Numerische Methoden I FEM/REM

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Numerische Methoden I FEM/REM"

Lisa Bader
vor 7 Jahren
Abrufe

1 Numrisch Mthodn I FEM/REM Dr.-Ing. Mrkus Kästnr ZEU Tl.: 6 66 E-Mil: Mrkus.Kstnr@tu-drsdn.d Drsdn, 9..

2 Zusmmnfssung. Vorlsung Grundzüg FEM Ausgngspunkt: Schwch Form Auftilung ds Brchnungsgbits Ω in finit Elmnt Einfch Ansätz für finit Elmnt Diskrtisirung und Algbrisirung dr RWA FEM für Fchwrk Hrlitung dr Elmntvktorn und -mtrizn Assmblirung ds Gsmtglichungssystms Einbu von Rndbdingungn D-Fchwrk Drsdn, 9.. Numrisch Mthodn I FEM/REM Foli von 9

3 Zusmmnfssung. Vorlsung Grundzüg FEM Ausgngspunkt: Schwch Form Auftilung ds Brchnungsgbits Ω in finit Elmnt Einfch Ansätz für finit Elmnt Diskrtisirung und Algbrisirung dr RWA FEM für Fchwrk Hrlitung dr Elmntvktorn und -mtrizn Assmblirung ds Gsmtglichungssystms Einbu von Rndbdingungn D-Fchwrk Drsdn, 9.. Numrisch Mthodn I FEM/REM Foli von 9

4 Assmblirung ds Glichungssystms f f f EA, l EA, l s s u u u f f F F F F F F Kräftglichgwicht in Vktor-Mtrixschribwis F F + F = f f ˆF+ ˆF =f f F Drsdn, 9.. Numrisch Mthodn I FEM/REM Foli von 9 F F f

5 f f f EA, l EA, l s s u u u Vrknüpfung zu Vrschibungsvktor u ds Systms (k = EA/l) F F }{{} ˆF F F }{{} ˆF = = k k k k u P u u P }{{}}{{} u }{{} ˆK ˆP k k u u P k k u }{{}}{{} P u }{{} ˆK ˆP Drsdn, 9.. Numrisch Mthodn I FEM/REM Foli von 9

6 Zusmmnfssn ntsprchnd Kräftglichgwicht k k P k k +k k u = f+ k k P + P }{{} P }{{} K= ˆK+ ˆK p Ku = f+p n i K = ˆK... Gsmtstifigkitsmtrix i= n i p = ˆP... Vktor dr äquivlntn Knotnlstn i= f... Vktor dr äußrn Knotnlstn Erwitrung dr Elmntstifigkitsmtrizn für progrmmtchnisch Umstzung nicht zwckmäßig Zil: lgorithmirbrr Assmblirungsprozss Drsdn, 9.. Numrisch Mthodn I FEM/REM Foli von 9

7 . Rndbdingungn und Lösung ds GLS r EA, l EA, l f = s s u = u u u F k k k k +k k k k ū u u = r F mit k = EA l Lösung durch:. Auflösung ds Glichungssystms. Strichn von Ziln und Spltn. Strfprmtrmthod Drsdn, 9.. Numrisch Mthodn I FEM/REM Foli von 9

8 . Strichn von Ziln und Spltn Erstzninr Glichung durch di RB u =ū k +k k k k u u u = ū kū F Strichn von Ziln und Spltn Modifiktion dr rchtn Sit bi inhomognr RB ufwndig für groß Systm Zil: K mod undf mod sollnsich nur unwsntlich vonkbzw. f untrschidn. Drsdn, 9.. Numrisch Mthodn I FEM/REM Foli 6 von 9

9 . Strfprmtr- odr Pnltymthod c... Strfprmtrc mx ( K ij ),z.b mx ( K ij ) Physiklisch Intrprttion: Elstisch Stützstäb mitstifigkit c r c k k F u s s u u u Erwitrung dr Gsmtstifigkitsmtrix c c c c +k k k k +k k k k ū u u u = r F Drsdn, 9.. Numrisch Mthodn I FEM/REM Foli 7 von 9

10 c c c c +k k k k +k k k k ū u u u = r F rst Zil lifrt c ū c u = r modifizirts Glichungssystm ū u = r c u ū c +k k k k +k k u u = k k u }{{}}{{} K mod u mod c ū F } {{ } f mod Drsdn, 9.. Numrisch Mthodn I FEM/REM Foli 8 von 9

11 c +k k k k +k k u u = k k u }{{}}{{} K mod u mod c ū F } {{ } f mod Addition vonc zujdmhuptdigonlnlmnt, ds zuinr vorggbnn Knotnvrschibung ghört Modifiktion ds Knotnlstvktors im Fll inhomognr Vrschibungsrndbdingungn K mod nicht singulär Brchnung dsvrschibungsvktors us: u mod =K mod f mod Brchnung dr Rktionskräft untr Vrwndung dr Vrschibungn u mod unddr nicht modifizirtnstifigkitsmtrix K f =Ku mod Drsdn, 9.. Numrisch Mthodn I FEM/REM Foli 9 von 9

12 . Zwidimnsionl Fchwrk u y F y F x u x u y y F y F x x u x Erwitrung dr Knotnvrformungs- und Knotnlstvktorn u = [ u x u y u x u y ] T F = [ F x F y F x F y ] T ; P = [ Px P y P x P y ] T gg: K us = F S S + P S mit [ K = EA S l ] ; u S = [ ] u ; [ ] F F u S = ; [ ] P P F S = P Drsdn, 9.. Numrisch Mthodn I FEM/REM Foli von 9

13 gs: K... Elmntstifigkitsmtrix inx-y-koordintnsystm Ausgngspunkt: u iy u i u i i u ix Knotnvrschibung inrichtung dr Stbchs u i u i =u ix cosα+u iy sinα Zrlgung drknotnkräft F i F ix =F i cosα ; F iy =F i sinα nlog für äquivlnt Knotnlstn Drsdn, 9.. Numrisch Mthodn I FEM/REM Foli von 9

14 Trnsformtionn F =T F S, P =T P S und u S =T T u bknnt: F x F y F x F y }{{} F F ix =F i cosα ; F iy =F i sinα cosα ( ) = sinα F cosα mit T F T T =I sinα }{{}}{{} F T S K S us = F S + P S T TK ( FS us = T + ) P S S TK T T u = F+ P S }{{} K mit u S =T T u Drsdn, 9.. Numrisch Mthodn I FEM/REM Foli von 9

15 mitc=cosα und s =sinα folgt K = EA l c sc c sc sc s sc s c sc c sc sc s sc s Eignschftn dr Elmntstifigkitsmtrix qudrtisch [FGxFG] [x] symmtrisch singulär ( K ) Rg = Rngbfll dri Strrkörprtrnsltionn Strrkörprrottion y u y F y F x x u y F y u x F x u x Drsdn, 9.. Numrisch Mthodn I FEM/REM Foli von 9

16 Vorlsungsbispil Fchwrk. Diskrtisirung u x= s s s y u y = s u x= s f y = -F x F y x Drsdn, 9.. Numrisch Mthodn I FEM/REM Foli von 9

17 . Brchnung dr Elmntstifigkitsmtrizn ( ) Dhnstifigkit EA l Läng l = (x x ) +(y y ) Winkl α ) y y =rctn( x x mitc=cosα und s =sinα folgt c ( ) sc c sc EA K = sc s sc s l c sc c sc sc s sc s K K K K u x u y u x u y = F x F y F x F y Drsdn, 9.. Numrisch Mthodn I FEM/REM Foli von 9

18 . Assmblirung ds Gsmtglichungssystms u x= s s Koinzidnzmtrix u y = y s u x= s s f y = -F Elmnt lok. Knotn lok. Knotn x K K K K : K K K K ; : K K K K ; : K K K K ; : K K K K ; : K K K K Drsdn, 9.. Numrisch Mthodn I FEM/REM Foli 6 von 9

19 . Assmblirung ds Gsmtglichungssystms u x= s s Koinzidnzmtrix u y = y s u x= s s f y = -F Elmnt lok. Knotn lok. Knotn x K K K K : K K K K ; : K K K K ; : K K K K ; : K K K K ; : K K K K Drsdn, 9.. Numrisch Mthodn I FEM/REM Foli 6 von 9

20 . Assmblirung ds Gsmtglichungssystms u x= s s Koinzidnzmtrix u y = y s u x= s s f y = -F Elmnt lok. Knotn lok. Knotn x K K K K : K K K K ; : K K K K ; : K K K K ; : K K K K ; : K K K K Drsdn, 9.. Numrisch Mthodn I FEM/REM Foli 6 von 9

21 y x s u x= s s s u y = u = s x f y = -F K = : : : K K K K K K K K K K K K ; : ; : K K K K K + K + K K K K K K + K K K K K + K + K K K K K + K K ; K K ; K u = f = (ūx = ū y = u x u y u x u y ū x = u y ) T ( r x r y F r x ) T ; p = Drsdn, 9.. Numrisch Mthodn I FEM/REM Foli 7 von 9

22 y x s u x= s s s u y = u = s x f y = -F K = : : : K K K K K K K K K K K K ; : ; : K K K K K + K + K K K K K K + K K K K K + K + K K K K K + K K ; K K ; K u = f = (ūx = ū y = u x u y u x u y ū x = u y ) T ( r x r y F r x ) T ; p = Drsdn, 9.. Numrisch Mthodn I FEM/REM Foli 7 von 9

23 y x s u x= s s s u y = u = s x f y = -F K = : : : K K K K K K K K K K K K ; : ; : K K K K K + K + K K K K K K + K K K K K + K + K K K K K + K K ; K K ; K u = f = (ūx = ū y = u x u y u x u y ū x = u y ) T ( r x r y F r x ) T ; p = Drsdn, 9.. Numrisch Mthodn I FEM/REM Foli 7 von 9

24 . Rndbdingungn u x= s s s Strfprmtrmthod u y = y u x= x s s f y = -F Ku =f K mod u mod =f mod c + K + K + K K K K +c K K + K K K K K + K + K K c + K K K + K } {{ } K mod u x u y u x u y u x u y u x u y } {{ } u mod = F } {{ } f mod Drsdn, 9.. Numrisch Mthodn I FEM/REM Foli 8 von 9

25 . Rndbdingungn u x= s s s Strfprmtrmthod u y = y u x= x s s f y = -F Ku =f K mod u mod =f mod c + K + K + K K K K +c K K + K K K K K + K + K K c + K K K + K } {{ } K mod u x u y u x u y u x u y u x u y } {{ } u mod = F } {{ } f mod Drsdn, 9.. Numrisch Mthodn I FEM/REM Foli 8 von 9

26 . Lösung ds Gsmtglichungssystms Brchnung dr Knotnvrschibungn u mod = K mod f mod u mod = F ( )T EA Brchnung dr Rktionskräft f =Ku mod =F(.... ) T Glichgwichtsbdingungn sind rfüllt Drsdn, 9.. Numrisch Mthodn I FEM/REM Foli 9 von 9

Ähnliche Dokumente

Numerische Methoden I FEM/REM

Numerische Methoden I FEM/REM Dr.-Ing. Markus Kästner ZEU 353 Tel.: 035 463 32656 E-Mail: Markus.Kaestner@tu-dresden.de Dresden, 27.0.206 Klausur Datum: 2.3.206 Numerische Methoden RES, SM, MT (DPO 203),