mathematik und informatik

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1 Prof. Dr. Martin Erwig Kurs Fortgeschrittene Konzepte funktionaler Programmierung LESEPROBE mathematik und informatik

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3 64 3 Verifikation und Programm-Transformation Setzt man dieses Ergebnis in die Gleichung (3.2) ein, so erhält man power (x,n) = x * x n 1 = x n womit der Satz bewiesen ist Strukturelle Induktion auf Datentypen Die Gültigkeit der beiden Induktionsverfahren aus dem vorigen Abschnitt ergibt sich aus der induktiven Definition der natürlichen Zahlen: 1. 0 IN 2. n IN (suc(n) IN suc(n) 0) 3. IN enthält keine weiteren Elemente. Das heißt, die natürlichen Zahlen kann man auch als freie 1 Termalgebra über der Konstanten 0 : IN und der Operation suc : IN IN auffassen. Ebenso sind ML-Datentypen nichts anderes als freie Termalgebren zumindest gilt dies für solche Datentypen, die keine Funktionstypen enthalten. Ein ML-Datentyp gemäß der folgenden Form (alle τ ij seien konstante Typen) datatype (α 1,...,α k ) type = con 1 of τ 11 *... * τ 1m1... con n of τ n1 *... * τ nmn definiert eine freie Algebra von Termen des Typs (α 1,...,α k ) type, die über die Operationen con 1 : τ 11 *... * τ 1m1 -> (α 1,...,α k ) type... con n : τ n1 *... * τ nmn -> (α 1,...,α k ) type konstruiert werden. Für jede solche Termalgebra stellt die strukturelle Induktion ein eigenes Induktionsprinzip zur Verfügung. Im folgenden sei x ij vom Typ τ ij für 1 i n,1 j m i. Dann lautet das Prinzip der strukturellen Induktion in allgemeiner Form: Prinzip der strukturellen Induktion Falls aus der Gültigkeit von P für alle Argumente vom Typ τ eines Konstruktors die Gültigkeit von P für den entsprechenden Konstruktorterm folgt, und dies für alle Konstruktoren des Typs τ, so folgt daraus die Gültigkeit der Aussage P für alle Elemente des Typs τ. 1 Das bedeutet, daß alle Terme verschieden sind.

4 3.1 Induktion 65 Als Deduktionsregel notieren wir dies: i n : ( j m i : (τ ij = (α 1,...,α k ) type P(x ij ))) P(con i (x i1,...,x imi )) x (α 1,...,α k ) type : P(x) Für Listen ergibt sich daraus das folgende Induktionsprinzip: P([]) l a list : x a : (P(l) P(x::l)) l a list : P(l) Strukturelle Induktion für Listen Im folgenden nehmen wir an, daß freie Variablen in Induktionsregeln immer typkorrekt allquantifiziert sind, das heißt, wir können die obige Regel auch kürzer notieren: P([]) (P(l) P(x::l)) P(l) (Die Quantifizierung der Schlußfolgerung ergibt sich aus der Art der Induktion, hier: Listen). Mit der Listeninduktion kann man sehr viele Eigenschaften von Listenfunktionen verifizieren. Als Beispiel wollen wir zeigen, wie sich das Spiegeln einer Liste (mit rev) bezüglich der Konkatenation von Listen (@) verhält. Zunächst geben wir die Definitionen der beiden Listenfunktionen an. 2 fun l = l (x::l l = l) fun rev [] = [] rev (x::l) = (rev [x] Als Zwischenschritt zeigen wir zunächst, daß die Listenkonkatenation assoziativ ist: Satz 3.3 Für beliebige Listen l 1, l 2 und l 3 gilt: (l l 2 l 3 = l (l l 3 ). Beweis. Wir führen eine strukturelle Induktion über l 1 durch. (Der Linkspfeil über der Nummer einer Funktionsgleichung bezeichnet deren Anwendung von rechts nach links.) 2 Infix-Symbole werden auch auf der linken Seite von Funktionsdefinitionen infix notiert.

5 66 3 Verifikation und Programm-Transformation l 1 = [] Hier gilt: (l l 3 ) = l l 3 {@ 1 } l 1 = x::l Hier ergibt sich nun: = l 2 l 3 {@ 1 } (l l 3 ) = (l l 3 )) {@ 2 } Nun können wir den folgenden Satz beweisen: Satz 3.4 Für beliebige Listen l 1 und l 2 gilt: = l 2 l 3 ) {Ind.Ann.} = l 2 l 3 {@ 2 } = l 2 l 3 {@ 2 } rev (l l 2 ) = rev l rev l 1. Beweis. Wir führen eine strukturelle Induktion über l 1 durch. l 1 = [] rev l 2 ) = rev l 2 = rev l [] = rev l rev l 1. Wir haben hier die Gleichung [] = l ausgenutzt. Deren Gültigkeit kann man leicht durch strukturelle Induktion über l nachweisen. l 1 = x::l Wir formen wie folgt um: rev l 2 ) = rev l 2 )) {@ 2 } = rev l 2 [x] {rev 2 } = (rev l rev [x] {Ind.Ann.} = rev l (rev [x]) {Satz 3.3} = rev l rev (x::l) {rev 2 } Selbsttestaufgabe 4. Zeigen Sie, daß für alle Listen l und l gilt: length (l l 2 ) = length l 1 + length l 2 Eine weitere Instanz des allgemeinen Schemas für die strukturelle Induktion ist die Induktion über Binärbäumen. Wir verwenden die Definition von Binärbäumen aus Abschnitt 1.6: datatype a tree = NODE of a * a tree * a tree EMPTY;