, referiert Pappos mathematische Werke, die verloren gegangen sind und stellt auch eigene Ergebnisse dar, wie zum Beispiel den berühmten Satz des Pappos. Hypatia (ca ) ist die erste bekannte Mathematikerin. Sie schreibt Kommentare zu Diophant, Apollonios und Ptolemaios, die allerdings verloren gegangen sind. Ihre Ermordung durch christliche Fanatiker markiert auch das Ende der alexandrinischen mathematischen Schule. Proklos (ca ) studiert in Alexandria und Athen und übernimmt schliesslich die Führung der platonischen Akademie, die unter ihm nochmals Bedeutung erlangt. Wichtig sind die von Proklos überlieferten Kommentare insbesondere zum Buch I von Euklid. Von ihm stammt auch ein sogenanntes Mathematikerverzeichnis. 3.4 Zur Weiterentwicklung der Geometrie nach der griechischen Antike bis zum Ende des 19. Jahrhunderts Indische und arabische Geometrie nach 500 Die indischen mathematischen Schriften sind in Merkversen abgefasst. Ein grosses Interesse an der Astronomie führt zu einer intensiven Beschäftigung mit der Trigonometrie. Die Sehnengeometrie der Griechen wird durch die Einführung von Sinus und Kosinus umgestaltet. Es werden Verfahren zur Berechnung von Sinustabellen angegeben und solche Tabellen auch erstellt. Den arabischen Mathematikern ist die Überlieferung der griechischen Mathematik zu verdanken. Sie übersetzen griechische Schriften ins Arabische und arbeiten die griechischen Ansätze weiter aus. Die meisten von ihnen setzen sich intensiv mit Euklid auseinander und stellen insbesondere Untersuchungen zum Parallelenpostulat an. Die Trigonometrie als Verbindung von Mathematik, Astronomie, Kalenderwesen und der Lehre von der Sonnenuhr nimmt einen grossen Raum ein. Ausgangspunkt ist die Übersetzung von indischen Arbeiten durch al-fazari 733 in Bagdad. Es werden die Verhältnisse Tangens und Kotangens eingeführt. Die Eigenschaften der trigonometrischen Verhältnisse und die Möglichkeiten von Berechnungen ebener und sphärischer Dreiecke werden erforscht und die trigonometrischen Tafeln verfeinert. Im 10. Jh. wird der Sinussatz gefunden, im 13. Jh. ist auch der Kosinussatz bekannt. Die Trigonometrie entwickelt sich zu einer 10

11 selbständigen Disziplin Europäisches Mittelalter Die Völkerwanderung, der Zusammenbruch des weströmischen Reiches und Machtkämpfe in Europa behinderten die Entwicklung der Wissenschaften in den Jahrhunderten des frühen ( finsteren ) Mittelalters. Das Erbe der klassischen Antike war weitgehend verschüttet, lebte allen- falls fort in den Dom- und Klosterschulen des sich ausbreitenden Christentums. (([13], S. 296). Aus dem 9. Jh. ist immerhin eine Schrift über Vermessungsgeometrie erhalten. Einen Aufschwung nimmt die Mathematik, als die christliche Welt im 11. Jh. vor allem in Spanien und in Sizilien mit der arabischen Wissenschaft in Berührung kommt. Bei der Wiedereroberung Spaniens fallen den Christen grosse arabische Bibliotheken in die Hände, am berühmtesten diejenige von Toledo, wo in der Folge eine grosse Übersetzungsschule entsteht. Adelard von Bath (geboren 1070/1080) übersetzt unter anderem als erster den vollständigen Text von Euklid vom Arabischen ins Lateinische. Die Tradierung geht oft über das Übersetzen hinaus, und es entstehen selbständige Aufarbeitungen (z. B. Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci (ca nach 1240)) Renaissance (Mitte des 15. Jh. bis Anfang 17. Jh.) Es ist eine unruhige Zeit grosser gesellschaftlicher Umwälzungen und kultureller Neuorientierung. Die Antike wird Vorbild der höfischen Gesellschaft und des neu entstehenden Städtebürgertums. Die Erfindung des Buchdrucks um 1450 durch J. Gutenberg ermöglicht eine viel raschere und weitere Verbreitung neuen Gedankenguts. So erscheinen allein im 16. Jh. 110 Euklid-Ausgaben. Es findet ein eigentlicher Aufbruch der Wissenschaften statt. Die neuen Entwicklungen in Schifffahrt und Schiffbau Geschützwesen Astronomie Baukunst Bildende Kunst, Perspektive Kartographie Fassmessung führen auch zu neuen Anforderungen an die Mathematik und insbesondere an die Geometrie. Trigonometrie, Astronomie Aufbauend auf den Kenntnissen der Antike, der Inder und der Araber entwickelt im 15. Jh. eine Gruppe um Regiomontanus ( ) in Wien die Astronomie und die ebene und die sphärische Trigonometrie weiter. Um 1514 liegen von Nicolaus Copernicus die Grundideen der heliozentrischen Astronomie in einem Entwurf vor veröffentlicht Nicolaus Copernicus: De revolutionibus, die Arbeit über das heliozentrische Weltsystem. 11

12 Perspektive, geometrische Konstruktionen Im 15. Jh. Erfindung der Durchschnittsmethode für perspektivische Darstellungen (Brunelleschi, Alberti) Leonardo da Vinci (Zeichnungen der regelmässigen Körper, Entwürfe von Maschinen, Geräten und Gewölben) Um 1525 erscheinen Arbeiten von Albrecht Dürer (Proportionenlehre, praktische Geometrie, insbesondere Perspektive, Mehrtafelverfahren, Kurven, Parkettierung, regelmässige Polyeder) Kartographie 1569 Gerardus Mercator: Erste Weltkarte in Mercatorprojektion Fassmessung Vor allem in Süddeutschland bekommt die Fassmessung wegen des Weinhandels grosse Bedeutung. Der Inhalt eines Fasses konnte damals nicht genau bestimmt werden und es werden verschiedene Näherungsmöglichkeiten gesucht. Symbolische Algebra Mit der symbolischen Algebra von François Viète ( ) holt die Algebra, die bis jetzt gegenüber der Geometrie im Hintertreffen war, auf. Sie bildet eine Voraussetzung für die spätere Herausbildung der Analytischen Geometrie Wissenschaftliche Revolution (ausgehendes 16. Jh. bis Beginn 18. Jh.) : Johannes Kepler veröffentlicht seine Arbeiten zur Astronomie und zur Fassregel 1619: René Descartes entdeckt den Descartes-Eulerschen Polyedersatz 1638 erscheinen die Discorsi von Galileo Galilei Die Kegelschnitte werden für die Naturwissenschaften bedeutsam. Erste Hälfte 16. Jh.: Anfänge der Analytischen Geometrie. Es erscheint Discours de la méthode von René Descartes (entscheidend ist die Darstellung eines Produkts als Strecke, und damit die Lösung vom Paradigma der Übereinstimmung der Dimensionen); Pierre Fermat geht in Arbeiten zu Kegelschnitten von geometrischen Beziehungen aus, übersetzt sie aber sofort in algebraische Aussagen. Girard Desargues ( ), französischer Ingenieur und Architekt, verbindet die perspektivischen Methoden der Renaissance mit der Kegelschnittlehre und begründet die projektive Geometrie, Blaise Pascal führt seine Ideen weiter und veröffentlicht 1640 als 17-Jähriger einen berühmten Essay, der eine projektive Behandlung der Kegelschnitte enthält erscheinen seine Elemente der Geometrie. Herausbildung infinitesimaler Methoden (Galilei, Cavalieri, Torricelli, Kepler, Guldin, Huygens, Fermat, Wallis, Barrow, Newton, Leibniz) Jahrhundert Erneute Versuche, das Parallelenpostulat zu beweisen, unter anderem von Saccheri, Lambert und Legendre. Leonhard Euler ( ), führt den Funktionsbegriff in der Algebra ein, verwendet jedoch keine geometrischen Abbildungen in unserem Sinn, sondern nur Abbildungen, deren Definitions - und Wertebereich eine gegebene Figur ist. 12

13 Immanuel Kant ( ) hält Vorlesungen u.a. über Mathematik, Physik, Philosophie. In seiner Kritik der Reinen Vernunft spricht er von der Reinen Anschauung a priori von Zeit und Raum. Carl Friedrich Gauss ( ) gelangt Ende des 18. Jh. zur Einsicht, dass auch eine Geometrie denkbar ist, in der das Parallelenpostulat nicht gilt, veröffentlicht seine Arbeiten aber nicht. Gaspard Monge ( ), 2. Hälfte des 18. Jh.: Systematischer Aufbau der Darstellenden Geometrie Jahrhundert Intensive Beschäftigung mit den Grundlagen der Analysis, den komplexen und reellen Zahlen, Funktionentheorie Weiterentwicklung der projektiven Geometrie (Poncelet, Möbius, Steiner, v. Staudt, Klein) August Möbius ( ) definiert 1827 Kollineationen als geometrische Abbildungen, die die gesamte Ebene als Definitions- und Wertebereich besitzen und nicht nur einzelne Figuren abbilden. Die Möglichkeit einer nichteuklidischen Geometrie erkennen auch Niklaus Lobatschewski ( ) und Janos Bolay ( ) und im Gegensatz zu Gauss veröffentlichen sie ihre Arbeiten. Im letzten Drittel des 19. Jahrhunderts werden dann erstmals geometrische Modelle einer Geometrie, in der das Parallelenpostulat nicht gilt, konstruiert. (Eugenio Beltrami: Geometrie auf der Pseudosphäre, Henri Poincaré, Felix Klein) Bernhard Riemann setzt sich auf ganz neue Weise mit dem Begriff des Raumes auseinander und schafft den Begriff der n-dimensionalen Mannigfaltigkeit. Riemann beginnt seinen berühmten Habilitationsvortrag Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (1854) folgendermassen: Bekanntlich setzt die Geometrie sowohl den Begriff des Raumes, als die ersten Grundbegriffe für die Constructionen in Raume als etwas Gegebenes voraus. Sie giebt von ihnen nur Nominaldefinitionen, während die wesentlichen Bestimmungen in Form von Axiomen auftreten. Das Verhältniss dieser Voraussetzungen bleibt dabei in Dunkeln; man sieht weder ein, ob und in wieweit ihre Verbindung nothwendig, noch a priori, ob sie möglich ist. Diese Dunkelheit wurde auch von Euklid bis auf Legendre, um den berühmtesten neueren Bearbeiter der Geometrie zu nennen, weder von den Mathematikern, noch von den Philosophen, welche sich damit beschäftigten, gehoben. Es hatte dies seinen Grund wohl darin, dass der allgemeine Begriff mehrfach ausgedehnter Grössen, unter welchem die Raumgrössen enthalten sind, ganz unbearbeitet blieb. Ich habe mir daher zunächst die Aufgabe gestellt, den Begriff einer mehrfach ausgedehnten Grösse aus allgemeinen Grössenbegriffen zu construiren. Es wird daraus hervorgehen, dass eine mehrfach ausgedehnte Grösse verschiedener Massverhältnisse fähig ist und der Raum also nur einen besonderen Fall einer dreifach ausgedehnten Grösse bildet. Hiervon aber ist eine nothwendige Folge, dass die Sätze der Geometrie sich nicht aus allgemeinen Grössenbegriffen ableiten lassen, sondern dass diejenigen Eigenschaften, durch welche sich der Raum von anderen denkbaren dreifach ausgedehnten Grössen unterscheidet, nur aus der Erfahrung entnommen werden können. Hieraus entsteht die Aufgabe, die einfachsten Thatsachen aufzusuchen, aus denen sich die Massverhältnisse des Raumes bestimmen lassen - eine Aufgabe, die der Natur der Sache nach nicht völlig bestimmt ist; denn es lassen sich mehrere Systeme einfacher Thatsachen angeben, welche zur Bestimmung der Massverhältnisse des Raumes hinreichen; am wichtigsten ist für den gegenwärtigen Zweck das von Euklid zu Grunde gelegte. Diese Thatsachen sind wie alle Thatsachen nicht nothwendig, sondern nur von empirischer Gewissheit, 13

14 sie sind Hypothesen; man kann also ihre Wahrscheinlichkeit, welche innerhalb der Grenzen der Beobachtung allerdings sehr gross ist, untersuchen und hienach über die Zulässigkeit ihrer Ausdehnung jenseits der Grenzen der Beobachtung, sowohl nach der Seite des Unmessbargrossen, als nach der Seite des Unmessbarkleinen urtheilen. Erlanger Programm von Felix Klein (1872 Antrittsvorlesung in Erlangen): Klein betrachtet Gruppen von Abbildungen der Ebene resp. des Raumes auf sich. Die Sätze über Eigenschaften, die bei einer solchen Gruppe von Abbildungen ungeändert bleiben, bilden die Geometrie, die dieser Gruppe von Abbildungen zugeordnet ist. Axiomatisierung der Euklidischen Geometrie durch Moritz Pasch. Es muss in der That, wenn anders die Geometrie wirklich deductiv sein soll, der Prozess des Folgerns überall unabhängig sein vom Sinn der geometrischen Begriffe, wie er unabhängig sein muss von den Figuren; nur die in den benutzten Sätzen, beziehungsweise Definitionen niedergelegten Beziehungen zwischen den geometrischen Begriffen dürfen in Betracht kommen. (M.Pasch: Vorlesungen über neuere Geometrie, 1882). Pasch steht aber immer noch auf dem Standpunkt... wonach wir in der Geometrie nichts weiter erblicken als einen Teil der Naturwissenschaft. Axiomatisierung der Euklidischen Geometrie durch David Hilbert (Grundlagen der Geometrie, 1899) 4 Axiomensysteme für die Euklidische Geometrie der Ebene 4.1 Die Grundlagen von Euklid Euklid teilte in den Elementen die Grundlagen seiner Geometrie in drei Kategorien ein: Die Erklärungen der auftretenden Begriffe - Euklid nennt sie Definitionen -, die Axiome (allgemeine Grundaussagen) und die Postulate (Grundaussagen, die sich speziell auf die Geometrie beziehen). Im folgenden sind die Definitionen teilweise und die Axiome und Postulate vollständig aufgeführt (nach [2], S. 54). Definitionen 1. Was keine Teile hat, ist ein Punkt. 2. Eine Länge ohne Breite ist eine Linie. 3. Die Enden einer Linie sind Punkte. 4. Eine Linie ist gerade, wenn sie gegen die in ihr befindlichen Punkte auf einerlei Art gelegen ist. 5. Was nur Länge und Breite hat, ist eine Fläche. Axiome 1. Dinge, die demselben Dinge gleich sind, sind einander gleich. 2. Fügt man zu Gleichem Gleiches hinzu, so sind die Summen gleich. 3. Nimmt man von Gleichem Gleiches hinweg, so sind die Reste gleich. 14

15 4. Was zur Deckung miteinander gebracht werden kann, ist einander gleich. 5. Das Ganze ist grösser als sein Teil. Postulate 1. Es soll gefordert werden, daß sich von jedem Punkte nach jedem Punkte eine gerade Linie ziehen lasse. 2. Ferner, dass sich eine begrenzte Gerade stetig in gerader Linie verlängern lasse. 3. Ferner, dass sich mit jedem Mittelpunkt und Halbmesser ein Kreis beschreiben lasse. 4. Ferner, dass alle rechten Winkel einander gleich seien. 5. Endlich, wenn eine Gerade zwei Geraden trifft und mit ihnen auf derselben Seite innere Winkel bildet, die zusammen kleiner sind als zwei Rechte, so sollen die beiden Geraden, ins Unendliche verlängert, schliesslich auf der Seite zusammentreffen, auf der die Winkel liegen, die zusammen kleiner sind als zwei Rechte. 4.2 Moderne Axiomensysteme Es sind im Laufe der Zeit viele Axiomensysteme für die Euklidische Geometrie entwickelt worden. Bei einem axiomatischen Zugang geht es darum, nur die Sprache der Mengenlehre zu benutzen. Aufbauend auf undefinierten Grundbegriffen und Axiomen (unbewiesenen Aussagen) lassen sich weitere Begriffe definieren und weitere Aussagen (Sätze) beweisen. Im folgenden werden die Axiome zweier Axiomensysteme aufgelistet (nach [2] und [7]) Beispiel 1: Das Hilbertsche Axiomensystem Undefinierte Grundbegriffe: Punkt, Gerade, Inzidenz, liegt zwischen, Kongruenz Inzidenzaxiome I1 Zu zwei Punkten existiert genau eine Gerade, die mit diesen beiden Punkten inzidiert. I2 Mit jeder Geraden inzidieren mindestens zwei Punkte. I3 Es existieren drei Punkte, die nicht mit einer Geraden inzidieren. Anordnungsaxiome Es sei Z eine dreistellige Relation auf der Menge der Punkte mit folgenden Eigenschaften: A1 Wenn (A, B, C) Z, so sind A, B und C kollinear und es gilt auch (C, B, A) Z. Sprechweise: Für (A, B, C) Zßagen wir B liegt zwischen A und C. A2 Zu je zwei verschiedenen Punkten A und B existiert stets ein Punkt C mit (A, B, C) Z. A3 Von drei kollienaren Punkten liegt genau ein Punkt zwischen den beiden anderen. 15

16 A4 (Pasch-Axiom) Seien A, B und C drei nichtkollineare Punkte und sei g eine Gerade, die durch keinen der drei Punkte geht. Falls g einen Punkt D enthält, der zwischen A und B liegt, dann enthält g entweder einen Punkt, der zwischen A und C liegt oder einen Punkt, der zwischen B und C liegt. Definition Sind A und B verschiedene Punkte, dann ist die Strecke [AB] die Menge, die aus den Punkten A und B und allen Punkten zwischen A und B besteht. In naheliegender Weise lässt sich nun auch auch der Begriff Dreieck definieren. Mit einigem Aufwand lässt sich zeigen, dass jede Gerade die Ebene in 2 Halbebenen und jeder Punkt auf einer Gerade diese in zwei Halbgeraden (Strahlen) zerlegt. Damit lässt sich schliesslich der Begriff des Winkels definieren: Definition Ein Winkel ist die Vereinigung zweier Halbgeraden, die am selben Punkt beginnen und nicht auf derselben Geraden liegen. Die Halbgeraden heissen auch Schenkel des Winkels. ( (g, h) bezeichne den Winkel mit den Schenkeln g und h und BAC den Winkel mit den Schenkeln [AB und [AC.) Kongruenzaxiome Für die Beziehung der Kongruenz zweier Strecken oder zweier Winkel - wir schreiben = - gelten folgende Eigenschaften: K1 Für jede Strecke [AB] existiert auf jeder Halbgeraden [P Q genau ein Punkt R mit [AB] = [P R]. K2 Die Streckenkongruenz ist transitiv. Jede Strecke ist zu sich selbst kongruent. K3 (Addition von Strecken) Es seien A, B, C und D, E, F Punkte, für die (A, B, C) Z und (D, E, F ) Z gilt. Falls die Kongruenzrelationen [AB] = [DE] und [BC] = [EF ] erfüllt sind, gilt auch [AC] = [DF ]. K4 Zu einem Winkel BAC und einer Halbgeraden [DF existiert auf einer gegebenen Seite der Geraden DF eine eindeutige Halbgerade [DE, so dass BAC = EDF. K5 Die Winkelkongruenz ist transitiv. Jeder Winkel ist zu sich selbst kongruent. K6 (SWS) Wenn für zwei Dreiecke ABC und A B C gilt [AB] = [A B ], [AC] = [A C ], (BAC) = (B A C ), dann sind die Dreiecke kongruent, das heisst es gilt auch [BC] = [B C ], (ACB) = (A C B ), (ABC) = (A B C ). Es gilt: Die Kongruenz ist eine Äquvalenzrelation auf der Menge der Strecken. Wir schreiben l([ab]) für die Äquivalenzklasse aller zu [AB] kongruenten Strecken. In naheliegender Weise lässt sich auf den Äquivalenzklassen kongruenter Strecken eine Ordnungsrelation < einführen. (Die Strecke AB heisst kleiner als die Strecke CD, geschrieben [AB] < [CD], wenn ein Punkt E zwischen C und D existiert, so dass [AB] = [CE]. Es lässt sich zeigen, dass sich diese Definition auf die Kongruenzklassen von Strecken übertragen lässt.) Bemerkung zu K6: Hilbert verwendet ein etwas schwächeres Axiom, indem er nicht die Kongruenz der Dreiecke sondern nur die Kongruenz der Winkel bei B und B sowie bei C und C fordert und damit die Kongruenz [BC] = [B C ] beweist ([8]). Die vorliegende Fassung ist [7] entnommen. 16

17 Stetigkeitsaxiome Um die Schreibweise nicht zu kompliziert werden zu lassen, werden im folgenden im Zusammenhang mit Punkten und Strecken die Zeichen und verwendet, die in naheliegender Weise zu interpretieren sind. S1 (Archimedes-Axiom) Es seien [AB] und [CD] beliebige Strecken. Dann existieren eine natürliche Zahl n und Punkte A 1, A 2,...A n auf der Halbgeraden [AB derart, dass a) [AA 1 ] = [A 2 A 1 ] =... = [A n 1 A n ] = [CD] und b) B [AA n ] gilt. S2 (Cantor-Axiom) Auf einer beliebigen Geraden g sei eine unendliche Folge von Strecken [A i B i ] gegeben mit [A i+1 B i+1 ] [A i B i ] für alle i N, und es gebe zu jeder Strecke [CD] eine natürliche Zahl n mit l([a n B n ]) < l([cd]). Dann existiert auf g ein Punkt P, mit P zwischen A i und B i für alle i N. Bemerkung zu S2: Anstelle von S2 kann auch das Dedekind-Axiom verwendet werden: Ist eine Gerade g eine disjunkte Vereinigung zweier Mengen Σ 1 und Σ 2, sodass kein Punkt von Σ 1 zwischen zwei Punkten von Σ 2 liegt, und umgekehrt, dann gibt es genau einen Punkt P, sodass für alle Punkte Q Σ 1, R Σ 2, die von P verschieden sind, der Punkt P zwischen Q und R liegt. Parallelenaxiom P Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt P existiert höchstens eine Gerade, die zu g parallel ist und durch P geht Beispiel 2: Axiomensystem nach Kolmogorov Quelle: [2] Undefinierte Grundbegriffe: Punkt, Gerade, Abstand; zusätzlich werden die reellen Zahlen vorausgesetzt. Inzidenzaxiome In1 Jede Gerade ist ein Punktmenge. In2 Zu zwei beliebigen, voneinander verschiedenen Punkten existiert genau eine Gerade, welche diese beiden Punkte enthält. In3 Jede Gerade enthält mindestens einen Punkt. In4 Es existieren (mindestens) drei Punkte, die nicht einer Geraden angehören. Abstandsaxiome Ab1 Zu zwei beliebigen Punkten A und B gibt es eine nichtnegative reelle Zahl d mit d = 0 A = B. Diese Zahl wird als Abstand AB der Punkte A und B bezeichnet. 17

18 Ab2 Für zwei beliebige PunkteA und B gilt AB = BA. Ab3 Für drei beliebige PunkteA, B und C gilt AB + BA AC. Falls A, B und C auf einer Geraden liegen, so gilt eine der Ungleichungen AB + BA = AC, AB + CB = AB, BA + AC = BC. Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so liegen A, B und C auf einer Geraden. Anordnungsaxiome An1 Zu jeder nichtnegativen reellen Zahl a und jedem Punkt O der Ebene existiert auf jedem Strahl mit Anfangspunkt O genau ein Punkt A mit OA = a. An2 Eine beliebige Gerade g teilt die Menge der ihr nicht angehörenden Punkte der Ebene in zwei nichtleere disjunkte Mengen derart, dass (a) die Verbindungsstrecke zweier beliebiger Punkte, die verschiedenen Mengen angehören, die Gerade g schneidet und (b) die Verbindungsstrecke zweier beliebiger Punkte, die derselben Menge angehören, die Gerade g nicht schneidet. Definition Als Bewegungen werden Abbildungen der Ebene auf sich bezeichnet, die Abstände beliebiger Punktepaare unverändert lassen. Bewegungsaxiom B Wenn der Abstand zweier Punkte A und B positiv und gleich dem Abstand zweier Punkte C und D ist, dann gibt es genau zwei Bewegungen, die A auf C und B auf D abbilden. Eine Halbebene bezüglich der Geraden AB wird bei jeder dieser beiden Bewegungen auf eine andere Halbebene bezüglich CD abgebildet. Definition Zwei Punktmengen M 1 und M 2 heißen zueinander kongruent, falls eine Bewegung existiert, die M 1 auf M 2 abbildet. Parallelenaxiom P Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt P existiert höchstens eine Gerade, die zu g parallel ist und durch P geht Beweis des Scheitelwinkelsatzes Zur Illustration des axiomatischen Vorgehens soll hier der Scheitelwinkelsatz auf der Grundlage der Hilbertschen Axiome bewiesen werden (siehe [7]). Definition Ist BAC ein Winkel und D ein Punkt auf AB auf der andern Seite von A als B und E ein Punkt auf AC der andern Seite von A als C, dann heisst der DAE Scheitelwinkel zum Winkel BAC. 18