1 Einstimmung 2. 2 Allgemeine Eigenwertprobleme Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren Wichtige Eigenschaften...

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1 Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 4 Universität Basel Mathematik 2 Dr Thomas Zehrt Eigenwerte und Eigenvektoren Inhaltsverzeichnis Einstimmung 2 2 Allgemeine Eigenwertprobleme 5 2 Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren 6 22 Wichtige Eigenschaften 8 3 Diagonalisierung einer Matrix 2 4 *Anwendung : Input-Output-Modelle* 4 4 Einführung 4 42 Modell ohne externe Nachfrage 5 43 Modell mit externer Nachfrage 9 5 *Anwendung 2: Demographische Entwicklung* 2 6 Übungsaufgaben 24

2 2 Einstimmung In den Wirtschaftswissenschaften treten Eigenwerte und Eigenvektoren vorwiegend in folgenden Bereichen auf: Stabilitätsuntersuchungen ökonomischer Systeme Wachstumsmodelle mit mehreren Sektoren Statistik und Ökonometrie Beispiel (Einkommensentwicklung in einer Volkswirtschaft mit 2 Sektoren Bezeichnungen: x,t x 2,t für t,, 2, Einkommen von Sektor in der t-ten Periode Einkommen von Sektor 2 in der t-ten Periode Es gelte die folgende Dynamik bei der Einkommensentwicklung: x,t+ x,t + 4 x 2,t oder x 2,t+ 3 x,t + 6 x 2,t ( x,t+ x 2,t+ } {{ } x t+ ( 4 ( x,t } 3 6 {{ }} x 2,t {{ } A x t Wir werden erkennen, dass die Systemdynamik ganz entscheidend vom Starteinkommen beider Sektoren abhängt Variante : Starteinkommen x ( Einkommensentwicklung beider Sektoren: x A x x 2 A x x 3 A x 2 x 4 A x 3 ( ( ( ( ( ( 4 9 ( ( 24 ( 4 9 ( ( 24 ( 259 3

3 3 Variante 2: Starteinkommen x ( 2 Einkommensentwicklung beider Sektoren: x A x ( ( 2 ( 24 2 x 2 A x ( ( 24 2 ( x 3 A x 2 ( ( ( x 4 A x 3 ( ( ( In beiden Sektoren wachsen die Einkommen in der 2 Variante mit demselben konstanten Faktor 2! Es herrscht dynamisches Gleichgewicht Der Grund dafür ist die spezielle Wahl des Startvektors ( 2 x x denn es gilt ( ( 2 ( 2 2 aber es gibt keine reelle Zahl λ, so dass ( ( ( λ

4 4 Auch in einer Graphik lässt sich der Unterschied zwischen beiden Startvektoren erkennen ( ( ( ( ( 2 ( 24 2 (

5 5 2 Allgemeine Eigenwertprobleme gegeben: quadratische Matrix A A n n gesucht: λ R und x R n, x, so dass A x λ x Definition 2 Eine solche (reelle Zahl λ heisst Eigenwert von A Der zugehörige Vektor x heisst Eigenvektor von A zum Eigenwert λ Ein Eigenvektor x zum Eigenwert λ ist nicht eindeutig bestimmt Eigentlich sollte man zunächst besser von Eigengeraden sprechen, denn mit jedem Eigenvektor ist auch jedes Vielfache dieses Vektors wieder Eigenvektor zum selben Eigenwert Genauer: Ist der Vektor x ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ, so ist auch jedes Vielfaches von x ein Eigenvektor von A zum selben Eigenwert Das zeigt sofort die folgenden Rechnung Ist α R, α, so gilt: A (α x α A x α (λ x λ (α x Also hat auch der um α gestreckte oder gestauchte Vektor α x die Eigenschaft eines Eigenvektors zum Eigenwert λ Deshalb wäre es eigentlich besser von Eigengeraden oder Eigenvektorräumen zu reden Beispiel 2 Es gilt ( ( 2 ( 24 2 ( 2 2 Berechnen Sie ( ( 4 2 ( ( 5

6 6 2 Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren Für einen Eigenwert λ mit zugehörigem Eigenvektor x von A gilt: A x λ x A x λ I x A x λ I x (A λ I x Man erhält das homogene lineare Gleichungssystem (A λ I x das natürlich immer die Lösung x hat Dieser Vektor ist aber kein Eigenvektor (nach Definition Wir suchen also weitere Lösungen des Systems, was bedeutet, dass dieses System dann unendlich viele Lösungen haben sollte Natürlich gibt es genau dann (weitere Lösungen x, wenn die Matrix (A λ I singulär ist! Kriterium: (A λ I singulär det(a λ I }{{} p A (λ Definition 22 Der Ausduck p A (λ det(a λ I ist ein Polynom vom Grad n in λ, das als charakteristisches Polynom von A bezeichnet wird Die Nullstellen λ, λ 2, von p A (λ sind die Eigenwerte von A Um die zugörigen Eigenvektoren zu berechnen, lösen wir dann die linearen Gleichungssysteme: (A λ I x ( x ( Eigenvektor zu λ (A λ 2 I x (2 x (2 Eigenvektor zu λ 2 (A λ 3 I x (3 x (3 Eigenvektor zu λ 3

7 7 Aufgabe 2 Bestimmen Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix Lösung: A 6 4 Charakteristisches Polynom: p A (λ λ 3 + 4λ 2 λ 6 Erste Nullstelle raten: λ Polynomdivision (siehe Vorkurs: ( λ 3 + 4λ 2 λ 6 : (λ + λ 2 + 5λ 6 Also: p A (λ λ 3 + 4λ 2 λ 6 (λ + ( λ 2 + 5λ 6 Nullstellen des quadratischen Polynoms λ 2 +5λ 6 bestimmen: λ 2 2 und λ ( x x 2 x 3 x ( t x x 2 x 3 x x 2 x 3 x (2 t x (3 t

8 8 22 Wichtige Eigenschaften Eigenschaft Satz p A (λ det(a λi ist ein Polynom vom Grad n in λ und hat höchstens n reelle Nullstellen ( a b Beispiel 22 n 2 A c d ( a λ b A λi c d λ p A (λ (a λ(d λ bc λ 2 (a + d λ + ad }{{}}{{ bc } :sp(a det(a Nullstellen: λ,2 a + d 2 ± (a + d 2 4 det(a Das charakteristische Polynom kann hier zwei verschiedenen reelle Nullstellen, zwei gleiche reelle Nullstellen oder keine reelle Nullstelle haben A ( 2 2 λ,2 ± ( 3 3, zwei (verschiedene reelle Nullstellen ( 3 A 3 λ,2 3 ± 9 9 3, 3 zwei (gleiche reelle Nullstellen ( A λ,2 ±? keine reellen Nullstellen

9 9 Eigenschaft 2 Satz 2 Eigenvektoren x,, x r zu paarweise verschiedenen Eigenwerten λ,, λ r sind linear unabhängig Beweis (r 2: Es gilt also Ax λ x und Ax 2 λ 2 x 2 mit λ λ 2 Ansatz: t x + t 2 x 2 Es folgt: A A(t x + t 2 x 2 t Ax + t 2 Ax 2 t λ x + t 2 λ 2 x 2 Also t x + t 2 x 2 λ t λ x + t 2 λ 2 x 2 t λ x + t 2 λ x 2 - ( t λ x + t 2 λ 2 x 2 t 2 (λ λ 2 }{{} Somit muss t 2 gelten und mit der ersten Gleichung folgt auch t Beide Eigenvektoren sind also linear unabhängig x 2

10 Aufgabe 22 Die Matrix (aus Aufgabe hatte die Eigenvektoren x A 6 4, x 2 2 4, x 3 3 9, zu den paarweise verschiedenen Eigenwerten, 2 und 3 Zeigen Sie, dass diese drei Vektoren linear unabhängig sind Lösung:

11 Eigenschaft 3 Satz 3 Ist die Matrix A symmetrisch (A T A, so sind Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal Beweis: Es gelte Aa λa und Ab µb mit λ µ Dann gilt: λ a b λ a T b (Aa T b a T A T b a T (A T b a T (Ab a T µ b µ a T b µ a b und da λ µ ist, muss a b sein! Aufgabe 23 Die symmetrische Matrix hat die Eigenvektoren x 2 A 2 2, x 2, x 3, zu den paarweise verschiedenen Eigenwerten, 2 und 3 Zeigen Sie, dass diese drei Vektoren paarweise orthogonal sind Lösung:

12 2 3 Diagonalisierung einer Matrix Wir wollen die folgende Frage behandeln: Gibt es zu einer gegebenen (n n-matrix eine invertierbare Matrix B, so dass B AB eine Diagonalmatrix ist? ( Im allgemeinen gibt es eine solche Matrix nicht Betrachten Sie zb die Matrix Definition 3 Eine (n n-matrix A heisst diagonalisierbar, wenn es eine invertierbare Matrix B gibt, so dass B AB eine Diagonalmatrix ist Es gilt der folgende schöne Zusammenhang Satz 4 Eine (n n-matrix A ist genau dann diagonalisierbar, wenn sie n linear unabhängige Eigenvektoren hat Beweis: Seien b, b 2,, b n die linear unabhängigen Eigenvektoren von A zu den Eigenwerten λ, λ 2,, λ n Wir bilden die Eigenvektormatrix B b b 2 b n in der einfach alle Eigenvektoren als Spaltenvektoren zusammengefasst werden Dann gilt AB Ab Ab 2 Ab n dh die Spaltenvektoren von AB sind gerade die Vektoren Ab, Ab 2,, Ab n Beachten wir noch die Eigenvektoreigenschaft folgt AB Ab Ab 2 Ab n λ b λ 2 b 2 λ n b n λ b b 2 b n λ 2 λ n BD wobei D die Diagonalmatrix ist, deren Diagonaleinträge gerade die Eigenwerte von A sind Da die Spaltenvektoren von B linear unabhängig sind (nach Definition hat B maximalen Rang und ist invertierbar Aus der Gleichung AB BD folgt daher durch Multiplikation mit B von links B AB D Wir verzichten auf einen Beweis der zweiten Aussage des Satzes: Eine diagonalisierbare Matrix besitzt n linear unabhäbgige Eigenvektoren

13 3 Der angegebene Beweis gibt uns auch ein Rezept dafür, wie man eine (diagonalisierbare Matrix diagonalisieren kann Beispiel 3 Die Matrix A Also ist B ( 2 B AB und B ( 2 4 hat die Eigenwerte und Eigenvektoren ( λ 2 b ( λ 2 3 b 2 2 ( 2 ( 2 ( 2 4 und kurze und direkte Rechnung ergibt: ( 2 ( 2 3

14 4 4 *Anwendung : Input-Output-Modelle* 4 Einführung Wir betrachten n verschiedene Industrien (zb Stahlindustrie, Kohleförderung und Erzförderung in einem geschlossenen System Dann hängt einerseits der Ausstoss (Output zb der Stahlindustrie vom Eingang (Input der erzeugten Güter aus allen n Industien ab, denn um eine Tonne Stahl zu produzieren benötigt man (mindestens Erz, Kohle und auch Stahl einer bestimmten Menge Andererseits wird natürlich auch der Output von Stahl von (fast allen anderen Industrien als Input benötigt Im allgemeinen sollte man hier natürlich darum bemüht sein, dass die Outputmengen aller n Industrien zu den Inputmengen,,passen, dh dass man unter anderem nicht mehr und nicht weniger Stahl produzieren sollte, wie sämtliche Industriezweige benötigen Wir wollen zunächst einige vereinfachende Annahmen treffen: Jeder Industriezweig produziert genau ein Gut 2 Jeder Industriezweig benötigt ein festes Verhältnis von Inputgütern für die Produktion eines bestimmten Outputs 3 Die Produktion in jedem Industriezweig geschieht linear homogen, dh eine k-fache Erhöhung des (gesamten Inputs bringt auch einen k-fachen Output des entsprechenden Gutes hervor

15 5 42 Modell ohne externe Nachfrage Es seien die n verschiedenen Industrien H, H 2,, H n gegeben Die Produktionsmengen (zb gemessen in kg, Tonnen, Stück, sämtlicher Industrien werden zunächst einheitlich in CHF (als Preis der produzierten Menge angegeben Weiterhin sei a ij der Preis, für den Industrie H j von H i Waren einkaufen muss, um selbst seine eigene Ware im Wert von CHF (innerhalb einer festen Zeitperiode produzieren zu können Für n 3 Industrien könnte man den Warenaustausch durch das folgende Diagramm beschreiben: a H a 2 a 3 a 2 a 3 H 2 a 32 a 22 a 33 H 3 a 23 Einkauf H H 2 H 3 H a a 2 a 3 Verkauf H 2 a 2 a 22 a 23 H 3 a 3 a 32 a 33 Die Matrix A (a ij beschreibt dann die kompletten wirtschaftlichen Beziehungen der beteiligten Industrien Da keine Exporte stattfinden, ist die Summe der j-ten Spalteneinträge gleich dem Wert der Gesamtwarenmenge, die Industrie H j bei allen Produzenten einkaufen muss, um seine Ware im Wert von - CHF zu produzieren, dh für jedes j, 2,, n gilt n i a ij a j + a 2j + + a nj (CHF Bemerkung: Matrizen mit dieser Eigenschaft heissen stochastische Matrizen oder auch Markov-Matrizen Ist

16 6 der Vektor n Komponenten gleich, so gilt T A (,,, ( n i a i, (,,, n i a a n a 2 a 2n a n a nn a i2,, n i a in oder auch T A T ( T A T ( T T Beispiel 4 Wir betrachten n 3 Industrien, deren Warenaustausch durch das folgende Diagramm beschrieben wird: H H 8 2 H Einkauf H H 2 H 3 H 2 3 Verkauf H H Die den Produktaustausch beschreibende Matrix A hat damit die Gestalt A

17 7 In dem Vektor x x x 2 x n bezeichne x i die Gesamtproduktion der Industrie H i Die Grösse n j a ij x j a i x + a i2 x a in x n ist dann die Gesamtwarenmenge, die die Industrie H i an sämtliche Industrien liefert und ist damit gleich der Gesamtproduktion von H i (geschlossenes System, dh es gilt für alle i, 2,, n: n j a ij x j a i x + a i2 x a in x n x i ( oder Ax x (A Ix dh der Vektor x ist ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ Damit der Wirtschaftskreislauf reibungslos und ohne Überschüsse zu produzieren, funktioniert, müssen wir also zur Matrix A einen Eigenvektor x zum Eigenwert finden Beispiel 42 Wir betrachten wieder die in Beispiel beschriebene Situation Im Vektor x x x 2 x 3 bezeichne x i die Gesamtproduktion der Industrie H i Dann gilt (muss gelten x + 2x 2 + 3x 3 x 3x + x 2 + 3x 3 x 2 6x + 8x 2 + 4x 3 x 3 oder

18 8 9x + 2x 2 + 3x 3 3x x 2 + 3x 3 6x + 8x 2 6x 3 Um das Input-Output-Problem zu lösen, müssen wir den Vektor x bestimmen In Matrixschreibweise: II 2 II mit der Lösung x 3 t R, x t und x 3 7 t oder : x t 3/7 3/7 I : ( 4

19 9 43 Modell mit externer Nachfrage Die Situation bleibt die gleiche wie im vorhergehenden Abschnitt Wir verlangen nur zusätzlich, dass jede Industrie H i auch b i Einheiten ihres Gutes zur Erfüllung der (externen Endnachfrage produzieren soll Wir fassen diese Endnachfragemengen zu einem Vektor zusammen: b Ausserdem fällt die Bedingung, dass alle Spaltensummen der Matrix A gleich sind weg, da hier kein geschlossener Kreislauf vorliegt Die Gleichungen ( müssen dann entsprechend modifiziert werden: Für alle i, 2,, n gilt: b b 2 b n n j a ij x j + b i a i x + a i2 x a in x n + b i x i oder Ax + b x (A Ix b

20 2 5 *Anwendung 2: Demographische Entwicklung* Lineares dynamisches System zur Bevölkerungsentwicklung (vereinfachende Annahme: Die Bevölkerung bestehe nur aus Arbeitern und Rentnern und die Anzahl Arbeiter bzw Rentner am Ende des t-ten Jahres bezeichen wir mit A t bzw R t Ein Teil der Arbeiter geht in Rente, sagen wir ra t und neue Arbeiter werden geboren, sagen wir ba t Die Anzahl der Arbeiter im Jahr t + ist dann A t+ A t + ba t ra t ( + b ra t Ein Teil der Rentner stirbt und neue Rentner kommen hinzu Gehen wir wieder von stets konstanten Raten aus so ergibt sich im Jahr t + Matrizenschreibweise: R t+ R t dr t + ra t ( At+ R t+ ( + b r r d ( At R t Zentrale Fragen: Was sagt dieses Modell über die Bevölkerungsentwicklung ausgehend von einem beliebigen Startpunkt A, R? Wie entwickelt sich das Verhältnis von Rentnern zu Arbeitern, dh der Quotient über die Zeit? Bismarcks Zeit: R t A t Jede Frau bekam im Durchschnitt 3 Kinder und es arbeiteten fast ausschliesslich Männer Gehen wir davon aus, dass jeder Mann verheiratet war, so können wir die Geburten direkt den Arbeitern zurechnen Mit der Lebensarbeitszeit von 4 Jahren und einer Lebenserwartung von Jahren für Rentner erhalten wir: b 3 4, r 4, d 2 7-ger Jahre: Jede Frau bekam im Durchschnitt 2 Kinder und es arbeiteten etwa die Hälfte aller Frauen (jedes Kind zählt etwa für 5 Arbeiter Mit der Lebensarbeitszeit von 4 Jahren und einer Lebenserwartung von 5 Jahren für Rentner erhalten wir: b 5 4, r 4, d 5

21 2 3 Prognose für 25: Jede Frau bekommt im Durchschnitt 4 Kinder und es arbeiteten Frauen und Männer gleichermassen (jedes Kind zählt etwa für 2 Arbeiter Mit der Lebensarbeitszeit von 3 Jahren und einer Lebenserwartung von 2 Jahren für Rentner erhalten wir: b 7 3, r 3, d 2 Nun wollen wir versuchen, allgemeine Aussagen über den Quotienten Rt A t Nehmen wir an, dass die Matrix ( + b r U r d zu machen die Eigenwerte λ und λ 2 sowie die zugehörigen linear unabhängigen Eigenvektoren v und w hat, dh es gilt Uv λ v und Uw λ 2 w Dann können wir jeden Startvektor unserer Population schreiben als: ( A R a v + a 2 w a ( v v 2 + a 2 ( w w 2 mit a, a 2 R Dann gilt: ( At R t t Faktoren {}}{ U U U U ( A R U t U (a v + a 2 w U t (a Uv + a 2 Uw U t (a λ v + a 2 λ 2 w U t 2 ( a λ 2 v + a 2 λ 2 2w ( a λ t v + a 2 λ t 2w ( a λ t v + a 2 λ t 2w a λ t v 2 + a 2 λ t 2w 2

22 22 Aus der Kenntnis der Eigenwerte und Eigenvektoren von U könnten wir für jedes t auch den gesuchten Quotienten konkret bestimmen: Es gilt R t A t a λ t v + a 2 λ t 2w a λ t v 2 + a 2 λ t 2w 2 λ + b r und v r +r d λ 2 d und ( w Aufgabe 5 Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix U und kontrollieren Sie das obige Resultat

23 23 Damit gilt: ( At R t ( a r a λ t b r+d λt + a 2 λ t 2 und somit R t a r b r+d λt + a 2 λ t 2 A t a λ t r b r + d + a 2 a ( t λ2 λ wobei der zweite Summand gegen konvergiert, falls λ > λ 2 bzw b + d > r gilt In diesem Fall folgt sofort R t lim t A t r b r + d und das,,langfristige,, Verhältnis von Rentnern zu Arbeitern ist nur noch von den Variablen b, r und d abhängig Aufgabe 52 Berechnen und interpretieren Sie den Ausdruck Bismarcks Zeit, 2 die 7-ger Jahre und 3 das Jahr 25 Welche persönlichen Schlussfolgerungen ziehen Sie aus diesem Ergebnis? r für die drei Fälle: b r + d

24 24 6 Übungsaufgaben Weisen Sie nach, dass die drei Vektoren v, v 2 2, v 3 paarweise orthogonale Eigenvektoren der Matrix A Ermitteln Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A diagonalisieren Sie A (falls möglich 3 Ermitteln Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A und diagonalisieren Sie A (falls möglich 4 Ermitteln Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A sind ( und und diagonalisieren Sie A (falls möglich ( a a 5 Sei A 2 eine so genannte Markov-Matrix, dh A ist eine nicht-negative a 2 a 22 Matrix, deren sämtliche Spaltensummen gleich sind: a ij, a + a 2 und a 2 + a 22 Zeigen Sie, dass λ ein Eigenwert von A ist 6* (Zusatzaufgabe Sei A eine invertierbare Matrix und λ eine reelle Zahl mit der Eigenschaft (A λiv (für einen bestimmten Vektor v Zeigen Sie, dass (A Iv gilt λ (Kurz: Ist λ ein Eigenwert von A, so ist ein Eigenwert von λ A Merken Sie sich das, denn wenn Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A kennen, kennen Sie auch die der Matrix A

25 25 Lösungen einiger Übungsaufgaben - 2 λ 3, x ( 3 Musterlösung ( und λ 2, x (2 ( 2 Zur Bestimmung der der Eigenwerte und der Eigenvektoren der Matrix 2 A 7 3 gehen wir schrittweise vor Wir bestimmen die Eigenwerte als Nullstellen des charakteristischen Polynoms von A p A (λ det(a λe det λ 2 7 λ 3 λ λ(7 λ(3 λ + 2(7 λ Die Nullstellenbestimmung eines Polynomes dritten Grades ist im Allgemeinen keine einfache Aufgabe Es gibt zwar eine Möglichkeit, eine reelle Nullstelle durch Wurzeln auszurechnen, wir haben diese Formel aber nicht behandelt Deshalb wird man den charakteristischen Polynomen in diesen Fällen mindestens eine Nullstelle,,ansehen,, können und man sollte im obigen Fall die Terme nicht ausmultiplizieren, sondern den gemeinsamen Faktor ausklammern Der Rest in den eckigen Klammern ist ein quadratisches Polynom, dessen beide reellen Nullstellen und 2 auch mit der p-q-formel hätte bestimmt werden können p A (λ λ(7 λ(3 λ + 2(7 λ (7 λ [ λ(3 λ + 2] (7 λ [ λ 2 3λ + 2 ] (7 λ (λ 2 (λ Die drei Eigenwerte sind also λ 7, λ 2 2 und λ 3 Nun setzen wir die gefundenen Eigenwerte in das homogene Gleichungssystem (in Matrixschreibweise λ 2 7 λ 3 λ ein und bestimmen alle Lösungsvektoren

26 26 λ 7 Wir erhalten hier das homogene Gleichungssystem mit der Lösung: x ( t +7 III : ( 3 λ 2 2 Wir erhalten hier das homogene Gleichungssystem III mit der Lösung: x (2 t λ 3 Wir erhalten hier das homogene Gleichungssystem III mit der Lösung:

27 27 x (3 t 2 Insgesamt haben wir also die folgenden Eigenwerte mit ihren zughörigen Eigenvektoren gefunden: λ 7, x ( λ 2 2, x (2 λ 3, x (3 2 4 λ 5, x ( λ 2 4, x (2 2 3 λ 3, x (3 5-6 Hinweis: Multiplizeren Sie die Gleichung (A λiv (von links mit der Inversen A