Einführung in Maple. Kontoerstellung: Einloggen am Rechner und Start von Maple: Allgemeine Eingaben in Maple:

Transkript

1 Einführung in Maple Herzlich willkommen zum Maplepraktikum für Lehramtsstudierende! Um Ihnen den Einstieg etwas zu erleichtern, erklären wir hier ein paar grundlegende Dinge im Umgang mit Maple. Sie werden wichtige Routinebefehle sehen und sollten diese direkt am PC ausprobieren. Kontoerstellung: Bitte melden Sich sich auf der Seite zum Praktikum an. Tragen Sie dabei bitte Ihre im Campus-System angezeigte Gruppe ein. Mit Hilfe Ihrer Matrikelnummer wird nach Anmeldeschluss am Freitag, an den Rechnern im CIP-Pool ein persönlicher Account für Sie erstellt. Danach können Sie auf der Internetseite mit Ihrer TIM-Kennung (diese hat Form ab und ist Ihnen zugeteilt worden) ein Passwort festlegen. Einige Anleitung zum Umgang mit den Computern im CIP-Pool finden sich unter Einloggen am Rechner und Start von Maple: Mit Ihrer Matrikelnummer und Ihrem Passwort können Sie sich dann am Rechner einloggen. In der Benutzeroberfläche öffnen Sie ein Terminal und tippen dort xmaple & ein, worauf das Programm startet. Wenn Sie Maple noch nicht kennen, empfehlen wir Ihnen, sich in der Dokumentation ein wenig umzusehen, dort gibt es auch einführende Abschnitte. Alternativ oder zusätzlich zu den Rechnern im CIP-Pool dürfen Sie auch private Rechner benutzen, wenn Sie darauf Maple installiert haben. Maple findet sich im Softwareportal der RWTH (erreichbar über Campus Office). Allgemeine Eingaben in Maple: Ist Maple einmal gestartet, können Sie mit FILE - NEW - WORKSHEET MODE ein neues Mapleworksheet erstellen. Es erscheint eine Eingabeaufforderung (command prompt) [> hinter welcher Sie Befehle eingeben können. Eine Rechenanweisung endet in Maple immer auf : oder ;. Beispiele: [> 4+4: [> 3-7; Probieren Sie beides aus und finden Sie den Unterschied zwischen den beiden Versionen. Nach der Eingabe einer solchen Anweisung, benutzt man ENTER, um diese auszuführen. Möchte man mehrere Anweisungen nacheinander in einem Block berechnen lassen, kommt man nach einem Befehl mit SHIFT-ENTER in die nächsten Zeile, ohne dass der Befehl sofort ausgeführt wird: 1

2 [> 3+5; # Shift-Enter 2+7; # Enter 8 9 Mit # kann man Zeichen/Zeilen auskommentieren, das heißt, dass hinter einem # stehen kann, was möchte, Maple ignoriert diesen Teil beim Ausführen von Anweisungen. Dies wird wichtig, um bei längeren Programmen zu erklären, was an gewissen Stellen passiert (siehe hierzu das Prozedurenbeispiel weiter unten). Der Befehl [> restart; löscht alle Einträge im Speicher von Maple. Das bedeutet, dass sich Maple nach einem Restart in der Situation befindet, als ob noch keine Rechenanweisung durchgeführt wurde. Am Anfang jedes Worksheets sollte ein Restart durchgeführt werden! Ebenfalls zu Beginn sollten Bibliotheken/Pakete geladen werden, welche Sie im Verlauf des Worksheets benutzen möchten. Dies geschieht mittels with(paketname), zum Beispiel: [> with(linearalgebra); Bibliotheken sind Sammlungen von Befehlen, welche häufig ein bestimmtes (mathematisches) Gebiet abdecken (in obigem Beispiel werden einige Programme rund um das Gebiet der Linearen Algebra bereitgestellt). Nach dem Laden eines Pakets erscheinen alle Befehle, welche in diesem vorhanden sind. Sollten Sie Hilfe zu Aufruf oder Verwendung eines Befehls brauchen, so schreiben Sie [>?Befehlsname Es erscheint die Hilfedatei, in welcher Funktionsweise und Beispiele für den jeweiligen Befehl aufgezeigt werden, zum Beispiel [>?diff Generell gelangen Sie zur Hilfedatei durch den Aufruf?help. Alternativ steht auch die Online-Dokumentation unter zur Verfügung. Ein Computeralgebrasystem lebt natürlich davon, dass man Variablen beliebige (bis auf wenige Ausnahmen) Namen geben und bestimmte Werte zuweisen kann. Dies geschieht stets in der Form [> a:=7; Die Variable a besitzt somit den Wert 7. Nun kann man mit a auch weiterrechnen: [> b:=3*a: # b erhaelt den Wert 3a b; # Ausgabe des Wertes von b 21 Oder ohne eine neue Variable b einzuführen: [> a:=3*a: # a wird ueberschrieben und erhaelt den neuen Wert 3a a; # Ausgabe des Wertes von a 21 2

3 (Daten-)Strukturen in Maple: Maple besitzt verschiedene Möglichkeiten, mehrere Objekte, Zahlen, Variablen etc. zusammenzufassen. Die wohl für das Praktikum am häufigsten gebrauchten Arten sind Listen und Mengen. Eine Liste L definieren wir in der Form [> L:=[3,1,4,1]; und eine Menge M mit [> M:={3,1,4,1}; Mit L[i] bzw. M[i] kann man dann den i-ten Eintrag von L bzw. M ausgeben lassen: [> L[2]; [> M[2]; 1 3 Wie man erkennt, ist Vorsicht geboten: Während eine Liste weder die Reihenfolge noch die Anzahl der eingegebenen Elemente verändert, werden die Elemente einer Menge angeordnet (in welcher Weise auch immer... ) und mehrfach vorkommende nur ein Mal übernommen. Der Befehl nops zählt die Elemente einer Menge bzw. einer Liste: [> nops(l); nops(m); 4 3 Wir sehen, dass L (wie auch eingegeben) aus 4 Elementen besteht, wohingegen M nur 3 besitzt, die 1 ist nur noch einmal in M enthalten. Sind A, B Mengen, so kann man mit [> A union B; # die Vereinigung [> A intersect B; # den Schnitt [> A minus B; # die Mengendifferenz von A und B berechnen lassen. Ist nun L eine Liste oder eine Menge, so erhält man mit op(l) die Folge aller Elemente von L. Einer Liste L ein Element a hinzuzufügen, erreicht man z.b. durch [> L:=[op(L),a]; Um Folgen direkt ausgeben zu lassen, benutzt man den Befehl seq. Es liefert [> seq(2*k, k=1..4); 2, 4, 6, 8 die ersten 4 geraden natürlichen Zahlen. Man kann auch Summen oder Produkte von Folgen ausrechnen lassen: [> sum(2*k-1,k=1..5); berechnet die Summe der ersten 5 ungeraden natürlichen Zahlen und [> product(7*k, k=3..11); das Produkt der Zahlen 7k, wobei k=3,...,11. 3

4 Definition wichtiger mathematischer Objekte: Man kann aber nicht nur Zahlen einen Namen geben, sondern auch Polynomen, Funktionen, Vektoren etc. Zum Beispiel wird durch [> f:=xˆ2+1; das Polynom f = x definiert. Die Funktion g : R R, welche von f induziert wird, erhält man mit [> g:= x -> xˆ2+1; Jetzt kann mit g(6) der Funktionswert an der Stelle 6 berechnet werden, während f(6) kein sinnvolles Ergebnis liefert. Allerdings können trotzdem Ableitungen von f und natürlich auch von g berechnet werden (man achte auf den Unterschied in der Syntax): [> diff(f,x); [> diff(g(x),x); Oder auch Stammfunktionen und Integrale: [> int(f,x); # unbestimmtes Integral, Stammfunktion von f [> int(g(x),x=5..9); # bestimmtes Integral, Grenzen (5 und 9) eingesetzt In vielen Fällen kann Maple sogar Grenzwerte von Funktionen und Folgen berechnen, bzw. deren Existenz überprüfen: [> limit(g(x), x=infinity); [> limit(g(x)/(7*xˆ2-4*x), x=infinity); [> limit(exp(-1/x), x=0); Weiterhin können mit dem Befehl plot Graphen von Funktionen gezeichnet werden: [> plot(g(x),x=2..7); gibt den Graphen von g im Intervall [2,7] aus. Einige elementare Funktionen sind in Maple schon festverankert und können ohne eine weitere Definition aufgerufen werden, unter anderem [> sqrt(x); # Quadratwurzelfunktion [> exp(x); # Exponentialfuntion [> ln(x); # Logarithmus naturalis [> sin(x); # Sinusfunktion [> cos(x); # Cosinusfunktion Aber auch mit Matrizen und Vektoren kann Maple umgehen. Die Eingabe erfolgt dabei in der Form M := Matrix(Zeilenanzahl, Spaltenanzahl, Liste der Eintraege) bzw. v := Vector(Komponentenanzahl, Liste der Eintraege). Alternativ zum Befehl Vector können Matrizen mit nur einer Spalte oder Zeile verwendet werden. Beispiele: [> M:=Matrix(2,2,[1,2,3,-1]); [> v:=vector(2,[-1,1]); [> w:=matrix(2,1,[-1,1]); 4

5 Die Matrixeinträge in der Liste werden dabei zeilenweise in die Matrix geschrieben: [> M; [ 1 2 ] [ 3-1 ] Man kann natürlich auch Matrizen miteinander multiplizieren. Dies erfolgt durch M.M, die Matrix-Vektor- Multiplikation analog durch M.v. Versuchen Sie nun M.v, v.m, M.w, w.m zu berechnen und beobachten Sie die Unterschiede. Die einzelnen Einträge einer Matrix kann man mit [> M[1,2]; und die eines Vektors mit [> v[2]; aufrufen. Zu einer Matrix M liefert [> Transpose(M); die transponierte Matrix M tr. Schleifen, Bedingungen und Prozeduren: Schleifen gibt es in Maple zwei Arten: for-schleife: Man kann die for-schleife auf mehrere Weisen benutzen: [> for i from 5 to 11 do Die Schleifenvariable i startet in diesem Beispiel bei 5 und wird in jedem Schritt um 1 erhöht. Die Befehle, die zwischen do und stehen, werden dabei in jedem dieser Schritte ausgeführt. Ist letztendlich i=11, so werden die Befehle ein letztes Mal berechnet und die Schleife bricht ab. Es ist auch möglich die Zählvariable i in jedem Schritt um mehr als 1 zu erhöhen, was durch [> for i from 5 by 3 to 11 do geschieht. In diesem Fall nimmt i nur die Werte 5, 8 und 11 an. Sollen die Werte für i nicht regelmäßig um einen festgelegten Wert vergrößert werden, sondern aus einer bestimmten Menge oder Liste M stammen, so kann man auch [> for i in M do verwenden. Hierbei nimmt i jeden Wert aus M genau einmal an und die Schritte werden mit dem jeweiligen i durchgeführt. 5

6 while-schleife: Eine while-schleife hat die Form [> while (i>=5) do Man nennt die Anweisung i>=5 in dieser Schleife eine Abbruchbedingung. Die Befehle werden solange durchgeführt, bis i<5 gilt. Sollte i in den Befehlen gar nicht oder so verändert werden, dass i<5 nie erfüllt ist, so wird Maple die Schleife auf Ewigkeit durchlaufen (oder zumindest solange, bis man sie manuell abbricht). Dies kann in einer for-schleife nicht passieren, da dort immer von einem endlichen Bereich bzw. einer endlichen Menge ausgegangen wird. Weiteres zu Schleifen können Sie in der Hilfedatei durch?loop erfahren. Manchmal möchte man gewisse Befehle nur dann ausführen, falls eine bestimmte Bedingung erfüllt ist. Dies kann man mit if-abfragen erreichen: [> if (i=17) then else # optional # optional end if: Ist die Bedingung erfüllt, die hinter if steht (hier i=17), so werden die folgenden Anweisungen umgesetzt. Die optionale else-anweisung und die darauf folgenden Befehle werden genau dann ausgeführt, falls die Bedingung der if-abfrage nicht erfüllt ist. Auch hier können Sie die Hilfe nutzen, um mehr zu erfahren (?if). Nun wollen wir uns noch dem Schreiben von Prozeduren widmen. Eine Prozedur ist ein Programm mit Namen, welches einmal geschrieben wird und dann auf dem gesamten Worksheet verfügbar ist. Die Syntax einer Prozedur lautet dabei wie folgt: [> prozedurname := proc([objekte, die der Prozedur uebergeben werden]) local [Variablen, die nur in der Prozedur verwendet werden]; return [Objekt(e), welche(s) berechnet/ausgegeben werden soll(en)]; end proc: Ein Beispiel zur besseren Illustration: [> facn := proc(n::integer) # Prozedurname, zu uebergebende Variablen (1) local i, fac; # lokale Variablen der Prozedur (2) fac := 1; # zunaechst fac = 1 initialisieren (3) for i from 2 to N do (4) fac := fac*i; # im i-ten Schritt fac mit i multipl. (5) end do; (6) return fac; # fac soll ausgegeben werden (7) end proc: (8) Das Programm berechnet zu gegebenem N N die Fakultät N! und gibt das Ergebnis aus. Betrachten wir kurz die einzelnen Schritte: In Zeile (1) wird der Name der Prozedur (facn, bis auf wenige Ausnahmen frei wählbar) und die Parameter festgelegt, welche zum Ausführen des Programms benötigt werden (hier nur N vom Typ integer (ganze Zahl)). Die Typfestlegung (::integer) ist nicht zwingend und kann auch (sollte aber nicht) weggelassen 6

7 werden. Falls mehrere Werte an die Prozedur übergeben werden sollen, so kann man diese einfach durch Kommas voneinander trennen (z.b. binom := proc(m::integer,n::integer)). In Zeile (2) werden die lokalen Variablen festgelegt. Diese Variablen werden dann nur intern von der Prozedur genutzt und wieder gelöscht, nachdem die Prozedur ihre Arbeit getan hat. Außerhalb der Prozedur sind sie nicht verfügbar. Alle Variablen, die in Ihrem Programm vorkommen und nicht an dieses übergeben werden, sollten hier aufgelistet sein. Zeilen (3) (6) stellen die eigentliche Rechnung dar. Hier wird fac zunächst auf 1 gesetzt und in der for- Schleife wird fac für i = 2,...,N mit i multipliziert. Die nächste Zeile legt fest, was die Ausgabe der Prozedur sein soll (in diesem Fall der Wert von fac am Ende der Schleife. Generell kann in einer Prozedur die Aufforderung return mehr als einmal vorkommen, sobald das Programm an einer solchen Stelle angekommen ist, gibt es das (die) gewünschte(n) Objekt(e) aus und beendet die Prozedur. Schließlich passiert in Zeile (8) nichts mehr, diese wird nur benötigt, um Maple anzugeben, dass spätestens hier angekommen, die Prozedur beendet werden kann. Die Prozedur kann dann z.b. mit [> facn(100); aufgerufen werden. Sie sehen hier auch, dass Maple mit beliebig langen ganzen Zahlen rechnen kann. Die Rechnung ist exakt und das Ergebnis keine numerische Näherung. Sonstiges: Zum Abschluss noch einige wichtige Funktionen und Konstanten, welche Maple kennt und die Sie an manchen Stellen benötigen könnten: [> Pi; # Kreiszahl, [> exp(1); # Eulersche Zahl e [> I; # imaginaere Zahl mit Iˆ2 = -1 [> simplify(...); # vereinfacht Ausdruecke, fasst Terme zusammen [> expand(...); # multipliziert Ausdruecke aus, # z.b. expand((x - a)*(x + a)) = xˆ2 - aˆ2 [> evalf(...); # gibt gerundete, numerische Werte, # z.b. evalf(pi) = Auf Übungsblatt 0 bekommen Sie einige einfache Aufgaben, um die grundlegenden Dinge zu üben, die hier besprochen wurden. Viel Erfolg! 7