Ein numerisches Modell für elektromagnetische Wellen

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1 Ein numerisches Modell für elektromagnetische Wellen Formelsammlung und elementare Herleitungen: Das Dokument fasst die Grundlagen zusammen, welche für die Realisation der E-Wellen-Animation benötigt werden. Adrian Haas Konstanten, Formeln und Grössen Magnetische Feldkonstante µ 0 = H/m Elektrische Feldkonstante ɛ 0 = As/V m Lichtgeschwindigkeit c 0 = 1 ɛ0µ 0 = m/s Permittivität ɛ = ɛ 0 ɛ r Permeabilität µ = µ 0 µ r Ausbreitungsgeschwindigkeit c = 1 ɛµ elektrische Leitfähigkeit σ [S/m] magnetische Feldstärke H [A/m] elektrische Feldstärke E [V/m] Stromdichte j = σe [A/m 2 ] elektrische Flussdichte D = ɛe [As/m] magnetische Flussdichte B = µh [T ] Raumladungsdichte ρ [As/m 3 ] 2. Maxwellgleichungen divd = ρ (1) divb = 0 (2) rote = B roth = j + D (3) (4) 1

2 3. Herleitung der Wellengleichung für das E Feld die dritte Maxwellgleichung rote = B Anwendung des rot Operators auf beiden Seiten einsetzen der vierten Maxwellgleichung da j = σe rot(rote) = rot( B ) rot(rote) = µ rot(h) rot(rote) = µ D (j + ) rot(rote) = µ (σe + ɛ E ) rot(rote) = σµ E E µɛ 2 2 da allgemein rot(rota) = grad(diva) A einsetzen der ersten Maxwellgleichung grad(dive) E = σµ E E µɛ 2 2 quellfrei ρ = 0 grad( ρ ) E = σµ E ɛ E µɛ 2 2 E = σµ E E µɛ µɛ E = σ ɛ E 2 E 2 c 2 E = σ ɛ E + 2 E 2 (5) verlustlos σ = 0 2

3 c 2 E = 2 E 2 (6) 4. Herleitung der Wellengleichung für das H Feld die vierte Maxwellgleichung roth = j + D Anwendung des rot Operators auf beiden Seiten da j = σe rot(roth) = rot(j + D ) rot(roth) = rot(σe + ɛ E ) rot(roth) = σrote + ɛrot E einsetzen der dritten Maxwellgleichung rot(roth) = σ B B ɛ 2 2 rot(roth) = σµ H H ɛµ 2 2 da allgemein rot(rota) = grad(diva) A grad(divh) H = σµ H H ɛµ 2 2 einsetzen der zweiten Maxwellgleichung grad(0) H = σµ H H ɛµ 2 2 H = σµ H H ɛµ µɛ H = σ ɛ H 2 H 2 c 2 H = σ ɛ H + 2 H 2 (7) 3

4 verlustlos σ = 0 c 2 H = 2 H 2 (8) 5. Explizite Differenzengleichung für das E Feld a) verlustlos (6) mit c 2 (E xx + E yy + E zz ) = E tt E xx = E i+1,j,k,n 2E i,j,k,n + E i 1,j,k,n x 2 E yy = E i,j+1,k,n 2E i,j,k,n + E i,j 1,k,n y 2 E zz = E i,j,k+1,n 2E i,j,k,n + E i,j,k 1,n z 2 E tt = E i,j,k,n+1 2E i,j,k,n + E i,j,k,n 1 für die zeitliche Iteration muss E i,j,k,n+1 berechnet werden somit c 2 (E xx + E yy + E zz ) = E i,j,k,n+1 2E i,j,k,n + E i,j,k,n 1 E i,j,k,n+1 = c 2 (E xx + E yy + E zz ) + 2E i,j,k,n E i,j,k,n 1 (9) E i,j,k,n+1 = c 2 (E xx + E yy ) + 2E i,j,k,n E i,j,k,n 1 (10) E i,j,k,n+1 = c 2 E xx + 2E i,j,k,n E i,j,k,n 1 (11) wobei (9) den drei-, (10) den zwei- und (11) den eindimensionalen Fall beschreibt. b) verlustbehaftet (5) explizite Differenzengleichungen c 2 (E xx + E yy + E zz ) = σ ɛ E t + E tt E xx = E i+1,j,k,n 2E i,j,k,n + E i 1,j,k,n x 2 4

5 E yy = E i,j+1,k,n 2E i,j,k,n + E i,j 1,k,n y 2 E zz = E i,j,k+1,n 2E i,j,k,n + E i,j,k 1,n z 2 E tt = E i,j,k,n+1 2E i,j,k,n + E i,j,k,n 1 E t = E i,j,k,n+1 E i,j,k,n t für die zeitliche Iteration muss E i,j,k,n+1 berechnet werden a = σ ɛ c 2 (E xx + E yy + E zz ) = E i,j,k,n+1 2E i,j,k,n + E i,j,k,n 1 + a E i,j,k,n+1 E i,j,k,n t c 2 (E xx +E yy +E zz ) = ( 1 + a t )E i,j,k,n+1 ( 2 + a t )E i,j,k,n+ 1 E i,j,k,n 1 mit 1 b 1 = 1 t + a 2 t b 2 = 2 + a t b 3 = 1 E i,j,k,n+1 = b 1 [c 2 (E xx + E yy + E zz ) + b 2 E i,j,k,n b 3 E i,j,k,n 1 ] (12) E i,j,k,n+1 = b 1 [c 2 (E xx + E yy ) + b 2 E i,j,k,n b 3 E i,j,k,n 1 ] (13) E i,j,k,n+1 = b 1 [c 2 E xx + b 2 E i,j,k,n b 3 E i,j,k,n 1 ] (14) wobei (12) den drei-, (13) den zwei- und (14) den eindimensionalen Fall beschreibt. 6. Stabilitätskriterien Für gilt = x = y = z t = S c 5

6 mit Stabilitätsfaktor S. S = 1 d d: Dimension 1,2 oder Randbedingungen Mit der Bedingung E rand = 0 wird die einfallende Welle total reflektiert. Im eindimensionalen Fall kann mit folgenden Bedingungen die Welle absorbiert werden. E 0,n = E 1,n 1 wobei N x die Länge des Gitters ist. E Nx 1,n = E Nx 2,n 1 Für zwei und drei Dimensionen werden ABC (Absorbing Boundary Conditions) verwendet wie in [3] beschrieben. Die Reflexionen verschwinden nicht ganz und betragen ein bis fünf Prozent. Ausgehend von den Engquist-Majda Einweg Wellengleichungen (Taylor Approximation zweiter Ordnung) : x = 0 x = N x y = 0 x 1 c 2 + c 2 y 2 = 0 x + 1 c 2 c 2 y 2 = 0 y 1 c 2 + c 2 x 2 = 0 y = N y y + 1 c 2 c 2 x 2 = 0 werden finite Differenzen gebildet, welche Mur ABC genannt werden. Für x=0 und = x = y : E 0,j,n+1 = E 1,j,n 1 + c t c t + (E 1,j,n+1 +E 0,j,n 1 )+ 2 c t + (E 0,j,n +E 1,j,n ) (c t) (c t + ) (E 0,j+1,n 2E 0,j,n + E 0,j 1,n + E 1,j+1,n 2E 1,j,n + E 1,j 1,n ) Für x = N x, y = 0 und y = N y werden die Indexe gemäss den Einweggleichungen ausgetauscht. 6

7 Die Reflexionen an den Ecken werden mit E 0,0,n = E 1,1,n 2 E 0,Ny 1,n = E 1,Ny 2,n 2 E Nx 1,0,n = E Nx 2,1,n 2 unterdrückt. E Nx 1,N y 1,n = E Nx 2,N y 2,n 2 Für drei Dimensionen lauten die Einweggleichungen: x = 0 x = N x y = 0 y = N y z = 0 z = N z x 1 c 2 + c 2 y 2 + c 2 z 2 = 0 x + 1 c 2 c 2 y 2 c 2 z 2 = 0 y 1 c 2 + c 2 x 2 + c 2 z 2 = 0 y + 1 c 2 c 2 x 2 c 2 z 2 = 0 z 1 c 2 + c 2 x 2 + c 2 y 2 = 0 z + 1 c 2 c 2 x 2 c 2 y 2 = 0 Für x = 0 und = x = y = z E 0,j,k,n+1 = E 1,j,k,n 1 + c t c t + (E 1,j,k,n+1+E 0,j,k,n 1 )+ 2 c t + (E 0,j,k.n+E 1,j,k,n ) (c t) (c t + ) (E 0,j+1,k,n 4E 0,j,k,n +E 0,j 1,k,n +E 1,j+1,k,n 4E 1,j,k,n +E 1,j 1,k,n +E 0,j,k+1,n + E 0,j,k 1,n + E 1,j,k+1,n + E 1,j,k 1,n ) Für x = N x, y = 0, y = N y, z = 0 und z = N z werden die Indexe gemäss den Einweggleichungen ausgetauscht. 7

8 Die Reflexionen an den Kanten und Ecken werden mit E 0,0,k,n = E 1,1,k,n 2 E 0,Ny 1,k,n = E 1,Ny 2,k,n 2 E Nx 1,0,k,n = E Nx 2,1,k,n 2 E Nx 1,N y 1,k,n = E Nx 2,N y 2,k,n 2 E i,0,0,n = E i,1,1,n 2 E i,0,nz 1,n = E i,1,nz 2,n 2 E i,ny 1,0,n = E i,ny 2,1,n 2 E i,ny 1,N z 1,n = E i,ny 2,N z 2,n 2 E 0,j,0,n = E 1,j,1,n 2 E 0,j,Nz 1,n = E 1,j,Nz 2,n 2 E Nx 1,j,0,n = E Nx 2,j,1,n 2 unterdrückt. E Nx 1,j,N z 1,n = E Nx 2,j,N z 2,n 2 8.Quellen [1]Taschenbuch der Hochfrequenztechnik, Meinke Gundlach, fünfte Auflage Springer Verlag (für Abschnitt 1 bis 4) [2] Stichwort Finite Differenzen Methode (diverse Literatur) (für Abschnitt 5) [3] computational electrodynamics, the finite-difference-time-domain method, third edition, Taflove Hagness, Artech House (für Abschnitt 6 und 7) 8