Einführung in die Graphentheorie (Mathematik IIIb)

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1 Die Folien zur Vorlesung (Skript) stehen auf er Homepage vor er Vorlesung zur Verfügung. Formate: PDF, ein- un mehrseitig Einführung in ie Graphentheorie (Mathematik III) Sie können also ie ausgerukten Folien mit in ie Vorlesung ringen un ort mit shriftlihen Bemerkungen versehen. Benutzen Sie zum Druken itte ie mehrseitige Version es Skriptes. Peter Beker Fahereih Informatik, FH Bonn-Rhein-Sieg Vorlesung Wintersemester 2003/04 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 2 Allgemeines zur Vorlesung Üungen Es git eine Homepage zur Vorlesung: Die Vorlesung wir folienasiert gehalten, aer ie Folien enthalten nur ie wihtigsten Aspekte (Definitionen, Sätze, knappe Beispiele, wihtige Bemerkung). Alles was sonst eine Vorlesung ausmaht (Erläuterungen, ausführlihe Beispiele, Beweise von Sätzen, Anwenungen, Querverweise auf anere Geiete er Informatik, et.) git es nur in er Vorlesung selst. Üungen finen Mittwohs verteilt auf rei Gruppen statt. Zuteilung zu en Üungsgruppen: siehe Aushang Erster Üungstermin: Montag, Die Ausgae er Üungslätter finet vor er Vorlesung statt. Beareitungszeit: 6 oer 13 Tage Agegeene Üungsaufgaen weren korrigiert! Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 1 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 3

2 Prüfung Literatur Im Rahmen er Prüfung für Mathematik III zusammen mit Mathematik IIIa Mit Bestehen er Prüfung erhalten Sie 8 Leistungspunkte für ie Veranstaltung Mathematik III. Prüfungstermin: siehe Prüfungsplan Prüfungsform: shriftlih (Klausur) Hilfsmittel: Skript un Fahliteratur D. Jungnikel, Graphen, Netzwerke un Algorithmen, Spektrum Akaemisher Verlag, A. Branstät, Graphen un Algorithmen, Teuner, T. Ihringer, Diskrete Mathematik, Teuner, V. Turau, Algorithmishe Graphentheorie, Aison-Wesley, R. Diestel, Graphentheorie, Springer, L. Volkmann, Graphen un Digraphen, Springer, F. Harary, Graphentheorie, Olenourg, Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 4 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 6 Inhalt 1. Grunegriffe un Bezeihungen 2. Durhsuhen von Graphen S. O. Krumke, H. Noltemeier, H.-C. Wirth, Graphentheoretishe Konzepte un Algorithmen, ZIB Tehnisher Report 00-19, 2000, Weitere Verweise auf Online-Quellen finen Sie auf er Homepage er Vorlesung. 3. Kreis- un Wegeproleme 4. Bäume un Wäler 5. Planare Graphen un Färungen 6. Flüsse un Mathings Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 5 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 7

3 1. Einf ührung Grunegriffe un Bezeihungen 1 Einführung 1. Einf ührung Grunegriffe un Bezeihungen Das Königserger Brükenprolem (2) Grunegriffe un Bezeihnungen Die Astraktion es Prolems: Noren Beispiele Darstellung von Graphen im Computern Insel Osten Süen Git es einen Runweg, er jee Linie (Kante) genau einmal enthält? Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 8 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/ Einf ührung Grunegriffe un Bezeihungen Das Königserger Brükenprolem 1. Einf ührung Grunegriffe un Bezeihungen Das Haus vom Nikolaus Noren Neuer Pregel Pregel Insel Osten Alter Pregel Süen Beispiel 1.1. [Euler, 1736] Git es einen Runweg urh Königserg, er jee er sieen Brüken genau einmal üerquert? a e Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 9 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 11

4 1. Einf ührung Grunegriffe un Bezeihungen Layrinth 1. Einf ührung Grunegriffe un Bezeihungen Beispielgraph Fine einen Weg vom Start zum Ziel urh as Lay- Beispiel 1.2. rinth! Beispiel 1.3. Ein Graph esteht aus Knoten un Kanten. a,,, sin Knoten. Start Ziel e 8 a e 1 e 2 e 4 e 5 Diese Knoten weren urh ie Kanten e 1 is e 8 miteinaner verunen e 3 e 6 e 7 Ein Graph symolisiert ie max. zweistelligen Beziehungen zwishen en Elementen einer Menge. Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 12 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/ Einf ührung Grunegriffe un Bezeihungen Repräsentation als Graph: 1. Einf ührung Grunegriffe un Bezeihungen Graph Start Ziel Definition 1.1. aus: Ein Graph (graph) G = (V, E, γ) ist ein Tripel estehen V, einer niht leeren Menge von Knoten (verties), E, einer Menge von Kanten (eges) un γ, einer Inzienzailung (iniene relation), mit γ : E {X X V, 1 X 2} Zwei Knoten a, V heißen ajazent (ajaent) gw. e E : γ(e) = {a, }. a V un e E heißen inzient (inient) gw. a γ(e). Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 13 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 15

5 1. Einf ührung Grunegriffe un Bezeihungen Beispielgraph (2) 1. Einf ührung Grunegriffe un Bezeihungen Shlihte Graphen e 8 a e 1 e 2 e 4 e 5 V = {a,,, } E = {e 1, e 2,..., e 8 } γ = {(e 1, {a, }), (e 2, {a, }), (e 3, {a, }), Definition 1.3. Eine Kante e E heißt Shlinge (loop) gw. e nur zu einem Knoten inzient ist. e 3 e 6 e 7 (e 4, {, }), (e 5, {, }), (e 6, {, }), (e 7, {, }), (e 8, {a})} Zwei Kanten e 1, e 2 heißen parallele Kanten (parallel eges) gw. sie zu en selen Knoten inzient sin. Ein Graph heißt shliht (simple) gw. G keine Shlingen un keine parallelen Kanten enthält. Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 16 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/ Einf ührung Grunegriffe un Bezeihungen Enlihe Graphen Definition 1.2. Ein Graph G = (V, E, γ) heißt enlih (finite) gw. ie Knotenmenge V un ie Kantenmenge E enlih sin. Bemerkung 1.1. Wir treffen folgene Vereinarung: Im weiteren weren nur enlihe Graphen etrahtet. Der Zusatz enlih wir aei weggelassen. Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/ Einf ührung Grunegriffe un Bezeihungen Bemerkung 1.2. Ein shlihter Graph G = (V, E) wir eshrieen urh eine Knotenmenge V un ie Kantenmenge E, woei E eine Menge zweielementiger Teilmengen von V ist, also E {{v, w} v, w V, v w} Wir etrahten im folgenen fast ausshließlih shlihte Graphen. Beispiel 1.4. a V = {a,,,, e} E = {{a, }, {a, }, {a, e}, {, }, {, }, {, e}, {, }, {, e}} Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 19 e

6 1. Einf ührung Grunegriffe un Bezeihungen Diagramme 1. Einf ührung Grunegriffe un Bezeihungen Knotengrae (2) Graphen können urh Diagramme veranshauliht weren. p q r Jee Kante liefert genau zweimal einen Beitrag zu er Summe er Grae üer alle Knoten. Der sele Graph kann viele vershieene Diagramme haen. Beispiel 1.5. V = {p, q, r, s, t} G = (V, E) mit E = {{p, q}, {p, s}, {p, t}, {q, r}, {q, s}, {q, t}, {r, s}, {s, t}} t p t s q s t r p q s r Lemma 1.1. [Hanshlaglemma] Für jeen enlihen Graphen G = (V, E, γ) gilt: eg(v) = 2 E v V Korollar 1.2. In enlihen Graphen ist ie Anzahl er Knoten mit ungeraem Gra gerae. Beweis. Anernfalls wäre ie Summe er Grae ungerae; Wsp. zum Hanshlaglemma. Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 20 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/ Einf ührung Grunegriffe un Bezeihungen Knotengrae 1. Einf ührung Grunegriffe un Bezeihungen Vollstäniger Graph, Komplement Definition 1.4. Der Gra (egree) eg(v) eines Knotens v V ist ie Zahl er zu v inzienten Kanten. Hierei zählen Shlingen oppelt. Der Maximalgra (G) eines Graphen G ist efiniert urh (G) = max{eg(v) v V} Der Minimalgra δ(g) eines Graphen G ist efiniert urh δ(g) = min{eg(v) v V} Ein Knoten v V mit eg(v) = 0 heißt isoliert. Ein Knoten v V mit eg(v) = 1 heißt Blatt. Definition 1.5. Sei G = (V, E) ein Graph. Gilt {v, w} E für alle v, w V, v w, ann heißt G vollstänig (omplete). Mit K m wir er vollstänige Graph mit m Knoten ezeihnet. Bemerkung 1.3. K m hat ( ) m 2 = m(m 1) 2 Kanten. Definition 1.6. Ḡ = (V, Ē) mit Es sei G = (V, E) ein Graph. Dann heißt er Graph Ē = {{v, w} v, w V, v w} \ E Komplementgraph (omplementary graph) von G. Beispiel 1.6. Tafel. Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 21 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 23

7 1. Einf ührung Grunegriffe un Bezeihungen Untergraph 1. Einf ührung Grunegriffe un Bezeihungen Zusammenhang Definition 1.7. Sei G = (V, E) ein Graph. Ein Graph H = (W, F) mit W V un F E heißt Untergraph (sugraph) von G. Gilt W = V, ann heißt H aufspannener Untergraph (spanning sugraph) von G. Gilt F = {{v, w} {v, w} E, v, w W}, ann heißt H inuzierter Untergraph (inue sugraph) von G. Für solh einen inuzierten Untergraphen shreit man auh G(W). Beispiel 1.7. Tafel. Definition 1.9. Es sei G = (V, E) ein Graph. Zwei Knoten v, w V heißen verinar (onnete) gw. ein Weg von v nah w existiert. G heißt zusammenhängen (onnete) gw. je zwei Knoten von G verinar sin. Eine Zusammenhangskomponente (onnete omponent) von G ist ein urh eine Knotenmenge U V inuzierter Untergraph G(U), er zusammenhängen un ezüglih er Knotenzahl maximal ist. Beispiel 1.9. Tafel. Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 24 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/ Einf ührung Grunegriffe un Bezeihungen Wege un Kreise Definition 1.8. Es sei G = (V, E) ein Graph. Eine Folge (v 0, v 1,..., v n ) von Knoten mit e i := {v i 1, v i } E für i = 1, 2,..., n heißt Kantenzug (walk). Gilt v 0 = v n, so spriht man von einem geshlossenen Kantenzug (lose walk). Ein Kantenzug, ei em ie e i alle vershieen sin heißt Weg (trail). Die Länge es Weges ist n. Ein Weg für en v 0 = v n gilt heißt Kreis (lose trail). Ein Weg zw. Kreis heißt einfah (path zw. yle) gw. ie v j paarweise vershieen sin (zw. mit Ausnahme von v 0 = v n ). 1. Einf ührung Grunegriffe un Bezeihungen Zusammenhang (2) Lemma 1.3. Ein Graph G = (V, E) ist genau ann zusammenhängen, wenn für jee isjunkte Zerlegung V = V 1 + V 2 mit V 1, V 2 ein Kante e = {v, w} existiert mit v V 1 un w V 2. Beweis. Tafel. Satz 1.4. Jeer zusammenhängene Graph G = (V, E) mit n Knoten hat minestens n 1 Kanten. Beweis. Tafel. Beispiel 1.8. Tafel. Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 25 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 27

8 1. Einf ührung Grunegriffe un Bezeihungen Clique 1. Einf ührung Grunegriffe un Bezeihungen Isomorphie (2) Definition Es sei G = (V, E) ein Graph. Eine Knotenmenge U V (zw. er von U inuzierte Untergraph G(U)) heißt Clique (lique) gw. G(U) ein vollstäniger Graph ist. Die maximale Größe einer Clique in G wir mit ω(g) ezeihnet,.h. ω(g) := max{ U U ist Clique in G} Bemerkung 1.4. Zwei Graphen sin genau ann isomorph, wenn er eine Graph aus em aneren Graphen urh Umennenung er Knoten hervorgeht. Isomorphe Graphen haen ie gleihen graphentheoretishen Eigenshaften. Beispiel Tafel. Beispiel Die Knotenmenge {a,,, e} ist ie größte Clique im Haus vom Nikolaus. Also: ω(haus vom Nikolaus) = 4. Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 28 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/ Einf ührung Grunegriffe un Bezeihungen Isomorphie 1. Einf ührung Grunegriffe un Bezeihungen Bäume Definition Zwei Graphen G 1 = (V 1, E 1 ) un G 2 = (V 2, E 2 ) heißen isomorph (isomorphi) gw. es eine ijektive Ailung ϕ : V 1 V 2 git, so aß folgenes gilt: Definition Es sei G = (V, E) ein Graph. G heißt Wal (forest) gw. G keinen Kreis enthält. G heißt Baum (tree) gw. G ein Wal un zusammenhängen ist. v, w V 1 : {v, w} E 1 {ϕ(v), ϕ(w)} E 2 Man nennt ϕ ann einen Isomorphismus von G 1 auf G 2 un shreit G 1 = G2. Beispiel Die Bäume mit fünf Knoten. Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 29 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 31

9 1. Einf ührung Grunegriffe un Bezeihungen Charakterisierung von Bäume 1. Einf ührung Grunegriffe un Bezeihungen Gerihtete Graphen Satz 1.5. Für einen Graphen G = (V, E) mit V = n sin ie folgenen Aussagen äquivalent: 1. G ist ein Baum, 2. je zwei Knoten von G sin urh genau einen Weg verunen, 3. G ist zusammenhängen, aer für jee Kante e E ist G = (V, E \ {e}) niht zusammenhängen, 4. G ist zusammenhängen un hat genau n 1 Kanten, Für viele Anwenungen ist es sinnvoll, ie Kanten mit einer Rihtung zu versehen. Definition Ein gerihteter Graph (irete graph) ist ein Paar G = (V, A) estehen aus en Mengen V, er Menge er Knoten un A, er Menge er gerihteten Kanten (ars), ie aus georneten Paaren (v, w) mit v, w V, v w esteht. Für eine gerihtete Kante a = (v, w) heißt v er Anfangsknoten (tail) un w er Enknoten (hea) von a. Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 32 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/ Einf ührung Grunegriffe un Bezeihungen 5. G ist kreisfrei un hat genau n 1 Kanten, 6. G ist kreisfrei, aer für je zwei niht ajazente Knoten v, w von G enthält G = (V, E {v, w}) genau einen Kreis. Beweis. Tafel. 1. Einf ührung Grunegriffe un Bezeihungen Bemerkung 1.5. Man kann ungerihtete Graphen als gerihtete Graphen etrahten, ei enen ie Relation A symmetrish ist. Definition Es sei G = (V, A) ein gerihteter Graph. ineg(v) := {(x, v) (x, v) A} heißt er Eingangsgra von v V. outeg(v) := {(v, y) (v, y) A} heißt er Ausgangsgra von v V. Ein gerihteter Kantenzug ist eine Folge (v 0,..., v n ) von Knoten mit e i := (v i 1, v i ) A für i = 1,..., n. Die Begriffe aus Definition 1.8 weren analog auf gerihtete Graphen üertragen. Der einem gerihtete Graph G = (V, A) zugeornete ungerihtete Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 33 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 35

10 1. Einf ührung Grunegriffe un Bezeihungen Graph G = (V, A ) ist efiniert urh: {v, w} A gw. (v, w) A oer (w, v) A. 1. Einf ührung Darstellung von Graphen im Computer Ajazenzmatrix G heißt zusammenhängen gw. er zugeornete ungerihtete Graph G zusammenhängen ist. G heißt stark zusammenhängen gw. es für je zwei Knoten v, w V einen gerihteten Weg von v nah w git. Lemma 1.6. Für einen gerihteten Graphen G = (V, A) gilt: ineg(v) = outeg(v) v V v V Beispiel Tafel. Definition Gegeen sei ein Graph G = (V, E) mit V = {v 1,..., v n }, n 1. Dann kann E in Form einer n n-matrix repräsentiert weren. Es sei { 1 falls {vi, v a ij = j } E 0 sonst A G = (a ij ) i,j {1,...,n} heißt ie Ajazenzmatrix (ajaeny matrix) von G. Bemerkung 1.6. A G ist symmetrish un a ii = 0, 1 i n. Analog kann ie Ajazenzmatrix für ie Darstellung gerihteter Graphen verwenet weren. Sie ist ann i..r. niht symmetrish. Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 36 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/ Einf ührung Grunegriffe un Bezeihungen DAGs 1. Einf ührung Darstellung von Graphen im Computer Ajazenzmatrix (2) Definition Ein gerihteter Graph G = (V, A) heißt DAG (ag, irete ayli graph) gw. G keinen einfahen gerihteten Kreis er Länge 2 enthält. v 3 Beispiel Der linke Graph ist ein DAG, er rehte niht. G = v 2 v 4 A G = v 1 v 5 a e a e Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 37 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 39

11 1. Einf ührung Darstellung von Graphen im Computer Ajazenzlisten 2. Durhsuhen von Graphen Tiefensuhe 2 Durhsuhen von Graphen Definition Gegeen sei ein Graph G = (V, E) mit V = {v 1,..., v n }, n 1. Dann kann E in Form einer Liste von n-listen A i repräsentiert weren. Für 1 i n seien v i1, v i2,..., v ni ie mit v i V ajazenten Knoten. Die Liste A i = (v i1, v i2,..., v ni ) Tiefensuhe Breitensuhe Topologishes Sortieren heißt ie Ajazenzliste von v i V. Die Liste L G = (A 1,..., A n ) ist ie Ajazenzlistenarstellung von G. Für einen gerihteten Graphen G = (V, A) enthält ie Ajazenzliste A i ie Knoten w V, für ie (v i, w) A gilt. Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 40 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/ Einf ührung Darstellung von Graphen im Computer Ajazenzlisten (2) 2. Durhsuhen von Graphen Tiefensuhe Tiefensuhe v 1 v 2 v 5 Verallgemeinerung es preorer-durhlaufprinzips für inäre Bäume. v 3 v 2 v 1 v 3 v 4 Kanten weren ausgehen von em zuletzt entekten Knoten v, er mit noh unerforshten Kanten inzient ist, erforsht. G = v 2 v 4 L G = v 3 v 4 v 5 v 2 v 4 v 2 v 3 v 1 v 4 v 5 Erreiht man von v aus einen noh niht erforshten Knoten w, so verfährt man mit w genauso wie mit v. Wenn alle mit w inzienten Kanten erforsht sin, erfolgt ein Baktraking zu v. v 1 v 5 Die Knoten v V erhalten in er Reihenfolge ihres Erreihens eine DFS-Nummer t(v). Zu Beginn setzen wir t(v) = für alle v V. Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 41 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 43

12 2. Durhsuhen von Graphen Tiefensuhe Für einen Knoten v sei ie Prozeur DFSEARCH(v) wie folgt efiniert: i := i + 1; t(v) := i; N(v) := {w {v, w} E}; while w N(v) mit t(w) = o N(v) := N(v) \ {w}; B := B {{v, w}}; DFSEARCH(w); en Algorithmus 2.1. [Tiefensuhe (Depth-First Searh)] Es sei G = (V, E) ein Graph. B := ; i := 0; for all v V o t(v) := ; while v V mit t(v) = o DFSEARCH(v); 2. Durhsuhen von Graphen Tiefensuhe Eigenshaften er Tiefensuhe Bemerkung 2.2. Durh DFS wir jeer Knoten esuht un jee Kante wir untersuht. Ist G niht zusammenhängen, ann weren urh DFS naheinaner ie Zusammenhangskomponenten ermittelt. DFS unterteilt ie Kantenmenge E in ie Menge er Baumkanten (ie Menge B) un ie Menge er Rükwärtskanten (E \ B). (V, B) ilet einen aufspannenen Untergraphen von G, er ein Wal ist. Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 44 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/ Durhsuhen von Graphen Tiefensuhe Bemerkung 2.1. Das Ergenis für t(v) un B hängt i..r. von er Repräsenation es Graphen (z.b. als Ajazenzliste) a. 2. Durhsuhen von Graphen Tiefensuhe Ist G zusammenhängen, ann ist (V, B) ein sogenannter aufspannener Baum von G. Beispiel 2.1. Wir etrahten en folgenen Graphen: Satz 2.1. Der Zeitaufwan für DFS ist O( V + E ). g a e f Durhlauf un weitere Beispiele: Tafel. h Ajazenzlisten: a e a e e a f g h g f h h f g Beweis. Tafel. Definition 2.1. Es sei G = (V, E). Ein Knoten w V heißt Nahfolger von v V gw. DFSEARCH(w) wir nah Eröffnung un vor Beenigung von DFSEARCH(v) aufgerufen. Lemma 2.2. Wenn {v, w} eine Rükwärtskante ist, ann ist v Vorfahr von w oer umgekehrt. Bemerkung 2.3. D.h., urh DFS weren keine sogenannten Querkanten konstruiert. Tafel. Beweis. Tafel. Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 45 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 47

13 2. Durhsuhen von Graphen Breitensuhe Breitensuhe Man geht an einem Knoten niht sofort in ie Tiefe, sonern eareitet zunähst alle noh niht erreihten Naharn ieses Knotens. Anshließen fügt man ie Knoten in eine Warteshlange ein. Ein Knoten gilt als erreiht, wenn er in ie Warteshlange aufgenommen wure. Solange ie Warteshlange niht leer ist, selektiert man einen Knoten aus er Warteshlange un geht wie oen eshrieen vor. Die Knoten v V erhalten in er Reihenfolge ihres Herausnehmens aus er Warteshlange eine BFS-Nummer (v). 2. Durhsuhen von Graphen Breitensuhe Algorithmus 2.2. [Breitensuhe (Breath-First Searh)] Es sei G = (V, E) ein Graph. B := ; i := 0; W := (); for all v V o (v) := ; r(v) := false; en while W = () an v V : (v) = o W := (v); r(v) := true; while W () o wähle ersten Knoten w aus W; entferne w aus W; BFSEARCH(v); en en Beispiel 2.2. Tafel. Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 48 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/ Durhsuhen von Graphen Breitensuhe Für einen Knoten v sei ie Prozeur BFSEARCH(v) wie folgt efiniert: i := i + 1; (v) := i; N(v) := {w {v, w} E} while w N(v) mit r(w) = false o N(v) := N(v) \ {w}; B := B {{v, w}}; füge w an W an; r(w) := true; en Diese Prozeur wir für en jeweils ersten Knoten er Warteshlange W ausgeführt. 2. Durhsuhen von Graphen Breitensuhe Eigenshaften er Breitensuhe Jeer Knoten wir esuht un jee Kante wir untersuht. Es weren naheinaner ie Zusammenhangskomponenten ermittelt. (V, B) ilet einen aufspannenen Untergraphen, er ein Wal ist. Satz 2.3. Der Zeitaufwan für BFS ist O( V + E ). Beweis. Tafel. Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 49 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 51

14 2. Durhsuhen von Graphen Topologishes Sortieren Halornung Definition 2.2. Eine inäre Relation R V V heißt Halornung auf V gw. folgenes gilt: 1. v V : (v, v) R (Reflexivität) 2. v, w V : (v, w) R (w, v) R v = w (Antisymmetrie) 3. u, v, w V : (u, v) R (v, w) R (u, w) R (Transitivität) Beispiel 2.3. Die Teilarkeitseigenshaft efiniert eine Halornung auf en natürlihen Zahlen. 2. Durhsuhen von Graphen Topologishes Sortieren Topologishes Sortieren Algorithmus 2.3. Gegeen sei ein DAG G = (V, A) eshrieen urh seine Ajazenzlisten. Berehnet wir eine topologishe Sortierung, ie urh ie Numerierung t(v) gegeen ist. k := 0; Q := {v V ineg(v) = 0} while Q o wähle ein v aus Q; k := k + 1; t(v) := k; Q := Q \ {v}; for all (v, w) A o ineg(w) := ineg(w) 1; if ineg(w) = 0 then Q := Q {w}; en en Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 52 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/ Durhsuhen von Graphen Topologishes Sortieren Topologishe Ornung Lemma 2.4. Es sei G = (V, A) ein DAG. Die Relation R V V mit (v, w) R gerihteter Weg von v nah w 2. Durhsuhen von Graphen Topologishes Sortieren Beispiel 2.5. Tafel. Satz 2.5. Algorithmus 2.3 liefert in O( V + E ) eine topologishe Sortierung L = (v i1,..., v in ), woei v i er Knoten mit t(v) = i ist. Beweis. Tafel. efiniert eine Halornung auf V. Definition 2.3. Es sei G = (V, A) ein DAG mit V = {v 1,..., v n }. Eine Knotenreihenfolge L = (v i1,..., v in ) aller Knoten aus V heißt topologishe Ornung von G gw. Beispiel 2.4. Tafel. (v ij, v ik ) A = i j < i k Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 53 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 55

15 2. Durhsuhen von Graphen Topologishes Sortieren Zusammenfassung es Kapitels 3. Kreis- un Wegeproleme Eulershe Graphen Das Königserger Brükenprolem Tiefensuhe: Gehe in ie Tiefe solange wie möglih Knotennumerierung un aufspannener, kreisfreier Untergraph Breitensuhe: Prinzip er Warteshlange Anwenungen: systematishes Durhsuhen von Graphen, z.b. Layrinth Ermittlung von Eigenshaften eines Graphen Berehnung von zulässigen Reihenfolgen urh topologishe Sortierung er Knoten Insel Noren Süen Osten Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 56 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/ Kreis- un Wegeproleme Kapitel üersiht 3 Kreis- un Wegeproleme 3. Kreis- un Wegeproleme Eulershe Graphen Eulerweg, Eulerkreis Charakterisierung von eulershen Graphen Bestimmung von eulershen Wegen un Kreisen Hamiltonshe Graphen Definition 3.1. Es sei G = (V, E) ein Graph. Ein Weg, er jee Kante von G genau einmal enthält, heißt eulersher Weg von G. Ein Kreis, er jee Kante von G genau einmal enthält, heißt eulersher Kreis von G. Astäne in Graphen Berehnung kürzester Wege G heißt eulersh gw. G einen eulershen Kreis enthält. Leonar Euler Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 57 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 59

16 3. Kreis- un Wegeproleme Eulershe Graphen Beispiel 3.1. Der Graph es Königserger Brükenprolems sheint niht eulersh zu sein, er sheint auh keinen eulershen Weg zu enthalten. Das Haus es Nikolaus enthält einen eulershen Weg. 3. Kreis- un Wegeproleme Eulershe Graphen Beweis. 1. = : G hae einen eulershen Kreis K = (v 0, v 1,..., v m 1, v 0 ). Dann ist G is auf isolierte Knoten zusammenhängen un tritt er Knoten v in er Folge v 0, v 1,..., v m 1 genau t-mal auf, so gilt eg(v) = 2t,.h. v hat geraen Gra. Das Haus es Nikolaus mit Keller ist eulersh: Weitere Graphen:. a f g e 2. = : Beweis urh vollstänige Inuktion üer ie Zahl er Knoten. Inuktionsanfang: Der Graph G = ({v 0 }, {}) ist eulersh, enn (v 0 ) ist ein eulersher Kreis. Inuktionsannahme: Für Graphen mit höhsten n Knoten gelte ie Behauptung. Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 60 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/ Kreis- un Wegeproleme Eulershe Graphen Charakterisierung von eulershen Graphen 3. Kreis- un Wegeproleme Eulershe Graphen Inuktionsshritt: Sei G = (V, E) ein zusammenhängener Graph mit n + 1 Knoten un un alle Knoten haen geraen Gra. Satz 3.1. [Euler 1736] G hat einen eulershen Weg gw. Es sei G = (V, E) ein Graph. Wähle einen elieigen Knoten v 0 V. v0 G is auf isolierte Knoten zusammenhängen ist un ie Zahl u er Knoten mit ungeraem Gra 0 oer 2 ist. Die Existenz eines Eulerkreises ist äquivalent mit u = 0. Wähle solange ies möglih ist Knoten v 1, v 2,..., so aß (v 0,..., v i ) jeweils ein Weg in G ist. Unter en gegeenen Voraussetzungen entsteht so automatish ein Kreis K. Sei E k ie Menge er Kanten in K. v0 v1 v3 v2 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 61 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 63

17 3. Kreis- un Wegeproleme Eulershe Graphen Wenn K alle Kanten aus E enthält, so ist K ein Eulerkreis. 3. Kreis- un Wegeproleme Eulershe Graphen Berehnung eines Eulerweges Ansonsten ilet man en Restgraphen G = (V, E \ E K ). Algorithmus 3.1. [Hierholzer 1873] Es sei G = (V, E) ein is auf isolierte Knoten zusammenhängener Graph, er nur Knoten mit geraem Gra aufweist. 1. Wähle einen elieigen Knoten v 0 V. Für ie Komponenten es Restgraphen gilt ie Inuktionsannahme. v0 v7 v4 v1 v3 v5 v6 v2 Wähle solange ies möglih ist Knoten v 1, v 2,..., so aß (v 0,..., v i ) jeweils ein Weg in G ist. Unter en gegeenen Voraussetzungen entsteht so automatish ein Kreis K. Setze w := v Prüfe, o K ein eulersher Kreis ist. Wenn ja, ann STOP, ansonsten gehe zu 3. Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 64 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/ Kreis- un Wegeproleme Eulershe Graphen Nun fügt man ie Kreise an Knoten zusammen, ie in K un einer Komponente es Restgraphen enthalten sin. Man läuft entlang K is zu solh einem Knoten, ann entlang es Kreises es Restgraphen un anshließen wieer entlang K. v0 v1 v9 v8 v11 v10 v5 v2 v6 v4 v7 v3 3. Kreis- un Wegeproleme Eulershe Graphen 3. Setze K := K. Laufe a w entlang K un wähle einen in K enthaltenen Knoten w, er mit einer niht in K enthaltenen Kante inzient ist. Konstruiere wie unter 1. ausgehen von w einen Kreis K, er keine Kanten von K enthält. Füge K in en Kreis K an er Stelle w ein. Setze w := w. Gehe zu 2. Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 65 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 67

18 3. Kreis- un Wegeproleme Eulershe Graphen Bemerkung 3.1. Üungsaufgae: Algorithmus von Hierholzer in Pseuo-Coe. Beispiel 3.2. Wir emonstrieren en Algorithmus von Hierholzer an em folgenen Graphen: Tafel. a h g f e 3. Kreis- un Wegeproleme Eulershe Graphen Anwenung von Eulerwegen Dominospiel: Gegeen sin eine Menge S von Spielsteinen, ie auf jeer Seite mit einem Symol markiert sin. Einen Spielstein [A : B] kann man sowohl in ieser Form als auh als [B : A] verwenen. Man arf zwei Spielsteine aneinaner legen, wenn ie sih erührenen Hälften as gleihe Symol aufweisen. Kann man ie Steine er Menge S zu einer ununterrohenen Kette zusammenlegen? Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 68 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/ Kreis- un Wegeproleme Eulershe Graphen Eigenshaften es Algorithmus von Hierholzer Satz 3.2. Algorithmus 3.1 ist korrekt,.h. ei erfüllten Voraussetzungen wir ein eulersher Kreis konstruiert. Beweis. Tafel. Satz 3.3. Die Zeitkomplexität von Algorithmus 3.1 eträgt O( E ). Beweis. Siehe Üungen. 3. Kreis- un Wegeproleme Eulershe Graphen Beispiel 3.3. Gegeen ist ie folgene Menge an Spielsteinen: [A : B] [A : D] [B : C] [C : D] [A : A] [D : D] [B : C] [A : C] [B : D] Zugehöriger Graph: Jee Kante entspriht einem Spielstein. Eulerweg entspriht einer ununterrohenen Dominokette. B A D C Anwenungen in er Praxis: Berehnung von Prozessketten mit möglihst wenigen Unterrehungen. Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 69 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 71

19 3. Kreis- un Wegeproleme Hamiltonshe Graphen Hamiltonshe Graphen 3. Kreis- un Wegeproleme Hamiltonshe Graphen Definition 3.2. Es sei G = (V, E) ein Graph. Ein Weg, er jeen Knoten von G genau einmal enthält, heißt hamiltonsher Weg. Ein Kreis, er jeen Knoten von G genau einmal enthält, heißt hamiltonsher Kreis. G heißt hamiltonsh gw. G einen hamiltonshen Kreis enthält. Sir William Rowan Hamilton Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 72 Aroun the Worl Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/ Kreis- un Wegeproleme Hamiltonshe Graphen Beispiel Kreis- un Wegeproleme Hamiltonshe Graphen Charakterisierung von hamiltonshen Graphen Die Bezeihnung hamiltonsh geht auf Sir William Rowan Hamilton ( ) zurük, er 1859 as Spiel aroun the worl erfan. Die Punkte eines Doekaeers stellten Stäte ar. Die Aufgae es Spiels estan arin, entlang er Kanten es Doekaeers eine Runreise zu unternehmen, ei er man jee Stat genau einmal esuht. Satz 3.4. Es sei G = (V, E) ein Graph mit n := V 3. Gilt: v V : eg(v) n/2, ann ist G hamiltonsh. Beweis. Tafel. Bemerkung 3.2. Das Entsheiungsprolem, o ein Gaph G hamiltonsh ist (HC), ist N P-vollstänig. Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 73 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 75

20 3. Kreis- un Wegeproleme Hamiltonshe Graphen Crashkurs N P-Vollstänigkeit Die Klasse P: Ein Entsheiungsprolem heißt polynomiell lösar, wenn es einen Algorithmus zur Lösung es Prolems git, essen Worst-Case- Laufzeit urh ein Polynom in er Länge er Eingae eshränkt ist. Die Klasse P ist ie Klasse er polynomiell lösaren Proleme. Beispiel: Ist G zusammenhängen? Hat G einen eulershen Kreis? 3. Kreis- un Wegeproleme Hamiltonshe Graphen N P-Vollstänigkeit: Ein Prolem Π aus N P ist N P-vollstänig, wenn aus seiner polynomiellen Lösarkeit P = N P folgt,.h. alle Proleme in N P sin polynomiell lösar. Die N P-vollstänigen Proleme können anshaulih als ie shwersten Proleme in er Klasse N P angesehen weren. Wie kann man zeigen, aß ein Prolem Π N P-vollstänig ist? Man nimmt sih ein Prolem Π, von em man weiß, aß es N P- vollstänig ist un zeigt, aß Π niht leihter ist. Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 76 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/ Kreis- un Wegeproleme Hamiltonshe Graphen Die Klasse N P: Die Klasse N P ist ie Klasse er Entsheiungsproleme, für ie ein Lösungsvorshlag in polynomieller Rehenzeit üerprüft weren kann. Beispiel: Üerprüfung, o eine Knotenfolge eines Graphen einen hamiltonshen Kreis ilet. Beispiel: Üerprüfung, o eine TSP-Tour eine Länge l hat. Es gilt: P N P Gilt sogar P = N P? Man weiß es niht! Man vermutet, aß ies niht er Fall ist. 3. Kreis- un Wegeproleme Hamiltonshe Graphen Genauer: Man reuziert polynomiell Π auf Π,.h. man zeigt, aß man Π in polynomieller Zeit lösen könnte, wenn man Π in polynomieller Zeit lösen könnte. Was ringt einem as in er Praxis? Gelingt er Nahweis er N P-Vollstänigkeit, so zeigt ies, aß man niht zu umm ist, ein polynomielles Lösungsverfahren zu finen. Vermutlih existiert keines. Zuminest hat noh nie jeman ein solhes gefunen un es maht keinen Sinn, nah einem solhen zu suhen. Man kann für große Proleme keine (optimalen) Lösungen erwarten. Anwenung heuristisher statt exakter Verfahren Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 77 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 79

21 3. Kreis- un Wegeproleme Hamiltonshe Graphen Traveling Salesman Prolem 3. Kreis- un Wegeproleme Astäne in Graphen Astäne in Graphen Definition 3.3. Gegeen sei ein vollstäniger Graph G = (V, E) mit einer Kostenfunktion : E IN auf en Kanten. Die Ensheiungsvariante es Traveling Salesman Prolem (TSP) lautet: Existiert ein hamiltonsher Kreis K in G, für en ie Summe er Kantengewihte (K) k ist. Bemerkung 3.3. Die Entsheiungsvariante es TSP ist N P- vollstänig. Definition 3.4. Es sei G = (V, E) ein Graph. Der Astan (v, w) zweier Knoten v, w V ist ie minimale Länge eines Weges von v nah w. Falls es keinen solhen Weg git, setzen wir (v, w) =. Bemerkung 3.4. Die Länge eines Kantenzugs zw. Weges ist efiniert als ie in ihm enthaltenen Kanten. Insesonere gilt also (v, v) = 0 für alle v V. Dies kann urh HC TSP ewiesen weren. Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 80 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/ Kreis- un Wegeproleme Hamiltonshe Graphen TSP als Optimierungsprolem Die Optimierungsvariante es TSP lautet: Fine einen hamiltonshen Kreis mit minimalem Gewiht. Durh ie N P-Vollstänigkeit es zugehörigen Entsheiungsprolems kann es optimal nur für kleine n gelöst weren. Für große n müssen Heuristiken zur Berehnung einer möglihst guten Lösung angewenet weren. Theoretish interessant sin Heuristiken mit Gütegarantie (siehe folgenes Kapitel). 3. Kreis- un Wegeproleme Astäne in Graphen Berehnung von Astänen Algorithmus 3.2. Es sei G = (V, E) ein urh seine Ajazenzlisten A v gegeener Graph un v 0 sei ein Knoten von G. Es weren ie Astäne (v) von v 0 zu v für alle v V erehnet. (v 0 ) := 0; V(0) := {v 0 }; k := 1; for all v V, v v 0 o (v) := ; while V(k 1) o V(k) := for all v {A u u V(k 1)} o if (v) = then (v) := k; V(k) := V(k) {v} en en k := k + 1; en Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 81 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 83

22 3. Kreis- un Wegeproleme Astäne in Graphen Erläuterungen zu Algorithmus 3.2: Ausgehen von V(0) = {v 0 } weren sukzessive ie Mengen V(1), V(2),... erehnet. V(k) esteht aus en Knoten, ie mit Knoten aus V(k 1) ajazent sin, aer niht in V(0)... V(k 1) liegen. Mit Inuktion zeigt man leiht, aß jees V(k) genau aus en Knoten esteht, ie von v 0 en Astan k haen. Dieses Vorgehen entspriht einer Breitensuhe. Die Zeitkomplexität eträgt O( V + E ). 3. Kreis- un Wegeproleme Astäne in Netzwerken Bei en Längen können auh negative Werte sinnvoll sein (z.b. Ertrag, Aufwan). Bei er Definition es Astanes können solhe negativen Längen aer zu Prolemen führen. Wir setzen aher voraus, aß ie Längen niht negativ sin. Definition 3.6. Es sei (G, w) ein Netzwerk, G = (V, E) sowie w(e) 0 für alle e E. Der Astan (v, w) zweier Knoten v, w V in einem Netzwerk ist efiniert als as Minimum er Längen aller Wege von v nah w. Falls es keinen solhen Weg git, setzen wir (v, w) =. Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 84 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/ Kreis- un Wegeproleme Astäne in Netzwerken Astäne in Netzwerken Wir ornen nun jeer Kante eines Graphen eine Länge zu. Typishes Beispiel sin Straßennetze mit Entfernungsangaen. Definition 3.5. Es sei G = (V, E) ein Graph sowie w : E IR eine Bewertung er Kanten mit reellen Zahlen. Das Paar (G, w) heißt Netzwerk. Für jee Kante e E heißt w(e) ie Länge oer as Gewiht von e. Für einen Kantenzug K = (v 0,..., v k ) ist w(k) := k i=1 w({v i 1, v i }) ie Länge von K. 3. Kreis- un Wegeproleme Astäne in Netzwerken Beispiel 3.5. In einem Netzwerk sei jeer Kante e eine Ausfallwahrsheinlihkeit p(e) zugeornet. Setzt man voraus, aß Fehler unahängig voneinaner auftreten, ann ist (1 p({v 0, v 1 })) (1 p({v k 1, v k })) ie Wahrsheinlihkeit für as Funktionieren eines Kantenzuges (v 0,..., v k ). Dieser Wert ist maximal, wenn k i=1 log(1 p({v i 1, v i })) maximal ist. Setzt man w(e) := log(1 p(e)), ann ist ie zuverlässigste Verinung zwishen zwei Knoten v un w äquivalent zu einem kürzesten Weg zwishen v un w. Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 85 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 87

23 3. Kreis- un Wegeproleme Astäne in Netzwerken Kürzeste Wege in Netzwerken 3. Kreis- un Wegeproleme Astäne in Netzwerken Beispiel 3.6. Wir etrahten as folgene gerihtete Netzwerk: Algorithmus 3.3. [Dijkstra] Es sei (G, w) ein Netzwerk mit G = (V, E) un einer nihtnegativen Längenfunktion w auf E sowie v 0 V. Es weren alle Astäne (v) von v 0 zu einem Knoten v V erehnet. 1. Setze (v 0 ) := 0, (v) := für alle v V \ {v 0 }, U := V. v0=a Falls U =, ann STOP. Sonst weiter mit Fine ein u U, für as (u) minimal ist. 4. Für alle v U mit {u, v} E setze (v) := min{(v), (u) + w({u, v})}. 5. Setze U := U \ {u}. Gehe zu 2. e 2 2 f Algorithmus 3.3 liefert hierfür ie folgenen Astäne: v a f e g (v) g Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 88 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/ Kreis- un Wegeproleme Astäne in Netzwerken Bemerkung 3.5. Der Algorithmus von Dijkstra kann analog für gerihtete Graphen verwenet weren. Der Algorithmus kann leiht so erweitert weren, aß niht nur ie Astäne (v 0, v) sonern auh ie kürzesten Wege erehnet weren. Satz 3.5. Nah er Terminierung von Algorithmus 3.3 gilt (v) = (v 0, v) für alle v V. Die Zeitkomplexität es Algorithmus ist O( V 2 ). 3. Kreis- un Wegeproleme Astäne in Netzwerken Beispiel 3.7. Wir etrahten as folgene niht gerihtete Netzwerk: 9 v0=a e f Beweis. Tafel g 2 2 h i Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 89 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 91

24 3. Kreis- un Wegeproleme Astäne in Netzwerken Bemerkung 3.6. In einem Netzwerk mit negativen Katenlängen weren urh en Dijkstra-Algorithmus u.u. falshe Astäne ermittelt un zwar selst ann, wenn keine Kreise negativer Länge existieren. Durh ie Wahl einer geeigneten Datenstruktur für ie Selektion es Knotens u (Shritt 3) kann ie Laufzeit erhelih veressert weren. Für ie Berehnung von Routen in Straßennetzen enötigt man optimierte Varianten es Dijkstra-Algorithmus. 3. Kreis- un Wegeproleme Astäne in Netzwerken Bemerkung 3.7. Wenn man in Satz 3.6 min urh max ersetzt, ann erhält man ie Länge eines längsten Weges. Das allgemeine Entsheiungsprolem, o in einem (ungerihteten) Netzwerk ein (einfaher) Weg er Länge l existiert, ist agegen N P-vollstänig. Die in Satz 3.6 angewenete Vorgehensweise, eine optimale Lösung urh eine estmöglihe Komination er Lösungen zu Suprolemen zu finen, nennt man ynamishes Programmieren. Satz 3.6 läßt sih in einen Algorithmus mit Zeitkomplexität O( V + E ) umsetzen. Beweis. Mit Inuktion üer i. Tafel. Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 92 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/ Kreis- un Wegeproleme Astäne in Netzwerken Kürzeste Wege in DAGs Da in DAGs keine Kreise auftreten, sin negative Kantenlängen unprolematish Satz 3.6. Gegeen sei ein gerihtetes Netzwerk (G, w) mit G = (V, A). Wir lassen auh w(e) < 0 zu. L = (v 1,..., v n ) sei eine topologishe Sortierung von V. Dann ergit sih ie Länge (v 1, v i ) eines kürzesten Weges von v 1 zu einem Knoten v i urh ie folgene Rekursion für (v i ): 1. (v 1 ) = 0 2. Für i > 1: (v i ) = Beispiel 3.8. Tafel. min w(v j, v i ) + (v j ) {1 j<i (v j,v i ) A} 3. Kreis- un Wegeproleme Astäne in Netzwerken Bemerkung 3.8. Mit em Verfahren aus Algorithmus 3.6 können niht nur kürzeste un längste Wege sonern auh Anzahlen von Wegen erehnet weren. Z.B. ie Anzahl er vershieenen Wege von v i nah v j. Hierfür muß er Minimum-Operator urh ie Summenilung ersetzt weren. Für optimale Wege in DAGs git es eine Fülle von Anwenungen. Wir etrahten zwei: Optimale Einteilung in Blöke (z.b. in er Textverareitung) Projektplanung Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 93 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 95

25 3. Kreis- un Wegeproleme Astäne in Netzwerken Bloksatzilung Beispiel 3.9. [Berehnung optimaler Blokungen] Gegeen ist eine Folge F = (1,..., n) von n Gegenstänen. Jeer Gegenstan hat eine Länge l(i). Die Gegenstäne sollen in Blöke eingeteilt weren, woei ie Iealgröße eines Blokes B ist. 3. Kreis- un Wegeproleme Astäne in Netzwerken Gesuht ist eine Blokung, ie eine möglihst kleine Bewertung hat, also eine Anzahl k an Blöken un eine Folge 0 = i 0 < i 1 < i 2 < < i k = n mit k (B L j ) 2 min unter en Beingungen L j = j=1 i j r=i j 1 +1 l(r) B für j = 1,..., k Die Gesamtlänge er Gegenstäne in einem Blok arf B niht üersteigen. Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 96 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/ Kreis- un Wegeproleme Astäne in Netzwerken Die Gegenstäne ürfen niht umsortiert weren. Ein Blok B j ergit sih also urh einen Inex i j mit i j ist as erste Element im Blok j un i j ist as letzte Element im Blok B j. Für ie Aweihung er Länge 3. Kreis- un Wegeproleme Astäne in Netzwerken Beispielprolem: Länge er Gegenstäne: 9, 1, 5, 5, 1, 10 Blokgröße: 10 L j := i j r=i j 1 +1 l(r) eines Blokes B j von B wir eine Bewertung efiniert, ie monoton in er Größe er Aweihung ist, z.b. (B L j ) 2. gierige Einteilung: [9, 1], [5, 5], [1], [10], Bewertung: 81 anere Einteilung: [9], [1, 5], [5, 1], [10], Bewertung: 33 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 97 Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 99

26 3. Kreis- un Wegeproleme Astäne in Netzwerken Moellierung es Prolems als Wegeprolem: V := {0,..., n} E := {(i, j) i < j un j r=i+1 l(r) B} Gewihte: w(i, j) := (B j r=i+1 l(r))2 Jeer Weg von 0 nah n efiniert ann eine zulässige Einteilung in Blöke, woei ie Bewertung ieser Blokung gleih er Länge es Weges ist. 3. Kreis- un Wegeproleme Astäne in Netzwerken Ein Jo j kann erst ann gestartet weren, wenn alle Jos aus P(j) eenet wuren. Wir gehen avon aus, aß Jos parallel eareitet weren können. Man möhte z.b. wissen: A welhem Zeitpunkt kann mit einem Jo egonnen weren? Wie lange wir ein Projekt auern? Welhe Jos sin esoners kritish in ezug auf ie Gesamtauer eines Projekts? Also: Fine einen Weg minimaler Länge von 0 nah n. Auf iesem Prinzip asiert ie Formatierung in TeX. Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/ Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/ Kreis- un Wegeproleme Astäne in Netzwerken Projektplanung mit Netzplantehnik Beispiel [Netzplantehnik mit CPM] Bei er Durhführung umfangreiher Projekte ist es erforerlih, aß einzelne Teilaufgaen (Jos) zeitlih genau aufeinaner agestimmt weren. Hierfür weren häufig Methoen er Netzplantehnik eingesetzt. Die ekannteste Methoe er Netzplantehnik heißt CPM (Critial Path Metho). 3. Kreis- un Wegeproleme Astäne in Netzwerken Beispiel Zusammenau eines Fahrras: Jo Beshreiung Dauer Vorg. a Rahmen vorereiten (Gael, Shutzlehe, usw.) 6 Kettenführung anringen 2 Gangshaltung anringen 3 Kettenlatt an Kurel montieren 4 e Vorerra montieren un anpassen 6 a f Hinterra montieren un anpassen 6 a, g Kurel am Rahmen anringen 3 h Enmontage (Lenker, Sattel, usw.) 12 e,f j Linkel Peal anringen 3,g k Rehtes Peal anringen 3,g J sei ie Menge er Jos eines Projekts. Jeer Jo j J hat eine zugeornete Dauer t(j) sowie eine Menge P(j) J von Vorgängern. Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/ Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 103

27 3. Kreis- un Wegeproleme Astäne in Netzwerken Die Ahängigkeiten er Jos untereinaner können wir in Form eines DAGs repräsentieren. Die Knoten stellen hierei ie Jos ar. Die Kanten stellen Vorgängereziehungen zwishen en Jos ar. a e f j h 3. Kreis- un Wegeproleme Astäne in Netzwerken Die Critial-Path-Metho CPM stellt eine Moellierung ar, ei er ie Jos ie Kanten eines DAGs sin. Die Knoten können als Fertigstellungsereignisse angesehen weren. Projekteginn 2 a e 6 f 6 j 3 g 3 k 3 h Projektene Die Kanten a, e, h stellen einen längsten Weg vom Projekteginn zum -ene ar (kritishe Pfa). g k Die Gesamtlaufzeit es Projekts ist also 24. Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/ Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/ Kreis- un Wegeproleme Astäne in Netzwerken Die Jos a un können offensihtlih sofort egonnen weren. 3. Kreis- un Wegeproleme Astäne in Netzwerken Für ie Projektplanung sin u.a. ie folgenen interessant: Der Jo f kann egonnen weren, wenn a eenet ist un wenn eenet ist. a ist nah einer Dauer von 6 eenet, nah einer Dauer von 5, a erst gestartet weren kann, wenn eenet ist. Somit kann f zum Zeitpunkt 6 egonnen weren. Allgemein: Der frühste Starttermin eines Jos ergit sih urh einen Weg zu iesem Jo mit maximaler Gesamtauer. Hier liegen ie Bewertungen nun auf en Knoten. Tafel: Frühste Starttermine für ie Jos es Beispiels. Projektauer D: Länge eines längsten Weges (kritisher Pfa) vom Projekteginn is zum Projektene. Starttermin für Jos j: Länge eines längsten Weges is zum Startknoten von j. Zeitkritishe Jos: Alle Jos, ie auf einem kritishen Pfa liegen. Pufferzeit für Jo j: D Länge eines längsten Weges, er Kante j enthält. Un warum verzögern sih Projekte trotz ausgefeilter Planungsmethoen? Siehe Üungen. Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/ Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 107

28 3. Kreis- un Wegeproleme Astäne in Netzwerken Die Routen er geringsten Vieoüerwahung Aus er Rheinishen Post vom : New Yorker Wepage suht kamerafreie Wege New York (rpo). Wer in einer Großstat let, kann sih kaum noh ewegen, ohne von iversen Üerwahungskameras aufgenommen zu weren. Da war es zwangsläufig nur eine Frage er Zeit, is sih Wierstan regt. Ein Projekt von US-Bürgerrehtsaktivisten erehnet Usern jetzt ie Route mit er geringsten Vieo- Üerwahung urh New York. 4. Bäume un Wäler Charakterisierung von Minimalger üsten 4 Bäume un Minimalgerüste Definition 4.1. Es ein G = (V, E) ein zusammenhängener Graph. H = (V, E ) heißt Gerüst von G gw. wenn H ein Baum ist un E E gilt. Bemerkung 4.1. Ein Gerüst ist also ein zusammenhängener, zykleinfreier, aufspannener Untergraph von G. Beispiel 4.1. a Gerüste für as Haus vom Nikolaus: e a e a e Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/ Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/ Kreis- un Wegeproleme Astäne in Netzwerken Zusammenfassung es Kapitels 4. Bäume un Wäler Charakterisierung von Minimalger üsten Minimalgerüst Charakterisierung un Berehnung von Eulerwegen (Hierholzer- Algorithmus) Hamiltonshe Wege un Kreise (Berehnung ist shwer) Dijkstra-Algorithmus zur Ermittlung kürzester Wege Dynamishe Programmierung zur Berehnung kürzester Wege in DAGs Anwenungen: Bloksatzilung un Netzplantehnik Definition 4.2. Es sei G = (V, E) ein zusammenhängener Graph mit einer Kantengewihtsfunktion w : E IR. Für F E heißt as Gewiht er Kantenmenge F. w(f) := e F w(e) Es sei H = (V, F) ein Gerüst von G. Dann ist w(h) := w(f) as Gewiht es Gerüstes H. Ein Gerüst H von G heißt Minimalgerüst von G gw. w(h) w(h ) für alle Gerüste H von G. Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/ Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 111

29 4. Bäume un Wäler Charakterisierung von Minimalger üsten Anzahl an Gerüsten Satz 4.1. [Cayley] Es git n n 2 vershieene Gerüste für en vollstänigen Graphen K n (mit n Knoten). Bemerkung 4.2. Vershieen eeutet hier wirklih vershieen un niht nihtisomorph. Beweis Iee: Prinzip er oppelten Azählung: In jeer Matrix ist ie Summe er Zeilensummen gleih er Summe er Spaltensummen Bäume un Wäler Charakterisierung von Minimalger üsten C 1, C 2,..., C t(n,k) ie Bäume mit eg(1) = k. Die t(n, k 1) t(n, k) Matrix A = (a ij ) sei efiniert urh: { 1 falls (Bi, C a ij := j ) verwantes Paar 0 sonst Aus B i kann jee er n 1 Kanten entfernt weren, ausgenommen ie k 1 mit 1 inzienten Kanten. In er i-ten Zeile von A stehen so viele Einsen, wie es verwante Paare (B i, C) git, also genau (n 1) (k 1) = n k. Summe er Zeilensummen von A = t(n, k 1)(n k). In er j-ten Spalte von A stehen so viele Einsen, wie es verwante Paare (B, C j ) git. Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/ Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/ Bäume un Wäler Charakterisierung von Minimalger üsten Sei t(n, k) ie Anzahl er Bäume auf V = {1,..., n}, in enen er Knoten 1 en Gra k hat. 4. Bäume un Wäler Charakterisierung von Minimalger üsten Die in C j mit 1 verunenen Knoten seien y 1,..., y r. y1 Es wir eine Formel für t(n, k) estimmt. Das Ergenis erfolgt urh Aufsummieren üer alle k. 1 y4 y3 B sei ein Baum mit eg(1) = k 1, C sei ein Baum mit eg(1) = k. (B, C) heißt verwantes Paar gw. C aus B entsteht, inem eine Kante {x, y} entfernt un eine Kante {1, y} eingefügt wir. y2 C 1 x y 1 x y Entfernt man eine er Kanten {1, y r }, so entsteht ein Graph mit zwei ZHKs. V r sei ie ZHK, ie y r enthält un n r := V r. Es seien B 1, B 2,..., B t(n,k 1) B C ie Bäume mit eg(1) = k 1 un Ein verwantes Paar (B, C j ) entsteht genau ann, wenn B = (C j \ {{1, y r }}) {{x, y r }} gilt, woei x einer er n 1 n r Knoten in V\({1} V r ) ist. Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/ Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 115

30 4. Bäume un Wäler Charakterisierung von Minimalger üsten Es git also genau (n 1 n 1 ) + + (n 1 n k ) = (k 1)(n 1) Einsen in er j-ten Spalte von A. Summe er Spaltensummen von A = t(n, k)(k 1)(n 1). Das Prinzip er oppelten Azählung liefert zw. t(n, k 1)(n k) = t(n, k)(k 1)(n 1) t(n, k 1) = (n 1) k 1 t(n, k) n k Ausgehen von t(n, n 1) = 1 ergit sih urh Inuktion t(n, n i) = (n 1) i 1 ( n 2 i 1 ) 4. Bäume un Wäler Berehnung von Minimalger üsten Berehnung von Minimalgerüsten Lemma 4.2. Es sei G = (V, E) ein zusammenhängener Graph mit einer Kantengewihtsfunktion w : E IR. Weiterhin sei U V un e 0 eine Kante zwishen U un V \ U mit minimalem Gewiht. Dann existiert ein Minimalgerüst für G, as ie Kante e 0 enthält. Beweis. Falls ein Minimalgerüst T 0 ie Kante e 0 niht enthält, so nehmen wir e 0 zu T 0 un entfernen eine Kante e 1, ie U un V \U verinet. Wegen er Minimalitätseigenshaft von e 0 erhöhen wir amit niht as Gewiht es Gerüstes. Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/ Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/ Bäume un Wäler Charakterisierung von Minimalger üsten Für ie Anzahl t(n) aller Bäume ergit sih somit 4. Bäume un Wäler Berehnung von Minimalger üsten Der Algorithmus von Prim t(n) = = = n 1 t(n, n i) i=1 n 1 ( n 2 (n 1) i 1 i 1 i=1 n 2 ( n 2 (n 1) i i i=0 ) = ((n 1) + 1) n 2 = n n 2 ) Wir eginnen mit einem elieigen Knoten v,.h. U := {v}. In einem Iterationsshritt erehnen wir für alle v V \ U en Knoten w, er am nähsten zu einem Knoten in U liegt. Dieser Knoten w wir selektiert, ie entsprehenen Kante wir in en Baum aufgenommen un w wir in U aufgenommen. Dies setzen wir fort, is alle Knoten in U sin. Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/ Einf ührung in ie Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 119