11c. Vom UND PARKETTS

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1 IV. BUCH RAUM MIT n-dimensionen 11c. Vom UND PARKETTS Titelbild: Alhambra (Saladin) -- Tilings and Patterns; Grünbaum, Shephard Freeman & Company 1987

2 Anette aus Ungarn hat dieses neue Parkett entdeckt, umrandet von zentrisch symmetrischen Zwölfecken mit doppelter, dreifacher, vierfacher... bis n-facher Seitenlänge. Und mit jedem dieser Zwölfecke lässt sich ein periodisches Parkett konstruieren

3 Pflasterungen mit regelmäßigen Vielecken Um ein reguläres Sechseck passen genau Quadrate und reg. Dreiecke Wenn man das innere Sechseck noch durch 6 Dreiecke ersetzt, hat man ein weiteres reines Quadrat-Dreiecksparkett

4 Dieses Parkettgehört ist strahlig-symmetrisch! Jedes dieser 12-Ecke kann als 12-Eckparkett-Ausgangsvieleck genommen werden, um damit zu einem periodischen Parkett gemacht zu werden, indem man noch die entsprechenden dazugehörenden Dreiecke

5 bzw. Sechsecke und Quadrate einbaut!

6 Parketts links mit Sechsecken bzw. rechts mit Quadraten und gleichseitigen Dreiecken Weitere Möglichkeiten letzterer Art sind Quadratreihen mit Dreiecksreihen abwechselnd oder mit mehreren Dreiecksreihen (oder mit doppelt so großen Dreiecken oder auch mit Sechseck-Dreiecksreihen) Parkett mit doppelt so großen Dreiecken (anstelle der je vier Dreiecke) bzw. rechts gemischtes Parkett

7 Beim ersten könnte man auch mit einfachen und doppelt so großen Sechsecken parkettieren oder drei Sechsecke aneinander legen und sie mit drei mal zwei gleichseitigen Dreiecken zu einem doppelt so großen ergänzen und damit (oder mit wirklich doppelt so großen abwechselnd) parkettieren! Weder bei den acht möglichen halbregelmäßigen oder archimedischen Parkettierungen der Ebene mit regelmäßigen Vielecken, finden sich 7- und 9-Ecke, ja noch nicht einmal regelmäßige Fünfecke oder Zehnecke, noch bei den 14 semiregelmäßigen (polymorphen) Parkettierungen 1, 1 Krötenheerdt 1969; Grünbaum und and Shephard 1986, S )

8 wobei diese Zahl 14 auch mit Vorsicht zu genießen ist: Es könnten auch 20 sein, wie die nächste Abbildung zeigt! Die 20 halbregelmäßigen Parketts Verwenden wir verschiedene aber nur regelmäßíge Vielecke zur Parkettierung der Ebene 2, so fällt schnell auf, dass da mit regelmäßigen Fünf- und Zehnecken gar nichts zu machen ist. Hingegen gibt es aber zwei Parkettierungen mit regelmäßigen 12-Ecken (Zwölfecke direkt aneinander gelegt haben Dreieckslücken). 2

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10 Johannes Kepler ( ) lieferte wesentliche Beiträge zur Theorie der Parkettierungen: Hier Auszüge aus seinem zweiten Band der Harmonice Mundi von Kepler war der Einstein seiner Zeit der noch im tiefen Mittelalter steckenden Zeitgenossen (seine Mutter wurde der Hexerei bezichtigt!), denn er bewies beispielsweise er im ersten seiner drei Gesetze, dass die vollkommenen Kreisbahnen der Himmelskörper in Wahrheit Ellipsen sind, und das lange bevor Newton seine Gravitationstheorie aufstellte! Er starb noch bevor der Dreißigjährige Krieg endete! - er hungerte - und sein wohlverdientes Gehalt wurde ihm bis heute noch nicht vollständig ausbezahlt! 3 Tilings and Patterns; Grünbaum, Shephard; Freeman & Company 1987

11 Kommen wir nun zur Flächenfüllungen mit beleidigen Vielecken! Auf wie viele verschiedene Aren kann man mit einem Viereck parkettieren? Mit jedem beliebigen Dreieck oder Viereck (da Winkelsumme 360 ) kann man die Ebene parkettieren. Fünfeckparkette von M. Rice

12 Man kennt bis heute 14 Typen konvexer Fünfecke, die die Ebene parkettieren 4. Marjorie Rice's Homepage zeigt Fünfeckparketts (von denen sie zumindest drei neu entdeckte) und gibt Links zu vielen anderen 5! Damit man mit Sechsecken die Ebene lückenlos füllen kann (- >Hexagonal Tiling), müssen auch diverse Bedingungen erfüllt sein (Winkelsumme von 360 oder 120 und bestimmte Seiten müssen gleich lang sein). Mit konvexen Vielecken mit mehr als sechs Seiten kann man die Ebene nicht vollkommen zudecken 6. Flächenfüllendes Acht- und Zehneck 4 Wie so oft bei mathematischen Spielereien hat der Wissenschaftsjournalist Martin Gardner dem Problem der konvexen Fünfecke, die die Ebene überdecken, entscheidende Impulse gegeben. Im Jahre 1975 schrieb er in der amerikanischen Zeitschrift "Scientific American" einen Artikel mit dem Titel "On Tesselating the Plane with Convex Tiles". Der Artikel bezog sich auf einen Aufsatz von R.B. Kershner aus dem Jahre 1968, in dem dieser darauf hinwies, dass K. Reinhardt im Jahre 1918 (neben 3 Typen des Sechsecks) 5 Typen des Fünfecks gefunden hatte (Typ 1 bis 5) und er selbst noch 3 weitere (Typ 6,7,8). Auf Grund des Artikels fanden R. James 1975 Typ 10 und M. Rice 9,11,12 und 13 in den Jahren 1976/77. - R.Stein fand 1985 Typ 14 -> Webseite von Eric W. Weisstein (Mathworld), Tiling, Tessellation, Pentagon Tiling, Cairo Tesselation, Dual Tesselation Weitere Fünfecke findet man auf den Webseiten von Livio Zucca Equilateral Pentagons That Tile The Plane And Their Different Tilings und Ed Pegg Jr. (Math Puzzles) The 14 Different Types of Convex Pentagons that Tile the Plane 5 Intriguing Tessellations - By Marjorie Rice. tessellations.home.comcast.net/ Tessellation Tutorials Pentagons that Tile the Plane Tessellation Links The Geometry Junkyard What is a Tessellation? The Impossible tilings Shapes That Tessellate Totally Tessellated Tesselations.org Picture Puzzling 6 Es existieren keine Parketts aus identischen 7-Ecken und höher, obgleich es nichtidentische konvexe Siebeneck-Parkette gibt (Steinhaus 1999, M. Gardner 1984) ->

13 Parkett mit nur Siebenecken Ausgehend von einem reg. Achteck in der Mitte kann man reg. Dreiecke und Achsentrapeze darum herum legen

14 Das aus der Projektion eines Dodekaeders erhaltene Kairo-Parkett 7 Rechts: Parkettierung mit zwei (nicht konvexen) 12-Ecken Die elf Lave Parketts (F. Laves 1931) Die Zahlen beziehen sich auf eine Spiegelung, Drehung, Verschiebung oder Gleitspiegelung Zur Klassifizierung beliebiger Parkettierungen dienen die Laves-Netze und die Ornamentgruppen. Es existiert eine nach Bewegungen geordnet eine Klassifizierung in 17 Ornamentgruppen oder Ebene kristallographische Gruppe auch (englisch) Wallpaper Gruppe genannt ( IV.13 Geometrie und Gruppentheorie) 8 7 Die Strassen Kairos oder Steve Edwards Patterns and tilings arranged by their symmetry groups, Identifying the 17 Plane Symmetry Groups, Tilings from Historical Sources, Tiling links. Für weiteres verweise ich auf K.Bongartz, W.Borho, D.Mertens, A.Steins: Farbige Parkette, Basel, Boston, Berlin 1988 [ISBN ] oder K. Reinhard 1928 und H. Heesch 1935

15 Einem Dreieck aufgesetzte gleichseitige Dreiecke Kapitel I.17 NAPOLEON Nehmen wir z.b. halbregelmäßige Vielecke zum Parkettieren, wie etwa nur Rauten, bei denen ja alle Seiten gleichlang sind, dann eröffnen sich viele neue Möglichkeiten.

16 Escher-Parkett 9 aus Sechsecken Pflasterungen mit folgenden 5 Gebilden 9 Tesselations.org Viele Parketts finden Sie im iv&sa=x&ei=x5rfumx7l8r5sgbz3yhibg&sqi=2&ved=0cdcqsaq&biw=1024&bih=589 insbesondere 5-Eck-Parketts in Marjorie Rice's personal page on the tiling of the Pentagonon Intriguing Tessellations

17 Diese Penrose-Parkettierung wiederholt sich bei einer vollständigen Drehung fünfmal Kommen wir nun zu den >> sich nicht mehr (stur periodisch) wiederholenden<< Mustern, die sich nicht durch Verschiebungen wiederholenden sog. aperiodischen Parketts.

18 Ein Tiling von Roger Penrose mit Drachen und Pfeil Tiling kommt vom Englischen und heißt wörtlich Ziegel. Es ist eine Ausfüllung des Parketts (oder der Pflasterung) mit geeigneten Kacheln oder Fliesen bzw. des Raums mit geeigneten Bausteinen nach gewissen Regeln. Besonders bekannt sind nun die Penrose-Tilings. Es gibt nämlich nicht nur periodische sondern auch sog. aperiodischen Parkettierungen 10, für welche vor allem Roger Penrose 11 zeichnet. Im einfachsten Fall verwendete er dafür 36 und 72 -Rauten, die diversen Verbindungsregel genügen müssen (Punktierungen). 10 Im Spektrum d. Wiss. Feb handelt ein gut geschriebener Artikle von Christoff Pöppel arüber, wo auch folgende Links angegeben sind : home.scarlet.be/~praedsch ww.schoenleber.org/penrose/f-d-penrose.html

19 Püfung der Periodizität

20 Weitere nur aus Drachen und Pfeilen gebildetes Parketts Fünfach-strahlig-symmetrisches Penrose-Muster 12. Die Pfeile symbolisieren die Kantenaufbauregeln und die gestrichelt eingezeichneten Rauten die Deflationsregeln Die Beziehung zum Goldenen Schnitt wird deutlich: cos 72 = ( 5-1)/

21 cos 36 = (1+ 5)/4 Penrose Rauten und Zehneck-Teil zur Erzeugung periodischer (links) und aperiodischer Muster(rechts) 13 Eine weiteres Penrose-Set zur Erzeugung von aperiodischen Parketts Ezeugung von Wang tiles - Tilings and Patterns; Grünbaum, Shephard; Freeman & Company

22 Harmonic Voronoi tessellation

23 Buchempfehlung: Mathematics Enrichment >>EUREKA<< Von Dale G. Deymour u. Richard Gidley Creative publications Inc. Modern Math 1,2, Papy; Collier-Macmillian Limeted Snow Cristalls, W.A. Bentley u. W.J. Humphreys; Dover Publications All Forms in Nature, Ernst Haeckel, Dover Amusements in MATHEMATICS, H.E. Dudeney

24 Nun meinte man, dass in der Natur 5- und 10-zähligen Symmetrien nicht vorkommen könnten. Doch weit gefehlt. Daniel Shechtman 14 vom Israel Institute of Technology in Haifa fand 1984 zu seiner Verblüffung, dass eine Al Mn Legierung im Rasterelektronenmikroskop regelmäßige Fünf- oder Zehnecke aufweist. Und der Abstand von Atomreihen war nicht fest (wie für einen richtigen Kristall), sondern schwankte unsystematisch zwischen zwei festen Werten. Elektronenbeugungsbilder 15 eines ikosaedrischen Al-Pd-Mn Einquasikristalls entlang der Hauptsymmetrieachsen in 2-zähliger (a), 3-zähliger (b) und 5-zähliger (c) Richtung. Die pseudo-2-zähligen-(d) bzw. die "110"-Richtungen (e) befinden sich mittig zwischen zwei benachbarten bzw. senkrechten 2-zähligen Symmetrieachsen Der Nobelpreis - kluge Köpfe und geniale Denker [br] Chemie-Nobelpreis an Daniel Shechtman [F. Buckenmaier, ARD Stockholm] Revolutionäre Entdeckung der Quasikristalle [A. Breitschuh, ARD Stockholm] Quasikristalle sundoc.bibliothek.uni-halle.de/diss-online/03/04h002/t3.pdf

25 Künstlerische Darstellung eines Quasikristalls (=nichtperiodisch geordnete Strukturen) von Uli Gaenshirt für

26 Was Daniel Shechtmann schon 1982 entdeckte und wofür er aber erst 2011 den Nobelpreis für Chemie erhielt, sind die sog. QUASI-Kristalle 16 Entdecker der Quasikristalle Shechtman erhält Nobelpreis "Bloß Quasi-Wissenschaftler" Analog zu den nichtperiodischen Parketts kann man zur nichtregelmäßigen Raumfüllung kommen, indem man durchsichtig-farbige Quader mit kubischen, pyramidalen, zylinder- und/oder kegelförmigen Aufsätzen bzw. den entsprechenden Aushöhlungen an allen sechs Quadratmitten ihrer Oberfläche entwirft, die eine periodische Füllung des Raumes nicht zulassen. 16 Spektrum Dez Quasikristalle;art16698, Entdecker-der-Quasikristalle.html

27 Parallelepiped 17 -Elemente für dreidimensionale Penrosefüllungen z.b. zum Bau dieses Triacontaeder P. Schmitt entdeckte um 1990 einen nichtkonvexen aperiodischen Raumfüll-Polyeder Übrigens fand 1993 J. H. Conway aperiodische Raumfüllungen mit konvexen Polyedern: Das Schmitt-Conway Biprisma r 17 Die Bezeichnung Spat für diese Parallelflachs kommt von den Kristallen des Kalkspats (Kalzium-Carbonat CaCO 3 -Calcit )

28 A U F G A B E N 1a.) Parkettiere mit verschieden großen Dreiecken 1b.) Finde Parketts aus Quadraten und Parallelogrammen

29 1c.) Parkettiere mit Vierecken (Kreisvierecken 18 ) Informiere Dich über Dirichlet-Parkettierungen! 18 Symmetry von Hans Walser, Translated from the original German by Peter Hilton, with the assistance of Jean Pedersen, Published and Distributed by MAA ( THE MATHEMATICAL ASSOCIATION OF AMERICA )

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31 1d.) Finde weitere Fünfeckparketts wie dieses Kronenparkett oben Marjorie Rice

32 2.a) Erkundigen Sie sich im Internet über Parketts der hyperbolischen Ebene (bei der Geraden senkrechte Randkreisbögen sind, und zu denen es durch eine Pinkt auerhalb unendlich viele >>Parallelen<< d.h. nicht-schneidende orthogonale Randkreise gibt) und der elliptischen Ebene (Kugeloberfläche Geraden sind die Grokreise; es gibt keine Parallelen) 19 In der hyperbolischen Ebene gibt es noch mehr regelmäßige und quasiregelmäßige Parkettierungen Die linke quasiregelmäßige Parkettierung ist auf einem Poincare-Modell der hyperbolischen Ebene und besteht aus roten und gelben Fünfecken verbunden oder getrennt durch Quadrate Tessellations Of The Sphere - What Is The History Of Tessellations - Science Tessellations - History Of Tessellations - Software Manipulations Tessellations Of The Sphere - Examples From Real Life Of Tessellations 19 z.b. Hyperbolisch reguläre Parketts: {8,4}, {4,8}. {6,6}, {3,12} {12,3}. Penrose Parketts, Voronoi Diagramme und andere über eine Kugel gezogene Sachen

33 Jos Leys's hyperbolic tiling: THE MATH BOOK by Clifford A. Pickover; FROM PYTHAGORAS TO THE 57TH DIMENSION, 250 MILESTONES IN THE HISTORY OF MATHEMATICS

34 Für Parkettierungen des hyperbolischen Raumes / computer-animierte Bilder Spektrum der Wissenschaften 6/2012 >>Die Geometrie der Horizonte<<

35 2.b) Informiere Dich auch über fraktale Parkettierungen Compendium of Fractal Tilings by Robert Fathauer KnoTiles may be purchased online at Mathartfun (

36 Classification of the Fractal Tilings 21 This digital artwork was created by decorating each tile with ring graphics. 1c.) Suche nach weiteren Parketts 22 wie z.b

37 Die Queen und Teile ihres Empires Ancient_Islamic_Penrose_Tiles Stuhl- und Trilobiten-Kreuz-Parkett

38 3.) Aber auch mit nicht-konvexen Polygonen mit den Sternen können wir sehr schöne Muster erzeugen.

39 Finde weiter Beispiele Erich's Packing Center: Graphics and links for various packing, tiling and covering problems.

40 Links ein Spiralparkett

41 4.) Erforsche die Zonotiles und Zonogons 23 Zonotiles sind konvexe zentrisch-symmetrische Polygone, die mit kleineren parkettiert und eng verwandt mit Quasikristallen und Penrose- Parkettierungen sind. Günter M. Ziegler von der TU Berlin schreibt dazu in seinem Buch >>Lectures on Polytopes<< (1995 Springer-Verlag New York, Inc): Zonotopes are special polytopes that can be viewed in various ways: for example, as projections of cubes, as Minkowski sums of line segments, and as sets of bounded linear combinations of vector configurations. Each of these descriptions gives different insight into the combinatorics of zonotopes. The following includes several such descriptions, all of which lead us to the same "associated" system of sign vectors that describes the combinatorics of a zonotope. The main goal will be to see in what sense zonotopes and arrangements can be considered equivalent, and how the combinatorial structure of a zonotope is given by an oriented matroid. 23