Vorlesungsskript Geometrie für Geodäten WS 2014/15. Tillmann Jentsch

Transkript

1 Vorlesungsskript Geometrie für Geodäten WS 2014/15 Tillmann Jentsch

2 Die Vorlesung basiert auf dem Skriptum zur Vorlesung Geometrie im SS 2012 von Prof. Uwe Semmelmann.

3 KAPITEL 1 Kurventheorie 1. Kurven in IR n 1.1. Reguläre Kurven. Definition 1.1. Sei I IR ein Intervall und c : I IR n mit n {2, 3} eine Abbildung, welche wir mit Hilfe ihrer Komponenten als c(t = (c 1 (t,..., c n (t schreiben können a Falls alle Koordinatenfunktionen unendlich oft differenzierbar sind, so heißt c eine Kurve. b Die Kurve c heißt regulär, falls der Ableitungsvektor nirgends verschwindet, falls also ċ(t 0 für alle t I erfüllt ist. Wir stellen uns diese Kurven als eine Menge von Punkten vor, welche wir entsprechend dem Zeit- Parameter t entlang fahren. Daher spricht man von der Bildmenge c(i auch als der Spur von c. Die Ableitung ċ(t entspricht in diesem Bild dem Geschwindigkeitsvektor. Eine regulären Kurve können wir entlang fahren ohne stehen zu bleiben (daher hat eine reguläre Kurve keine Spitzen oder Ecken. Beispiel 1.2. Kurve. a Sei c 0 ein beliebiger Punkt des IR n. Die Kurve c(t := c 0 heißt konstante b Seien c 0 und v Elemente des IR n. Die parametrisierte Kurve c(t := c 0 + tv heißt eine Gerade im IR n. c Die Kreislinie vom Radius r in der Ebene um den Nullpunkt ist parametrisiert durch c(t = (r cos(ωt, r sin(ωt für r > 0 und ω 0. Die Kurve c ist periodisch, es gilt c(t := c(t + 2 π ω. Die Punkte der Kurve erfüllen die Gleichung c(ir = {(x, y IR 2 x 2 + y 2 = r 2 }. d Allgemeiner, eine Ellipse c(t = a cos(ωt + b sin(ωt mit a, b > 0 und ω 0. Die Gleichung dieser Kurve ist lautet x2 + y2 = 1. a 2 b 2 e Die Neilsche Parabel ist definiert als die Kurve c : IR IR 2 mit c(t = (t 2, t 3. f Die ebene Kurve c : IR IR 2, c(t = (t 3 4 t, t 2 4 hat einen Doppelpunkt in (0, 0, denn es gilt c(2 = c( 2 = (0, 0 aber ċ(2 ċ( 2. g Die parametrisierte Kurve c : IR IR 2 mit c(t = (e t cos t, e t sin t heißt eine logarithmische Spirale. h Die parametrisierte Kurve c : IR IR 2 mit c(t = r t (cos t, sin t mit r > 0 heißt eine archimedische Spirale. 3

4 4 1. KURVENTHEORIE i Die Schleppkurve (oder auch Traktrix parametrisiert durch c(t := (sin(t, cos(t + ln(tan( t 2. Sie ist regulär in t 0. Der Name erklärt sich daraus, dass diese Kurve von einem Massenpunkt beschrieben wird, der an einer Stange geeignet gezogen wird und ist daher in der Fahrzeugtechnik von Bedeutung, vgl. den Wikipedia-Eintrag zur Schleppkurve. j Die Kettenlinie (oder auch Katenoide c(t := (t, cosh(t. Sie parametrisiert ein an zwei Enden hängendes Seil, vgl. den Wikipedia-Eintrag zur Kettenlinie. k Die Schraubenlinie oder auch Helix im IR 3 ist parametrisiert durch c(t := (r cos(ω t, r sin(ω t, a t für Konstanten r > 0 ω 0 und a 0. Man nennt h := 2πa ω bzw. m := a ωr die Ganghöhe und die Steigung. Falls h > 0 so heißt sie rechtsgängig und falls h < 0 linksgängig. Übungsaufgabe 1.3. Skizzieren Sie die Spuren der obigen Kurven. Berechnen Sie ihre Ableitungen. Welche Kurven sind regulär parametrisiert? Definition 1.4. Sei c : I IR, t c(t eine Kurve. Durch eine Substitution t = t(s mit s J für ein weiteres Intervall J erhalten wir eine neue Kurve c : J IR 2, c c(s := c(t(s 1 Ist die Zuordnung s t(s Eins zu Eins von J auf I, so nennen wir dies ein Umparametrisierung von c. Beispiel 1.5. Wir betrachten das Intervall I := IR >0 (also alle reellen Zahlen, welche grösser als Null sind und die Umparametrisierung t : IR + IR +, s t(s = s. Sei weiterhin c(t = (t 2, t 3 die Neilsche Parabel. Mit der Substitutionsregel t = s folgt c(s = (s, s 3/ Die Bogenlänge einer Kurve. Im IR n bezeichne, das übliche Skalarprodukt und die zugehörige Normfunktion. Sei c : [a, b] IR n eine Kurve. Definition 1.6. Wir definieren die Bogenlänge von c durch (1 l(c := b a ċ(t dt. Falls ċ(t = 1 für alle t, so heißt c nach Bogenlänge parametrisiert. Es folgt leicht, dass die Länge einer Kurve c : [a, b] IR n invariant unter Parameterwechsel ist. Daher kann man von der Länge von c sprechen, ohne auf einen bestimmten Parameter Bezug nehmen zu müssen. Ist c nach Bogenlänge parametrisiert, so gilt natürlich einfach l(c = b a. Beispiel 1.7. Zunächst berechnen wir die Länge der Neilschen Parabel in der Parametrisierung c(t := (t 2, t 3 eingeschränkt auf das Intervall [0, 2]. Es gilt und ċ(t = 4 t t 4 = t t 2 l(c [0,2] = 2 2 t t 2 dt. 1 Man beachte aber dass sich die Formel für c(s von der von c(t unterscheidet. Etwas sicherer ist es, die Bezeichnung für die umparametrisierte Kurve mit einem Schlangezeichen (Tilde zu versehen.

5 1. KURVEN IN IR n 5 Wir substituieren u = u(t = t 2. Dann gilt u(t = 18t, also t dt = 1 du. Wir erhalten l(c [0,2] = Stammfunktion zu u ist 2 3 u t 4 + 9t 2 dt = udu l(c [0,2] = [u 3 2 ] 40 4 = 1 27 [ ] = 8 27 [ ] Die Länge l(c [0,2] ist daher in etwa 9 Maßeinheiten. Jetzt betrachten wir die Substitution s = t mit t > 0, also t = s 2. Der Parameterbereich welcher [0, 2] entspricht ist in der s-koordinate [0, 2 2 ] = [0, 4]. Die Kurve in s-parametrisierung β(s = (s, s 3/2 erfüllt β(s = (1, 3 2 s0,5. Daher folgt l(β [0,4] = 4 Substitution u = du 4s. Dann ds = 9 4, ds = 4 9 du. l(β [0,4] = sds. 4 2 udu = 9 3 [u 3 2 ] 10 1 = 8 27 ( Wir erhalten also in beiden Parametrisierungen das selbe Ergebnis für die Kurvenlänge, in etwa neun Maßeinheiten. Im folgenden nehmen wir an, dass c(t regulär ist. Dann existiert ein ausgezeichneter Parameter s, der Bogenlängenparameter. Dieser ist wie folgt definiert, (2 s(t := t t 0 ċ(u du + s 0. Hierbei kann t 0 ein beliebiger Punkt des Definitionsintervalls und s 0 irgendeine reelle zahl sein. Man misst also die Länge der Kurve vom Punkt t 0 ab. Zur Bestimmung der umparametrisierten Kurve c(s = c(t(s ist außerdem noch die Umkehrfunktion t = t(s von s = s(t zu bestimmen. 18 Satz 1.8. Sei c : I IR n eine reguläre Kurve. Dann definiert der Bogenlängenparameter (2 eine Umparametrisierung c(s. Für diese gilt ċ(s 1, also ist c(s in der Tat nach Bogenlänge parametrisiert. Beispiel 1.9. Wir betrachten eine Kreislinie c(t := (r cos(ωt, r sin(ωt. Wir berechnen ċ(t = ( r ω sin(ωt, r ω cos(ωt und sehen, dass die Länge des Geschwindigkeitsvektors von c genau dann Eins ist wenn ω = ± 1 r. Zur Bestimmung des Bogenlängenparameter s definieren wir s = s(t := t 0 ċ(u du = rωt. Wegen t = t(s = s r ω ist c(s = (r cos( s r, r sin( s r die Umparametrisierung auf Bogenlänge, also eine Kreisparametrisierung zum selben Radius und mit Winkelgeschwindigkeit ω = 1 r. Es ist nicht immer möglich, eine explizite Formel für den Bogenlängenparameter zu finden. Möchte man z.b. eine Ellipse nach Bogenlänge parametrisieren, so stößt man bei der Berechnung des Bogenlängenparameters auf ein elliptisches Integral, welches nur numerisch zu lösen ist. Es ist daher also nicht möglich die Länge einer allgemeinen Ellipse explizit zu berechnen.

6 6 1. KURVENTHEORIE Übungsaufgabe Finden Sie den Bogenlängenparameter s = s(t des oberen Zweiges der Neilschen Parabel c(t = (t 2, t 3 mit t > 0. Berechnen Sie die umparametrisierte Kurve c(s. Hinweis: Beispiel 1.7. Übungsaufgabe Zeigen Sie, dass der Bogenlängenparameter s der Ellipse c(t = a cos(t + b sin(t durch das Integral t s(t = 4 3 sin 2 (udu 0 gegeben ist. Daher heißt dieses Integral (z.b. für t = 1 auch ein elliptisches Integral Das Kürzestenproblem im Euklidischen Raum. Gegeben seien Punkte p und q in IR n. Wir stellen uns die Frage, wie sich diese so durch eine parametrisierte Kurve verbinden lassen, dass die Kurve dabei die kleinstmögliche Länge hat. Gesucht ist also eine parametrisierte Kurve c : [0, 1] IR n mit c(0 = p und c(1 = q und so dass l(c so klein wie möglich ist. Es stellt sich heraus, dass eine solche Kurve zum Beispiel durch die Gerade t p+t (q p gegeben ist. Sie können natürlich sagen das ist klar, oder folgende Aufgabe lösen: Übungsaufgabe Zeigen Sie explizit, dass eine Gerade die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten p und q des IR n ist, wie folgt: Sei c : [a, b] IR n eine parametrisierte Kurve mit c(a = p und c(b = q. Weiterhin bezeichne l die Länge von c [a,b]. a Für jeden Einheitsvektor v des IR n gilt q p, v = b a ċ(t, v dt l. mit Gleichheit genau dann, wenn ċ(t = ċ(t v für alle t. Hinweis: Cauchy-Schwarzsche Ungleichung b Es gilt q p l mit Gleichheit genau dann wenn c die Umparametrisierung einer Geraden ist. Hinweis: mit Teil (a und geeignetem v. Die Gleichung einer Geraden im IR n ist c (t = 0, welches die Geodätischen Gleichung im IR n ist; Geraden sind also genau die Geodätischen. Im IR n sind Geodätische immer Kürzeste und der euklidische Abstand zwischen zwei Punkten ist gleichzeitig dem geodätische Abstand, also der Länge einer (kürzesten verbindenden Geodätischen. 2. Ebene Kurven Eine Kurve c : I IR 2 nennt man auch ebene Kurve. Im IR 2 existiert eine ausgezeichnete Abbildung J, die Drehung um neunzig Grad gegen den Uhrzeigersinn. Als Matrix geschrieben, (3 J = ( In Komponentenschreibweise, mit v(t = (v 1, v 2 folgt J v = ( v 2, v 1.

7 2. EBENE KURVEN Orientierte Krümmung und begleitendes Zweibein. Wir betrachten die folgenden fundamentalen Felder einer regulären, ebenen Kurve: Definition 2.1. Sei c : I IR 2 eine reguläre ebene parametrisierte Kurve. Wir definieren das Richtungsfeld (4 v(t := ċ ċ, das orientierte Normalenfeld (5 n(t := J v(t. Dann bilden also n(t und v(t für jedes feste t eine positiv orientierte Orthonormalbasis des IR 2. Das Paar (v, n wird das Frenet-Zweibein oder auch begleitende Zweibein von c genannt. Der Begriff Feld soll daran erinnern, dass v(t und n(t im allgemeinen zeitlich veränderliche Vektoren sind, d.h. die Orthonormalbasis (v(t, n(t dreht sich in der Ebene, wenn man den Parameter t ändert. Übungsaufgabe 2.2. Berechnen Sie das begleitende Zweibein einer Geraden c(t := c 0 + t v, einer Kreislinie c(t := (r cos(t, r sin(t und einer logarithmischen Spirale c(t = (e t cos t, e t sin t. Wir machen nun folgende Beobachtung: aus der Tatsache, dass v(t 2 1 folgt durch Ableiten und mit Hilfe der Produktregel 0 = d d v(t, v(t 1 = = 2 v(t, v(t, dt dt also v(t v(t. Da eine ebene Kurve vorliegt, wird das senkrechte Komplement von v(t durch n(t aufgespannt. Es sind also v(t und n(t stets linear abhängig. Daher: Definition 2.3. Sei c : I IR 2 eine reguläre Kurve mit begleitendem Zweibein (v(t, n(t. Es existiert genau eine reelle Zahl κ(t mit (6 v(t = κ(t ċ(t n(t. Die Gleichung (6 heißt auch erste Frenet Gleichung und κ(t die orientierte Krümmung der ebenen regulären Kurve c. Die orientierte Krümmung ist invariant unter Parametertransformationen: Satz 2.4. Sei c : I IR 2 eine Kurve und κ : I IR die orientierte Krümmung (implizit definiert durch (6. Sei t = t(s eine Parametertransformation auf ein weiteres Intervall J. Dann ist die Abbildung t : J IR, s t(s entweder streng monoton steigend oder fallend, also dt dt ds > 0 oder ds < 0. Weiter sei c : J IR2, s c(t(s die transformierte Kurve. Dann gilt für die orientierte Krümmung dt κ(s = κ(t(s falls ds > 0 κ(s = κ(t(s falls dt ds < 0.

8 8 1. KURVENTHEORIE (7 Beweis. Zunächst gilt nach Kettenregel Daher folgt leicht (8 (9 mit + genau dann wenn dt ds nach (9 Daher nach (7 d dt c(t(s = (s ċ(t(s. ds ds ṽ(s = ±v(t(s, ñ(s = ±n(t(s > 0. Weiter, nach der ersten Frenetgleichung (6 für c(s und d dsṽ(s = κ(s d (9 c(s ñ(s = ± κ(s d ds ds c(s n(t(s. d dt dt = ± κ(s (s ċ(t(s n(t(s = κ(s dsṽ(s ds ds (s ċ(t(s n(t(s;. Andererseits nach (6 und (8 für c(t d (8 dsṽ(s = ± d dt (6 ds v(t(s = ± (s v(t(s = ±κ(t(s dt ds ds (s ċ(t(s n(t(s. Der Vergleich der letzten beiden Zeilen zeigt dass κ(s = ±κ(t(s mit + genau dann wenn dt ds (s > 0. Ist c nach Bogenlänge parametrisiert, so vereinfacht sich (6 zu (10 ċ(t = κ(t n(t. und es folgt in diesem Fall (11 κ(t = c(t. Sei A : IR 2 IR 2 eine längentreue Transformation. Eine solche hat die Darstellung A = T O wobei O eine orthogonale Abbildung und T eine Verschiebung (Translation ist. Folgerung 2.5. Sei c : I IR 2 eine parametrisierte Kurve und c(t := T O(c(t die transformierte Kurve. Dann gilt κ(t = ±κ(t mit + genau dann wenn det(o > 0, wenn also O eine eigentliche Drehung ist. Beweis. Für die transformierte Kurve gilt sicher ṽ(t = v(t. Ist außerdem {v, n} eine positiv orientierte ONB, so ist {O v, O n} eine weitere ONB welche positiv orientiert ist genau dann wenn det(o > 0. Daher ñ(t = ±n(t mit + genau dann wenn det(o > 0. Die Behauptung folgt mit der ersten Frenetgleichung. Übungsaufgabe 2.6. Beweisen Sie die zweite Frenetgleichung: für jede reguläre Kurve c mit begleitendem Bein (v, n gilt (12 ṅ(t = κ(t ċ(t v(t = κ(t ċ(t. Hinweis: Man benutze die Gleichheit v(t, n(t = v(t, ṅ(t, welche aus v, n 1 durch Ableiten und mit Hilfe der Produktregel folgt.

9 2. EBENE KURVEN 9 Ist c nach Bogenlänge parametrisiert, so folgt aus (12 (13 ṅ(t = κ(t v(t. Die orientierte Krümmung einer regulären ebenen Kurve lässt sich auch angeben ohne explizit auf das begleitende Zweibein zurückgreifen zu müssen: Satz 2.7. Sei c : I IR 2 regulär. Es gilt (14 κ(t = ċ(t, c(t ċ(t 3, wobei x, y die Zahldeterminante x 1 y 2 x 2 y 1 zweier Vektoren x = (x 1, x 2 und y = (y 1, y 2 bezeichnet. Ausgeschrieben, mit c(t = (c 1 (t, c 2 (t, (15 κ(t = ċ1(t c 2 (t ċ 2 (t c 1 (t ( ċ 1 (t 2 + ċ 2 (t 2 3. Beweis. Wir starten mit der rechten Seite von (14. Es gilt nach (4 ċ(t = ċ(t v(t. Daher mit der Produktregel c(t = d ċ(t v(t + ċ(t v(t. dt Da die Determinante von linear abhängigen Vektoren verschwindet, ċ(t, c(t = d ċ(t ċ(t, v(t + ċ(t ċ(t, v(t. dt }{{} =0 Einsetzen der ersten Frenetgleichung (6 liefert ċ(t, c(t = ċ(t ċ(t, v(t }{{} = ċ(t 2 κ(t ċ(t }{{} n(t = ċ(t 3 κ(t v(t, n(t. =κ(t ċ(t n(t = ċ(t v(t Wegen v, n = 1 für jede positiv orientierte Orthonormal basis {v, n} folgt die Behauptung. Beispiel 2.8. Die Krümmung und das begleitende Zweibein einer Ellipse: Sei c(t := (a cos(t, b sin(t mit a, b > 0. Wir haben c(t = (a cos(t, b sin(t, ċ(t = ( a sin(t, b cos(t, c(t = ( a cos(t, b sin(t, Es gilt (16 ċ(t 2 = ( b 2 cos 2 (t + a 2 sin 2 (t. Daher (17 (18 κ(t := ċ(t, c(t ċ(t 3 = ab ( b 2 cos 2 (t + a 2 sin 2 (t 3/2, 1 v(t = = ( b 2 cos 2 (t + a 2 sin 2 (t ( a sin(t, b cos(t. 1/2 (Das orientierte Richtungsfeld wird aus (18 wie üblich durch Drehung um neunzig Grad in positiver Richtung erhalten.

10 10 1. KURVENTHEORIE In manchen Fällen vereinfacht sich die Formel (14: Folgerung 2.9. Sei f : I IR eine unendlich oft differenzierbare Funktion. Weiter sei c : I IR 2 die Kurve t (t, f(t, welche den Graphen von f auf natürliche Weise parametrisiert. Dann ist die orientierte Krümmung von c gegeben durch (19 κ(t = f(t (1 + f(t 2. 3/2 Beweis. Es gilt ċ(t = (1, f(t und c(t = (0, f(t. Daher (ċ(t, c(t = ( 1 0 f(t f(t Die Determinante der Matrix ( ist 1 f(t f(t 0 = f(t. Die dritte Potenz der skalaren Geschwindigkeit ist ċ(t 3, also hier gleich (1 + f(t 2 3/2. Es folgt (19.. Beispiel Die parametrisierte Kurve c(t := (t, t 2 ist die natürliche Parametrisierung des Graphen von f(x := x 2, eine Standardparabel. Wegen f(t = 2 t und f(t = 2 erhalten wir für die orientierte Krümmung κ(t = f(t (1 + f(t 2 = 2 3/2 (1 + 4 t 2 3/2. Übungsaufgabe Leiten Sie im Falle von ċ 1 die Gleichung (11 aus (14 ab. Hinweis: benutzen Sie e 1, x = x, e 2 für jede positiv orientierte ONB {e 1, e 2 } des IR Evolute und Involute. Motivation zur Evolute: ziehen wir von einem Punkt r(cos(t, sin(t auf der Kreislinie vom Radius r um den Nullpunkt eine senkrechte Gerade g t (s := c(t + s n(t in Richtung der orientierten Normalen n(t = ( cos(t, sin(t, so folgt g t (r = r(cos(t, sin(t + r( cos(t, sin(t = (0, 0. Also schneidet die Senkrechte durch c(t und in Richtung n(t unabängig von t den Mittelpunkt des Kreises (0, 0 genau für s = r, wobei r das Inverse 1 κ der orientierten Krümmung der gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Kreislinie ist. Für eine allgemeine ebene Kurve c haben wir nur ihre orientierte Krümmung κ zur Verfügung. Falls κ(t 0 so können wir die Konstruktion des Kreismittelpunktes wie folgt verallgemeinern: Definition Sei c : I IR 2 regulär mit orientierter Krümmung κ und begleitendem Zweibein (v, n. Weiter gelte κ(t 0 für alle t. Wir setzen (20 ĉ(t := c(t + 1 κ(t n(t. Die Kurve ĉ heißt die Evolute von c.

11 2. EBENE KURVEN 11 Im Sinne der obigen Idee können wir uns ĉ(t als den Mittelpunkt eines Kreises vom Radius 1 κ(t vorstellen. Dieser sogennante Krümmungskreis approximiert die Ausgangs-Kurve zum Zeitpunkt t optimal (bis zu zweiter Ordnung. 2 Beispiel Sei c(t := r(cos(t, sin(t. Dann gilt ĉ (0, 0. Etwas interessanter ist die Evolute einer Ellipse: Beispiel Sei c(t := (a cos(t, b sin(t mit a > b > 0, vgl. Beispiel 2.8. Es gilt κ(t = n(t = ab ( b 2 cos 2 (t + a 2 sin 2 (t 3/2, 1 ( b 2 cos 2 (t + a 2 sin 2 (t ( b cos(t, a sin(t. 1/2 Daher berechnet sich die Evolute der Ellipse zu ĉ(t = c(t + 1 κ(t n(t ( b 2 cos 2 (t + a 2 sin 2 (t Sei = (a cos(t, b sin(t + ( b cos(t, a sin(t ab = (a cos(t a sin 2 (t cos(t b 2 /a cos 3 (t, b sin(t a 2 /b sin 3 (t b cos 2 (t sin(t = ( a2 b 2 a cos 3 (t, b2 a 2 sin 3 (t b (21 ɛ 2 := a2 b 2 a 2 die numerische Exzentrizität der Ellipse. Wir erhalten (22 ĉ(t = (aɛ 2 cos 3 (t, bɛ 2 sin 3 (t Dies ist die Gleichung einer Asteroide. Sie hat vier Spitzen, vgl. Die Evolute der Ellipse. Also parametrisiert ĉ die Lösungsmenge der Gleichung (x 2/3 (y 2/3 + = ɛ 4/3 a b Daher muss die Evolute einer regulären Kurve nicht notwendigerweise regulär sein. Satz Für jedes t gilt κ(t 0 genau dann, wenn die Evolute ĉ regulär in t ist. Beweis. Nach Produktregel und Definition der Evolute, d = ċ(t κ(t dtĉ(t κ 2 (t n(t + 1 κ(tṅ(t Setzen wir nach der zweiten Frenetgleichung (12 κ(t ċ(t für ṅ(t ein, so sehen wir dass sich die Terme ċ(t und κ(tṅ(t 1 gegenseitig weg heben. Es gilt daher: (23 d κ(t ˆκ(t = dt κ 2 (t n(t. 2 Man nennt die Evolute daher auch Kurve der Krümmungskreismittelpunkte.

12 12 1. KURVENTHEORIE Übungsaufgabe Sei c : I IR 2, c(t = (a cos(t, b sin(t mit a > b > 0, vgl. Beispiel Zeichnen Sie die Evolute von c (also die Kurve der Krümmungskreismittelpunkte, oder Brennpunktkurve! Bestimmen Sie sowohl die nicht-regulären Punkte als auch die Nullstellen der Ableitung κ(t. Vergleichen Sie mit Proposition 2.15! In der Situation von Definition 2.12 sei F : IR I IR 2 die Abbildung (24 F (s, t := c(t + s n(t. Ähnlich wie zu Beginn dieses Abschnittes ist die parametrisierte Gerade s F (s, t = c(t+s n(t die Normale durch den Punkt c(t in Richtung das Normalenvektors n(t (t fest. Lassen wir nun t varieren, so sehen wir dass F die parametrisierte Normalenschaar von c beschreibt. Satz Sei c : I IR 2 regulär mit orientierter Krümmung κ 0 für alle t. Die Evolute ist die Brennpunktkurve der Normalenschaar. Genauer, die parametrisierte Normalenschaar (24 erfüllt (25 F t (s= 1 κ(t,t = 0. Anschaulich besagt die Bedingung (25, dass die Normale s c(t + s n(t die benachbarten Normalen s c(t + t + s n(t + t für s 1 κ(t schneidet. Stellen wir uns diese Normalen zum Beispiel als Lichtstrahlen vor, so parametrisiert die Evolute daher einen Bereich besonders hoher Helligkeit. Folgerung Sei c : I IR 2 regulär mit konstanter orientierter Krümmung κ 0 für alle t. Dann parametrisiert einen Kreis vom Radius IR = 1 κ (falls κ 0. Beweis. Wir können o.b.d.a.a annehmen dass ċ 1. Wir zeigen nun, dass ċ = const : wegen ĉ(t = F ( 1 κ(t, t gilt nach der Kettenregel Wegen κ 0 folgt d dtĉ(t = κ(t s F ( 1 κ(t, t + t F ( 1 κ(t, t }{{} =0 d dtĉ(t und somit die Behauptung. Fazit: ist c(t eine Kreisparametrisierung r(cos(t, sin(t, dann schneiden sich alle Kreisliniennormalen im Mittelpunkt (0, 0, und zwar unabhängig vom gewählten Parameter t. Ist c(t nun eine beliebige reguläre Kurve mit κ(t 0, so ist die Größe r(t := 1 κ(t eine Art momentaner Kreisradius und der Evolutenpunkt ĉ(t ein momentaner Kreismittelpunkt, da beide Größen mit t variieren. In momentanen Kresmittelpunkt ĉ(t schneidet die Normale c(t + IR n(t im allgemeinen auch nur die benachbarten Normalen. Zum Schluss dieses Kapitels sei noch erklärt wie sich die Ausgangskurve samt aller Parallelkurven aus der Evolute rekonstruieren lassen:. Definition Sei c : I IR 2 eine reguläre ebene Kurve mit begleitendem Zweibein (v, n und t 0 I und s(t = t t 0 ċ(s ds ein Bogenlängenparameter. Die Kurve č :]t 0, [ IR 2, č(t := c(t s(t v(t heißt eine Involute von c (oder auch Evolvente. Ist s(t der Bogenlängenparameter zum Anfangsparameter t 0 so nenen wir auch č die Involute von c zum Anfangsparameter t 0.

13 2. EBENE KURVEN 13 Man beachte das unterschiedliche Anfangszeiten t 0 i.a. zu parallelen Involuten führen, s.u.. Ist c nicht regulär aber hat der Geschwindigkeitsvektor ċ(t etwa diskrete Nullstellen, so ist es immer noch möglich die Involute in Punkten t mit ċ(t 0 durch die Formel č(t := c(t t ċ(u du v(t zu definieren, wobei t ċ(u du eine Stammfunktion von ċ(t ist. Damit wird die Involute dann eine unstetige Funktion. Wie lässt sich die Involute einer Kurve geometrisch interpretieren? Ich gebe einfach mal die Erklärung wieder, wie sie in Wikipedia-Artikel zur Involute/Evolvente steht: Anschaulich lässt sich eine Evolvente als Fadenlinie darstellen: Ein flacher Körper, dessen eine Seitenfläche die Form der Ausgangskurve hat, wird auf ein Blatt Papier gelegt. Über die Ausgangskurve ist ein dünner Faden straff gespannt. Am äußeren Ende des Fadens wird ein Stift befestigt, dessen Spitze auf dem Papier aufliegt. Dann wird der Faden langsam von der Kurve abgehoben, wobei er stets straff gehalten wird. Die Kurve, die auf dem Papier entsteht, ist eine Evolvente. Inwieweit sind Evolute und Involute nun zu einander inverse Konstruktionen? Satz Sei c : I IR 2 eine reguläre parametrisierte Kurve mit orientierter Krümmung κ und Bogenlängenparameter s(t. Weiter sei t 0 I und κ(t > 0 für t > t 0. a Die Involute č zum Anfangsparameter t 0 ist eine reguläre Kurve mit orientierter Krümmung (26 ˇκ(t = 1 s(t. (27 (28 Insbesondere folgt ˇκ > 0. b Die Evolute von č ist identisch mit der Ausgangskurve c auf t > t 0. c Jede Involute von ĉ ist eine Parallelkurve zu c, d.h. sie verläuft in konstantem Abstand zu c. Eine geeignete Involute von ĉ ist identisch mit c. Beweis. a Wir können ohne Bedingung der Allgemeinheit annehmen das t schon selbst der Bogenlängenparameter ist, also s(t = t t 0. Wir berechnen die erste Ableitung von č(t. Mit Produktregel d dtč(t = ċ(t ċ(t (t t 0 c(t = (t t 0 κ(tn(t wobei wir im letzten Schritt die erste Frenetgleichung (10 für längentreu parametrisierte Kurven benutzt haben. Folglich ist č regulär auf t > t 0 falls dort κ > 0 gilt. Weiter, die zweite Ableitung von č ist d 2 dt 2 č(t = κ(t n(t (t t 0 κ(t t κ(tṅ(t = κ(t n(t (t t 0 κ(t + (t t 0 κ 2 (tv(t wobei wir die zweite Frenetgleichung (13 für längentreu parametrisierte Kurven benutzt haben. Daher gilt ˇκ(t = wegen t > t 0 und κ(t > 0. Es folgt (26. d dtč(t, d2 dt 2 č(t d dtč(t 3 = (t t 0 2 κ(t 3 (t t 0 κ(t 3 = 1 t t 0

14 14 1. KURVENTHEORIE b Die Evolute von č für t > t 0 ist gegeben durch č(t + 1 = č(t + tˇv(t, ˆκ(tň(t d.h. die Evolute von č ist identisch mit der Ausgangskurve c auf ]t 0, [. c Die Tangente g t : s c(t + s v(t an die Ausgangskurve c zu einem fest gewählten Zeitpunkt t > t 0 schneidet die Involute in č(t nach Konstruktion für s = (t t 0. In der oben beschriebenen Situation ist der euklidische Abstand [č] t2 (t [č] t1 (t daher einerseits gleich der Differenz der Schnittparameter (t t 1 (t t 2 = t 2 t 1. Andererseits, d mit (27 folgt dtč(t v(t, da das begleitende Zweibein (v(t, n(t eine Orthonormalbasis ist. Folglich schneidet g t jede Involute zu einem früheren Startparameter senkrecht. Daher sind [č] t1 und [č] t2 parallele Kurven im Abstand t 2 t 1. Wir hatten in Beispiel 2.14 schon gesehen das die Evolute einer Ellipse eine Asteroide ist. Daher ist die Involute einer Asteroide eine Parallelkurve einer Ellipse. Hier eine kleine Demonstration: Youtube-Video zu Involute einer Asteroide. Beispiel Die Involute einer Kreisparametrisierung c(t := r(cos(t, sin(t vom Radius r zum Anfangswert t 0 = 0 : č(t := c(t tv(t = r (cos(t, sin(t t r ( sin(t, cos(t = r (cos(t + t sin(t, sin(t t cos(t Um die Geometrie dieser Kurve besser zu verstehen, führen wir ebene Polarkoordinaten ein. Dann gilt also č(t = (r(t cos(θ(t, r(t sin(θ(t mit glatten Funktionen r : IR >0 IR >0 und θ : IR >0 IR, so dass θ(0 = 0. Man zeigt nun leicht, dass (29 (30 r(t = r 1 + t 2, θ(t = t arctan(t. Dies beschreibt eine spiralförmige Bewegung um den Nullpunkt. Für große t haben wir in etwa r(t r t und θ(t t. Daher c(t r (t cos(t, sin(t, eine archimedische Spirale zum Parameter r. Noch eine kleine Demonstration: Youtube-Video zur Involute eines Kreises. Nach Satz 2.20 ist die Evolute von c identisch mit der Ausgangskurve. Um dies in diesem Fall explizit zu sehen, berechnen wir zunächst die orientierte Krümmung ˇκ von č : d = ( sin(t + t cos(t sin(t, cos(t + t sin(t cos(t = t(cos(t, sin(t dtč(t d 2 č(t = (cos(t, sin(t + t( sin(t, cos(t dt2 d d2 ˇκ(t = dtč(t, č(t dt 2 d = t2 dtč(t 3 t 3 = 1 t Das Normalenvektorfeld ist ň(t = ( sin(t, cos(t. Die Evolute von č ist daher č(t + κ I (tň(t = (cos(t + t sin(t, sin(t t cos(t + t( sin(t, cos(t = (cos(t, sin(t.

15 2. EBENE KURVEN Der Hauptsatz der ebenen Kurventheorie. Sei c : I IR 2 eine Kurve mit begleitenden Zweibeinen (v, n und orientierter Krümmung κ. Im Folgenden nehmen wir immer an dass t der Bogenläangenparameter ist. Weiter bezeichne etwa ( v(t T v1 (t := v 2 (t den hochgestellten (transponierten Vektor. Sei B(t := (v(t, n(t das begleitende Zweibein aufgefasst als 2 2-Matrix. Kombinieren wir die beiden Frenetgleichungen für längentreu parametrisierte Kurven (10, (13, so erhalten wir ( 0 κ(t (31 Ḃ(t = B(t : κ(t 0 Bei gegebener Krümmungsfunktion κ verstehen wir dies als ein gewöhnliche Differentialgleichungssystem an die Lösungsfunktion B(t. Satz a Seien c 1 : I IR 2 und c 2 : I IR 2 nach Bogenlänge parametrisierte Kurven mit begleitenden Zweibeinen (v i, n i und orientierten Krümmungen κ i für i = 1, 2. Es gelte κ 1 κ 2. (32 (33 Ferner existiere ein t 0 I mit c 1 (t 0 = c 2 (t 0, v 1 (t o = v 2 (t 0 (und daher automatisch n 1 (t o = n 2 (t 0. Dann folgt c 1 c 2. b Sei κ : I IR eine unendlich oft differenzierbare Funktion. Ferner sei (v 0, n 0 eine positiv orientierte ON-Basis des IR 2, p 0 IR 2 und t 0 I. Dann existiert eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve c : I IR 2 mit begleitendem Zweibein (v, n deren orientierte Krümmung identisch ist mit κ und welche c(t 0 = p 0 sowie v(t 0 = v 0 und n(t 0 = n 0 erfüllt. Nach Teil a ist c dann eindeutig bestimmt. Konstruktion: sei θ 0 eine reelle Zahl mit (cos(θ 0, sin(θ 0 = v 0. Man setze Dann ist θ(t := t t 0 κ(sds + θ 0, (34 c(t := t v(t := ( cos(θ(t, sin(θ(t. t 0 v(sds + p 0. eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve mit Richtungsfeld (33. Beweis. Eine Lösung des DG-systems (31 ist nach dem Eindeutigkeitssatz von Picard Lindelöff für lineare Differentialgleichungssysteme schon eindeutig durch ihren Wert A(t 0 = (v(t 0, n(t 0 festgelegt. Daher folgt in der Situation von Teil a des obigen Satzes aus (v 1 (t 0, n 1 (t 0 = (v 2 (t 0, n 2 (t 0 hier schon (v 1, n 1 (v 2, n 2. Die Ausgangskurve c erhalten wir dann durch Integration des Geschwindigkeitsfeldes c(t = c(t 0 + t t 0 ċ(sds = c(t 0 + t t 0 v(sds Daher impliziert c 1 (t 0 = c 2 (t 0 hier schon c 1 c 2. Dies beweist Teil a. Zu Teil b, Gleichung (33 definiert eine Kurve von Einheitsvektoren mit v(t 0 = v 0. Weiter erfüllt die Kurve (34 die Bedingungen ċ(t = v(t (Hauptsatz der Differential und Integralrechnung und es gilt offenbar c(t 0 = p 0. Insbesondere ist t also ein Bogenlängenparameter. Es bleibt zu zeigen dass κ in der Tat die orientierte Krümmung von c ist:

16 16 1. KURVENTHEORIE nach (3 gilt (35 n(t = ( sin(θ(t, cos(θ(t. Weiter haben wir nach Kettenregel c(t = v(t = θ(t( sin(θ(t, cos(θ(t = κ(t n(t, d.h. κ erfüllt in der Tat die definierende Gleichung der orientierten Krümmung. Teil a des letzten Satzes lässt sich auch so interpretieren dass eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve durch ihre orientierte Krümmung bis auf orientierungserhaltende Euklidische Transformationen (also echte Drehungen kombiniert mit Verschiebungen festgelegt ist. Nach Teil b hat die orientierte Krümmung einer (offenen Kurve keine unerwarteten Eigenschaften (bei einfach gechlossenen Kurven liegt die Sache etwas anders, siehe Satz Folgerung Eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve c : IR IR 2 ist genau dann eine Gerade c(t = p 0 + t v, wenn κ 0. genau dann ein Kreis c(t = p 0 + r ( cos(ω t + ω 0, sin(ω t + ω 0 mit r > 0, wenn die orientierte Krümmung κ ± 1 r erfüllt. Vgl. auch Folgerung Winkelfunktion, Umlaufzahl und der Satz von Hopf. Sei c : I IR 2 eine Kurve welche den den Ursprung nicht schneidet (etwa das Richtungsfeld einer weiteren regulären Kurve c. Setze r(t := c(t. Dann existiert zu festem t eine reelle Zahl θ = θ(t mit c(t = c(t (cos(θ, sin(θ, etwa der Winkel, den c(t mit der x-achse einschließt (gemessen im Bogenmaß. Dieser Winkel ist allerdings nur bis auf Addition eines ganzzahligen Vielfachen von 2π festgelegt. Gewöhnlich löst man dieses Mehrdeutigkeitsproblem für festes t etwa durch die Zusatzbedingung θ! [0, 2π[ auf. Betrachten wir allerdings eine Kreislinienparametrisierung c(t = R(cos(t, sin(t mit t IR, so würde hier diese Vorschrift zu einem Sprung der Winkelfunktion θ(t etwa in t = 2 π führen. Es scheint in diesem Beispiel daher natürlich zu sein, θ(t := t zu wählen, da dies eine stetige Funktion mit (36 c(t = R(cos(θ(t, sin(θ(t. Aber zum Beispiel auch θ(t := t + 2 π wäre ein ebenso gut geeigneter Kandidat. Wir sehen dass sich dann c(t etwa bei jeder Umrundung des Ursprungs im postiven Sinne um 2 π erhöht. Sei nun c : I IR 2 eine beliebige regulär parametrisierte Kurve mit begleitendem Zweibein (v, n. Dann können wir die vorhige Definition auf v anwenden. Also: Definition Eine unendlich oft differenzierbare Funktion θ : I IR mit (37 v(t = (cos(θ(t, sin(θ(t heißt eine Winkelfunktion des Richtungsfeldes der Kurve c. Beispiel Für die Kreislinie c(t = (r cos(t, r sin(t gilt v(t = ( sin(t, cos(t = (cos(t+ π 2, sin(t + π 2. Daher ist θ(t := t + π 2 eine Winkelfunktion des Richtungsfeldes.

17 2. EBENE KURVEN 17 Im folgenden beschränken wir unsere Überlegungen auf das Richtungsfeld einer regulär parametrisierten Kurve. Satz Sei c : I IR 2 eine regulär parametrisierte Kurve mit begleitendem Zweibein (v, n und orientierter Krümmung κ. Sei θ 0 eine reelle Zahl mit v 0 = (cos(θ 0, sin(θ 0. Die Funktion (38 θ(t := t t 0 κ(u ċ(u du + θ 0 ist eine Winkelfunktion des Richtungsfeldes von c. Eine solche Winkelfunktion ist eindeutig bis auf Addition ganzzahliger Vielfacher von 2 π. Beweis. Ist c nach Bogenlänge parametrisiert, so folgt aus den Teilen a und b von Satz 2.22 dass (32 eine Winkelfunktion des Richtungsfeldes ist. Im allgemeinen Fall sei s = s(t ein Bogenlängenparameter mit ds dt > 0 und c(s := c(t(s die umparametrisierte Kurve. Ist weiter s = s(t eine Parametertransformation und c(s := c(t(s die umparametrisierte Kurve, so ist θ(t genau dann eine Winkelfunktion für das Richtungsfeld von c wenn (39 θ(s := θ(t(s eine Winkelfunktion für das Richtungsfeld von c ist. Wegen t(s t 0 κ(u ċ(u du = s s 0 κ(udu und der Beziehung (39 zwischen Winkelfunktionen der Richtunggsfelder der Ausgangskurve und der umparametrisierten Kurve, können wir im Folgenden obda annehmen dass c schon selbst nach Bogenlänge parametrisiert ist. Es bleibt daher nur noch die Eindeutigkeit der Winkelfunktion zu zeigen. Wir zeigen nun dass beide Seiten von (37 die selbe Ableitung besitzen: für die rechte Seite von (37 erhalten wir nach den Regeln für die Ableitungen von Sinus und Cosinus und unter Beachtung der Kettenregel d ( cos(θ(t sin(θ(t ( ( cos(θ(t sin(θ(t 0 θ(t (40 dt sin(θ(t cos(θ(t =. sin(θ(t cos(θ(t θ(t 0 Für die linke Seite erhalten wir nach den Frenet-Gleichungen (10, (13 (41 ( v(t, ṅ(t = (v(t t, n(t t ( 0 κ(t κ(t 0. Wegen (37 (und weil eine orthogonale Matrix invertierbar ist folgt die Behauptung. Vergleich von (40 und (41 zeigt (42 ( 0 κ(t κ(t 0 ( 0 θ(t = θ(t 0. Eine Winkelfunktion ist also notwendig eine Stammfunktion von κ. Daher existiert θ mit θ(t = t t 0 κ(tdt + θ. Einsetzen der Bedingung θ(t 0 = (v 0, n 0 zeigt dann dass θ = θ π k mit k Z.

18 18 1. KURVENTHEORIE Definition Sei c : [a, b] IR 2 regulär parametrisiert und θ eine Winkelfunktion des Richtungsfeldes. Die reelle Zahl (43 U := θ(b θ(a 2π heißt die Umlaufzahl von c. Sie hängt nach der Eindeutigkeitsaussage von Satz 2.26 nicht von der Wahl der Winkelfunktion ab. Anschaulich beschreibt die Umlaufzahl, wie stark sich die Spur von c als ganzes in der Ebene windet. Dabei beschreibt eine Kurve mit Umlaufzahl U 0 eine Gesamtwindung nach links, entsprechend eine solche mit Umlaufzahl U 0 eine nach rechts. Beispiel a Für die Parametrisierung der Kreislinie c(t = (r cos(t, r sin(t ist bekanntlich θ(t := t + π 2 eine Winkelfunktion. Schränken wir den Parameterbereich auf [0, π] ein, so ist die Umlaufzahl 1 2. Lassen wir hingegen t [0, 2 π] zu, so ist sie gleich 1. Allgemein, die Umlaufzahl von c eingeschränkt auf ein Intervall der Länge 2 π k ist gleich k. b Betrachten wir die umgekehrte Durchlaufrichtung der Kreislinie c(t = (r cos(t, r sin(t ist θ(t := t + π 2 eine Winkelfunktion. Daher ist die Umlaufzahl von c eingeschränkt auf ein Intervall der Länge 2 π a gleich a. Zwischen orientierter Krümmung und Umlaufzahl besteht für reguläre Kurven auf Grund von (38 und der Eindeutigkeitsaussage von Satz 2.26 folgender Zusammenhang: Folgerung Sei c : [a, b] IR 2 regulär parametrisiert und κ die orientierte Krümmung. Es gilt (44 U = 1 2 π b a κ(t ċ(t dt. Definition Sei c : [a, b] IR 2 eine parametrisierte Kurve und L := b a. a Diese heißt geschlossen, falls es eine L-periodische Fortsetzung gibt. D.h. wir können eine weitere Kurve c : IR IR 2 finden so dass c(t + L = c(t für alle t und mit c c auf [a, b]. b Die Kurve c heißt einfach geschlossen, falls sie geschlossen und ihre Einschränkung auf das halboffene Intervall [a, b[ injektiv ist. Mit anderen Worten, eine geschlossene Kurve c ensteht durch Einschränkung einer L-periodischen Kurve c : IR IR 2 auf ein Intervall der Länge L, also durch Einschränkung auf ein Intervall der Form [t 0, t 0 + L[ mit t 0 IR beliebig. Die so erhaltene Kurve c : [t 0, t 0 + L[ ist einfach geschlossen genau dann wenn die Einschränkung von c auf [t 0, t 0 + L[ injektiv ist. Beispiel Sei c(t = (cos(t, sin(t die übliche Parametrisierung der Einheitskreislinie. Diese ist 2 π-periodisch und injektiv etwa auf [0, 2 π[. Daher ist c : [0, 2 π] IR 2, t (cos(t, sin(t einfach geschlossen.

19 2. EBENE KURVEN 19 Ist c : [a, b] IR 2 eine geschlossene Kurve und c : IR IR 2 ihre b a =: L-periodische Fortsetzung, so gilt für alle t [a, b] und k Z (45 c(t + k L = c(t, (46 d dt c(t + k L = d dt c(t, (47 v(t + k L = v(t, (48 (49 Insbesondere haben wir n(t + k L = n(t, κ(t + k L = κ(t. (50 v(a = v(b. Beispiel a Die Parametrisierung der Kreislinie c(t = (r cos(t, r sin(t mit t [0, 2 π] ist einfach geschlossen. Das Selbe gilt falls wir den Parameterbereich auf irgendein Intervall der Länge 2 π einschränken. b Die Parametrisierung der Kreislinie c(t = (r cos(t, r sin(t mit t [0, 4 π] ist geschlossen aber nicht einfach geschlossen. c Die Doppelpunktkurve c : IR IR 2, c(t = (t 3 4 t, t 2 4 ist regulär und erfüllt c(2 = c( 2 = (0, 0, vgl. Beispiel 1.2. Weiter ist ihre Einschränkung auf das Intervall ] 2, 2[ injektiv. Da ċ(2 ċ( 2 kann es aber keine 4-periodische Fortsetzung von c geben. Daher ist c eingeschränkt auf [ 2, 2] nicht geschlossen, die Spur dieser eingeschränkten Kurve bildet im Ursprung eine Spitze. Aus Definition 2.24 und (50 folgt unmittelbar: Folgerung Sei c : [a, b] IR 2 eine regulär parametrisierte und geschlossene Kurve. Dann ist U eine ganze Zahl. Daher ist für eine geschlossene Kurve c : [a, b] IR die Totalkrümmung b a κ(t ċ(t dt auf Grund von (44 also immer ein ganzzahliges Vielfaches von 2 π. Zum Schluss dieses Abschnittes noch zwei nicht-triviale Sätze über einfach geschlossene Kurven: Satz (Umlaufsatz von Hopf Sei c : [a, b] IR 2 regulär parametrisiert und einfach geschlossen. Dann gilt U = ±1. Mit anderen Worten, eine geschlossene reguläre Kurve mit U = 0 oder U 2 mus notwendig einen Selbstschnitt besitzen. Sei c : [a, b] IR 2 eine geschlossene parametrisierte Kurve und L := b a. Dann existiert per Definition eine L-periodische Fortsetzung c : IR IR 2 deren orientierte Krümmung wir mit κ bezeichnen. Die Funktion κ ist ebenfalls L-periodisch und ausserdem unendlich oft differenzierbar, also i.b. stetig. Daher nimmt sie sowohl das globale Maximum als auch das globale Minimum in [a, b[ an, etwa für t max und t min. Es gilt notwendig κ(t max = κ(t min = 0, wie aus der Analysis bekannt sein sollte. Aber folgende Aussage ist nicht so offensichtlich:

20 20 1. KURVENTHEORIE Satz 2.35 (Vierscheitelsatz. Sei c : [a, b] IR 2 regulär parametrisiert und einfach geschlossen. Dann hat κ mindestens vier verschiedene Nullstellen in [a, b[. Ist c nicht die Parametrisierung einer Kreislinie, so exstieren sogar zwei strenge lokale Minimalstellen und zwei strenge lokale Maximalstellen von κ welche in [a, b[ liegen. Hat also die Krümmung der geschlossenen Kurve c : [a, b] IR 2 nur ein lokales Extremum und ein lokales Minimum auf [a, b[, so hat c notwendig einen Selbstschnitt. Beispiel Die Ellipse c(t := (a cos(t, b sin(t mit a > b > 0 und t [0, 2 π]. Hier gilt κ(t = ab ( b 2 cos 2 (t + a 2 sin 2 (t 3/2. Daher κ(t = (2 cos(t sin(t(b 2 a 2 3 ab 2 ( b 2 cos 2 (t + a 2 sin 2 (t 5/2. Die kritischen Punkte von κ(t liegen bei t {0, π 2, π 3 π 2, 2π}. Daher existieren genau vier Nullstellen von κ auf [0, 2π[. Wir untersuchen zunächst den Parameterwert t = 0 : im Bereich t ] π 2, 0[ gilt κ > 0. Auf ]0, π 2 [ gilt dagegen κ < 0. Also liegt in t = 0 ein strenges lokales Maximum von κ. Analog wird gezeigt dass κ in t = π ebenfalls ein strenges lokales Maximum hat. In t = π 2 und t = 3 π 2 liegen dagegen jeweils strenge lokale Minima von κ. Dies bestätigt die Anschauung, wonach die Ellipsenlinie zu a > b > 0 oben und unten besonders platt ist, wohingegen sie an der linken und rechten Seite besonders stark gekrümmt ist. Wir betrachten reguläre Kurven c : I IR Raumkurven Zunächst definieren wir das Normalenvektorfeld und die Krümmung: Definition 3.1. Sei c : I IR 3 eine regulär parametrisierte Kurve. a Das Richtungsfeld ist wie in der ebenen Kurventheorie definiert, (51 v(t := ċ(t ċ(t. b Die Funktion (52 κ(t := v(t ċ(t heißt die (absolute Krümmung. Per Definition ist diese nicht-negativ. c Falls κ(t 0, so sei (53 n(t := v(t v(t das Normalenfeld.

21 3. RAUMKURVEN 21 Wie in der ebenen Kurventheorie zeigt man nun, dass n(t ein Einheitsvektor ist, welcher senkrecht auf v(t steht. Ist c nach Bogenlänge parametrisiert, so ist also ċ(t = 1. Dann gilt (54 κ(t = c(t und (im Falle v(t 0 (55 κ(t n(t = v(t. Im folgenden sei u v das übliche Vektorprodukt (Kreuzprodukt zweier Vektoren u, v des IR 3. Wir fahren mit Definition 3.1 fort. Definition 3.2. Sei c : I IR 3 eine regulär parametrisierte Kurve mit κ(t 0. a Der Binormalenvektor ist (56 b(t := v(t n(t. b Die Windung ist die Funktion (57 τ(t := Ist c nach Bogenlänge parametrisiert, so ṅ(t, b(t ċ(t (58 τ(t = ṅ(t, b(t.. Definition 3.3. Sei c : I IR 3 eine regulär parametrisierte Kurve mit κ(t 0 für alle t. Per definition ist das Triple (v(t, n(t, b(t stets eine positiv orientierte Orthonormalbasis des IR 3. Dieses heißt das begleitende Dreibein der parametrisierten Kurve c. Bemerkung 3.4. Das begleitende Dreibein (v(t, n(t, b(t entsteht durch den Gram- Schmidtschen Orthonormalisierungsprozess aus dem Triple von Vektoren (ċ(t, c(t, ±... c (t. Die Krümmung κ(t und der Betrag der Windung τ(t sind die beiden Normierungskoeffizienten, die bei diesem Prozess entstehen. Beispiel 3.5. Sei c(t := (r cos t, r sin t, a t mit ω 0 und r > 0. Falls a 0 so heißt c eine Schraubenlinie (oder auch Helix in IR 3. Wir wollen zeigen, dass diese konstane Krümmung und Torsion hat. Es gilt ċ(t = ( ω r sin(ωt, ω r cos(ωt, a c(t = ( ω 2 r cos(ωt, ω 2 r sin(ωt, 0 Es gilt ċ(t r 2 ω 2 + a 2. Der Bogenlängenparameter ist daher s = t r 2 ω 2 +a 2 und c(s ist ebenfalls eine Helix. Wir können daher annehmen dass r 2 ω 2 + a 2 = 1. Dann gilt v(t = ċ(t, n(t = 1 c(t c(t und b(t = v(t n(t. Also Für die Krümmung folgt v(t = ( ω r sin(ωt, ω r cos(ωt, b, n(t = ( cos(ωt, sin(ωt, 0 b(t = (b sin(ω t, b cos(ω t, rω. (59 κ(t = c(t ω 2 r.

22 22 1. KURVENTHEORIE Die Torsion berechnet sich nach τ(t = ṅ(t, b(t. Daher benötigen wir zunächst die Ableitung des Normalenvektors. Es gilt Also ṅ(t = (ω sin(ωt, ω cos(ωt, 0 (60 τ(t = ω b. Insbesondere sind Krümmung und Torsion einer Schraubenlinie konstant. Weiter sehen wir, dass eine Schraubenlinie zu einer Kreislinie entartet genau dann wenn b = 0. Dann und nur dann verläuft die Spur der Kurve in einer Ebene, vgl. Folgerung 3.8. Man nennt h := 2πa ω bzw. m := a ωr die Ganghöhe bzw. die Steigung. Dann lassen sich Torsion und Krümmung wie folgt durch h und m ausdrücken, ω 2 r ω 2 r 2 + a 2 = 1 r(1 + a2 (61 κ = ω 2 r = = 1 r ω 2 r 2 τ = aω = h 2π ω2 = h κ 2π r = h 1 1 (62 2π r m 2 = 1 r Ganghöhe und Steigung sind wie folgt zu verstehen: m 2, m 1 + m 2 die Projektion der Kurve c auf die x y-ebene ist eine ebene Kreislinie mit Periode T = 2π ω. Die Ganghöhe ist der Höhengewinn (gleich Zuwachs der z-koordinate bei einer Drehung in der x y-ebene, also bei der Erhöhung des Parameters t um T. Um die Steigung m zu verstehen, sei α der orientierte Winkel zwischen der Schmiegebene {v(t, n(t} und der z-achse. Dann tan α = rω b = m Möchte man m in der Tat als Steigung einer Geraden interpretieren, so rolle man ein Stück Papier zu einem Zylinder vom Radius r zusammen, so dass die kurze Seite des Papiers z.b. den Bodenrand des Zylinders bildet. Dann wird aus einer Geraden mit Steigung m auf dem Papier relativ der kurzen Seite eine ensprechende Schraubenlinie im dreidimensionalen Raum. Krümmung und Windung einer regulären Raumkurve kann man (analog zu (14 auch direkt aus dem Tripel (ċ, c,... c berechnen. Bezeichne u, v, w die 3 3-Determinante der Matrix in deren Spalten die Vektoren u, v bzw. w stehen. Dann gilt (63 (64 ċ(t c(t κ(t = ċ(t 3,... ċ(t, c(t, c (t τ(t = ċ(t 6. In Analogie zu den Frenetgleichungen (6, (12 wird die Dynamik des begleitenden Dreibeines wie folgt beschrieben: Satz 3.6. Sei c : I IR 3 eine regulär parametrisierte Kurve mit κ(t 0 für alle t. Es gilt (65 (66 (67 1 dv = κ(t n(t, ċ(t dt 1 dn = κ(t v(t + τ(t b(t, ċ(t dt 1 db = τ(t n(t. ċ(t dt

23 3. RAUMKURVEN 23 Dazu äquivalent ist die Gleichung von 3 3-Matrizen 1 (68 ċ ( v, ṅ, ḃ = (v, n, b ( 0 κ 0 κ 0 τ. 0 τ 0 Ist in der Situation von Satz 3.6 die Kurve c nach Bogenlänge parametrisiert, so fällt der Faktor natürlich weg. 1 ċ(t 3.1. Der Hauptsatz der Raumkurventheorie. Als Analogon zu dem Hauptsatz der ebenen Kurventheorie haben wir in drei Dimensionen Satz 3.7. a Seien c 1 : I IR 3 und c 2 : I IR 3 nach Bogenlänge parametrisierte Kurven mit begleitenden Dreibeinen (v 1, n 1, b 1 bzw. (v 2, n 2, b 2. Die Krümmung und Windung von c i werde mit κ i bzw. τ i bezeichnet für i = 1, 2. Es gelte κ 1 κ 2 > 0 und τ 1 τ 2. Weiter existiere t 0 I mit c 1 (t 0 = c 2 (t 0, v 1 (t o = v 2 (t 0, n 1 (t o = n 2 (t 0 und b 1 (t 0 = b 2 (t 0. Dann folgt c c. b Seien κ : I IR >0 und τ : I IR unendlich oft differenzierbare Funktion. Ferner sei (v 0, n 0, b 0 eine positiv orientierte ON-Basis des IR 3, p 0 IR 3 und t 0 I. Dann existiert eine reguläre Kurve c : I IR 3 mit Krümmung κ κ und mit begleitendem Dreibein (v, n, b, so dass c(t 0 = c 0, v(t 0 = v 0 b(t 0 = b 0 und n(t 0 = n 0. Nach Teil a ist c dann eindeutig bestimmt. Für einen Beweis vergleiche [?, Seite 32]. Folgerung a Eine parametrisierte Kurve c : I IR 3 ist genau dann in einer Ebene enthalten wenn τ 0. b Sie ist genau dann Teil einer Schraubenlinie wenn κ und τ beide von Null verschiedene konstante Funktionen sind Die Sätze von Fenchel und Fary-Milnor. Für reguläre Raumkurven ist die Krümmung per Definition stets positiv. Es gilt sogar Satz 3.9 (Fenchel. Sei c : [a, b] IR 3 geschlossen und regulär. Dann gilt (69 b a κ(t ċ(t dt 2 π. Ist c verknotet, so gilt kann man die rechte Seite von (69 durch 4 π ersetzen (Satz von Fary- Milnor.

24

25 KAPITEL 2 Flächentheorie Für eine regulär parametrisierte Kurve können wir immer einen Bogenlängenparameter bestimmen. Dann ist die Kurve längentreu parametrisiert. Da wir zwei Kurven also nicht anhand ihrer metrischen Tensoren auseinanderhalten können, gibt es nicht viel über die innere Geometrie einer Kurve sozusagen., Die Parameter einer Fläche können dagegen nur dann längentreu gewählt werden, wenn die Gaußsche Krümmung identisch verschwindet. Daher unterscheidet sich die Flächentheorie grundlegend von der Kurventheorie. 1. Parametrisierte Flächen in IR 3 Definition 1.1. Sei U eine Teilmenge des IR 2. a Wir nennen U offen falls zu jedem Punkt aus U eine geeignete ɛ-umgebung diese Punktes existiert, welche noch ganz in U enthalten ist. b Sei nun U IR 2 offen. Eine parametrisierte Fläche ist eine unendlich oft differenzierbare Abbildung F = (F 1, F 2, F 3 : U IR 3. c Wir bezeichnen mit F i j die partielle Ableitung von F j in Richtung der i-ten Koordinate (i = 1, 2, j = 1, 2, 3. Die Jacobimatrix J (s,t F in einem Punkt (s, t U ist dann die Matrix der partiellen Ableitungen, also die 3 2-Matrix ( F i j (s, t i=1,2,3 j=1,2, also F 1 (s,t F 1 (s,t 1 2 F 2 (s,t F 2 (s,t 1 2 F 3 (s,t F 3 (s,t 1 2. d Die parametrisierte Fläche F heißt regulär falls die Jacobimatrix stets vollen Rang hat. Anstatt von der Spur einer parametrisierten Fläche F : U IR 3 sprechen wir von ihrem Bild, also der Menge F (U. Dies stellen wir uns als zweidimensionale Teilmenge des IR 3 vor, möglicherweise mit Sebstschnitten, Spitzen oder anderen Singularitäten. Beispiel 1.2. Sei S 2 r := {(x, y, z IR 3 x 2 + y 2 + z 2 = r 2 }. Diese Fläche ist die euklidische Sphäre vom Radius r. Die Abbildung F : U 1 (0 IR 3, F (s, t := (s, t, r 2 s 2 + t 2. liefert uns eine reguläre Parametrisierung der oberen Hemisphäre H 2 +(r := {(x, y, z S 2 r z > 0}. In der Tat, die Jacobimatrix ist J (ϕ,t F = ( s 2 t. r 2 s 2 +t 2 r 2 s 2 +t 2 Diese Matrix hat Rang zwei, also ist F regulär. Die Umkehrabbildung von F heißt Parallelprojektion (orthographische Projektion. 25

26 26 2. FLÄCHENTHEORIE Eine ganze Beispielklasse von parametrisierten Flächen bilden die Rotationsflächen: sei c : I IR 2 eine reguläre Kurve. Wir bezeichnen die Komponenten dieser Kurve mit c(t =: (r(t, z(t und setzen voraus dass r(t > 0 für alle t I. Sodann lasen wir die Kurve um die z-achse rotieren, d.h. wir betrachten die Abbildung F : IR I IR 3, (ϕ, t (r(t cos(ϕ, r(t sin(ϕ, z(t. Diese parametrisiert eine Rotationsfläche und c heißt ihre Profilkurve. Also entsteht die Fläche durch Drehung der Profilkurve um die z-achse. Die Jacobimatrix von F lautet in dieser allgemeinen Form ( r(t sin(ϕ ṙ(t cos(ϕ (70 J (ϕ,t F = r(t cos(ϕ ṙ(t sin(ϕ. 0 ż(t Beispiel 1.3. Wir konstruieren Profilkurven und die zugehörigen parametrisierten Rotationsflächen a Sei I := IR, (r(θ, z(θ := (r cos(θ, r sin(θ mit einem Radius r > 0. Dann parametrisiert c eine Kreislinie mit Mittelpunkt (0, 0 und Radius r. Lassen wir diese um die z-achse rotieren, erhalten wir die Flächenparametrisierung F (ϕ, θ = ( (r cos(θ cos(ϕ, (r cos(θ sin(ϕ, r sin(θ, eine euklidische Sphäre vom Radius r parametrisiert in sphärischen Koordinaten. Das Bild von F besteht genau aus den Punkten, welche konstanten Abstand r zum Ursprung haben. Wir nennen θ den polaren Winkel und ϕ den azimuthalen Winkel. Die Jacobimatrix ist entsprechend zu (70 (71 J (ϕ,θ F = ( (r cos(θ sin(ϕ r sin(θ cos(ϕ (r cos(θ cos(ϕ r sin(θ sin(ϕ 0 r cos(θ b Sei I := IR, (r(θ, z(θ := (R + r cos(θ, r sin(θ mit Radien R > r > 0. Dann parametrisiert c eine Kreislinie mit Mittelpunkt (R, 0 und Radius r. Lassen wir diese um die z-achse rotieren, erhalten wir die Flächenparametrisierung F (ϕ, θ = ( (R + r cos(θ cos(ϕ, (R + r cos(θ sin(ϕ, r sin(θ, die Parametrisierung eines Rotationstorus. Das Bild von F beschreibt genau die Punkte, welche konstanten Abstand r von einer Kreislinie des Radius R um den Ursprung haben, vgl. den Wikipediaeintrag zum Rotationstorus. Die Jacobimatrix ist entsprechend zu (70 ( (R+r cos(θ sin(ϕ r sin(θ cos(ϕ (72 J (ϕ,θ F = (R+r cos(θ cos(ϕ r sin(θ sin(ϕ. 0 r cos(θ Wir zeigen nun dass F regulär ist in allen Parameterpaaren (s, t, also dass der Rang obiger Matrix stets zwei ist: für θ / π 2 + Z ist cos(θ 0. Da die erste Spalte niemals identisch zu Null wird, ist der Spaltenrang offensichtlich zwei. Für θ π 2 + Z ist jedenfalls sin(θ 0. In diesem Fall berechnen wir die Determinante der 2 2-Matrix welche die ersten beiden Zeilen bilden: (R+r cos(θ sin(ϕ r sin(θ cos(ϕ (R+r cos(θ cos(ϕ r sin(θ sin(ϕ = (R + r cos(θr sin(θ sin 2 (ϕ + (R + r cos(θ r sin(θ cos 2 (ϕ = (R + r cos(θ r sin(θ 0.

27 1. PARAMETRISIERTE FLÄCHEN IN IR 3 27 Folglich sind die ersten beiden Zeilen von J (ϕ,θ F linear unabhängig falls θ π 2 + Z. Also ist der Rang von J (ϕ,θ F in diesem Fall ebenfalls zwei. Daher ist F in allen Punkten regulär c Setze I = IR, (r(t, z(t := (cosh(t, tan(α sinh(t mit einer Konstanten α ]0, π 2 [. Dann parametrisiert c den rechten Ast einer Hyperbel. Lassen wir die Spur von c um die z-achse rotieren, so entsteht das einschalige Rotationshyperboloid (73 {x 2 + y 2 z2 tan(α = 1}. Wir parametrisieren diese Menge durch F (ϕ, t := ( cosh(t cos(ϕ, cosh(t sin(ϕ, tan(α sinh(t. Siehe auch den Wikipediaeintrag zum einschaligen Hyperboloid. Eine weitere Beispielklasse von parametrisierten Flächen bilden die Regelflächen: sei c = (c 1, c 2, c 3 : I IR 3 eine Leitkurve und V : I IR 3 ein Richtungsfeld mit V (t = 1 für alle t. folglich definiert s c(t + sv (t für festes t eine Gerade. Lassen wir t variieren, so überstreichen diese Geraden eine Fläche welche wie folgt parametrisiert werden kann, F : IR I IR 3, F (s, t := c(t + s V (t. Die Jacobimatrix von F lautet in dieser allgemeinen Form J (s,t F = ( V1 (t ċ 1 (t+s V 1 (t V 2 (t ċ 2 (t+s V 2 (t V 3 (t ċ 3 (t+s V 3 (t Wir nehmen weiter an dass folgende beiden Bedingungen erfüllt sind 1, (74 (75 V (t 2 = 1, ċ(t, V (t = 0. Dann liegt die Regelfläche in Standardparametrisierung vor. Die Kurve c ist dadurch eindeutig bestimmt und heißt Kehlkurve oder auch Striktionslinie. Konkret, wir betrachten folgende Leitkurven und Richtungsfelder: 1 Beispiel 1.4. a Wir setzen I := IR, c : (0, 0, 0 und V (ϕ := (cos(ϕ, sin(ϕ, tan(α. Die zugehörige Regelfläche s F (s, ϕ := (s cos(ϕ, s sin(ϕ, tan(α liegt in Standardparametrisierung vor. Die Gleichung des Bildes von F lautet x 2 + y 2 = tan(α 2 z 2, ein Doppelkegel vom Öffnungswinkel α. Die Jacobimatrix ist (76 J (s,ϕ F = ( cos(ϕ s sin(ϕ sin(ϕ s cos(ϕ 1 tan(α 0 Die Jacobi-Matrix hat Rang zwei, falls s 0. Für s = 0 ist der Rang Eins. Daher ist F nicht regulär in s = 0, der Spitze des Doppelkegels. 1 Diese lassen sich durch Wahl einer geeigneten Leitkurve c und eines geeigneten Kurvenparameters s = s(t genau dann erfüllen, wenn stets V (t 0 gilt. Wenn letztere Bedingung erfüllt ist, dann heißt F nirgends zylindrisch...