Trigonometrische Funktionen

Transkript

1 Trigonometrische Funktionen

2 Inhaltlicher Überblick Trigonometrie im Lehrplan Geschichtlicher Hintergrund Wdh.: Bogenmaß/ Winkelmaß Einführungsmöglichkeiten Sinus, Kosinus, Tangens im rechtwinkeligen Dreieck Trigonometrische Funktionen Sinussatz, Kosinussatz

3 Lehrplan Realschule 10.Klasse (6-stufig) Lehrplaninhalt 5 Wochenstunden (Gruppe I): Potenzen und Potenzfunktionen (ca. 14 Std.) Exponential- und Logarithmusfunktionen (ca. 19 Std.) Trigonometrie (ca. 52 Std.) Abbildungen im Koordinatensystem (ca. 35 Std.) = 120 Stunden Lehrplaninhalt 4 Wochenstunden (Gruppe II/III): Quadratische Funktionen (ca. 15 Std.) Funktionen der indirekten Proportionalität und Exponentialfunktionen (ca. 7 Std.) Quadratische Gleichungen (ca. 20 Std.) Raumgeometrie (ca. 19 Std.) Trigonometrie (ca. 25 Std.) = 86 Stunden

4 Trigonometrie (aus dem Lehrplan 6-stufige Realschule, 5 WS) Definition von Kosinus, Sinus, Tangens (ca. 10 Std.) Trigonometrische Funktionen (ca. 2 Std.) Berechnungen und Zusammenhänge (ca. 8 Std.) Berechnungen in Dreiecken (ca. 20 Std.) Skalarprodukt (ca. 12 Std.)

5 Geschichtlicher Hintergrund Der Begriff Trigonometrie stammt aus dem Griechischen und bedeutet Dreiecksmessung. Als Begründer der Trigonometrie gilt Hipparch von Nicäa (um v. Chr.). Er war griechischer Astronom und Geograph und gilt als Begründer der Wissenschaftlichen Astronomie. Er lehnte das heliozentrische (auf die Sonne als Mittelpunkt bezogene) Planetensystem ab und verbesserte das geozentrische (auf die Erde als Mittelpunkt bezogene) Planetensystem. Darüber hinaus schuf er die Grundlagen für den ersten Fixsternkatalog, den Ptolemäus und auch Kopernikus im wesentlichen übernahmen. Hipparch von Nicäa ist der Schöpfer der Trigonometrie.

6 Ihre Weiterentwicklung verdankt sie Ptolemäus von Alexandria ( n. Chr.) und später Mathematikern aus Indien und dem arabischen Raum. Von dort kam sie über Spanien wieder nach Europa, wo Reglomontanus ( ) in einem Lehrbuch Winkelfunktionstafeln veröffentlichte und mit dem Sinussatz Flächenberechnungen durchführte. Claudius Ptolemäus ( n. Chr.), bedeutendster Geograph, Mathematiker und Astronom der Antike. Er stellte die geographischen Koordinaten von rund 350 Orten der damals bekannten Welt nebst den mathematischen Methoden der Datengewinnung ebensozusammen wie den ersten Fixsternkatalog. Seine Darstellung der Bewegung von Himmelskörpern mit Hilfe von auf- und ineinander abrollenden Kugelschalen und Kreisen zementierte das geozentrische Weltbild für rund 1500 Jahre.

7 Der französische Mathematiker Vieta ( ) schließlich gab dem Kosinussatz eine praktisch verwendbare Form und begründete die Goniometrie (Winkelmessung). Mittels der Trigonometrie gelingt die Verknüpfung von Seitenlängen und Winkeln zur Berechnung der fehlenden Stücke eines zunächst, aber nicht notwendig rechtwinkligen Dreiecks, während man zuvor über den Winkelsummensatz oder die Satzgruppe des Pythagoras nur Teilinformationen erhalten konnte. Durch die Ausweitung auf beliebige Ebenen und sogar sphärische Dreiecke gewinnt die Trigonometrie vielfachen Anwendungsbezug in Astronomie, Landvermessung und Kartographie, im Bauwesen und in der Seefahrt. Die völlige Lösung vom Dreieck führt zur Verwendbarkeit bei der Beschreibung periodischer, das heißt sich in regelmäßigen Zeitabständen wiederholender Vorgänge in Physik und Technik, aber auch etwa in der Biologie.

8 Mathematik im Straßenverkehr (oder beim Skifahren) 1. Zwei Verkehrsschilder: a) Welche Bedeutung haben diese beiden Schilder? b) Zeichne zwei Straßen, an denen die Verkehrsschilder stehen könnten.

9 2. Verschiedene Steigungen a) Wie sieht ein Weg mit 100 % (50 % bzw. 200 %) Steigung aus? b) Welche Steigung hat ein Weg, der gegenüber der Horizontalen um 30 (bzw. 60 ) ansteigt? c) Eine 2 km lange Straße steigt gleichmäßig mit 15 % Steigung an. - Welcher Höhenunterschied wird dabei überwunden? - Wie lang ist die Straße auf einer Landkarte mit dem Maßstab 1 : ? 3. Gefälle des Rheins Straßburg liegt 140 m, Mainz 82 m über dem Meeresspiegel. a) Wie viel Prozent beträgt das durchschnittliche Gefälle des Rheins zwischen Straßburg und Mainz? b) Informiere dich möglichst umfassend über die Städte Straßburg und Mainz und berichte deinen Mitschülern darüber.

10 4. Steigungen in Schottland An einer Straße in Schottland steht folgendes Verkehrsschild: a) Welche Bedeutung hat wohl dieses Schild? b) Welcher Höhenunterschied wird auf dieser Strecke überwunden? 5. Steigung und Neigungswinkel Die Steigung s einer Straße hängt eng mit dem Winkel a zusammen, den die Straße mit der Horizontalen einschließt. Stelle diesen Zusammenhang grafisch dar.

11 6.Ein Weg um das Parkhaus Ein Parkhaus besitzt die Gestalt eines Zylinders. Es ist 25 m hoch und hat einen Durchmesser von 30 m. Ein Zugangsweg soll in Form einer gleichmäßig ansteigenden Wendelstrecke rings um das Parkhaus geführt werden, sodass alle Parkdecks erreichbar sind. Damit er auch für Rollstuhlfahrer geeignet ist, darf er maximal 6 % Steigung besitzen.

12 Ein Zeitschriftenartikel In der Zeitschrift ADAC Motorwelt", Ausgabe 12/2001, waren folgende Frage eines Lesers sowie die Antwort der Redaktion abgedruckt: Bei Bergstrecken weisen Schilder auf die Steigung oder das Gefälle hin. Wie steil sind z. B. 15 %? Die Prozentangaben lassen sich mit einer einfachen Formel umrechnen: Eine Steigung von - nur rein theoretisch möglichen % ergeben sich, wenn Sie nach einer zurückgelegten Strecke von 100 Metern einen Höhenunterschied von 100 Metern überwunden hätten. Bei 15 % hätten Sie also nach 100 Metern Fahrt 15 Meter an Höhe gewonnen. Übrigens: Besonders steile Passstraßen haben bis zu Z2 % Steigung, Rampen in Tiefgaragen zirka 15 %. Nimm zu diesem Zeitschriftenausschnitt Stellung und verfasse dazu einen Leserbrief!

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