Einführung in die Theoretische Physik: Quantenmechanik

Transkript

1 Einführung in die Theoretische Physik: Quantenmechanik teilweise Auszug aus dem Skript von H.G. Evertz und W. von der Linden überarbeitet von Enrico Arrigoni Version vom 22. Juni 2009 Das bedeutet, dass grundsätzlich EA für etwaige Fehler etc. die Schuld trägt 1

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 2 1 Einleitung 5 2 Literatur Zugang wie in der Vorlesung: Zugang über die Schrödingergleichung: Zur Interpretation der Quantenmechanik: Übungsbücher: Failures of classical physics Blackbody radiation Photoelectric effect Wellen und Teilchen Das Doppelspaltexperiment mit klassischen Teilchen Mathematische Beschreibung Licht Elektronen de Broglie Wellenlänge Zusammenfassung The wave function and Schrödinger equation Probability density and the wave function Wave equation for light Euristic derivation of the wave function for massive particles Wave equations Potential Time-independent Schrödinger equation Normalisation Einfache Potentialprobleme Randbedingungen für die Wellenfunktion Konstantes Potential Gebundene Zustände im Potentialtopf Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden Potentialtopf mit endlicher Tiefe

3 6.3.3 Zusammenfassung: gebundene Zustände Streuung an einer Potentialbarriere Tunneling Resonanz Klassischer Limes Functions as Vectors The scalar product Operators Eigenvalue Problems Hermitian Operators Additional independent variables Dirac notation Vectors Rules for operations Operators Hermitian Operators Continuous vector spaces Real space basis Change of basis and momentum representation Identity operator Principles and Postulates of Quantum Mechanics Postulate I: Wavefunction or state vector Postulate II: Observables Postulate III: Measure of observables Measure of observables, more concretely Continuous observables Expectation values Contiunuous observables Postulate IV: Time evolution Generic state Further examples Examples and exercises Wavelength of an electron Photoelectric effect

4 Properties of a wavefunction Particle in a box: expectation values Delta-potential Expansion in a discrete (orthogonal) basis Hermitian operators Standard deviation Heisenberg s uncertainty Qubits and measure Qubits and time evolution Free-particle evolution Momentum representation of ˆx (NOT DONE) Ground state of the hydrogen atom Excited isotropic states of the hydrogen atom Tight-binding model Some details Probability density Fourier representation of the Dirac delta Transition from discrete to continuum

5 1 Einleitung Die Quantenmechanik ist von zentraler Bedeutung für unser Verständnis der Natur. Schon einfache Experimente zeigen, wie wir sehen werden, dass das klassische deterministische Weltbild mit seinen wohldefinierten Eigenschaften der Materie inkorrekt ist. Am augenscheinlichsten tritt dies auf mikroskopischer Skala zutage, in der Welt der Atome und Elementarteilchen, die man nur mit Hilfe der Quantenmechanik beschreiben kann. Aber natürlich ist auch die makroskopische Welt quantenmechanisch, was z.b. bei Phänomenen wie dem Laser, der LED, der Supraleitung, Ferromagnetismus, bei der Kernspinresonanz (MR in der Medizin), oder auch bei großen Objekten wie Neutronensternen wichtig wird. Einer der zentralen Punkte der Quantenmechanik ist, dass nur Aussagen über Wahrscheinlichkeiten gemacht werden können, anders als in der klassischen deterministischen Physik, in der man das Verhalten einzelner Teilchen mittels der Bewegungsgleichungen vorhersagen kann. Die entsprechende Bewegungsgleichung in der Quantenmechanik, die Schrödingergleichung, beschreibt statt deterministischer Orte sogenannte Wahrscheinlichkeitsamplituden. Wie alle Theorien kann man auch die Quantenmechanik nicht herleiten, genausowenig wie etwa die Newtonschen Gesetze. Die Entwicklung einer Theorie erfolgt anhand experimenteller Beobachtungen. oft in einem langen Prozess von Versuch und Irrtum. Dabei sind oft neue Begriffsbildungen nötig. Wenn die Theorie nicht nur die bisherigen Beobachtungen beschreibt, sondern eigene Aussagekraft hat, folgen aus ihr Vorhersagen für weitere Experimente, die überprüfbar sind. Wenn diese Vorhersagen eintreffen, ist die Theorie insoweit bestätigt, aber nicht bewiesen, denn es könnte immer andere Experimente geben, die nicht richtig vorhergesagt werden. Trifft dagegen auch nur eine Vorhersage der Theorie nicht ein, so ist sie falsifiziert. Die in vielen Aspekten zunächst sehr merkwürdige Quantenmechanik hat bisher alle experimentellen Überprüfungen bestens überstanden, im Gegensatz zu einigen vorgeschlagenen Alternativen (z.b. mit,,hidden Variables ). In den letzten Jahren hat es eine stürmische Entwicklung in der Anwendung der experimentell immer besser beherrschbaren fundamentalen Quantenmechanik gegeben, z.b. für die Quanteninformationstheorie, mit zum Teil spektakulären Experimenten (,,Quantenteleportation ), die zentral die nichtlokalen Eigenschaften der Quantenmechanik nutzen. Grundlegende quanten- 5

6 mechanische Phänomene werden auch für speziell konstruierte Anwendungen immer interessanter, wie etwa die Quantenkryptographie oder Quantencomputer. 6

7 2 Literatur Es gibt eine große Zahl von Büchern über die Quantenmechanik, darunter auch viele gute Einführungen. In der folgenden Auswahl werden vor allem einige Bücher erwähnt, die im Aufbau der Vorlesung ähneln oder die besonders gut zugänglich sind Zugang wie in der Vorlesung: H. Mitter, Quantentheorie, 3. Auflage Gut verständlich. Die Vorlesung folgt im ersten Abschnitt zum Teil diesem Buch. Themenauswahl des Buchs sehr knapp. Vergriffen. Als Postskript erhältlich unter physik.kfunigraz.ac.at/ hem. R. Shankar, Principles of Quantum Mechanics, Mit Mathematikteil. Recht ausführlich. In der TUB Lehrbuchsammlung verfügbar. J.L. Basdevant, J. Dalibard, Quantum Mechanics, Sorgfältige Darstellung, die sowohl mathematische Grundlagen und konzeptionelle Fragen als auch neue Experimente und Anwendungen behandelt. Die Vorlesung folgt zum Teil diesem Buch. J.J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Eine der ersten Darstellungen, welche die Quantenmechanik über grundlegende Experimente aufbaut. Relativ hohes Niveau. Lehrbuchsammlung. R.P. Feynman, R.B. Leighton, M. Sands, Feynman Vorlesungen über Physik III: Quantenmechanik, Feynmans unverwechselbarer Stil mit sehr ausführlichen Erklärungen. Vorlesung von Vielleicht nicht so systematisch wie andere Bücher. Lehrbuchsammlung. J.S. Townsend, A Modern Approach to Quantum Mechanics, Ähnlich zu Sakurai. Nicht so hohes Niveau. Wortreich, aber manchmal schwer verständlich. Einige Rechnungen der Vorlesung folgen diesem Buch. 7

8 L.E. Ballentine, Quantum Mechanics: A Modern Development, Mit Mathematikteil. Etwas mathematisch formaler und anspruchsvoller als die übrigen Bücher. Diskutiert auch Interpretationsfragen (z.t. in der Vorlesung übernommen) und neuere Experimente. Relativ ausführlich. Lehrbuchsammlung. A. Peres, Quantum Theory: Concepts and Methods, Sehr sorgfältige Behandlung der physikalischen und mathematischen Konzepte. Enthält auch Kapitel zur Quanteninformationstheorie Zugang über die Schrödingergleichung: W. Nolting, Quantenmechanik, Viele durchgerechnete Aufgaben. Mit Mathematikteil. Ausführlicher Teil zu Experimenten. T. Fließbach, Quantenmechanik, Klare und recht knappe Darstellung in der Art eines Vorlesungsskriptes. Kurzer Mathematikteil. Einführung wie in dieser Vorlesung. A. Messiah, Quantenmechanik I,II, Ein Standardwerk. Ausführliche Erklärungen. Lehrbuchsammlung. E.Merzbacher, Quantum Mechanics, Sehr ausführlich und umfassend, mit detaillierten Rechnungen. Für eine Einführung eher zu umfangreich. C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloe, Quantenmechanik 1,2, Extrem ausführlich, aber eher unübersichtlich. Alle Rechnungen komplett. Lehrbuchsammlung Zur Interpretation der Quantenmechanik: Auch hier gibt es zahlreiche Werke, von denen einige wenige erwähnt seien. E. Squires, The Mystery of the Quantum World, Elementar und auf das,,messproblem (Kollaps der Wellenfunktion) fokussiert. 8

9 Y. Aharonov, D. Rohrlich, Quantum Paradoxes, Übersicht über die Paradoxien in der Interpretation der Quantenmechanik. J. Audretsch, Verschränkte Systeme, Einführung in die Quanteninformationstheorie. Mathematikteil. Knappe Besprechung der Grundlagen der QM. Fokus auf nicht-klassische Eigenschaften als Grundlage der Quanteninformationstheorie Übungsbücher: S.Flügge, Rechenmethoden der Quantentheorie und Practical Quantum Mechanics. Viele systematisch gegliederte und gelöste Aufgaben. Die beiden Bücher sind zu einem großen Teil gleich. Lehrbuchsammlung. D.Grau, Übungsaufgaben zur Quantentheorie. Weniger systematisch. Ein Exemplar in der Hauptbibliothek. 9

10 3 Failures of classical physics 3.1 Blackbody radiation At high temperatures matter (for example metals) emit a continuum radiation spectrum. The color they emit is pretty much the same at a given temperature independent of the particular substance. An idealized description is the so-called blackbody model, which describes a perfect absorber and emitter of radiation. In a blackbody, electromagnetic waves of all wavevectors k are present. One can consider a wave with wavevector k as an independent oscillator (mode). 4000K u(ω) 3000K 2000K Energy density u(ω) of blackbody radiation at different temperatures: The energy distribution u(ω) vanishes at small and large ω, there is a maximum in between. ω The maximum frequency ω max ( color ) of the distribution obeys the law (Wien s law) ω max = const. T Classical understanding For a given frequency ω (= 2πν), there are many oscillators (modes) k having that frequency. Since ω = c k the number (density) n(ω) of oscillators with frequency ω is proportional to the surface of a sphere with radius ω/c, i. e. n(ω) ω 2 (3.1) The energy equipartition law of statistical physics tells us that at temperature T each mode is excited to the same energy K B T. Therefore, at temperature T the energy density u(ω, T) at a certain frequency ω would be given by u(ω, T) K B T ω 2 (3.2) 10

11 (Rayleigh hypothesis). K B Tω K u(ω) 2000K 3000K Experimental observation ω This agrees with experiments at small ω, but a large ω u(ω, T) must decrease again and go to zero. It must because otherwise the total energy would diverge! U = 0 u(ω, T) dω (3.3) Planck s hypothesis: The oscillators (electromagnetic waves), cannot have a continuous of energies. Their energies come in packets (quanta) of size h ν = ω. h Joules sec ( = h ) Planck s constant. 2π At small frequencies, as long as K B T ω, this effect is irrelevant. It will start to appear at K B T ω: here u(ω, T) will start to decrease. And in fact, Wien s empiric observation is that at ω K B T u(ω, T) displays a maximum. Eventually, for K B T ω the oscillators are not excited at all, their energy is vanishingly small. A more elaborate theoretical treatment gives the correct functional form. Average energy of oscillators 11

12 Energy K B T Maximum in between u(ω) u(ω) K BTω 2 hω K B T hω > K B T u(ω) hωe hω/kbt frequency ω (A) Classical behavior: Average energy of oscillator < E >= K B T. Distribution u(ω) K B Tω 2 at all frequencies! (B) Quantum behavior: Energy quantisation Small ω: Like classical case: oscillator is excited up to < E > K B T. u(ω) K B Tω 2. Large ω: first excited state (E = 1 ω) is occupied with probability e ω/kbt (Boltzmann Factor): < E > ω e ω/k BT u(ω) ω e ω/k BT 3.2 Photoelectric effect Electrons in a metal are confined by an energy barrier (work function) φ. One way to extract them is to shine light onto a metallic plate. Light transfers an energy E light to the electrons. The rest of the energy E light φ goes into the kinetic energy of the electron E kin = 1 2 m v2. By measuring E kin, one can get E light. V = E kin,min /e anode E kin ν φ Metal catode 12

13 [examples: pag. 73] Classicaly, we would espect the total energy transferred to an electron E light = φ + E kin to be proportional to the radiation intensity. The experimental results give a different picture: while the current (i. e. the number of electrons per second expelled from the metal) is proportional to the radiation intensity, E light is proportional to the frequency of light: E light = h ν (3.4) E light E kin ν min ν Summary: Planck s energy quantum The explanation of Blackbody radiation and of the Photoelectric effect are explained by Planck s idea that light carries energy only in quanta of size E = hν (3.5) This means that light is not continuous object, but rather its constituent are discrete: the photons. 13

14 4 Wellen und Teilchen Wir folgen in dieser Vorlesung nicht der historischen Entwicklung der Quantenmechanik mit ihren Umwegen, sondern behandeln einige Schlüsselexperimente, an denen das Versagen der klassischen Physik besonders klar wird, und die zu den Begriffen der Quantenmechanik führen. Dabei kann, im Sinne des oben gesagten, die Quantenmechanik nicht,,hergeleitet, sondern nur plausibel gemacht werden. Die drastischste Beobachtung, die zum Verlassen des klassischen Weltbildes führt, ist, dass alle Materie und alle Strahlung gleichzeitig Teilchencharakter und Wellencharakter hat. Besonders klar wird dies im sogenannten Doppelspaltexperiment. Dabei laufen Teilchen oder Strahlen auf eine Wand mit zwei Spalten zu. Dahinter werden sie auf einem Schirm detektiert. 4.1 Das Doppelspaltexperiment mit klassischen Teilchen Klassische Telchen (z.b. Kugeln) Wir untersuchen, welches Verhalten wir bei Kugeln erwarten, die durch die klassische Newtonsche Mechanik beschrieben werden. (Tatsächliche Kugeln verhalten sich natürlich quantenmechanisch. Die Effekte sind aber wegen ihrer hohen Masse nicht erkennbar). Wir machen ein Gedankenexperiment mit dem Aufbau, der in Abbildung (1) skizziert ist. Eine Quelle schießt Kugeln zufällig in den Raumwinkel Ω. An den Spalten werden die Kugeln gestreut. Auf dem Schirm S werden die Kugeln registriert. Die Koordinate entlang des Schirms sei x. Aus der Häufigkeit des Auftreffens von Kugeln in einem Intervall (x, x + x) ergibt sich die Wahrscheinlichkeit P(x) x, dass eine Kugel in diesem Intervall ankommt. Die Quelle wird mit so geringer Intensität betrieben, dass die Kugeln einzeln ankommen. Das Experiment wird nun auf verschiedene Weisen durchgeführt: 1) Nur Spalt 1 ist offen: dies liefert die Verteilung P 1 (x) 14

15 Wand x P 12 (x) Quelle 1 D P 1 (x) Ω 2 P 2 (x) Abbildung 1: Doppelspaltexperiment mit Kugeln. H beschreibt die beobachteten Auftreffhäufigkeiten. 2) Nur Spalt 2 ist offen: dies liefert die Verteilung P 2 (x) 3) Beide Spalte sind offen: dies liefert P 12 (x), nämlich einfach die Summe P 12 (x) = P 1 (x) + P 2 (x) der vorherigen Verteilungen. Wasserwellen Wir wiederholen den Versuch mit Wasserwellen. Die Versuchsanordnung ist in Abbildung (2) dargestellt. Die Quelle erzeugt kreisförmige Wellen. Die Wand hat wieder zwei Spalten. Der Schirm S sei ein Absorber, so dass keine Wellen reflektiert werden. Wir finden, dass die Auslenkung beim Schirm mit der Zeit oszilliert, mit einer ortsabhängigen Amplitude. Der Detektor D messe die Zeitgemittelte Intensität I = Amplitude 2. 15

16 x I 1 I I 1 + I 2 I 2 Abbildung 2: Doppelspaltexperiment mit Wasserwellen. Man beobachtet: 1. Die Intensität I kann alle positiven Werte annehmen (abhängig von der Quelle). Es tritt keine Quantelung auf. 2. Wir lassen nur Spalt 1 oder 2 offen und finden: Die Intensitäten I 1 bzw. I 2 gleichen den entsprechenden Häufigkeiten beim Experiment mit Kugeln. 3. Wir lassen beide Spalte offen: I 12 (x) zeigt ein Interferenzbild; I 12 I 1 + I 2. Es hängt vom Abstand der Spalte ab. Die Interferenz zwischen beiden (Teil)Wellen ist an manchen Stellen konstruktiv und an anderen destruktiv. Konstruktive Interferenz tritt auf, wenn Abstand (Detektor zu Spalt 1) - Abstand (Detektor zu Spalt 2) = n λ, wobei λ die Wellenlänge ist, und n N Mathematische Beschreibung Es ist bequem, zur Beschreibung der zeitlichen Oszillation die Funktion e iφ = cosφ + i sin φ zu verwenden, von der hier nur der Realteil benutzt wird. 16

17 Die momentane Amplitude am Ort des Detektors D ist A 1 = Re (a 1 e iα 1 e iωt ) nur Spalt 1 offen A 2 = Re (a 2 e iα 2 e iωt ) nur Spalt 2 offen A 12 = Re (a 1 e iωt+iα 1 + a 2 e iωt+iα 2 ) beide Spalte offen Der Bezug zu den gemessenen Intensitäten ist I 1 = a 1 e iωt+iα 1 2 = a 1 2 I 2 = a 2 e iωt+iα 2 2 = a 2 2 I 12 = a 1 e iωt+iα 1 + a 2 e iωt+iα 2 2 = a a a 1 a 2 cos(α 1 α 2 ) = I 1 + I a 1 a 2 cos(α 1 α 2 ). Der Term mit dem cos ist der Interferenzterm, der von der Phasendifferenz α 1 α 2 abhängt, die sich aus dem Gangunterschied ergibt. 4.2 Licht Die übliche sehr erfolgreiche Beschreibung von Licht in der makroskopischen Welt ist die einer Welle, mit elektrischen und magnetischen Feldern. Die durch Experimente notwendig gewordene teilchenartige Beschreibung über Photonen war eine Revolution. Licht besteht aus Photonen Vor der Besprechung des Doppelspaltexperiments seien kurz einige frühe Experimente erwähnt, welche die Teilchennatur von Licht zeigen. Details in Sec. 3 Das temperaturabhängige Spektrum eines sog. schwarzen Körpers, lässt sich klassisch nicht verstehen. Bei einer klassischen Wellennatur des Lichts würde die Intensität des Spektrums zu hohen Frequenzen hin divergieren. Die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes wäre unendlich! Die Erklärung für das tatsächlich beobachtete Spektrum fand Planck im Jahr 1900 (am selben Tag, an dem er die genauen experimentellen Ergebnisse erfuhr!), indem er postulierte, dass Licht nur in festen Einheiten der Energie E = hν abgestrahlt wird. Die später Photonen genannten,,quanten gaben der Quantentheorie ihren Namen. Dieses Postulat war eine,,verzweiflungstat Plancks und stieß auf grosse Skepsis. Einstein nannte es,,verrückt. 17

18 Beim Photoeffekt schlägt ein Photon der Frequenz ν aus einem Metall ein Elektron heraus, das mit der kinetischen Energie hν Φ austritt, wobei Φ eine Austrittsarbeit ist. Es gibt daher eine Schwelle für die Frequenz des Photons, unterhalb derer keine Elektronen austreten. Klassisch hätte man erwartet, dass bei jeder Photonfrequenz mit zunehmender Lichtintensität mehr und mehr Elektronen,,losgeschüttelt würden. Stattdessen bestimmt die Intensität des Lichtes nur die Anzahl der austretenden Elektronen und auch nicht ihre kinetische Energie. Mit der Lichtquantenhypothese konnte Einstein 1905 den Photoeffekt erklären. Es war diese Arbeit, für die er 1921 den Nobelpreis erhielt. Auch der Comptoneffekt, mit Streuung von Licht an Elektronen, lässt sich nur über Photonen erklären. Noch direkter bemerkt man die Partikelstruktur von Licht mit Geigerzählern, Photomultipliern oder mit CCDs (Digitalkameras!). Interessanterweise kann man sogar mit bloßem Auge bei einer schwach beleuchteten Wand fleckige Helligkeitsschwankungen erkennen, die sich schnell ändern. Sie beruhen auf der Schwankung der Anzahl auftreffender Photonen, die man ab etwa 10 pro 100msec wahrnehmen kann. Licht hat Wellennatur Die Wellennatur des Lichtes erkennt man klar am Doppelspaltexperiment: Aufbau und Ergebnis bezüglich der Intensitäten verhalten sich genau wie beim Experiment mit Wasserwellen. In der Maxwelltheorie ist die Intensität des Lichts proportional zum Quadrat der Amplitude des elektrischen Feldes I E 2, also von derselben Struktur wie bei den Wasserwellen, nur dass jetzt das elektrische und das magnetische Feld die Rolle der Amplitude spielen. Licht: Teilchen oder Wellen? 18

19 Einzelne Photonen? a Ganz anders als bei Wasserwellen ist aber das Auftreffen des Lichtes auf den Schirm: die Photonen treffen einzeln auf, jeweils mit der Energie hν, und erzeugen trotzdem ein Interferenzbild, wenn 2 Spalten geöffnet sind! Der Auftreffpunkt eines einzelnen Photons lässt sich dabei nicht vorhersagen, sondern nur die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung! 4.3 Elektronen Noch etwas deutlicher wird die Problematik von Teilchen- und Wellennatur im Fall von Materie, wie Elektronen oder Atomen. Die,,Teilchennatur ist hier sehr klar. Zum Beispiel kann man für ein einzelnes Elektron Ladung und Masse bestimmen. Interferenz von Elektronen Das Verhalten am Doppelspalt zeigt aber wieder Wellennatur (siehe Abbildung 3)! Experimentelle Beobachtungen: 1. Die Elektronen kommen (wie klassische Teilchen) als Einheiten am Detektor an. 2. In Abhängigkeit vom Ort des Detektors variiert die Zählrate. 3. Gemessen wird eine Häufigkeitsverteilung, d.h. die Auftreffwahrscheinlichkeit. 4. Öffnet man nur Spalt 1 oder nur Spalt 2, so tritt eine Häufigkeitsverteilung wie bei Kugeln (oder bei Wellen mit nur 1 offenen Spalt) auf. 19

20 Abbildung 3: Doppelspaltexperiment mit Elektronen. 5. Öffnet man dagegen beide Spalte, so beobachtet man ein Interferenzmuster, also wieder eine Wahrscheinlichkeitsverteilung P 12 P 1 + P 2. Insbesondere sinkt durch das Öffnen des 2. Spaltes an manchen Stellen sogar die Auftreffwahrscheinlichkeit auf Null. Dasselbe Verhalten hat man auch mit Neutronen, Atomen und sogar Fulleren-Molekülen beobachtet! de Broglie Wellenlänge Das Interferenzergebnis zeigt uns, dass sowohl Photonen als auch Elektronen (als auch jedes mikroskopisches Teilchen) ein Wellencharacter haben. Für gegebenes Impuls p ist die räumliche Periodizität dieser Wellen gegeben durch die de-broglie-wellenlänge λ = 2π k = h p (4.1) Diese Längenskala λ erscheint sowohl im Doppelspaltexperiment, als auch z.b. bei der Streuung von Teilchen mit Impuls p an einem Kristall. Man erhält dort ein Interferenzbild (Davisson-Germer-Experiment), und zwar für Elektronen mit Impuls p dasselbe wie für Photonen mit demselben Impuls! 20

21 Wie wir in den nächsten Kapiteln sehen werden, werden freie Elektronen quantenmechanisch durch eine Warscheinlichkeitsamplitude in der Form einer ebenen Welle e ipx beschrieben. [examples: pag. 73] Quantenmechanische Effekte werden unterhalb einer Längenskala der Größenordnung der de-broglie-wellenlänge λ wichtig. Sie beträgt zum Beispiel bei Protonen: λ 0.28 A Ekin /ev Elektronen: λ 12 A Ekin /ev (4.2) Photonen: λ 380 A Ekin /ev 4.4 Zusammenfassung Die beschriebenen Experimente legen eine Reihe von Schlussfolgerungen nahe. Die allgemeine Gültigkeit dieser Folgerungen zeigt sich durch die dargestellten und viele andere Experimente und deren theoretische Beschreibung. Die Teilchen (Elektronen, Photonen,...) kommen im Doppelspaltexperiment anscheinend an zufälligen Orten an. Tatsächlich zeigt es sich, dass der Auftreffort eines einzelnen Teilchens nicht vorhergesagt werden kann. Man kann die Bahn eines einzelnen Teilchens nicht vorhersagen, sondern nur die entsprechende Wahrscheinlichkeitsverteilung! Hat man ein ganzes Ensemble (Vielzahl) von Teilchen, wiederspiegelt sich diese Wahrscheinlichkeitsverteilung in einer tatsächlichen Verteilung der Bahnen und daher, im Doppelspaltexperiment, der Auftrefforte. Zusammenfassend haben wir für quantenmechanischen Ereignissen: Kein Determinismus Deterministische Aussagen über das Verhalten einzelner Teilchen sind in der Regel nicht möglich. Berechnen kann man nur Wahrscheinlichkeiten für ein Ensemble von gleichartig präparierten Teilchen. Wahrscheinlichkeit ist determiniert Diese Wahrscheinlichkeiten sind aber im Prinzip wohldeterminiert, d.h. 21

22 aus physikalischen Gesetzen (die wir in den nächsten Kapiteln sehen werden) kan man ihre zeitliche Entwicklung vorhersagen. Teilchennatur Elektronen und Photonen kommen einzeln als Teilchen an. Sie treffen also auf einem bestimmten Punkt auf. Wellennatur Ihre Auftreff-Wahrscheinlichkeit verhält sich aber wie die Intensität von Wellen, d.h. sie zeigt Interferenz. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit W, dass ein Experiment einen bestimmten Ausgang nimmt, durch das Betragsquadrat einer komplexen Zahl A, der Wahrscheinlichkeitsamplitude gegeben ist. Bei mehreren Möglichen Ausgängen summieren sich die Amplituden A i der einzelnen Ausgängen und nicht ihre Wahrscheinlichkeiten W i = A i 2. Mathematisch gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit W: W = A 2 mit A = i A i (4.3) Bei makroskopischer Physik sind Interferenzterme in der Regel so winzig, dass sie nicht mehr beobachtbar sind. Dadurch wird die makroskopische Physik,,klassisch. 22

23 5 The wave function and Schrödinger equation 5.1 Probability density and the wave function In Sec. 4 we have seen that the trajectory of a particle is not deterministic, but described by a probability distribution amplitude. In other words, for each time t and point in space r there will be a certain probability W to find the particle within a (infinitesimal) volume V around the point r. This probability (which depends of course on V ) is given in terms of the probability density P t (r), as W = P t (r) V Obviously, the total probability of finding the particle within a volume V is given by P t (r)d 3 r. V As discussed in Sec. 4, the relevant (i. e. additive) quantity for a given particle is its probability amplitude Ψ(t, r). This is a complex function, and the probability density P is given by P t (r) = Ψ(t,r) 2. (5.1) Ψ is also called the wavefunction of the particle. As discussed in Sec. 4, it is possible to predict the time evolution of Ψ, which is what we are going to do in the present section. To do this, we will start from the wave function of light, whose properties we already know from classical electrodynamics, and try to extend it to matter waves. 5.2 Wave equation for light The wave function describing a free electromagnetic wave, can be taken, for example, as the amplitude of one of its two constituent fields, 1 E or B, i. e. it has the form Ψ = E 0 e ik r iω kt (5.2) 1 This is correct because the intensity of light, which corresponds to the propbability density of finding a photon, is proportional to E 2. 23

24 Planck s quantisation hypothesis was that light of a certain frequency ω comes in quanta of energy E = ω (5.3) (Or taking ν = ω/(2π), E = h ν), with Planck s constant h = 2π Joules sec (5.4) From the energy we can derive the momentum. Here we use, the relation between energy E and momentum p for photons, which are particles of zero rest mass and move with the velocity of light c: 2 From (5.3) we thus obtain E = c p (5.5) p = ω c = k = h λ (5.6) which is precisely the De Broglie relation between momentum and wavelength of a particle discussed in Sec. 4. Here, we have used the dispersion relation for electromagnetic waves. ω = c k (5.7) 5.3 Euristic derivation of the wave function for massive particles With the assumption that matter particles (i. e. particle with a nonzero rest mass such as electrons, protons, etc.) with a given momentum and energy behave as waves, their wave function will be described by a form identical to (5.2), however with a different dispersion relation. The latter can be derived by starting from the energy-momentum relation, which instead of (5.5) reads (in the nonrelativistic case) E = p2 2m. (5.8) 2 This can be obtained by starting from Einstein s formula E = m c 2 and by using the fact that p = m v = m c 24

25 Applying Planck s (5.3) and De Broglie relations (5.6), we readily obtain the dispersion relation for nonrelativistic massive particles ω = 2 k 2 2m (5.9) 5.4 Wave equations One property of electromagnetic waves is the superposition principle: If Ψ 1 and Ψ 2 are two (valid) wave functions, any linear combination a 1 Ψ 1 + a 2 Ψ 2 is a valid wave function. Due to this linearity property, any valid wave function must satisfy a (linear) wave equation. We already know this equation for free electromagnetic waves. This is given by ( c 2 t2)ψ = 0 (5.10) In order to write down the corresponding equation for massive particles, we first notice that Ψ (5.2) (valid both for matter as well as light) is an eigenfunction of the differential operators and / t, i. e. i Ψ = k Ψ i t Ψ = ω Ψ (5.11) Replacing (5.11) in (5.10), we see that the latter is equivalent to the dispersion relation ω 2 = c 2 k 2 (5.12) (which is, of course, equivalent to (5.7)). This immediately suggests to use the dispersion relation (5.9) combined with the relation (5.11) to write down the corresponding analogous of (5.10) for massive particles: ( i t 1 ) 2m ( i )2 Ψ = 0 (5.13) Which is the (time-dependent) Schrödinger equation for massive (nonrelativistic) free particles. 25

26 5.5 Potential For a particle moving in a constant potential (i.e. t- and r-independent) V, the dispersion relation (5.8) is replaced with E = p2 +V, and (5.13) acquires 2m a corresponding term V Ψ on the l.h.s. The guess by Schrödinger was to formally do the same also for a t- and r-dependent potential 3 V (t,r), yielding the complete time-dependent Schrödinger equation i Ψ ) ( t = 2 2m 2 + V (t,r) Ψ (5.14) }{{} Of course, for a nonconstant potential (5.2) is no longer a solution of (5.14). The differential operator on the r.h.s. of (5.14) is termed Hamilton operator Ĥ. Symbolically, thus, the Schrödinger equation is written as Ĥ i Ψ t = Ĥ Ψ. (5.15) In general, Ψ can belong to a larger vector space (such as a function in 3N variables for N particles or contain further degrees of freedom, such as spin). Combining the relations (5.3) and (5.6), we see that energy and momentum, which were variables in classical physics, become now differential operators E i p i. (5.16) t This is one important aspect of quantum mechanics, which we will discuss further below, namely the fact that physical quantities become linear operators. 5.6 Time-independent Schrödinger equation Time-independent Schrödinger equation We consider in the following a stationary (i. e. time-independent) potential V (r) and look for solution of (5.14) in the form (separation of variables) Ψ(t, r) = f(t)ψ(r) (5.17) 3 This can be understood if one assumes pieceweise constant potentials V i, and requires that locally the equation for wave equation should only depend on the local V i. In the end, one takes the limit of a continuous V (t,r) 26

27 dividing by f(t)ψ(r), (5.14) becomes 1 f(t) i df(t) = 1 ) ( 2 dt ψ(r) 2m 2 + V (r) ψ(r) }{{}}{{} independent of r independent of t (5.18) Therefore both sides must be equal to a constant. By comparing with (5.14) we can recognise this constant as the energy E. (5.18) thus splits into two equations, the first being easy to solve i df(t) dt = E f(t) f(t) = f 0 exp( i E t ) (5.19) the second one is the time-independent Schrödinger equation ) ( 2 2m 2 + V (r) ψ(r) = Eψ(r) (5.20) }{{} Ĥ This is the equation for a wave function of a particle with a fixed value of the energy. It is one of the most important equations in quantum mechanics and is used, e.g., to find atomic orbitals. Schrödinger equation: ideas These results suggest us some ideas that we are going to meet again later Physical quantities (observables), are replaced by differential operators. Here we had the case of energy E and momentum p: E i t = Ĥ = 2 2m 2 + V (r) p ˆp = i (5.21) The hat ˆ is used to distinguish an operator from its corresponding value. (5.20) has the form of an eigenvalue equation similar to the one we encounter in linear algebra. The solutions of (5.20) are, thus, eigefunctions 4 of Ĥ 4 also called eigenstates 27

28 Solutions of (5.20) are called stationary states, since their time evolution is given by (5.18) with (5.19), so that the probability density Ψ(t,r) 2 is time-independent. Ways to solve the time-dependent Schrödinger equation Not any wave function will have the separable form (5.17). However, any wave function can be written as a linear combination of such terms. One then can then evaluate the time evolution for each separate term using (5.19) and (5.20). This is the most common approach used to solve the time-dependent Schrödinger equation. We will discuss it again later. 5.7 Normalisation Due to the linearity of (5.20), its solution can be always multiplied by a constant. An important point in quantum mechanics is that two wave functions differing by a constant describe the same physical state. The value of the constant can be (partly) restricted by the condition that the wavefunction is normalized. This is obtained ba normalizing the probability density (5.1), i. e. by requiring that the total probability is 1. This gives the normalisation condition < ψ ψ > ψ(r) 2 d 3 r = 1. (5.22) It is not strictly necessary, but useful, to normalize the wave function. If the wave function is not normalized, however, one has to remember that the probability density ρ(r) for finding a particle near r is not merely ψ(r) 2 but ρ(r) = ψ(r) 2 < ψ ψ > (5.23) Notice that even after normalisation the constant is not completely determined, as one can always multiply by a number of modulus 1, i. e. a phase e iα. Finally, notice that not all wave functions are normalizable. In some cases the integral (5.22) may diverge. This is for example the case for free particles (5.2). We will discuss this issue later. [examples: pag. 73] 28

29 6 Einfache Potentialprobleme Wir werden nun die zeitunabh ngige Schrödingergleichung (5.20) für einige einfache Potentialprobleme lösen. In den Beispielen beschränken wir uns dabei auf eindimensionale Probleme. 6.1 Randbedingungen für die Wellenfunktion Zuerst leiten wir Randbedingungen der Ortsraum-Wellenfunktion für die Eigenzustände von Ĥ her. Wir behandeln zunächst den eindimensionalen Fall. 1) Die Wellenfunktion ψ(x) ist immer stetig. Beweis: Wir betrachten x 0 +ε( ) d dx ψ(x) dx = ψ(x 0 + ε) ψ(x 0 ε). x 0 ε Wäre ψ unstetig bei x 0, so würde die rechte Seite für ε 0 nicht verschwinden. Das bedeutet aber, dass d ψ(x) δ(x x dx 0) und somit würde die kinetische Energie divergieren: E kin = 2 2m = + 2 2m ψ (x) d2 dx2ψ(x) dx ( ) ( ) d d dx ψ (x) dx ψ(x) dx = 2 2m δ(x x 0 ) δ(x x 0 ) dx = δ(0) =. d dx ψ(x) 2 dx Da die kinetische Energie endlich ist, muss also ψ(x) überall stetig sein. 2) Die Ableitung dψ ist bei endlichen Potentialen stetig. Wir dx integrieren die Schrödingergleichung von x 0 ε bis x 0 + ε 2 2m x 0 +ε x 0 ε d 2 dx 2ψ(x) dx = x 0 +ε x 0 ε V (x)ψ(x) dx + E 29 x 0 +ε x 0 ε ψ(x) dx. (6.1)

30 Für ein endliches Potential V (x) ist verschwindet die rechte Seite der Gleichung (6.1) im Limes ǫ 0, da ψ(x) keine δ-beiträge besitzt, denn sonst würde die kinetische Energie erst recht divergieren. Wir haben daher Also ist ψ(x) stetig. x lim 2 ǫ 0 2m [ψ (x 0 + ε) ψ (x 0 ε)] = 0 (6.2) 3) Sprung der Ableitung von ψ bei Potentialen mit δ-anteil Wenn V (x) einen δ-funktionsbeitrag V (x) = C δ(x x 0 ) + (endliche Anteile) enthält, dann gilt x 0 +ε x 0 ε V (x) ψ(x) dx = x 0 +ε x 0 ε C δ(x x 0 ) ψ(x) dx = C ψ(x 0 ) Ein solches Potential wird z.b. verwendet, um Potentialbarrieren zu beschreiben. Damit wird aus (6.1) ein Sprung in der Ableitung von ψ(x): ( ) lim ψ (x 0 + ε) ψ (x 0 ε) ε 0 = 2m 2 C ψ(x 0) (6.3) 4) Die Wellenfunktion verschwindet bei unendlichem Potential Wenn V (x) = in einem Intervall x (x a, x b ), dann verschwindet die Wellenfunktion in diesem Intervall, da sonst die potentielle Energie unendlich wäre. 5) Unstetigkeit von dψ am Rand eines unendlichen Potentials dx Wenn V (x) = in einem Intervall x (x a, x b ), dann ist zwar die Wellenfunktion Null im Intervall, und überall stetig, aber die Ableitung wird in der Regel an den Grenzen des Intervalls unstetig sein. 30

31 Randbedingungen dreidimensionaler Probleme Aus ähnlichen Überlegungen folgt ebenso in drei Dimensionen, dass die Wellenfunktion und deren partielle Ableitungen überall stetig sein müssen, wenn das Potential überall endlich ist. Weitere allgemeine Eigenschaften der Wellenfunktion werden wir später besprechen. 6.2 Konstantes Potential Besonders wichtig bei Potentialproblemen ist der Fall, dass das Potential in einem Intervall konstant ist. Wir behandeln das eindimensionale Problem. Es sei also V (x) = V = konst. für a < x < b. In diesem Intervall wird dann die Schrödingergleichung (5.20) zu 2 2m ψ (x) = (E V ) ψ(x) (6.4) (Schwingungsgleichung), mit der allgemeinen Lösung Lösung der Schrödingergleichung für konstantes Potential ψ(x) = a 1 e q x + b 1 e q x (6.5a) = a 2 e i k x + b 2 e i k x (6.5b) = a 3 cos(kx) + b 3 sin(kx), (6.5c) mit k 2 = q 2 = 2m 2 (E V ) (6.5d) Diese drei Lösungen sind äquivalent! Wenn E < V, dann ist q reell, und die Formulierung der ersten Zeile ist bequem. Die Wellenfunktion ψ(x) hat dann im Intervall [a, b] i.a. exponentiell ansteigende und abfallende Anteile! Wenn E > V, dann ist k reell, und die zweite oder dritte Zeile sind, je nach Randbedingugen, bequeme Formulierungen. Die Wellenfunktion zeigt dann im Intervall [a, b] oszillierendes Verhalten. 31

32 V (x) I II III V = V = 0 L x Abbildung 4: Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden 6.3 Gebundene Zustände im Potentialtopf Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden Der Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden, der in Abbildung (4) skizziert ist, kann als stark idealisierter Festkörper betrachtet werden. Die Elektronen verspüren ein konstantes Potential im Festkörper und werden durch unendlich hohe Wände daran gehindert, den Festkörper zu verlassen. Das Potential lautet { V 0 := 0 für 0 < x < L V (x) = sonst Es gibt also die drei skizzierten, qualitativ verschiedenen Teilgebiete. Eine oft sinnvolle Strategie bei solchen Potentialproblemen ist, zuerst allgemeine Lösungen für die Wellenfunktion in den Teilgebieten zu finden, und diese dann mit den Randbedingungen geeignet zusammenzusetzen. Die Energie E, also der Eigenwert von Ĥ, ist nicht ortsabhängig! (Sonst wäre z.b. die Stetigkeit von ψ(x, t) zu anderen Zeiten verletzt). Für den unendlich hohen Potentialtopf finden wir: Gebiete I & III: Hier ist V (x) = und daher ψ(x) 0, da sonst E pot = V (x) ψ(x) 2 dx = Gebiet II: Hier ist das Potential konstant. 1. Versuch: Wir setzen E < V 0 = 0 an und verwenden (6.5a): ψ(x) = a e qx + b e qx 32

33 2m mit reellem q = (V 2 0 E). Die Stetigkeit der Wellenfunktion bei x = 0 verlangt ψ(0) = 0, also a = b. Die Stetigkeit bei x = L verlangt ψ(l) = 0, also e ql e ql = 0. Daraus folgt q = 0 und damit ψ(x) = a(e 0 e 0 ) 0. Wir finden also keine Lösung mit E < V 0! Man kann allgemein sehen, dass die Energie E immer größer als das Minimum des Potentials sein muss. 2. Versuch: Wir setzen E > V 0 an und verwenden (wegen der Randbedingungen) (6.5c): ψ(x) = a sin kx + b cos kx (6.6) 2m(E V0 ) mit k =, a, b C. 2 Die Wellenfunktion muss mehrere Bedingungen erfüllen: Die Stetigkeit der Wellenfunktion ergibt hier die Randbedingungen ψ(0) = 0 und ψ(l) = 0, und daher b = 0 a sin(kl) = 0. Die zweite Bedingung zusammen mit der Normierung kann nur mit sin(kl) = 0 erfüllt werden, da mit a = 0 die Wellenfunktion wieder identisch verschwinden würde. Also muss k = nπ mit einer ganzzahligen Quantenzahl n gelten, die den gebundenen Zustand charakterisiert. L Der Wert n = 0 ist ausgeschlossen, da dann wieder ψ 0 wäre. Wir können uns auf positive n beschränken, denn negative n ergeben mit sin( nkx) = sin(nkx) bis auf die Phase ( 1) dieselbe Wellenfunktion. Die Ableitung der Wellenfunktion darf bei x = 0 und x = L beliebig unstetig sein, da dort das Potential unendlich ist. Hieraus erhalten wir im vorliegenden Fall keine weiteren Bedingungen an ψ. Normierung der Wellenfunktion: Zum einen muss ψ(x) überhaupt normierbar sein, was in dem endlichen Intervall [0, L] kein Problem ist. 33

34 Zum anderen können wir die Normierungskonstante a in Abhängigkeit von der Quantenzahl n berechnen: 1 = ψ ψ = dx ψ(x) 2 L = a 2 dx sin 2 ( nπ L x) 0 = a 2 L nπ = a 2 L nπ nπ 0 nπ 2 dy sin 2 y = a 2 L 2. mit y = nπ L x Also a 2 = 2, mit beliebiger Phase für a, welches wir reell wählen. L Insgesamt erhalten wir die Lösung für ein Teilchen im unendlich hohen Potentialtopf ψ n (x) = 2 L sin(k nx), 0 < x < L ; (ψ(x) = 0 sonst) (6.7) k n = nπ L ; n = 1, 2,... (6.8) E n = 2 π 2 2mL 2 n2 + V 0 (6.9) Es sind also hier Energie und Wellenzahl quantisiert, mit nur diskreten möglichen Werten, in Abhängigkeit von der Quantenzahl n. Die Energie nimmt mit n 2 zu und mit 1/L 2 ab. In Abbildung 5 sind Wellenfunktionen zu den drei tiefsten Eigenwerten dargestellt. Man erkennt, dass die Wellenfunktion des Grundzustands nur am Rand Null wird. Bei jeder Anregung kommt ein weiterer Nulldurchgang (,,Knoten ) hinzu. [examples: pag. 75] 34

35 V (x) I II III V = E 3 9 V = E 2 4 ψ 1 (x) E L ψ 2 (x) ψ 3 (x) x Abbildung 5: Wellenfunktionen zu den drei niedrigsten Energie- Eigenwerten. Hier sind auch die Eigenenergien gezeichnet. Kraftübertragung auf die Wände Die Kraft errechnet sich aus der Energie F = de dl = 2 π 2 n 2 2m 2 L = 2 π 2 n 2. 3 ml 3 Die Energie eines Zustands ist ein einem breiteren Topf geringer. Deswegen wirkt eine Kraft auf die Wände, die versucht, sie auseinanderzuschieben! Potentialtopf mit endlicher Tiefe Wir betrachten nun einen Potentialtopf mit endlicher Tiefe { V 0 für x L/2 ; V 0 < 0 V (x) =, (6.10) 0 sonst wie er in Abbildung (6) skizziert ist. Wir haben hier den Koordinatenursprung im Vergleich zum vorherigen Beispiel um L/2 verschoben, da sich hierdurch die Rechnungen vereinfachen. Wir interessieren uns hier zun chst ausschließlich für gebundene Zustände, 35

36 V V = 0 E I II III L 2 V = V 0 Abbildung 6: Potentialtopf endlicher Tiefe. L 2 x das heißt im Fall des vorliegenden Potentials E < 0. Gleichzeitig muss die Energie aber, wie bereits besprochen, größer als das Potential-Minimum sein, d.h. V 0 < E < 0. Wir unterscheiden die drei in Abbildung (6) gekennzeichneten Bereiche. Für die Bereiche I und III lautet die zeitunabhängige Schrödingergleichung ψ (x) = 2m E 2 ψ(x). Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung hat jeweils die Form ψ(x) = A 1 e qx + A 2 e +qx (6.11) 2m E mit q = (6.12) 2 mit unterschiedlichen Koeffizienten A 1,2 in den Bereichen I und III. Im Bereich I muss A I 1 = 0 sein, da die Wellenfunktion ansonsten für x exponentiell anwachsen würde und somit nicht normierbar wäre. Aus demselben Grund ist A III 2 = 0 im Bereich III. Im Zwischenbereich II lautet die zeitunabhängige Schrödingergleichung ψ (x) = 2m( V 0 E ) 2 ψ(x). Hier hat die allgemeine Lösung der Differentialgleichung die Form ψ(x) = B 1 e ikx + B 2 e ikx (6.13) 36

37 mit k = 2m( V0 E ) 2 (6.14) Die gesamte Wellenfunktionen ist somit A 1 e qx ; x < L 2 ψ(x) = B 1 e ikx + B 2 e ikx ; L x L 2 2 A 2 e qx ; x > L 2. (6.15) Die Koeffizienten werden aus den Stetigkeitsbedingungen der Funktion und dessen Ableitung bestimmt Alle Wellenfunktionen sind entweder symmetrisch oder antisymmetrisch unter der Transformation x x sind. 5 Das vereinfacht die Lösung des Problems. Die Wellenfunktionen lautet dann A s e qx ; x L 2 symmetrisch ψ s (x) = B s cos(kx) ; L 2 x L (6.16a) 2 A s e qx ; x L 2 A a e qx ; x L 2 anti-symmetrisch ψ a (x) = B a sin(kx) ; L 2 x L 2 A a e qx ; x L 2 (6.16b) Wir starten vom symmetrischen Fall Nun werten wir die Randbedingungen zur Bestimmung der Konstanten aus den Stetigkeitsbedingungen: ψ s ( L) : A 2 s e q( L 2 ) = B s cos(kl/2) ψ s (L) : A 2 s e q( L 2 ) = k B q s sin(kl/2) tan(kl/2) = q k (6.17) Die linke Seite stellt ein homogener System linearer Gleichungen für die Koeffizienten A s und B s dar. Das hat bekanntlich nur dann eine nichtriviale Lösung, wenn die Determinante verschwindet. Die Bedingung dafür steht 5 I. e. gerade oder ungerade. Dass alle Lösungen entweder gerade oder ungerade sein müssen folgt aus der Tatsache, dass das Potential symmetrisch ist. Wir werden dieses später diskutieren. 37

38 auf der rechten Seite von (6.17). Da q und k von E abhängig sind (siehe (6.12) and (6.14)), stellt diese eine Bedingung für die Energie dar. Wie wir sehen werden, wird (6.17) von einem dikreten Satz von E erfüllt. Diese Gleichung liefert die Quantisierungsbedingung für die erlaubten Energieeigenwerte (im symmetrischen Fall). Für die weitere Analyse ist es sinnvoll, eine neue Variable η = kl/2 einzuführen und E über (6.13) hierdurch auszudrücken η 2 = ( ) 2 L k 2 = 2 ( ) 2 L 2m 2 Hier haben wir definiert: Ṽ0 ( L 2 k und q: 2 ( V 0 E ) = Ṽ0 ) 2 2m q k = ( ) 2 L q 2. 2 V 2 0. Das gibt eine Beziehung zwischen Ṽ 0 η 2 η (6.18) Die Bedingungsgleichung (6.17) geben also für den symmetrischen Fall tan(η) = q k = Ṽ 0 η 2 (6.19) η Der antisymmetrische Fall verläuft identisch. Die Rechenschritte werden hier ohne Beschreibung präsentiert. ψ a ( L 2 ) : A a e q( L 2 ) = B a sin(kl/2) ψ a (L 2 ) : A a e q( L 2 ) = k q B a cos(kl/2) (6.18) gilt auch im antisymmetrischen Fall, so daß: tan(kl/2) = k q (6.20) tan(η) = k q = η Ṽ 0 η 2 (6.21) Die graphische Lösung der impliziten Gleichungen für η (6.19) und (6.21) erhält man aus den Schnittpunkten der in Abbildung (7) dargestellten Kurve tan(η) mit den Kurven q/k bzw. k/q (beide definiert im Bereich 0 < η < Ṽ0 ). Man erkennt, dass unabhängig von Ṽ0 immer ein Schnittpunkt mit der 38

39 6 tan(η) 4 2 q/k Ṽ η k/q Abbildung 7: Graphische Bestimmung der Energie-Eigenwerte im Potentialtopf. Aufgetragen ist tan(η) über η und außerdem die Funktionen k/q und q/k. Es wurde Ṽ0 = 49 gewählt. q/k-kurve auftritt. Es existiert somit mindestens immer ein symmetrischer, gebundener Zustand. Wir können auch leicht die Zahl der gebundenen Zustände bei gegebenem Potentialparameter Ṽ0 bestimmen. Der Tangens hat Nullstellen bei η = nπ. Die Zahl der Schnittpunkte der Kurve zu q/k mit tan(η) nimmt immer um eins zu wenn Ṽ 0 die Werte nπ überschreitet. Die Zahl der symmetrischen Ṽ0 Eigenwerte ist also N + = int( + 1). π Ṽ0 π + 1/2) Die Zahl der anti-symmetrischen Eigenwerte ist dagegen int( (ÜBUNG). Zur endgültigen Festlegung der Wellenfunktion nutzen wir die Stetigkeitsbedingungen (6.17) und (6.20) A s A a = B s e ql/2 cos(kl/2) = B a e ql/2 sin(kl/2) 39

40 aus und erhalten daraus mit der dimensionslosen Länge ξ = x/(l/2) cos(η) e q(ξ+1), ξ < 1 Ψ s (ξ) = B s cos(ηξ), 1 ξ +1 (6.22a) cos(η) e q(ξ 1), ξ > +1 sin(η) e q(ξ+1), ξ < 1 Ψ a (ξ) = B a sin(ηξ), 1 ξ +1 sin(η) e q(ξ 1), ξ > +1. (6.22b) Die Parameter B a/s ergeben sich aus der Normierung. Es ist nicht zwingend notwendig, die Wellenfunktion zu normieren. Mann muss dan aber bei der Berechnung von Mittelwerten, Wahrscheinlichkeiten, etc. aufpassen, Die möglichen gebundenen Zustände der Potential-Mulde mit Ṽ0 = 13 sind in der Abbildung (8) dargestellt. Ψ 2 (ξ) 0 Ψ 1 (ξ) Ψ 0 (ξ) ξ Ṽ0 Abbildung 8: Wellenfunktionen Ψ n (ξ) zu den drei Eigenwerten E n des Potentialtopfes mit einer Potentialhöhe Ṽ0 = 13. Wie im unendliche tiefen Potentialtopf, hat die Wellenfunktion zur tiefsten Energie keine Nullstelle. Die Zahl der Nullstellen ist generell n, wobei die Quantenzahl n = 0, 1, die erlaubten Energien E n durchnumeriert. In Abbildung (8) gibt die Null-Linie der Wellenfunktionen gleichzeitig auf der rechten Achse die zugehörige Eigenenergie E n an. In den verwendeten Einheiten befinden sich die Potentialwände bei ±1. Man erkennt, dass 40

41 die Wellenfunktion mit steigender Quantenzahl n zunehmend aus dem Potentialbereich hinausragt. [Weitere Beispiele: pag. 75] Zusammenfassung: gebundene Zustände Aus den obigen Ergebnissen für speziellen (kastenförmigen) Potentialen, versuchen wir allgemeinere Ergebnisse für gebundene Zustände in einer Dimension ohne Beweis zu leiten. Dabei betrachten wir stetige Potentiale V (x), bei denen lim x ± V (x) = V <, wobei wir ohne Einschränkungen V = 0 wählen können. Weitehin soll V (x) 0 sein. Zusammenfassung: gebundene Zustände Gebundene Zustände haben negative Energieeigenwerte ihre Energieeigenwerte E n sind diskret. Das kommt aus der Bedingung, dass die Wellenfunktion für x ± nicht divergieren darf. ihre Wellenfunktion ψ n (x) ist normierbar: ψ n(x) 2 dx < Sie kann reell gewählt werden (das haben wir nicht gezeigt). Eigenzustände unterschiedlicher Energien sind orthogonal: ψ n (x) ψ m (x) dx δ n,m (6.23) die Wellenfunktionen haben Knoten (ausser dem Grundzustand, i. e. dem Zustand mit niedrigsten Energie), deren Anzahl mit n zunimmt. Das kommt aus der Orthogonalitätsbedingung. in einer Dimension gibt es immer mindestens einen gebundenen Zustand (in höhere Dimensionen ist das nicht immer der Fall). 41

42 6.4 Streuung an einer Potentialbarriere I II III R V 0 T L 0 x Abbildung 9: Streuung an einer rechteckigen Potential-Barriere. Wir untersuchen nun quantenmechanisch die Streuung von Teilchen an einem Potential. Gebundene Zustände haben wir bereits im letzten Abschnitt behandelt; wir konzentrieren uns hier auf ungebundene Zustände. Wir betrachten hier nur den Fall einer rechteckigen Potential-Barriere, so wie er in Abbildung (9) dargestellt ist (V 0 > 0). Wie im vorherigen Anschnitt hat diese Barrierenform den Vorteil, dass das Problem exakt lösbar ist (allerdings aufwendig). Die qualitative Schlussfolgerungen gelten auch, unter bestimmten Bedingungen, für allgemeinere Barrierenformen. Von links treffen Teilchen auf das Potential. Wir werden die Intensität R der rückgestreuten und die Intensität T der transmittierten Teilchen berechnen. R und T bezeichnet man auch als Reflexionskoeffizienten bzw. Transmissionskoeffizienten. Sie sind definiert als R = T = Zahl der reflektierten Teilchen Zahl der einfallenden Teilchen Zahl der transmittierten Teilchen Zahl der einfallenden Teilchen. Im klassischen Fall ist die Situation einfach: wenn E > V 0 kommt das Teilchen über die Potentialbarriere durch (es wird lediglich während des Übergangs verlangsamt), also T = 1, R = 0, während für E < V 0 wird es komplett reflektiert, also T = 0, R = 1. Wir werden hier nur einige für die Quantenmechanik interessantere Eigenschaften dieses Problems studieren. 42

43 6.4.1 Tunneling Zunächst interessieren wir uns für den Fall V 0 > 0 und für Energien 0 < E < V 0. In diesem Fall wäre ein klassiches Teilchen Total reflektiert, R = 1. Das ist nicht der Fall in der Quantenmechanik. In den Bereichen I und III lautet die allgemeine Lösung ψ(x) = A 1 e ikx + A 2 e ikx mit der Wellenzahl k = 2mE 2 und E > 0. (6.24) Diese Wellenfunktion ist, wie bereits besprochen, nicht normierbar, 6. Im Bereich I beschreibt diese einen Strom von nach rechts einlaufenden (Impuls ˆp = i = k > 0) und einen Strom von nach links (ˆp = k) reflektierenden Teilchen. x Hinter der Barriere (Bereich III) kann es, wegen der vorgegebenen Situtation mit von links einlaufenden Teilchen, nur nach rechts auslaufende Teilchen (Wellen) geben. Daher muss dort A 2 = 0 sein. Im Bereich II gilt ψ(x) = B 1 e qx + B 2 e qx mit q = 2m(V0 E) 2 reell und > 0. (6.25) Die gesamte Wellenfunktion lautet somit A 1 e ikx + A 2 e ikx ; x L ψ(x) = B 1 e qx + B 2 e qx ; L x 0 C e ikx ; x 0. Die Stetigkeitsbedingungen von ψ(x) und ψ (x) liefern 4 Randbedingungen zur Festlegung der 5 Unbekannten koeffizienten A 1, A 2, B 1, B 2, C. 7 Da die Wellenfunktion mal einer Konstante multipliziert werden kann, kann eines 6 Diese nicht Normierbarkeit ist noch zulässig. Der Fall, wenn die Wellenfunktion im unendlichen divergiert ist dagegen nicht erlaubt 7 Wir sehen schon hier ein Unterschied zu dem Fall gebundener Zuständen, wo die Zahl der Unbekannten gleich der Zahl der Bedingungen war. 43

44 der Koeffizienten (solange es nicht verschwindet), auf 1 festgelegt werden. Physikalisch können wir A 1 = 1 wählen, da dieses die Dichte der einfallenden Teilchen berschreibt. Uns interessieren der Reflektions- und der Transmissionskoeffizient R = n r n e = A 2 2 A 1 = A T = n t = C 2 A 1 = 2 C 2, n e wo n e, n r, n t die (Wahrscheinlichkeits-) Dichten der einfallenden, reflektierten und transmittierten Teilchen ist. Der Strom ist eigentlich gegeben durch Dichte mal Geschwindigkeit, aber letztere ist die gleiche rechts und links der Barriere, und proportional zum Impuls k. Es bleibt als Lösung e ikx + A e ikx ; x L ψ(x) = B 1 e qx + B 2 e qx ; L x 0. (6.26) C e ikx ; x 0 Die restlichen 4 Koeffizienten kann man nun über die Randbedingungen bestimmen. Diese ergeben: (a) ψ( L) : e ik( L) + A e ik( L) = B1 + B 2 (b) ψ(0) : C = B 1 + B 2 (c) ψ ( L) : e ikl Ae ikl = iρ( B 1 B 2 ) (6.27) (d) ψ (0) : C = iρ(b 1 B 2 ) mit B1 B 1 e ql, B2 B 2 e ql, ρ q k Erste Konsequenzen 44

45 Energie von ungebundenen Zuständen Bilden einen Kontinuum Es handelt sich hier um ein hinomogenes lineares System von vier Gleichungen mit vier unbekannten. Dadurch, dass das system inhomogen ist, muss die Determinante nicht verschwinden. Im Gegensatz zum Fall gebundener Zuständen, gibt es also hier keine Bedingung für die Energien: Alle (positiven) Energien sind elaubt. Das kommt aus det Tatsache, dass bei gebundenen Zuständen ein Koeffizient verlorengeht, aufgrund der Bedingung, dass die Wellenfunktion im unendlichen verschwinden muss. Eine wichtige Schlussfolgerung ist also dass: Für ungebundene Zustände sind die Energien nicht quantisiert, sie bilden einen Kontinuum Erste Konsequenzen Stromerhaltung Ein weiteres wichtiges Ergebnis ist, dass, wie physikalisch erwartet: T + R = 1, (6.28) (i. e. komplex conju- was der Stromerhaltung entspricht. Letzteres kann man auf folgender Weise sehen: Aus (6.27), durch multiplikation von (b) mit (d) giert) berechnen wir: C 2 = ReC C = Re [( iρ)(b 1 B 1 B 2 B 2 B 1 B 2 + B 2 B 1)] mit (a) (c) = 2ρRe ib 1 B 2 (6.29) Re [ (e ikl + Ae ikl )(e ikl Ae ikl ) ] = 2ρRe i B 1 B 2 = 2ρRe ib 1 B 2 = C 2 Die linke Seite gibt aber Re ( 1 A 2 + Ae 2ikL A e 2ikL) = 1 A 2 Also was (6.28) entspricht. 1 A 2 }{{} R = C 2 }{{} T (6.30) 45

46 Tunnel Effekt Die Lösung des Gleichungssystems (6.27) ist ziemlich aufwendig. Wir wollen hier den interessanten Fall ql 1 betrachten. Das ist der Tunnel Regime. Es beschreibt das Tunneln von einem Teilchen durch eine Barriere die höher als die Teilchenenergie ist. Anwendungen: Raster-Tunnel Mikroskop, Alpha-Zerfall. Ergebnis: Für ql 1 können wir B 1 in (6.27) vernachlässigen. Die Summe von (a) und (c) in (6.27) gibt dann (b) minus (d) geben also Aus (6.29) erhalten wir also 2e ikl = B 2 (1 + iρ) B 2 = iρ e ql e ikl B 1 = B 2 1 iρ 1 + iρ B 1 B2 = B 2B2 1 iρ 1 + iρ = 4e 2qL (1 + iρ) 2 T = C 2 = 16ρ2 (1 + ρ 2 ) 2e 2qL. (6.31) Der wichtige Term in (6.31) ist das Exponential. (6.31) zeigt, dass der Transmissionskoeffizient exponentiell mit der Barrierenlänge L abfällt. Der Koeffizient von L im Exponenten, 2q (inverse Eindringstiefe), nimmt mit der Teilchenmasse und mit dem Abstand zwischen Energie und Barrierenhöhe (vgl. (6.25)) zu. Anwendung: Raster-Tunnel-Mikroskop (Nobelpreis 1986 H.Rohrer, G.Binnig (IBM-Rüschlikon)) Beim Scanning Tunneling Mikroscope (STM) wird eine Metallspitze über eine Probenoberfläche mittels,,piezoantrieb geführt, siehe Abbildung (10). Die leitende (oder leitend gemachte) Probe wird zeilenweise abgetastet. Zwischen der Spitze und der Probe wird ein Potential angelegt, wodurch ein,,tunnel-strom fließt, der vom Abstand der Spitze zur lokalen Probenoberfläche abhängt. Mit Hilfe einer Piezo-Mechanik kann die Spitze auch senkrecht zur Probenoberfläche bewegt werden. Es gibt verschiedene Arten, das 46

47 Abbildung 10: Raster-Tunnel-Mikroskop. Tunnel-Mikroskop zu betreiben. In einer Betriebsart wird die Spitze immer so nachjustiert, dass der Tunnel-Strom konstant ist. Die hierfür notwendige Verschiebung ist ein Maß für die Höhe der Probenoberfläche. Ein STM hat atomare Auflösung. Das erscheint zunächst unglaubwürdig, da die Spitze makroskopische Dimensionen hat. Der Grund ist, dass wegen der exponentiellen Abhängigkeit des Tunnel-Stromes vom Abstand das,,unterste Atom der Spitze den dominanten Beitrag zum Strom liefert (siehe Abbildung (11)). Abbildung 11: Spitze des Raster-Tunnel-Mikroskops Resonanz Ein weiterer wichtiger Quanteneffekt ist die Streuresonanz. Diese kommt bei energien E > V 0 vor, wenn die Barrierenbreite ein Vielfaches der halben Wellenlänge in der Barriere, so daß die Welle in die Potentialbarriere,,hineinpasst. Für E > 0, können wir die Ergebnisse aus dem vorherigen 47

48 Abschnitt (Eq. (6.27)) übernehmen, mit q = i q mit q reell. (6.32) Die Wellenlänge in der Barriere ist dann 2π q In allgemeinen Fall wird (im Gegensatz zu klassischen Teilchen) das Teilchen zum Teil reflektiert: R > 0, T < 1. Im Resonanzfall ql = n π (n ganzzahlig) gibt es allerdings perfekte Transmission (R = 0, T = 1): Das sieht man aus (6.27), wo B 1 = ±B 1 und B 2 = ±B 2, 8 also e ikl + Ae ikl = ±C = e ikl Ae ikl A = 0 R = 0, T = Klassischer Limes Ergebnisse aus der Quantenmechanik müssen sinnvollerweise im Limes 0 gleich dem klassischen Limes werden, oder besser gesagt, da die Dimensionen Energie Zeit = Impuls Länge hat, wenn viel kleiner als diese entsprechenden characteristischen Grössen ist. Zum Beispiel, für gebundene Zustände werden im 0 Limes die Energieabstände Null (siehe z.b. (6.7)). Aus Sec. 6.4 haben wir für E < V 0 und 0, q (siehe Eq. (6.25)), also T 0 (vgl. Eq. (6.31)). Für E > V 0 wird iρ = q 1 (vgl. k (6.24),(6.25),(6.27),(6.32)), so daß B 2 = 0, A = 0, B 1 = C = 1, also T = 1. 8 ± je nachdem ob n gerade oder ungerade ist 48

49 c 2004 and on, Leon van Dommelen 49 7 Functions as Vectors Wave functions of quantum mechanics belong to an infinite-dimensional vector space, the Hilbert space. In this section, we want to present an Heuristic treatment of functions in terms of vectors, skipping rigorous mathematical definitions. There are certain continuity and convergence restriction, which we are not going to discuss here. For a more rigorous treatment, please refer to the original QM Script by Evertz and von der Linden. The main point here is that most results about vectors, scalar products, matrices, can be extended to linear vector spaces of functions. This part is based largely on the Lecture Notes of L. van Dommelen. There are, however, some modifications. A vector f (which might be velocity v, linear momentum p = mv, force F, or whatever) is usually shown in physics in the form of an arrow: Abbildung 12: The classical picture of a vector. However, the same vector may instead be represented as a spike diagram, by plotting the value of the components versus the component index: In the same way as in two dimensions, a vector in three dimensions, or, for that matter, in thirty dimensions, can be represented by a spike diagram: For a large number of dimensions, and in particular in the limit of infinitely many dimensions, the large values of i can be rescaled into a continuous coordinate, call it x. For example, x might be defined as i divided by the number of dimensions. In any case, the spike diagram becomes a function f(x): The spikes are usually not shown:

50 c 2004 and on, Leon van Dommelen 50 Abbildung 13: Spike diagram of a vector. Abbildung 14: More dimensions. In this way, a function is just a vector in infinitely many dimensions. Key Points Functions can be thought of as vectors with infinitely many components. This allows quantum mechanics do the same things with functions as you can do with vectors. 7.1 The scalar product The scalar product 9 of vectors is an important tool. It makes it possible to find the length of a vector, by multiplying the vector by itself and taking the square root. It is also used to check if two vectors are orthogonal: if their scalar product is zero, they are. In this subsection, the scalar product is defined for complex vectors and functions. 9 also called inner or dot product, sometimes with slight differences

51 c 2004 and on, Leon van Dommelen 51 Abbildung 15: Infinite dimensions. Abbildung 16: The classical picture of a function. The usual scalar product of two vectors f and g can be found by multiplying components with the same index i together and summing that: f g f 1 g 1 + f 2 g 2 + f 3 g 3 Figure (17) shows multiplied components using equal colors. Abbildung 17: Forming the scalar product of two vectors Note the use of numeric subscripts, f 1, f 2, and f 3 rather than f x, f y, and f z ; it means the same thing. Numeric subscripts allow the three term sum