Masse, Impulserhaltung und die Mechanik

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1 Kapitel 3 Masse, Impulsehaltung und die Mechanik Wenn die Beschleunigung eines Teilchens bekannt ist, haben wi gelent, wie wi seine momentane Geschwindigkeit und seine Lage als Funktion de Zeit mit Diffeentialechnung ode mit numeische Rechnung bestimmen können. Bislang haben wi gefagt, wie wid sich ein Teilchen bewegen. Abe in vielen ealistichen Fällen kennen wi die Beschleunigung des Teilchens nicht. Wi kennen die Käfte, die auf das Teilchen wiken, ode die Enegie des Teilchens, und wi wollen diese Infomation benutzen, um die Bewegung vohezusagen. Wi wollen wissen, weshalb ein Teilchen sich bewegt. In diesem Kapitel weden wi von Käften spechen. Diese Methoden bilden das Gebiet de Dynamik. Eine zentale Rolle in de Dynamik spielt die Masse. Physik 07 Masse, Impulsehaltung und die Mechanik Wi weden dazu physikalische Gössen einfühen, die fü die gesamte Physik von fundamentale Bedeutung sind: de lineae Impuls und die Kaft. Auf den Begiffen Masse, Impuls und Kaft basiet die gesamte klassische Mechanik. 3. Die Masse 3.. Die Definition de Masse In unsee Alltagsspache benutzen wi austauchba die Wöte Masse und Gewicht. Im Rahmen de Physik weden diese Wöte mit veschiedene Bedeutung benutzt. Wi sagen: a) Das Gewicht ist eine Kaft, die ein Köpe z.b. auf den Boden ausübt. Das Gewicht ist eine Gösse, die mit eine Waage gemessen wid. b) Die Masse ist eine Eigenschaft eines Köpes. Die Masse ist ein Mass dafü, wieviel Stoff im Köpe enthalten ist. Das Gewicht eines Köpes kann in veschiedenen Situationen veschieden sein. Das Gewicht eines Astonauts sei z.b. auf de Edobefläche 90 kg. Wenn e in seine Umlaufbahn um die Ede ist, ist sein Gewicht gleich null.. Wi weden eine genaue Definition de Kaft im Kap einfühen. 08 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

2 Die Masse Im Gegensatz dazu ist die Masse des Astonauts auf de Ede und in de Umlaufbahn imme dieselbe. De Astonaut ist nicht masselos gewoden, sonden nu gewichtslos. Rückstossvesuch. Um die Masse genau zu definieen, weden wi einen Rückstossvesuch vewenden. Wi betachten zwei Wagen, A und B, die sich eibungsfei übe eine Luftkissenbahn bewegen können. Siehe Abb. und. Figu. Demonstationsepeiment: Wagen übe eine Luftkissenbahn. Am Anfang weden die beiden Wagen mit einem Faden zusammengebunden. Eine Fede ist zwischen den beiden Wagen eingeklemmt. Physik 09 Masse, Impulsehaltung und die Mechanik In diesem Vesuch wid de Faden zeschnitten und die Geschwindigkeiten de Wagen v A und v B gemessen. Wenn de Faden zeschnitten ist, entfenen sich beide Wagen mit engegengesetzen Geschwindigkeiten voneinande. Wi bemeken, dass die Geschwindigkeiten de Wagen nicht imme denselben Betag besitzen. Faden Fede A B eibungsfeie Luftkissenbahn (a) V A A B V B (b) Figu. Ein Rückstossvesuch. a) Anfangszustand b) Faden zeschnitten. Aus Epeimenten mit veschiedenen Wagen schliessen wi, dass das Vehältnis de Geschwindigkeiten de beiden Wagen gegeben ist duch m A m B v B v A wobei m A und m B die Massen de Wagen sind. Zwei wichtige Bemekungen:. Das Rückstossepeiment hat nichts mit den Gewichten de Wagen zu tun. Man könnte ebenso das Epeiment im Weltaum (wo die Wagen gewichtslos wäen) duchfühen. Das Egebnis wäe dasselbe! 0 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

3 Die Masse Auf de Ede haben wi eine Luftkissenbahn vewendet, so dass die Wagen sich fei bewegen. Die nach unten geichtete Edbeschleunigung wid von de Luftkissenbahn kompensiet (die Wagen fallen nicht nach unten). Obwohl die Wagen auf die Luftkissenbahn dücken, ist de Effekt dank dem Luftfluss venachlässigba.. Das Egebnis ist auch unabhängig von de Fede. Wäe die Fede stäke, wüden beide Wagen sich schnelle voneinande entfenen. Das Vehältnis de Geschwindigkeiten wüde sich abe nicht änden. D.h., dass die Masse eines Wagens nu von den Eigenschaften de Wagen abhängt. Bis jetzt haben wi nu von einem Vehältnis gespochen. Wie sollen wi die Masse definieen? Wi wählen eine de Massen, z.b. m B, so, dass sie eine genomte Masse besitzt. Von eine solchen genomten Masse haben wi schon im Kap.. gespochen, als die Definition de Einheit de Masse (das Kilogamm) betachtet wude. Wi haben dot gesagt: Das Kilogamm ist die Masse eines Pototyps des Kilogamms. Es ist ein Platin-Iidium-Zylinde, de im Bueau Intenational des Poids et Mesues in Sèves bei Pais aufbewaht wid. Dann weden alle Massen elativ zu gewählten Masse m B gemessen, als m A v B v m A B Physik Masse, Impulsehaltung und die Mechanik Alle andeen Massen weden dann duch einen Rückstossvesuch als m A v BIPM Ê Ë Á - Pototyp ˆ ( Kilogamm ) v A definiet, wobei v BIPM-Pototyp die gemessene Geschwindigkeit des Pototyps ist. 3.. Täge und schwee Masse Die vohe gegebene Definition de Masse entspicht eine genauen, abe komplizieten At von Messung de Masse! Eine Messung mit eine Waage ist eine einfachee Methode, um die Masse zu messen. Siehe Abb. 3. Stab Dehpunkt Gegenstand genomte Masse Figu 3. Waage. Wenn die zwei Massen gleich sind, wid de Stab stillstehen. De Stab ist im Gleichtgewicht. Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

4 Die Masse Die Waage vegleicht die Gewichte de Massen, d.h. die nach unten geichteten Gavitationskäfte, die die zwei Massen auf den Telle ausüben. Wenn die Gavitationskäfte einande gleich sind, bleibt de Stab im Gleichgewicht. Mit eine solchen Waage können wi die Gavitationskäfte von Massen mit de Gavitationskaft, die die genomte Masse auf den Telle ausübt, vegleichen. Wenn wi die Messungen mit eine Waage mit denjenigen des Rückstossvesuches vegleichen, bemeken wi, dass gleiche Massen die gleichen Gavitationskäfte ausüben. Wi nehmen zwei Wagen, die sich mit deselben Geschwindigkeit im Rückstossvesuch bewegen. D.h., dass sie die gleiche Masse besitzen. Wenn wi diese Wagen auf den Telle de Waage stellen, wid de Stab im Gleichgewicht stehen. Dieses epeimentelle Egebnis ist keine offensichtliche Sache! De Physike Etvös hat 9 mit seh genauen Vesuchen bewiesen, dass Köpe mit gleiche Masse gleiche Gavitationskäfte ausüben. E hat dieses Egebnis mit eine Genauigkeit von Teil in 0 9 gepüft. Wi sagen gewöhnlich a) die täge Masse ist die Gösse, die wi mit einem Rückstossepeiment messen, und b) die schwee Masse ist die Gösse, die wi mit eine Waage messen. Dank R.H. Dicke, de das Etvösche Epeiment noch vebesset hat, wissen wi heutzutage, dass beide Definitionen mit eine Genauigkeit von Teil in 0 gleich sind. Physik 3 Masse, Impulsehaltung und die Mechanik Im Beeich de Mechanik wid nicht gesagt, waum diese zwei Massen gleich sind. Nu in de Allgemeinen Relativitätstheoie von Einstein kann man mit Hilfe des Äquivalenzpinzips (Siehe Kap...) vestehen, waum beide gleich sein müssen. 3. De Impuls Nun weden wi das Gesetz de Impulsehaltung einfühen. Ein Ehaltungs -Gesetz im Gebiet de Physik dückt aus, dass eine Gösse sich nicht ändet. Sie wid ehalten, d.h. sie wid vo und nach veschiedenen Vogängen dieselbe sein. 3.. Die Definition des Impulses In de Definition de Masse haben wi gesehen, dass in Rückstossvesuchen das Vehältnis de Geschwindigkeiten de Wagen eine konstante Zahl wa, unabhängig von de Fede. Wi haben dieses Egebnis als m A m B v B v A ausgedückt. Jetzt wollen wi diese Gleichungen vewenden, um eine Gösse zu definieen, die sich nicht änden wid, wenn de Faden zwischen den Wagen zeschnitten wid. Wi scheiben die Gleichung als mv A A mv B B 4 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

5 De Impuls Jetzt bemeken wi, dass v A und v B die Betäge de Geschwindigkeitsvektoen de Wagen sind. Da die Wagen sich in entgegengesetzen Richtungen voneinande entfenen, gilt mv A A -mv B B wobei wi die Geschwindigkeitsvektoen statt de Betäge de Geschwindigkeiten benutzt haben. Diese Gleichung wid geschieben als mv A A + mv B B 0 (nachdem de Faden zeschnitten ist) Mit einem solchen Ausduck haben wi die folgende Gösse den Wagen A und B zugeodnet: m A v A ist nu eine Eigenschaft des Wagens A, und m B v B nu eine Eigenschaft des Wagens B. Eine neue Gösse wid deshalb definiet: De lineae Impuls eines Teilchens ist gleich dem Podukt aus seine Masse und seine Geschwindigkeit: p mv De Impuls ist eine vektoielle Gösse, weil e das Podukt eine skalaen Gösse (die Masse) und eine vektoiellen Gösse (die Geschwindigkeit) ist. Die Gleichung dückt aus, dass die Summe de Impulse nach dem Rückstoss gleich null ist. Bevo de Faden zeschnitten wude, sind beide Wagen in Ruhe. Vo dem Rückstoss, gilt va 0 vb 0 Physik 5 Masse, Impulsehaltung und die Mechanik Die Summe de lineaen Impulse bevo de Faden zeschnitten wude, ist dann mv A A + mv B B 0 (bevo de Faden zeschnitten ist) Wi schliessen daaus, dass die Summe de lineaen Impulse de Wagen sich wegen des Rückstosses nicht geändet hat. Die Summe de lineaen Impulse de Wagen nennen wi den Gesamtimpuls Ptot Ptot pa + pb ma va + mb vb Die Gleichung P tot ( vohe ) P tot ( nachhe ) dückt die Ehaltung des Gesamtimpulses aus. 3.3 Die Impulsehaltung 3.3. Das allgemeine Gesetz Auf den voheigen Seiten haben wi einen Rückstossvesuch betachtet. Wi haben gefunden, dass in einem solchen Vesuch eine vektoielle Gösse de Gesamtimpuls ehalten ist. Bishe haben wi nu das Egebnis des Rückstossvesuches auf eine andee At neu dagelegt. Das Gesetz de Impulsehaltung ist abe ganz allgemein gültig. 6 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

6 Die Impulsehaltung Es kann so fomuliet weden: Ein isolietes System ist ein System, das keine Wechselwikungen mit andeen Köpen spüt. Das System kann seh weit von andeen Köpen entfent sein, ode die Wechselwikungen mit andeen Köpen kompensieen einande, so dass de Effekt veschwindet. In einem solchen isolieten System ist de Gesamtimpuls ehalten. Das Gesetz de Ehaltung des Impulses ist eines de gundlegenden und allgemein gültigen Gesetze de Physik. Wi kennen keine Ausnahmen von diesem Pinzip. Wi haben noch nicht viel von Käften gespochen. Von Käften wid ein bisschen späte gespochen. Wi müssen nu vestehen, dass es im Rückstossvesuch keine äussee Kaft gab, und deshalb die Wagen als isolietes System betachtet weden können. Wi haben im Vesuch eine Luftkissenbahn vewendet, so dass keine äussee esultieende Kaft auf den Wagen wikt. Die nach unten geichtete Gewichtskaft eines Wagens wude von de Luft de Luftkissenbahn ausgeglichen. Die esultieende vetikale Kaft wa deshalb gleich null. Wenn de Faden zeschnitten wude, hat die Fede eine nicht veschwindende Kaft ausgeübt. Diese Kaft ist abe keine äussee Kaft, sonden eine innee Kaft, die auf die Wagen wikt. Sie kann deshalb den Gesamtimpuls des Systems nicht änden. Physik 7 Masse, Impulsehaltung und die Mechanik 3.4 Das este Newtonsche Gesetz: Tägheit Eine este Folgeung aus dem Impulsehaltungsgesetz ist das Tägheitspinzip. In den Zeiten vo Galileo Galilei (564-64) nahm man an, dass die Kaft in Vebindung mit de Geschwindigkeit eines Köpes wa. Man dachte, dass eine Kaft wiken muss, um einen Köpe in Bewegung zu halten. Je gösse die Kaft, desto schnelle bewegt sich das Teil- Wi sehen, dass fü ein isolietes System gelten muss: dp tot p tot Konst fi 0 dt Wenn ein System nu einen Köpe enthält, ist de Gesamtimpuls gleich dem Impuls des Köpes, und wi ehalten dp dt dmv ( ) dt 0 m dv dt wobei wi angenommen haben, dass sich die Masse des Köpes mit de Zeit nicht ändet. Es folgt, dv 0 fi v Konst. fi a ( t ) 0 dt Wi sagen, Tägheitspinzip: Ein Köpe bleibt in Ruhe ode bewegt sich mit konstante Geschwindigkeit, wenn e isoliet (ode fei) ist. 8 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

7 Das zweite Newtonsche Gesetz: Aktionspinzip chen. In unsee täglichen Efahungen ist dieses Denken nicht ganz so falsch. Galileo und Newton ekannten, dass in den meisten Situationen auf de Edobefläsche Köpe sich nicht eibungsfei bewegen. D.h., in den meisten Fällen sind die Köpe nicht isoliet, weil die esultieende Wechselwikung mit andeen Köpen nicht gleich null ist.. Wenn ein Köpe gewofen wid und sich in de Luft bewegt, wikt auf ihn die Gavitationskaft ein und e fühlt auch die Reibung de Luft (d.h. Luftwidestand).. Wenn ein Köpe sich auf dem Boden bewegt, fühlt e die Reibung zwischen seine Fläche und de Bodenfläche. Aus diesen Beobachtungen haben Galilei und Newton sich vozustellen vesucht, wie ein Köpe sich bewegen wüde, wenn es fei wäe. Sie sind zum Schluss bekommen, dass die Wechselwikung mit andeen Köpen mit de Beschleunigung zusammenhängt, so dass das Tägheitspinzip gelten muss. 3.5 Das zweite Newtonsche Gesetz: Aktionspinzip 3.5. Die Definition de Kaft Wi betachten eine gleichfömige Keisbewegung, die wi im Kap..6 studiet haben. Wi haben gesehen, dass Physik 9 Masse, Impulsehaltung und die Mechanik eine nach dem Zentum des Keises geichtete Beschleunigung auf das Teilchen wiken muss, damit das Teilchen sich auf eine Keisbahn bewegt. Wi können den Impuls des Balles beechnen. Es gilt: t () ( cos wte ) + ( sin wte ) y d vt () w( -sin wt) e + w( cos wt) ey dt und damit ist de Impuls gleich: pt () mvt () m w (-sin wte ) + ( cos wte ) y [ ] wobei m die Masse des Köpes ist. De Impulsvekto zeigt in die Richtung des Geschwindigkeitsvektos und ist deshalb tangential. E ändet sich mit de Zeit, so dass de Ball sich auf dem Keis bewegt. Wi können die zeitliche Ableitung des Impulses betachten: m w w cos wt e w sin wte dp dt [ ( ) y] - ( ) + - [ ] - mw ( cos wt) e + ( sin wt) ey - mw De esultieende Vekto zeigt zum Zentum des Keises. Dies ist die Richtung des Fadens. 0 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

8 Das zweite Newtonsche Gesetz: Aktionspinzip Siehe Abb. 4. a Figu 4. Die Beschleunigung des Balles ist zum Zentum des Keises geichtet. Was ist fü die zeitliche Ändeung des Impulses veantwotlich? Wi sagen, dass de Faden eine Kaft auf den Köpe ausübt. Diese Kaft ist fü die zeitliche Ändeung des Impulses veantwotlich. Zusammenfassend: Die esultieende Kaft, die auf einen Köpe wikt, wid als die zeitliche Ändeung des Impulses des Köpes definiet: Wi sagen, dass wenn sich de Impuls eines Köpe mit de Zeit ändet, wikt auf den Köpe eine nicht veschwindende Kaft. Weil de Impuls eine vektoielle Gösse ist, de eine Richtung und einen Betag besitzt, ist die Kaft auch ein Vekto. Im folgenden Kapitel weden wi veschiedene Aten von Käften definieen. Wenn wi die Wikung mehee Käfte auf Physik Faden Ball F dp dt Masse, Impulsehaltung und die Mechanik einen Köpe betachten, wid die esultieende Kaft als die Vektosumme de einzelnen Käfte geschieben: F Â F i i Es folgt daaus, dass sich de Impuls eines Köpes nu dann mit de Zeit änden wid, wenn sich die Wikungen alle Käfte nicht gegenseitig kompensieen Beziehung zwischen Kaft und Beschleunigung Welche Rolle spielt dann die Masse? Wi können die Definition des Impulses als Funktion de Masse und de Geschwindigkeit des Köpes vewenden, um eine Beziehung zwischen de esultieenden Kaft und de Beschleunigung hezuleiten, die nu gilt, wenn die Masse des Köpes konstant ist: F () dp t dt d dt dv () t mv () t m dt ( ) ma () t Es folgt damit, Aktionspinzip: Die Beschleunigung eines Köpes, dessen Masse sich mit de Zeit nicht ändet, ist umgekeht popotional zu seine Masse und diekt popotional zu esultieenden Kaft, die auf ihn wikt: at ( ) m Ft ( ) Weil die Masse eine skalae Gösse ist, zeigen die Beschleunigung und die esultieende Kaft imme in dieselbe Richtung. Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

9 t t t t t 0 Das zweite Newtonsche Gesetz: Aktionspinzip Einheit: Die Einheit de Kaft ist Newton (N) und entspicht jene Kaft, die benötigt wid, um einen Köpe de Masse kg mit m/s zu beschleunigen De Kaftstoss Wi haben im letzten Abschnitt die Definition de Kaft mit Hilfe de Ableitung des Impulses nach de Zeit gegeben. Im Allgemeinen können die physikalischen Gesetze in diffeentielle Fom ode in Integal-Fom ausgedückt weden. Im Fall de Kaft kann de Kaftstoss definiet weden. De Kaftstoss ist ein Vekto, de so definiet wid: t I Ú F() t dt Es gilt, I F t dt () dt p () t pt ( ) dp t dt Ú () Ú Man kann diese Gleichung so intepetieen: Um den Impuls eines Köpes zu änden, muss eine Kaft wähend eines endlichen Zeitintevalls wiken. Die Ändeung des Impulses ist danach gleich dem Integal de Kaft übe die Zeit. De Kaftstoss kann auch als Impulsübetag definiet weden. Physik 3 Masse, Impulsehaltung und die Mechanik 3.6 Das ditte Newtonsche Gesetz: Aktion Reaktion Wi betachten die Wechselwikung zwischen zwei Köpen. Jede Köpe übt eine Kaft auf den andeen aus. Jede Einzelkaft ist nu ein Aspekt eine gegenseitigen Wechselwikung zwischen den zwei Köpen. Übt ein Köpe auf einen zweiten eine Kaft aus, so wikt diese auch auf den esten mit eine Kaft. Es gibt keine einzelne isoliete Kaft. Wenn die este Kaft als Aktionskaft bezeichnet wid, wid die zweite Reaktionskaft genannt (jede de beiden Käfte kann natülich als Aktion betachtet weden, dann ist die andee die Reaktion). Newton hat in seinem ditten Gesetz die Situation zusammengefasst und hat die Richtungen und die Betäge de Käfte postuliet: Aktions-Reaktions-Pinzip: Zu jede Aktion gehöt eine gleich gosse Reaktion, die denselben Betag besitzt abe in die entgegengesetzte Richtung zeigt. Dieses Gesetz ist eine diekte Folgeung de Impulsehaltung. Wi betachten ein isolietes System mit zwei Köpen A und B. Wenn das System isoliet ist, wid de gesamte Impuls ehalten: ptot pa + pb Konst. Wi beechnen die zeitliche Ableitung des gesamten Impulses: tot A B + 0 dp dt dp dt dp dt 4 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

10 Anwendungen: Impuls und Impulsehaltung Aus de Definition de Kaft folgt: FA + FB 0 wobei F A die Kaft ist, die auf den Köpe A wikt, und F B ist die Kaft, die auf den Köpe B wikt. Weil das System isoliet ist, ist F A die Kaft, die de Köpe B auf A ausübt und F B ist die Kaft, die de Köpe A auf B ausübt. Damit: FA - FB: Aktion Reaktion 3.7 Anwendungen: Impuls und Impulsehaltung 3.7. Ein feie Köpe im Weltaum Was ist ein feie Köpe? Das ist siche eine Idealisieung! Wi können totzdem annehmen, dass fü einen Köpe im Weltaum, de seh weit entfent von andeen Stenen und Planeten ist, die Wechselwikung mit dem Rest des Univesums als venachlässigba betachtet weden kann und de Köpe deshalb fei ist. Ein Köpe ist auch fei, wenn sich die Wechselwikungen mit andeen Köpen gegenseitig kompensieen, was zu eine veschwindenden Gesamtwechselwikung füht. In diesem Fall ist de Impuls des Köpes ehalten: p mv Konst. Physik 5 Masse, Impulsehaltung und die Mechanik De Köpe bewegt sich geadlinig mit konstante Geschwindigkeit. Als Beispiel dazu können wi die Bahnkuve de künstlichen Satelliten Voyage und ewähnen. Diese Satelliten wuden 977 in den Weltaum geschossen. Seitdem bewegen sie sich fei duch unse Sonnensystem. Nach de uspünglichen Beschleunigung wuden ihe Tiebweke ausgeschaltet (die Tiebweke wuden nu gebaucht, um die Bahnkuve zu koigieen, so dass sie die gewünschten Planeten teffen). Ihe Bahnkuven sind in Abb. 5 gezeigt. Die Bahnkuven sind wegen de Wechselwikungen mit de Sonne und den Platenen gekümmt (diese Gavitationskaft wid im Kap. 3.3 diskutiet). Wi bemeken, dass je meh de Abstand zwischen den Satelliten und den Planeten zunimmt, desto geadlinige wid die Kuve. Figu 5. Bahnkuve de künstlichen Satelliten Voyage und. 6 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

11 Anwendungen: Impuls und Impulsehaltung Ihe Geschwindigkeit elativ zu Sonne ist ungefäh 8 km/s. Heute haben die Satelliten unse Sonnensystem velassen und fliegen duch den Weltaum weite. Es wid ewatet, dass sie das a-centaui System (de uns am nächsten stehende Sten (ausse de Sonne)) in ungefäh Jahen eeichen weden Senkechte Wuf nach oben Ein Mensch wift einen Ball senkecht in die Luft und fängt ihn wiede auf. Wi nehmen an, dass de Mensch ein Teil de Ede sei und fest mit ih vebunden ist. Das System wid deshalb als Ede+Mensch und Ball betachtet. Die Gavitationskaft (das Gewicht des Balls) zwischen Ede und Ball stellt eine innee Kaft des Systems da. Das System kann als isoliet betachtet weden. Fü den Mensch befinden sich die Ede und de Ball vo dem Wuf in Ruhe. D.h., de Gesamtimpuls des Systems ist am Anfang gleich null. E muss nach dem Wuf noch null sein. Es gilt: ptot mb vb + meve 0 wobei die Indizes E und B die Ede und den Ball bezeichnen. Wenn de Ball in die Luft gewofen wid, wid die Ede zuückgestossen. Da die Ede eine seh viel gössee Masse als de Ball besitzt, wid die Rückstossgeschwindigkeit de Ede seh klein (veschwindend klein!): m B v m v E - E B wobei m E ª kg ist. Physik 7 Masse, Impulsehaltung und die Mechanik Wähend de Bewegung des Balles zieht die Gavitationskaft den Ball und die Ede an, bis de Ball nicht meh steigt und schliesslich wiede nach unten fällt. Dabei fällt die Ede auch mit einem gleich gossen entgegengesetzten Impuls auf den Ball zu. Beim Aufteffen des Balls auf die Ede velieen beide Köpe ihe Bewegung und de Gesamtimpuls bleibt unveändet gleich null De Rückstoss von Eiskunstläufen Ein Mann mit eine Masse von 70 kg und ein Junge mit eine Masse von 35 kg stehen zusammen auf eine glatten Eisfläche, fü die die Reibung venachlässigba sei. Wie weit sind die beiden nach 5 Sekunden voneinande entfent, wenn sie sich voneinande abstossen und de Mann sich mit 0,3m/s elativ zum Eis bewegt? Siehe Abb. 6. vb v A Figu 6. Rückstoss de Eiskunstläufe. Das Gesamtimpuls wid ehalten. Da die Masse des Mannes doppelt so goss ist wie die des Jungen, betägt seine Geschwindigkeit nu die Hälfte dejenigen des Jungen. 8 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

12 Anwendungen: Impuls und Impulsehaltung De Mann und de Junge weden als ein System betachtet. Kann ein solches System als isoliet betachtet weden? Die Gavitationskaft, die beide efahen, wid duch die Kaft ausgeglichen, die vom Eis ausgeübt wid. Die Reibung mit dem Eis ist als venachlässigba angenommen. Das System kann deshalb als isoliet betachtet weden, und de Gesamtimpuls wid ehalten. Da sich de Mann und de Junge uspünglich in Ruhe befinden, ist de Gesamtimpuls gleich null. pa + pb 0 fi mava + mv B B 0 m A v m v 70 kg B A ( 03, m/ s) 06, m/ s 35 kg B De Mann hat die doppelte Masse des Jungen und de Junge bewegt sich mit de doppelten Geschwindigkeit des Mannes. Nach 5 Sekunden hat sich de Mann,5 Mete, de Junge 3 Mete weit vom Ausgangspunkt weg bewegt, so dass sie nun 4,5 Mete voneinande entfent sind Laufen auf dem Eisenbahnwagen Ein Eisenbahnwagen de Masse M ollt eibungsfei mit de Geschwindigkeit v 0 übe ein geadliniges Gleis. Auf de Ladefläche Physik 9 Masse, Impulsehaltung und die Mechanik steht ein Mensch de Masse m, de beginnt, nach links zu laufen. Welche Geschwindigkeitsändeung efäht de Wagen? v el v 0 Das System Mensch-Wagen ist isoliet. De gesamte Impuls wid ehalten. Bevo de Mensch zu laufen begann: ptot mv 0 + Mv 0 Nachdem de Mensch gestatet ist, haben sich seine Geschwindigkeit und die des Wagens geändet, de Wagen habe dann die Geschwindigkeit v. Nachhe ist de gesamte Impuls gleich: ptot m( v -vel ) + Mv Es gilt, ( ) + mv + Mv m v -v Mv 0 0 el ( ) + ( ) - fi m + M v m M v mv 0 ( ) - ( ) - fi m + M v v mv 0 el el Die Ändeung de Geschwindigkeit des Wagens ist gleich: mv el Dv v - v0 m + M ( ) 30 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

13 Anwendungen: Impuls und Impulsehaltung Hoizontale Rückstoss eine Kanone Wi betachten eine Kanone, die sich uspünglich in Ruhe auf einem eibungsfeien hoizontalen Boden befindet. Eine Kugel wid von de Kanone unte einem Winkel q mit eine Geschwindigkeit v 0 bezüglich de Kanone abgeschossen. Was ist die Rückstossgeschwindigkeit de Kanone, nachdem die Kugel abgeschossen wude? Das System wid als Kanone-Kugel betachtet und de gesamte Impuls des Systems ist dann gleich: Ptot pkugel + pkanone Weil wi eine ebungsfeie Bewegung auf dem Boden angenommen haben, kann das System als isoliet betachtet weden. De gesamte Impuls wid deshalb ehalten. v0 y q Wi können die Bewegung zelegen und nu die -Komponente betachten, weil wi annehmen, dass die Kanone sich nu hoizontal bewegt. Physik 3 Masse, Impulsehaltung und die Mechanik Bevo die Kugel abgeschossen wid, veschwindet die -Komponente des gesamten Impulses: P vohe ( ) 0 Nachdem die Kugel abgeschossen wude, ist de Impuls de Kugel bezüglich des Bodens gleich mkugel ( v0 cosq - vr ) De gesamte Impuls ist damit gleich ( 0 q - ) - P ( nachhe ) m v cos v m v Kugel R Kanone R Die hoizontale Komponente des Impulses wid ehalten. Es folgt, Kugel ( 0 cosq - R ) - Kanone R 0 m v v m v ode ( ) fi m v cos q - v m v Kugel 0 R Kanone R ( ) fi m v cos q m + m v Kugel 0 Kanone Kugel R m Kugel fi v R v 0 cos q ( mkanone + mkugel ) 3 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

14 Anwendungen: Kontaktkäfte q y v R v 0 cosq v R 3.8 Anwendungen: Kontaktkäfte In de Natu beobachten wi veschiedene Aten von Käften. Wi weden uns nun mit den Käften, die auf makoskopische Gegenstände wiken, beschäftigen. Diese Käfte, sogenannte Kontaktkäfte, weden z.b. von Feden, Fäden ode Obeflächen ausgeübt, wenn diese in diektem Kontakt mit den Gegenständen sind. Das Konzept de Kaft und die Newtonschen Gesetze spielen ihe wichtigste Rolle in Anwendungen. Wenn wi sie nicht anzuwenden wissen, dann sind sie nicht nützlich. Wi diskutieen im Folgenden einige Anodnungen Köpe, die sich aufeinande befinden Wi betachten ein System mit zwei Blöcken: de este Block sitzt auf dem zweiten, de sich auf dem Boden befindet. Physik 33 Masse, Impulsehaltung und die Mechanik Block A Block B Im Allgemeinen können wi einige Regeln fomulieen, um die Anwendung von Käften zu veeinfachen:. Man muss kompliziete Systeme in kleine Teile unteteilen, so dass jede Teil als ein Massenpunkt (Siehe Kap...) betachtet weden kann.. Jede Köpe wid duch einen Punkt dagestellt. 3. Man zeichnet die Käfte fü jeden Massenpunkt. Nu die Käfte, die auf den Massenpunkt wiken, weden dagestellt. 4. Jede Kaft muss eine Richtung und einen Betag besitzen. Veschiedene Köpe können z.b. duch Fede- ode Fadensysteme miteinande vebunden weden ode können aneinande stossen ode ziehen. Alle Wechselwikungen zwischen Köpen weden duch Käfte dagestellt. In unseem Beispiel sind wi an den zwei Blöcken A und B inteessiet. Die Massen weden als M A und M B bezeichnet. De Boden wid nicht betachtet, und deshalb weden wi die Käfte, die auf den Boden wiken, nicht zeichnen. 34 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

15 Anwendungen: Kontaktkäfte MA MB Das entspechende Käftediagamm wid das folgende sein: y N A MA N B F AB F A M A g MB F B M B g Wi finden 5 Käfte:. Block A: a) F A ist die Gavitationskaft (d.h. das Gewicht) des Blocks A de Masse M A. Diese Kaft bescheibt die Wechselwikung zwischen de Ede und dem Block A. b) N A ist die Nomalkaft, die de Block B auf den Block A ausübt.. Block B: Physik 35 Masse, Impulsehaltung und die Mechanik a) F B ist die Gavitationskaft (d.h. das Gewicht) des Blocks B de Masse M B. Diese Kaft bescheibt die Wechselwikung zwischen de Ede und dem Block B. b) N B ist die Nomalkaft, die de Boden auf den Block B ausübt. c) F AB ist die Kaft, die de Block A auf den Block B ausübt. Diese Käfte sind vektoielle Gössen, die eine Richtung und einen Betag besitzen. Wi diskutieen die Gleichgewichtssituation, d.h. wenn die Köpe in Ruhe bleiben. In diesem Fall müssen die wikenden Käfte einande kompensieen. Wi finden eine Bedingung fü jeden Köpe: Block A : Block B : F A + N A 0 F + N + F 0 B B AB ode Ï Ô FA + NA MAg + NA 0 Ì ÓÔ FB + NB + FAB MBg + NB + FAB 0 Wi vewenden nun das Aktions-Reaktions-Pinzip. Wi bemeken, dass weil () F AB die Kaft ist, die de Block A auf den Block B ausübt und weil () N A die Kaft ist, die de Block B auf den Block A ausübt, müssen sie einande kompensieen. Die Kaft N A kann als die Reaktion de Kaft F AB betachtet weden ode umgekeht. Die Käfte entspechen de gegenseitigen Wechselwikung zwischen den zwei Blöcken. Damit: FAB - NA 36 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

16 Anwendungen: Kontaktkäfte und es folgt Ï Ô NA - MAg Ì ÓÔ MBg + NB - NA 0 Schliesslich MBg + NB + MAg 0 fi ( MA + MB ) g + NB 0 N M M g fi - + ( ) B A B Wie ewatet, sagt diese Gleichung voaus, dass die Kaft N B, die de Boden auf den Block B ausübt, das gesamte Gewicht de Blöcke kompensieen muss. In ähnliche Weise muss die Kaft N A, die de Block B auf den Block A ausübt, das Gewicht des Blocks A kompensieen: NA - MAg Physik 37 Masse, Impulsehaltung und die Mechanik 3.8. Ein hängendes Gewicht Ein Gewicht hängt an dei Fäden von eine Zimmedecke, wie in de Abb. gezeigt ist: Decke Knoten M Es wid beobachtet, dass das Gewicht de Masse M in Ruhe bleibt. Was sind die Betäge de Käfte in den Fäden? De Knoten vebindet die dei Fäden: e wid als Köpe betachtet und die Käfte, die auf ihn wiken, sind die folgenden: y F A F B F C Wenn das Gewicht in Ruhe bleibt, so gilt F F F F F Mg A B C A B Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

17 Anwendungen: Kontaktkäfte Wi wählen das Koodinatensystem, wie gezeigt, und ehalten zwei Gleichungen: Ï F + F 0 ÌÓ A, B, F + F - Mg 0 Ay, By, Mit Hilfe de Winkel: Ï - FAcos 30 + FBcos 45 0 ÌÓ F sin 30 + F sin 45 - Mg 0 A B ode Ï 3 Ô - F + A Ì FB 0 Ô + Ó Ô FA FB - Mg 0 Damit F Mg ( + 3) 3 und F F A B A Wie ewatet, ist wegen des gösseen Winkels die Kaft F B gösse als F A. Physik 39 Masse, Impulsehaltung und die Mechanik Die schiefe Ebene: statische Fall Wi betachten einen Block mit de Masse M, de auf eine schiefen Ebene mit dem Neigungswinkel q uht, weil e duch einen Faden mit eine vetikalen Wand vebunden ist. M q Das Käftediagamm sieht so aus: y N F Mg q Die vektoielle Gleichung, die dem Gleichgewicht entspicht, ist: F N Mg In diesem Fall können wi das Koodinatensystem so wählen, dass die y-achse senkecht zu schiefen Ebene zeigt, und die -Achse paallel zu Ebene ist. In diesem Fall gilt:. die Nomalkaft zeigt in die y-richtung;. die Kaft entlang des Fadens zeigt in die -Richtung; 40 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

18 Anwendungen: Kontaktkäfte 3. die Gavitationskaft muss zelegt weden. (Man könnte natülich auch die y-achse entlang de vetikalen Richtung wählen, und dann die beiden andeen Käfte zelegen.) Mit Hilfe de Zelegung in die Komponenten sieht die Gleichung des Gleichgewichts so aus: Ï F - Mgsin q 0 ÌÓ N - Mgcos q 0 d.h. F Mgsin q und N Mg cos q Wie ewatet, entspechen den beiden etemen Fällen die Wete: q 0 : F 0 und N Mg q 90 : F Mg und N Eine Rückstellkaft: Die Fedekaft Die Fedekaft entspicht de Kaft, die eine Fede ausübt. Um diese von eine Fede ausgeübte Kaft einfach zu studieen, können wi Massen an eine Fede aufhängen. Demonstationsepeiment: An eine Fede aufgehängte Massen Mit Hilfe von veschiedenen aufgehängten Massen übepüfen wi, dass die Velängeung im ausgezogenen Zustand de Fede zu aufgehängten Masse popotional ist. Physik 4 Masse, Impulsehaltung und die Mechanik Figu 7. An eine Fede aufgehängte Masse. Wenn die aufgehängten Massen in Ruhe sind, ist die Vektosumme de Käfte, die auf die Massen wiken, gleich null. Wi müssen zwei Käfte betachten:. die nach unten geichtete Gavitationskaft und. die nach oben geichtete Fedekaft. 4 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

19 Anwendungen: Kontaktkäfte Wenn sich die Massen in Ruhe befinden, müssen die Gavitationskaft und die Fedekaft einande kompensieen. Die vektoielle Gleichung ist: F + Mg 0 wobei M die gesamte aufgehängte Masse ist. Es folgt damit, dass de Betag de Gavitationskaft, den wi duch die Menge von aufgehängten Massen kontollieen können, die Fedekaft bestimmt. Die Ezeugung de Fedekaft ist das Egebnis de Velängeung de Fede. Die Fede will ihen uspünglichen Zustand wiede finden. Käftediagamm: F Mgesamte aufgehängte Masse Mg Figu 8. An eine Fede aufgehängte Massen. Physik 43 Masse, Impulsehaltung und die Mechanik Jetzt bemeken wi, dass sich die Fede velänget, wenn wi meh Masse anhängen. Hookesches Gesetz: Epeimentell beobachtet man, dass bei kleine Längenändeung die Längenändeung de Fede zu wikenden Kaft popotional ist. Diese Beobachtung gilt fü beide, positive und negative Längenändeungen (d.h. bei ausgezogenem und zusammengedücktem Zustand de Fede). Das Hooksche Gesetz kann geschieben weden als F -k( - 0 ) -kd wobei k die Fedekonstante, 0 die Länge de Fede, wenn keine Kaft auf sie wikt, und D die Veschiebung aus de Ruhelage ist. Die MKS-Einheit de Fedekonstante ist N/m. Rückstellkaft: Die Fedekaft vesucht, die Fede in ihen uspünglichen Zustand zuückzufühen. Die Gleichung enthält deshalb ein negatives Vozeichen:. Fü D positiv (d.h. im ausgezogenen Zustand) zeigt die Fedekaft in die negative Richtung.. Fü D negativ (d.h. bei zusammengedückte Fede) zeigt die Fedekaft in die positive Richtung. Siehe Abb Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

20 Anwendungen: Kontaktkäfte 0 > 0 und F<0 0 < 0 und F>0 Figu 9. Fedekaft-Diagamm.Weil die Fedekaft vesucht, die Fede in ihen uspünglichen Zustand zuückzufühen, spicht man von Rückstellkaft Die Spannung: Fadenkäfte Man beobachtet epeimentell: Wenn wi an einem Faden ziehen, dann spannt sich de Faden und zieht mit eine gleich gossen, abe entgegengesetzten Kaft zuück. Wi können uns einen Faden als eine Fede vostellen, die eine solch gosse Fedekonstante besitzt, dass ihe Velängeung wähend de Kaftwikung venachlässigba ist. Wi weden oft idealisiete masselose Fäden betachten. D.h., die Masse de Fäden ist viel kleine als die Massen de Gegenstände, die an die Fäden gebunden weden. De Effekt de Massen de Fäden kann in diesem Fall venachlässigt weden. Ein Faden ist eine seh bequeme Voichtung, um eine Kaft zu übetagen. Physik 45 Masse, Impulsehaltung und die Mechanik Wi betachten die Situation de Abb 0. Zwei Menschen ziehen an einem Faden. F F () () F S S F S S S () () Figu 0. Fadenkaft. Zwei Menschen ziehen am Faden. Wi analysieen die Anodnung de Käfte. Die Käfte müssen entlang des Fadens wiken, weil de Faden nicht seitlich ziehen kann.. De Mensch () zieht nach links mit eine Kaft F ;. De Mensch () zieht nach echts mit eine Kaft F. Die Käfte sind entgegengesetzt, deshalb ist de Faden gespannt. 46 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

21 Anwendungen: Kontaktkäfte Die Beschleunigung des Fadens ist (Gavitationskaft wid venachlässigt) ( + ) mfaden afaden F F Wenn wi den Faden als wiklich masselos betachten, gilt ( F F ) F F + 0 fi - (Wenn die auf den Faden wikende esultieende Kaft nicht gleich null ist, wäe die Beschleunigung des Fadens wegen de veschwindenden Masse unendlich!) Jetzt fühen wi die Spannung des Fadens ein. Wi können uns vostellen, dass die Spannung sich im Faden befindet. Sie ist fü eine Übetagung de Käfte duch den Faden veantwotlich. Sie wikt entlang des Fadens, so dass ein Faden, de zwei Punkte vebindet, übeall dieselbe Spannung besitzt. Im Punkt wo de Mensch () den Faden zieht, wid die Kaft kompensiet. Dieselbe Situation findet im Punkt () statt. D.h., F + S 0 und F + S 0 F Da die Betäge von F und F gleich sind, gilt S S d.h., die Spannung entlang des ganzen Fadens besitzt übeall denselben Betag. Physik 47 Masse, Impulsehaltung und die Mechanik 3.9 Anwendung des Kaftstosses 3.9. Zuückspingen eines Balls vom Boden Ein elastische Ball de Masse 0, kg fällt auf den Boden. De Ball tifft den Boden mit eine Geschwindigkeit von ungefäh 8 m/s und spingt mit ungefäh deselben Geschwindigkeit zuück. Photogaphische Bilde zeigen, dass de Ball wähend 0 3 Sekunden in Beühung mit dem Boden wa. Wie goss ist die auf den Boden ausgeübte Kaft? (y-achse entspicht de vetikalen Richtung) vo dem Stoss : p - ( 0, kg )( 8m / s ) e y nach dem Stoss : p + (, 0 kg )( 8m /) s e y Kaftstoss: - ( 6, / ) ( 3, / ) I p p kg m s e kg m s e y y Die genaue Kaft als Funktion de Zeit können wi nicht beechnen. Wi können totzdem die mittlee ausgeübte Kaft bestimmen: I Fmittlee ( t -t0 ) fi Fmittlee I ª ( 3, kg m / s ) e y ( t - t ) ( s ) 300 e N ª ( ) y Diese mittlee Kaft ist wie ewatet nach oben geichtet. De Betag de mittleen Kaft ist ziemlich goss, ungefäh 300 Newton. Die maimale momentane Kaft wid gösse sein. 48 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

22 i i i i Anwendung: Beechnung de Bewegungen 3.0 Anwendung: Beechnung de Bewegungen Die Newtonschen Gesetze sogen fü eine Vebindung zwischen () den dynamischen Gössen Masse und Kaft eineseits, und () den kinematischen Gössen Beschleunigung, Geschwindigkeit und Veschiebung andeeseits. Wi können die Bewegungsgleichung eines Köpes, dessen Masse sich mit de Zeit nicht ändet, diekt mit diesem Gesetz finden. Es gilt F ma m dv m d  dt dt D.h., wenn alle Käfte (ode die esultieende Kaft) bekannt sind, die auf ein Teilchen wiken, können wi die Beschleunigung des Teilchens beechnen. Ode umgekeht, wenn wi die Beschleunigung eines Teilchens, ode die zeitliche Ableitung seine Geschwindigkeit, ode die zweite zeitliche Ableitung seine Otsvektofunktion kennen, können wi die esultieende Kaft, die auf das Teilchen wikt, bestimmen. Diese Gleichung kann auch mit Hilfe des Impulses ausgedückt weden: F ma m dv dmv ( ) dp  dt dt dt wobei p de Impuls des Teilchens ist. Wenn keine Kaft auf das Teilchen wikt, ist sein Impuls ehalten, d.h., e ändet sich nicht mit de Zeit. Physik 49 Masse, Impulsehaltung und die Mechanik 3.0. Die schiefe Ebene: dynamische Fall Wi haben in Kap eine Anodnung betachtet, bei de ein Block mit de Masse M auf eine schiefen Ebene mit dem Neigungswinkel q uhte, weil e duch einen Faden mit eine vetikalen Wand vebunden wa. Wid nun de Faden zeschnitten, so veschwindet die Kaft F. Die esultieende Kaft ist nun nicht meh gleich null, und de Block wid sich beschleunigt bewegen. Wie goss ist seine Beschleunigung? Die vektoielle Gleichung ist: N + Mg Fesultieende Ma wobei de Vekto a die Beschleunigung de Masse M ist. y N Mg q Die Gleichungen mit den Komponenten sehen so aus: Ï 0 - Mg sin q Ma ÌÓ N - Mgcos q Ma y 50 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

23 Anwendung: Beechnung de Bewegungen Die Nomalkaft wikt so, dass die Beschleunigung in die y-richtung veschwindet. De Block efäht nu eine Beschleunigung in die - Richtung: Ï a M Mg (- sin q ) Ô Ì Ô a M N Mg y - Ó cos q ( ) 0 Schliesslich, a - gsinq Wie ewatet, entspechen den beiden etemen Fällen die Wete: q 0 : a 0 q 90 : a - g 3.0. Bewegung mit Rollen Auf eine hoizontalen Fläche befinde sich ein Wagen mit de Masse M. Duch einen übe eine Rolle gefühten Faden ist e mit eine aufgehängten Masse vebunden. Die aufgehängte Masse m kann sich in die vetikale Richtung bewegen. Wi betachten den Faden als masselos und die Rolle als eibungsfei. Die Funktion de Rolle ist die Spannung im Faden umzulenken. Demonstationsepeiment: Messung de Beschleunigung mit Wagen Siehe Abb.. Physik 5 Masse, Impulsehaltung und die Mechanik Figu. Messung de Beschleunigung mit Wagen. Das Käftediagamm kann so dagestellt weden: positive Richtung Wagen S M S Reibungsfeie Rolle: S S S mg 5 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich) m positive Richtung Rolle

24 Anwendung: Beechnung de Bewegungen Wi bemeken, dass die Spannung die einzige nicht veschwindende Kaft ist, die auf den Wagen wikt, weil die Gewichtskaft des Wagens von de nach oben geichteten (Nomal-) Kaft, die de Tisch ausübt, kompensiet wid. Die Bewegungsgleichung kann so ausgedückt weden Ï S Ma m ÌÓ a mg - S ma fi M + m g Wenn M>>m, gilt m M g fi a µ m und a µ M Die Beschleunigung ist zum Vehältnis de Massen popotional. Wi können sagen, dass. wegen de schween Masse m das System beschleunigt wid;. wegen de tägen Masse M das System gebemst wid. Die täge Masse M des Wagens wikt seine Beschleunigung entgegen Die Atwoodsche Maschine Wi betachten die Anodnung in Abb.. Zwei Massen m und m hängen an einem Faden. Wi nehmen an, dass de Faden masselos ist und eibungsfei übe die Rolle gleiten kann. Eine solche Anodnung wid eine Atwoodsche Maschine genannt. Wenn de Faden imme gespannt ist, müssen die Betäge de Beschleunigungen de Massen gleich sein und entgegengesetztes Vozeichen besitzen. Man kann dieses Egebnis so beweisen: weil wi Physik 53 Masse, Impulsehaltung und die Mechanik annehmen, dass de Faden nicht dehnba ist, bleibt seine Länge unveändet. Es gilt (Siehe Abb. ) l h + h wobei l die Länge des Fadens ist. Mit de zeitlichen Ableitung diese Gleichung, finden wi dl dt d dt h d dt h v v und d fi - dt v d dt v a a a a Weil de Faden masselos ist, ist die Spannung entlang des Fadens imme dieselbe. Wi betachten deshalb nu einen Spannungsvekto, de nach oben zeigt. Wi betachten nun die Käfte, die auf die Masse A und die Masse B wiken: Masse A : S m g m a + + Masse B : S m g m a wobei S die Spannung des Fadens ist. Wi vewenden nun die Komponenten: wi bauchen nu die vetikale Richtung. Die positive Richtung wid nach oben gewählt. Damit scheiben wi das System de Bewegungsgleichungen: Ï S - mg ma ÌÓ S - m g m a 54 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

25 Physik 55 Ï ma + ma - mg + mg ÌÓ ma - ma S -mg -mg Die Lösung ist (wi beechnen die Diffeenz und die Summe de Gleichungen): Ï S - mg ma ÌÓ S - m g -m a Mit de Bedingung fü die Beschleunigung lautet die Bewegungsgleichung fü a a so: Figu. Eine Atwoodsche Maschine mit einem masselosen Faden und eine eibungsfeien Rolle. m g m g m m h h S S positive Richtung Anwendung: Beechnung de Bewegungen Masse, Impulsehaltung und die Mechanik d.h. Ï m - m a m m g Ô + Ì Ô S m m a m m g Ó Ô ( ) ( ) ( ) Mit Algeba findet man schliesslich m - m a a m m g und S mm m m g Die Betäge de Beschleunigungen sind einande gleich. Sie sind gleich m - m a a m m g g + Die Beschleunigung de Masse ist kleine ode gleich de Edbeschleunigung g. Die Spannung wikt imme entgegen de Gavitationskaft und bemst die Massen. Wi vestehen dieses Egebnis auch in den Genzfällen: m 0 fi a - g und a g m 0 fi a g und a -g In diesen letzten Fällen ist die Spannung gleich null, und die Massen fallen fei mit eine Beschleunigung gleich g. 56 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

26 Anwendung: Reibungskäfte 3. Anwendung: Reibungskäfte Reibung ist ein komplizietes und nicht vollständig vestandenes Phänomen. Wenn zwei Köpe in Kontakt sind und man vesucht einen elativ zum andeen zu bewegen, wid eine Reibungskaft ezeugt. Diese Kaft entsteht duch die Wechselwikungen de Moleküle eines Köpes mit denen des andeen. Sie wikt übeall dot, wo die Obeflächen de Köpe in engem Kontakt sind. Man untescheidet imme die statische und die dynamische Situation:. statische Fall: die Köpe sind in Beühung, sie bewegen sich nicht elativ zu einande. In diesem Fall wikt die Reibungskaft gegen die Bewegung. Sie vehindet die elative Bewegung. Man spicht von Hafteibung. Siehe Abb. 3. dynamische Fall: die Köpe bewegen sich elativ zu einande. In diesem Fall wid eine Reibungskaft zwischen den Obeflächen de Köpe wiken. Man spicht von Gleiteibung. Siehe Abb. 4. In beiden Fällen wiken die Reibungskäfte de Bewegung entgegen. Physik 57 Masse, Impulsehaltung und die Mechanik Figu 3. Hafteibung: de Block bewegt sich nicht wegen de Reibungskaft zwischen ihm und de Ebene. 58 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

27 F R Anwendung: Reibungskäfte Figu 4. Gleiteibung: wenn zwei Köpe sich elativ zu einande bewegen, wikt eine Reibungskaft, die de Bewegung entgegen wikt. Physik 59 Masse, Impulsehaltung und die Mechanik Wie können diese Effekte mit Hilfe von Käften dagestellt weden? Wi betachten das Beispiel de Abb. 5. Ein Köpe befindet sich auf eine schiefen Ebene. In de Abb. sehen wi die Käfte, die auf den Köpe wiken:. die Gavitationskaft mg;. die Nomalkaft N, die von de schiefen Ebene ausgeübt wid; 3. die Reibungskaft F R Wi wählen die -Achse paallel zu Ebene und die y-achse senkecht dazu. Wi zelegen die Käfte entlang de - und y-komponenten. Wi wählen das Koodinatensystem so, dass die positive - Richung abwäts (d.h. nach unten ) zeigt. In diesem Fall wid die Beschleunigung eines fallenden Köpes als positiv definiet. Die - und y-komponenten de Gewichtskaft sind gleich: mg mg -mg ( sin a, cos a) wobei a de Neigungswinkel ist. Figu 5. Käftediagamme de schiefen Ebene mit Reibungskaft. 60 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich) m y N a a mg mg mg cos a m F R y N mg sin a

28 Anwendung: Reibungskäfte Um die Reibungskaft zu bestimmen, müssen wi nun eine de zwei Situationen annehmen: Hafteibung ode Gleiteibung. Wi diskutieen beide in den nächsten Abschnitten. 3.. Hafteibung Epeimentell beobachtet man: De Neigungswinkel wid langsam ehöht. Fü die Winkel a, die kleine sind als de kitische Winkel a K, kompensiet die Reibungskaft die -Komponente de Gavitationskaft, die entlang de Ebene abwäts wikt. De Köpe bewegt sich nicht. E bleibt in Ruhe. Wi ehalten (Gleichgewichtsbedingung): N + mg + F R 0 Nach de Zelegung in Komponenten (das Koodinatensystem ist wie in Abb. 5 gezeigt), finden wi zwei Gleichungen: Ï mg sin a - F R 0 ÌÓ - mg cos a + N 0 Wi eliminieen mg aus diesen Gleichungen und finden F R tan a fi FR ( a) Ntan a N Die Kaft F R entspicht de benötigten Reibungskaft, um die Bewegung des Köpes fü einen gegeben Winkel a zu vehinden. Physik 6 Masse, Impulsehaltung und die Mechanik Beachte, dass de Betag de Reibungskaft natülich von de Masse des Köpes abhängt. Tatsächlich gilt, wie ewatet: R ( a) tan a ( cos a) tan a sin a F N mg mg Wi haben totzdem die Reibungskaft als Funktion de Nomalkaft ausgedückt. In diese Fom ist die Beziehung zwischen den Effekten klae: die Beühung zwischen de Ebene und dem Block ezeugt die Nomalkaft und die Reibungskaft. Hafteibung gilt, wenn de Winkel a kleine als de kitische Winkel a K ist. De Neigungswinkel wid langsam noch weite ehöht, bis de Köpe anfängt zu gleiten. Wenn de Winkel a gösse als a K ist, kann die Reibungskaft die Bewegung des Köpes nicht meh vehinden. Dann wid de Köpe die Ebene hinuntegleiten. Gewöhnlich dücken wi die maimale Hafteibungskaft aus als Funktion de Nomalkaft ma FR m HN wobei µ H die Hafteibungszahl ist. Die Hafteibungszahl ist eine dimensionslose Gösse, die de Popotionalität zwischen zwei Käften entspicht. Die maimale Reibungskaft ist popotional zu Nomalkaft, die zwischen den beiden Obeflächen wikt. Fü den kitischen Winkel wid die Hafteibungskaft maimal, und es gilt F Ntan a m N fi m tan a ma R K H H K 6 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

29 Anwendung: Reibungskäfte 3.. Gleiteibung Epeimentell beobachtet man: Wenn de Köpe sich bewegt, wikt noch eine Reibungskaft zwischen den Obeflächen des Köpes und de Ebene. Die Gleiteibungskaft wikt de Bewegung entgegen. Wie im Fall de Hafteibung wid die Gleiteibungskaft geschieben als FR m GN wobei µ G die Gleiteibungszahl ist. Die Gleiteibungszahl ist auch eine dimensionslose Gösse, die de Popotionalität zwischen zwei Käften entspicht. Wi können unte diese Annahme die Beschleunigung des Köpes beechnen: fü Winkel gösse als de kitische Winkel gleitet de Köpe mit eine Beschleunigung a: N + mg + FR ma Wi zelegen diese Gleichung in - und y-komponenten: Ï mg sin a - F R ma ÌÓ - mg cos a + N ma 0 y wobei wi angenommen haben, dass de Köpe keine Beschleunigung entlang de y-achse besitzt (d.h. de Köpe gleitet übe die Ebene ohne den Kontakt zu velieen). Die Bewegung beitet sich nu entlang de -Achse aus. Physik 63 Masse, Impulsehaltung und die Mechanik Nun ist die Reibungskaft gleich µ G N, und wi finden fü die -Komponente: mg sina - m G N ma und wi esetzen N duch mgcosa. Damit ist die Beschleunigung entlang de -Achse gleich a g(sin a - mgcos a) Duch eine Messung de Beschleunigung, kann de Koeffizient µ G bestimmt weden. Diese Gleichung gilt nu, wenn de Köpe sich bewegt, d.h. de Winkel a gösse ist als de kitische Winkel a K De Luftwidestand Wenn sich ein Köpe duch eine Flüssigkeit (Wasse,...) ode ein Gas (Luft,...) bewegt, wikt auf ihn eine Kaft entgegengesetzt zu seine Bewegungsichtung. Diese Kaft wid veusacht duch die Wechselwikung zwischen dem Köpe und den Molekülen de Flüssigkeit. Man spicht von de Viskosität de Flüssigkeit. Man beobachtet epeimentell, dass de Betag de Kaft mit de Geschwindigkeit des Köpes zunimmt. Bei kleine Geschwindigkeit (sogenannte laminae Stömung) ist die Kaft zu Geschwindigkeit popotional: F - Kh v wobei K eine Konstante ist, die vom Köpe abhängt und h de Viskositätskoeffizient de Flüssigkeit. 64 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

30 Anwendung: Reibungskäfte Die Konstante K hängt von de Fom und Gösse des Köpes ab. Bei kleine Geschwindigkeit sagt das Stokessche Gesetz voaus, dass die Konstante eine Kugel mit Radius R gleich K 6p R ist. Die Einheit de Konstante ist imme die eine Länge. Es folgt damit, dass die Einheit des Viskositätskoeffizienten gleich F Ns kg m F K v s s kg h fi [ h ] [ ] Poise [ K ][ ] m n m ms 0 ist, wobei wi die Einheit des Poise eingefüht haben. Veschiedene Koeffizienten sind in Tabelle aufgelistet. TABLE. Viskositätskoeffizienten einige Medien (in Poise). Flüssigkeit h Gase h Wasse (0 C),79 0 Luft (0 C),7 0 4 Wasse (0 C),005 0 Luft (0 C),8 0 4 Wasse (40 C) 0,656 0 Luft (40 C), Alkohol 0,367 0 Kohlenstoffdioid, Bei hohe Geschwindigkeit weden Tubulenzen ezeugt, und die Kaft kann mit eine Potenz de Geschwindigkeit zunehmen: K F - v Tubulenz v v n ( ) Ê Ë Á ˆ wobei n> und K eine andee Konstante ist. Physik 65 Masse, Impulsehaltung und die Mechanik Als Beispiel betachten wi einen Köpe, de wegen seine Gavitationskaft nach unten fällt. Wi nehmen an, dass die Anfangsgeschwindigkeit des Köpes gleich null ist. De Luftwidestand bewikt eine nach oben geichtete Kaft: F - Kh v und die Edbeschleunigung zeigt nach unten mit dem Betag g. Sobald die Geschwindigkeit des Köpe zunimmt, ehöht sich de Luftwidestand. Schliesslich wid die Kaft goss genug, um die Gavitationskaft zu kompensieen. Wenn diese Bedingung eeicht ist, wid die Beschleunigung veschwinden. De Köpe fällt nachhe mit konstante Geschwindigkeit, die als Endgeschwindigkeit bezeichnet wid. Die auf den Köpe wikende esultieende Kaft ist gleich: mg - K h v ma Um die Endgeschwindigkeit zu bestimmen, setzen wi a0 und betachten nu die vetikale Komponente: mg K mg K h v e fi v e h Fü einen Mensch, de mit Luftwidestand nach unten fällt, ist die Endgeschwindigkeit ungefäh 00 km po Stunde (ª 60 m/s). Wenn de Mensch einen Fallschim öffnet, wid sich de Luftwidestand ehöhen und de Mensch wid gebemst bis eine neue Endgeschwindigkeit eeicht ist. Diese Geschwindigkeit ist nomaleweise ungefäh 0 km po Sunde. 66 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

31 i i Numeische Integation de Bewegung 3. Numeische Integation de Bewegung Wi wollen nun kuz die numeische Integation de Bewegung diskutieen. Eine analytische Lösung entspicht im Pinzip dem besten Egebnis, weil sie die allgemeinen Eigenschaften des Poblems dastellt. Duch eine numeische Lösung wid imme nu ein bestimmte Spezialfall behandelt. Numeische Lösungen sind abe seh nützlich in Fällen, wo die wikenden Käfte eine kompliziete Fom annehmen. Wi beginnen mit de Definition de mittleen Geschwindigkeit im Zeitintevall Dt (Siehe Kap..4.): S i i+ - i v D t t - t ( ) i+ i ( i 3,,,...) Damit ehalten wi eine ekusive Beziehung fü den Otsvekto: i+ - i vidt fi i+ vidt + i Diese Gleichung elaubt die Beechnung de neuen Position als Funktion de alten Position und de mittleen Geschwindigkeit im i-ten Zeitintevall. Duch Iteation können mit diese Gleichung imme weitee Positionen beechnet weden, z.b. i+ vidt + i, i+ vi+ Dt + i+,... Dazu muss man abe zuest die Geschwindigkeit im (i+)-ten Zeitintevall bestimmen. Wi vewenden dazu eine ähnliche ekusive Beziehung zwischen Geschwindigkeit und Beschleunigung: v a t v i+ id + i Physik 67 Masse, Impulsehaltung und die Mechanik Um die Beschleunigung zu beechnen, weden wi das Newtonsche Gesetz anwenden: i i i a (, ) F v m wobei im Allgemeinen die Kaft, die auf den Köpe im i-ten Zeitintevall wikt, vom Otsvekto und von de Geschwindigkeit (z.b. Reibung) abhängen kann. Um die Lösung eines Bewegungspoblems zu finden, weden wi die Zeit zwischen t 0 und t in eine gosse Zahl kleinee Zeitintevalle Dt unteteilen. Die Zahl N von Zeitintevallen wid gegeben duch: t t 0 + ND t Die Anfangsposition und Anfangsgeschwindigkeit weden zu Zeit t 0 gegeben. Die Endposition und Endgeschwindigkeit zu Zeit t weden duch seh viele Beechnungen bestimmt, die man am besten mit einem Compute duchfüht. Die Genauigkeit de Beechnung wid sich vebessen, wenn das Zeitintevall vekleinet wid. In de Pais müssen abe sogenannte Rundungsfehle betachtet weden: ein Compute kann nomaleweise eine Zahl nu mit eine endlichen Genauigkeit dastellen. Als Folge tägt jede Beechnung einen Fehle (d.h. de Rundungsfehle) bei. Je gösse die Zahl de Beechnungen ist, desto bemekbae machen sich die Rundungsfehle. Meistens weden nicht meh als 0 6 Zeitintevalle vewendet. 68 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

32 Eine fundamentale Kaft: Das Newtonsche Gavitationsgesetz 3.3 Eine fundamentale Kaft: Das Newtonsche Gavitationsgesetz Die Beziehung zwischen Edbeschleunigung und Gavitationskaft hat die Eistenz eine allgemeinen, zwischen allen Köpen wikenden, Kaft bewiesen. Keple (57-630) analysiete die astonomischen Beobachtungen von Bahe (546-60). Dabei fand e empiisch dei Gesetze übe die Bewegung de Planeten. Das este Keplesche Gesetz sagt, dass alle Planeten sich auf elliptischen Bahnen bewegen, in deen einem Bennpunkt die Sonne ist. Newton behauptete 665 (als e 3 Jahe alt wa), dass dieselbe Kaft fü den Fall von Köpen (z.b. ein Apfel) auf de Ede und fü die Bewegung de Planeten veantwotlich ist. Estmals hat Newton 686 mit eine mathematischen Beechnung bewiesen, dass eine solche Gavitationskaft die elliptischen Bahnen de Planeten um die Sonne ekläen kann. E behauptete, dass diese Kaft zwischen allen Objekten im Univesum wikt. Nach dem allgemeinen Newtonschen Gavitationsgesetz ist diese Kaft imme anziehend, popotional zu den Massen de beiden Köpe und umgekeht popotional zum Quadat des Abstandes zwischen ihnen. Sie liegt in de Vebindungslinie zwischen ihnen. Physik 69 Masse, Impulsehaltung und die Mechanik m y F m e y e Figu 6. Die Definition des Vektos. In de mathematische Spache wid die Gavitationskaft geschieben als (siehe Abb. 6): Gm m F - wobei m und m zwei Punktmassen sind, und ein Einheitsvekto, de von m nach m zeigt, und G ist die univeselle Gavitationskonstante, die den Wet G 6,67 0 Nm /kg hat. 70 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

33 Eine fundamentale Kaft: Das Newtonsche Gavitationsgesetz Aus de Definition de Gavitationskaft kann man sehen, dass beide Köpe dieselbe Anziehungskaft, abe mit entgegengesetztem Vozeichen (siehe Abb. 7) spüen: F - F F F m F F m Figu 7. Die Gavitationskaft ist imme anziehend, und beide Köpe spüen dieselbe Anziehungskaft, abe mit entgegengesetztem Vozeichen. Die Gavitationskaft wid von de Gegenwat andee Massen nicht gestöt: Im Fall, dass es viele Massen in de Nähe eines Köpes gibt, ist die Gesamtgavitationskaft auf den Köpe gleich de Vektosumme alle Gavitationskäfte, die die andeen Köpe auf ihn ausüben Gavitationskaft eines homogenen Rings Abb. 8 zeigt einen Ring mit einem Radius a und de Masse m, und eine zweite Masse m 0, die sich auf de Achse des Rings befindet und, die im Abstand vom Keismittelpunkt auf de Achse sitzt. Physik 7 Masse, Impulsehaltung und die Mechanik Was ist die Kaft, die de Ring auf die Masse m 0 ausübt? Auf dem Ring wählen wi ein diffeentielles Massenelement dm, das als Punktmasse betachtet wid, und wi beechnen die Gavitationskaft, die es auf die Masse m 0 ausübt. Die Masse dm befindet sich im Abstand s von de Masse m 0 auf de Achse. Die Vebindungslinie zwischen den Massen bildet den Winkel a mit de Ringachse. dm positive Richtung a s a df df df cosa m 0 X Figu 8. Homogene Ring und Definition des Massenelements. Die Kaft df, die vom Massenelement dm auf die Masse m 0 wikt, zeigt in Richtung de Masse dm, und hat den Betag df: ( )( 0 ) df G dm m s 7 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

34 Eine fundamentale Kaft: Das Newtonsche Gavitationsgesetz Um die gesamte Gavitationskaft, die de Ring auf die Masse ausübt, zu beechnen, müssen wi übe alle Massenelemente dm des Rings integieen. Aus de Symmetie de Anodnung schliessen wi, dass die esultieende Kaft entlang de Achse des Ringes veläuft. Alle Komponenten de Käfte, die senkecht zu Achse zeigen, kompensieen sich gegenseitig. Siehe Abb. 9. dm a s a df m 0 X df dm Figu 9. Integation übe die Massenelemente. Physik 73 Masse, Impulsehaltung und die Mechanik Die esultieende Kaft liegt in de Symmetieachse und zeigt in die negative -Richtung. Wi scheiben diesen Vekto als F Fe + Fe y y + Fe z z Fe wobei wi F y 0, und F z 0 benutzt haben. De Betag des Vektos wid duch Integation übe alle Elemente des Ringes ehalten (Siehe Abb. 8). Wi summieen die Pojektionen de Käfte auf die -Achse: Ú Ú F df dfcos a ( G dm )( m 0 ) - Ú cos a s Gm 0 - cos a dm s Ú Gmm 0 - cos a s wobei m die Gesamtmasse des Ringes ist. Wi scheiben dieses Egebnis als Funktion des Abstandes : s + a und cosa s + a und deshalb gilt F ( Gmm ) - -Gmm + a + a + a / ( ) 74 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

35 / / Eine fundamentale Kaft: Das Newtonsche Gavitationsgesetz 3.3. Gavitationskaft eine homogenen Hohlkugel Mit dem Egebnis des Ringes können wi nun die Gavitationskaft auf eine Punktmasse m 0 im Abstand vom Mittelpunkt eine Hohlkugel mit Radius R und Masse M beechnen. Wi betachten den Fall, dass de Punkt aussehalb de Hohlkugel liegt, >R. Ein Steifen de Kugel kann als Ring de Beite Rdq mit dem Umfang paprsinq betachtet weden (siehe Abb. 0). Die Gavitationskaft de Hohlkugel weden wi duch Integation übe alle Steifen auf de Hohlkugel ehalten. Die Fläche da des Steifens ist gleich da ( pa )( Rd q) pr sin qrd q pr sin qd q dq R a q s df m0 X arsinq Figu 0. Homogene Hohlkugel. Physik 75 Masse, Impulsehaltung und die Mechanik Mit de Gesamtmasse de Kugel gleich M, ist die Masse des Steifens gleich dm M da M R d M p sin q q sin qd q A 4p R wobei wi fü die Kugelobefläche A4pR vewendet haben. Mit dem Egebnis fü einen homogenen Ring ehalten wi df - G ( dm )( m 0 ) / + a 3 ( ) Die Geometie de Anodnung ist so, dass gilt R ( - Rcos q) ( - cos q) + a ( - Rcos q) + ( Rsin q) - Rcos q + R Die vom diffeentiellen Ring ausgeübte Kaft ist R df G M - Ê ( - cos q ) d m Ë Á ˆ sin q q ( 0 ) - Rcos q + R R G Mm ( - cos q ) Rcos q + R ( ) ( ) 3 3 sin qd q Wi fühen die folgende Vaiablentansfomation duch: dz z cos q - sin q fi dz - sin qd q d q 76 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

36 / / Eine fundamentale Kaft: Das Newtonsche Gavitationsgesetz womit wi die Gleichung fü die Kaft so scheiben können R df G Mm ( - z ) 0 - Rz + R ( ) 3 dz Um die Gesamtgavitationskaft zu bestimmen, müssen wi übe alle Steifen integieen. D.h., 80 Ú 0 - dq fi Ú dz Duch diekte Integation kann man beweisen, dass - Ú R - z - Rz + R ( ) 3 dz - 3 Wi ehalten damit F G Mm G Mm 0 Ê - ˆ Á - Ë 3 0 Die Kaft muss wegen de Symmetie adial sein, deshalb können wi eine vektoielle Gleichung de Gavitationskaft eine Hohlkugel scheiben als GMm 0 F - ( > R) D.h., die Kaft ist dieselbe wi fü eine Masse M im Zentum de Kugel! Physik 77 Masse, Impulsehaltung und die Mechanik Die Gavitationskaft de Hohlkugel ist die gleiche, wie wenn ihe Masse im Zentum de Kugel konzentiet wäe Gavitationskaft eine homogenen Vollkugel Wi vewenden nun dieses Egebnis, um die Gavitationskaft eine Vollkugel zu bestimmen. Wi stellen uns vo, dass die Kugel aus eine kontinuielichen Menge von Hohlkugeln zusammengesetzt ist. Da die Gavitationskaft jede Hohlkugel die gleiche ist, wie wenn ihe Masse im Zentum konzentiet wäe, entspicht die Gavitationskaft de gesamten Kugel de in ihem Mittelpunkt konzentieten Gesamtmasse M: GMm F - ( > R) Die Edbeschleunigung Wi sagen, dass die Gavitationskaft eine schwache Kaft ist. Zum Beispiel ist die Kaft zwischen zwei Studenten, die sich in einem Abstand von Mete befinden und je eine Masse von 80kg haben, ungefäh Gm m F ( ) 6,67 0 Nm / kg ( 80 kg )( 80 kg ) ( m ) ª N 78 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

37 Eine fundamentale Kaft: Das Newtonsche Gavitationsgesetz Dabei haben wi die Studenten als Punktmassen betachtet. Ein solche Betag ist paktisch unmessba. Die Gavitationskaftwikung ist messba, wenn wi gosse Massen betachten. Sie bindet z.b. Stene in Galaien (siehe Abb. ), Galaien in sogenannten Supeclustes, und sie ist auch veantwotlich fü die Bewegung de Planeten um die Sonne, de Satelliten um die Planeten und fü den Fall de Köpe auf de Ede. Figu. Eine Galaie. Die Stene weden duch die Gavitationskaft zusammengehalten. Physik Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich) Figu. Die Gavitationskaft de Ede. me Ede Fg Fg Ede Die Ede übt auf den Köpe eine Kaft aus, die dieselbe ist, wie wenn ihe ganze Masse im Zentum de Ede konzentiet wäe (siehe Abb. ). Nun vestehen wi den Betag de Edbeschleunigung und waum e unabhängig von de Masse eines Köpes ist. me ª kg Wi spüen die Edbeschleunigung deshalb, weil die Masse de Ede seh goss ist: Masse, Impulsehaltung und die Mechanik

38 Eine fundamentale Kaft: Das Newtonsche Gavitationsgesetz Wi beechnen die Gavitationskaft, die die Ede auf eine auf de Edöbefläche liegende Masse m ausübt, als FG E Gm m E wobei m E die Masse de Ede ist und E de Radius de Ede. Um die Edbeschleunigung zu bestimmen, benutzen wi das zweite Newtonsche Gesetz: Gm E m F mg mg g G fi fi Gm E E E d.h., g ist unabhängig von m. Demonstationsepeiment: Fall in Luft ode im Vakuum Die Fallzeit von veschiedenen Köpen mit unteschiedlichen Massen (z.b. Vogelfeden, Papieblätte, Stein,...) wid beobachtet. Siehe Abb. 3. Die Köpe befinden sich in einem Glasoh, das evakuiet weden kann. Epeimentell wid beobachtet, dass im Vakuum die Fallzeit unabhängig vom Köpe ist. De Luftwidestand ist fü die beobachteten Zeitunteschiede veantwotlich. Physik 8 Masse, Impulsehaltung und die Mechanik Figu 3. Fallvesuch: Die Fallzeit veschiedene Köpe weden in Luft ode im Vakuum beobachtet. Wi bemeken, dass die beechnete Zahl g nicht genau gleich de gemessenen Edbeschleunigung ist, weil (a) die Ede nicht genau homogen und späisch ist; (b) die Ede otiet (wid im Kap..3.4 behandelt). 8 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)