Stochastik. Testen von Hypothesen

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1 Stochastik Testen von Hypothesen Aisha absolviert ein Praktikum in einer Seniorentagesstätte. Für die Gestaltung eines Spielenachmittags zur Förderung der Konzentration, Geduld und Feinmotorik wählt Aisha ein besonderes Mensch ärgere Dich nicht -Spiel. Das Spielfeld hat Vertiefungen zum Tasten und sicheren Abstellen der Spielfiguren. Jeder Mitspieler erhält einen eigenen Würfel, um zügig spielen zu können. Die Spielregeln sind den Senioren aus ihrer Jugend bekannt. Herr Wilhelm, Frau Sarvela und Herr Ballmann nehmen an dem Spiel teil. Nach mehreren Runden des Würfelns stehen die Spielfiguren von Herrn Ballmann noch im Haus. Er behauptet, dass bei seinem Würfel weniger häufig die 6 falle als bei den Würfeln der Mitspieler. Um ihn zu beruhigen, schlägt Aisha vor, seinen Würfel 30-mal zu werfen und die Sechsen zu zählen. Da fünf Sechsen unter den 30 Würfen erscheinen, geht Aisha davon aus, dass jede Seite des Würfels im Schnitt gleich häufig fällt und Herrn Ballmanns Würfel somit ein idealer Würfel ist. Herrn Ballmann überzeugt der Test nicht: Das ist nur Zufall, dass gerade jetzt fünf Sechsen fallen. Der Würfel hat nur die Hälfte der normalen Wahrscheinlichkeit für eine Sechs. Trotzdem können fünf Sechsen zufällig fallen. Aisha fragt sich, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Würfel von Herrn Ballmann tatsächlich nicht ideal ist, obwohl ihr Test ja einen idealen Würfel vermuten lässt. Aufgabe 11 auf Seite 16

2 Stochastik Testen von Hypothesen Der Begriff Hypothese in der Stochastik kann durch die Begriffe Annahme, Behauptung oder (neue) Vermutung beschrieben werden. Um eine Entscheidung über unsere Hypothese zu treffen, testen wir die Hypothese an einer Stichprobe. Durch einen solchen Test wird das Risiko einer Fehlentscheidung abschätzbar. Alternativtest 1 Fehler bei der Entscheidung Ein Medikament verursacht laut Beipackzettel eine Nebenwirkung mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 %. Ein Arzt hat die Vermutung, dass diese Nebenwirkung des Medikaments jedoch mit einer Wahrscheinlichkeit von 20 % auftritt. Aufgrund dieser Vermutung beobachtet er 40 Patienten, die das Medikament einnehmen, und zählt die Patienten, bei denen die Nebenwirkung auftritt. Formulieren Sie mögliche Entscheidungen, die der Arzt nach dieser Untersuchungsreihe treffen kann. Benennen Sie die Konsequenzen der Entscheidungen. Entscheidung a) Der Arzt entscheidet sich für die 20 %ige Wahrscheinlichkeit und das Medikament hat tatsächlich diese Nebenwirkungswahrscheinlichkeit. b) Der Arzt entscheidet sich für die 10 %ige Wahrscheinlichkeit des Beipackzettels und das Medikament hat tatsächlich diese Nebenwirkungswahrscheinlichkeit. c) Der Arzt entscheidet sich für die 20 %ige Wahrscheinlichkeit, obwohl das Medikament tatsächlich die Nebenwirkungswahrscheinlichkeit von 10 % des Beipackzettels hat. d) Der Arzt entscheidet sich für die 10 %ige Wahrscheinlichkeit des Beipackzettels, obwohl das Medikament tatsächlich eine Nebenwirkungswahrscheinlichkeit von 20 % besitzt. Konsequenz Der Arzt trifft die richtige Entscheidung. Er kann sein Ergebnis veröffentlichen und das herstellende Pharmaunternehmen muss das Medikament erneut prüfen. Der Arzt trifft die richtige Entscheidung. Das Medikament kann weiterhin verkauft und der Beipackzettel muss nicht geändert werden. Der Arzt begeht bei dieser Entscheidung einen Fehler. Veröffentlicht er sein Ergebnis, so wird er womöglich vom herstellenden Pharmaunternehmen verklagt. Der Arzt begeht auch bei dieser Entscheidung einen Fehler. Er stimmt den Angaben des Beipackzettels zu, tatsächlich leiden aber mehr Patienten unter dieser Nebenwirkung. Im Beispiel 1 liegen zwei alternative Hypothesen über die Wahrscheinlichkeit vor, dass eine Nebenwirkung auftritt. Diese beiden sich gegenseitig ausschließenden Hypothesen nennen wir Nullhypothese H 0 und Gegenhypothese H 1. Wir werden in diesem Abschnitt ein Entscheidungsverfahren den Alternativtest entwickeln, um die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der beiden Fehler angeben zu können. 2

3 Testen von Hypothesen Fehler 1. Art Ein Arzt vermutet bei einem Medikament eine höhere Wahrscheinlichkeit für eine Nebenwirkung als im Beipackzettel angegeben ( Beispiel 1). Er formuliert die beiden alternativen Hypothesen: 2 Nullhypothese H 0 : p = 0,1 Die Wahrscheinlichkeit p, dass eine Nebenwirkung auftritt, liegt, wie im Beipackzettel angegeben, bei 10 %. Gegenhypothese H 1 : p = 0,2 Die Wahrscheinlichkeit p, dass eine Nebenwirkung auftritt, ist mit 20 % höher als im Beipackzettel angegeben. Wenn unter den 40 Patienten der Beobachtungsreihe 7 oder mehr Patienten über die Nebenwirkung klagen, will der Arzt sich für die Hypothese H 1 entscheiden. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Arzt sich für die Hypothese H 1 entscheidet, obwohl tatsächlich die Hypothese H 0 richtig ist. Beispiel 1 c Die Zufallsgröße X zählt die Patienten mit Nebenwirkung. Da es zwei Ergebnisse gibt (Nebenwirkung ja/ nein) und die Patienten unabhängig voneinander über die Nebenwirkung klagen, liegt ein Bernoulli- Experiment vor. Also ist X binomialverteilt. In der Entscheidungsregel legt der Arzt fest, bis zu welcher Anzahl von Patienten er sich für die Nullhypothese p = 0,1 entscheidet. Als kritische Grenze wählt der Arzt 7 Patienten. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für die Entscheidung des Arztes für H 1 unter der Bedingung, dass H 0 richtig ist. Die Entscheidung für H 1 fällt, falls die Zufallsgröße X eine Zahl größer oder gleich 7 annimmt. Für die Berechnung gibt es zwei Möglichkeiten: Wir summieren über die Bernoulli-Formel mit der Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,1 in den Grenzen von 7 bis 40. Alternativ können wir die Gegenwahrscheinlichkeit nutzen, wobei das Ereignis X 6 betrachtet wird. Hypothesentest: H 0 : p = 0,1 gegen H 1 : p = 0,2 Verteilung: X B (40; 0,1) unter H 0 X < 7 Entscheidung für H 0 : p = 0,1 X 7 Entscheidung für H 1 : p = 0,2 P (Entscheidung für H 1 H 0 richtig) = P (X 7 p = 0,1) 40 = ( 40 x ) 0,1 x 0,9 x = 7 40 x 1. Möglichkeit = 1 P (X 6 p = 0,1) 2. Möglichkeit = 1 F (40; 0,1; 6) 0,0995 = 9,95 % Der Fehler, sich für die Gegenhypothese H 1 zu entscheiden, obwohl die Nullhypothese H 0 gilt, wird Fehler 1. Art genannt. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art heißt Irrtumswahrscheinlichkeit des Hypothesentests und wird mit α bezeichnet. Im Beispiel erhalten wir α = 9,95 %. Mit dieser Wahrscheinlichkeit entscheidet sich der Arzt irrtümlich für die Hypothese H 1, obwohl tatsächlich H 0 richtig ist. Beispiel 1 c Liegen bei einem Hypothesentest zwei alternative Hypothesen mit konkreten Annahmen über die Trefferwahrscheinlichkeiten vor (wie in Beispiel 2), so sprechen wir vom Alternativtest. Liegen bei einem Hypothesentest sowohl für die Nullhypothese H 0 als auch für die Gegenhypothese H 1 Annahmen zur Trefferwahrscheinlichkeit vor, so handelt es sich um einen Alternativtest. Der Fehler 1. Art ist die (Fehl-)Entscheidung für die Gegenhypothese H 1, obwohl die Nullhypothese H 0 gilt. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art heißt Irrtumswahrscheinlichkeit α: 3

4 Stochastik 3 Kritische Grenze k Ein Medikament hat laut Beipackzettel in 10 % der Fälle eine Nebenwirkung: H 0 : p = 0,1. Ein Arzt bezweifelt die Korrektheit dieser Angabe. Er vermutet eine höhere Wahrscheinlichkeit für die Nebenwirkung: H 1 : p = 0,2. Die in Beispiel 2 ( Seite 3) berechnete Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art beträgt α = 9,95 %. Diese Fehlerwahrscheinlichkeit ist dem Arzt zu hoch, schließlich muss er im Falle eines Irrtums mit einer Klage des Pharmaunternehmens rechnen. Ermitteln Sie eine kritische Grenze k N, ab der die Entscheidung für H 1 fällt, sodass die Irrtumswahrscheinlichkeit α höchstens 1 % beträgt. Zu Beginn eines Testverfahrens nennen wir die Hypothesen, die Bedeutung der Zufallsgröße X und die Verteilung von X unter der Nullhypothese H 0. In der Entscheidungsregel ist die kritische Grenze k noch nicht bekannt. Wir formulieren eine Ungleichung, sodass sich für den Fehler 1. Art eine Wahrscheinlichkeit von höchstens 1 % ergibt. Bei der Summation über die Bernoulli-Formel suchen wir die untere Grenze k, sodass die Summe den Wert 0,01 nicht überschreitet. Durch Ausprobieren im Rechner finden wir k = 10 als Lösung der Ungleichung. Wir ergänzen die kritische Grenze k = 10 in der Entscheidungsregel. Durch die Änderung der kritischen Grenze von 7 auf 10 Patienten erreichen wir eine Verringerung der Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art. Der Arzt ist bei seiner Entscheidung für seine vermutete höhere Nebenwirkungswahrscheinlichkeit sicherer. Er begeht nur in 1 % aller Fälle einen Fehler, wenn er sich erst ab 10 Patienten für die höhere Nebenwirkungswahrscheinlichkeit entscheidet. Hypothesen: H 0 : p = 0,1 gegen H 1 : p = 0,2 X zählt die Patienten mit Nebenwirkung Verteilung: X B (40; 0,1) unter H 0 X < k Entscheidung für H 0 : p = 0,1 X k Entscheidung für H 1 : p = 0,2 α 0,01 P (Entscheidung für H 1 H 0 richtig) 0,01 P (X k p = 0,1) 0,01 40 ( 40 x ) 0,1 x 40 0,9 x 0,01 x = k k α 0,0419 0,0155 0,0051 X < 10 Entscheidung für H 0 : p = 0,1 X 10 Entscheidung für H 1 : p = 0,2 Da die Zufallsgröße Patienten zählt, ist die kritische Grenze k ganzzahlig und positiv. 1. In einer Urne mit 1000 Kugeln befinden sich entweder genau 400 weiße Kugeln ( H 0 ) oder genau 800 weiße Kugeln ( H 1 ). Es wird eine Stichprobe von n = 50 Kugeln gezogen. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art, wenn die Entscheidung für H 1 ab 24 Kugeln fällt. b) Ermitteln Sie die kritische Grenze k, wenn die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art α höchstens 5 % betragen soll. 2. Auf einem Ärztekongress formuliert Prof. Gabriel Meir die Hypothese, dass 15 % aller Anwohner in einer Wohnentfernung von 50 Metern zu einer vielbefahrenen Straße an Typ-2-Diabetes leiden ( H 0 ). Auch Dr. Pia Weber ist überzeugt, dass Luftverschmutzung Auslöser dieser Krankheit sein kann. Doch behauptet sie, der Prozentsatz für Typ-2-Diabetes aller Anwohner liege bei 8 % ( H 1 ). In einer Untersuchung von 200 Anwohnern vielbefahrener Straßen sollen die Hypothesen getestet werden. a) Formulieren Sie die Hypothesen des Tests sowie die Zufallsgröße und ihre Verteilung. b) Erläutern Sie den Fehler 1. Art in diesem Sachzusammenhang. c) Ermitteln Sie eine kritische Grenze k für diesen Hypothesentest, wenn die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art α höchstens 10 % betragen soll. 4

5 Testen von Hypothesen Bisher haben wir nur den Fehler betrachtet, dass der Arzt sich fälschlicherweise für seine Hypothese entscheidet. Stimmt der Arzt jedoch nach seiner Untersuchung den Angaben auf dem Beipackzettel zu, obwohl tatsächlich ein 20 %iges Risiko für die Nebenwirkung des Medikaments vorliegt, so begeht der Arzt einen Fehler 2. Art. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bezeichnen wir mit β. Fehler 2. Art Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der sich der Arzt aus den ersten drei Beispielen für die Nullhypothese entscheidet, obwohl die Gegenhypothese gilt. Er entscheidet sich für H 0, wenn in seiner Stichprobe von 40 Patienten a) weniger als 7 Patienten, b) weniger als 10 Patienten die Nebenwirkung aufweisen. In diesem Beispiel betrachten wir die binomialverteilte Zufallsgröße X unter der Hypothese H 1. Daher beträgt die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,2. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art lautet bei der kritischen Grenze von 7 Patienten β = 28,59 % und bei einer kritischen Grenze von 10 Patienten β = 73,18 %. Verteilung: X B (40; 0,2) unter H 1 a) β = P (Entscheidung für H 0 H 1 richtig) 6 = P (X < 7 p = 0,2) = ( 40 x ) 0,2 x 0,8 = F (40; 0,2; 6) 0,2859 = 28,59 % b) β = P (Entscheidung für H 0 H 1 richtig) 9 = P (X < 10 p = 0,2) = ( 40 x ) 0,2 x 0,8 = F (40; 0,2; 9) 0,7318 = 73,18 % 40 x 40 x 4 Der Fehler 2. Art ist die (Fehl-)Entscheidung für die Nullhypothese H 0, obwohl die Gegenhypothese H 1 gilt. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art heißt β: β = P (Entscheidung für H 0 H 1 richtig) In Beispiel 3 haben wir durch die Verschiebung der kritischen Grenze von 7 auf 10 Patienten eine wesentliche Verringerung der Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art erreicht. Eine Klage des Pharmaunternehmens gegen den Arzt ist damit unwahrscheinlicher. Beispiel 4 zeigt jedoch, dass damit gleichzeitig die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art deutlich ansteigt. Die fehlerhafte Angabe im Beipackzettel würde in 73 % der Fälle nicht erkannt, obwohl das Risiko der Nebenwirkung für die Patienten tatsächlich doppelt so hoch wäre. Die beiden Fehlerarten sind voneinander abhängig: Verringert man die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art, so erhöht sich die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art, und umgekehrt. Vorrangiges Ziel eines Testverfahrens ist es, den Fehler 1. Art möglichst klein zu halten. Deshalb werden die Hypothesen H 0 und H 1 so gewählt, dass der Fehler 1. Art für den Anwender des Tests die schlimmeren Konsequenzen seiner Entscheidung enthält. Beispiel 1 und 5 H 0 liegt tatsächlich vor H 1 liegt tatsächlich vor Entscheidung für H 0 richtige Entscheidung Fehler 2. Art (β-fehler) Entscheidung für H 1 Fehler 1. Art (α-fehler) richtige Entscheidung Ermitteln Sie für die beiden Alles klar? -Aufgaben auf Seite 4 jeweils die Wahrscheinlichkeiten für den Fehler 2. Art. 5

6 Stochastik 5 Wahl der Nullhypothese Eine Pharmafirma weiß aus früheren Befragungen, dass ihr Medikament ZETA3 in Deutschland einen Bekanntheitsgrad von 30 % hat. Eine Werbeagentur behauptet, dass sie diese Quote steigern kann. Die Pharmafirma verspricht der Werbeagentur eine Extraprämie, wenn nach einer intensiven Werbeaktion der Bekanntheitsgrad auf 50 % gestiegen ist. Eine Stichprobe von 100 Befragten soll als Grundlage für eine Entscheidung dienen. a) Formulieren Sie einen Test mit der Irrtumswahrscheinlichkeit α 5 % aus Sicht der Pharmafirma. b) Formulieren Sie einen Test mit der Irrtumswahrscheinlichkeit α 5 % aus Sicht der Werbeagentur. a) Aus Sicht des Pharmaunternehmens soll der Fehler möglichst klein gehalten werden, die Prämie auszuzahlen (d. h. sich für den Bekanntheitsgrad von 50 % zu entscheiden), obwohl weiterhin eine Quote von 30 % gilt. Diese Beschreibung entspricht dem Fehler 1. Art: Deshalb wählen wir hier H 0 : p = 0,3 als Nullhypothese. Wir ermitteln die kritische Grenze k wie in Beispiel 3. Seite 4 Wir raten dem Unternehmen, sich nur für die Steigerung der Quote auf 50 % zu entscheiden, wenn in der Stichprobe von 100 Personen 39 oder mehr das Medikament ZETA3 kennen. Eine irrtümliche Auszahlung der Prämie wird mit dieser Entscheidungsregel nur in 5 % aller Fälle geschehen. Hypothesen: H 0 : p = 0,3 gegen H 1 : p = 0,5 X zählt die Personen, die das Medikament kennen Verteilung: X B (100; 0,3) unter H 0 X < k Entscheidung für H 0 : p = 0,3 X k Entscheidung für H 1 : p = 0,5 = P (X k p = 0,3) 100 = ( 100 x ) 0,3 x 100 0,7 x 5 % x = k k = 39 X < 39 Entscheidung für H 0 : p = 0,3 X 39 Entscheidung für H 1 : p = 0,5 b) Aus Sicht der Werbeagentur ist die Entscheidung für den gleichgebliebenen Bekanntheitsgrad von 30 %, obwohl die Quote tatsächlich auf 50 % gestiegen ist, mit dem Verlust der Prämie verbunden. Diese Fehlentscheidung möchte die Werbeagentur bei höchstens 5 % halten. Somit formulieren wir die Nullhypothese H 0 : p = 0,5, um die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art zu kontrollieren. Finden sich in der Stichprobe von 100 Personen 41 oder weniger, die das Medikament kennen, und fällt das Unternehmen deshalb die Entscheidung zugunsten eines unveränderten Bekanntheitsgrades, so entgeht der Werbeagentur nur in 5 % aller Fälle fälschlicherweise die Prämie. Hypothesen: H 0 : p = 0,5 gegen H 1 : p = 0,3 X zählt die Personen, die das Medikament kennen Verteilung: X B (100; 0,5) unter H 0 X > k Entscheidung für H 0 : p = 0,5 X k Entscheidung für H 1 : p = 0,3 = P (X k p = 0,5) k = ( 100 x ) 0,5 x 100 0,5 x 5 % k = 41 X > 41 Entscheidung für H 0 : p = 0,5 X 41 Entscheidung für H 1 : p = 0,3 Finden wir in der Stichprobe von 100 Personen 39, 40 oder 41 Personen, die das Medikament ZETA3 kennen, und treffen eine Entscheidung, so muss eine der beteiligten Parteien in 5 % aller Fälle mit einer Fehlentscheidung rechnen. 6

7 Testen von Hypothesen Durch Vorgabe einer oberen Grenze für die Irrtumswahrscheinlichkeit α können wir die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art kontrollieren. Daraus ergibt sich die kritische Grenze k in der Entscheidungsregel. Wir formulieren die Nullhypothese und die Gegenhypothese so, dass der Fehler 1. Art die schlimmeren Konsequenzen für den Anwender enthält, weil wir dann die Wahrscheinlichkeit für diese schlimmeren Konsequenzen klein halten können kleiner oder gleich einem vorgegebenen α. Aus diesem Grund haben wir in Beispiel 5 die Hypothesen auf zwei Arten definiert: In Aufgabenteil a) haben wir es so eingerichtet, dass die Wahrscheinlichkeit für die irrtümlich ausgezahlte Prämie des Pharmaunternehmens unter 5 % liegt. In Aufgabenteil b) haben wir die Hypothesen so gewählt, dass die Wahrscheinlichkeit für die fälschlicherweise nicht gezahlte Prämie für die Werbeagentur höchstens 5 % beträgt. Die Sichtweise der am Entscheidungsprozess Beteiligten ist ausschlaggebend für die Formulierung der Nullhypothese und der Gegenhypothese. Konstruktion eines Alternativtests mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit α: Hypothesen: H 0 : p = p 0 gegen H 1 : p = p 1 Die Zufallsgröße X zählt das beobachtete Merkmal in der Stichprobe vom Umfang n. Verteilung: X B (n; p 0 ) unter H 0 X < k Entscheidung für H 0 : p = p 0 X k Entscheidung für H 1 : p = p 1 Kritische Grenze k: p 0 < p 1 p 0 > p 1 P (Entscheidung für H 1 H 0 richtig) = P (X k p 0 ) n = ( n x ) p x n 0 (1 p 0 ) x α x = k X > k Entscheidung für H 0 : p = p 0 X k Entscheidung für H 1 : p = p 1 Kritische Grenze k: P (Entscheidung für H 1 H 0 richtig) = P (X k p 0 ) k = ( n x ) p x n 0 (1 p 0 ) x α Annahmebereich von H 0 Ablehnungsbereich von H 0 Ablehnungsbereich von H 0 Annahmebereich von H k k Seit Anfang 1990 lernen viele Kinder in Deutschland das Schreiben mit der Anlauttabelle. Diese Methode ist vor allem bei Eltern sehr umstritten. In einem Leserbrief einer Zeitung formuliert ein Vater gar die Vermutung, dass von den Kindern, die mit dieser Methode schreiben lernen, 40 % später große Probleme mit der Orthografie bekämen. Eine Doktorandin des Instituts für pädagogische Psychologie nimmt hingegen an, dass nur ca. 20 % der Kinder, die diese Lernmethode nutzen, später Rechtschreibprobleme haben. Es wird eine Stichprobe von 250 Schülerinnen und Schülern gezogen, welche das Schreiben über die Anlauttabelle gelernt haben. Die Zufallsgröße X zählt die Schülerinnen und Schüler mit Rechtschreibproblemen in der Stichprobe. Entwickeln Sie je einen Hypothesentest aus der Sicht des Vaters bzw. aus der Sicht der Psychologin mit der Irrtumswahrscheinlichkeit α 5 %. 7

8 Stochastik Ü Übungen 1. In einem Betrieb werden Blutzuckermessgeräte produziert. Eine unbeschriftete Palette stammt entweder aus der Produktion A mit 20 % Ausschuss oder aus der Produktion B mit 5 % Ausschuss. Es werden 100 Geräte entnommen und geprüft. a) Formulieren Sie die Hypothesen und die möglichen (wirtschaftlichen bzw. ethischen) Konsequenzen der Fehlentscheidungen. b) Ermitteln Sie für diesen Test die kritische Grenze k, sodass die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art höchstens 1 % beträgt. c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art. 2. Von zwei Urnen Y und Z ist bekannt, dass Y zur Hälfte und Z zu einem Viertel weiße Kugeln enthält. Es werden aus jeder Urne 20 Kugeln gezogen, um zu prüfen, welche Urne jeweils vorliegt. a) Erhält man mindestens 8 weiße Kugeln, so entscheidet man sich für Y. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten für die Fehler 1. und 2. Art. b) Ermitteln Sie einen kritischen Wert k so, dass die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art höchstens 5 % beträgt. 3. Für eine Tombola wurden zwei Lostrommeln vorbereitet, wobei die eine 75 % Gewinnlose und die andere nur 40 % Gewinnlose enthält. Versehentlich wurden die Lostrommeln nicht beschriftet. Für einen Test entnimmt Peter einer der Trommeln 80 Lose. Falls unter den 80 gezogenen Losen mindestens 55 Gewinnlose sind, entscheidet er sich dafür, der Trommel eine 75 %ige Gewinnchance zuzuordnen. a) Berechnen Sie die Irrtumswahrscheinlichkeiten des beschriebenen Testverfahrens. b) Formulieren Sie die Entscheidungsregel so, dass der Fehler 1. Art höchstens 5 % beträgt. 4. Gegeben sind die Nullhypothese H 0 und die Gegenhypothese H 1. Nennen Sie die zugehörige Entscheidungsregel. a) H 0 : p = 0,1 H 1 : p = 0,4 b) H 0 : p = 0,4 H 1 : p = 0,9 c) H 0 : p = 0,65 H 1 : p = 0,33 5. Nach der Optimierung der Produktion eines Bauteils soll die Ausschussrate in einem Betrieb von vorher 8% auf nur noch 4% gesunken sein. Sind von 300 Teilen einer Stichprobe höchstens 20 defekt, entscheidet man sich dafür, dass die Rate tatsächlich gesunken ist. a) Berechnen Sie die Irrtumswahrscheinlichkeiten. b) Wie lautet die Entscheidungsregel, wenn der α-fehler höchstens 5 % betragen soll? 6. Ein Massenprodukt wird auf zwei verschiedenen Anlagen A und B hergestellt. Anlage A arbeitet weniger fehlerhaft als Anlage B: 10 % des Outputs von Anlage A, aber 20 % des Outputs von Anlage B sind mit Mängeln behaftet. Bei der Auslieferung wird festgestellt, dass auf einer Kiste mit Produkten die Angabe fehlt, von welcher Anlage sie stammt. Gehen Sie davon aus, dass H 0 die Hypothese ist, dass die Kiste Produkte enthält, die auf Anlage B gefertigt wurden. a) Die Kiste wird als Qualität von Anlage A verkauft, falls sich in einer Stichprobe vom Umfang 20 Stück höchstens 4 Stück als fehlerhaft erweisen. Wie groß sind die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art und die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art? b) Wie muss die Entscheidungsvorschrift geändert werden, damit die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art höchstens 10 % beträgt? Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art? 7. Ein Qualitätsprüfungsinstitut vermutet, dass nur 14 % der Pralinen der Firma Albatros Nüsse enthalten. Auf der Packung ist hingegen ein Anteil von 18 % angegeben. Das Institut testet 500 Pralinenpackungen. Entwickeln Sie jeweils ein Testverfahren aus Sicht des Instituts und aus Sicht der Herstellungsfirma Albatros mit α 5 %. Geben Sie die Hypothesen an und erläutern Sie zunächst die möglichen Konsequenzen der beiden Fehlerarten. 8. Es liegen zwei gefälschte Würfel vor. Für die Zahl 4 hat der rote Würfel die Wahrscheinlichkeit 0,3 und der blaue Würfel die Wahrscheinlichkeit 0,55. Oder war es umgekehrt? Ermitteln Sie eine Entscheidungsregel für eine Stichprobe von n = 30 Würfen, sodass die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art höchstens 1 % beträgt. 8

9 Testen von Hypothesen Signifikanztest Bisher haben wir im Alternativtest immer eine Annahme über die Trefferwahrscheinlichkeit p unter der Nullhypothese und unter der Gegenhypothese getroffen. Oftmals ist jedoch nur die Trefferwahrscheinlichkeit unter der Nullhypothese bekannt. Fällt beispielsweise während eines Spiels ein 6-seitiger Würfel auf, der ungewöhnlich häufig die Augenzahl 1 zeigt, so spricht dies dafür, dass hier nicht die Trefferwahrscheinlichkeit eines idealen Würfels von p = 1_ 6 vorliegt. Wir vermuten eine erhöhte Wahrscheinlichkeit von p > 1_. Einen konkreten 6 Wert p für die Gegenhypothese können wir jedoch nicht angeben. Im Verlauf dieses Abschnitts entwickeln wir den Signifikanztest zur Beurteilung solcher Situationen. Gegenhypothese unbekannt Ein Trainer verspricht sich von einer neuen Trainingsmethode im Krafttraining eine Steigerung der Geschwindigkeit für sein Radsportteam. Die alte Trainingsmethode führte bei 60 % der Radsportler zu einem Anstieg der Geschwindigkeit. a) Formulieren Sie die Nullhypothese und die Gegenhypothese. Erläutern Sie den Fehler 1. Art im Sachzusammenhang. b) Entwickeln Sie einen Hypothesentest mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit α von höchstens 5 %. a) Das Ziel eines Hypothesentests, die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art klein zu halten, erfordert, dass wir die bekannte Trefferwahrscheinlichkeit von p = 0,6 in die Nullhypothese nehmen. Als Alternative ist nur bekannt, dass die Trefferwahrscheinlichkeit p größer als 0,6 sein soll, aber es ist keine genaue Angabe möglich. Hypothesen: H 0 : p = 0,6 gegen H 1 : p > 0,6 X zählt die Sportler, die ihre Geschwindigkeit durch die neue Methode steigern konnten. Der Fehler 1. Art hat hier die folgende Bedeutung: Wir entscheiden uns dafür, dass die neue Trainingsmethode zu einem Anstieg der Geschwindigkeit führt, obwohl die Methode tatsächlich nicht besser ist als die alte. Als Konsequenz schafft ein Sportverein womöglich unnötigerweise teure Geräte an. 6 b) Für den Hypothesentest benötigen wir einen Stichprobenumfang n. Wir wählen n = 20 Radsportler und können die Verteilung unter H 0 angeben. Als Signifikanzniveau α bezeichnen wir die höchste zugelassene Irrtumswahrscheinlichkeit von 5 %. Sind in der Stichprobe von 20 Sportlern mindestens 17, die ihre Geschwindigkeit steigern konnten, so entscheiden wir uns in höchstens 5 % aller Fälle für einen Anstieg der Geschwindigkeit durch die neue Trainingsmethode, obwohl sie nicht besser ist als die alte. Verteilung: X B (20; 0,6) unter H 0 X < k Entscheidung für H 0 : p = 0,6 X k Entscheidung für H 1 : p > 0,6 = P (X k p = 0,6) 20 = ( 20 x ) 0,6 x 20 0,4 x 5 % k = 17 x = k X < 17 Entscheidung für H 0 : p = 0,6 X 17 Entscheidung für H 1 : p > 0,6 Für den Signifikanztest werden die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art und die kritische Grenze k wie beim Alternativtest ( Seite 7) berechnet. Dazu benötigen wir nur die Trefferwahrscheinlichkeit p unter der Nullhypothese. Erst die Betrachtung des Fehlers 2. Art zeigt den Unterschied. 9

10 Stochastik 7 Das Problem des Fehlers 2. Art Eine neue Trainingsmethode soll bei Radsportlern zu einem größeren Anstieg der Geschwindigkeit führen. Die alte Methode ist für 60 % der Sportler erfolgreich. Wenn in einer Stichprobe von 20 Sportlern mindestens 17 Sportlern ihre Geschwindigkeit steigern können, wird die Vermutung auf einem Signifikanzniveau von 5 % als bestätigt angesehen. Beispiel 6 Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, sich fälschlicherweise nicht für die geschwindigkeitssteigernde Wirkung der neuen Methode zu entscheiden. Zu ermitteln ist die Wahrscheinlichkeit β des Fehlers 2. Art. Wir benötigen die Trefferwahrscheinlichkeit unter der Hypothese H 1. Eine Aussage für den Fehler 2. Art können wir nur unter der Annahme eines Wertes für die Gegenhypothese treffen. Beispielhaft verwenden wir: H 1 : p = 0,7. Das heißt, wir nehmen an, dass die Trefferwahrscheinlichkeit für die neue Methode p = 0,7 beträgt. Nun ermitteln wir die Wahrscheinlichkeit, dass wir uns aufgrund der Stichprobe mit weniger als 17 Sportlern, die die Geschwindigkeit steigern konnten, für H 0 entscheiden, obwohl die neue Methode tatsächlich bei 70 % der Sportler zu einer Verbesserung führt. Auf gleiche Weise berechnen wir die β-wahrscheinlichkeit, wenn die neue Methode sogar bei 80 % bzw. 90 % der Sportler zu einer Verbesserung führt. Die Tabelle zeigt die berechneten Werte. Hypothesen: H 0 : p = 0,6 gegen H 1 : p > 0,6 X zählt die Sportler, die ihre Geschwindigkeit durch die neue Methode steigern konnten. X < 17 Entscheidung für H 0 : p = 0,6 X 17 Entscheidung für H 1 : p > 0,6 Annahme: H 1 : p = 0,7 β = P (Entscheidung für H 0 H 1 richtig) = P (X < 17 p = 0,7) 16 = ( 20 x ) 0,7 x 20 0,3 x 89,29 % Je näher die Trefferwahrscheinlichkeit für die neue Methode an der Nullhypothese liegt, desto eher begehen wir den Fehler 2. Art. p 0,7 0,8 0,9 β 89,29 % 58,86 % 13,30 % Beim Signifikanztest ist die Gegenhypothese nicht eindeutig festgelegt. Sowohl der Signifikanztest als auch der Alternativtest arbeiten mit dem Fehler 1. Art α, um eine kritische Grenze zu ermitteln: Die Wahrscheinlichkeit β für den Fehler 2. Art kann beim Signifikanztest nur dann ermittelt werden, wenn eine konkrete Annahme für die Alternative vorliegt. Als Signifikanzniveau bezeichnet man die höchste zugelassene Irrtumswahrscheinlichkeit α. In einem Spielcasino meint ein Spieler an einem Roulettetisch beobachten zu können, dass die Zahl 23 häufiger fällt als die Zahlen der anderen 36 Felder. a) Formulieren Sie die Nullhypothese und die Gegenhypothese. b) Ermitteln Sie die kritische Grenze k, wenn eine Stichprobe von 100 Drehungen des Rouletterads durchgeführt wird und das Signifikanzniveau α = 5 % eingehalten werden soll. c) In einer Stichprobe von 100 Drehungen des Rouletterads fällt 7-mal die 23. Wie entscheiden Sie? d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art, wenn dieses Rouletterad tatsächlich eine Trefferwahrscheinlichkeit für die 23 von 10 % hat. e) Falls unter 200 Drehungen des Rouletterads weniger als 10-mal die 23 erscheint, so entscheiden wir uns für die Gleichwahrscheinlichkeit des Rouletterads. Berechnen Sie die Irrtumswahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art. 10

11 Testen von Hypothesen Macht Fernsehen dumm? Die durchschnittliche tägliche Fernsehdauer betrug im Jahr 2013 in der Altersklasse der 14- bis 29-Jährigen 128 Minuten. Ein Bildungsforscher stellt die Hypothese auf: Kinder, die mehr als drei Stunden täglich fernsehen, erlangen mit 80 %iger Wahrscheinlichkeit keinen Schulabschluss. Diese Hypothese wird an einer Stichprobe von 250 Schulabgängern getestet, die als Kinder drei Stunden täglich ferngesehen haben. Entwickeln Sie einen Hypothesentest auf dem Signifikanzniveau von 1%, der als Alternative eine geringere Wahrscheinlichkeit für den Abgang ohne Schulabschluss verwendet. Die Trefferwahrscheinlichkeit in der Gegenhypothese ist zwar unbekannt, soll jedoch kleiner als die Trefferwahrscheinlichkeit unter der Nullhypothese sein. Da wir H 0 ablehnen, wenn wir in unserer Stichprobe kleine Werte finden, heißt dieser Test linksseitig. Links des kritischen Wertes k erfolgt die Ablehnung von H 0. Finden wir in der Stichprobe von 250 Schulabgängern, die als Kinder täglich mehr als drei Stunden ferngesehen haben, höchstens 184 ohne Schulabschluss, so zweifeln wir die 80 %-Hypothese an. Hypothesen: H 0 : p = 0,8 gegen H 1 : p < 0,8 X zählt die Schulabgänger ohne Abschluss. Verteilung: X B (250; 0,8) unter H 0 X > k Entscheidung für H 0 : p = 0,8 X k Entscheidung für H 1 : p < 0,8 = P (X k p = 0,8) k = ( 250 x ) 0,8 x 250 0,2 x 1 % k = 184 X > 184 Entscheidung für H 0 : p = 0,8 X 184 Entscheidung für H 1 : p < 0,8 8 Der Signifikanztest in Beispiel 6 ( Seite 9) ist ein rechtsseitiger Test, da die Ablehnung der Nullhypothese für große Werte der Zufallsgröße X erfolgt. Die möglichen Stichprobenergebnisse für H 1 liegen rechts des kritischen Wertes k. Linksseitiger Test: H 0 : p = p 0 gegen H 1 : p < p 0 Rechtsseitiger Test: H 0 : p = p 0 gegen H 1 : p > p 0 1. Eine Maschine produziert mit einer Wahrscheinlichkeit von 3 % Ausschussstücke. Nach intensiven Wartungsarbeiten vermutet man eine geringere Ausschussquote. Der Produktion werden 1000 Stücke entnommen und geprüft. a) Liegt hier ein rechts- oder ein linksseitiger Test vor? Geben Sie die Hypothesen an. b) Ermitteln Sie die kritische Grenze k, sodass die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art höchstens bei 1% liegt. c) Berechnen Sie den α-fehler, wenn unter 1000 geprüften Stücken 25 oder weniger Stücke Ausschuss sind. 2. Die Partei A hat bei den letzten Wahlen 24 % der Stimmen erhalten. Nachdem nun ein neuer Spitzenkandidat durch intensive Wahlwerbung in der Bevölkerung sehr bekannt ist, vermutet man eine Erhöhung des Stimmenanteils bei der nächsten Wahl. Die Hypothese soll anhand einer Umfrage unter 500 Wahlberechtigten getestet werden. a) Ermitteln Sie den kritischen Wert k, um ein Signifikanzniveau von 5 % einzuhalten. b) In der Stichprobe von 500 Wahlberechtigten werden 156 Personen gefunden, die die Partei A wählen würden. Wie entscheiden Sie? 11

12 Stochastik 9 Zweiseitiger Signifikanztest Für die Weihnachtsdekoration eines Seniorenheimes hat die Leiterin Frau Fischer ein Paket mit mehreren hundert Weihnachtskugeln bestellt. Sie möchte testen, ob der Anteil an goldenen Kugeln gemäß Auftrag bei 40 % liegt. Dabei ist ihr nur wichtig, dass die Abweichung nach oben oder unten nicht zu groß ist. Sie entscheidet, die Lieferung nur dann zu behalten, wenn mehr als 16 und weniger als 24 Kugeln in einer Stichprobe aus 50 Kugeln golden sind. a) Formulieren Sie die Nullhypothese und eine geeignete Gegenhypothese. b) Berechnen Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit α für die angegebene Entscheidungsregel. c) Ändern Sie die Entscheidungsregel so ab, dass Frau Fischer in höchstens 5 % aller Fälle die Kugeln irrtümlich zurückschickt. a) Die Nullhypothese enthält die uns bekannte Trefferwahrscheinlichkeit von 40 % goldenen Kugeln. Für die alternative Hypothese kommen sowohl Werte über 40 % als auch unter 40 % in Frage. Wir sprechen von einem zweiseitigen Test. Hypothesen: H 0 : p = 0,4 gegen H 1 : p 0,4 X zählt die goldenen Kugeln. Verteilung: X B (50; 0,4) unter H 0 b) Für die angegebene Entscheidungsregel setzt sich die Fehlerwahrscheinlichkeit α aus den zwei Bereichen X 16 und X 24 zusammen. Deshalb sind zwei Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 31,23 % schickt Frau Fischer die Weihnachtskugeln zurück, obwohl die von ihr verlangten 40 % goldenen Kugeln erfüllt sind. c) Für die Berechnung der beiden kritischen Werte k 1 und k 2 verwenden wir zur Abschätzung der Wahrscheinlichkeit für jeden Bereich α 2,5 %, sodass in der Summe die Fehlerwahrscheinlichkeit 2 α 5 % gilt. Erhält Frau Fischer in ihrer Stichprobe von 50 Kugeln als Ergebnis höchstens 12 oder mindestens 28 goldene Kugeln, so schickt sie das Paket zurück. Bei der Entscheidung aufgrund dieser Regel schickt sie das Paket nur in 5 % aller Fälle fälschlicherweise zurück, obwohl 40 % goldene Kugeln im Paket sind. 16 < X < 24 Entscheidung für H 0 : p = 0,4 X 16 oder X 24 Entscheidung für H 1 : p 0,4 = P (X 16 p = 0,4) + P (X 24 p = 0,4) 16 = 0,4 x 50 0,6 x ,4 x 0,6 ( 50 x ) ( 50 x = 24 x ) 0, ,1562 = 0,3123 = 31,23 % 50 x k 1 < X < k 2 Entscheidung für H 0 : p = 0,4 X k 1 oder X k 2 Entscheidung für H 1 : p 0,4 = P (X k 1 p = 0,4) + P (X k 2 p = 0,4) 5 % k 1 ( 50 x ) 50 ( 50 x = k 2 0,4 x 50 0,6 x 2,5 % und x ) 0,4 x 50 0,6 x 2,5 % k 1 = 12 und k 2 = 28 Zweiseitiger Test: H 0 : p = p 0 gegen H 1 : p p 0 Bei einem 20-seitigen Würfel wird vermutet, dass er nicht fair ist. Falls von 200 Würfen 7 bis 13 Würfe eine 20 zeigen, gilt der Würfel weiterhin als fair. Formulieren Sie die Hypothesen und berechnen Sie den α-fehler. 12

13 Testen von Hypothesen Konstruktion eines Signifikanztests zum Signifikanzniveau α: Nullhypothese: H 0 : p = p 0 Die Zufallsgröße X zählt das beobachtete Merkmal in der Stichprobe vom Umfang n. Verteilung: X B (n; p 0 ) unter H 0 Linksseitiger Test Rechtsseitiger Test Zweiseitiger Test H 1 : p < p 0 H 1 : p > p 0 H 1 : p p 0 Entscheidungsregel X > k Entscheidung für H 0 X k Entscheidung für H 1 Entscheidungsregel X < k Entscheidung für H 0 X k Entscheidung für H 1 Entscheidungsregel k 1 < X < k 2 Entscheidung für H 0 X k 1 oder X k 2 Entscheidung für H 1 Kritische Grenze k: P (X k p = p 0 ) α k ( n x ) p x n 0 (1 p 0 ) x α Kritische Grenze k: P (X k p = p 0 ) α n ( n x = k x ) p x n 0 (1 p 0 ) x α Kritische Grenze k: P (X k 1 p = p 0 ) α 2 und P (X k 2 p = p 0 ) α k 1 ( n n ( n x = k 2 x ) p x n 0 (1 p 0 ) x α 2 2 x ) p x n 0 (1 p 0 ) x α 2 Ermittlung der kritischen Grenze mit GeoGebra Eine Münze wird 200-mal geworfen, um zu prüfen, ob die Kopfseite häufiger fällt. Ermitteln Sie eine Entscheidungsregel auf einem Signifikanzniveau von 5 %. Da hier eine ideale Münze mit 50 %iger Trefferwahrscheinlichkeit für Kopf gegen eine erhöhte Wahrscheinlichkeit für Kopf getestet wird, handelt es sich um einen rechtsseitigen Test. In GeoGebra öffnen wir den Wahrscheinlichkeitsrechner und wählen die Verteilung Binomial. Wir ändern die Parameter in n = 200 und p = 0,5. Im Histogramm können wir die Grenzen mit der Maus verschieben. Bei 113 erhalten wir mit 0,0384 erstmalig eine Wahrscheinlichkeit, die kleiner als 5 % ist. Also entscheiden wir uns bei bis zu 112 Kopfwürfen (von insgesamt 200 Würfen) für eine ideale Münze. Bekommen wir jedoch 113 oder mehr Kopfwürfe, so entscheiden wir uns für eine erhöhte Wahrscheinlichkeit der Kopfseite. Dabei begehen wir nur in 3,84 % aller Fälle den Fehler, dass es doch eine ideale Münze ist. Hypothesen: H 0 : p = 0,5 gegen H 1 : p > 0,5 X zählt die Kopfwürfe in der Stichprobe. Verteilung: X B (200; 0,5) unter H 0 X < k Entscheidung für H 0 : p = 0,5 X k Entscheidung für H 1 : p > 0,5 = P (X k p = 0,5) 5 % X < 113 Entscheidung für H 0 : p = 0,5 X 113 Entscheidung für H 1 : p > 0,

14 Stochastik Ü Übungen 1. Gegeben sind die Nullhypothese H 0 und die Gegenhypothese H 1. Nennen Sie die zugehörige Entscheidungsregel. a) H 0 : p = 0,1 H 1 : p > 0,1 b) H 0 : p = 0,4 H 1 : p < 0,4 c) H 0 : p = 0,65 H 1 : p 0,65 2. Bei der Geburt eines Menschen ist der Sehsinn im Vergleich zu den anderen Sinnen am wenigsten ausgereift. Neugeborene können am besten die Farbe Rot erkennen. Kinder bevorzugen kräftige Farben. Nuancen können viele Kinder erst im Teenageralter unterscheiden. Bei einem Versuch soll mit 9-jährigen Kindern getestet werden, ob mehr als 60 % die Farben Apricot und Lachs unterscheiden können. 100 Kinder sortieren Kugeln der entsprechenden Farben in zwei Behälter. a) Formulieren Sie die Hypothesen. b) Ermitteln Sie die Entscheidungsregel zum Sig ni fikanzniveau von 5 %. 3. In einer Urne befinden sich rote und weiße Kugeln. Man vermutet, dass der Anteil der roten Kugeln 50 % beträgt. Befinden sich in einer Stichprobe mit n = 10 mindestens 3 und höchstens 7 rote Kugeln, so stimmt man für die Nullhypothese H 0 (p = 50 %). Zieht man weniger als 3 oder mehr als 7 rote Kugeln, so verwirft man H 0. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die Fehler 1. und 2. Art. 4. Ein Pharmaunternehmen testet ein neues Schmerzmittel an 100 Personen daraufhin, ob es sein altes Mittel, das in 75 % der Anwendungsfälle erfolgreich ist, in seiner Wirkung noch übertrifft. a) Formulieren Sie eine geeignete Nullhypothese und eine geeignete Alternativhypothese für einen Signifikanztest. b) 80 Personen sprechen auf das neue Mittel an. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dem neuen Mittel eine bessere Wirkung zugesprochen wird als dem alten, wenn dieser Sachverhalt tatsächlich nicht zutrifft? c) Ermitteln Sie die Anzahl der Testpersonen, bei denen das Medikament mindestens hätte ansprechen müssen, wenn die vorgegebene Irrtumswahrscheinlichkeit 5 % beträgt. 5. Die Anzahl der Smartphone-Nutzer in Deutschland hat bis Februar 2014 die Zahl von 40,4 Millionen Nutzern erreicht. Dies sind gut 50 % der Gesamtbevölkerung (80,62 Millionen Ende des Jahres 2013). Larissa bezweifelt jedoch, dass die Quote der Smartphone-Nutzer auch in der Altersklasse der Senioren gilt. Sie befragt 50 Senioren aus ihrem Bekanntenkreis. Findet sie weniger als 16 Senioren, die ein Smartphone haben, so möchte sie sich gegen die 50 %-Hypothese entscheiden. Personen in Mio ,3 0 Feb a) Ermitteln Sie die Irrtumswahrscheinlichkeit, wenn Larissa die genannte Entscheidungsregel wählt. b) Beurteilen Sie Larissas Vorgehen bezüglich der Stichprobenziehung. 6. Der Treppenlifthersteller up and down geht davon aus, dass 10 % der Senioren zwischen 75 und 90 Jahren den Kauf des neuen Modells Goncales in Erwägung ziehen. In einer Umfrage unter 100 Personen der Zielgruppe soll diese Einschätzung bestätigt werden. Wenn zwischen 8 und 12 Personen den Kauf erwägen, wird die Hypothese H 0 : p = 0,1 angenommen. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art. b) Das Signifikanzniveau wird auf 5 % festgelegt. Ermitteln Sie die Entscheidungsregel. 7. Für einen Signifikanztest wird folgende Rechnung für die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art durchgeführt: = P (X k p = 0,9) k = ( 150 x ) 0,9 x 150 0,1 x 1 % k = 125 8,4 Feb ,0 Feb ,0 Feb ,4 Feb ,4 Feb Monat Geben Sie die zugehörigen Hypothesen und die ermittelte Entscheidungsregel an. 14

15 Testen von Hypothesen Übungen 1. Die Großküche eines Krankenhauses hat eine Lieferung Tafeltrauben erhalten. Der Lieferant behauptet, dass höchstens 3 % ( H 0 ) der Trauben Kerne enthalten und diese Lieferung praktisch kernlos ist. Der Koch befürchtet, dass es sich eher um kernarme Tauben handelt und deshalb in 15 % ( H 1 ) der Trauben ein bis zwei Kerne zu finden sind. Koch und Lieferant vereinbaren, dass der Lieferpreis gesenkt wird, falls in einer Stichprobe von 100 Trauben mehr als 8 Trauben mit Kernen gefunden werden. a) Formulieren Sie den Fehler 1. Art für diesen Sachzusammenhang in Worten. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art 2. Etwa 13 % aller Deutschen sind Linkshänder. Trifft diese Quote auch auf die Kinder im Alter von 6 bis 10 Jahren zu? Oder ist die Quote bei Kindern noch höher, weil sie sich erst später der Allgemeinheit anpassen? a) Formulieren Sie die Hypothesen, die zugehörige Zufallsgröße und die Verteilung unter H 0. b) Entwickeln Sie die Entscheidungsregel zum Signifikanzniveau von 10 % für eine Stichprobe von 200 Kindern. 3. Innerhalb eines Jahres erkrankt mehr als jeder Zehnte (11 %) der Bevölkerung Deutschlands depressiv. Herr Geldern stellt für seine Bachelorarbeit die Hypothese auf, dass sich der Anteil depressiver Menschen unter den Senioren im Ruhe stand verglichen mit der Gesamtbevölkerung verändert. Er befragt 65 Senioren bezüglich depressiver Erkrankungen. a) Geben Sie die Hypothesen an und ermitteln Sie die Entscheidungsregel zum 5 %-Niveau. b) Ermitteln Sie den Fehler 2. Art, wenn tatsächlich 20 % der Senioren innerhalb eines Jahres depressiv erkranken. 4. Ein 4-seitiger Würfel hat die Form eines Tetraeders. Die Zahl am unteren Rand gibt die gewürfelte Augenzahl an. Um zu testen, ob der Tetraeder gefälscht wurde, zählt Mareike die Würfe mit der Augenzahl 3 unter 75 Würfen. Entwickeln Sie einen Signifikanztest zum Niveau von 5 %. 5. Gegeben sind die Hypothesen: H 0 : p = 0,63 gegen H 1 : p 0,63. Die Verteilung der betrachteten Zufallsgröße lautet: X B (45; 0,63). a) Korrigieren Sie die Fehler in der folgenden Berechnung für die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art zum Signifikanzniveau von 5 %. = P (X > k 1 p = 0,63) + P (X k 2 p = 0,63) k 1 ( 45 x ) 0,37 x 45 0,63 x 5 % 50 ( 45 x = k 2 1 x ) 0,37 x 45 0,63 x 5 % b) Ermitteln Sie k 1 und k Maybrit stellt die Hypothese auf, dass in ihrer Zoohandlung zu 73 % grüne Wellensittiche verkauft werden. Sie zählt die grünen Wellensittiche unter 100 verkauften Sittichen. Da die Zufallsgröße, die die grünen Wellensittiche zählt, binomialverteilt ist mit n = 100 und p = 0,73, ergibt sich ein Erwartungswert von μ = 73. Die Standardabweichung beträgt σ = 44. Maybrit legt als Entscheidungskriterium fest: Wenn die Anzahl der grünen Sittiche innerhalb des 2σ-Intervalls liegt, nimmt sie ihre Hypothese an. Liegt die Anzahl außerhalb des 2σ-Intervalls, so lehnt sie ihre Hypothese ab. a) Erläutern Sie, mit welcher Irrtumswahrscheinlichkeit diese Testkonstruktion arbeitet. b) Ermitteln Sie die Entscheidungsregel. Ü 15

16 Stochastik Ü 7. Marius behauptet, er könne am Geschmack eines Stücks Schokolade erkennen, ob es sich dabei um ein Marken- oder ein No-Name-Produkt handelt. Entwickeln Sie ein Testverfahren zur Überprüfung seiner Behauptung. 8. Eine Großküche bekommt eine Lieferung Pflaumen. Der Lieferant behauptet, dass der Anteil der Pflaumen mit Wurm höchstens 10 % beträgt, andernfalls gewährt er einen Preisnachlass. Entwickeln Sie ein Testverfahren, um die Angaben des Lieferanten zu prüfen. Beachten Sie dabei folgende Schritte: (1) Legen Sie einen Stichprobenumfang fest. (2) Nennen Sie die Zufallsgröße X, die das zu beobachtende Merkmal beschreibt. (3) Erläutern Sie die Verteilung von X. (4) Formulieren Sie die Nullhypothese und die Gegenhypothese. Überlegen Sie dabei, ob Sie aus Sicht des Lieferanten oder aus Sicht der Großküche testen möchten. (5) Entscheiden Sie, ob Sie sich eine kritische Grenze oder ein Signifikanzniveau vorgeben. (6) Ermitteln Sie die Irrtumswahrscheinlichkeit bzw. die kritische Grenze k. (7) Geben Sie die Entscheidungsregel an. 9. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen korrekt sind: a) Entscheiden wir uns aufgrund einer Stichprobe für die Nullhypothese, so stimmt diese auch. b) Vergrößern wir den Stichprobenumfang, so vergrößert sich das Signifikanzniveau. c) Fällt eine Entscheidung zugunsten der Gegenhypothese, so kann diese Hypothese trotzdem falsch sein. d) Im Alltagsgebrauch verstehen wir unter testen z.b. das Vielfache An- und Ausschalten einer Maschine, um die Qualität dieser Maschine zu prüfen. Doch erst ein statistischer Test ermöglicht die Beurteilung der getesteten Maschine. e) Die Irrtumswahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art ist stets größer als das Signifikanzniveau. 10. Ermitteln Sie eine Entscheidungsregel für die Hypothesen H 0 : p = 0,35 und H 1 : p < 0,35, wenn der Stichprobenumfang n = 100 und das Signifikanzniveau α = 0,08 ist. Die Zufallsgröße X sei binomialverteilt. 11. Die Praktikantin Aisha spielt in einer Seniorentagesstätte ein Mensch ärgere Dich nicht -Spiel mit drei Senioren. Jeder Mitspieler hat einen eigenen Würfel, um zügig spielen zu können. Herr Ballmann behauptet, dass sein Würfel nur die Hälfte der normalen Wahrscheinlichkeit eines idealen Würfels für die Augenzahl Sechs besitzt. Aisha möchte Herrn Ballmann beruhigen und wirft seinen Würfel 30-mal. a) Geben Sie die Nullhypothese und die Gegenhypothese an. Sie möchten dabei den Fehler, sich für Herrn Ballmanns Vermutung zu entscheiden, obwohl es tatsächlich ein idealer Würfel ist, möglichst klein halten. b) Entwickeln Sie einen Hypothesentest zum Signifikanzniveau α = 15 %. c) Unter den 30 Würfen sind fünf Sechsen erschienen. Wie entscheiden Sie? Begründen Sie Ihre Entscheidung. d) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art. GTR/CAS 12. Vom Tellerwäscher zum Millionär doch die Wirklichkeit sieht anderes aus. Ein Bildungsforscher behauptet, dass der Bildungserfolg und das spätere Einkommen einer Generation von ihrer Herkunft abhängen. Er untersucht die Einkommen von Geschwisterkindern. Ähnliche Einkommen deuten auf einen Zusammenhang mit der gemeinsamen Jugend. Der Forscher vermutet, dass 80 % der Geschwisterpaare in Deutschland ähnliche Einkommen beziehen. Er möchte seine Hypothese an 2000 Geschwisterpaaren testen. a) Formulieren Sie die Hypothesen. b) Geben Sie die Zufallsgröße und ihre Verteilung an. c) Berechnen Sie die kritische Grenze k der Entscheidungsregel, wenn das Signifikanzniveau 1 % beträgt. d) Das Bundesministerium für Bildung und Forschung bezweifelt diesen hohen Anteil und geht davon aus, dass der Prozentsatz von ähnlich verdienenden Geschwisterpaaren bei 75 % liegt. Ermitteln Sie mit dem GTR oder einem CAS-Rechner die Wahrscheinlichkeit für die Entscheidung zugunsten des Bildungsforschers, obwohl das Ministe rium mit seiner Angabe Recht hat. 16

17 Ich kann die Nullhypothese H 0 und die Gegenhypothese H 1 formulieren. den Fehler 1. Art im Sachzusammenhang erläutern. den Fehler 2. Art im Sachzusammenhang erläutern. die Entscheidungsregel formulieren. die Wahrscheinlichkeit α für den Fehler 1. Art berechnen. die Wahrscheinlichkeit β für den Fehler 2. Art berechnen. zu einem vorgegebenen Signifikanzniveau α die kritische Grenze k der Entscheidungsregel finden. Auf der Hauptstraße in Neustadt sind mindestens 80 % der Pkw grau. H 0 : p = 0,8 gegen H 1 : p < 0,8 Falls wir uns aufgrund einer Stichprobe für einen geringeren Anteil grauer Pkw entscheiden, obwohl tatsächlich mehr als 80 % graue Pkw fahren, begehen wir den Fehler 1. Art. Entscheiden wir uns aufgrund einer Stichprobe für einen Anteil von 80 % und mehr grauen Pkw, so begehen wir den Fehler 2. Art, falls tatsächlich weniger als 80 % graue Pkw fahren. X > 75 Entscheidung für H 0 X 75 Entscheidung für H 1 Als Stichprobe zum Testen der Hypothesen beobachten wir die Farbe von n = 100 Pkw. α = P (X k p = 0,8) 75 = ( 100 x ) 0,8 x 100 x 0,2 = 0,1314 Fahren jedoch nur 70 % graue Pkw auf der Straße in Neustadt, so gilt für β: β = P (X > 75 p = 0,7) 100 = ( 100 x ) 0,7 x 100 x 0,3 x = 76 = 0,1136 P (X k p = 0,8) k = ( 100 x ) 0,8 x 100 0,2 x 5 % k = 72 X > 72 Entscheidung für H 0 X 72 Entscheidung für H 1 Testen von Hypothesen H 0 : p = p 0 gegen H 1 : p = p 1 (Alternativtest) H 1 : p < p 0 (linksseitig) H 1 : p > p 0 (rechtsseitig) H 1 : p p 0 (zweiseitig) Entscheidung für H 1, obwohl H 0 richtig ist. Entscheidung für H 0, obwohl H 1 richtig ist. Die Entscheidungsregel ist abhängig von den Hypothesen. β = P (Entscheidung für H 0 H 1 richtig) P (Fehler 1. Art) α Die kritische Grenze k für die Entscheidungsregel wird zu einem vorgegebenen Signifikanzniveau α ermittelt. 17

18 Testen von Hypothesen Test 1. Bei vielen Kindern im Grundschulalter vermuten die Lehrer eine Lese-Rechtschreib-Schwäche (LRS). Ein diagnostischer Test erkennt Kinder mit LRS mit einer Zuverlässigkeit von 65 %. Ein neuer Onlinetest eines Verlages wird mit dem Slogan beworben: Fundiert, individuell und höchst zuverlässig. Wir sind besser als andere LRS-Tests. a) Formulieren Sie die Nullhypothese und die Gegenhypothese. b) Erläutern Sie jeweils den Fehler 1. und 2. Art im Sachzusammenhang. Geben Sie die Konsequenzen dieser Fehler an. 2. Für den Losverkauf einer Tombola zugunsten des Fördervereins der Albert-Schweitzer-Grundschule bestellt Rachel im Internet fertige Losmischungen. Sie entscheidet sich für Packungen mit einem Anteil von 60 % Gewinnlosen und nicht für die Packung mit 40 % Gewinnlosen. Am Tag der Tombola vermutet Rachel, die falschen Packungen erhalten zu haben. Sie testet ihre Vermutung an einer Stichprobe von 20 Losen und entscheidet sich für das Vorliegen der 60 %-Packung ( H 0 ), wenn sie mindestens 10 Gewinnlose findet. a) Formulieren Sie die Hypothesen. b) Notieren Sie die Entscheidungsregel. Berechnen Sie die Irrtumswahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art. c) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art. d) Beurteilen Sie die beiden errechneten Fehlerwahrscheinlichkeiten. e) Rachel verändert die kritische Grenze der Entscheidungsregel auf k = 7. Ermitteln Sie die beiden Fehlerwahrscheinlichkeiten und vergleichen Sie diese mit den Ergebnissen aus b) und c). f) Nennen Sie eine weitere Möglichkeit, den statistischen Test zu verbessern. 3. Ein Sicherheitsunternehmen wirbt in einer Stadt mit großen Plakaten, um den Bekanntheitsgrad des Angebots Hausnotruf zu erhöhen. Gesundheitlich eingeschränkte Seniorinnen und Senioren, die so lange wie möglich in der eigenen Wohnung bleiben möchten, können sich über ein Zusatzgerät zum Telefon und einen Funksender im Notfall per Knopfdruck an eine Servicestelle wenden. Zurzeit ist der Notruf 73 % der Stadtbevölkerung ein Begriff. Um den Erfolg der Werbemaßnahme zu testen, stellt das Unternehmen 300 Seniorinnen und Senioren die Frage, ob sie den Hausnotruf kennen. Entwickeln Sie für das Unternehmen einen Signifikanztest zum Niveau von 1 %. 4. Ein Glücksrad hat 16 gleichgroße, von 1 bis 16 nummerierte Sektoren. Zur Überprüfung der Fairness wird in 150 Drehungen die Anzahl der gedrehten Einsen gezählt. Ermitteln Sie die Anzahl der Drehungen, die für eine Eichung des Glücksrads auf einem Signifikanzniveau von 5 % erforderlich sind. 18