TC BLIESKASTEL. Abi-Crash-Kurs '16. Wahrscheinlichkeitsrechnung CON

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1 TC BLIESKASTEL Abi-Crash-Kurs '16 Wahrscheinlichkeitsrechnung CON

2 Inhalt 1 Grundlagen Bedingte Wahrscheinlichkeit Kombinatorik Bernoullikette und Binomialverteiung Zufallsgrößen Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Erwartungswert, Varianz und bei binomialverteilten Zufallsgrößen Inhalte/Themen der Abituraufgaben Übungsaufgaben Grundlagen Hier nennen wir nur einige Stichworte aus dem Lehrplan danach geht's zum "abirelevanten" Stoff: Symbolik "wie schreibt man das auf?" "sprachliche und formale Fassungen" Ereignisse Gegenereignis, UND-Ereignis, ODER-Ereignis, Regeln von de Morgan Zerlegungssatz, Vierfeldertafel, Venn-Diagramme Baumdiagramme und Pfadregeln Wahrscheinlichkeitsmaß Kolmogorow, Additionssatz Kombinatorik, Zählverfahren Urnenmodelle o Ziehen von Kugeln mit und ohne Zurücklegen sowie mit und ohne Beachtung der Reihenfolge o Würfel, Glücksräder, Münzen, Codes o k-tupel, k-permutationen, k-teilmengen Modellierungen von Zufallsexperimenten Laplace Bedingte Wahrscheinlichkeit Bernoulli-Wahrscheinlichkeit o Bernoulli-Experiment (Treffer, Niete, Unabhängigkeit, p, q) o Bernoullikette o Binomialverteilung o Summenwahrscheinlichkeiten Zufallsgrößen Charakteristische Größen einer Zufallsgröße Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung bei binomialverteilten Zufallsgrößen 1

3 2 Bedingte Wahrscheinlichkeit In einem Tennisclub spielen 60 männliche und 45 weibliche Mitglieder aktiv Tennis. Der Verein hat außerdem noch 17 passive männliche und 8 passive weibliche Mitglieder. Anlässlich eines Vereinsjubiläums wird unter allen Mitgliedern eine Fahrt nach Wimbledon verlost. aktiv (B) passiv ( ) insgesamt Männer (A) Frauen ( ) insgesamt Berechne die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse: A: Ein Mann gewinnt die Reise. P (A) B: Ein aktives Mitglied gewinnt die Reise. P (B) A B : Ein aktiver Mann gewinnt die Reise. P ( A B) Es wird bekannt gegeben, dass ein aktives Mitglied die Reise gewonnen hat. Wie wirkt sich diese Information auf die Gewinnchance der Männer aus? Sie beträgt jetzt. Durch die Bedingung, dass ein aktives Mitglied gewonnen hat (d.h. dass Ereignis B eingetreten ist), ändert sich die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A: Ein Mann gewinnt die Reise. Man spricht von der bedingten Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B, abgekürzt mit: P( A B) oder PB ( A ) 2

4 A und B seien zwei Ereignisse eines ZE mit P ( B) 0. Für die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B gilt: P( A B) P ( A B) PB ( A) PB ( ) Produktsatz Es sei die Ergebnismenge. Dann gilt für alle Ereignisse A, B mit PA ( ) 0 und PB ( ) 0: P( A B) P( B) P( A B) P( A) P( B A). Unabhängigkeit Es sei P(B) > 0. Das Ereignis A heißt unabhängig vom Ereignis B, wenn gilt: P A B P( A) Sonst heißt A abhängig von B. Spezieller Produktsatz: Für zwei Ereignisse A und B gilt: A und B sind unabhängig P A B P( A) P( B) 3 Kombinatorik Die Kombinatorik beschäftigt sich mit der Anzahl der möglichen Anordnungen bei einem Versuch, wobei sie unterscheidet, ob die Reihenfolge von Bedeutung ist oder nicht und ob Wiederholungen (Zurücklegen) zugelassen werden oder nicht. Meist lässt sich die Berechnung der Möglichkeiten auf das Urnenmodell zurückführen. Beispiel: Ziehen von drei Kugeln (k=3) aus einer Urne mit vier von 1 bis 4 nummerierten Kugeln (n=4) Fall 1: MIT Zurücklegen MIT Beachtung der Reihenfolge = {(1 1 1), (1 1 2), (1 1 3), (1 1 4), (1 2 1), (1 2 2), (1 2 3), (1 2 4), (1 3 1), (1 3 2), (1 3 3), (1 3 4), (1 4 1), (1 4 2), (1 4 3), (1 4 4), (2 1 1), (2 1 2), (2 1 3), (2 1 4), (2 2 1), (2 2 2), (2 2 3), (2 2 4), (2 3 1), (2 3 2), (2 3 3), (2 3 4), (2 4 1), (2 4 2), (2 4 3), (2 4 4), (3 1 1), (3 1 2), (3 1 3), (3 1 4), (3 2 1), (3 2 2), (3 2 3), (3 2 4), (3 3 1), (3 3 2), (3 3 3), (3 3 4), (3 4 1), (3 4 2), (3 4 3), (3 4 4), (4 1 1), (4 1 2), (4 1 3), (4 1 4), (4 2 1), (4 2 2), (4 2 3), (4 2 4), (4 3 1), (4 3 2), (4 3 3), (4 3 4), (4 4 1), (4 4 2), (4 4 3), (4 4 4)} = { 1, 2, 3, 4} 3 = 64 Kombinationen Berechnung: Allgemein: Weitere Beispiele: Fußball Elfer-Wette (Sieg Unentschieden Niederlage) Bei einem Zahlenschloss mit 5 Stellen (k=5) gibt es 10 5 Möglichkeiten für die Zahlenkombination. Man zieht 5 Mal aus einer Urne mit 10 unterscheidbaren Kugeln (Ziffern 0,1,...,9) wobei man nach jedem Ziehen die Kugel wieder zurücklegt und später die Reihenfolge beachtet, in der die Ziffern stehen. 3

5 Fall 2: MIT Zurücklegen OHNE Beachtung der Reihenfolge = {(1 1 1), (1 1 2), (1 1 3), (1 1 4), (1 2 1), (1 2 2), (1 2 3), (1 2 4), (1 3 1), (1 3 2), (1 3 3), (1 3 4), (1 4 1), (1 4 2), (1 4 3), (1 4 4), (2 1 1), (2 1 2), (2 1 3), (2 1 4), (2 2 1), (2 2 2), (2 2 3), (2 2 4), (2 3 1), (2 3 2), (2 3 3), (2 3 4), (2 4 1), (2 4 2), (2 4 3), (2 4 4), (3 1 1), (3 1 2), (3 1 3), (3 1 4), (3 2 1), (3 2 2), (3 2 3), (3 2 4), (3 3 1), (3 3 2), (3 3 3), (3 3 4), (3 4 1), (3 4 2), (3 4 3), (3 4 4), (4 1 1), (4 1 2), (4 1 3), (4 1 4), (4 2 1), (4 2 2), (4 2 3), (4 2 4), (4 3 1), (4 3 2), (4 3 3), (4 3 4), (4 4 1), (4 4 2), (4 4 3), (4 4 4)} 20 Kombinationen Berechnung: Allgemein: Es gibt Möglichkeiten, drei Bärchen (k=3) aus einer Tüte mit Gummibärchen in fünf verschiedenen Farben (n=5) auszuwählen. Mit Zurücklegen, denn man wählt zuerst aus 5 verschiedenen Farben eine aus. Für das zweite Bärchen darf diese Farbe aber auch wieder gewählt werden. Ohne Beachtung der Reihenfolge, denn es ist egal welches Gummibärchen welche Farbe erhält. Fall 3: OHNE Zurücklegen MIT Beachtung der Reihenfolge = {(1 2 3), (1 2 4), (1 3 2), (1 3 4), (1 4 2), (1 4 3), (2 1 3), (2 1 4), (2 3 1), (2 3 4), (2 4 1), (2 4 3), (3 1 2), (3 1 4), (3 2 1), (3 2 4), (3 4 1), (3 4 2), (4 1 2), (4 1 3), (4 2 1), (4 2 3), (4 3 1), (4 3 2)} = 24 Kombinationen (keine Wiederholungen mehr möglich) Berechnung: Allgemein: (Taschenrechner: npr) Weitere Beispiele: Dreierwette beim Pferderennen: Es gibt Möglichkeiten unter 12 gestarteten Pferden die ersten drei Plätze zu tippen. Es gibt Möglichkeiten, 15 Schüler auf 20 unterscheidbare Sitzplätze zu verteilen. Ohne Zurücklegen, denn ein Schüler kann nicht auf 2 Plätzen sitzen. Mit Reihenfolge, da es wichtig ist, wer auf welchem Platz sitzt. Fall 4: OHNE Zurücklegen OHNE Beachtung der Reihenfolge = {(1 2 3), (1 2 4), (1 3 2), (1 3 4), (1 4 2), (1 4 3), (2 1 3), (2 1 4), (2 3 1), (2 3 4), (2 4 1), (2 4 3), (3 1 2), (3 1 4), (3 2 1), (3 2 4), (3 4 1), (3 4 2), (4 1 2), (4 1 3), (4 2 1), (4 2 3), (4 3 1), (4 3 2)} = 4 Kombinationen Berechnung: Allgemein: (sprich: n über k) Taschenrechner: ncr 4

6 Weitere Beispiele: Es gibt Möglichkeiten, aus den Zahlen 1,2,...,49 (n=49) sechs Zahlen (k=6) anzukreuzen (Lotto: "6 aus 49"). Ohne Zurücklegen, denn nach jedem Kreuz ist die Zahl weg. Ohne Reihenfolge, denn es ist egal welche Zahl zuerst angekreuzt wird. Beispielaufgaben 1. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für einen vierstelligen Handy-PIN? 2. Manuelas Handy-PIN ist gerade und hat die Ziffern 1, 3, 4, und 5. Wie könnte ihre PIN lauten? Gib alle Möglichkeiten an. 3. Zum Ausklang einer Geburtstagsfeier wird Eis angeboten. Es gibt fünf Sorten: Erdbeere, Himbeere, Schokolade, Vanille, Zitrone. Jedes Kind darf sich drei Kugeln unterschiedlicher Sorten aussuchen. Wie viele Kombinationen sind möglich? Wie vielen Zusammenstellungen gibt es, wenn die drei Kugeln auch von derselben Sorte sein dürfen? 5

7 4 Bernoullikette und Binomialverteiung Beispiel: Bei einem Multiple-Choice-Test müssen nacheinander 5 Fragen beantwortet werden. Bei jeder Frage gibt es 4 Antwortmöglichkeiten, von denen nur eine richtig ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Kandidat, der seine Kreuze nach dem Zufallsprinzip setzt, genau 3 (mehr als 3) Fragen richtig beantwortet? Das Beantworten einer Frage ist ein Zufallsexperiment mit zwei möglichen Ergebnissen, nämlich "richtig" und "falsch" (also "NICHT richtig"). Ein solches ZE heißt Bernoulli-Experiment. Das Beantworten von mehreren Fragen hintereinander ist ein mehrstufiges Zufallsexperiment, welches aus mehreren gleichen Bernoulli-Experimenten besteht. Man spricht von einer Bernoulli-Kette. Definition: 1. Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit zwei möglichen Ergebnissen. Die beiden Ergebnisse werden i.a. mit Treffer (1) und Niete (0) bezeichnet. Niete, Treffer 0,1 Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer wird mit p, die für eine Niete mit q bezeichnet. Es gilt: q = 1 p 2. Ein mehrstufiges Zufallsexperiment aus n gleichen Bernoulli-Experimenten mit der Trefferwahrscheinlichkeit p bezeichnet man als Bernoulli-Kette der Länge n mit der Trefferwahrscheinlichkeit p. Im Beispiel handelt sich also um eine Bernoulli Kette mit n = 5 und p =0,25. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit für genau 3 richtige Antworten? Dazu zeichnet man am besten ein Baumdiagramm: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eines jeden Weges, der zu genau 3 richtigen Antworten führt? P " genau 3 Treffer" Wie viele dieser Wege gibt es? = 6

8 Formel von Bernoulli: Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Bernoulli-Kette der Länge n mit der Trefferwahrscheinlichkeit p genau k Treffer k n k k n zu erzielen, beträgt: PT k Bn, p, k p 1 p nk Somit gibt es drei Grundaufgabentypen: i. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für k Treffer P(T=k) ii. Berechnung der Trefferwahrscheinlichkeit p iii. Berechnung der Kettenlänge n Beispiel zu iii.: Die Schüler eines Mathe-Kurses verschlafen mit einer Wahrscheinlichkeit von 1% so, dass sie den Unterrichtsbeginn verpassen. Wie viele Schüler dürfen den Kurs maximal besuchen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% keiner der Schüler zu spät kommt. Bernoulli-Kette der Länge n (Anzahl Schüler), p = 1% = 0,01, q = 99% = 0,99, Anzahl Treffer k = 0 P(k=0) 95% = 0,95 3. Logarithmusgesetz Der Logarithmus von Zahlen zwischen 0 und 1 ist negativ! Der Kurs darf von maximal 5 Schülern besucht werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% keiner zu spät kommt. Summenwahrscheinlichkeiten bei Bernoulli-Ketten Bei Bernoulli-Ketten wird oftmals nach der Wahrscheinlichkeit gefragt, dass mindestens oder aber höchstens k Treffer eintreten. Man muss dann über die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten summieren und erhält folgende Formeln: höchstens k Treffer : mindestens k Treffer: mindestens l und höchstens k Treffer: P T k k n i ni p q i0 i P T k n n i ni p q ik i P l T k k n i p q il i ni 7

9 In vielen Fällen kann man den Rechenaufwand dadurch reduzieren, dass man zum Gegenereignis übergeht. Man benutzt folgende Beziehungen: PT k 1 PT k 1 PT k 1 PT k 1 PT k 1 PT k 1 Pl T k PT k PT l PT k PT l 1 Deutlicher werden diese Zusammenhänge bei einem konkreten Beispiel: Ein Sportschütze trifft bei jedem Schuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 65% "ins Schwarze". Er schießt eine Serie von 15 Schüssen. Hinweis: Wichtig ist der Hinweis, dass die W. bei jedem Schuss gleichbleibt, also UNABHÄNGIG von dem vorherigen oder nachfolgenden Schuss ist. X P(k=X) 0,00% 0,00% 0,01% 0,04% 0,24% 0,96% 2,98% 7,10% 13,19% 19,06% 21,23% 17,92% 11,10% 4,76% 1,26% 0,16% (Binomialverteilte Zufallsgröße) 25,00% P(k=X) 20,00% 15,00% 10,00% 5,00% 0,00% Fragt man jetzt nach der Wahrscheinlichkeit, mit der der Schütze höchstens 13-mal trifft, so vereinfacht sich diese Rechnung durch das Gegenereignis "mehr als 13-mal". P("höchstens 13x") = 1 P("mehr als 13x") P(k 13) = 1 P(k > 13) = 1 (P(k = 14) + P(k = 15)) = 1 (1,26% + 0,16%) = 1 1,42% = 98,58% Für große n und größere "Trefferbereiche" sind Berechnungen mit dem Taschenrechner nicht mehr praktikabel. In unserem Abitur werden sind Rechenhilfen mit "Tabellenkalkulationsfunktion" nicht zugelassen. Was jetzt? Tabellenwerke 8

10 Anhang 1: Binomialverteilung (Wahrscheinlichkeitsverteilung) n k 0,02 0,03 0,05 0,1 0,12 0,2 0,25 0,3 0,4 0, ,9604 0,9409 0,9025 0,8100 0,7744 0,6400 0,5625 0,4900 0,3600 0, ,0392 0,0582 0,0950 0,1800 0,2112 0,3200 0,3750 0,4200 0,4800 0, ,0004 0,0009 0,0025 0,0100 0,0144 0,0400 0,0625 0,0900 0,1600 0, ,9039 0,8587 0,7738 0,5905 0,5277 0,3277 0,2373 0,1681 0,0778 0, ,0922 0,1328 0,2036 0,3281 0,3598 0,4096 0,3955 0,3602 0,2592 0, ,0038 0,0082 0,0214 0,0729 0,0981 0,2048 0,2637 0,3087 0,3456 0, ,0001 0,0003 0,0011 0,0081 0,0134 0,0512 0,0879 0,1323 0,2304 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0005 0,0009 0,0064 0,0146 0,0284 0,0768 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0010 0,0024 0,0102 0, ,8171 0,7374 0,5987 0,3487 0,2785 0,1074 0,0563 0,0282 0,0060 0, ,1667 0,2281 0,3151 0,3874 0,3798 0,2684 0,1877 0,1211 0,0403 0, ,0153 0,0317 0,0746 0,1937 0,2330 0,3020 0,2816 0,2335 0,1209 0, ,0008 0,0026 0,0105 0,0574 0,0847 0,2013 0,2503 0,2668 0,2150 0, ,0000 0,0001 0,0010 0,0112 0,0202 0,0881 0,1460 0,2001 0,2508 0, ,0000 0,0000 0,0001 0,0015 0,0033 0,0264 0,0584 0,1029 0,2007 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0055 0,0162 0,0368 0,1115 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0008 0,0031 0,0090 0,0425 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0014 0,0106 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0016 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0, ,6676 0,5438 0,3585 0,1216 0,0776 0,0115 0,0032 0,0008 0,0000 0, ,2725 0,3364 0,3774 0,2702 0,2115 0,0576 0,0211 0,0068 0,0005 0, ,0528 0,0988 0,1887 0,2852 0,2740 0,1369 0,0669 0,0278 0,0031 0, ,0065 0,0183 0,0596 0,1901 0,2242 0,2054 0,1339 0,0716 0,0123 0, ,0006 0,0024 0,0133 0,0898 0,1299 0,2182 0,1897 0,1304 0,0350 0, ,0000 0,0002 0,0022 0,0319 0,0567 0,1746 0,2023 0,1789 0,0746 0, ,0000 0,0000 0,0003 0,0089 0,0193 0,1091 0,1686 0,1916 0,1244 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0020 0,0053 0,0545 0,1124 0,1643 0,1659 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0004 0,0012 0,0222 0,0609 0,1144 0,1797 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0074 0,0271 0,0654 0,1597 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0020 0,0099 0,0308 0,1171 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0005 0,0030 0,0120 0,0710 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0008 0,0039 0,0355 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0010 0,0146 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0049 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0013 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 9

11 Anhang 2: Binomialverteilung (Summenverteilung) n k 0,02 0,03 0,05 0,1 0,12 0,2 0,25 0,3 0,4 0, ,9604 0,9409 0,9025 0,8100 0,7744 0,6400 0,5625 0,4900 0,3600 0, ,9996 0,9991 0,9975 0,9900 0,9856 0,9600 0,9375 0,9100 0,8400 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1, ,9039 0,8587 0,7738 0,5905 0,5277 0,3277 0,2373 0,1681 0,0778 0, ,9962 0,9915 0,9774 0,9185 0,8875 0,7373 0,6328 0,5282 0,3370 0, ,9999 0,9997 0,9988 0,9914 0,9857 0,9421 0,8965 0,8369 0,6826 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9995 0,9991 0,9933 0,9844 0,9692 0,9130 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9990 0,9976 0,9898 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1, ,8171 0,7374 0,5987 0,3487 0,2785 0,1074 0,0563 0,0282 0,0060 0, ,9838 0,9655 0,9139 0,7361 0,6583 0,3758 0,2440 0,1493 0,0464 0, ,9991 0,9972 0,9885 0,9298 0,8913 0,6778 0,5256 0,3828 0,1673 0, ,0000 0,9999 0,9990 0,9872 0,9761 0,8791 0,7759 0,6496 0,3823 0, ,0000 1,0000 0,9999 0,9984 0,9963 0,9672 0,9219 0,8497 0,6331 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9936 0,9803 0,9527 0,8338 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9991 0,9965 0,9894 0,9452 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9984 0,9877 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9983 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1, ,6676 0,5438 0,3585 0,1216 0,0776 0,0115 0,0032 0,0008 0,0000 0, ,9401 0,8802 0,7358 0,3917 0,2891 0,0692 0,0243 0,0076 0,0005 0, ,9929 0,9790 0,9245 0,6769 0,5631 0,2061 0,0913 0,0355 0,0036 0, ,9994 0,9973 0,9841 0,8670 0,7873 0,4114 0,2252 0,1071 0,0160 0, ,0000 0,9997 0,9974 0,9568 0,9173 0,6296 0,4148 0,2375 0,0510 0, ,0000 1,0000 0,9997 0,9887 0,9740 0,8042 0,6172 0,4164 0,1256 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9976 0,9933 0,9133 0,7858 0,6080 0,2500 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9996 0,9986 0,9679 0,8982 0,7723 0,4159 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9900 0,9591 0,8867 0,5956 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9974 0,9861 0,9520 0,7553 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9994 0,9961 0,9829 0,8725 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9991 0,9949 0,9435 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9987 0,9790 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9935 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9984 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,

12 0, , , , ,38580 Abi-Crash Wahrscheinlichkeitsrechnung CON, Zufallsgrößen Stichworte Kenngrößen von ZG: Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Wir betrachten folgendes Würfelspiel: Man würfelt mit 4 Würfeln. Jede "6" erzielt einen Gewinn von einem Euro, es sei denn man würfelt vier Sechsen. Hier beträgt der Gewinn ("Jackpot") 10 Euro. Der Veranstalter verlangt als Einsatz 0,50. Ist das Spiel mit diesem Einsatz fair? Erster Schritt: Wir analysieren zunächst das Zufallsexperiment und bestimmen die notwendigen Wahrscheinlichkeiten. Hier vereinfacht sich das Experiment dahingehend, dass man sich nur die Frage stellen muss, ob eine Sechs oder eben keine Sechs gewürfelt wurde. Betrachten wir das Experiment daher zunächst als 4-stufiges Bernoulli-Experiment: Zweiter Schritt: Ergebnisse der Überlegungen in einer Tabelle dargestellt: Anzahl "6": und P(k=X) Einsatz -0,50-0,50-0,50-0,50-0,50 Gewinn Differenz X -0,50 + 0,50 + 1,50 + 2,50 + 9,50 Dritter Schritt: Berechnung Erwartungswert der ZG X: Vierter Schritt: Interpretation Auf Dauer bei sehr vielen Spielen (Gesetz der großen Zahlen) kann ein Spieler mit Durchschnittlich 17 ct Gewinn pro Spiel rechnen. Für den Veranstalter bedeutet dies ein Verlustgeschäft. Bei einem Einsatz von 0,67 wäre es ein faires Spiel. Darstellung der Zufallsgröße X in einem Histogramm: 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0-0,50 0,50 1,50 2,50 3,50 4,50 9,50 11

13 5.1 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Definition Erwartungswert einer Zufallsgröße: Beispiel: Schießergebnis dreier Sportschützen bei der Olympiaqualifikation. Die Schießleistungen in Serien von 50 Schüssen sind das entscheidende Auswahlkriterium (maximale Punktzahl = 500). Punkte Schütze A 5% 7% 12% 23% 31% 12% 5% 3% 2% Schütze B 4% 9% 13% 19% 27% 20% 6% 1% 1% Schütze C 3% 8% 11% 26% 32% 13% 3% 2% 2% Für welchen der Kandidaten sollte sich die Auswahlkommission der Schützen entscheiden? Mit Hilfe der Tabelle ist eine Entscheidung nur schwer möglich. Hilfsmittel Grafische Darstellung: Histogramme Schütze A Schütze C 40% 40% 30% 30% 20% 20% 10% 10% 0% % % 20% 10% 0% Schütze B Auch mit Hilfe der Histogramme ist eine Entscheidung nur schwer zu finden. Berechnung der Kenngrößen einer Zufallsgröße: Erwartungswert Varianz und Standardabweichung Erwartungswert für A: Erwartungswert für B: Erwartungswert für C: Bei allen Schützen beträgt der Erwartungswert etwa 495,5 Ringe. Immer noch keine endgültige Entscheidung gefallen. Betrachten wir daher die Verteilung der Schießergebnisse um diesen Wert herum: Varianz und Standardabweichung 12

14 Definition Varianz einer Zufallsgröße: Die Berechnung der Varianz nach der Definition ist oftmals sehr aufwändig und fehleranfällig bei der Eingabe in den Taschenrechner. TRICK: Herleitung einer vereinfachten Berechnungsvorschrift für die Varianz. Binomische Formel anwenden: ausmultiplizieren: Summen auseinanderziehen: umformen: die Summen mal "ganz genau anschauen" und noch zusammenfassen: Diese Formel ist zur Berechnung von Varianzen erheblich besser geeignet als die "Grundformel". Einfach die Werte der Zufallsgröße quadrieren und auch diesen Erwartungswert (E(X²)) berechnen. Von diesem Ergebnis zieht man den quadrierten "einfachen" Erwartungswert ab. Fertig. Definition Standardabweichung einer Zufallsgröße: In unserem Beispiel: Schütze A B C Erwartungswert E(X) 495,51 495,51 495,49 Varianz Var(X) 2,8099 2,6099 2,3899 Standardabweichung (X) 1,676 1,616 1,546 Schütze C hat zwar den kleinsten Erwartungswert, dafür "streut" er am wenigsten stark um eben diesen Erwartungswert (weniger "Ausreißer" nach oben oder unten). 13

15 5.2 Erwartungswert, Varianz und bei binomialverteilten Zufallsgrößen Entsprechen die Werte einer Wahrscheinlichkeitsverteilung den Werten einer Bernoulli-Kette B(n;p;k), heißt diese Wahrscheinlichkeitsverteilung binomialverteilt. Für binomialverteilte Zufallsgrößen vereinfacht sich die Berechnung für Erwartungswert und Varianz: Für jede binomialverteilte Zufallsgröße gilt: Also liegen die Ergebnisse mit einer Wahrscheinlichkeit von 68% im Intervall der Standardweichung um den Erwartungswert herum. Beispiel: Ein defekter Parkscheinautomat eines Parkhauses codiert 20% aller Parkkarten so falsch, dass eine Ausfahrt verweigert wird. 100 Autofahrer wollen das Parkhaus verlassen. Schätze ab, wie viele Autofahrer mit einer Wahrscheinlichkeit von 68% Probleme bekommen werden. Berechnung des Erwartungswertes: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 68% liegt die Anzahl der angehaltenen Autos zwischen 16 und 24. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95,5% liegt die Anzahl der angehaltenen Autos zwischen 12 und 28. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,7% liegt die Anzahl der angehaltenen Autos zwischen 8 und

16 6 Inhalte/Themen der Abituraufgaben Im Überblick: Die Inhalte der Abituraufgabenstellungen aus dem Saarland (G-Kurs-Niveau) 2010 HT "Urne und Glücksrad" Zufallsexperiment (Urne) Wahrscheinlichkeiten angeben Zweistufiges Zufallsexperiment (Urne + Glücksrad) - Baumdiagramm Wahrscheinlichkeiten angeben Bedingte Wahrscheinlichkeit Bernoullikette 2010 NT "Verkehrsstau, Brücke und Kreisel" Zufallsexperiment Grundlagen (Theorie) Nachweis Unabhängigkeit Ereignisse verbalisieren Vierfeldertafel aufstellen Bedingte Wahrscheinlichkeit Bernoullikette ( P(X=11), P(X14), P(X14) ) 2011 HT "TuS Springdorf " Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit von Ereignissen Ereignisse verbalisieren Bernoullikette 2011 NT "Fischer Petri" Baumdiagramm Bedingte Wahrscheinlichkeit Bernoullikette Unvereinbarkeit und Unabhängigkeit von Ereignissen (Theorie) 2012 HT "Abiturjahrgang" Vierfeldertafel Ereignisse verbalisieren Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit von Ereignissen Baumdiagramm, Summenregel Bernoullikette 2012 NT "Werbegeschenke und Taschenlampen" Bernoullikette Baumdiagramm Bedingte Wahrscheinlichkeit 2013 HT "Eurojackpot" Kombinatorik!!! Baumdiagramm Bedingte Wahrscheinlichkeit Bernoullikette 2013 NT"Urne, Kaninchenzucht und Smartphones" Zufallsexperiment, Wahrscheinlichkeitsmaß (Theorie) Bedingte Wahrscheinlichkeit Bernoulli 2014 HT "Mützen- und Trinkverbot" Bedingte Wahrscheinlichkeit Bernoulli Baumdiagramm Zufallsgröße, Erwartungswert 2014 NT 15

17 2015 HT Vierfeldertafel Bedingte Wahrscheinlichkeit Beschreibung von Ereignissen Bernoullikette, Binomialverteilte Zufallsgröße Erwartungswert (binominalverteilte Zufallsgröße) P(X 18) P (X 1) = 1 P(X=0) 2015 NT Vierfeldertafel Bedingte Wahrscheinlichkeit Beschreibung von Ereignissen Bernoullikette, Binomialverteilte Zufallsgröße Erwartungswert (binominalverteilte Zufallsgröße) Zufallsexperiment Glücksrad, Ergebnismenge Zufallsgröße mit Erwartungswert (Gewinn/Verlust) 16

18 7 Übungsaufgaben Aufgabe 1 Experiment 1: Ein idealer Würfel wird zweimal hintereinander geworfen und nach jedem Wurf wird die Augenzahl notiert Notieren Sie die Ergebnismenge in geeigneter Form Erklären Sie die Begriffe unmögliches und sicheres Ereignis Begründen Sie, dass es sich bei diesem Zufallsexperiment um ein Laplace-Experiment handelt Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse: A = Pasch (Beide Augenzahlen sind gleich) B = Die beiden gewürfelten Augenzahlen unterscheiden sich um 4 C = Es werden zwei unterschiedliche Augenzahlen gewürfelt Experiment 2: Bei diesem Experiment werden zwei ideale und nicht unterscheidbare Würfel gleichzeitig geworfen und die geworfene Augensumme notiert Geben Sie auch für dieses Experiment die Ergebnismenge an Handelt es sich auch hier um ein Laplace-Experiment? Begründen Sie ihre Antwort! 1.7. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis D = Die Augensumme ist 4. Experiment 3: Ein idealer Würfel wird dreimal hintereinander geworfen Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal eine 6 zu würfeln? 1.9. Wie oft muss man mindestens würfeln, um mit 95%iger Wahrscheinlichkeit mindestens eine 6 zu würfeln? Aufgabe 2 An einer bestimmten Krankheit leiden 0,1% der Bevölkerung. Ein Diagnosetest erkennt eine erkrankte Person zu 99%. Leider werden aber auch völlig Gesunde mit einer Wahrscheinlichkeit von 2% als krank eingestuft Veranschaulichen Sie die Situation in einem geeigneten Baumdiagramm Eine Person wird nach Durchführung des Tests als krank eingestuft worden. Wie ist dieses Testergebnis zu beurteilen? Aufgabe 3 In einer Urne befinden sich 20 gleichartige Kugeln: 10 gelbe, 6 rote und 4 blaue. Wir betrachten folgendes Experiment: Es wird zunächst eine Kugel gezogen und deren Farbe notiert. Die Kugel wird nicht zurück in die Urne gelegt. Dann wird eine weitere Kugel gezogen und auch diese Farbe notiert Notieren Sie die Ergebnismenge in geeigneter Form Begründen Sie: Es handelt sich nicht um ein Laplace-Experiment Zeichnen Sie ein geeignetes Baumdiagramm zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse Wir betrachten folgende Ereignisse: A: Beide Kugeln sind blau. B: Die zweite Kugel ist blau. C: Keine Kugel ist blau. D: Mindestens eine Kugel ist blau. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse. 17

19 Das Experiment wird wie folgt verändert: Die gezogene Kugel wird zurück gelegt. Man interessiert sich nur noch dafür, ob die gezogene Kugel rot ist. Man zieht nun mehrmals hintereinander Begründen Sie: Das veränderte Experiment erfüllt die Voraussetzungen eines Bernoulli-Experiments Es wird 5-mal gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, genau zweimal eine rote Kugel zu ziehen? 3.7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei insgesamt 5 Zügen dafür, mindestens zweimal eine rote Kugel zu ziehen? Aufgabe 4 Ein Firmenmitarbeiter fährt zum Hauptsitz der Firma regelmäßig auf der kürzeren Route A oder auf der längeren Route B. Die Wahl der Route erfolgt spontan. Aufgrund langjähriger Erfahrungen wird in der Regionalpresse die Staugefahr für die Route A mit 80 %, für die Route B mit 45 % angegeben. Bei der Jahresauswertung seines Fahrtenbuches stellt der Mitarbeiter fest, dass er sich bei durchschnittlich zwei Drittel aller Fahrten für die Route B entschieden hat Fertigen Sie für das Zufallsexperiment Fahrten des Mitarbeiters ein Baumdiagramm an und tragen Sie die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten an den Pfaden ein. Betrachten Sie dazu die folgenden Ereignisse: A: Es wird die Route A gewählt. (1/3) B: Es wird die Route B gewählt. (2/3) S: Der Mitarbeiter gerät in einen Stau. (57%) N: Der Mitarbeiter gerät in keinen Stau. (43%) Formulieren Sie die Wahrscheinlichkeiten P(S), P S (A) sowie P N (B) in Worten und berechnen Sie diese Wahrscheinlichkeiten. P(S): 57%, P S (A): 47%, P N (B): 85% 4.2. Berechnen Sie für die Route A und für die Route B jeweils die Wahrscheinlichkeit, mit welcher der Mitarbeiter bei drei aufeinander folgenden Fahrten jedes Mal in einen Stau gerät. 3xA und Stau: 51% 3xB und Stau: 9% Begründen Sie, warum ein BERNOULLI-Experiment vorliegt Bei einem BERNOULLI-Experiment trete ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p ein. Geben Sie jeweils einen Ausdruck zur Berechnung an, mit der dieses Ereignis bei n-maliger Durchführung des BERNOULLI-Experimentes genau k-mal mindestens k-mal höchstens k-mal eintritt. Aufgabe 5 Eine Sportartikelfirma stellt Bälle her. Zwei Drittel der Bälle sind weiß, die übrigen rot. Im Schnitt haben 5% der weißen und 10% der roten Bälle einen Fehler. 5.1 Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter 50 getesteten Bällen a. sich genau drei rote Bälle mit einem Fehler befinden. b. alle Bälle einwandfrei sind. c. genau 5 Bälle einen Fehler haben. 18

20 Durch Qualitätsmanagement gelingt es der Firma, bei der Produktion der roten Bälle die Fehlerquote ebenfalls auf 5% zu senken. 5.2 Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich jetzt unter 100 bei der Endkontrolle getesteten Bällen a. genau 5 fehlerhafte Bälle b. mehr als 5 fehlerhafte Bälle c. zwischen 5 und 10 fehlerhafte Bälle? 5.3 In einer Kiste befinden sich 20 weiße und 10 rote Bälle. Ein Roboter greift willkürlich hinein und verpackt für eine Lieferung 10 Bälle. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind genau 8 Bälle weiß? Aufgabe 6 Ein Diskettenhersteller garantiert, dass 96% der von ihm gelieferten Disketten fehlerfrei sind. 6.1 Für ein Software-Produkt werden 3 Disketten benötigt. Diese werden gleichzeitig einer Großpackung mit nicht unterscheidbaren Disketten entnommen. Zeichnen Sie ein Baumdiagramm für diesen Vorgang und tragen Sie die Wahrscheinlichkeiten bei den einzelnen Zweigen ein. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: A: Genau eine der entnommenen Disketten ist defekt. B: Höchstens eine der Disketten ist defekt. 6.2 Eine Packung enthält 50 Disketten. Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl defekter Disketten in der Packung. Dann kann X als binomialverteilt angesehen werden. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis C: Die Großpackung enthält mehr als eine defekte Diskette. 6.3 Der Disketten-Hersteller konnte die Qualität seiner Produkte verbessern. Er stellt fest, dass unter 50 Disketten mit einer Wahrscheinlichkeit von 36,4% alle Disketten fehlerfrei sind. Ermitteln Sie, in welcher Höhe nunmehr eine Garantie für fehlerfreie Disketten durch diesen Hersteller übernommen werden kann. Aufgabe 7 Ein Versandhaus wird von einer Firma mit Artikeln für Haushaltselektronik beliefert. Eine Lieferung umfasst 200 Artikel, bei denen von einer Ausschussquote von p=0,06 ausgegangen wird. Die Zufallsgröße X beschreibe die Anzahl defekter Artikel in der Lieferung. 7.1 Begründen Sie, dass die Zufallsgröße X binomialverteilt ist. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung der Zufallsgröße. 7.2 Um zukünftig genauere Aussagen über den Ausschuss in einer Lieferung treffen zu können, soll die Anzahl der Artikel in der Stichprobe für die Qualitätskontrolle neu festgelegt werden. Die Ausschussquote betrage weiterhin p = 0,06. Ermitteln Sie die Mindestanzahl der Artikel in einer Stichprobe, so dass die Stichprobe mit höchstens 10 % Wahrscheinlichkeit keinen defekten Artikel enthält. 19

21 Aufgabe 8.1 Die Befragung unter Studienanfängern an einer Universität hat ergeben, dass 75% aller neuen (weiblichen) Studentinnen und 65% aller neuen (männlichen) Studenten gerne Sport treiben. 54% aller Studienanfänger sind weiblich (Studienanfänger beinhaltet männliche UND weibliche). 1. Stellen Sie den Sachverhalt in einer Vierfeldertafel und zwei Baumdiagrammen dar. 2. Zeichnen Sie ein den Sachverhalt darstellendes Venn-Diagramm. 3. Berechnen Sie für die zufällige Auswahl einer der befragten Personen die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse: Die zufällig ausgewählte Person a. ist männlich und treibt gerne Sport. b. treibt gerne Sport. c. ist männlich. Wie groß ist die W., dass dieser ungern Sport treibt? d. treibt gerne Sport. Mit welcher W. ist die Person weiblich? Aufgabe 8.2 Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass 70% aller Studienanfänger (m + w) gerne Sport treiben. Weiterhin wird angenommen, dass die Anzahl der gerne Sport treibenden Personen einer Binomialverteilung genügt. 1. Mit welcher W. findet man in einer Zufallsstichprobe unter 100 ausgewählten Personen a. genau 70 sportbegeisterte (8,68%) b. weniger als 75 sportbegeisterte (83,69%) c. mindestens 60 und höchstens 71 sportbegeisterte (62,32% - 1,25% = 61,07%) d. mehr als 75 sportbegeisterte (100% - 88,64% = 11,36%) 2. Wie viele Personen muss man auswählen, damit einer W. von mindestens 99,9% mindestens eine Person dabei ist, die NICHT gerne Sport treibt. (mindestens 20 Personen) 3. Wie groß müsste die Einzelwahrscheinlichkeit p (Person die gerne Sport treibt) sein, damit die W., unter 10 zufällig ausgewählten Personen mindestens eine sportbegeisterte zu finden, bei mindestens 99% liegt. (p > 36,9%) Aufgabe 9 Ein Gerät besteht aus Bauteilen zwei T 1 und T 2. Erfahrungsgemäß treten bei 1000 Geräten im ersten Jahr im Mittel folgende Defekte auf: In 72 Geräten wird nur T 1 defekt. In 22 Geräten wird nur T 2 defekt. In 6 Geräten werden T 1 und T 2 defekt Formulieren Sie folgende Ereignisse in Worten: a. T 1 T 2 b. T 1 T 2 c. T 1 T Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass a. das Gerät defekt ist. b. im ersten Jahr in einem Gerät T 1 defekt ist, wenn man bereits weiß, dass T 2 defekt ist. c. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass entweder nur T 1 oder nur T 2 defekt ist. 20